Hướng dẫn học sinh giỏi lớp 9 một số kĩ thuật giải hệ phương trình bằng phương pháp thế và phương pháp cộng đại số

MỤC LỤC TT Nội dung Trang Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 2-3 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến 4-5 2.3 5-16 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để thực vấn đề Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận 18 3.2 Kiến nghị 18 Tài liệu tham khảo 20 2.4 16-17 18 1 - MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Mơn Tốn trường phổ thơng giữ vai trị, vị trí quan trọng, môn học công cụ hỗ trợ đắc lực cho hầu hết mơn học khác Lý, Hóa, Sinh, Văn…Như vậy, học tốt mơn Tốn tri thức Toán với phương pháp làm việc Toán trở thành công cụ để học tốt môn học khác Mơn Tốn góp phần phát triển nhân cách, việc cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kĩ tốn học cần thiết, mơn Tốn cịn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất người lao động mới: cẩn thận, xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ Trong cấu trúc đề thi học sinh giỏi lớp cấp tỉnh, cấp huyện phần chương trình khơng thể thiếu giải hệ phương trình Tuy nhiên, em biết giải hệ hai phương trình bậc hai ẩn phương pháp phương pháp cộng đại số; giải hệ phương trình đề thi học sinh giỏi khơng phải Vậy làm mà vận dụng hai quy tắc quy tắc cộng đại số để giải hệ phương trình khó đề thi học sinh giỏi? Trong trình bồi dưỡng học sinh giỏi sử dụng số kĩ thuật vận dụng hai quy tắc quy tắc cộng đại số để giải hệ phương trình, tơi thấy có hiệu nên mạnh dạn viết thành sáng kiến kinh nghiệm “Hướng dẫn học sinh giỏi lớp số kĩ thuật giải hệ phương trình phương pháp phương pháp cộng đại số ” để đồng nghiệp tham khảo 1.2 Mục đích nghiên cứu Tìm tri thức phương pháp việc vận dụng quy tắc quy tắc cộng đại số để giải hệ phương trình để giáo viên học sinh khá, giỏi tiếp cận với kĩ thuật giải hệ phương trình 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Là toàn lớp đội tuyển mơn Tốn năm 2016 - 2017 thân phụ trách tuyển chọn từ trường THCS khác Huyện với sỉ số 35 em - Quy tắc quy tắc cộng đại số; hệ phương trình đại số bậc hai, bậc ba 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu tài liệu phương pháp thu nhập thông tin : Để hồn thành tốt đề tài tơi sử dụng kết hợp việc nghiên cứu tài liệu xuất dành cho học sinh giỏi lớp 9, đề thi HSG lớp tinh, trang mạng toán học - Phương pháp điều tra khảo sát thực tế: Thu thập thông tin từ giáo viên trực tiếp giảng dạy mơn Tốn lớp trường huyện huyện từ học sinh trực tiếp tham gia lớp đội tuyển thân trực tiếp phụ trách - Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nghiệm đề tài làm đề kiểm tra theo chuẩn kiến thức kĩ để đánh giá tính hiệu việc vận dụng kiến thức phần hệ phương trình Từ sửa đổi bổ sung hồn thiện thiếu sót đề tài - Sử dụng phương pháp thống kê toán học để xử lý thông tin, đánh giá kết thực nghiệm sư phạm So sánh kết đạt trước sau áp dụng đề tài - NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Quy tắc Bước 1: Từ phương trình hệ cho (coi phương trình thứ nhất) ta biểu diễn ẩn theo ẩn kỉa vào phương trình thứ hai để phương trình ( cịn ẩn ) Bước 2: Dùng phương trình để thay cho phương trình thứ hai hệ ( phương trình thứ thường thay hệ thức biểu diễn ẩn theo ẩn có bước 1) 2.1.2 Quy tắc cộng đại số Bước 1: Cộng hay trừ vế hai phương trình hệ phương trình cho để phương trình Bước 2: Dùng phương trình để thay cho hai phương trình hệ (và giữ nguyên phương trình kia) 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm - Học sinh lớp cung cấp kiến thức quy tắc thế, quy tắc cộng đại số để áp dụng giải hệ hai phương trình bậc hai ẩn nên em gặp hệ hai phương trình khơng phải bậc em gặp khó khăn việc áp dụng quy tắc, khó khăn việc trình bày lời giải chí khơng biết định hướng tư - Để đánh giá thực trạng học sinh việc giải hệ phương trình tơi tiến hành kiểm tra 35 học sinh chọn vào vòng thi tỉnh mơn tốn lớp năm học 2016-2017 Đề Bài (5 điểm): Giải hệ phương trình sau: x + y = a/  2 x + y =  x + 2y + = b/   y − 2x + = Bài 2(5 điểm): Giải hệ phương trình sau  xy = x + 7y + a/  2  x y = 10y −  x + 2xy + 2y + 3x = b/   xy + y + 3y + = Kết cụ thể : Điểm Điểm – 7,5 Điểm 7,75 – 8,75 Điểm – 10 SL % SL SL % % SL % 8,57 27 77,14 14,29 0 Từ thực trạng tơi thấy em chưa có kĩ vận dụng quy tắc quy tắc cộng đại số việc giải hệ hai phương trình khơng chứa phương trình bậc Để giúp em học sinh giỏi học tốt việc giải hệ phương trình, tơi hướng dẫn em “Hướng dẫn học sinh giỏi lớp số kĩ thuật giải hệ phương trình phương pháp phương pháp cộng đại số ” 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề Trong q trình ơn tập giảng dạy phần giải hệ phương trình tơi hướng dẫn cho học sinh số kĩ thuật giải hệ phương trình phương pháp phương pháp cộng đại số sau: 2.3.1 Kĩ thuật biểu diễn ẩn theo ẩn lại biểu thức chứa ẩn theo ẩn Bài Giải hpt (VN math.com)  xy = x + 7y +  2  x y = 10y − ( 1) ( 2) Giải Với y=1 hpt vô nghiệm Với y ≠ pt ( 1) ⇔ x ( y − 1) = 7y + ⇔ x = 7y + thay vào pt(2) ta y −1  7y +  2  y − ÷ y = 10y − ⇔ 39y + 34y − 8y − 2y + =    y = −1 ⇔ −1 y =  Với y = −1 ⇒ x = Với y = −1 ⇒ x =1  −1  Vậy hpt có nghiệm ( x; y ) = ( 3; −1) ; 1; ÷   Lời bình: Trong ta biểu diễn ẩn x theo biểu thức ẩn y Vì biểu thức có dạng phân thức nên ta phải xét trường hợp mẫu thức trường hợp mẫu thức khác Bài Giải hệ phương trình   y − xy + =  2   x + y + 2x + 2y + = ( 1) ( 2) Giải pt ( 1) ⇔ y + = xy thay vào pt(2) ta x + xy + ( x + y ) = ⇔ ( x + y ) ( x + ) = x = −y ⇔  x = −2  y + y + = Với x=-y hpt trở thành  hpt vô nghiệm  y + y + = Với x = −2 ⇒ y = −1 Vậy hpt có nghiệm (x,y)=(-2 ;-1) Lời bình: Trong phương trình (2) có chứa biểu thức y + nên gợi ý cho ta biểu thức tích xy rút từ phương trình (1) Bài ta giải phương pháp cộng đại số trình bày 11 Các tập 3,4,5,6 trình bày theo kĩ thuật nhiên biểu thức dùng để khó phát hơn, phải qua việc biến đổi phương trình ta rút Bài 3: Giải hệ phương trình (VNmath.com-Đặng Thành Nam)  x ( y + 1) = 6y −  2 2  x y + 2x y + y ( x + 1) = 12y − ( 1) ( 2) Giải Với y= -1 hệ phương trình vơ nghiệm Với y ≠ pt ( 1) ⇔ x = 6y − vào pt(2) ta y +1  6y −   6y −   6y −   y + ÷ y + 2y  y + ÷+ y  y + + 1÷ = 12y −       ( y − 1) ( 9y + 1) y ⇔ = y −1 ( y + 1) y = y =  ⇔ ⇔ y = ( 9y + 1) y = ( y + 1)  Với y = ⇒ x = ± Với y = ⇒ x = ( )  1 Vậy hpt có nghiệm ( x, y ) =  0; ÷; ± 2;1  3 Bài Giải hệ phương trình  x + xy + 2x + 2y = 16  ( x + y ) ( + xy ) = 32 Giải Hệ phương trình cho tương đương với ( x + y ) ( x + ) = 16  ( x + y ) ( + xy ) = 32 ( 1) ( 2) Vì x=-2 khơng nghiệm hpt nên với x ≠ −2 pt ( 1) ⇔ x + y = Thay vào pt(2) ta 16 x+2 16 ( + xy ) = 32 ⇔ + xy = ( x + ) x+2 x = ⇔ x ( y − 2) = ⇔  y = Với x = ⇒ y = Với y = ⇒ x = v x = −6 Vậy hpt có nghiệm ( x, y ) = ( 0;8 ) , ( 2;2 ) , ( −6;2 ) Bài Giải hệ phương trình ( x − 1) + ( x − 1) y + 4y = 20  2  x + ( 2y + 1) = Giải Hệ phương trình cho tương đương với  x − 2x + + 6xy − 6y + 4y = 20  2  x + 4y + 4y + = ( 1) ( 2) pt ( ) ⇔ x + 4y = − 4y Thay vào pt(1) ta −2x + + − 4y + 6xy − 6y = 20 ⇔ y ( 3x − ) = x + ⇔ y = x+9 3x − Thay vào pt(2) ta  2x + 18  x + + 1÷ = ⇔ 9x − 30x + 32x + 190x + 119 =  3x −  ⇔ ( x + 1) ( 9x − 48x + 119 ) = ⇔ x = −1 Với x = −1 ⇒ y = −1 Vậy hpt có nghiệm (x,y)=(-1;-1) Bài Giải hệ phương trình (Đề thi HSG Thanh Hóa 2011-2012)  x2  y +x=2   y + y =  x ( 1) ( 2) Giải Điều kiện x ≠ 0, y ≠ x2 Vì x =2 khơng nghiệm hpt nên pt ( 1) ⇔ y = thay vào pt(2) ta 2−x x4 x( − x) + x2 = ⇔ 2x − 2x ( x − ) = x ( − x ) 2−x ⇔ 3x + 4x − 4x = ⇔ x ( 3x + 4x − ) = ⇔ 3x + 4x − =  x = −2 ⇒ y = ⇔ x = ⇒ y = 3  Vậy hpt có nghiệm ( −2;1) ;  1 ; ÷  3 2.3.2 Kĩ thuật số Bài Giải hệ phương trình ( 2x + y ) ( x + y ) + x ( 2x + 1) = − 2y   x ( 4x + 1) = − 3y ( 1) ( 2) Giải pt ( ) ⇔ = 4x + x + 3y vào pt(1) ta ( 2x + y ) ( x + y ) + x ( 2x + 1) = 4x + x + 3y − 2y ⇔ ( 2x + y ) ( x + y ) = 2x + y ⇔ ( 2x + y ) ( x + y − 1) =  2x + y = ⇔ x + y −1 = Với x + y − = ⇒ y = − x thay vào pt(2) ta 2x − x − = ⇔ x = ± 17 m 17 ⇒y= 4 Với 2x + y = thay vào pt(2) ta 2x − x + = pt vô nghiệm  ± 17 m 17  ; Vậy hpt có nghiệm ( x, y ) =  ÷ 17   Lời bình: Vai trị số hai phương trình hệ mấu chốt để giúp ta giải hệ phương trình Ta biểu diễn số theo biến từ phương trình hệ vào phương trình cịn lại giúp ta giải hệ Kĩ thuật số không áp dụng cho việc giải hệ phương trình mà cịn giúp ta giải số dạng toán khác Bài Giải hpt  x + 7y = ( x + y ) + x y + 7x +  2 3x + y + 8y + = 8x ( 1) ( 2) Giải pt ( ) ⇔ = 8x − 3x − y − 8y thay vào pt(1) ta x + 7y = ( x + y ) + x y + 7x + 8x − 3x − y − 8y ⇔ x − x y + 2x − 2xy + 15y − 15x = ⇔ ( x − y ) ( x + 2x − 15 ) = x = y ⇔  x = −5   x = Với x=y thay vào pt(2) ta 2x + = pt vô nghiệm Với x=-5 thay vào pt(2) ta y + 8y + 119 = pt vô nghiệm 10  y = −1 Với x=3 thay vào pt(2) ta y + 8y + = ⇔   y = −7 Vậy hpt có nghiệm ( x, y ) = ( 3; −1) , ( 3; −7 ) Bài Giải hệ phương trình (Đề thi HSG Thanh Hóa 2014-2015)  x2 + y2 = x2 y2   2  ( x + y)(1 + xy) = x y Giải Với x = y = nghiệm hệ phương trình Nhận thấy x ≠ y ≠ ngược lại Xét x ≠ ; y ≠ hệ phương trình tương đương với 1 1 (1) + =  x2 y2  x2 + y2 = ⇔  1 ( + )(1 + ) = ( + )(2 + ) =(2)  x y  x y xy xy 1 1 Thay (1) vào (2) ta  + ÷ =  x y 1  x + y = ⇒ ⇒ x = y= 1  =1  xy Vậy hệ có nghiệm (x ; y) (0 ; 0) ; (1 ; 1) 2.3.3 Kĩ thuật nhân thêm số để giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số Bài 10 Giải hệ phương trình  x + 2xy + 2y + 3x =   xy + y + 3y + = ( 1) ( 2) Giải 11 Lấy phương trình (1) cộng theo vế với lần phương trình (2) ta x + ( 4y + 3) x + 4y + 6y + = Ta có : ∆ x = ( 4y + 3) − 4.( 4y + 6y + ) = Phương trình có nghiệm  x = −2y −  x = −2y −  Với x=-2y-1 thay vào (2) ta  y = + ⇒ x = −3 − 2 y − 2y − = ⇔   y = − ⇒ x = −3 + 2 Với x=-2y-2 thay vào (2) ta  1− ⇒ x = −3 + y = 2 y − y −1= ⇔   1+ ⇒ x = −3 − y =  Vậy hệ phương trình có nghiệm ( −3 ±  1m  2;1 m ;  −3 ± 5; ÷   ) Lời bình : Câu hỏi đặt hệ số nhân vào phương trình (2) tìm cách ? Ta xét hệ phương trình dạng a1x + b1y + c1xy + d1x + e1y + f1 =  2 a x + b y + c 21xy + d x + e y + f = ( 1) ( 2) Hệ phương trình giải ta tìm hệ thức x y từ phương trình hệ Vì phương trình hệ phương trình bậc hai nên ta thường nghĩ đến ∆ x , ∆ y có dạng A2 Nhưng phương trình mà biệt thức ∆ x , ∆ y khơng có dạng phương ta phải làm ? Lúc ta phải tìm số k cho phương trình pt(1)+k.pt(2)=0 có ∆ x , ∆ y dạng phương Đặt a = a1 + ka ,b = b1 + kb ,c = c1 + kc ,d = d1 + kd ,e = e1 + ke ,f = f1 + kf 12 Số k nghiệm phương trình : cde + 4abf = ae2 + bd + fc (*) Kết hợp với sử dụng máy tính ta dễ dàng tìm số k Ta thấy phương pháp mạnh giải lớp hệ hai phương trình bậc hai hai ẩn Bài 11 Giải hệ phương trình:   y − xy + =  2   x + y + 2x + 2y + = ( 1) ( 2) Giải Áp dụng (*) ta tìm k=-1 Nhân phương trình (2) với -1 cộng với phương trình (1) ta : x + xy + 2x + 2y = ⇔ x + ( + y ) x + 2y = Ta có ∆ x = ( + y ) − 4.2y = ( y − ) ( 3) Phương trình có nghiệm x=-2 x=-y Lúc ta dễ dàng giải hệ phương trình cho Bài 12: Giải hệ phương trình (Vnmath- Đặng Thành Nam) 3   x − y = 35  2  2x + 3y = 4x − 9y ( 1) ( 2) Phân tích Lấy ( 1) + k.( ) ta x − y3 − 35 + k ( 2x + 3y − 4x + 9y ) = ⇔ x + 2kx − 4kx − y3 + 3ky + 9y − 35 = Ta chọn số a,b,k việc đồng hệ số 13 x + 2kx − 4kx − y3 + 3ky + 9y − 35 = ( x + a ) − ( y + b ) 3 a − b3 = −35  k = −3  3a = 2k  ⇔ ⇔ b = 3a = − 4k  a = −2  b = −k  Vậy ta đến lời giải toán Lấy phương trình (1) trừ lần phương trình (2) ta ( x − 2) = ( + y ) ⇔ x = y + ( 3) Thế (3) vào phương trình(2) hệ ta y + 5y + = ⇔ y = −2 V y = −3 Với y = −2 ⇒ x = Với y = −3 ⇒ x = Vậy hệ phương trình có nghiệm (3;-2), (2;-3) Lời bình: Bài bậc biến x, y nhau; biến x, y độc lập với nhau; bậc pt(1) lớn bậc pt(2) Vậy ta tìm số k cho phương trình Pt(1)+k.Pt(2) có dạng A3 = B3 Cách tìm hệ số k trình bày Bài 13 sau giải theo cách 3  ( 1)  x + y = 91  2  4x + 3y = 16x + 9y ( ) Bài 13: Giải hệ phương trình Giải Lấy phương trình (1) trừ lần phương trình (2) ta ( x − 4) = ( − y) ⇔ x = − y ( 3) Thay (3) vào phương trình (2) hệ ta y = ⇒ x = y − 7y + 12 = ⇔  y = ⇒ x = Vậy nghiệm hệ (3;4) ; (4;3) 14 Bài 14 Giải hệ phương trình   x + 3xy = −49  2   x − 8xy + y = 8y − 17x ( 1) ( 2) Giải Lời bình: Bài ta giải theo phương pháp bậc cao nhât x y khác nhau, phương trình (2) có ∆ x , ∆ y khơng phương nên khơng phân tích thành nhân tử Vậy ta tìm x để hai phương trình tương đương   x + 3xy = −49  2   x − 8xy + y = 8y − 17x 3xy + x + 49 = ⇔ 2   y − ( 8x + ) y + x + 17x = Nếu x = -1 3x x + 49 = = −3 x + 17x Từ ta có cách giải hệ phương trình Cộng vế với vế pt(1) với lần pt(2) ta x + 3xy + 3x − 24xy + 3y = 24y − 51x 2 ⇔ ( x + 1) ( x + 1) + ( y − )  =    x = −1  ⇔   x = −1   y = Với x = −1 ⇒ y = −4  x = −1 Với  thỏa mãn hệ phương trình y = Vậy nghiệm hệ (-1;-4); (-1;4) Bài 15 Giải hệ phương trình (Đề thi HSG Thanh Hóa 2012-2013) 15  + x =  y3    x3 − =  y Giải Điều kiện y ≠ Đặt z = y ta hệ : 2 + x = z  2 + z = x Trừ vế với vế hai phương trình ta đươc ( x − z )( x + xz + z + 3) = ⇔ x−z=0 z  3z  (vì x + xz + z + =  x + ÷ + + > với x, z) 2  2 ⇔ x = z Thay vào phương trình (1) hệ ta : x3 – 3x – = ⇔ (x+1)2(x - 2) = ⇔ x = -1 x = Với x = z = −1 ⇒ y = −2 ⇒ nghiệm (x ; y ) hệ (−1; −2) Với x = z = ⇒ y = ⇒ nghiệm (x ; y ) hệ (2;1) Vậy nghiệm (x ; y ) hệ (−1; −2) ( 2;1) Lời bình :Sau đổi biến hệ phương trình cho trở thành hệ đối xứng loại 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Sau học sinh học phần tiến hành cho học sinh làm kiểm tra 45 phút Đề : Giải hệ phương trình sau 16  x + y3 = a/  2  x + 2y = x + 4y  x + 2xy = c/  2 2x + xy + y = 4x + y b/  x + xy + y2 =   x + 2xy − 7x − 5y + = d/ 13y3 − 3x =   y + 4y + = 5x + 4xy Kết đạt : Điểm Điểm – 7,5 Điểm 7,75 – 8,75 Điểm – 10 SL % SL SL % % SL % 8,57 15 42,86 12 34,29 14,28 Đề khó đề khảo sát trước em học « số kĩ thuật giải hệ phương trình phương pháp phương pháp cộng đại số » kết qủa khảo sát cho thấy số lượng học sinh điểm từ 7,75 đến 10 cao hẳn, đặc biệt có học sinh đạt từ điểm đến 10 Điều cho thấy em học sinh nắm bắt tri thức phương pháp sáng kiến biết vận dụng sáng tạo việc giải hệ phương trình Trong năm học 2016-2017 tơi phân công phụ trách bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi thi tỉnh mơn Tốn khối lớp 9,tơi mạnh dạn áp dụng đề tài công tác dạy đội tuyển giúp em có nhiều chuyển biến tích cực tư ,trong cách học, cách tiếp cận kiến thức,tạo hứng thú học tập em sáng tạo tốn 17 – KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận : Trong trình dạy học thân, rút vài kĩ thuật dạy phần hệ phương trình Điều giúp cho học sinh giỏi thấy vai trò quan trọng quy tắc quy tắc cộng đại số việc khơng giải hệ hai phương trình bậc hai ẩn mà giải hệ hai phương trình bậc hai tổng quát số hệ bậc ba khác Và nhận thấy em tiếp xúc với chuyên đề, kĩ thuật làm tốn tạo cho học sinh hứng thú học tập,và đam mê mơn tốn Tôi nghĩ để ươm mầm phát triển tài cần chuyên đề chuyên sâu toán (phù hợp với đối tượng) học sinh mở mang kiến thức phát triển tư tốn Là giáo viên cơng tác chưa lâu năm nên kinh nghiệm viết cịn nhiều thiếu sót có phần tơi đề cập chưa sâu đầy đủ, mong đóng góp ý kiến bổ sung bạn đồng nghiệp 3.2 Kiến nghị Đề nghị Phòng Giáo Dục huyện Yên Định Sở Giáo Dục tỉnh Thanh Hóa phát hành tập san lưu hành nội sáng kiến kinh nghiệm hay, bổ ích để giáo viên chúng tơi có nguồn tài liệu học hỏi, tham khảo áp dụng vào việc dạy học cho học sinh XÁC NHẬN CỦA HĐKH NGÀNH Yên Định, ngày 14 tháng 04 năm 2017 18 GD&ĐT YÊN ĐỊNH Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người viết sáng kiến Nguyễn Đức Hữu TÀI LIỆU THAM KHẢO 1.Sách Giáo Khoa toán tập - Nhà xuất Giáo Dục 2.Toán nâng cao phát triển toán tập – Vũ Hữu Bình Đề thi học sinh giỏi tốn lớp tỉnh Thanh hóa 4.Trang mạng Vnmath Luyện thi đại học – Đặng Thành Nam 19 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Tên đề tài SKKN TT Kết Cấp đánh đánh giá giá xếp loại xếp loại (Phòng, Sở, (A, B, Tỉnh ) C) Năm học đánh giá xếp loại Sử dụng phương pháp chặn việc Phịng A 2010-2011 giải tốn số học lớp Sở B 2010-2011 Phòng A 2013-2014 Giúp học sinh lớp tiếp xúc với toán hay khó thơng qua tập đơn giản Hướng dẫn học sinh giỏi lớp số kĩ thuật giải hệ phương trình phương 20 pháp phương pháp cộng đại số Phòng A 2016-2017 21 ... tơi hướng dẫn em ? ?Hướng dẫn học sinh giỏi lớp số kĩ thuật giải hệ phương trình phương pháp phương pháp cộng đại số ” 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề Trong trình. .. Trong trình ơn tập giảng dạy phần giải hệ phương trình tơi hướng dẫn cho học sinh số kĩ thuật giải hệ phương trình phương pháp phương pháp cộng đại số sau: 2.3.1 Kĩ thuật biểu diễn ẩn theo ẩn lại... học sinh giỏi lớp cấp tỉnh, cấp huyện phần chương trình khơng thể thiếu giải hệ phương trình Tuy nhiên, em biết giải hệ hai phương trình bậc hai ẩn phương pháp phương pháp cộng đại số; giải hệ