Sáng kiến kinh nghiệm giải phương trình mũ bằng phương pháp đánh giá

Ngòai những phương pháp giải thuần túy như: biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ, đưa về cùng cơ số, logarit hai vế ….., bằng cách đánh giá phương trình dựa trên : tính chất hàm số mũ; tính

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

KHOA TOÁN - -

Nhóm sinh viên thực hiện:

Võ Thị Nguyệt (Nhóm trưởng)

Nguyễn Thị Nhung Trần Thị Nhung Lê Thanh Nhưỡng Phan thị Mỹ Nương Đoàn Thanh Phong Trần Thanh Phong(1987)

Tên đề tài:

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ

BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ”

Giáo Viên Hướng Dẫn : DƯƠNG THANH VỸ

Quy Nhơn /11/2009

Lời nói đầu

Phương trình mũ là một mảng đề tài khá thú vị với nhiều phương pháp giả đặc sắc Ngòai những phương pháp giải thuần túy như: biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ, đưa về cùng cơ số, logarit hai vế … , bằng cách đánh giá phương trình dựa trên : tính chất hàm số mũ; tính chất giá tị tuyệt đối; tam thức bậc hai, các bất đẳng thức cơ bản… ta có thể nhanh chóng chỉ ra được nghịêm của bài toán Phươngpháp này đặc biệt có hiệu quả đối với những phương trình không mẫu mực hay những phương trình ta không thể giải bằng các phương pháp thông thường hoặc sẻ gặp nhiều khó khăn

Để bạn đọc không còn ái ngại trong việc lựa chọn phương pháp giải khi đứng trước một phương trình không mẫu mực, nhóm

chúng tôi xin giới thiệu đề tài “ Giải phương trình mũ bằng phương pháp đánh giá” Ở đây chúng tôi tổng hợp và đưa ra những ví dụ

điển hình được sắp xếp từ đơn giản đến phức tạp theo từng dạng đánh giá cụ thể thường gặp Sau mỗi ví dụ hoặc sau mỗi dạng đánh giá chúng tôi có đưa ra nhận xét và hướng đi, hướng phát triển cho bài toán để bạn đọc tiện tham khảo và nắm bắt một cách dễ dàng

Đề tài của chúng tôi gồm 4 phần, mỗi phần là một dạng của phương pháp đánh giá:

- Dạng 1: Đánh giá dựa vào tính chất hàm số mũ

- Dạng 2: Đánh giá dựa vào các bất đẳng thức cơ bản

- Dạng 3: Đánh giá dựa vào tính chất hàm số chứa giá trị tuyệt đối

- Dạng 4: Đánh giá dựa vào tam thức bậc hai

Hy vọng đề tài này là tài liệu thiết thực cho việc ôn tập rèn luyện kỹ năng giaiû toán phục vụ các bạn trong các kỳ thi

Chúc các bạn may mắn và học tâp tốt hơn!

Nhóm thưc hiện

Mở đầu

Phương trình mũ:

Phương trình mũ cơ bản có dạng a x =b a,( >0;a ≠1)

1 Hàm số y a a = x( 0, 1) > a ≠ gọi là hàm số mũ cơ số a

xx

Dạng 1: ĐÁNH GIÁ DỰA TRÊN TÍNH CHẤT HÀM SỐ MŨ.

(Phương Trình Mũ)

1 Phương pháp chung : Giải phương trình f(x) = g(x)

Xét trên tập xác định D ta có f(x) m, x D

 Ví dụ minh họa :

Ví dụ 1:[4] Giải phương trình : 3x2 =Cos (2x)

Giải:

2 x Xét phương trình: 3 Cos (2x)

Ta có nhận xét :

222

xxx

Ta có nhận xét x 0 ; x R

x

1 x

5 5 1 ; x R và 4 − 4 ; x R

Vế trái 4 Suy ra

Vế trái 4

Vế trái = 4

Do đó Vế trái = Vế phải

Vế phải = 4 2

2sin(x

Xét phương trình : 4 2 cos(xy) 2 0 (1)

Ta nhận thấy rằng:

2 cos (xy) 0 ; Vì 2 1 và cos (xy) 1

2 cos (xy) 0 (3) đó ta có (2)

2 cos(xy) 0 (4) Xét phương trình (3) : 2 cos (xy) 0

sin(xsin(x

ình (4) ta được : 2 1 0 Phương trình tương đương : 2 1 sin(x)=0 x=k ;k Z

x=k ;k Z Kết luận : Phương trình đã cho có nghiệm là

Nhận xét: Trong các ví dụ trên , bằng việc đánh giá một cách rất

tinh tế các toán tử trong phương trình , ta đã nhanh chóng tìm được nghiệm của bài toán một cách dể dàng Đây là phương pháp dùng đểđánh giá phương trình mũ rất hay

Sử dụng các tính chất cảu hàm số để giải phương trình là một dạng khá quen thuộc Đối với phương trình mũ tính chất đặc trưng của nó là tính đơn điệu Đây cũng là một mảng rất thú vị Ta có 3 hướng áp dụng sau:

• Hướng 1: Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Chuyển phương trình về dạng f(x)=k

Bước 2: Xét hàm số y=f(x)

Dùøng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu(giả sử đồng biến)

Bước 3: Nhận xét

Với x=x f(x) f(x ) k , do đó x là nghiệm

Với x<x f(x) f(x ) k , do đó phương trình vô nghiệm Với x>x f(x) f(x ) k , do đó phương trình vô nghiệmKết luận: Phương trình có nghiệm

0

duy nhất là x=x

• Hướng 2: Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Chuyển phương trình về dạng f(x)=g(x)

Bước 2: Xét hàm y=f(x) và y=g(x)

Dùng lập luận khẳng định y=f(x) là đồng biến,còn hàm y=g(x) là nghịch biến hoặc là hàm hằng

Xác định x sao cho f(x ) g(x )0 0 = 0

Bước 3: Vậy phương trình có nghiệm duy nhất :x=x0

• Hướng 3: Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Chuyển phương trình về dạng f(x) = f(v)

Bước 2: Xét hàm số y=f(x)

Dùng lập luận khẳng định hàm đơn điệu

Khi đó f(x) f(v)= ⇔ =u v ; u,v D∀ ∈

 Ví dụ minh họa :

Ví dụ 4: [4] Giải phương trình : 3x + 4x = 5x (1)

Suy ra f(t) là hàm số nghịch biến trên R

Hơn nữa, ta thấy f(2)=1

Vậy x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình (1)

 =

÷



Ta nhận xét f(x) là hàm đồng biến trên R ,

g(x) là hàm nghịch biến trên R

Do vậy

+ +

= −

−

2

nếu (1) có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất

Ta lại thấy x=1 là 1 nghiệm của phương trình vì 2.3 3 1Kết luận: Phương trình có duy nhất một nghiệm x=1

Vậy phương trình vô nghiệm

Kết luận: Phương trình đã cho có hai nghiệ

* Chú ý : Trong phương pháp trên ta đã sử dụng hai mệnh đề sau:

+ Mệnh đề 1: Xét phương trình f(x)=α trong đó f(x) luôn đồng biến (hoặc nghịch biến) trên tập xác định của phương trình khi đó phương trình có nghiệm duy nhất

+ Mệnh đề 2: Xét phương trình f(x) = g(x) , trong đó f(x) luôn

đồng biến (hoặc nghịch biến) và g(x) luôn nghịch biến ( hoặc đồng biến) trên miền xác định của phương trình thì khi đó phương trình có nghiệm duy nhất

Một cách tổng quát: Nếu hàm số f(x)=h có m khoảng đơn điệu thì hàm số có nhiều nhất là m nghiệm

Ta xét thêm một ví dụ nữa:

Ví dụ 8: Giải phương trình : 3 2x + 4 2x = 5 2x

Ta thấy x=1 là một nghiệm của phương trình

và hơn nữa Vế trái là một hàm nghịch biến

( )x

n x i

i 1

* Từ bài toán này ta hòan toàn có thể mở rộng như sau :

Giải phương trình : a b a b ; a,b>0

Khi đó phương trình có thể áp dụng phương pháp đánh giá như trên

 Bài tập đề nghị:

Giải các phương trình sau :

Dạng 2 : ĐÁNH GIÁ PHƯƠNG TRÌNH MŨ BẰNG CÁC BẤT

ĐẲNG THỨC CƠ BẢN

Trên đây , chúng tôi đã trình bày những bài toán đơn giảnnhằm có thể sử dụng phương pháp đánh giá để giải toán phươngtrình mũ một cách nhanh chóng , dể hiểu Tuy nhiên ta cũng đã sửdụng khéo léo một số bất đẳng thức thường gặp như Cơsi,Bunhiacôpxki, Bernoulli… để giải quyết những bài toán phức tạp

I Một số nét chính của các bất đẳng thức

1 Bất đẳng thức Côsi :

Đẳng thức sảy ra khi a a a

+ + +

≥

2 Bất đẳng thức Bernoulli : là một bất đẳng thức cho phép tính

gần đúng của lũy thừa 1+x, bất đẳng thức này được phát biểunhư sau:

x

x

r 0(1 x) 1 rx

x 1 (x )Nếu số mũ chẵn thì bất đẳng thức này đúng với mọi x

Bất đẳng thức này trở thành bất đẳng thức nghiêm ngặt như sau

r 2(1 x) 1 rx

M ột số ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải phương trình: 8 x3 − 2 =3x +3−x

x 3 Không tồn ta

Vậy phương trình vô nghiệm

Nhận xét: Với những bài toán như ví dụ 1,ví dụ 2 thì sử

dụng phương pháp đánh giá dựa vào bất đẳng thức là cách rất hay vàngắn gọn trong lời giải Nếu như ở ví dụ 1 ta có thể sử dụng phươngpháp đơn điệu để tìm ra nghiệm của bài toán thì sang ví dụ 2 hầu nhưkhông có phương pháp nào khác phương pháp đánh giá bài toán đó

Ví dụ 3:[4] Giải phương trình: 325x+35 -5.3 +2 27=03x 5

Nhận xét: Không phải lúc nào chúng ta cũng có thể nhận ra

ngay rằng một bài toán nào đó là sử dụng phương pháp đánh giábằng bất đẳng thức để giải mà phải qua một số phép biến đổi cụthể để chuyển bài toán đó về dạng có thể sử dụng bất đẳng thứcđể đánh giá và tìm ra nghiệm

Vídụ4:[4]Giải phương trình: x2x x4x x 1 x 3

Nhận xét: Rất nhiều học sinh nhầm tưởng rằng có thể giải bài

toán bằng cách sử dụng đặt ẩn phụ t=2x Tuy nhiên khi đó ta sẽ nhậnđược một phương trình bậc 6, mà phương trình bậc 6 thì hầu như chưacó một phương pháp giải cụ thể nào

Ví dụ 5:Giải phương trình: x3x x5x x 1 x 3

2

5 +1 3+ +1 3+ +5 = Làm một cách tương tự, sử dụng phương pháp trên ta tìm đượcnghiệm duy nhất x=0

 Một số bài tập tự giải:

x

x x x

Theo bất đẳng thức Bernoulli ta có:

* Với x 1 hoặc x<0

3 2x 1

2 x 1Đẳng thức sảy ra khi và chỉ khi x=0 hoặc x=1

* Với x (0;1)

3 2x 1

Kết luận: Vậy phương trình có 2 nghiệm x=0 và x=1.

Ví dụ 7:[4] Giải phương trình: 9x +3x =10x 2+

9 9 8x 1

* Với x (0;1) ta có 9 3 10x 2

3 3 2x 1Phương vô nghiệm nếu x (0;1)

Kết luận : Phương trình có 2 nghiệm x=0 và x=1

Ví dụ 8:[4] Giải phương trình: 3x =2x 1−

 =



Nhận xét: Không phải bài toán nào ta cũng nhìn ra cách áp dụng

bất đẳng thức Bernoulli mà trong trường hợp cụ thể có thể chuyểnbài toán về dạng: af(x)+ −(1 a)f(x) 1 (a>1)= Khi đó ta xác địnhđược:

f(x) 0 Giải phương trình tìm nghiệm.

3) Giải phương trình: 7x +5x =10 +2x

Ví dụ 9: Giải phương trình: (2+ 3) x 3− + −5 x = +7 4 3

Điều kiện 3 x 5

Ta có x 3 6 x 1 1 x 3 5 x 2Suy ra VT 2 3 7 4 3 VP

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x-3=5-x x=4

Vậy x=4 là nghiệm của phương trình

Nhận xét: Ở bài toán trên chúng ta có thể quy về giải phương

trình vô tỉ x-3+ 5 x 2− = bằng cách bình phương hai vế nhưng

sẽ không được nhanh chóng như áp dụng bất đẳng thứcBunhiacopxki

Ví dụ 11: Giải phương trình:

2

Đây là phương trình thuần nhất đối với sinx và cosx Chúng ta cóthể sử dụng phương pháp giải bài toán dạng này nhưng quả thật khárắc rối Với một chút biến đổi để sử dụng bất đẳng thứcBunhiacopxki chúng ta dể dàng tìm ra nghiệm của nó

Ta có :sinx 2 cosx sinx cosx 2 1 cosx

1 1 sinx cosx 2 1 cosx

Đây là một số ví dụ thường gặp khi giải phương trình mũ khi cácphương pháp khác không đem lại kết quả tối ưu thì bất đẳng thức làcông cụ hiệu quả nhất.

Dạng 3: ĐÁNH GIÁ PHƯƠNG TRÌNH MŨ BẰNG CÁC TÍNH CHẤT

HÀM CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI



 ≥+ = − ⇔  ≤

Xét 3 81 , x

4x 4 4(x 1) (1)Xét 4x-4 0 x 1 thì (1) thỏa 4x-4<0 (loại)

x<1 thì 4x+4=4x-4 (loại)Vậy x 1 là nghiệm của phương trình (1)

2 x x 1 3 (*)

Ta có VT= 2 x x 1 2 x x 1 3 VPĐẳng thức sảy ra (2-x)(x+1) 0 1 x 2

Nhận xét: Ở ví dụ trên từ (*) nếu bằng cách mở dấu giá trị đối

thì chúng ta cũng giải quết được bài toán nhưng nó sẽ rắc rối hơn Để

ý một chút chúng ta sử dụng bất đẳng thức trị tuyệt đối

a b a b+ ≤ ≤ thì bài toán trở nên dể dàng hơn.

* Tổng quát cho dạng toán này:

x 2 1 0 x 3

Vậy phương trình có nghiệm x 3

*Chú ý: Rất nhiều học sinh khi giải bài toán này chỉ thu được

y 3 y 3

Nhận xét : Sai lầm thường gặp ở dạng bài này là:

• Học sinh sẽ khử giá trị tuyệt đối của (2) dẫn đến bài toàn nàydài và khó định hướng tiếp theo

• Đây là một trong những bài toán khó định hướng cho học sinh nếu như không biết cách so sánh để suy ra y≤ −3

Ví dụ 5: Giải phương trình : 3sin x = cosx

Nhận xét: Khi gặp phương trình mũ dạng ví dụ 3 ta nên dùng

cách đánh giá trên để giải vì nó liên quan đến hàm sinx và cosx màsinx 1

Phương trình vô nghiệm

Kết luận: Phương trình có hai nghiệm x=0 và x=1

Tổng quát : Khi gặp phương trình mũ chứa giá trị tuyệt đối có

dạngax +bx = + −(a b 2)x 2 (a,b là hằng số)= Ta dùng bất đẳngthức Bernoulli để giải quyết bài toán và phương pháp này đã đượcchúng tôi trình bày ở dạng 2 trong tài liệu

Dạng 4: ĐÁNH GIÁ DỰA VÀO TAM THỨC BẬC HAI,

PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Đặt ẩn phụ là phương pháp được dùng phổ biến trong việc giải phương trình nói chung và giải phương trình mũ nói riêng Nhiều bài toán chỉ nhìn vào là ta có thể thấy được cách chọn ẩn phụ thích hợp Nhưng cũng không ít bài toán khiến chúng ta bối rối ngay từ bước này Đối với những bài toán này, thông thường đòi hỏi bạn đọc phải có cái nhìn tinh tế để đánh giá và đưa ra hướng giải thích hợp Để minh họa cho sự tinh tế đó, chúng ta lần lượt xét các ví dụ sau:

Khi đó phương trình được viết lại t+2 3

ùi t=2, ta có (2 3) 2 x log

Kết luận : phương trình đã cho có hai nghiệm x=0 và x log

−

−

=

Chú ý: Trong nhiều trường hợp ta không thấy ngay được sự xuất

hiện ab=1 đối với các toán tử của phương trình Khi đó cần đánh giá tinh tế hơn Cụ thể ta xét ví dụ sau:

Kết luận: phương trình đã cho có 1 nghiệm x=0.

Nhận xét: Như vậy, trong ví dụ trên, bằng việc đánh giá

2

7 4 3 (2 3)(2 3)(2 3) 1

tức là, với phương trình dạng Aa Bb Cc 0

Khi đó ta thực hiện phép chia cả 2 vế phương trình cho c 0

để nhận được A B c 0

aTừ đó thiết lập ẩn phụ t=

7Khi đó phương trình tương đương : t+ 8

x=0 và x= 73+ 5

2log

7Khi đó phương trình tương đương : t+ 8

Chú ý: Tuy nhiên , nhiều bài toán sau khi đặt ẩn phụ vẫn còn tồn

tại ẩn ban đầu Loại bài toán này ta có thể giải bằng các phươngpháp thông thường cho phương trình ẩn t Nhưng ở đây, chúng tôi sẽtrình bày phương pháp đánh giá qua định lí Viet của tam thức bậchai Với phương pháp này ta sẽ nhanh chóng đưa ra nghiệm củaphương trình

Ta xét các ví dụ sau

Ví dụ 4:Giải phương trình : 3.25x 2− +(3x 10 5− ) x 2− + − =3 x 0 (1)

Đặt 5 t , điều kiện t>0

Khi đó phương trình được viết lại:

1

Nhận xét: Đây là một ví dụ vận dụng rất tinh tế định lí Viet của

tam thức bậc hai

Ở bài tập này, sau khi đặt ẩn phụ 5x-2=t , phương trình vẫn còn tồntại ẩn x Ta có thể giải phương trình (2) như một phương trình bậc haitheo ẩn t thông thường Nhưng ở đây chúng tôi trình bày theo phươngpháp đánh giá dựa vào tam thứ bậc hai

Hoàn toàn tương tự ta xét ví dụ sau:

1 Ta có nhận xét:

 Bài tập đề nghị

Giải các phương trình sau:

KẾT LUẬN CHUNG

Với sự cố gắng và nổ lực của tất cả các thành viên trong nhóm tàiliệu đã được hoàn thành trong dự kiến Tuy nhiên , do thời gian có hạn và kinh nghiệm của nhóm còn non yếu, đề tài có thể còn nhiều thiếu sót, khuyết điểm Rất mong quý thầy cô giáo,các bạn sinh viênvà bạn đọc gần xa góp ý, phê bình để chất lượng đề tài ngày một hoàn chỉnh hơn

Chúng tôi rất mong nhận được sự góp ý của độc giả và các bạn sinh viên!

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Phương pháp giải toán tự luận hàm số mũ, hàm số logarit –Trần Thị Vân Anh

[2] 15 Chuyên đề TAM THỨC BẬC HAI – Nguyễn Đức Đồng

[3] 690 Bài toán đại số chọn lọc – Nguyễn Đức Đồng

[4] Phương pháp giải toán Đại số- Phương trình,hệ phương trình,bất phương trình chứa mũ-Lê Hồng Đức

[5] Phương pháp giải toán Đại số- Phương trình,hệ phương trình,bất phương trình chứa dấu trị tuyệt đối-Lê Hồng Đức [6] 500 Bài toán điển hình phương trình, bất phương trình,hệphương trình mũ logarit - Trần Đình Thì

MỤC LỤC

Trang

Mở đầu … … … … … … … … … … … … 3 Dạng 1: Đánh giá phương trình mũ dựa vào tính chất hàm số mũ … … … 4-

10

Dạng 2: Đánh giá phương trình mũ dựa vào các bất đẳng thức cơ bản … … … 11-17 Dạng 3: Đánh giá phương trình mũ bằng các tính chất hàm chứa dấu trị tuyệt đối.18-22 Dạng 4: Đánh giá phương trình mũ bằng tam thức bậc hai … … … 23-28