Phương trinh lượng giác có giải chi tiết

PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC NHẤT VỚI SINX, COSX 1.. Phương trình đẳng cấp bậc nhất, bậc hai, bậc ba với sinx, cosxII.. Phương trình đẳng cấp bậc nhất, bậc hai, bậc ba với sinx, cosxBài 4..

Trang 1

Bài 1 PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC NHẤT VỚI SINX, COSX

1 Phương pháp chung: a sin x b + cos x c a = ; 2 +b2 > (1) 0

2 Các bài tập mẫu minh họa

Bài 1 Giải phương trình: 3sin 3 x − 3 cos 9 x = +1 sin 33 x

Trang 2

Bài 3 Giải phương trình: 2 2 sin ( x +cos x )cos x = +3 cos 2x (1)

⇔ < ⇔ < (đúng) Vậy (1) vô nghiệm

Bài 4 Giải phương trình: 3sin ( ) 4 sin ( ) 5 sin 5 ( ) 0

4 sin x cos 3 x +4 cos x sin 3 x +3 3 cos 4 x= (1) 3

Trang 3

Bài 7 Giải phương trình: sinx+5 cosx= (1) 1

t x t

−

=+ , khi đó

Trang 4

t x t

−

=+ , khi đó ( )1 ⇔2t+( 3−2 1) ( −t2)= +1 t2 ⇔(1− 3)t2 +2t+( 3−3)= 0

Trang 5

Bài 1 Phương trình đẳng cấp bậc nhất, bậc hai, bậc ba với sinx, cosx

II PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC 2 VỚI SINX, COSX

1 Phương pháp chung

a x+b x x+c x+d= với a2 +b2 +c2 >0 1( )

Bước 1: Xét cos x= có là nghiệm của (1) hay không 0 ⇔a+d= 0

Bước 2: Xét a+d≠ ⇒0 cosx= không là nghiệm của (1) 0

Chia 2 vế của (1) cho cos2 x≠ ta nhận được phương trình 0

Bài 1 a Giải phương trình: sin2 x+2 sin cosx x+3cos2 x− = 3 0

b Giải phương trình: sin2 x−3sin cosx x+ = 1 0

Giải

sin x+2 sin cosx x+3cos x− = (1) 3 0

Nếu cosx= là nghiệm của (1) thì từ (1) 0

⇒ Vô lý Chia 2 vế của (1) cho cos2 x≠ ta nhận được 0

( )1 ⇔tan2 x+2 tanx+ −3 3 1( +tan2 x)= ⇔0 2 tanx−2 tan2 x= 0

b sin2 x−3sin cosx x+ = (2) 1 0

Nếu cosx= là nghiệm của (2) thì từ (2) 0 cos2 0

x x

Chia 2 vế của (2) cho cos2 x≠ ta nhận được phương trình 0

( )2 ⇔tan2 x−3 tanx+(1+tan2 x)= ⇔0 2 tan2 x−3 tanx+ =1 0

Trang 6

Bài 2 a Giải phương trình: 4 3 sin cos 4 cos2 2 sin2 5

Trang 7

Bài 4 Giải phương trình: 7 sin2 x+2 sin 2x−3cos2 x−3 153 = (1) 0

11

x x

Trang 8

(tan ) ( 1 tan) 2( 1 tan) 2 1 0

1

m m

cos x−sin cosx x−2 sin x−m−0 1

a Giải phương trình (1) khi m= 1 b Giải biện luận theo m

Giải

a Với m= ta có ( )1 1 ⇔cos2 x−sin cosx x−2 sin2x− = 1 0

(cosx 3sinx)sinx 0 sinx 0 co tgx 3 cotg x {k ; k }

• m≠ thì ( )0 1 ⇔mtan2 x+4 tanx+ = với 2 0 ∆ = −′ 4 2m

+ Nếu m> thì (1) vô nghiệm; Nếu 2 m= thì tan2 1

Trang 9

III PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC 3 VỚI SINX, COSX

Bước 1: Xét cos x= có là nghiệm của phương trình hay không 0

Bước 2: Xét cos x≠ không là nghiệm của phương trình Chia 2 vế của (1) 0

ta nhận được phương trình bậc 3 ẩn tan x

Bước 3: Giải và biện luận phương trình bậc 3 ẩn tg x

Bài 1 Giải phương trình: 4 sin3x+3 cos3 x−3sinx−sin2 xcosx=0 1( )

Giải

Nếu cosx= là nghiệm của (1) thì từ (1) suy ra 0

4 sin 3 sin 0 4 sin 3 sin 0

Trang 10

Bài 3 Giải phương trình: 1 3sin 2+ x=2 tanx

Trang 11

Chia 2 vế của (1) cho cos3 x≠ ta có ( )0 ( )3 ( 2 )

Trang 12

Bài 8 (4−6m)sin x+3 2( m−1 sin) x+2(m−2 sin) xcosx−(4m−3 cos) x= 0

a Giải phương trình khi m= 2

b Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất 0,

Chia 2 vế của phương trình cho cos3x≠ ta có phương trình 0

(4 6m)tan3x 3 2( m 1 tan) x(1 tan2x) 2(m 2 tan) 2x (4m 3 1 tan)( 2x) 0

Trang 13

Trang 14

Bài 4 Phương trình đối xứng và nửa đối xứng

Bài 2 PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG

I PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VÀ NỬA ĐỐI XỨNG VỚI SINX, COSX

1 Phương pháp chung a(sinx+cosx)+bsin cosx x+ = c 0

a(sinx−cosx)+bsin cosx x+ = c 0

Biến đổi đưa về phương trình bậc 2 ẩn t

Bước 2 Giải phương trình bậc 2 ẩn t Từ đó suy ra nghiệm x

Bài 1 Giải phương trình: 2 sin( x+cosx)−sin cosx x=1 1( )

Trang 15

Bài 3 Giải phương trình: 1 sin3 cos3 3sin 2 ( )1

Trang 16

Bài 7 Giải phương trình: sin 2 2 sin ( ) 1

Trang 17

Bài 11 Tìm m để phương trình: sin 2x+4 cos( x−sinx)=m có nghiệm

sin x−cos x=m⇔ sinx−cosx +3sin cosx x sinx−cosx =m

Nên để phương trình sin3 x−cos3 x=m

có 3 nghiệm phân biệt x∈[0,π ]

Trang 18

II PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VỚI TAN, COT

I CÔNG THỨC SỬ DỤNG

II CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA

Bài 1 Giải phương trình: 3 tan( x+cotx)=4 ( )1

Trang 19

Bài 5 Giải phương trình: tanx=cotx+2 cot 2x ( )1

sin 2 cos 2x x 1 sin 2x 0

⇔ − − = ⇔cos 2x(sin 2x−cos 2x)= 0

( )1 5 tan( cot 3 ) tan 2 tan 5 cos 3( ) sin 2( )

cos sin 3 cos 2 cos

Trang 20

Bài 9 Giải phương trình: 2 tan cot 3 2 ( )1

Điều kiện: sin 2 sin 4 cos cos cos 3x x x x x≠ ⇔0 sin 4 cos 3x x≠0 ( )2

( )1 2 tan 3( tan ) (tan 3 cot 2 ) 2

sin 4

x

cos 3 cos cos 3 sin 2 sin 4

Sử dụng: tan cot 2 sin 2 sin cos 2 cos cos 1

cos sin 2 cos sin sin 2

Trang 21

Bài 12 Giải phương trình: 3 tan 6 2 2 tan 2 cot 4

ĐK: cos 6 sin 8x x≠ , ( )0 1 tan 6 2 tan 6( tan 2 ) 1 cos 4

sin 4 cos 4 sin 4

tan 6x 2 tan 6x tan 2x tan 4x

⇔ + − = ⇔(tan 6x−tan 4x)+2 tan 6( x−tan 2x)= 0

Nếu 1+tan 3 tan 2x x= thì từ 0 ( )3 tan 2 tan 3 0

 Vô lý ⇒ +1 tan 3 tan 2x x≠ 0

Khi đó ( )1 ( )3 3 tan 2( tan 3 ) tan 3 3 tan( ) tan 3

Trang 22

(tanx cotx)3 (tanx cotx)2 2 tan( x cotx) 8 0

Điều kiện: cos 2 cos 3 cos 5x x x≠0 ( )2

( )1 ⇔tan 2x−5 tanx=tan 3x(1+tan 2 tan 5x x) ( )3 Nếu 1+tan 2 tan 5x x= thì 0

3

k

⇔ = ⇔ = (thỏa mãn (2)) (n∈ » )

tan 2 tan 3 tan 5x x x=tan 2x−tan 3x+tan 5x 1

Giải

ĐK: cos 2 cos 3 cos 5x x x≠0 2( ); ( )1 ⇔tan 32 x−tan 22 x=tan5 1 tan 3 tan 2 , 3x( − 2 x 2 x) ( )

Nếu 1−tan 3 tan 22 x 2 x= thì từ 0 ( )

tan 3 tan 2 03

tan 3 tan 2 1 tan 3 1 cos 3 sin 3

x x

23cos 2

4

x x

Vô lý ⇒ −1 tan 3 tan 22 x 2 x≠ 0

Khi đó ( )1 ( )3 tan 5 tan 3 tan 2 tan 3 tan 2 tan tan 5

1 tan 3 tan 2 1 tan 3 tan 2

Trang 23

Bài 17 Giải phương trình:

⇔ = ⇔ = + π ∈ » thỏa mãn điều kiện

tan x+4 tan 2x+16 tan 4x=64 cot 8x+41 (1)

Giải

Điều kiện: sin 8x≠ 0

Xét đẳng thức cota−2 cot 2a=tana Đạo hàm 2 vế của đẳng thức này ta có

4 cot 2a cot a tan a 2

( )1 ⇔(tan2x−2)+4 tan 2( 2 x−2)+16 tan 4( 2 x−2)=64 cot 82 x− 1

(4cot 22 x cot2x) 4 4cot 4( 2 x cot 22 x) 16 4cot 8( 2 x cot 42 x) 64cot 82 x 1

Bài 19 Giải phương trình: sin2 2cos 2 sin 3 cos 62 2 sin 9 cos182 2 0

sin cos 2 sin 3 cos 6 sin 9 cos18 0

Trang 24

Trang 25

Bài 7 Sử dụng công thức hạ bậc, góc nhân đôi, góc nhân ba

BÀI 3 SỬ DỤNG CÔNG THỨC HẠ BẬC, GÓC NHÂN ĐÔI

CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA

sin 3x−cos 4x=sin 5x−cos 6x (1)

cos x+cos 2x+cos 3x+cos 4x= (1) 2

b Giải phương trình: cos2 cos 22 cos 32 cos 42 3

cos 4 0 2 cos 4 cos 2 cos 4 2 cos 4 02

x x

Trang 26

Bài 3 a Giải phương trình: cos2 cos4

t t

Do đó với điều kiện (2) thì ( )1 ⇔sin 24 x+sin 24 x=cos 44 x

(1 cos 4 ) (2 1 cos 4 )2 cos 44 (1 cos 4 )2 (1 cos 4 )2 4 cos 44

Trang 27

Bài 5 Giải phương trình: sin4 cos4 7cot( ) (cot ) ( )1

Trang 28

Bài 8 a Giải phương trình: 3 3 2 ( )

4

b Giải phương trình: cos3 xcos 3x+sin3 xsin 3x=cos 43 x (2)

Giải

4 sin x.sin 3x+4 sin x.cos 3x+3 3 cos 4x=3 1

Trang 29

II SỬ DỤNG CÔNG THỨC GÓC NHÂN ĐÔI

cos 2 1 2 sinsin 2 1 sin cos

2 2

2 CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA

Bài 1 Giải phương trình: cos4 x+sin6 x=cos 2x (1)

Bài 3 Giải phương trình: 3

2 sin x−cos 2x+cosx= (1) 0

Giải

1 ⇔2 sin x− 1−2 sin x +cosx= ⇔0 2 sin x 1 sin+ x − 1 cos− x = 0

(1 cosx)[1 2 sin cosx x 2 sin( x cosx)] 0

Trang 30

Bài 4 Giải phương trình: cos x−cos 2x+2 sin x= (1) 0

Bài 6 Giải phương trình: 3 3

sin x+cos x=cos 2x (1)

Trang 31

Bài 8 Giải phương trình: sin 4x−cos 4x= +1 4 sin( x−cosx) (1)

t x t

−

=+ với tan2

Trang 32

Bài 11 Giải phương trình: 1 3 tan+ x=2 sin 2x ( )1

cotx 1−tan x 1−tan 2x 1−tan 4x = 8

Giải

ĐK: sin 8x≠ khi đó biến đổi 0 ( 2 )( 2 )( 2 )

cotx 1−tan x 1−tan 2x 1−tan 4x = 8

Trang 33

III SỬ DỤNG CÔNG THỨC GÓC NHÂN BA

1 CÔNG THỨC SỬ DỤNG

sin 3x=3sinx−4 sin x ; cos 3x=4 cos x−3 cosx

2 CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA

Bài 1 Giải phương trình: sin 3x+sin 2x=5 sinx (1)

1 ⇔ 4 cos x−3cosx + 2 cos x−1 + −1 cos x= 2

(cosx 1 4 cos)( 2 x 5 cosx 2) 0 cosx 1 x 2k

cos10x+2 cos 4x+6 cos 3 cosx x=cosx+8 cos cos 3x x

Trang 34

Bài 6 Giải phương trình: 32 cos x−cos 6x= (1) 1

Nhân 2 vế của (1) với cosx≠ ta có: 0

( )1 ⇔2 sin 3x1−4 1 cos( − 2 x)cosx=cosx⇔2 sin 3x(4 cos3x−3cosx)=cosx

Trang 35

Bài 9 Giải phương trình: sin(3 ) 1sin( 3 )

Trang 36

cos 6x+cos 4x+cos 2x= +3 4 sin x (1)

cos 6x= +1 8 sin x+sin 2x (1)

Trang 37

Trang 38

Bài 10 Biến đổi tổng, hiệu thành tích, tich thành tổng

BÀI 4 BIẾN ĐỔI TỔNG, HIỆU THÀNH TÍCH

I Sử dụng công thức biến đổi tổng, hiệu thành tích

Các bài tập mẫu minh họa

Bài 1 Giải phương trình: sinx+sin 2x+sin 3x= +1 cosx+cos 2x ( )1

Trang 39

( )1 ⇔2 sinx+cos 3x= +1 sin 4x−sin 2x⇔2 sinx+cos 3x= +1 2 cos 3 sinx x

(2sin 1 cos 3) ( 1) 0 sin 1 cos 3 1 { 2 ;5 2 ; 2 }

Trang 40

II SỬ DỤNG CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG

1 Công thức sử dụng

sin sina b=cos a−b −cos a+b ;cos cosa b=cos(a−b)+cos(a+b)

sin cosa b=sin a+b +sin a−b ; cos sina b=sin(a+b)−sin(a−b)

Bài 1 Giải phương trình: (sinx+ 3 cosx)sin 3x=2 ( )1

Trang 41

Bài 4 Giải phương trình: cos 3 tg 5x x=sin 7x ( )1

x= π + π thỏa mãn điều kiện (2)

Bài 5 GPT: sin sin( ) ( )sin 4 3 cos cos( 2 ) (cos 4 ) 2

Trang 42

k k

Trang 43

Bài 9 Giải phương trình: sin5 5 cos3 .sin ( )1

Trang 44

Định dạng
Số trang	44
Dung lượng	1,14 MB