MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Thứ nhất đây là một trong những dạng toán khó trong cấu trúc đề thi. Thứ hai đa số học sinh lớp chuyên đề của trường chưa chú trọng rèn luyện dạng toán này vì khả năng tư duy còn hạn chế. Hơn nữa các em lại rất thụ động trong học tập, còn ngại khó, ngại khổ. Thiếu khả năng tự tìm tòi, tự khám phá trong học tập. Với mong muốn nâng cao chất lượng học tập của học sinh Khá, Gỏi tôi đã chọn chuyên đề : Một số phương pháp giải hệ phương trình.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ……… TRƯỜNG THPT ………………… BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH NGƯỜI VIẾT: ………………… …………………… A ĐẶT VẤN ĐỀ Lý chọn chuyên đề Trong kỳ thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn THPT cấp tỉnh, kỳ thi khảo sát, thi Đại học, cao đẳng hàng năm nước, tốn giải hệ phương trình toán thường gặp Tuy nhiên đa số em học sinh trường THPT Phạm Công Bình thường lúng túng với phần tốn đề thi, số lượng em làm hạn chế Nguyên nhân: Thứ dạng tốn khó cấu trúc đề thi Thứ hai đa số học sinh lớp chuyên đề trường chưa trọng rèn luyện dạng tốn khả tư hạn chế Hơn em lại thụ động học tập, ngại khó, ngại khổ Thiếu khả tự tìm tòi, tự khám phá học tập Với mong muốn nâng cao chất lượng học tập học sinh Khá, Gỏi chọn chuyên đề : "Một số phương pháp giải hệ phương trình" Mục đích Hệ thống hóa số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn tập hợp tập điển hình cho dạng Giúp em học sinh Khá, Giỏi rèn luyện số phương pháp, kỹ thường sử dụng để giải hệ phương trình thường gặp kỳ thi ĐH thi HSG Đối tượng học tập Giảng dạy cho học sinh đội tuyển học sinh giỏi mơn Tốn 12 trường THPT Phạm Cơng Bình nhóm học sinh khá, giỏi lớp 12 ôn thi ĐH Số tiết dự kiến: 18 B CẤU TRÚC CHUYÊN ĐỀ Chương MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 1) Phương pháp 2) Đặt ẩn phụ 3) Biến đổi phương trình hệ thành dạng tích 4) Sử dụng tính đơn điệu hàm số 5) Cộng đại số để có phương trình hệ đơn giản 6) Phương pháp đánh giá Chương BÀI TẬP LUYỆN TẬP 1) Đề thi học sinh giỏi tỉnh Vĩnh Phúc ( từ năm 2009 đến năm 2015) 2) Đề thi ĐHCĐ (Từ năm 2002 đến năm 2014) Chương MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP Phương pháp Ta biết, phương pháp thông thường từ phương trình hệ ta rút ẩn theo ẩn lại ( y = u ( x ) hay x = v( y ) ) vào phương trình lại hệ Tuy nhiên nhiều với cách làm phương trình thu phức tạp, khơng giải Khi ta phải làm cách khác cách khác khéo léo cho đạt mục đích Nhận dạng: Những hệ phương trình giải theo cách thường có phương trình phức tạp khơng biến đổi phương trình lại đơn giản cho phép ta biểu diễn biến thơng qua qua biến biểu thức thông qua biểu thức khác Phương pháp giải: Ta biến đổi phương trình hệ rút mối liên hệ x, y; vào phương trình lại cho phương trình thu phương trình đa biết cách giải Thường ta thu phương trình ẩn, phương trình đưa dạng tích phương trình đẳng cấp 2  x ( y + 1) ( x + y + 1) = 3x − x + (1) Bài Giải hệ phương trình  (2)  xy + x + = x Nhận thấy x = không thỏa mãn (2) Do x ≠ , từ (2) suy y + = x2 −1 , vào (1), ta x x2 −1  x2 −1  x2 ì ì x + ữ = x − x + Phương trình có nghiệm x = 1, x = −2 x  x    5 ĐS: Các nghiệm hệ ( 1; −1) ,  −2; − ÷   x + x y + x y = x + (1) Bài Giải hệ phương trình  (2)  x + xy = x + Từ (2), rút xy = 6x + − x2 , vào (2) ta phương trình 2 x = x + − x2  x + − x2  ⇔ x x + = ⇔ ( ) x + 2x × + = x +  x = −4 ÷ 2      ĐS: Nghiệm hệ  −4; 17  ÷ 2 Nhận xét: Đơi khi, ta rút số theo ẩn từ phương trình vào phương trình lại nhằm tạo ta phương trình đẳng cấp, phương trình tích  x − x = y + y (1) Bài Giải hệ phương trình  2  x − = ( y + 1) (2) - Nhận thấy, phương trình (1) chứa bậc bậc theo ẩn, phương trình (2) chứa bậc theo ẩn số, ta số phương trình (2) theo ẩn vào phần bậc (1) phương trình đẳng cấp bậc theo ẩn 3  x − y = ( x + y ) 3 ( x − y ) = ( x + y ) ⇔ Ta có (IV) ⇔  2 2  x − y =  x − y = ⇒ ( x − y ) = ( x − y ) ( x + y ) ⇔ x + x y − 12 xy = ⇔ x ( x − 3y) ( x + y) =  Kq: nghiệm hệ ( 3;1) , ( −3; −1) ,  −4  6   6  ; , ; − ÷  ÷  13 13 ÷ 13 ÷   13   ( x + y ) + xy = 16 (1)  Bài Giải hệ phương trình   x + x = (2) Điều kiện x ≥ 0, y ≥ Với điều kiện nêu, bình phương vế phương trình, ta hệ phương trình  x + y + xy + ( x + y ) xy = 128    x + y + xy = 16  x + y +  x + y − xy  xy = 128 ) ) ( (  ⇔  x + y = 16 − xy  Thế x + y từ phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất, đặt t = xy ≥ , ta phương trình chứa ẩn t Giải phương trình nghiệm t = Kq: nghiệm hệ ( 4; ) 3  x + y = y + 16 x (1) 2 (2) 1 + y = 5(1 + x ) Bài Giải hệ phương trình:  Từ (2) suy y – x = (3) Thế vào (1) được: x3 + ( y – x ) y = y + 16 x ⇔ x3 – x y –16 x = ⇔ x = x – xy –16 = Vậy hệ có nghiệm: (x; y) = (0; 2) ; (0; –2); (1; –3); (–1; 3) 2 xy − x + y = 3, Bài Giải hệ phương trình:  3  x + y = 3x + y − Từ phương trình thứ nhất, ta có: x = 3− 2y y −1 Thay vào phương trình thứ hai ta được: ( y − 1) ( xy + 1) ( y − y + ) = 2 ( x − y )4 = 13 x − 4, Bài Giải hệ phương trình:   x + y + x − y = Bình Phương hai lần phương trình thứ hai, xuất (x-y)2 theo x Sau vào phương trình thứ    13  Đáp số:  ; − ÷,  ; ÷  16 16   16 16   x − x − y − = 1, Bài Giải hệ phương trình:   y + x + y = ( y + 2) = x Hệ tương đương với  ( y + 2) + x − = Đáp số, (x;y)=(1;0) Đặt ẩn phụ Nhận dạng : Hệ thuộc loại thường có hai phương trình biểu thức x, y tương đối cồng kềnh phức tạp Tuy nhiên phép biến đổi tách, nhóm, thích hợp làm xuất hai phương trình hệ có chứa hai biểu thức giống x,y Phương pháp : Làm xuất hai phương trình hệ có chứa hai biểu thức giống x,y Sau đặt hai ẩn phụ hai biểu thức giống x, y 2  x + y − x + y = −2 Bài Giải hệ phương trình :  2 3 x − y − x − y = −6  x( x − 3) + y ( y + 4) = −2 3x ( x − 3) − y ( y + 4) = −6 Biến đổi hai phương trình hệ đặt Ta có Hệ ⇔  u = x( x − 3) , ta hệ phương trình bậc hai ẩn v = y ( y + 4) Đặt  ĐS : Nghiệm hệ (1;0), (1; −4), (2;0), (2; −4) y  + =1 2  x + y −1 x  Bài Giải hệ phương trình:   x + y + x = 22  y Điều kiện: x ≠ 0, y ≠ 0, x + y − ≠ x Đặt u = x + y − 1; v = Hệ PT trở thành: y 2 3 3  + =1  + =1 ⇔ u v u v u + + 4v = 22 u = 21 − 4v (1) (2) v = 3 2 + = ⇔ 2v − 13v + 21 = ⇔  Thay (2) vào (1) ta được: v = 21 − 4v v  So sánh điều kiện ta nghiệm Hệ PT:  y = x =  x = −3  ∨ ∨   y =1  y = −1   x = 14   y = −4 53  ∨  x = −14 53  53 53 2  x y (1 + y ) + x y (2 + y ) + xy = 30 Bài Giải hệ phương trình  2  x y + x(1 + y + y ) + y = 11 Biến đổi tương đương hệ cho  xy x2(1+ y) + xy(2 + y) + y2  = 30  xy(x + y)2 + xy(x + y) = 30    ⇔   2  xy(x + y) + xy + x + y = 11  x y + xy + xy + x + y = 11  xy(x + y)(x + y + xy) = 30 ⇔  xy(x + y) + (xy + x + y) = 11 a + b = 11 Đặt xy(x + y) = a; x + y + xy = b , ta hệ:  ab = 30 Giải hệ ta (a, b) = (5,6);(6,5) Suy hệ có nghiệm là:  + 21 − 21   5− 21 + 21  (x, y) = (1,2);(2,1); ; ; ÷; ÷ ÷ ÷    Bài Thi KSCL ôn thi ĐH lần (2013-2014) 10 x - xy - y = Giải hệ phương trình:  2 30 x - xy - xy - x - y = Nhận thấy x = không nghiệm hệ y 1    y + x + x = 10 ( y + 1) + x ( y + 1) + x = 11 ⇔ Hệ ⇔   y + y + + + y = 30  ( y + 1) + ( y + 1) = 30 2 x2  x x x x x  x  a = x Đặt  hệ trở thành b = y + 1  a + b =   a + ab + b = 11 ab = ⇔   a + b =  ab(a + b) = 30   ab = ĐS: Hệ có nghiệm: (1; 4);( ;0);( ; 2);( ;1) Bài Thi KSCL ôn thi ĐH lần (2013-2014) 1 + xy + xy = x  Giải hệ phương trình:  1 +y y= +3 y  x x x ĐK : x > 0; y ≥ Chia hai vế phương trình thứ hệ cho x ta 1 y =1  + y+ x x ,   + y y = +3 y  x x x ;b = Đặt a = x  a + b + ab = y ta  3  a + b = a + 3b Suy a + b3 = (a + 3b)(a + b2 + ab) ⇔ b(b + 2ab + 2a ) = ⇒ b = (vì a > ) x = y = Với b = ⇒ y = ⇒ x = Vậy hệ có nghiệm   y3 = x3 (9 − x3 ),  Bài Giải hệ phương trình:   x y + y = x Với y = 0, ta có x = số (x; y) = (0;0) nghiệm hệ Xét trường hợp  x3 1 = y (9 − x )  y ≠ , hệ cho viết lại dạng:   x +1 = 6x  y y2 Đặt t = , ta y 1 = x3t (9 − x3 )   1 = xt − x 2t Từ ta suy ra: ( xt – x 2t ) = x 3t 9 ( xt − x 2t ) − x  { } ⇔ x 3t ( 6t − x ) – 9 ( xt − x 2t ) − x  = Sau khai triển rút gọn, ta 27 x 3t ( 4t − x ) ( 2t − x ) = Đến dễ dàng  x( xy − 1) =  y +  Bài Giải hệ phương trình:   x( xy − 1) =  2  x +1 Từ phương trình cho, ta có xy ≠ Chia tử mẫu vế trái phương trình thứ cho y2 chia tử mẫu vế trái phương trình thứ hai cho x2, ta   x− y =  1 +  y2   y−1  x =1  1 +  x ; Đặt  − ab  a(b + 1) = , = ,  a (b + 1)   − ab ⇔   − ab =  b(a + 1) = 2  − ab  b(a + 1) 1 = a = b , ta có hệ y x Trừ hai phương trình cho nhau, ta a − b = Dùng phép thế, ta tìm a = b = 1 ⇔ a = + b 2 Từ đó, suy hệ có nghiệm (x;y) = (1;2) log x + y = 3log8 ( x − y + 2) Bài 8: Giải hệ phương trình:   x2 + y + − x2 − y2 = Điều kiện: x + y > 0, x − y ≥  Hệ PT ⇔  x+ y = 2+ x− y 2 2  x + y + − x − y = u = x + y v = x − y ; Đặt:   u − v = (u > v)  ta có :  u + v + − uv =    u + v = uv +  u + v = uv + (1)   ⇔  u + v2 + ⇔  (u + v) − 2uv + − uv = − uv = (2)   2   Thế (1) vào (2) ta có: uv + uv + − uv = ⇔ uv + uv + = (3 + uv ) ⇔ uv =  uv = ⇔ u = 4, v = (với u > v) u + v = Kết hợp (1) ta có:  Từ ta có: x = 2; y = 2.(thoả đk) Kết luận: Vậy nghiệm hệ là: (x; y) = (2; 2)  y + x − y + x = Bài Giải hệ phương trình:  2 y + x − x + = Đặt a= y + x ≥ 0, b = y + x ≥ 0, c = x + ≥  a − b = 4,  Ta có hệ: 2b − c = 2,  a = b + c −   56 13  Giải hệ trên, ta a=9, b=5, c=8 Đáp số  ; ÷  5 Biến đổi phương trình hệ thành dạng tích Nhận dạng: Một phương trình hệ biến đổi thành phương trình tích kỹ phân tích đa thức thành nhân tử Phương pháp giải: - Phân tích phương trình hệ thành tích nhân tử Thơng thường, phương trình đưa phương trình tích có nhân tử dạng ax + by + c   x − x = y − y (1) Bài 1(ĐH Khối A-2003) Giải hệ phương trình   y = x + (2)  Điều kiện x ≠ 0, y ≠ Nhận thấy (1) phương trình đối xứng x, y Ta có (1) ⇔ x − y + x = y 1 x− y − =0⇔ x− y+ = ⇔ ( x − y )(1 + xy ) = ⇔  y x xy  xy = −1 Với x = y , thay vào (2), ta phương trình x − x + = , có nghiệm x = 1, x = −1 − −1 + , x= 2 x Với xy = −1 ⇒ y = − , thay vào (2), ta phương trình 2 1  1  x + x + = ⇔  x − ÷ +  x + ÷ + = , vơ nghiệm 2  2   −1 − −1 −   −1 + −1 +  ; ; ÷,  ÷ ÷ ÷     Các nghiệm hệ là: ( 1;1) ,  2 (1)  xy + x + y = x − y Bài Giải hệ phương trình:   x y − y x − = x − y (2) Điều kiện x ≥ 1, y ≥ x + y = (1) ⇔ xy + y + x + y = x − y ⇔ ( x + y ) ( y + 1) = ( x + y ) ( x − y ) ⇔  x = 2y +1 Với x + y = , không xảy điều kiện Với x = y + , vào (2), ta phương trình ( y + 1) y = ( y + 1) Kq: nghiệm hệ ( 5; ) Nhận xét: Phương trình (1) phân tich thành tích hai nhân tử bậc x (hoặc y) nên phân tích (1) thành tích cách coi (1) phương trình bậc hai x (hoặc y) cách áp dụng kết quả: “Nếu phương trình ax + bx + c = có nghiệm x1 , x2 ax + bx + c = a ( x − x1 ) ( x − x2 ) ” Dẫn đến, rút ẩn theo ẩn lại Đây ý tưởng để giải số tương tự  y = ( x + ) ( − x ) (1) Bài Giải hệ phương trình:  2  y − x − xy + 16 x − y + 16 = (2) 2 Biến đổi (2): (2) ⇔ y − ( x + ) y − x + 16 x + 16 = Đây phương trình bậc hai ẩn y, coi x tham số, ta có ∆′ = 9x Ta y = x + y = − x Kết hợp với (1), ta nghiệm hệ     Kq: nghiệm hệ  − ;0 ÷, ( 4;0 ) , ( 0; )  x − = ( y + 2015)(5 − y ) + y Bài Giải hệ phương trình:   y ( y − x + 2) = x + 3 Điều kiện : x ≥ , y ≥  x − = ( y + 2015)(5 − y ) + y (1) Hệ cho trở thành   y + (2 − x) y − 3x − = (2) Từ (2) ta có: ∆ = ( x + 4) 10 Ta phải kết hợp phương trình hệ phép tốn cộng, trừ, nhân, chia để phương trình hệ đơn giản phương trình hệ đưa phương trình tích Và khó khăn hệ phương trình giải theo cách nên cộng đại số để có kết thuận lợi  x − x y + x y = (1) Bài Giải hệ phương trình   x y − x + xy = −1 (2) HD: Lấy (1) trừ (2), vế với vế, ta phương trình  x − xy = x − x y + x y + x − xy = ⇔ ( x − xy ) + ( x − xy ) − = ⇔   x − xy = −2 Kq: nghiệm hệ ( 1;0 ) , ( −1;0 )  x + 3x + y + y = − xy (1) Bài Giải hệ phương trình  (2)  x + y + xy = Lấy (1) cộng (2), vế với vế, ta phương trình x + y = x + x + y + y + xy = ⇔ ( x + y ) + ( x + y ) − = ⇔   x + y = −4    2 x 1 + ÷ = (1)   x+ y Bài Giải hệ phương trình   y 1 −  = (2)  ÷   x+ y  Điều kiện x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≠ Ta thấy x = y = không thỏa mãn hệ Do x > 0, y > Hệ trở thành  1    2=  +  ÷ + =   ÷  x+ y x 2 x y    ⇔ ⇔    1  1 − =    x + y y  x + y =  x − y ÷ ÷     + =4 x y − = x y x+ y Ta thấy vế trái hai phương trình lại tổng, hiệu nhân lại Do đó, nhân vế với vế hai phương trình ta phương trình hệ    16 16 + − = ⇔ − = ⇔ x + xy − y =  ÷ ÷ ÷ ÷ x y x+ y y  x y  x+ y  x Đến phương trình đẳng cấp bậc hai, học sinh tự giải tiếp  x + 91 = y − + y Bài Giải hệ phương trình:   y + 91 = x − + x (1) (2) Điều kiện: x ≥ 2; y ≥ Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được: x = y 17 ĐS : x = y =  x3 − y3 = 9,  Bài Giải hệ phương trình:  2 x + y − x + y = Lấy vế phương trình thứ hệ trừ cho vế lần phương trình thứ hai ta được: ( x − ) = ( y + 1) ⇔ y = x−3 Thay vào phương trình thứ hai hệ ta có: x =1 x = x = ⇔ ∨ x =  y = −2  y = −1 x − 3x + = ⇔   x( y + 1)  =  x2 + y  Bài Giải hệ phương trình:   y ( x − 1) =   x + y Nhân phương trình thứ hệ với x nhân phương trình thứ hai với –y cộng x ( y + 1) y ( x − 1) x − y 3x − y ⇔ = hai phương trình cho nhau, ta được: 2 − 2 = x +y x +y 5 1  Đáp số (3;1),  ; −1÷ 3   x + y − 3x + xy = 0,  Bài Giải hệ phương trình:   xy ( x + y ) + ( x − 1)2 = y (1 − y )  x + y − 3x + xy =  ⇔  xy ( x + y ) + ( x − 1)2 − y (1 − y ) = Lấy PT thứ trừ PT thứ hai ta có:  xy ( x + y ) + ( x − 1) − y ( − y )  − y ( x + xy + y − 3x ) =   ⇔ ( x + y − 1) ( x − y + y − 1) = Phương pháp đánh giá 18  x + x + y + = (1) Bài Giải hệ phương trình   x + + y + = 13 (2) Điều kiện x ≥ 0, x + y + ≥ 0, x + ≥ 0, y + ≥ Từ (2), sử dụng bất đẳng thức Bu-nhia-cốp-xki ta có 132 = (2 x + + y + 8) ≤ 13( x + + y + 8) ⇒ x + y ≥ Từ (1), bình phương hai vế ta có: x + x + y + + x( x + y + 3) = (3) Mà x ≥ 0, x( x + y + 3) ≥ ⇒ x + y ≤  x+4 y +8  x = 0, = ⇔  Do x + y = ⇔   y = x =  Vậy hệ có nghiệm x = 0; y = (2 x + 3) x − + (2 y + 3) y − = (2 x + 3)(2 y + 3) Bài Giải hệ phương trình:   x + y = xy Điều kiện x, y ≥ Sử dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có: (2 x + 3) x − + (2 y + 3) y − ≥ (2 x + 3)(2 y + 3) (4 x − 1)(4 y − 1) = (2 x + 3)(2 y + 3)[4(4 xy − x − y ) + 1] = (2 x + 3)(2 y + 3) Do đó, để phương trình thứ hệ thoả mãn ta phải có: (2 x + 3) x − = (2 y + 3) y − Tức là: ( x + 3) (4 x − 1) = ( y + 3) ( y − 1) 1  Tuy nhiên, hàm số f ( x ) = ( x + 3) ( x − 1) đồng biến  ; +∞ ÷, nên điều xẩy 4  x=y Như vậy, ta phải có x=y Bây giờ, thay x=y vào phương trình thứ hai, ta tìm x = y = 1 1 Vậy hệ cho có nghiệm (x,y)= ( x; y ) =  ; ÷   (2 x − 3x + 4)(2 y − y + 4) = 18  ( x, y ∈ ¡ ) Bài Giải hệ :   x + y + xy − x − y + 14 = 19 10 (2) ⇔ y + ( x − 6) y + x − x + 14 = ∃y ⇔ ∆ y ≥ ⇒ ≤ x ≤ (2) ⇔ x + ( y − 7) x + y − y + 14 = ∃x ⇔ ∆ x ≥ ⇔ ≤ y ≤ Xét hàm số f (t ) = 2t − 3t + 4, t ∈ R ⇒ f '(t ) = 4t - 3, f '(t ) = ⇒ t = 3 ⇒ f ( x) > f (2) = Kết hợp với y ≥ ⇒ f ( y ) ≥ f (1) = ⇒ f ( x) f ( y ) = (2 x − x + 4)(2 y − y + 4) > 18   y − y + =  y = 1, y = ⇔ vô nghiệm + TH x = hệ trở thành   y − y + =  y = Vậy hệ cho vô nghiệm  x2 + y x + xy + y + = x+ y (1)  Bài Giải hệ :   3 (2)  x − y − + x + x − y − 14 = y − Từ (1) VT ≥ VP, dầu x = y thay vào PT (2) ta có : x − x − + x3 − 14 = x − 2  x − x − ≥  x − x − ≥ ⇔ ⇔ x2 − x −1 = ⇔ x = ± Ta có :    x − x − ≤  x − 14 ≤ x −  x + x − = − y − y − Bài Giải hệ phương trình  6 x − y − 11 + 10 − x − x = (1) (2)  y + y + ≥ Điều kiện:   −2 x − x + 10 ≥ Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có: 4(10 − x − x ) 14 − x − x ≤ 2 Rút gọn ta được: 4( y − x + 11) ≤ 14 − x − x ⇔ x − 10 x + y + 15 ≤ (3) y − x + 11 = 10 − x − x = Tương tự phương trình (1) x2 + 2x − = − y − y − ≤ − y2 − y − ⇔ x + x + y + y − ≤ (4) Cộng vế với vế (3) (4) ta được: x = x − x + y + y + 12 ≤ ⇔ 3( x − 1) + ( y + 3) ≤ ⇔   y = −3 Kết hợp với điều kiện đề bài, suy nghiệm hệ phương trình S = (1, −3) 20 Chương BÀI TẬP LUYỆN TẬP Hệ phương trình đề thi học sinh giỏi tỉnh Vĩnh Phúc ( từ năm 2009 đến năm 2015)  y ( xy − 2) = x Bài HSG 10 - VP2009:  2  y + x y + x = + Nếu x=0 y=0, ngược lại y=0 x=0, hệ có nghiệm (x,y)=(0,0) + Nếu xy ≠ : Nhân phương trình thứ hai với x cộng với PT thứ ta được: ( xy + x y + x ) + ( xy − y − x ) = ⇔ ( xy − 1)(2 y + x ) = ⇔ 2 2   xy =1   x2  y =−   Hệ có ba nghiệm ( x, y ) = (0;0), (2; −2),  − ; − 3 ÷    x y (1 + y ) + x y (2 + y ) + xy − 30 = Bài HSG 11 - VP2009:  2  x y + x(1 + y + y ) + y − 11 =  xy ( x + y )( x + y + xy ) = 30  xy ( x + y ) + ( xy + x + y ) = 11 Hệ ⇔  Đặt ẩn phụ Hệ có nghiệm là:  + 21 − 21   − 21 + 21  ( x, y ) = (1, 2);(2,1);  ; ; ÷;  ÷ ÷ ÷     x + = 2( x − x + y ) ( x, y ∈ R ) Bài HSG 12 - VP2009:   y + = 2( y − y + x ) Trừ hai phương trình cho vế theo vế 21  x + y − xy = Bài HSG 10 - VP2010:  2  x + + y + = ĐK xy ≥ , ta thấy từ pt thứ ⇒ x + y > , x ≥ 0, y ≥ Từ ta đặt u = x ≥ 0, v = y ≥ thay vào hệ ta u + v − uv = ( u + v ) = + 3uv ⇔  4 u + v + + 3u + 3v + u v + = 16  u + + v + = ( u + v ) = + 3uv  ⇔ 2 2  ( u + v ) − 2uv  − 2u v + u v + ( u + v ) − 2uv  − 6u 2v + = 10     Đặt t = uv ⇒ ≤ t ≤ (vì + 3uv = ( u + v ) ≥ 4uv ⇒ uv ≤ ) Thế từ phương trình thứ hệ vào phương trình thứ hai ta 4 ( t − 3t + 6t + 12 ) = ( t − 2t + ) 2 t − 3t + 6t + 12 = t − 2t + ⇔  t − 2t + ≥ ⇔ 3t + 4t − 34t + 60t − 33 = ⇔ ( t − 1) ( 3t + 7t − 27t + 33 ) = 2 Tìm nghiệm là: ( x; y ) = ( 1;1)  x + x y − xy + xy − y = ( x, y ∈ ¡ ) Bài HSG 10 - VP2011:   x + y − xy (2 x − 1) = ( x − y ) + xy ( x − y ) + xy = Hệ ⇔  2 ( x − y ) + xy = Đặt ẩn phụ Ta tìm hệ có nghiệm ( x; y ) ∈ { (1; 1);(0; − 1);(1; 0);( −1; 0);( −1; 3)}  x − xy + y + x − y = ( x, y ∈ ¡ Bài HSG 10 - VP2012:  x − xy + y =  ) Đặt z = y − , thay vào hệ ta được: 2  x − xz + z = ( x + z ) − xz = ( x + z ) − ( x + z ) + = ⇔ ⇔   x + z − = xz  x + z − = xz  x − xz + z = Hệ phương trình cho có tập nghiệm S = { ( 1; ) , ( 1;1) , ( 0; ) }  y + y + x − x = − x (1) Bài HSG 12 - VP2012:  (2)  y + + y = + x + Điều kiện: −4 ≤ x ≤ 1; y ∈ ¡ Ta có (1) ⇔ y + y = − x − x − x + − x ⇔ y + y = 2(1 − x) − x + − x 22 Xét hàm số f (t ) = 2t + t , ta có f '(t ) = 6t + > 0, ∀t ∈ ¡ ⇒ f (t ) đồng biến ¡ Vậy y ≥ (1) ⇔ f ( y ) = f ( − x ) ⇔ y = − x ⇔   y = 1− x Thế vào (2) ta − x + − x = + x + (3) Xét hàm số g ( x) = − x + − x − x + 4, liên tục [-4;1], ta có 1 − − < ∀x ∈ ( −4;1) − 2x 1− x x + g '( x) = − ⇒ g ( x ) nghịch biến [-4;1] Lại có g (−3) = nên x = −3 nghiệm phương trình (3)  x = −3  y = Hệ có nghiệm  ( x − y ) ( x + xy + y + 3) = ( x + y ) + Bài HSG 10 - VP2013:   x + + y + = − x + x + Đk: x ≥ −6, y ≥ −3 Từ phương trình đầu hệ ta có: ( x − y ) ( x + xy + y + 3) = ( x + y ) + ⇔ ( x − y ) ( x + xy + y ) + ( x − y ) = 3x + y + ⇔ x3 − y + 3x − y = 3x + y + ⇔ ( x − 1) = ( y + 1) ⇔ x − = y + ⇔ y = x − ⇒ x ≥ −1 3 Thay vào phương trình thứ hai hệ ta được: x + + x + = − x + x + 8, ( x ≥ −1) ⇔ x + − + x + − + x2 − x − = 1   ⇔ ( x − 3)  + + x + 1÷ = x +1 +  x+6 +3  1   + + x +1 > 0÷  x+6 +3 x +1 +   Khi x = ⇒ y = ⇔ x=3 So sánh với Đk ta nghiệm hệ phương trình ( x, y ) = ( 3,1) Bài HSG 12 - VP2014:  x − y − x + y = −6 x + 15 y − 10 Giải hệ phương trình:   y x + + ( y + ) x + 10 = y + x ( x, y ∈ ¡ )  x ≥ −3 y∈¡ Điều kiện  3  x − y − x + y = −6 x + 15 y − 10 ( x − 1) + ( x − 1) = ( y − ) + ( y − ) ⇔  2  y x + + ( y + ) x + 10 = y + x  y x + + ( y + ) x + 10 = y + x ( 1) ( 2) 23 Xét hàm số f ( t ) = t + 3t , ∀t ∈ ¡ , f ′ ( t ) = 3t + > ∀t ∈ ¡ Vậy hàm số f ( t ) đồng biến ¡ Từ ( 1) ta có f ( x − 1) = f ( y − ) ⇔ x − = y − ⇔ y = x + ( 3) Thay ( 3) vào ( ) ta phương trình: ( x + 1) x + + ( x + ) x + 10 = x + x + Phương trình ( ) ⇔ ( x + 1) ⇔ ( x + 1) × ( x − 6) x+3 +3 ( ) x + − + ( x + 7) + ( x + 7) × ( x − 6) x + 10 + ( ( 4) ) x + 10 − = x − x − 30 = ( x + 5) ( x − )  x − = ( 5) ⇔  x + x+7 + = x + ( 6)  x + + x + 10 + ( 3) Từ ( ) : x − = ⇒ x = → y = ⇒ ( x; y ) = ( 6;7 ) nghiệm hpt Từ VT ( ) x +1 x+3 x+7 x+7 − + − = ( ) phương trình vô nghiệm 2 x+3 +3 x + 10 + 1 1   < ( x + 3) ì ữ+ ( x + ) ì ữ < = VP ( )  x+3 +3 2  x + 10 +  ( 6) : Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( 6;7 )  x + y − xy − y − = Bài HSG 10 - VP2015: Giải hệ phương trình:  2  x + y − y − =  x + y − xy − y − = ( 1) Hệ ⇔  2 ( 2)  x + y − y − = ( I)  x = y −1 x = y +1 Ta có ( 1) ⇔ ( x − y + 1) ( x − y − 1) = ⇔   1 9 2 Suy hệ (I) có nghiệm ( x; y ) là: ( 1; ) , ( −1; − 1) ,  − ; − ÷,  ; ÷  2 5 5 Hệ phương trình đề thi ĐHCĐ (từ năm 2002 đến năm 2014)  x − y = Bài 1.(B2002)   x + y = x − y ≥ Đk:  x + y ≥ x− y (1) x+ y+2 (2) x = y (1) ⇔ ( x − y ) = ( x − y )3 ⇔  x = y +1 24  23 x = y − y  Bài 2.(D2002)  x + x +1 = y  x  +2 (1) (2)  y = x ⇔  y − y + y =  y2 + y =  x2  Bài 3.(B2003)  3 x = x +  y2 (1) x > y > ; Đk:  (2) Hệ cho tương đương : 3 x y = y + 3 x y = y + 3 x y = y +  ⇔ ⇔    x = y 3 y x = x + ( x − y )( x + y + xy ) =   x + y + xy =  2 2  log ( y − x) − log ( y ) = (*) Bài 4.(A2004)   x + y = 25  y − x > , y > y−x (*) ⇔ log ( ) = −1 ⇔ x = y y Đk:  x − + Bài 5.(B2005)  2− y = 3log (9 x ) − log ( y ) = (*) x ≥ 0 < y ≤ (*) ⇔ 3(1 + log x) − 3log y = ⇔ log x = log y ⇔ x = y Đk :   x + y − xy = Bài 6.(A2006)   x + + y + =  x + y = + xy (1)  x + + y + = (2) Hệ ⇔  ; Đk : x+ y ⇒ x+ y ≤6 (2) ⇒ 42 ≤ (12 + 12 )( x + + y + 1) ⇒ x+y ≥ (1) ⇒ x + y ≤ +  x ≥ −1  y ≥ −1 x ≥  ⇒  y ≥  xy ≥  x + y ≥ (*) ( B-C-S) (**) Từ (*) (**) ta : x + y = x + y = x = ⇔  x y = y = Ta có hệ :  Thử lại (thỏa ) 25 1  x + x + y + y =  Bài 7.(D2007)   x + + y + = 15m − 10  x3 y3 a = x+ , a ≥2 x Đk: xy ≠ Đặt b= y+ , b ≥2 y Hệ cho tương đương : a + b = a + b = a + b = ⇔ ⇔  3   a + b − 3(a + b) = 15m − 10 a + b − ab = 3m + ab = − m   x + y + x y + xy + xy = − Bài 8.(A2008)   x + y + xy (1 + x) = −   2 ( x + y ) + xy ( x + y ) + xy = − a = x + y Hệ ⇔  ; Đặt  b = xy ( x + y ) + xy = −     a + ab + b = − b = − − a < ⇔ Hệ trở thành:   a + b = − a (2a + 1) =   4 2  x + x y + x y = x + Bài 9.(B2008)   x + xy = x + ( x + xy ) = x +  x2 xy = x + −   Hệ ⇔  x2 ⇔   xy = x + −  x( x + 4)3 =    xy + x + y = x − y Bài 10.(D2008)   x y − y x − = x − y x ≥ y ≥ ĐK :  (1) (2) ⇒ x + y ≥1 (1) ⇔ x − ( y + 1) x − (2 y + y ) = (3) ∆ x =(3y+1) ≥ x = y +1 (3) ⇔  x + y = Vì : x + y ≥ trường hợp : x + y = ( loại)  x = y +  x = y +  x = ⇔ ⇔ Hệ cho tương đương :  y =  x y − y x − = x − y  y = 26  xy + x + = y Bài 11.(B2009)  2  x y + xy + = 13 y Nhận xét : Từ hệ phương trình cho , ta có : y ≠ x  (x + ) + =  y y x x    ( x + y ) + y = ( x + y ) + y =    ⇔ ⇔   x + = −5 Hệ ⇔  y ( x + ) − x = 13 ( x + ) + ( x + ) − 20 =     y y y y  x + = y   x ( x + y + 1) − =  Bài 12.(D2009)  ( x + y ) − x + = Đk: x ≠ , y ∈ ¡  x + y = −1  x 3     x + y = x −  x + y = x −  ⇔ ⇔   = Hệ ⇔  ( − 1) − + = ( ) − + =  x  x x  x  x   x =  (4 x + 1) x + ( y − 3) − y = (1) Bài 13.(A2010)  2 (2)  x + y + − x =   x ≤ ĐK :  y ≤  (1) ⇔ (2 x) + 1 (2 x) =  (5 − y ) + 1 − y   ⇒ ,t≤ f / (t ) = 3t + > Đặt : f (t ) = (t + 1).t Khi : (1) ⇔ f (2 x) = f ( − y ) ⇔ x = − y , t≤  x − x + y + = Bài 14.(D2010)   log ( x − 2) − log ( y ) = (*) x > Đk:  y > (*) ⇔ log ( x − 2) − log y = ⇔ y = x − y = x − Hệ cho tương đương :  x − 4x + y + = Bài 15.(A2011) 2 5 x y − xy + y − 2( x + y ) = (1)  2 (2)  xy ( x + y ) + = ( x + y ) 27  xy = (2) ⇔ ( xy − 1)( x + y − 2) = ⇔  2 x + y = x = y =  x = y = −1 * Với xy = Khi (1) ⇔ y − y + = ⇔ y = ±1 ⇔  * Với x + y = Khi (1) ⇔ x y − xy + y − ( x + y )( x + y ) = ⇔ x y − xy + y − x = ⇔ ( x − y )( − x + xy − y ) = x = 2y ⇔ ( x − y )(2 xy − 2) = ⇔   xy = Trường hợp : x y = ( xét ) x = y Trường hợp : x = y , ta giải hệ :  2 x + y =  x − x − x + 22 = y + y - y  Bài 16.(A2012)  2 x + y − x + y =  3 t + y + 3t + y − 9(t + y ) = 22  Đặt x = − t , Hệ trở thành  2 t + y + t + y =   S − 3PS + 3( S − P ) − S = 22 S = t + y   Đặt  , Hệ trở thành   P = yt S − 2P + S =   S − 3PS + 3( S − P ) − S = 22 2 S + S + 45S + 82 =    P = ⇔ ⇔ ⇔ 1 P = ( S + S − ) P = ( S + S − )    S = −2  2  2    −3  Vậy nghiệm hệ  ; − ÷;  ; ÷ 2 2 2   x − x y + x + y − xy − y = (1) Bài 17.(D2012)  (2)  xy + x − = Đặt f ( y ) = y − ( x + x + 1) y + x3 + x ⇒ f ( x ) = ⇒ f ( y )M( y − x )  y = x2 ⇔ ( y − x ) [ y − (2 x + 1)] = ⇔   y = 2x +  x + + x − − y + = y Bài 18.(A2013)  2  x + x( y − 1) + y − y + = Điều kiện x ≥ (1) (2) Từ (2) ⇔ ( x + y − 1)2 = y (*) ⇒ y ≥ nên y = y = ( y + 1) − Do đó, từ (1) ta viết lại sau: x + + x − = ( y + 1) + + ( y + 1) − (3) Đặt hàm số : f (t ) = t + t − với t ∈ [ 1; +∞ ) 28 ⇒ ∀t ∈ ( 1;+∞ ) ⇒ hàm số f (t ) đồng biến ∀t ∈ ( 1; +∞ ) f / (t ) ≥ , Nên, từ (3) ⇔ x = y + (4) Thay (4) vào (*), ta phương trình: y = ( x + y − 1) = ( y + y ) ⇔ y + y + y − y = y =  ⇔ y =1  y + y + y + y + y + y + = ( Vô nghiêm, y ≥ 0) Khi : y = x = ( thỏa điều kiện) Và y = x = ( thỏa điều kiện) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm : (1 ; 0) ( ;1)  x + y − 3xy + x − y + = Bài 19.(B2013)  2  x − y + x + = x + + x + y  x ≥ − Đk:   x + y ≥  y = 2x + y = x + (1) ⇔ y − (3x + 2) y + (2 x + 3x + 1) = ⇔  (1) (2) (3) (4)  x 12 − y + y (12 − x ) = 12 Bài 20.(A2014)   x − x − = y −  ≤ y ≤ 12 Điều kiện :  12 − x ≥  ≤ y ≤ 12  −2 ≤ x ≤ ⇔ Ta có x 12 − y + (12 − x ) y ≤ Dấu “=” xảy ⇔ x 12 − y = (x + 12 − x ) ( 12 − y + y ) = 12 12 − y y ⇔ x y = (12 − y )(12 − x ) (3) Khi (1) tương đương với (3) x ≥ x ≥ x ≥ ⇔ ⇔   2 2  x y = 144 − 12 x − 12 y + x y 12 y = 144 − 12 x  y = 12 − x (4) (3) ⇔  Thế (4) vào (2) ta có (2) ⇔ x − x − = 10 − x ⇔ x − x − − 10 − x = ( ) ⇔ x − x − + − 10 − x = ⇔ ( x − 3) ( x + 3x + 1) + − (10 − x ) =0 + 10 − x  − x2 2( x + 3) ⇔ ( x − 3) ( x + 3x + 1) + = ⇔ ( x − 3)  x + x + + + 10 − x + 10 − x  x = ⇔ ⇔ x =3⇒ y =3  x + x + + 2( x + 3) = (*)  + 10 − x  =0  (*) Vơ nghiệm Vậy hệ có nghiệm ( 3;3) 29 ( − y ) x − y + x = + ( x − y − 1) y Bài 21.(B2014)   y − x + y + = x − y − x − y − ĐK : x – y ≥ 0, y ≥ 0, x – 2y ≥ 0; 4x – 5y – ≥ (1) (1 − y ) x − y + ( x − y − 1) + ( y − 1) − ( x − y − 1) y = ⇔ (1 – y) ( x − y − 1) + ( x − y − 1)(1 − y ) = ⇔ (1 − y )( x − y − 1) ( x − y − 1)(1 − y ) + =0 x − y +1 1+ y  1  + =0  x − y + 1 + y  ⇔ (1 – y) (x – y – 1)  ⇔ (1–y)(x–y–1) = ⇔ y=1 x = y + - Với y = 1, (2) ⇒ – 3x = x − − x − ⇔ – 3x = ⇔ x = - Với x = y + (2) ⇒ 2y2 + 3y – = − y − − y ⇔ 2y2 + 3y – = − y (A) (A) ⇔ − y − y − y + = ⇔ 2(1 − y ) − y − y + (2 y + 1) − y − y (2 y + 1) = ⇔ 1− y ( ) ( )( − y − y + (2 y + 1)( − y − y ) = ⇔ − y + y +  − y + y + = (VN ) ⇔  − y − y = ) 1− y − y = ⇔ − y = y ( y ≥ 0) −1 + −1 − ∨y= (L) 2 −1 + 1+ Nếu y = ⇒x= 2 ⇔ y2 + y −1 = ⇔ y =  + −1 +  ; ÷ 2 ÷   Vậy hệ có nghiệm (3;1)   − x y + xy − y + = 2(3 − − x ) y Bài 22.(Dự bị D, 2010)   x − y + x = Phương trình thứ viết dạng    x + ÷+ ( x + ) − = − 2 y  y  Đặt t = x + , y ≠ ta có y2 t ≥ −  ⇔ 2 t − = 2 + 2t − t − = 2 + 2t − ( ) ⇔t =3 Từ suy nghiệm hệ phương trình cho là: ( 2;1) , ( 2; −1) , (2− )( ) 2; + , − 2; − + 30 LỜI KẾT Trong chuyên đề tơi có sưu tầm nhiều nguồn tài liệu khác trình giảng dạy năm trước Do thời gian soạn chuyên đề hạn chế nên khơng tránh khỏi thiếu sót, mong bạn đóng góp ý kiến sưu tầm thêm tập hệ phương trình khác để chun đề hồn thiện Xin chân thành cảm ơn! 31 ... : "Một số phương pháp giải hệ phương trình" Mục đích Hệ thống hóa số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn tập hợp tập điển hình cho dạng Giúp em học sinh Khá, Giỏi rèn luyện số phương pháp, ... MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP Phương pháp Ta biết, phương pháp thơng thường từ phương trình hệ ta rút ẩn theo ẩn lại ( y = u ( x ) hay x = v( y ) ) vào phương trình lại hệ. .. Vậy hệ phương trình cho có nghiệm dương Cộng đại số để có phương trình hệ đơn giản Nhận dạng: Hai phương trình hệ khơng thể biến đổi phương trình Phương pháp giải: 16 Ta phải kết hợp phương trình