skkn một số kỹ THUẬT GIẢI NHANH PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Tên sáng kiến kinh nghiệm: MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI NHANH PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Lời giới thiệu: Phương trình lượng giác (PTLG) kiến thức quan trọng chương trình mơn Tốn trung học phổ thơng nói chung chương trình mơn Tốn lớp 11 nói riêng Trong đề thi Đại học, Cao đẳng thi Học sinh giỏi PTLG ln có mặt Tuy nhiên đề thi, PTLG PTLG hay PTLG đơn giản có cách giải tổng quát mà thường PTLG không mẫu mực Và đứng trước PTLG không mẫu mực học sinh thường lúng túng giải cách hay dùng cơng thức để giải PTLG Vì vậy, để học tốt phần này, ngồi việc đòi hỏi học sinh nắm vững cách giải PTLG bản, PTLG đơn giản công thức biến đổi lượng giác, em cần phải biết quan sát, nhận xét để đưa hướng biến đổi đắn nhằm đưa PTLG cho PTLG đơn giản biết cách giải Trong năm dạy PTLG cho em học sinh lớp 11, suy nghĩ làm để giúp em có kỹ giải thành thạo PTLG, khơng e ngại trước PTLG khơng mẫu mực Điều thơi thúc tơi khơng ngừng nghiên cứu, thu thập tài liệu để tìm phương pháp tốt giúp em học sinh giải quết nhanh gọn PTLG khơng mẫu mực Chính tơi chọn đề tài: “ Một số kỹ thuật giải nhanh phương trình lượng giác” A CƠ SỞ LÝ LUẬN Nhiệm vụ trọng tâm trường THPT hoạt động dạy thầy hoạt động học trò Đối với người thầy, việc giúp học sinh nắm vững kiến thức phổ thơng nói chung, đặc biệt kiến thức thuộc mơn tốn nói riêng việc làm cần thiết Muốn học tốt mơn Tốn, học sinh phải nắm vững tri thức khoa học mơn tốn cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết cách linh hoạt vào tốn cụ thể Điều thể việc học đơi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư logic suy nghĩ linh hoạt Vì vậy, trình dạy học, giáo viên cần giúp học sinh cách học, biết sử dụng kiến thức học vào giải tốn cụ thể Mục đích làm cho học sinh đứng trước toán, em biết cách phân tích, nhận dạng, biết chuyển tốn toán đơn giản hay toán quen thuộc biết cách giải Đối với bại toán giải PTLG vậy, dạy học sinh phần này, việc trang bị cho em kiến thức cần thiết phương pháp giải dạng PTLG thường gặp, bên cạnh giáo viên cần phải dạy cho em cách nhận dạng tốn, biết phân tích yếu tố cung góc, biết nhận xét hàm số lượng giác có mặt phương trình…để từ có bước biến đổi phù hợp nhằm đưa toán cần giải toán đơn giản B CƠ SỞ THỰC TIỄN Xuất phát từ thực tế giảng dạy mơn tốn lớp 11, cụ thể chương 1: Hàm số lượng giác phương trình lượng giác Đối với phần PTLG, yêu cầu chương học sinh biết cách giải PTLG phương pháp giải số dạng PTLG đơn giản Tuy nhiên, thực tế PTLG có mặt đề thi đại học trước khơng đòi hỏi học sinh nắm vững kiến thức mà phải có kĩ phân tích, biến đổi thành thạo Do giáo viên phải dạy cho học sinh biết cách phân tích, biến đổi để đưa PTLG cho dạng quen thuộc C NỘI DUNG I Kiến thức Trước bắt tay vào việc giải PTLG, em học sinh cần phải thuộc lòng tất công thức biến đổi lượng giác học lớp 10 Tiếp đến em phải nắm vững cách giải biện luận PTLG bản, nắm vững phương pháp giải PTLG đơn giản thường gặp Cụ thể sau: Phương trình lượng giác bản: a sinx = m (m tham số thực) +/ Nếu m > m < -1 phương trình vơ nghiệm  � 0, 2  : sin   m +/ Nếu 1 �m �1 phương trình có nghiệm là: x    k 2 � � x      k 2 , k �� � x  arcsin m  k 2 � � x    arcsin m  k 2 , k �� cơng thức nghiệm viết dạng: � */ Lưu ý: Các trường hợp đặc biệt: sin x  � x    k 2 (k ��) sin x  1 � x     k 2 (k ��) sin x  � x  k (k ��) b cosx = m (m tham số thực) +/ Nếu m > m < -1 phương trình vơ nghiệm  � 0, 2  : cos  m +/ Nếu 1 �m �1 phương trình có nghiệm là: x    k 2 � � x    k 2 , k �� � x  arc cosm  k 2 � � x   arccos m  k 2 , k �� cơng thức nghiệm viết dạng: � */ Lưu ý: Các trường hợp đặc biệt: cosx  � x  k 2 ( k ��) co s x  1 � x    k 2 (k ��) co s x  � x    k (k ��) c tanx = m (m tham số thực) +/ Phương trình ln có nghiệm với giá trị thực m +/ Công thức nghiệm: �  �  ��  , �: tan   m �2 2� Nếu phương trình có nghiệm là: x    k , k �� Ngược lại công thức nghiệm là: x  arctan m  k , k �� d cotx = m (m tham số thực) +/ Phương trình ln có nghiệm với giá trị thực m +/ Công thức nghiệm: Nếu  � 0,   : cot   m phương trình có nghiệm là: x    k , k �� Ngược lại cơng thức nghiệm là: x  arccot m  k , k �� Một số phương trình lượng giác đơn giản thường gặp a/ Phương trình bậc hàm số lượng giác Dạng phương trình: a.t  b  , a, b số biết, t hàm số lượng giác Cách giải: Rút t theo a b đưa phương trình lượng giác b/ Phương trình bậc hai hàm số lượng giác Dạng phương trình: at  bt  c  , a, b, c số biết, t hàm số lượng giác Cách giải: Dùng công thức nghiệm phương trình bậc hai, tính t theo a, b, c (nếu có) Rồi đưa PTLG c/ Phương trình bậc sinX cosX Dạng phương trình: a s inX  b cos X  c (1), a, b, c số biết a  b �0 Cách giải: Chia hai vế phương trình cho a  b , đưa phương trình ban đầu PTLG dạng bản: sin( X   )  Hoặc cos( X   )  c a  b , với c a  b , với  : cos =  : sin  = a a  b2 a a  b2 ,sin   , cos  b a2  b2 b a  b2 2 Điều kiện để phương trình (1) có nghiệm là: a  b �c d/ Phương trình bậc hai sinX cosX 2 Dạng phương trình: a sin X  b s inX cos X  ccos X=d (1), a, b, c,d 2 số biết a  b  c �0 Cách giải: Có thể giải theo hai cách sau: Cách 1: Xét hai trường hợp +TH1: cos X  , thay trực tiếp vào phương trình kết luận (lưu ý: cos X  � s in X  ) +TH2: cos X �0 chia hai vế phương trình cho cos X Biến đổi đưa PTB2 tanX sau: a tan X  b tan X  c  d (1  tan X ) s inX.cos X  sin X Cách 2: Dùng công thức nhân đôi công thức hạ bậc cos X   cos2X  cos2X s in X  2 , đưa phương trình phương trình bậc sin2X cos2X e/ Phương trình đối xứng sinX cosX Dạng phương trình: phương trình có mặt biểu thức: s inX+ cos X , s inX.cos X s inX-cos X , s inX.cos X Cách giải: Dùng ẩn phụ đặt t  s inX �cos X , sau rút s inX.cos X theo t đưa phương trình phương trình ẩn phụ f/ Phương trình đối xứng tanX cotX Dạng phương trình: phương trình có mặt biểu thức: tanX+ cot X , tan X+ cot X tanX- cot X , tan X+ cot X 2 Cách giải: Dùng ẩn phụ đặt t  tanX �cot X , sau rút tan X+ cot X theo t đưa phương trình phương trình ẩn phụ II/ Một số kỹ thuật giải nhanh phương trình lượng giác Dựa vào mối quan hệ cung Đôi việc giải PTLG xem xét mối quan hệ cung để từ kết hợp với cơng thức lượng giác, phép biến đổi lượng giác nhằm đưa PTLG vấn đề then chốt Chúng ta xét toán sau để thấy việc xem xét mối quan hệ cung quan trọng  s inx Ví dụ ( ĐH – A 2008) Giải phương trình: � 3 �x  Nhận xét: Từ xuất ba cung x , � �7 �  4sin �  x � � 3 � �4 � sin �x  � � � � �7 � � �  x� �và �4 �trong PTLG cho ta liên � 3 � �x  � tưởng đến việc đưa cung lượng giác � �và �7 � �  x� � �về cung x , 3 7 góc , xác định Việc biến đổi ta cần sử dụng công thức cộng học lớp 10 Cụ thể: � 3 sin �x  � 3 3 �  cosx.sin  cos x � s inx.cos 2 � 7 7 �7 � sin �  x � s in cosx  cos sinx=.(cos x  s inx) 4 �4 � �x �k s inx �0 � � ��  (k ��) � cos x �0 �x �  k � � LG: ĐK: Phương trình � 1   4 .(cos x  s inx) s inx cos x � cos x  s inx  2 2.s inxcosx.(cos x  s inx) � (cos x  s inx)(1  sin x)  tanx = -1 � cos x  s inx  � � �� � � sin x    sin x  � �   � � x    k x    k � � 4 � �   �� x    k 2 � � x    k  k �� � � � 5 � 5 � � 2x   k 2 x  k � � Kết hợp ĐK ta có nghiệm phương trình là: x   5  k ; x    k ; x   k (k ��) 8 Ví dụ ( ĐH – D 2006) Giải phương trình: cos3x  cos x  cos x   Nhận xét: Từ xuất ba cung x , 2x 3x PTLG cho ta liên tưởng đến việc đưa cung lượng giác cung x , cung x, 3x góc nhân đơi, nhân ba cung x Cụ thể: cos x  4cos3 x  3cos x cos x  2cos x  LG: Phương trình tương đương với: cos3 x  3cos x+2cos x    � cos3 x  cos x  cos x   � (2 cos x  1)(cos x  1)  2 � cos x   � x  �  k 2 � � (k ��) � 2 cos x  � s in x  � x  k � 2 x  �  k 2 ; x  k (k ��) Vậy nghiệm phương trình là: Cách khác: 3x  x x Ta thấy góc 2x đưa góc x cơng thức góc nhân đơi nên ta nhóm hạng tử, sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích cơng thức nhân đơi để đưa phương trình tích Cụ thể: Phương trình � cos3x  cos x  cos x   � (cos3x  cos x)  (cos2x-1)  � 2sin x.s inx  2sin x  � 2sin x.(1  cos x)  s inx  � � � � cosx=� tương tự cách Ví dụ ( ĐH – B 2003) Giải phương trình: 3cos x  8cos x  2cos x   Nhận xét 1: Từ xuất hai cung x , 4x PTLG cho ta liên tưởng đến việc đưa cung lượng giác cung x , cung 4x góc nhân đơi cung 2x 2x lại góc nhân đôi x Cụ thể: cos x  2cos 2 x  cos x  cos x  LG 1: Phương trình tương đương với: 3[2(2 cos x  1)2  1]  8cos6 x  cos x   � cos x  12 cos x  11cos x   Đặt t  cos x, �t �1 Khi phương trình trở thành: � � t 1(t / m) � 4t  12t  11t   � (t  1)(4t  8t  3)  � � t  (t / m) � � � t (l ) � 2 Với t  � cos x  � s inx  � x  k (k ��) Với t  � cos x    � 2cos x   � cos2x=0 � x   k (k ��) Vậy nghiệm phương trình là: x    k ; x  k ( k ��) Nhận xét 2: Từ xuất lũy thừa bậc chẵn cos cung x cho ta hướng biến đổi hai cung x 4x cung 2x Cụ thể: cos x  2cos x  cos x   cos2x LG2: Phương trình tương đương  cos2x � �  cos2x � � � 3(2cos x  1)  � � � �  � � � �  �  cos2x=0 x  k � � � cos2x(cos 2x-3cos2x+2)=0 � � � ( k ��) cos x  � � x  k � Ví dụ ( ĐH – D 2008) Giải phương trình: 2sin x(1  cos2x)  s in2x=1+cosx Nhận xét: Từ xuất hai cung x , 2x PTLG cho ta liên tưởng đến việc đưa cung lượng giác cung x , 2x góc nhân đơi x Cụ thể:  cos x  cos x s in x  s inx.cos x LG: Phương trình tương đương với: 4sin x.cos x  2sin x.cosx=1+2cosx � 2sinxcosx(1+2cosx)=1+2cosx �   cos x  (1  sin x)  2 � x  �  k 2 � � cosx=3 �� (k ��) �� �  � s in x  x   k � � Vậy nghiệm phương trình là: x  2  k ; x  �  k 2 ( k ��) Ví dụ Giải phương trình: 3sin 3x  3cos9x=1+4sin x Nhận xét: Từ xuất hai cung 3x , 9x PTLG cho ta liên tưởng đến việc đưa cung lượng giác cung 3x , ta có 9x góc nhân ba 3x Từ đưa phương trình cho phương trình bậc sin cos LG: Phương trình tương đương với: 3sin x  sin 3x  3cos9x=1 � sin9x- 3cos9x=1 2 �  x k � � � 18 � sin � x  � � � ( k ��) 7 2 3� � � x k � � 54 Vậy nghiệm phương trình là: x  2 7 2 k ;x  k (k ��) 18 54 Ví dụ (ĐH – B 2009) Giải phương trình: sinx  cosx.sin x  3cos3x=2(cos4x+sin x) Nhận xét: Ta thấy x + 2x = 3x, sin x chuyển sin3x dựa vào cơng thức góc nhân ba LG: Phương trình tương đương với: s inx  (sin x  s inx)  3cos3x=2(cos4x+ sinx- sin3x) 4 sin x  3cos3x=2cos4x � sin x  cos3x=cos4x 2  � x    k 2 �  � � � co s � x  � cos4x � � ( k ��)  2 � 6� � x k � � 42 Vậy nghiệm phương trình là: x   2  k 2 ; x  k (k ��) 42 Chú ý: Cách giải phương trình bậc sinX cosX áp dụng cho ' ' phương trình có dạng bậc nhất: a sin f ( x)  bcosf (x)=a sing(x)+b cosg(x) đó: a  b =a '2 +b '2 �0 sin x 1 Ví dụ Giải phương trình: 5s inx Nhận xét: Từ xuất hai cung 5x , x PTLG cho ta suy nghĩ tới việc làm để chuyển cung 5x cung x? LG: ĐK: s inx �0 Cách 1: Phương trình � sin x  5s inx � sin5x-sinx  4sin x � cos x.sin x  4sin x � 2(4 cos x  3cos x).2sin x cos x  4sin x � (4 cos x  3cos x).cos x  � cos x  3cos x   � cos x  � s inx  0(l ) �� � cos x   (l ) � Vậy phương trình cho vơ nghệm Cách 2: Phương trình tương đương sin x  5sinx � sin(3x+2x)  5sin x � sin 3x.cos2x+cos3x.sin2x=5sinx � (3sinx-4sin x)(2cos x-1)+(4cos3 x-3cosx).2sinxcosx=5sinx � 12sin x  20 cos3 x.sin x  � 3sin x  5cos x  (Vơ lý) Vậy phương trình cho vô nghệm sin x  cos x  cos 4 x � �  tan �  x � tan(  x) 4 � � Ví dụ 8( ĐHXD-1997) Giải phương trình: � � � �  �  x� �  x� 4 �và � �bằng PTLG Nhận xét: Ta thấy tổng hai cung �  � � � � tan �  x �tan �  x � �4 � �4 �= 1, cung 2x đưa cung 4x cơng thức góc nhân đơi ta thấy số mũ sin cos cung 2x số chẵn LG: ĐK: �  cos( -x) �0 �    � � cos( -x).cos( +x) �0 � (cos2x+cos ) �0 � cos x �0 �  4 2 � cos(  x) �0 � 4 4 Phương trình � cos x  s in 2x=cos x �  cos 2 x.s in 2x=cos 4 x �  sin x  cos 4 x �  (1  cos x)  cos 4 x � cos x  � cos 4 x  cos x   � � � cos x   (l ) �  � sin x  � x  k (k ��) � s in4x=0 � � � cos x  0( l ) � Kết hợp ĐK ta có nghiệm phương trình là: xk  (k ��) Biến đổi tổng thành tích ngược lại Trong PTLG xuất tích HSLG sin cos ta biến đổi thành tổng (mục đích tạo đại lượng giống để rút gọn) Còn xuất tổng ta biến đổi tích nhằm tạo nhân tử chung đưa vè phương trình tích Cơng thức biến đổi tổng thành tích: cos a  cos b=2cos ab a b cos 2 cos a  cos b=-2sin ab a b sin 2 sin a  sin b=2sin ab a b cos 2 sin a  sin b=2cos ab a b sin 2 Cơng thức biến đổi tích thành tổng: cosa.cosb= [cos(a+b)+cos( a  b)] sin a.sin b = [cos(a-b)-cos (a  b)] sina.cosb= [sin(a+b)+ sin( a  b)] Ví dụ Giải phương trình: sin x  sin x  sin x  sin x  sin x  sin x  Nhận xét: Khi giải phương trình mà gặp dạng tổng (hoặc hiệu) sin (hoặc cos) ta cần ý nhóm cung để cho tổng hiệu cung LG: Phương trình � (sin x  sin x)  (sin x  sin x)  (sin x  sin x)  � 2sin 7x 5x x 3x [(cos +cos )+cos ]  2 2 � 4sin 7x 3x cos (2cosx+1)  2 2 � � 7x x  k sin  � � � � x  2 �� cos  � � x k  k �� � � � � 2 � � cos x   x  �  k 2 � � 2 � xk � �  2 � x k  k �� � 3 � 2 � x  �  k 2 Vậy nghiệm phương trình là: � Ví dụ Giải phương trình: co s x  sin x  sin 3x  co s3x  2cos x Nhận xét: Trong vế trái phương trình xuất cặp tổng hiệu sin 3x  sin x x  3x  2x co s x  co s 3x , đồng thời , nên ta nghĩ đến việc áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích để làm xuất nhân tử chung cos2x LG: Phương trình � (sin 3x  sin x)  (cos3 x  cosx)  2cos x  � 2co s x.sin x  2co s x.cos x  2cos x  � co s x.(2sin x  2.cos x  2)   �  x  k � �  cos x  x   k � � �  � �� x   k 2  k �� �� � � 1�� � 12 � s inx  cos x  sin �x  � � � 7 � � � 4� � x  k 2 � 12  �  x  k � �  � x   k 2  k �� � 12 � 7 � x  k 2 Vậy nghiệm phương trình là: � 12 Ví dụ Giải phương trình: co s x  sin x  sin 3x  co s3x  2cos x Nhận xét: Trong vế trái phương trình xuất cặp tổng hiệu sin 3x  sin x x  3x  2x co s x  co s 3x , đồng thời , nên ta nghĩ đến việc áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích để làm xuất nhân tử chung cos2x LG: Phương trình � (sin 3x  sin x)  (cos3 x  cosx)  2cos x  � 2co s x.sin x  2co s x.cos x  2cos x  � co s x.(2sin x  2.cos x  2)   �  x  k �  � cos x  x   k � � �  �� �� x   k 2  k �� �� � �  12 � � � s inx  cos x  sin �x  � � 7 � � � � 4� � x  k 2 � 12  �  x  k � �  � x   k 2  k �� � 12 � 7 � x  k 2 Vậy nghiệm phương trình là: � 12 Ví dụ Giải phương trình: 3co s x  2sin x.co s x  s inx  Nhận xét: Từ xuất cung 2x, 3x, 5x 5x = 3x + 2x nên ta nghĩ đến việc dùng cơng thức biến đổi tích thành tổng nhằm tạo yếu tố giống để thu gọn LG: Phương trình � 3cos5 x  sin x  s inx  s inx  � 3cos5 x  sin x  2sin x � co s x  sin x  s inx 2   � �   x  x  k 2 x  k � �  � � 18 � sin �  x � s inx � � ��  k ��    �3 � � �  x    x  k 2 x  k � � �3 �  �  x  k � 18 �  k ��   � x  k � Vậy nghiệm phương trình là: � Bài tập tự luyện: Giải phương trình sau: 2co s x  co s x  co s x  co s x  3sin x  6co s x  9sin x  co s s in x  co s x  sin x  cos3 x  s in x  ta n x (co s x  s in x ).co s x.sin x  cos x.cos x (1  s in x).(3co s x  2sin x  4)  cos x  3 cos x  sin x  s inx  cos x 3 cos x  sin x  s inx  cos x 3 cos x  sin x  sin x  s inx+ cos x 3 10 cos x  sin x  sin x  s inx+ cos x Sử dụng công thức hạ bậc Khi giải PTLG mà bậc sin cos bậc chẵn ta thường tìm cách giảm bậc việc sử dụng cơng thức hạ bậc, từ đưa PTLG 2 2 Ví dụ ( ĐH – B 2002) Giải phương trình: sin 3x  cos x  sin x  cos x Nhận xét: Từ xuất bậc sin cos bậc chẵn ta thường tìm cách giảm bậc việc sử dụng công thức hạ bậc, kết hợp công thức biến đổi tổng thành tích để đưa phương trình tích LG: Phương trình tương đương với:  cos x  cos8 x  cos10 x  cos12 x    2 2 � (cos12 x  cos10 x )  (cos8 x  cos x)  � 2cos11x.cosx  2cos x.cos x  � 2cosx(cos11x  cos x)  � 4cos x.sin x.sin x   � x  k � x  k � �� �� (k ��) x  k   � � xk �  � xk � (k ��) �  � xk Vậy nghiệm phương trình là: � Chú ý: Có thể nhóm (cos12 x  cos8 x)  (cos10 x  cos x)  x �x  � sin �  �tan x  cos  �2 � Ví dụ ( ĐH – D 2003) Giải phương trình: Nhận xét: Từ xuất bậc sin cos bậc chẵn ta thường tìm cách giảm bậc việc sử dụng cơng thức hạ bậc, nhóm hạng tử thích hợp để đưa phương trình tích LG: ĐK: cos x �0 Phương trình tương đương với:  [1  cos( x  )]tan x  cosx  0 2 � (1  s inx) tan x   cosx  � (1  s inx) si n x  cos x(1  cosx )  � (1  s inx)(1  cos x)  (1  sin x)(1  cosx)  � (1  s inx)(1  cosx)(1  cos x)  (1  sin x)(1  s inx)(1  cosx)  � (1  s inx)(1  cos x)(s inx  cosx)  �  x   k 2 � sin x  � � � �� cos x  1 � � x    k 2 (k ��) � � s inx  cosx  � tanx=-1 � x=-  k � � x    k 2 � �  (k ��) � x=-  k Kết hợp ĐK ta có nghiệm phương trình là: � 2 Ví dụ ( ĐH – A 2005) Giải phương trình: co s 3x.cos x  cos x  LG: Phương trình tương đương với: (1  cos6 x).cos2 x  cos x  0 � co s x.cos x   2 � (co s8 x  cos x)   � 2co s x   cos x   cos4x=1 � � � 2co s x  cos x   � � cos x   (l ) � 2 � x  k 2 � x  k  (k ��) Vậy nghiệm phương trình là: xk  (k ��) 2 Ví dụ ( ĐH – B 2007) Giải phương trình: 2sin x  s in7 x   sinx LG: Phương trình tương đương với:  cos x  s in7 x   s inx � cos x  (s in7 x  s inx)=0 cos x  � � � co s x(2sin 3x  1)  � � sin 3x  � � co s x  2cos x sin x   �  �  x k x   k � � � �   2 �� x   k 2 � � x k (k ��) � 18 � � � 5 5 2 � � 3x   k 2 x k � � 18  �  x k � �  2 �� x k (k ��) � 18 � 5 2 � x k � 18 Vậy nghiệm phương trình là: Bài tập tự luyện: Giải phương trình sau 2 2co s x  cos x  4sin x cos x 2 2 sin x  sin x  3cos x  2 sin x  cos x  sin(10,5  10 x) sin 2 x  cos2 x  sin( 17  10 x)  sin ( x  )  cos x  2 sin x  co s 3x  cos x   sin ( x  )  sin x  sin ( x  )  4 8 cos3 x  sin x  2sin ( 5x  9x  )  2cos 2 x x  x sin s inx  cos sin x   2cos (  ) 2    cos x  2sin ( 2x  4 ) 2co s x  10 1 Sử dụng đẳng thức đáng nhớ đẳng thức lượng giác quen thuộc  s in2x=(sinx  cos x)  s in2x=(sinx- cos x) sin x  cos x  (s inx  cos x)(1  s inx.cosx) sin x-cos3 x  (s inx- cos x)(1  s inx.cosx) sin x+ cos x   2s in x.cos x   sin 2 x   cos x 4 sin x-cos x  (s in x- cos x)(s in x+cos x)  cos x   sinx  cos x  sin( x  )  2cos ( x  ) 4   sinx-cos x  sin( x  )   2cos( x  ) 4 sin x=1-cos x  (1  cosx)(1  cos x) cos x=1-sin x  (1  sin x)(1  sin x) x x (sin  cos )  cos x  2 Ví dụ ( ĐH – D 2007) Giải phương trình: x x sin  cos 2 ta nghĩ đến việc khai triển Nhận xét: Từ xuất bình phương tổng 2 bình phương sử dụng tính chất sin   cos   LG: Phương trình tương đương với: x x  2.cos s in  cos x  � sin x  cos x  2  � sin( x  )   �   � x    k  x    k 2 � � �� ��    � � x      k 2 x   k 2 � � �  � x    k 2 � ��  k ��  � x   k 2 � Vậy nghiệm phương trình là: Ví dụ ( ĐH – B 2003) Giải phương trình: cot x  tanx  4sin x  sin x Nhận xét: Trong phương trình xuất yếu tố sin, tang cotang mà ta biết gặp tốn lượng giác ta ln biến đổi biểu thức lượng giác nhiều yếu tố Do đóta nghĩ đến việc chuyển tang cotang sin cos theo định nghĩa LG: ĐK: s inx �0 � � cos x �0 � sin x �0 � � sin x �0 � Phương trình tương đương với: cos x s inx cos x  sin x   4s in2 x  �  4s in2 x  s inx cos x sin x s inx.cosx sin x � cos2x  4s in2 x  sin x s in2x 2 � cos x  2s in 2 x  � cos x  2(1  co s x)  � 2co s 2 x  cos x   cos x  � sin x  0(l ) � � � 2  � cos x   � x  �  k 2 � x  �  k (t / m) 3 �  � x    k � ��  k ��  � x   k � � Vậy nghiệm phương trình là:   sin x  cos x  cos( x  ).sin(3x  )   4 Ví dụ ( ĐH – D 2005) Giải phương trình: 4 Nhận xét: Từ xuất bình phương tổng sin x  cos x ta nghĩ đến việc hạ bậc   cos( x  ).sin(3 x  ) 4 theo công thức theo đẳng thức trên, sau biến đổi tích biến đổi tích thành tổng LG: Phương trình tương đương với: 1   sin 2 x  [ sin(4 x  )  sin x]   2 2 �  sin x  cos x  sin x   � sin 2 x  sin x     � sin x  � x   k 2 � x   k (k �Z) � � � sin x  2(l ) � Vậy nghiệm phương trình là: x   k (k �Z) Bài tập tự luyện: Giải phương trình sau 4 4(sin x  cos x)  3.sin x  2 2 (1  sin x) cos x  (1  cos x)s inx   sin x  sin x  cos x  cos x  s in2x  x cot x  s inx(1+tanx.tan )  4 cos x cot x   s in x- sin2x+  tanx cot x  tanx+ 2cos x sin x cos x(cos x  1)  2(1  s inx) sinx  cos x  1 sin( x  )  + s inx cosx 2(cos x  s inx)  cot x  tanx  cot x 2(cos6 x  sin x)  s inx.cos x 0  2sin x 10 9.Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Học sinh trang bị kiến thức công thức lượng giác công thức nghiệm PTLG bản, đồng thời nắm vững cách giải PTLG đơn giản 10 Đánh giá – Kết luận : Lượng giác ứng dụng lượng giác phần thiếu đề thi đại học từ trước đến nay, ngồi việc nắm vững cơng thức lượng giác, cách giải PTLG PTLG đơn giản em phải thục kĩ biến đổi, biết cách quan sát để đưa hướng biến đổi phù hợp để có kết nhanh Qua chuyên mục nhỏ hi vọng em có thêm kinh nghiệm bổ ích, để từ thêm tự tin gặp PTLG kì thi quan trọng Tài liệu khơng thể khơng mắc sai sót nhiều hạn chế hi vọng góp ý từ bạn đọc ………, Ngày… tháng… năm… Thủ trưởng đơn vị Chính quyền địa phương (Ký tên, đóng dấu) ………., Ngày… tháng… năm… Tác giả sáng kiến (Ký, ghi rõ họ tên) ... �� Một số phương trình lượng giác đơn giản thường gặp a/ Phương trình bậc hàm số lượng giác Dạng phương trình: a.t  b  , a, b số biết, t hàm số lượng giác Cách giải: Rút t theo a b đưa phương. .. đưa phương trình lượng giác b/ Phương trình bậc hai hàm số lượng giác Dạng phương trình: at  bt  c  , a, b, c số biết, t hàm số lượng giác Cách giải: Dùng công thức nghiệm phương trình bậc... đưa phương trình phương trình ẩn phụ II/ Một số kỹ thuật giải nhanh phương trình lượng giác Dựa vào mối quan hệ cung Đôi việc giải PTLG xem xét mối quan hệ cung để từ kết hợp với cơng thức lượng