1. Biến đổi "tương đương" trong những tình huống chỉ đúng một chiều là chiều "suy ra" Những biến đổi sau không đúng: Hai đường thẳng song song "tương đương" với hai hệ số góc bằng nhau. Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ABC ‘tương đương’ đường thẳng d vuông góc với đường thẳng AB. f(x) bằng g(x) ‘tương đương’ với đạo hàm của f(x) bằng đạo hàm của g(x). u bằng f(x) ‘tương đương’ với du bằng đạo hàm của f(x) nhân với dx. Hệ hai phương trình f(x,y)=0 và g(x,y)=0 ‘tương đương’ với một phương trình a.f(x,y)+b.g(x,y)=0 (a, b là hai số thực khác 0). Hai số phức bằng nhau ‘tương đương’ với hai phần thực bằng nhau. Hai số phức bằng nhau ‘tương đương’ với hai phần ảo bằng nhau…. Giải pháp an toàn: Một số trường hợp thường dùng biến đổi "tương đương" là giải phương trình, giải hệ phương trình, giải bất phương trình, giải hệ bất phương trình, giải bài toán tìm điều kiện cần và đủ. Các trường hợp khác, học sinh nên biến đổi "suy ra". Tóm lại, khi khẳng định ‘Nếu A thì B’ đúng và khẳng định "Nếu B thì A" sai, học sinh không được biến đổi "tương đương". 2. Thiếu điều kiện, thừa kết quả, quên kết luận Khi bài toán có biểu thức căn bậc hai, biểu thức có ẩn dưới mẫu số, biểu thức tanx, biểu thức cotx, biểu thức logarit, dạng đại số của số phức, học sinh cần hình thành ‘phản xạ có điều kiện’ và kiểm tra lại điều kiện trước khi viết đáp số. Với những bài toán cần xét nhiều trường hợp, học sinh cần chú ý tổng hợp kết quả và kết luận. 3. Gạch đầu dòng tùy tiện Nếu học sinh gạch đầu dòng liền trước một biểu thức thì có thể bị hiểu là: nhầm dấu của biểu thức Ví dụ: Giải phương trình sinx + cosx = 1. Nếu học sinh gạch đầu dòng là " – sinx + cosx = 1" thì sẽ bị hiểu nhầm là ‘biểu thức trừ sinx cộng với cosx bằng 1’. 4. Viết lời giải bài toán như một ‘đoạn văn’ dài, không chia ý rõ ràng và làm sai ở câu cuối cùng của đoạn mình viết Học sinh nên chia ý rõ ràng và xuống dòng khi kết thúc các ý, nếu sai ý sau thì vẫn được chấm điểm ý trước. Mỗi bài toán thi đại học thường được tính 1 điểm và đáp án thường có 4 ý, mỗi ý 0,25 điểm. Các học sinh cần chú ý điều này để trình bày các ý rõ ràng. 5. Viết nhầm lẫn các chữ, các kí hiệu Học sinh chú ý phân biệt các chữ, các kí hiệu sau khi viết bài thi: Chữ i và số 1, chữ b và số 6, chữ z và số 2, chữ D và chữ P, chữ D và chữ O, chữ P và chữ O, chữ H và chữ A, chữ g và chữ y, chữ g và chữ q, chữ q và số 9, chữ C và dấu ngoặc đơn ( , chữ C và kí hiệu chỉ quan hệ tập hợp con, dấu ngoặc đơn ( và kí hiệu chỉ quan hệ tập hợp con, chữ u và chữ v, chữ u và chữ n, dùng chung kí hiệu chỉ quan hệ tập hợp con và kí hiệu chỉ quan hệ phần tử thuộc tập hợp, chữ a và kí hiệu góc anpha. 6. Dùng chung tên điểm tại hai vị trí khác nhau Bài toán phương pháp tọa độ, học sinh thường có thói quen gọi tâm đường tròn là O, gọi tâm mặt cầu là O. Các em cần chú ý rằng, O là gốc tọa độ. Trong trường hợp dùng chung tên điểm, các em không nên vội vàng xóa, có thể khắc phục nhanh sự cố bằng cách thêm dấu phẩy vào điểm đó, ví dụ O’. 7. Tính toán sai, sử dụng kết quả sai để làm tiếp Học sinh cần chú ý cẩn thận trong từng phép tính, tránh tình trạng tính toán vội vàng rất nhiều phép tính rồi mới kiểm tra từ đầu và sửa sai từ đầu. 8. Lập phương trình sai, sử dụng máy tính để tìm chính xác nghiệm của phương trình đó và yên tâm kết luận Học sinh cần chú ý kiểm tra kĩ phương trình trước khi dùng máy tính để tìm nghiệm, tránh tình trạng quá tin tưởng máy tính mà quên mất là phương trình sai. 9. Nhập sai số liệu vào máy tính điện tử và yên tâm dùng kết quả của máy tính Học sinh không nên chủ quan khi dùng máy tính, cần kiểm tra cẩn thận các số liệu khi nhập vào máy tính. 10. Sử dụng máy tính điện tử để tìm nghiệm dưới dạng gần đúng Khi đáp số được viết dưới dạng phân số hoặc dạng căn bậc hai, dạng logarit của một số dương, nếu máy tính cho kết quả là một số thập phân gần đúng thì vẫn không được chấp nhận với bài toán yêu cầu tìm đúng kết quả. Học sinh cần chú ý thử máy tính trước khi đi thi. 11. Đọc nhầm đề dẫn đến một bài toán dễ hơn, tính toán nhanh hơn, giải được bài toán mới và yên tâm không kiểm tra lại đề bài Học sinh cần đọc đề kĩ, xác định đúng yếu tố đã cho, điều phải tìm, điều phải chứng minh. 12. Sử dụng đúng giả thiết và mất thời gian đưa ra kết quả mới không liên quan gì đến kết luận của bài toán Học sinh phải rất cảnh giác với những tình huống ‘lạc đề’, suy luận đúng nhưng không để làm gì, không phục vụ cho việc giải bài toán trong đề thi. 13. Mất thời gian làm đúng một bài toán không liên quan đến bài toán trong đề thi Tình huống có thể xảy ra với học sinh và không có điểm. Bài toán trong đề thi: Chứng minh biểu thức A lớn hơn biểu thức B. Học sinh mất thời gian chứng minh được biểu thức A lớn hơn biểu thức C nhưng không biết biểu thức C lại nhỏ hơn biểu thức B. 14. Sử dụng kết quả không được quy định trong chương trình Kết quả được sử dụng để giải bài thi phải phù hợp với sách giáo khoa chương trình hiện hành. Khi học sinh thừa nhận kiến thức không được quy định trong chương trình, học sinh làm đúng, bài thi vẫn không được tính điểm tối đa. Nếu các học sinh giỏi sử dụng kết quả ngoài sách giáo khoa thì phải chứng minh lại các kết quả đó bằng kiến thức trong sách giáo khoa. Khi chọn đề theo chương trình ban cơ bản, học sinh đã học sách giáo khoa ban nâng cao có thể không biết những kết quả mình sử dụng không có trong sách giáo khoa ban cơ bản. Học sinh cần tìm hiểu trước những kiến thức có trong sách giáo khoa ban nâng cao nhưng không có trong sách giáo khoa ban cơ bản. 15. Nghĩ được cách giải, học sinh có thể vui mừng và chủ quan, không kiểm soát được mình viết đúng hay viết sai, không cẩn thận trong việc viết kết quả Học sinh không có cơ hội gặp giám khảo để giải thích suy nghĩ của mình. Khi đi thi, các em không thể bằng lòng sớm với việc phát hiện ra cách giải. Khi ngồi trong phòng thi, yếu tố tâm lí có thể làm cho các em không viết được chính xác những điều đã suy nghĩ. Học sinh cần chú ý - Ba yếu tố quan trọng ảnh hưởng đến kết quả thi là: kiến thức, kĩ năng và tâm lí. - Ba nguyên tắc quan trọng khi viết bài thi để có thể đạt điểm cao là: 3 Đ: Đúng - Đủ - Đẹp. 1) Học sinh phải viết đúng kí hiệu, viết đúng công thức, vẽ hình đúng, lập luận đúng, kết quả đúng. 2) Học sinh phải viết đủ ý. 3) Học sinh phải trình bày đẹp, diễn đạt tốt.
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình Lượng giác 1 NĂM HỌC 2010 - 2011 S Ở GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUẢNG BÌNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Đồng Hới, tháng 5 năm 2011 Người thực hiện: Trần Xuân Bang Tổ Toán Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình Lượng giác 2 Phần thứ nhất. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Phương trình lượng giác là một trong những đơn vị kiến thức trọng tâm trong toàn bộ nội dung chương trình Toán THPT. Trong các đề thi Tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng, phương trình lượng giác luôn luôn có mặt. Một tập hợp các phương trình lượng giác trong các đề thi Tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng của các trường Đại học trước đây và của Bộ giáo dục và Đào tạo từ 2002 đến nay là một món quà quý cho học sinh ôn luyện thi, cũng là một tài liệu để các thầy cô giáo tâm huyết với nghề nghiệp tham khảo. Với lý do đó tôi đã cố gắng tập hợp, sữa chữa, biên tập "Phương trình lượng giác" hơn một năm nay và đã hoàn thành ở một mức độ nhất định. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC bao gồm: 1. Phương trình lượng giác cơ bản: Với 4 phương trình lương giác cơ bản, mỗi phương trình đều có trình bày cách lấy nghiệm, ví dụ minh họa và các chú ý. 2. Phương trình bậc nhất, bậc hai, bậc ba đối với một hàm số lượng giác: Với 65 phương trình có lời giải chi tiết. 3. Phương trình asinx + bcosx = c, (a 2 + b 2 > 0): Với 22 phương trình có lời giải chi tiết. 4. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx: Với 13 phương trình có lời giải chi tiết. 5. Phương trình a(sinx - cosx) + bsinxcosx + c = 0: Với 9 phương trình có lời giải chi tiết. 6. Phương trình asin 2 x + bcos 2 x + csinxcosx = d: Với 15 phương trình có lời giải chi tiết. 7. Phương trình: asin 3 x + bcos 3 x + csin 2 xcosx + dsinxcos 2 x + dsinx + ecosx = 0: Với 5 phương trình có lời giải chi tiết. 8. Phương trình a(tanx + cotx) + b(tan 2 x + cot 2 x) + c = 0: Với 1 phương trình có lời giải chi tiết. 9. Phương trình a(tanx - cotx) + b(tan 2 x + cot 2 x) + c = 0: Với 1 phương trình có lời giải chi tiết. 10. Các phương trình lượng giác khác: 10.1 Biến đổi về tích: Với 80 phương trình có lời giải chi tiết. 10.2 Biến đổi thẳng về phương trình lượng giác cơ bản: Với 20 phương trình có lời giải chi tiết. 10.3. C¸c ph¬ng tr×nh lîng gi¸c kh«ng mÉu mùc: Với 27 phương trình có lời giải chi tiết. 11. Các phương trình lượng giác trong các đề Dự bị thi Tuyển sinh vào các trường Đại học và Cao đẳng từ 2002 đến 2008: Với 42 phương trình có lời giải chi tiết. 12. 26 phương trình lượng giác trong các kỳ thi chính thức Tuyển sinh vào các trường Đại học và Cao đẳng từ 2002 đến 2010. Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình Lượng giác 3 13. 95 phương trình lượng giác trong bộ đề thi tuyển sinh vào các trường Đại học và Cao đẳng. Phần thứ hai. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1. Phương trình lượng giác cơ bản 1.1. cosx = m. 1 m : Vô nghiệm(vn) 1 m : Gọi T = 1 2 3 0, , , , 1 2 2 2 Nếu m T thì chọn sao cho os c m . Khi đó nghiệm của phương trình là: 2 x k , ( k ). Nếu m T thì nghiệm của phương trình là: arccos 2 x m k , ( k ). VD1. a) Phương trình cosx = 1 2 2 ;( ) 3 x k k . b) Phương trình 3 osx = - 2 ;( ) 2 6 c x k k . c) Phương trình 5 5 osx = - arccos - 2 ;( ) 2 2 c x k k . d) Phương trình 10 osx = - 3 c : vn vì 10 1 3 . Chú ý 1: i) Phương trình osx = 0 ;( ) 2 c x k k . ii) Phương trình osx = 1 2 ;( ) c x k k . 3i) Phương trình osx = - 1 2 ;( ) c x k k . Chú ý 2: Phương trình osx = cos 2 ;( ) c x k k . Tổng quát: Phương trình osu(x) = cosv(x) ( ) ( ) 2 ;( ) c u x v x k k . VD2. a) Phương trình 1 os(2x-1) = 0 2 1 ;( ) 2 2 4 2 c x k x k k . b) Phương trình 0 0 0 0 0 os(x-15 ) = 1 x-15 360 x=15 360 ;( ) c k k k . c) Phương trình 0 1 1 1 os(x-15 ) = os x- x- arccos 2 ;( ) 3 12 3 12 3 c c k k . Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình Lượng giác 4 d) Phương trình 2 6 os 2x- = cos x- 2x- x- 2 ( ) 4 12 4 12 2 9 3 x k c k k x k 1.2. sinx = m. 1 m : vn 1 m : Gọi T = 1 2 3 0, , , , 1 2 2 2 Nếu m T thì chọn sao cho sin m . Khi đó nghiệm của phương trình là: 2 x k hoặc 2 x k ; k . Nếu m T thì nghiệm của phương trình là: arcsin 2 x m k hoặc arcsin 2 x m k ; k . VD1. a) Phương trình sinx = 1 2 2 6 ( ) 5 2 6 x k k x k . b) Phương trình 2 3 3 sinx = - ( ) 4 2 2 3 x k k x k . c) Phương trình 5 arcsin - 2 2 5 sinx = - ( ). 2 5 arcsin - 2 2 x k k x k . d) Phương trình 11 sinx = 3 : vn vì 11 1 3 . Chú ý 1: i) Phương trình sinx = 0 ;( ) x k k . ii) Phương trình sinx = 1 2 ;( ) 2 x k k . 3i) Phương trình sinx = - 1 2 ;( ) 2 x k k . Chú ý 2: Phương trình 2 sinx = sin ( ) 2 x k k x k . Tổng quát: Phương trình ( ) 2 sinu(x) = sinv(x) ( ) ( ) 2 u x k k v x k . Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình Lượng giác 5 VD2. a) Phương trình 1 sin(2x - 1) = 0 2 1 ;( ) 2 2 x k x k k . b) Phương trình 0 0 0 0 0 0 sin(x - 15 ) = 1 x - 15 90 360 x=105 360 ;( ) k k k . c) Phương trình 0 1 x - arcsin 2 12 3 1 1 sin(x - 15 ) = sin x - 3 12 3 1 x - arcsin 2 12 3 1 x = +arcsin 2 12 3 ( ) 13 1 x = - arcsin 2 12 3 k k k k k d) Phương trình 2x - x - 2 4 12 sin 2x - = sin x - 4 12 2x - x + 2 4 12 2 6 ( ) 4 2 9 3 k k x k k x k 1.3. tanx = m. Phương trình có nghiệm với mọi m. Gọi T = 1 0, , 1, 3 3 Nếu m T thì chọn sao cho tan m . Khi đó nghiệm của phương trình là: x k , k . Nếu m T thì nghiệm của phương trình là: arctan x m k , k . VD1. a) Phương trình tan x = 3 ;( ) 3 x k k . b) Phương trình tan x = - 1 3 ;( ) 6 x k k . c) Phương trình tan x = 2 arctan 2 ;( ) x k k . Chú ý: Phương trình tanx = tan ;( ) x k k . Tổng quát: Phương trình tanu(x) = tanv(x) ( ) ( ) ;( ) u x v x k k . Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình Lượng giác 6 VD2. a) Phương trình tan 2x = 3 2 ;( ) ;( ) 3 6 2 x k k x k k b) Phương trình tan (x - 45 0 ) = - 1 3 0 0 0 0 0 45 30 180 15 180 ;( ) x k x k k c) Phương trình tan (x - 45 0 ) = 2 arctan 2 +arctan 2 ;( ) 4 4 x k x k k e) Phương trình tan(2x + 1) = tan60 0 1 tan(2 1) tan 2 1 ;( ) 3 3 2 6 2 x x k x k k 1.4. cotx = m. Phương trình có nghiệm với mọi m. Gọi T = 1 0, , 1, 3 3 Nếu m T thì chọn sao cho cot m . Khi đó nghiệm của phương trình là: x k , k . Nếu m T thì nghiệm của phương trình là: arcot 2 ;( ) x k k VD1. a) Phương trình cotx = 3 ;( ) 6 x k k . b) Phương trình cotx = - 1 3 ;( ) 3 x k k . c) Phương trình cotx = - 2 arcot(-2) ;( ) x k k . Chú ý: Phương trình cotx = cot ;( ) x k k . Tổng quát: Phương trình cotu(x) = cotv(x) ( ) ( ) ;( ) u x v x k k . VD2. a) Phương trình cot2x = 3 2 ;( ) ;( ) 6 12 2 x k k x k k . b) Phương trình cot(x - 45 0 ) = - 1 3 0 0 0 0 0 45 60 180 15 180 ;( ) x k x k k . c) Phương trình cot(x - 45 0 ) = 5 arcot - 5 +arcot - 5 ;( ) 4 4 x k x k k . e) Phương trình cot(3x - 2) = cot60 0 2 cot(3 2) cot 3 2 ;( ) 3 3 3 9 3 x x k x k k . Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình Lượng giác 7 2. Phương trình bậc nhất, bậc hai, bậc ba đối với một hàm số lượng giác. Dạng: ( ) 0 A x B 2 [ ( )] ( ) 0 A x B x C . 2 3 [ ( )] ( ) ( ) 0 A x B x C x D Trong đó, ( ) x là sinu(x), cosu(x), tanu(x), cotu(x). VD1. Giải phương trình cos2x + 2sin 2 x + sin2x = 0. HD. Phương trình đã cho 2 2 2cos 1 2sin 2sin2x = 0 1 sin 2 0 2 2 ,( ). 2 4 x x x x k x k k VD2. Giải phương trình 6 6 sin x cos x sin 2x . HD. Phương trình đã cho 2 2 3 1 sin 2x sin 2x 3sin 2x 4sin2x 4 0 4 1 2 x arcsin k sin 2x 2 (vn) 2 3 (k ) sin 2x 2 / 3 1 2 x arcsin k 2 2 3 VD3. Giải phương trình 2 (3 2sin x)cosx (1 cos x) 1 1 sin2x . HD. Điều kiện: sin 2x 1 Phương trình đã cho 2 2 cosx 1 3cos x sin2x 1 cos x 1 sin2x cos x 3cosx 2 0 cosx 2 (vn) cosx 1 x k2 ; (k ) VD4. Giải phương trình 5cosx cos2x 2sin x 0 . HD. Phương trình đã cho 2 2 sin x 0 5cosx cos2x 2sin x 5cosx (2 cos 1) 4sin x 2 2 2 sin x 0 sin x 0 5cosx (2 cos 1) 4(1 cos x) 2cos x 5cosx 3 0 sin x 0 sin x 0 x k2 ; (k ) cosx 3 (vn) 3 cosx 1/ 2 cosx 1/ 2 VD5. Giải phương trình 2 2 1 1 cos x 2 cosx 2 0 cosx cos x . HD. Ñieàu kieän : 0x cos . Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình Lượng giác 8 Phương trình đã cho 2 2 1 1 1 1 cosx 2 2 cosx 2 cosx 2 cosx cosx cosx cos x cosx 1 cosx 0 (1) cosx 1 cosx 2 (2) cosx . 2 (1) 1 cos 0 (vn) x 2 2 (2) cos 2cos 1 0 (cos 1) 0 cos 1 2 ; (k ) x x x x x k VD6. Giải phương trình x 1 x x 1 x 2 2 cos cos cos cos . HD. Ñieàu kieän : 0x cos . Phương trình đã cho 2 2 1 1 1 1 cosx 2 cosx cosx cosx 2 0 cosx cosx cosx cosx 1 cosx 1 (1) cosx 1 cosx 2 (2) cosx . 2 (1) cos cos 1 0 (vn) x x 2 2 (2) cos 2cos 1 0 (cos 1) 0 cos 1 2 (k ) x x x x x k VD7. Giải phương trình 2 2 1 1 cos x 2 cosx 1 cosx cos x . HD. Ñieàu kieän : 0x cos . Phương trình đã cho 2 1 1 cosx 2 2 cosx 1 cosx cosx 2 1 1 cosx 2 cosx 1 0 cosx cosx 01 x 1 x01 x 1 x 2 cos cos] cos [cos 01xx 2 coscos 1 5 cosx (vn) 1 5 2 x arccos k2 ; (k ) 2 1 5 cosx 2 Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình Lượng giác 9 VD8. Giải phương trình 2 2 1 1 2 cos x 7 cosx 2 0 cosx cos x . HD. Ñieàu kieän : 0x cos . Phương trình đã cho 2 2 1 1 2 cosx 2 7 cosx 2 0 cosx cosx 1 1 2 cosx 7 cosx 6 0 cosx cosx 1 cosx 2 (1) cosx 1 3 cosx (2) cosx 2 . 2 cos 1 2 (1) cos 2cos 1 0 arccos( 1 2) 2 ; (k ) cos 1 2 (vn) x x x x k x VD9. Giải phương trình 2 2 1 1 sin x sin x 0 sin x sin x . HD. Ñieàu kieän : 0x sin . Phương trình đã cho 2 1 1 sin x sinx 2 0 sin x sin x 1 sin x 1 (1) sin x 1 sin x 2 (2) sin x . 2 (1) sin sin 1 0 (vn) x x 2 2 (2) sin 2sin 1 0 (sin 1) 0 sin 1 2 ; (k ) 2 x x x x x k VD10. Giải phương trình 2 2 1 1 4 sin x 4 sin x 7 0 sin x sin x . HD. Ñieàu kieän : 0x sin . Phương trình đã cho 2 2 1 1 1 1 4 sin x 2 4 sin x 7 0 4 sin x 4 sin x 15 0 sin x sinx sin x sin x Trn Xuõn Bang - Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh Phng trỡnh Lng giỏc 10 1 3 sin x (1) sin x 2 1 5 sin x (2) sin x 2 . 2 (1) 2sin 3sin 2 0 (vn) x x 2 sin x 2(vn) (2) 2sin x 5sin x 2 0 1 sin x 2 x k2 6 (k 7 x k2 6 ) VD11. Gii phng trỡnh 0 4 3 x2x2 22 cossin . HD. Phng trỡnh ó cho 03x214x214 2 )cos()cos( 03x24x2403x244x244 22 coscoscoscos 1 cos2x 2 2x k2 x k ; (k ) 3 6 3 cos2x (vn) 2 VD12. Gii phng trỡnh 03xtg4xtg 24 2 2 x k tgx 1 tg x 1 4 (k ) tg x 3 tgx 3 x k 3 VD13. Tỡm nghieọm cuỷa phửụng trỡnh : 4 4 sin x cos x cos2x (1) thoỷa maừn baỏt phửụng trỡnh : 2 1 2 1 log (2 x x ) 0 (2) HD. Phng trỡnh ó cho 4 4 2 2 1 sin x cos x cos2x 1 sin 2x cos2x cos 2x 2cos2x 1 0 2 cos2x 1 x k 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 x x 0 2 x x 0 1 log (2 x x ) 0 log (2 x x ) 1 x x 0 1 x 2 1 x 2 x 1 1 x 0 x 0 [...]... 0 khơng thoả mãn phương trình ii) cosx 0, chia hai vế của phương trình cho cos2x, ta được: 2 3 tan2x - 3 tan x 0 Phương trình đã cho có nghiệm: x= 2 3 3 k , x k , x = arctan + k, k 4 6 3 Phương trình Lượng giác 17 Trần Xn Bang - Trường THPT Chun Quảng Bình VD39 Giải phương trình: HD Đk: x k 3 4 2sin 2 x 2 3 2(cotg x 1) 2 sin 2 x cos x 2 Phương trình đã cho tương... Phương trình Lượng giác 16 Trần Xn Bang - Trường THPT Chun Quảng Bình 3 2 tan x + tan x – 5tanx + 3 = 0 Đặt t = tanx ta được phương trình t 1 t3 + t2 – 5t +3 = 0 (t – 1)(t2 + 2t – 3) = 0 t 3 Với t = 1, phương trình tanx = 1 có nghiệm x k , k 4 Với t = -3, phương trình tanx = -3 có nghiệm x = arctan(-3) + k, k Các giá trị này thỏa mãn điều kiện của phương trình đã cho Vậy phương. .. 2 2 Nghiệm của phương trình là: x = k2; x k 2 ; x k 2 (k ) 3 3 VD60 Giải phương trình 2sin 2 x 5cos x 1 0 cos x 3 (loại) 2 2 2cos x 5cos x 3 0 x k 2 (k ) 1 cos x 3 2 2 cos 4 x 6co s 2 x 1 3cos 2 x VD61 Giải phương trình 0 cos x Phương trình Lượng giác 24 Trần Xn Bang - Trường THPT Chun Quảng Bình ĐK: x HD k , 2 Phương trình đã... k 2 ,( k ) 1 cos x (loại) 2 VD56 Giải phương trình cos2x - cosx - 2 = 0 HD Phương trình đã cho tương đương: Phương trình Lượng giác 23 Trần Xn Bang - Trường THPT Chun Quảng Bình 2 cos 2 x cos x 3 0 cos x 1 cos x 3 (vn) 2 cos x 1 x k 2 , (k ) VD57 Giải phương trình cos 2 x 3cos x 2 0 HD Phương trình đã cho tương đương: 2cos 2 x 3cosx 1 0... 3 7 arcsin k2 x 4 5 2 4 2 VD16 Giải phương trình cos 2 x 2 cos 2 x HD Phương trình đã cho cos2 2x 1 cos 4 2x cos2 2x 2 0 2 cos 2x 2(vn) k sin 2 x 0 2 x k x ; (k ) 2 Phương trình Lượng giác 11 Trần Xn Bang - Trường THPT Chun Quảng Bình VD17 Giải phương trình cos 2 2x 4 sin 4 x 3 0 HD Phương trình đã cho (1 2 sin 2 x ) 2 4 sin 4 x ... VD34 Giải phương trình 3 cos x cos 2x cos3x 1 2 sin x sin 2x HD Phương trình đã cho 3t 2t 2 1 4t 3 3t 1 4(4 t 2 )t (t cos x) t 0 cos x 0 x k 2t 2 2t 0 (k ) 2 t 1 cos x 1 x 2k Phương trình Lượng giác 15 Trần Xn Bang - Trường THPT Chun Quảng Bình VD35 Tìm x thuộc đoạn x 0; 2 nghiệm đúng phương trình : cos... phương trình (*) có nghiệm trên khoảng ; 2 HD Phương trình đã cho 1 2 sin 2 x (2m 1) sin x m 1 0 2 sin 2 x (2m 1) sin x m 0 a) Khi m = 2: Phương trình đã cho 2sin 2 x 5sin x 2 0 Phương trình Lượng giác 26 ; x 5 6 Trần Xn Bang - Trường THPT Chun Quảng Bình 1 x 6 k 2 s in x ( k ) 2 x 5 k 2 s inx = 2 6 b) Tìm m để PT (*) có nghiệm. .. sin cos Đưa phương 2 2 2 x x trình về phương trình có vế trái đẳng cấp bậc hai đối với sin , cos 2 2 b c b 5i) Có thể chia hai vế cho a, nếu a 0: s inx cosx = Đặt tan a a a b hoặc cot a Phương trình Lượng giác 27 Trần Xn Bang - Trường THPT Chun Quảng Bình Cũng có thể chia hai vế cho b, nếu a 0: a c a s inx cosx = Đặt tan hoặc b b b a cot b VD1 Giải phương trình 2 3 cos... x k; (k ) 4 4 VD22 Giải phương trình 4 tg x 1 2 cos 2 x HD Điều kiện : cos x 0 Phương trình Lượng giác 12 (1) Trần Xn Bang - Trường THPT Chun Quảng Bình tg2 x 1 (1) 4tg 4 x 1 tg2 x 2 4tg 4 x tg2 x 3 0 2 tg x 3 (vn) 4 tgx 1 x k; (k ) 4 8 8 VD23 Giải phương trình sin x cos x 1 8 HD Phương trình đã cho (sin 4 x ) 2 (cos 4... 2 2 Phương trình đã cho 22 cos 2 x 1 3(1 cos 2 x 1 3 cos 2 x 0 k cos 2 x 1 x 2 2 cos 2 2 x 3 cos 2 x 1 0 ( k ) cos 2 x 1 x k 2 6 VD41 Giải phương trình Phương trình Lượng giác 18 Trần Xn Bang - Trường THPT Chun Quảng Bình x k thỏa ĐK khi chỉ khi x m 2 k , ( m, k ) 6 1 cos x (2 cos x 1) 2 sin x VD42 Giải phương trình . " ;Phương trình lượng giác& quot; hơn một năm nay và đã hoàn thành ở một mức độ nhất định. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC bao gồm: 1. Phương trình lượng giác cơ bản: Với 4 phương trình lương giác. S Ở GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUẢNG BÌNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Đồng Hới,. Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình Lượng giác 2 Phần thứ nhất. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Phương trình lượng giác là một trong những đơn vị kiến thức trọng tâm