một số kỹ thuật giải nhanh phương trình lượng giác

Giáo viên: Nguyn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com D: 01694 013 498 1 (DÙNG CHO ÔN THI TN – C – H 2011) Gi tng: www.Mathvn.com Bm sn. 08.05.2011 www.MATHVN.com www.mathvn.com Giáo viên: Nguyn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com D: 01694 013 498 2 MT S K THUT GII PHNG TRÌNH LNG GIÁC Chú ý: V s suy bin ca các cung trong các công thc đã hc  trng ph thông Ví d nh các công thc sau 2 2 sin cos 1 x x   2 2 cos 2 2cos 1 1 2sin x x x     sin 2 2sin cos x x x  3 sin 3 3sin 4sin x x x   … Là nhng công thc chúng ta đã đc hc  trng ph thông, bây gi ta th xem các công thc sau đúng hay không 2 2 sin 2 cos 2 1 x x   2 2 cos 4 2cos 2 1 1 2sin 2 x x x     sin 4 2sin 2 cos 2 x x x  3 sin 9 3sin 3 4sin 3 x x x   …Hoàn toán đúng, vy t đây ta có th khái quát và m rng nh sau Vi 0 k  ta có 2 2 sin cos 1 kx kx   2 2 cos 2 2 cos 1 1 2sin kx kx kx     sin 2 2sin cos kx kx kx  3 sin 3 3sin 4sin kx kx kx   1. Da vào mi quan h gia các cung ôi khi vic gii phng trình lng giác khi xem xét mi quan h gia các cung đ t đó kt hp vi các công thc lng giác, các phép bin đi lng giác đ đa v các phng trình c bn là mt vn đ rt “then cht” trong vic gii phng trình lng… chúng ta xét các bài toán sau đ thy đc vic xem xét mi quan h gia các cung quan trng nh th nào Bài 1: (H – A 2008) Gii phng trình: 1 1 7 4.sin 3 sin 4 sin 2 x x x                   Nhn xét: T s xut hin hai cung 3 2 x   và 7 4 x   mà chúng ta liên tng đn vic đa hai cung hai v cùng mt cung x.  làm đc điu này ta có th s dng công thc bin đi tng thành tích hoc công thc v các góc đc bit Gii: S dng công thc bin đi tng thành tích www.MATHVN.com www.mathvn.com Giáo viên: Nguyn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com D: 01694 013 498 3 Ta có 3 3 3 sin sin .cos cos .sin cos 2 2 2 x x x x                    7 7 7 2 sin sin cos cos .sin sin cos 4 4 4 2 x x x x x                  S dng công thc v các góc đc bit Ta có 3 3 sin sin 2 sin cos 2 2 2 x x x x                              Hoc 3 sin sin 2 sin cos 2 2 2 x x x x                                      7 7 2 sin sin 2 sin sin cos 4 4 4 2 x x x x x                                  Hoc   7 2 sin sin 2 sin sin cos 4 4 4 2 x x x x x                                       Chú ý:     sin 2 sin , cos 2 cos x k x k x k x             và     sin 2 sin , cos 2 cos x k x k x k x                   iu kin: sin 0 sin 2 0 , cos 0 2 x x x k k x             Phng trình 1 1 4sin sin cos 4 x x x               sin cos 2 2 sin .cos sin cos x x x x x x          sin cos 2 2 sin .cos 1 0 x x x x     tan 1 sin cos 0 2 2 2 sin .cos 1 0 sin 2 2 x x x x x x                   4 4 2 2 , 4 8 5 5 2 2 4 8 x k x k x k x k k x k x k                                                   Kt hp vi điu kin ta đc nghim ca phng trình là 4 x k      ; 8 x k      ; 5 8 x k     vi k   www.MATHVN.com www.mathvn.com Giáo viên: Nguyn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com D: 01694 013 498 4 s:   5 , , , 4 8 8 x k x k x k k                 Bài 2: (H – D 2006) Gii phng trình: cos 3 cos 2 – cos – 1 0 x x x   Gii: T vic xut hin các cung 3x và 2x chúng ta ngh ngay đn vic đa cùng v mt cung x bng công thc nhân ba và nhân đôi ca hàm cos Phng trình 3 2 4cos 3cos 2cos 1 cos 1 0 x x x x        3 2 2 cos cos 2 cos 1 0 x x x          2 2cos 1 cos 1 0 x x       2 1 cos 2 cos 1 sin 0 2 sin 0 x x x x              2 2 ; 3 x k k x k               s:   2 2 , 3 x k x k k          Cách 2: Nhn xét: Ta có 3 2 x x x   và cung 2x cng biu din qua cung x chính vì th ta ngh đn nhóm các hng t bng cách dùng công thc bin tích thành tng và công thc nhân đôi đa v phng s trình tích       2 2 cos3 cos – 1 cos2 0 2sin 2 .sin 2sin 0 2sin 2cos 1 0 x x x x x x x x           … tng t nh trên Chú ý: Công thc nhân ba cho hàm cos và sin không có trong SGK nhng vic nh đ vn dng thì không khó Công thc nhân ba 3 3 cos3 4 cos 3cos , sin 3 3sin 4sin x x x x x x     Chng minh: Da vào công thc bin đi tng thành tích và công thc nhân đôi Ta có         2 2 2 2 3 cos3 cos 2 cos 2 .cos sin 2 .sin 2cos 1 cos 2cos .sin 2 cos 1 cos 2cos 1 cos 4cos 3cos x x x x x x x x x x x x x x x x x              Tng t cho sin 3 x Bài 3: (HDB – 2003) Gii phng trình: 6 2 3cos 4 – 8cos 2 cos 3 0 x x x    Gii: Nhn xét 1: T s xut hin cung 4x mà ta có th đa v cung x bng công thc nhân đôi nh sau www.MATHVN.com www.mathvn.com Giáo viên: Nguyn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com D: 01694 013 498 5   2 2 4 2 cos 4 2cos 2 1 2 2cos 1 1 8cos 8cos 1 x x x x x         Cách 1: Phng trình 6 4 2 4cos 12 cos 11cos 3 0 x x x     (pt bc 6 chn) t 2 cos , 0 1 t x t    Khi đó ta có 3 2 1 4 12 11 3 0 1 2 t t t t t            … bn đc gii tip đc nghim , , 4 2 x k k k        Nhn xét 2: T s xut hin các ly tha bc chn ca cos mà ta có th chuyn v cung 2x bng công thc ha bc và t cung 4x ta chuyn v cung 2x bng công thc nhân đôi Cách 2: Phng trình     3 2 2 1 cos 2 1 cos 2 3 cos 2 1 8 2 3 0 cos 2 2 cos 2 3cos 2 2 0 2 2 cos 2 0 , 4 2 cos 2 1 x x x x x x x x k k x x k                                           Nhn xét 3: T s xut hin các h s t l vi nhau mà ta liên tng đn vic nhóm các hng t và đa v phng trình tích Cách 3: 0)1cos2)(1cos2(cos22cos60)1cos4(cos2)4cos1(3 222242  xxxxxxx 2 2 2 2 2 6 cos 2 2cos (2cos 1)cos 2 0 cos 2 3cos 2 cos (2cos 1) 0 x x x x x x x x             2 4 2 cos 2 0 4 2 3(2cos 1) 2cos cos 0 k x x x x x                 Phng trình 2 4 2 2 cos 1 sin 0 2 cos 5 cos 3 0 3 cos ( ) 2 x x x k x x x loai                   s: , , 4 2 x k k k        Bài 4: (H – D 2008) Gii phng trình:   2sin 1 cos 2 sin 2 1 cos x x x x     Gii: Nhn xét: T s xut hin ca cung 2x và cung x mà ta ngh ti vic chuyn cung 2x v cung x bng các công thc nhân đôi ca hàm sin và cos t đó xut hin nhân t chung  hai v Phng trình 2 4sin .cos 2sin .cos 1 2 cos x x x x x     2sin .cos (1 2 cos ) 1 2cos x x x x     www.MATHVN.com www.mathvn.com Giáo viên: Nguyn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com D: 01694 013 498 6 (1 2 cos )(sin 2 1) 0 x x     1 cos 2 sin 2 1 x x         2 2 3 4 x k x k                 s:   2 2 , , 3 4 x k x k k            Bài 5: Gii phng trình 3 3sin 3 3 cos9 1 4sin 3 x x x    Gii: Nhn xét: T s xut hin các cung 3x và 9x ta liên tng ti công thc nhân ba cho sin và cos t đó đa v phng trình bc nht đi vi sin và cos 3 3sin 3 4 sin 3 3 cos 9 1 sin 9 3 cos9 1 x x x x x        2 1 3 1 1 18 9 sin 9 cos9 sin 9 7 2 2 2 2 3 2 54 9 x k x x x k x k                               Bài 6: (HM – 1997) Gii phng trình sin 5 1 5sin x x  Gii: iu kin: sin 0 x  Phng trình sin 5 5sin sin 5 5sin x x x x     Nhn xét: T vic xut hin hai cung 5x và x làm th nào đ gim cung đa cung 5x v x… có hai hng Hng 1: Thêm bt và áp dng công thc bin đi tích thành tng và ngc lai sin 5 sin 4sin 2cos3 sin 2 4sin 4 cos3 sin cos 4sin cos 3 cos 1 x x x x x x x x x x x x          2 3 cos ( ) cos 4 cos 2 2 2cos 2 cos 2 3 0 2 cos 2 1 x loai x x x x x                2 1 cos 2 0 2sin 0 sin 0 ( ) x x x loai        Vy phng trình vô nghim Hng 2: Phân tích cung 5 2 3 x x x   , áp dng công thc bin đi tng thành tích kt hp vi công thc nhân hai, nhân ba          2 3 2 2 3 2 2 sin 3 2 5sin sin 3 cos 2 sin 2 cos3 5sin 3sin 4 sin cos sin 2sin cos 4 cos 3cos 5sin sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x             5 3 3 2 2 12sin 20 cos sin 0 3sin 5cos 0 x x x x x       … vô nghim www.MATHVN.com www.mathvn.com Giáo viên: Nguyn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com D: 01694 013 498 7 Bài 7: (H – D 2002) Tìm   0;14 x  nghim đúng phng trình: cos 3 – 4cos 2 3cos 4 0 x x x    Gii: Phng trình   3 2 4 cos 3cos 4 2cos 1 3cos 4 0 x x x x        3 2 2 cos 2 cos 0 cos (cos 2) 0 x x x x       cos 0 2 x x k        Vì   0;14 x  nên 0 14 2 k      s: 3 5 7 ; ; ; 2 2 2 2 x x x x         Bài 8: (HTL – 2000) Gii phng trình sin 3 sin 5 3 5 x x  Gii: Phng trình       2 5sin 3 3sin 4 5sin 3 4sin 3 sin cos4 cos sin 4 x x x x x x x x x                 2 2 2 2 5sin 3 4 sin 3sin cos 4 4 cos cos 2 sin 0 5 3 4 sin 3 cos 4 4cos cos 2 * x x x x x x x x k x x x x                Phng trình       2 * 5 3 2 1 cos 2 3 2cos 2 1 cos 2 cos 2 x x x x              2 5 1 cos 2 6 2 12cos 2 4cos 2 5 0 1 cos 2 3 2 x x k x x x k x                                Bài 9: (H – D 2009) Gii phng trình: 3 cos5 2sin 3 cos 2 sin 0 x x x x    Gii: Nhn xét: T s xut hin các cung 5x, 3x, 2x, x và 3 2 5 x x x   ta ngh ngay ti vic áp dng công thc bin đi tng thành tích đ đa v cung 5x. Còn cung x thì th nào hãy xem phn chú ý Phng trình 3 cos5 sin 5 sin sin 0 x x x x      3 1 cos5 sin 5 sin 2 2 x x x    www.MATHVN.com www.mathvn.com Giáo viên: Nguyn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com D: 01694 013 498 8 12 3 sin 5 sin 3 6 2 x k x x k x k                             s:   , , 18 3 6 2 x k x k k            Chú ý: - i vi phng trình bc nht vi sin và cos là sin cos a x b x c   hc sinh d dàng gii đc nhng nu gp phng trình sin cos 'sin 'cos , 0,1 a x b x a kx b kx k     thì làm th nào, c bình tnh nhé, ta coi nh hai v ca phng trình là hai phng trình bc nht đi vi sin và cos thì cách làm tng t - Vi ý tng nh th ta có th làm tng t bài toán sau Bài 10: (H – B 2009) Gii phng trình:   3 sin cos sin 2 3 cos3 2 cos 4 sin x x x x x x     Gii: Phng trình   2 sin 1 2sin cos .sin 2 3 cos3 2cos4 x x x x x x      1 3 sin 3 3 cos 3 2cos 4 sin 3 cos3 cos 4 2 2 x x x x x x       cos 4 cos 3 6 x x           4 3 2 6 x x k                2 6 2 42 7 x k k x k                   Hoc:   1 3 1 sin sin 3 sin 3 cos3 2(cos 4 sin sin 3 ) 2 4 4 x x x x x x x        1 3 3 1 sin 3 sin 3 cos3 2cos 4 sin sin 3 2 2 2 2 x x x x x x       1 3 sin 3 3 cos 3 2cos 4 sin 3 cos3 cos 4 2 2 x x x x x x       s:   2 , 2 , 42 7 6 k x x k k            Tng t: (C – A 2004) Gii phng trình: 3 2 cos cos 2sinsin    x x xx HD: iu kin: 3 2 202coscos   k xkxxx  www.MATHVN.com www.mathvn.com Giáo viên: Nguyn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com D: 01694 013 498 9 xxxxxxxx sin 2 1 cos 2 3 2sin 2 1 2cos 2 3 2cos3cos32sinsin  3 2 9 2 6 cos 6 2cos    k xkxxx                Bài 11: (HXD – 1997) Gii phng trình: 4 4 4 sin 2 cos 2 cos 4 tan tan 4 4 x x x x x                   Gii: Nhn xét: T tng hai cung 4 4 2 x x                    nên tan tan 1 4 4 x x                  và cung 2x có th đa v cung 4x bng công thc nhân đôi iu kin: cos 0 4 1 cos .cos 0 cos 2 cos 0 cos 2 0 4 4 2 2 cos 0 4 x x x x x x                                                        Phng trình 4 4 4 2 2 4 2 4 1 sin 2 cos 2 cos 4 1 2sin cos 2 cos 4 1 sin 4 cos 4 2 x x x x x x x x                2 2 4 4 2 2 cos 4 1 1 1 1 cos 4 cos 4 2cos 4 cos 4 1 0 1 2 sin 4 2 sin 2 0 sin 4 0 , cos 2 0 2 x x x x x x loai x k x x k x loai                               Chú ý: - Chc hn các bn s ngc nhiên bi cách gii ngn gn này, nu không có s nhn xét và tng hai cung mà quy đng và bin đi thì…ra không - Vic gii điu kin và đi chiu vi điu kin đc bit là nhng phng trình lng giác có dng phân thc nh trên nu không khôn khéo thì rt … phc tp. - Vi ý tng nhn xét v tng các cung trên ta có th làm tng t bài toán sau (HGTVT – 1999) Gii phng trình: 4 4 7 sin cos cot cot 8 3 6 x x x x                   www.MATHVN.com www.mathvn.com Giáo viên: Nguyn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com D: 01694 013 498 10 s: , 12 2 k x k        Bài 12: (HTL – 2001) Gii phng trình: 3 1 3 sin sin 10 2 2 10 2 x x                  Gii: Nhn xét: Nhìn vào phng trình này ta ng dùng công thc bin đi sin ca mt tng… nhng đng vi làm nh th khó ra lm ta xem mi quan h gia hai cung 3 10 2 x   và 3 10 2 x   có mi quan h vi nhau nh th nào Tht vy 3 3 9 3 3 sin sin sin sin 3 10 2 10 2 10 2 10 2 x x x x                                      t đó ta đt 3 10 2 x t    và s dng công thc nhân ba là ngon lành Phng trình     3 2 2 sin 0 1 1 sin sin 3 sin 3sin 4sin sin 1 sin 0 2 2 1 sin 0 t t t t t t t t t               TH 1: 3 sin 0 2 , 5 t t k x k k            TH 2: 2 1 cos 2 1 3 1 sin 0 1 0 cos 2 2 4 , 2 2 6 5 6 t t t t k x k k                        Chú ý: - Nu không quen vi cách bin đi trên ta có th làm nh sau 3 3 3 2 10 2 5 10 2 x x t x t t              - Vi cách phân tích cung nh trên ta có th làm bài toán sau a. (BCVT – 1999) Gii phng trình: ) 4 sin(2sin) 4 3sin(    xxx đt 4 t x    s: 4 2 k x      b. (HQGHN – 1999) Gii phng trình: 3 8cos cos3 3 x x          đt 3 t x    www.MATHVN.com www.mathvn.com [...]... sin( 2 x 6 2 Bi Bài 1: Gi ng trình : sin x sin 2 x sin 3x sin 4 x sin 5 x sin 6 x 0 Gi Nh Khi gi ho g trình mà g ình sin 6 x sin x www.mathvn.com (ho sin 5 x sin 2 x ) ta c sin 4 x sin 3x cung 0 11 Giáo viên: Nguy 2sin 7x 2 cos www.MATHVN.com ành Long 5x 2 cos x 2 x k2 7 7x 0 2 3x cos 0 2 2 cos x 1 0 sin x cos k2 3 3 2 3 x 3x 2 0 ;k 4sin 7x 3x cos 2 cos x 1 2 2 0 Z k2 ng trình : cos 3x cos 3 x sin 3... cos x sin x cos x ình này ta x k2 , k 4 à cos) 0 v cos 2 1 2 ình: 2sin 2 2 x sin 7 x 1 sin x – B 2007) Gi Bài 9 1 sin x 4 1 sin x Gi Nh T à th 7x x 2 2.2 x chính vì th h b và áp d ành tích sin 7 x sin x trình 2 cos 4 x.sin 3x cos 4 x 1 2sin 2 2 x 0 0 cos 4 x 0 cos 4 x 2 sin 3 x 1 4x 3x 3x x 2 6 5 6 18 k k2 k2 k 2 ;x 3 www.mathvn.com 0 x sin 3 x 8 1 2 k 4 2 ,k x k 18 3 5 2 x k 18 3 5 2 , k k 18 3 19 Giáo... x.sin x 2 cos x.cos x 2 sin x.sin cos x.cos x 2 Email: Loinguyen1310@gmail.com x 2 cos x 2 cos x.cos x 2 1 cos x ình sin x cos x tan x cos x cos 2 x x cos x (1 cos x ) 0 cos x 1(cos x 0) x k2 k2 ;k x trình: cot x sin x(1 tan x tan ) 2 – B 2006) Gi Bài 12 4 Gi sin x 0 cos x 0 x cos 0 2 ình x k 2 ,k sin x cot x sin x 1 cos x x 2 x cos 2 sin x x sin x.sin 2 2 sin x x cos x.cos 2 x cos 2 sin x 4 x cos . gii phng trình lng giác khi xem xét mi quan h gia các cung đ t đó kt hp vi các công thc lng giác, các phép bin đi lng giác đ đa. phng trình lng giác gp bc ca sin và cos là bc nht ta thng gim bc bng cách s dng các công thc h bc… t đó đa v các phng trình c