- Căn cứ vào tình hình học tập của học sinh hệ phổ thông trung học trong việc học tập bộ môn Đại số và giải tích... - Kinh nghiệm giảng dạy của một số nhà Toán học trình bày trong các tà
Trang 1phơng trình lợng
giác
Phần thứ nhất: Mở Đầu
1 Lý do chọn đề tài
I, Lý do pháp chế:
- Căn cứ vào yêu cầu và mục tiêu của hệ thống giáo dục thờng xuyên của ngành giáo dục ở bậc phổ thông trung học
- Căn cứ vào tình hình học tập của học sinh hệ phổ thông trung học trong việc học tập bộ môn Đại số và giải tích
II, Cơ sở lý luận:
Trang 2- Kinh nghiệm giảng dạy của một số nhà Toán học trình bày trong các tài liệu III, Cơ sở thực tiễn
- Những thuận lợi và khó khăn trong quá trình giảng dạy bộ môn Đại só và giải tích
và nhất là phần phơng trình lợng giác
2 Mục đích nghiên cứu:
- Nhằm nâng cao nghiệp vụ chuyên môn và rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy
3 Nhiệm vụ nghiên cứu:
I, Nhiệm vụ:
Những nội dung chính của phần phơng trình lợng giác:
- Phơng trình lợng giác cơ bản:
+ Phơng trình: sinx = a
+ Phơng trình: cosx = a
+ Phơng trình: tanx = a
+ Phơng trình: cotx = a
- Một só phơng trình lợng giác thờng gặp:
+ Phơng trình bậc nhất đối với một hàm số lợng giác
+ Phơng trình bậc hai đối với một hàm số lợng giác
+ Phơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx
- áp dụng để giải các hệ phơng trình
II, Yêu cầu:
- Học sinh nắm rõ các công thức biến đổi về lợng giác ở lớp 10 đã học
+ Công thức cộng
+ Công thức nhân đôi
+ Công thức biến đổi tích thành tổng và biến đổi tổng thành tích
- Nhớ công thức nghiệm của phơng trình lợng giác cơ bản
- Biết phân biệt các dạng phơng trình lợng giác
- Nắm phơng pháp chung để giải các phơng trình
- Biết kết hợp nghiệm
4 Đối tợng nghiên cứu:
- Học sinh khối 11 bậc phổ thông trung học
5 Phơng pháp nghiên cứu:
- Tham khảo các tài liệu
- Tham gia đầy đủ các lớp học bồi dỡng do sở giáo dục tổ chức, các buổi sinh hoạt
tổ, nhóm chuyên môn
6 Thời gian nghiên cứu:
- Trong suốt quá trình đợc phân công giảng dạy khối 11 bậc phổ thông trung học
Phần thứ hai: Nội dung
A, Kiến thức có liên quan:
Công thức cộng:
Trang 3cos(a − b) = cosa cosb + sina sinb
cos(a + b) = cosa cosb − sina sinb
sin(a − b) = sina cosb − cosa sinb
sin(a + b) = sina cosb + cosa sinb
tan(a − b) = tan tan
1 tan tan
b
−
tan(a + b) = tan tan
1 tan tan
+
−
Công thức nhân đôi:
cos2a = cos2a − sin2a = 2cos2a − 1 = 1 − 2sin2a
sin2a = 2sinacosa
tan2a =
a tg 1
tga
2
2
Công thức hạ bậc:
cos2a =
2
2 cos
sin2a =
2
2 cos
Công thức biến đổi tích thành tổng:
cosacosb =
2
1
[cos(a + b) + cos(a - b)]
sinasinb =
2
1
[cos(a − b) − cos(a + b)]
sinacosb =
2
1
[sin(a + b) + sin(a - b)]
Công thức biến đổi tổng thành tích:
Cosa + cosb = 2cos
2
b
a +
cos
2
b
a −
Cosa − cosb = −2sin
2
b
a +
sin
2
b
a −
Sina + sinb = 2sin
2
b
a +
cos
2
b
a −
Sina + sinb = 2cos
2
b
a +
sin
2
b
a −
B, Nội dung:
I, Phơng trình lợng giác cơ bản:
Lý thuyết:
Phơng trình: sinx = a ⇔ x = α + k2π, k ∈ Z
và x = π−α + k2π, k ∈ Z
Hay: sinx = a ⇔ x = arcsinα + k2π, k ∈ Z
và x = π− arcsinα + k2π, k ∈ Z
Đặc biệt:
Trang 4sinx = -1 ⇔ x =
2
π
+ k2π, k ∈ Z sinx = 1 ⇔ x = −π2 + k2π, k ∈ Z
sinx = 0 ⇔ x = kπ, k ∈ Z
Phơng trình: cosx = a ⇔ x = ±α + k2π, k ∈ Z
Hay: cosx = a ⇔ x = ± arccosα + k2π, k ∈ Z
Đặc biệt:
cosx = 1 ⇔ x = k2π , k ∈ Z
cosx = −1⇔ x = π + k2π, k ∈ Z
cosx = 0 ⇔ x =
2
π
+ kπ, k ∈ Z Phơng trình: tanx = a ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z
Hay tanx = a ⇔ x = arctanα + kπ, k ∈ Z
Phơng trình: cotx = a ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z
Hay cotx = a ⇔ x = arccotα + kπ, k ∈ Z
Bài tập:
Bài tập1: Giải các phơng trình sau:
3 ) sin 2
2
a x=
2
b x+ = −
c cot x
3
Kết quả:
6
3
= +
∈
= +
0 0
0 0
∈
1
d x) = 15 0 +k180 0 (k Z∈ )
Chú ý: Khi giải cần lu ý khi nào dùng đơn vị Radian, khi nào dùng đơn vị độ,
không đợc dùng cả hai đơn vị đó trong một câu
Bài tập2: Gải các phơng trình sau:
2
2
b x+ = với − < < π x π
Trang 5( )
− < <
Kết quả:
0 0 0
a x= −
Chú ý: Với dạng bài 2 sau khi giải phơng trình xong cần tìm nghiệm phù hợp với
yêu cầu của bài toán
Bài tập3: Giải các phơng trình sau:
a x− = x+
b x= x
c x cot x
d x+ x=
Kết quả:
2
π
= +
= − +
= +
∈
= +
x k
(k Z∈ )
Chú ý: Các câu: b, c, d cần biến đổi về cùng hàm số lợng giác ( dùng công thức 2
góc phụ nhau)
Bài tập 4: Giải các phơng trình sau:
a x+ x=
2 2
b x+ x =
) tan 5 tan = 1
c x x
2 2 2
x
d x+ π = +π
Kết quả:
2 4
π
π
π
=
=
= −
x k
x k
x k
∈
c x k k Z
Chú ý: Cần chọn phơng pháp phù hợp để giải phơng trình một cách nhanh nhất
2 2 2 )
2
= − + +
= +
= +
d
Trang 6Cụ thể câu a: đa về phơng trình tích
Câu d: có thể dùng công thức hạ bậc
II, Một số phơng trình lợng giác thờng gặp:
Lý thuyết:
1, Phơng trình bậc nhất đối với một hàm số lợng giác:
Dạng: at + b = 0 (1)
Trong đó a, b là các hằng số (a≠0), t là một trong các hàm số lợng giác
Cách giải: Chuyển vế rồi chia hai vế của phơng trình (1) cho a, ta đa phơng trình về dạng cơ bản
2, Phơng trình đa về phơng trình bậc hai đối với một hàm số lợng giác:
Dạng: at2 + bt + c = 0
Trong đó a, b, c, là các hằng số (a≠0) và t là một trong các hàm số lợng giác
3, Phơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx:
Dạng: asinx + bcosx = c (1)
Với a, b, c ∈ R; (a2 + b2 ≠ 0)
Cách giải:
( )1 2a 2 sinx 2b 2 cosx 2c 2
Đặt
2 2
2 2
cos sin
a
a b
b
a b
α α
ta đợc phơng trình:
( )
2 2
2 2
c
a b c
x
a b
α
+
+
Phơng trình trên là phơng trình lợng giác cơ bản
Bài tập:
Bài tập1: Giải các phơng trình sau:
a x− =
) 3 tan 2 − = 3 0
2
c x− x+ =
2
d x+ x+ =
Kết quả:
4
a x k k Z
2
2 3
π
=
= ± +
x k
Trang 74
6
= +
∈
) 2 ,( )
2
d x k k Z
Bài tập 2: Giải các phơng trình sau:
a x+ x=
b x− x=
2 1
2
c x+ x=
d x− x=
Kết quả:
a x α k π α α , (k∈Z)
5
2 12
)
13
2 12
= +
b
, (k∈Z)
,(k∈Z)
Chú ý: tuỳ từng bài có thể đặt theo lý thuyết nhng có một số bài lại không nên dập
khuôn quá máy móc nên tìm cách giải phù hợp đối với từng loại bài ( cụ thể nh câu
b, c)
Bài tập 4: Giải các phơng trình sau:
a x+ x + x+ =
b x− x+ x x+ =
c x− x− x + =
3 3
d x+ x=
Kết quả:
Trang 82
1
= +
2
2 2
π
=
x k
2
2
= +
2
2 2
π
=
= +
x k
Chú ý: Khi giải phơng trình dùng phơng pháp đặt ẩn phụ
đặt: t = sinx + cosx, với t ≤ 2
hay: t = sinx - cosx, với t ≤ 2
Bài tập 5: Giải các phơng trình sau:
a x+ x x+ − x=
2 2
b x+ x− x=
2 2 1
2
c x+ x− x=
d x+ + x x+ − x= −
Cách giải: Để giải đợc phơng trình có 2 bớc:
Bớc 1: kiểm tra điều kiện: cosx≠ 0 (hay sinx ≠0)
Bớc 2: Chia 2 vế cho cosx (hay sinx) để đa về phơng trình bậc hai đối với tanx ( hay cotx)
Kết quả:
a,
3 3 8 arctan
3
π
= − +
k Z
b,
2
1
3 1
3
π
= +
c,
π
π
=
x k
Trang 9d, 6 ,( )
4
= − +
∈
= − +
k Z
Bµi tËp 6: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
1) cos 2x− 5sinx− = 3 0 (1)
4 2
2) 2 tan x− 3tan x+ = 1 0 (2)
3
3) 2sin x− cos 2x− sinx= 0 (3)
4) tan tan 2x x= tanx+ tan 2x (4)
3 2 2 3
5) 2sin x+ 2cos sinx x− sin cosx x− cos x= 0 (5)
6) sin 2x+ 2cotx= 3 (6)
Gi¶i:
1,
6
7 sin
2 2
6
x
2,
(2)
1 tan
2
= ±
= ±
x
k Z x
1
2
π
= +
⇔
3,
3
2
sin
2
= −
x
4,
⇔ tan 3x+ 2 tan 2 x− 3tanx= 0
tan 0
tan 1( ¹i)
arctan( 3) ,( )
x
x k
x lo
x
π
π
=
= −
Trang 10(5) ⇔ 2 tan 3x+ 2 tan 2x− tanx− 1
4
1
1
2
2
π
k Z
6,
+
x
x
3 2
2
4
=
x
x k k Z
Chú ý: Với bài tập 6 cần biến đổi về phơng trình chỉ chứa một hàmn số lợng giác III, Một số phơng trình lợng giác khác:
Cách giải:
+ Dùng công thức biến đổi tích thành tổng
+ Dùng công thức biến đổi tổng thành tích
+ Dùng công thức hạ bậc
+ Đa về phơng trình tích
+ áp dụng tính chất: 2 2 0 0
0
A
A B
B
=
+ áp dụng tính chất:
A M hay A M
A M
B N hay B N
B N
A B M N
=
+ = +
Ví dụ:
Bài tập 1: Giải các phơng trình:
1, cosxcos7x = cos3xcos5x (1)
2, sin2x + sin4x = sin6x (2)
3, sin 4 2 x+ sin 3 2 x= sin 2 2 x+ sin 2x (3)
4, sin 3x+ cos 3x= cos 2x (4)
Chú ý: Dùng các công thức biến đổi tích về tổng, tổng về tích, công thức nhân đôi,
công thức hạ bậc và sử dụng các hằng đẳng thức lợng giác
Trang 11Gi¶i:
1,
2
4 4
x k
k Z x k k Z
x k
π
π π
=
=
2,
( )
3
3
2 2
x
x x
x k
x k
x k
x k
π
π π
π π
=
=
3,
=
2
5 5
2 2
π π
π π
= +
=
=
x k
x k
x k
4,
4 sin cos sin sin cos cos
cos sin
Trang 12( ) 2 ( )
π
2
2 2
π
=
= − +
x k
k Z
Vậy phơng trình (4) có nghiệm:
3
Bài tập 2: Giải các phơng trình sau:
b x+ x+ x= x+ x+ x
c x+ x+ x=
) tan + tan 2 = tan 3
Giải tơng tự nh bài tập 1
Kết quả:
7
2
π
π
=
∈
=
x k
x k
2 2 3
= ± +
∈
= +
5
3
π
=
∈
= ± +
x k
d) Đk:
2
≠ +
≠ +
≠ +
⇒ Nghiệm:
3
x k= π
Bài tập 3: Giải các phơng trình sau:
2 2 2 2
a x+ x+ x+ x=
4
x
b x+ x= −
2
c x+ x=
Cách giải: Dùng công thức hạ bậc để biến đổi
Kết quả:
Trang 13 = +
= +
) 10 5,( )
2
= +
∈
= +
4
= − +
∈
= +
Bµi t©p 4: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
) tan + tan 2 = sin 3 cos
c x cot x cot x
KÕt qu¶:
a) §k:
2
x≠ +π kπ NghiÖm: 3
4
x k
π
= +
.(k Z∈ )
b) §k: 2
≠ +
≠ +
NghiÖm:
3
x k= π (k Z∈ )
c) §k:
4
x k≠ π ⇒ NghiÖm:
3
x= ± +π kπ
(k Z∈ )
Chó ý: Víi d¹ng bµi tËp 4 cÇn ph¶i cã ®iÒu kiÖn
Bµi tËp5: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
a x= x− x
b + x x= x
c x x− + x− x=
KÕt qu¶:
= +
∈
= −
b x k) = π ,(k Z∈ )
3 2 2
6
= +
∈
= ± +
IV, ¸p dông gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh lîng gi¸c:
Trang 14* Cách 1: Giải từng phơng trình trong hệ rồi tìm nghiệm chung của các phơng trình đó
* Cách 2: Giải một phơng trình đơn giản nhất của hệ rồi thay nghiệm tìm đợc vào các phơng trình còn lại để tìm nghiệm của hệ
Ví dụ:
Bài tập 1: Giải các phơng hệ trình sau:
=
x
x
2, cos 1
=
x
x
2
x
x
Giải:
1,
* Cách 1:
- Giải (1) ta đợc: 34 2 ( ) ( )
4
k Z
= +
∈
= +
- Giải (2) ta đợc: ( ) ( )
4
x= + π πl l Z∈ c
Ta thấy (a) bị chứa trong (c) khi l = 2k
còn ( ) 1 2
không có giá trị nào chung với (c).
Vậy nghiệm của hệ phơng trình là: x= + π π4 l (l Z∈ )
* Cách 2:
- Giải (1) ta đợc: 4 2 ( ) ( )
3
4
k Z
= +
∈
= +
Trang 15- Thay vào (2) ta thấy (a) luôn thoả mãn (2) còn (b) không thoả mãn (2), (∀k ∈ Z) Vậy nghiệm của hệ phơng trình là: x= + π π4 l (l Z∈ )
Tơng tự:
2, x k= 2 π , (k Z∈ )
3, x k= 4 π, (k Z∈ )
4,
2
= +
x k ,(k Z∈ )
Bài tập 2: Giải các phơng trình sau:
1, 2cos 2x= 3sin 5 2 x+ 2 (*)
2, tan 2 2 2sin 5
4
π
x cot x x
cos 4x− cos 2x = + 4 cos 3x
cos 4x− cos 2x = + 4 cos 3x
5, 2sin 5x+ 3cos 8x= 5
Giải:
1, Đánh giá hai vế dựa vào tính chất của các hàm số lợng giác, đa về giải hệ phơng trình
Vì cos2x ≤ 1 nên 2cos2x ≤ 2
Vì sin2x ≤ 0 nên 3sin25x + 2 ≤ 2
Do đó (*)
2 2
Phơng trình (*.a) có nghiệm x = kπ (k∈ Z)
Thay vào (*.b) ta thấy thoả mãn
Vậy nghiệm của (*) là: x = kπ (k ∈ Z)
Tơng tự:
4
= +
x k , (k∈ Z)
Trang 163,
2
= +
x k , (k∈ Z)
4,
2
= +
x k , (k∈ Z)
5, Vô nghiệm
Phần thứ ba: Kết luận
Đối với các bài toán có liên quan đến phơng trình lợng giác trong khi giảng dạy
giáo viên cần:
+ Nhắc lại các công thức biến đổi đã học ở lớp 10
+ Nêu các công thức nghiệm của phơng trình lợng giác cơ bản
+ Nêu phơng pháp chung để giải từng loại bài tập
+ Sau khi giải phơng trình xong cần hớng dẫn học sinh cách kết hợp nghiệm của
ph-ơng trình
C Kiến nghị:
* Thời gian phân phối còn ít cần tăng thêm thời gian luyện tập cho học sinh
* Cần bổ sung bài tập về hệ phơng trình
* Cần bổ sung tài liệu tham khảo cho thầy