một số kỹ thuật giải nhanh phương trình lượng giác

(DÙNG CHO ÔN THI TN – C – H 2011)

G i t ng: www.Mathvn.com

B m s n 08.05.2011

cos 2x2 cos x  1 1 2sin x

sin 2x2 sin cosx x

3sin 3x3sinx4 sin x…

Là nh ng công th c chúng ta đã đ c h c tr ng ph thông, bây gi ta th xem các công th c sau đúng hay không

sin 2xcos 2x 1

cos 4x2 cos 2x  1 1 2 sin 2x

sin 4x2 sin 2 cos 2x x

3sin 9x3sin 3x4sin 3x…Hoàn toán đúng, v y t đây ta có th khái quát và m r ng nh sau

V i k 0 ta có

sin kxcos kx 1

cos 2kx2 cos kx  1 1 2 sin kx

sin 2kx2sinkxcoskx

3sin 3kx3sinkx4 sin kx

1 D a vào m i quan h gi a các cung

ôi khi vi c gi i ph ng trình l ng giác khi xem xét m i quan h gi a các cung đ t đó k t h p v i các công th c l ng giác, các phép bi n đ i l ng giác đ đ a v các ph ng trình c b n là m t v n

đ r t “then ch t” trong vi c gi i ph ng trình l ng… chúng ta xét các bài toán sau đ th y đ c vi c xem xét m i quan h gi a các cung quan tr ng nh th nào

Ta có sin 3 sin cos3 cos sin3 cos

cos 3x4 cos x3cos , sin 3x x3sinx4 sin x

Ch ng minh: D a vào công th c bi n đ i t ng thành tích và công th c nhân đôi

cos 3 cos 2 cos 2 cos sin 2 sin 2 cos 1 cos 2 cos sin

2 cos 1 cos 2 cos 1 cos 4 cos 3cos

Cách 3:

0)1cos2)(

1cos2(cos22cos60)1cos4(cos2)4

T vi c xu t hi n hai cung 5x và x làm th nào đ gi m cung đ a cung 5x v x… có hai h ng

H ng 1: Thêm b t và áp d ng công th c bi n đ i tích thành t ng và ng c lai

1 cos 2x 0 2 sin x 0 sinx 0 (loai)

Bài 7 : ( H – D 2002) Tìmx0;14 nghi m đúng ph ng trình: cos 3 – 4 cos 2x x3cosx 4 0

32

- i v i ph ng trình b c nh t v i sin và cos là asinxbcosxc h c sinh d dàng gi i đ c nh ng n u

g p ph ng trình sina xbcosxa'sinkxb'coskx k, 0,1 thì làm th nào, c bình t nh nhé, ta coi nh hai v c a ph ng trình là hai ph ng trình b c nh t đ i v i sin và cos thì cách làm t ng t

- V i ý t ng nh th ta có th làm t ng t bài toán sau

2sinsin







x x

x x

HD:

i u ki n:

3

22

02cos

x k x x

x     

x x

x x

x x

x

2

1cos2

32

sin2

12cos2

32

cos3cos32sin



3

29

26

cos6

2

x k x x

- Vi c gi i đi u ki n và đ i chi u v i đi u ki n đ c bi t là nh ng ph ng trình l ng giác có d ng phân th c

nh trên n u không khôn khéo thì r t … ph c t p

- V i ý t ng nh n xét v t ng các cung trên ta có th làm t ng t bài toán sau

Nhìn vào ph ng trình này ta ng dùng công th c bi n đ i sin c a m t t ng… nh ng đ ng v i làm nh th

khó ra l m ta xem m i quan h gi a hai cung 3

có m i quan h v i nhau nh th nào

2sin)43

x x x

s:

6

2

,3

2

7cos(

3)

x k

i v i bài này mà s d ng công th c nhân ba c a sin và cos thì c ng ra nh ng ph c t p h n, chính vì th mà

ta khéo léo phân tích đ áp d ng công th c bi n đ i tích thành t ng

s: 2

3

7,

7

26

s:

22

22

2

k x

T s xu t hi n b c ch n c a hàm sin và t ng hai cung 6 2 4

cos 2x cos 4x cos 6x 0 cos 4 (2 cos 2x x 1) 0

(sin cos )(1 sin cos cos sin ) 0

Khi 1 sin cos x xcosxsinx0

t cos sin sin cos 1 2

Chú ý: Vì cosx 0 sinx 1 nên ta lo i ngay đ c 2

Khi cos 2x 1 thì

3cos 6x4 cos 2x3cos 2x  1

V y h trên t ng đ ng sin 2x0 cho ta nghi m

42sin2cos3

3sin

2

120sincos31

cos22cos1cos

1cos

33

03

k x

x x

k k x

k k x

54(sin

s:

,4

k x

k x

sin cos 2 sin 2 cos

1 sin cos (1 sin ) cos

x x

2sin

22

sin4tan

sin cos sin cos sin 2

2sin 2

1

x t

t x

bài xu t hi n cung 2x, ta ngh xem li u hi u 6 6

cos xsin x có bi u di n qua cung 2x đ có nhân t chung hay không ta làm nh sau

2(sin 2 cos 2 ) 2(sin 2 cos 2 )

;5

24

cos

x x

x x

2sin8

12

cot2

12

sin5

92cos52cos8

12cos2

15

2sin2

118

12cos2

15

cos.sin

2

2 2

x x

x

loai x

62

12

cos

)(2

92

cos

32

0cos

x x

)cos1(coscos

sincos

cos

x

x x

x x

x x

loai x

x x

x x

x x

x x

x x

x

32

12

cos

)(1

2

cos

012cos2cos24cos2

coscos

.sin

4coscos

2

x x

cosx 3 sinx sin 2x 3 1 2 sin x

cosx 3 sinx sin 2x 3 cos 2x

Ho c: cos cos2 1 sin

1 sin cos (1 sin ) cos

x x

x x

x x

 t đó ta

đ t t tanx

Cách 2:

,3

k k

s:  

1,2

4

i u ki n: cos 0 sin 2 0

sin 2 0

x

x x

32

Ta có: cos 3xsin 3x4 cos3 x3cosx3sinx4sin3 x

4(cosxsin )(1 sin cos )x  x x 3(cosxsin )x (cosxsin )(1 4 sin cos )x  x x

Và 1 2 sin 2 x 1 4sin cosx x

D ng 5: asinxcosxbsin cosx x c 0

2

t

D ng 6: asinxcosxbsin cosx x c 0

t

2

2

1sin

2cos 2 , 1

1cos

2

t x

t x

2 12

11

212

2(tanx cot )x 2(tanx cot ) 8x 0

- Khi t    4 tanxcotx  4 sin cos 2 2

k

k x

Bài 6: (DL – 1997) Gi i ph ng trình: tanxcotx2 sin 2 xcos 2x

k x

k k x

t t atanxbcotxa2 tan2 xb2cot2 x t2 2ab

Thay vào ph ng trình ban đ u ta đ c m t ph ng trình b c 2 theo t

x x

x x

a Môt s bài toán c b n

Bài 1: ( HNT – D 1997) Gi i ph ng trình 2 tan cot 3 2

sin 2 sin cos 2 cos

8 cos cos 8 cos cos 2 sin

8cos cos 2 sin 1cos 2 sin

i u ki n cos 0

sin 0

x x

3cos (2 sin 1) (2sin 1)(sin 2) 0

(2 sin 1)(3cos sin 2) 0

Ph ng trình     2 2 sin 2 cos 2

4 sin 4 sin 2 cos 2 cos 2 cos 3 4sin 4 sin cos 3 cos 2 cos 3

4 sin 4 sin cos 3 cos 8sin 2 cos 2 sin 2sin 2 sin (*)

2 sin cosx x 2 sinx

sin 2 (cos 3) 2 3.cos 3 3.cos 2 8( 3.cos sin ) 3 3 0

2 sin cos 6 sin cos 2 3.cos 6 3 cos 3 3 8( 3.cos sin ) 3 3 0

2cos1

x x x

Bài 15 : ( H – D 2004) Gi i ph ng trình: 2 cos – 1 2 sinx  xcosxsin 2 – sinx x

;4

cos (2 sin 1) (2sin 1)(sin 2) 0

(2 sin 1)(cos sin 2) 0

1 2

,2

30cos6cos

cossin2sincos

12

cos2

12cos14

1cos

4

1cos

2

1cos

cos1(cos)cos1()cos1)(

1cos0

2cos5cos

)1(coscos2

x x

x

x1

x2xx

2 2 2 2

(cos sin )(cos sin ) 0

Góp ý theo đ a ch Email: Loinguyen1310@gmail.com ho c đ a ch : Nguy n Thành Long

S nhà 15 – Khu ph 6 – Ph ng ng c tr o – Th xã b m s n – Thành ph thanh hóa

“Vì m t ngày mai t i sáng, các em hãy c lên, chúc các em h c t t và đ t k t qu cao… chào thân ái”