Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giỏi lớp 6 trường THCS lê đình chinh, huyện ngọc lặc cách khai thác kết quả từ một bài toán tính tổng

Nhiều học sinh khó hiểu khi gặp dạng toán này, chưa tìm ra quy luật của dãy số, vì thế các em còn lúng túng, chưa định hướng được phương pháp giải cho hợp lý.. Là một giáo viên được phân

Trang 1

MỤC LỤC

Trang

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 3

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo

dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

16

Trang 2

1 Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài:

Chủ đề dãy các phân số viết theo quy luật là một trong những nội dung cơ bản của chương III số học 6, đây là dạng toán tương đối khó với các em lớp 6 khi mới tiếp xúc Nhiều học sinh khó hiểu khi gặp dạng toán này, chưa tìm ra quy luật của dãy số, vì thế các em còn lúng túng, chưa định hướng được phương pháp giải cho hợp lý Ngoài ra trong các đề thi học sinh giỏi lớp 6 các cấp thường có bài tập về dạng này Tuy nhiên sách giáo khoa và sách bài tập lại chưa đề cập nhiều, sách nâng cao có đề cập đến nhưng cũng chưa sâu, thường đưa ra một số bài tập rời rạc, không hệ thống, chưa hướng cho các em biết cách khai thác bài toán thành bài toán mới đa dạng hơn, nên khi gặp bài khác đi một chút là các em thấy khó

Trường THCS Lê Đình Chinh của huyện Ngọc Lặc là trường có tỉ lệ học sinh giỏi tương đối cao so với mặt bằng chung của toàn huyện, có nhiều học sinh yêu thích môn Toán và dự thi học sinh giỏi cấp huyện cấp tỉnh Là một giáo viên được phân công giảng dạy môn toán 6 năm học 2017-2018, với mong muốn giúp các em học sinh học tốt hơn môn toán và đạt điểm cao trong kì thi HSG cấp huyện môn Toán 6 và các năm tiếp theo, tôi đã nghiên cứu và viết sáng

kiến kinh nghiệm “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giỏi lớp 6 trường THCS

Lê Đình Chinh, huyện Ngọc Lặc cách khai thác kết quả từ một bài toán tính tổng”.

1.2 Mục đích của sáng kiến:

Giúp học sinh khai thác, mở rộng bài toán từ một bài toán tính tổng đơn giản thành những bài toán mới đa dạng hơn, giúp học sinh biết cách tìm ra quy luật của tổng một cách nhanh chóng để có phương pháp giải phù hợp

Rèn luyện cho học sinh thói quen khi gặp một bài toán, không chỉ tìm cách giải bài toán đó mà còn phải cố gắng tìm cách khai thác bài toán để được những bài toán mới, góp phần nâng cao kiến thức, khả năng tư duy toán học, suy luận lôgic cho học sinh

Ngoài ra, còn giúp cho giáo viên hệ thống hóa các dạng bài có liên quan một cách rời rạc thành một chuỗi thống nhất, từ đó giúp học sinh tiếp thu bài dễ dàng, quá trình dạy học đạt hiệu quả cao nhất

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

- Học sinh giỏi của lớp 6A1+6A2 trường THCS Lê Đình Chinh, Ngọc Lặc năm học 2017-2018

- Nghiên cứu các hướng khai thác từ bài toán (tổng của dãy phân số có quy luật : các tử số đều là 1, các mẫu số là tích của hai số tự nhiên liên tiếp) trong đề thi khảo sát chất lượng mũi nhọn môn Toán lớp 6 năm học 2016-2017 của Phòng giáo dục và đào tạo huyện Ngọc Lặc

1.4.Phương pháp nghiên cứu:

- Nghiên cứu từ các tài liệu và sách tham khảo có liên quan; trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp

Trang 3

- Thông qua các tiết dạy trực tiếp trên lớp, các tiết dạy bồi dưỡng học sinh giỏi để nghiên cứu bài giải của học sinh, trao đổi với các em về những khó khăn

mà các em gặp phải

- Phân tích bài toán ban đầu, tổng hợp kinh nghiệm khai thác bài toán một cách hệ thống, từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp

Từ đó triển khai nội dung sáng kiến, kiểm tra và đối chiếu kết quả học tập của học sinh

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1.Cơ sở lý luận

Theo tâm lí học, tư duy tích cực, độc lập sáng tạo của HS được thể hiện ở một số mặt sau:

- Biết tìm ra phương pháp nghiên cứu giải quyết vấn đề, khắc phục các tư tưởng rập khuôn, máy móc

- Có kĩ năng phát hiện những kiến thức liên quan với nhau, nhìn nhận một vấn đề ở nhiều khía cạnh

- Có óc hoài nghi, luôn đặt ra các câu hỏi: Tại sao? Do đâu? Liệu có cách nào khác nữa không? Các trường hợp khác thì kết luận còn đúng hay không? …

- Tính độc lập còn thể hiện ở chỗ biết nhìn nhận vấn đề và giải quyết vấn đề

- Có khả năng khai thác một vấn đề mới từ những vấn đề đã quen biết

Do vậy, việc tìm ra quy luật và khai thác bài toán cơ bản theo nhiều dạng bài tập khác nhau càng trở nên cần thiết, giúp học sinh thành thạo hơn khi gặp dạng này và tự tin hơn khi gặp đề thi có các bài tập liên quan

2.2 Thực trạng vấn đề

Trong quá trình dạy các tiết học về các phép tính cộng, trừ, nhân, chia phân

số tôi thấy các em còn lúng túng, không tìm ra phương pháp giải cho dạng toán tính tổng dãy các phân số viết theo quy luật, trong đó có bài tập trong đề thi cấp huyện năm học 2016-2017:

Tính giá trị biểu thức: B 1 1 1 1

Đối với những em tìm được cách giải bài toán thì các em hài lòng và dừng lại, nên khi thay đổi đề bài một chút thì lại không có hướng giải

Qua đây, bản thân nhận thấy : học sinh còn làm việc rập khuôn, máy móc, lười suy nghĩ, lười tư duy trong quá trình học tập Từ đó dẫn đến làm mất đi tính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân

2.3 Giải pháp và tổ chức thực hiện

Từ thực trạng trên, tôi đã tìm tòi, nghiên cứu các tài liệu để định hướng cho các em tư duy, tập trung khai thác kết quả bài toán đó Từ kết quả của bài toán này, nếu chịu khó suy xét tiếp thì ta có thể khai thác theo nhiều khía cạnh như: phát triển bài toán, hình thành cách giải chung cho bài toán tổng quát, tạo

ra một chuỗi các bài toán hay và thú vị khác

Trước tiên, ta xem xét lời giải của bài toán ban đầu:

Trang 4

= 1 1 1 1 1 1 1 1

100 100

Nhận thấy, B là tổng của một dãy các phân số có quy luật: tử các phân số đều là 1, mẫu các phân số là tích của hai số tự nhiên liên tiếp Tiếp tục khai thác

bài toán này, ta có thể theo các hướng sau :

2.3.1 Hướng thứ nhất : thêm vào biểu thức các số hạng theo quy luật của dãy để được bài toán mới có cùng phương pháp giải

Bài tập 1: Tính nhanh B1 1 1 1

1.2 2.3 2017.2018

*Phân tích bài toán:

Nếu chịu khó suy nghĩ thì bài toán 1 không khó, chỉ “dài hơn” so với bài toán ban đầu

*Lời giải tóm tắt :

1

1.2 2.3 2017.2018

2.3.2 Hướng thứ hai : phát triển thành bài toán tổng quát

Bài tập 2: Tính nhanh

2

 với n N*

Từ bài toán có số cụ thể sang bài toán tổng quát học sinh rất lúng túng khi gặp phải số “n” (“n bằng bao nhiêu”, ) Trong suy nghĩ của các em, kết quả phép tính phải là số cụ thể, nên kể cả khi có đáp số rồi các em vẫn hồn nhiên “thế thôi ạ!” và đâu biết rằng lời giải rất đơn giản

2



Công thức tổng quát : với n N*

n n 1  n n 1

1.2 2.3   n n 1 n 1

2.3.3 Hướng thứ ba : thay đổi để dãy các phân số có cùng tử khác 1 Bài tập 3: Tính nhanh

3

Đối với bài toán này, khi áp dụng tính chất phân phối giữa phép nhân đối với pháp cộng thì bài toán này lại trở lại bài toán ban đầu

Trang 5

2 2 2

2 3

= 4 12 1 1 1 1 1 4 12 1 4 2 99 396

*Từ đây ta có công thức tổng quát hơn :

1.2 2.3   n n 1  n 1 với n N*

2.3.4 Hướng thứ tư : thay đổi khoảng cách giữa hai thừa số trong mỗi mẫu của từng phân số.

Bài tập 4: Tính nhanh B4 1 1 1 1

Đối với bài này, mới đầu sẽ có nhiều học sinh hiểu nhầm và áp dụng ngay giống cánh làm của bài toán ban đầu là biến đổi 1 1 1 1; 1 1;

1.3 1 3 3.5   3 5 nhưng thực tế không đúng như vậy Xét hiệu hai thừa số của mỗi mẫu đều bằng 2, cho nên phải biến đổi mỗi phân số của biểu thức đều có tử là 2 thì mới tách mỗi phân số

đó thành hiệu của hai phân số có tử là 1 và có mẫu là hai thừa số trong mỗi tích của mỗi mẫu ban đầu

4

= 1 2 2 2 2

= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 100 50

*Từ bài tập 4 có thể hình thành công thức tổng quát:

n n 2 n n 2 với n N*



  với n N, n lẻ

Theo hướng này, ta đã có những bài tập ở mức độ nâng cao, thường gặp trong đề thi:

11.16 16.21 21.26 61.66

(trích đề thi Toán 6 huyện Ngọc Lặc năm học 2013-2014)

Khoảng cách giữa hai thừa số của mỗi mẫu đều bằng 5, cho nên phải biến đổi mỗi phân số của biểu thức đều có tử là 5 thì mới tách mỗi phân số đó thành hiệu

Trang 6

của hai phân số có tử là 1 và có mẫu là hai thừa số trong mỗi tích của mỗi mẫu ban đầu

11.16 16.21 21.26 61.66

5 11.16 16.21 21.26 61.66

= 1 1 1 1 1 1 1

= 1 1 1 1 5 1

2.3.5 Hướng thứ năm : thay đổi dấu tất cả các hạng tử.

Bài tập 6: Tính nhanh B5 1 1 1

Bài toán này nếu coi biểu thức là tổng các phân số có tử là -1 thì cách giải quyết không khó

5

Nếu “tích hợp” một chút giữa hướng thứ ba và thứ tư (thay đổi khoảng cách giữa hai thừa số trong mỗi mẫu và đổi các tử thành các tử cũng bằng nhau

nhưng khác 1) ta có các bài toán tổng quát hơn :

11.15 15.19 19.23   51.53

Khoảng cách giữa hai thừa số của mỗi mẫu đều bằng 4, cho nên phải biến đổi mỗi phân số của biểu thức đều có tử là 4 thì mới tách mỗi phân số đó thành hiệu của hai phân số có tử là 1 và có mẫu là hai thừa số trong mỗi tích của mỗi mẫu ban đầu Tuy nhiên tử ban đầu là 2 nên có thể xử lý bài toán như sau:

11.15 15.19 19.23 51.53 4 11.15 15.19 19.23 51.53

= 2. 1 1 1 1 1 1

= 2 1 1 2 42 21

Trang 7

Bài tập 8: Tính A: B biết

A

7.13 13.22 22.37 37.49

7.16 16.31 31.43 43.29

Bài toán này các tử số đều không bằng nhau, các thừa số ở mẫu có khoảng cách cũng không cố định Tuy nhiên, có thể tìm được quy luật trên các tử số (ở biểu thức A các tử chia hết cho 17, ở biểu thức B các tử chia hết cho 13) và các mẫu

số cũng theo một quy luật (hai mẫu gần nhau thì có chung một thừa số) Từ đó nghĩ ngay đến việc đặt thừa số :

17

7.13 13.22 22.37 37.49 7.13 13.22 22.37 37.49

13

7.16 16.31 31.43 43.29 7.16 16.31 31.43 43.29

Rồi tìm cách biến đổi sao cho tử đúng bằng khoảng cách giữa hai thừa số ở mẫu

là bài toán được giải quyết

7.13 13.22 22.37 37.49 7.13 13.22 22.37 37.49

= 17. 6 9 15 12

3 7.13 13.22 22.37 37.49

= 17 1 1 1 1 1 1 1 1

= 17 1. 1



7.16 16.31 31.43 43.49 7.16 16.31 31.43 43.49

= 13. 9 15 12 6

3 7.16 16.31 31.43 43.49

= 13 1 1 1 1 1 1 1 1

= 13 1. 1



Vậy A : B = 17

13

Bài tập 9: Tính nhanh: 1 4 3 2 5

1.6 6.2 2.13 13.3 15.4   

Trang 8

Tương tự như bài tập 8, trong tổng này các tử không bằng nhau, khoảng cách giữa hai thừa số ở các mẫu có khoảng cách không bằng nhau, tuy nhiên học sinh rất khó khăn trong việc xác định quy luật Như bài tập 8, ta nhân cả tử và mẫu với 3 để tử số bằng khoảng cách của hai thừa số ở mẫu, với mục đích như vậy nhưng giũ nguyên tử, tìm cách tạo ra khoảng cách của hai thừa số ở mẫu bằng tử

số thì bài toán sẽ tìm ra lời giải

1.6 6.2 2.13 13.3 15.4 5 1.6 6.2 2.13 13.3 15.4

= 5 1 4 3 2 5

5.6 6.10 10.13 13.15 15.20

= 5 1 1 5 3 3

2.3.6 Hướng thứ sáu : thay đổi mẫu của từng phân số (mẫu được tính thành giá trị cụ thể).

Mới đầu học sinh sẽ gặp khó khăn, không biết bắt đầu từ đâu, khoảng cách giữa các mẫu không theo quy luật nào cả Đến mức độ này, bài toán trở nên khó hơn, tuy nhiên nếu chịu khó suy nghĩ, tìm quy luật thì bài toán trở nên dễ dàng hơn khi biết phân tích các mẫu thành tích : 2 = 1.2, 6 = 2.3 , … , 9900 = 99.100

5

1.2 2.3 3

Đây là hướng mở rộng bài toán thành những bài toán tương đồi khó, yêu cầu học sinh phải phân tích, tìm được quy luật Tuy nhiên, hướng khai thác này có thể kết hợp với hướng thứ năm:

Bài tập 11: Tính 1 1 1 1 1 1

20 30 42 56 72 90

(trích đề thi Toán 6 huyện Tĩnh Gia năm học 2017-2018)

= 1 1 3



    

Hay diễn đạt hướng khai thác này theo cách khác :

Bài tập 12: “Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy : 1 1; ; 1 ; 1 ;

6 66 176 336 ”[3]

Trước hết ta viết các mẫu thành dạng tích : 6 = 1.6; 66 = 6.11; 176 = 11.16;

Trang 9

336 = 16.21; … ; số hạng thứ n của dãy có dạng (5n - 4)(5n + 1), do đó số hạng thứ n của dãy đã cho là 1

496.501 Như vậy yêu cầu bài toán đưa về tính tổng :

6 66 176 336     496.501

6 66 176 336    496.501 1.6 6.11 11.16 16.21      496.501 = 1. 5 5 5 5 5

5 1.6 6.11 11.16 16.21 496.501

= 1 1 1 1 500 100

Tuy nhiên, đối với những bài toán chưa cho trước quy luật mẫu số mà cần yêu cầu tư duy cao hơn mới tìm ra quy luật thì sao?

Bài tập 13: “Tính nhanh: C 1 1 1 1 1 1

2 14 35 65 104 152

Ta nhận thấy mẫu các số hạng trong tổng kia phân tích thành tích thì không có quy luật nào cả nên không áp dụng được công thức Vậy làm thế nào đưa bài toán này về bài toán có quy luật Nếu nhân cả tử và mẫu của mỗi số hạng trong tổng với 2 (không làm thay đổi giá trị của phân số) thì sẽ dễ dàng viết viết được các mẫu theo quy luật Đây chính là mấu chốt của bài toán

= 2 2 2 2 2 2

1.4 4.7 7.10 10.13 13.16 16.19     =2 3 3 3 3 3 3

3 1.4 4.7 7.10 10.13 13.16 16.19

=2 1 1 2 18 12

Bài tập 14: Tính nhanh: 1 1 1 1

6 30 70   198

Bài này mẫu các số hạng trong tổng khi phân tích thành tích thì cũng không có quy luật như bài tập 12 Nếu theo hướng bài 12, học sinh đi tìm cách nhân các mẫu với bao nhiêu đó để tìm ra quy luật rồi cũng không được Và nếu học sinh nào suy nghĩ theo hướng “hai chiều” : nhân không được thì chia, bài toán sẽ được giải quyết

Trang 10

Ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 1

= 1 1 1 1 1

= 1 1 1 1 10 5

2.3.7 Hướng thứ bảy : tăng thêm thừa số trong mỗi mẫu số.

1.2.3 2.3.4 3.4.5 98.99.100

Nếu chưa làm bài tương tự lần nào thì đến đây hầu như học sinh bế tắc Với gợi

ý làm sao để biến đổi một thừa số là hiệu của hai phân số, sau đó có thể rút gọn được thì học sinh chỉ nghĩ làm sao để được phân số có mẫu là số được tính sẵn Nếu nghĩ rộng ra một chút như thế này thì bài toán dễ dàng được giải quyết :

1.2.3 2 1.2.3 2 1.2 2.3

2.3.4 2 2.3.4 2 2.3 3.4

…

98.99.100 2 98.99.100 2 98.99 99.100

7

1.2.3 2.3.4 3.4.5 98.99.100

2 1.2.3 2.3.4 3.4.5 98.99.100

2 1.2 2.3 2.3 3.4 98.99 99.100

= 1. 1 1 1 4949. 4949

2 1.2 99.100 2 9900 19800

*Từ bài tập 12 có thể hình thành công thức tổng quát: với n N*

n n 1  n 1 n 2  n n 1 n 2 

1.2.3 2.3.4 3.4.5 n n 1 n 2 2 1.2 n 1 n 2

Tiếp tục theo hướng này, ta có thể tăng thêm một thừa số ở dưới mẫu nữa :

Bài tập 16: Tính nhanh 8

1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 97.98.99.100

Trang 11

Dựa vào bài tập 12, ta có hướng suy nghĩ :

1.2.3.4 3 1.2.3.4 3 1.2.3 2.3.4

2.3.4.5 3 2.3.4.5 3 2.3.4 3.4.5

…

97.98.99.100 3 97.98.99.100 3 97.98.99 98.99.100

8

1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 97.98.99.100

3 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 97.98.99.100

3 1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 97.98.99 98.99.100

= 1 1 1

3 1.2.3 98.99.100



*Từ bài tập 13 có thể hình thành công thức tổng quát: với n N*

n n 1 n 2   n 1 n 2 n 3   n n 1 n 2 n 3  

1.2.3.4 2.3.4.5 n n 1 n 2 n 3 3 1.2.3 n 1 n 2 n 3

Đến đây, tôi nghĩ rằng, khi tăng thêm nữa các thừa số ở mẫu thì học sinh không còn sợ nữa Trái lại các em sẽ rất hăng say để khám phá ra cách giải bài toán

2.3.8 Hướng thứ tám : ứng dụng vào bài toán tìm đại lượng chưa biết Bài tập 17: Tìm x, biết: x 1: 1 1 1

2 3 1.2 2.3   99.100

Để làm được bài tập này thì trước tiên phải tính được vế phải, khi đó lại quay lại bài tập cơ bản ban đầu

Ta có: x 1: 1 1 1

2 3 1.2 2.3   99.100

x 1: 1 1 99

2 3  100 100

x 1 99 33

2 3 100 100 , Suy ra

33 x 50

 Tuy nhiên, ta có thể gặp những bài toán ngược :

Định dạng
Số trang	18
Dung lượng	565 KB