Sáng kiến kinh nghiệm Một phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ Trong việc rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh trường phổ thông, mơn Tốn đóng vai trò quan trọng Bởi vì, Tốn học có vai trò to lớn phát triển ngành khoa học kỹ thuật; Tốn học có liên quan chặt chẽ có ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khác khoa học, công nghệ, sản xuất đời sống xã hội đại; Tốn học cơng cụ để học tập nghiên cứu môn học khác Vấn đề bồi dưỡng tư sáng tạo cho học sinh nhiều tác giả nước quan tâm nghiên cứu Với tác phẩm "Sáng tạo toán học" tiếng, nhà toán học kiêm tâm lý học G.Polya nghiên cứu chất trình giải tốn, q trình sáng tạo tốn học Đồng thời tác phẩm "Tâm lý lực toán học học sinh", Krutecxiki nghiên cứu cấu trúc lực toán học học sinh Ở nước ta, tác giả Hoàng Chúng, Nguyễn Cảnh Toàn, Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy, Tôn Thân, Phạm Gia Đức,… có nhiều cơng trình giải vấn đề lý luận thực tiễn việc phát triển tư sáng tạo cho học sinh Những năm gần đây, tốn khó đề thi tuyển sinh đại học khối A, A1, B, D thường toán chứng minh bất đẳng thức tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức (Bài tốn khó đề thi tuyển sinh đại học) Các toán thường gây cho học sinh nhiều khó khăn, đa số học sinh “ngại” tốn tốn thường đa dạng phong phú học sinh bế tắc việc định hướng để tìm lời giải Ngồi lý khiến học sinh “ngại” toán học sinh thường cảm thấy mãn nguyện tìm lời giải cho tốn mà em có ý thức tìm kiếm lời giải khác, khai thác đào sâu kết toán rút định hướng cụ thể tìm lời giải từ tốn đó; tốn Như vậy, việc bồi dưỡng phát triển tư sáng tạo hoạt động dạy học toán nhiều nhà nghiên cứu quan tâm Tuy nhiên, việc bồi dưỡng tư sáng tạo thông qua dạy giải số tập khó đề thi tuyển sinh đại học tác giả chưa khai thác sâu vào nghiên cứu cụ thể Vì vậy, tơi chọn đề tài: "Bồi dưỡng tư sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông qua dạy học giải số tập khó đề thi tuyển sinh đại học" Trong đề tài này, đưa sở lý luận thực tiễn đề tài đặc biệt đánh giá thực trạng vấn đề dạy học số tập khó đề thi tuyển sinh đại học Sau đưa số vấn đề dạy học giải số tập khó đề thi tuyển sinh đại học theo định hướng bồi dưỡng tư sáng tạo cho học sinh (Vấn đề 1: Rèn luyện tư sáng tạo qua việc hướng dẫn học sinh tìm nhiều cách giải toán; Vấn đề 2: Rèn luyện tư sáng tạo qua việc hướng dẫn học sinh rút định hướng cụ thể để giải số tập khó đề thi tuyển Trang sinh đại học; Vấn đề 3: Rèn luyện tư sáng tạo qua việc hướng dẫn học sinh đưa số toán mới) Cuối số kết việc ứng dụng đề tài kết luận Đề tài hoàn thành trường THPT Hà Huy Tập Trong q trình thực đề tài tơi nhận nhiều bảo thầy cô giáo trước bố cục, nội dung Nhân cho phép bày tỏ lời cảm ơn chân thành đến thầy cô giáo, bạn bè đồng nghiệp, đặc biệt thầy tổ Tốn- Tin trường THPT Hà Huy Tập Do nhiều nguyên nhân, đề tài hoàn thành khơng tránh khỏi sai sót Tơi ln mong muốn nhận góp ý chân thành thầy cô giáo độc giả để ngày hồn thiện q trình nghiên cứu khoa học viết đề tài Trang PHẦN II NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận thực tiễn 2.1.1 Tư sáng tạo Theo từ điển triết học: "Tư duy, sản phẩm cao vật chất tổ chức cách đặc biệt não, trình phản ánh tích cực giới khách quan khái niệm, phán đoán, lý luận Tư xuất trình hoạt động sản xuất xã hội người đảm bảo phản ánh thực cách gián tiếp, phát mối liên hệ hợp quy luật Tư tồn mối liên hệ tách rời khỏi hoạt động lao động lời nói, hoạt động tiêu biểu cho xã hội loài người tư người thực mối liên hệ chặt chẽ với lời nói kết tư ghi nhận ngôn ngữ Tiêu biểu cho tư q trình trừu tượng hố, phân tích tổng hợp, việc nêu lên vấn đề định tìm cách giải chung, việc đề xuất giả thiết, ý niệm Kết trình tư ý nghĩ đó" Theo định nghĩa từ điển sáng tạo tìm mới, cách giải vấn đề khơng bị gò bó phụ thuộc vào có Nội dung sáng tạo gồm hai ý có tính (khác cũ, biết) có lợi ích (giá trị cũ) Như sáng tạo cần thiết cho hoạt động xã hội loài người Sáng tạo thường nghiên cứu nhiều phương diện trình phát sinh tảng cũ, kiểu tư duy, lực người Theo định nghĩa thông thường phổ biến tư sáng tạo tư tạo Thật vậy, tư sáng tạo dẫn đến tri thức giới phương thức hoạt động Tư sáng tạo tư tích cực tư độc lập tư tích cực tư độc lập tư độc lập tư sáng tạo biểu mối quan hệ khái niệm dạng vòng tròn đồng tâm Trang Tư tích cực Tư độc lập Tư sáng tạo Có thể nói đến tư sáng tạo học sinh tự khám phá, tự tìm cách chứng minh mà học sinh chưa biết đến Bắt đầu từ tình gợi vấn đề, tư sáng tạo giải mâu thuẫn tồn tạo tình với hiệu cao, thể tính hợp lý, tiết kiệm, tính khả thi vẻ đẹp giải pháp Nói chung tư sáng tạo dạng tư độc lập, tạo ý tưởng độc đáo có hiệu giải vấn đề cao Theo nghiên cứu nhà tâm lý học, giáo dục học, … cấu trúc tư sáng tạo, có năm đặc trưng sau: - Tính mềm dẻo - Tính nhuần nhuyễn - Tính độc đáo - Tính hồn thiện - Tính nhạy cảm vấn đề Các yếu tố tư sáng tạo nêu biểu rõ học sinh nói chung đặc biệt rõ nét học sinh giỏi Trong học tập Toán mà cụ thể hoạt động giải toán, em biết di chuyển, thay đổi hoạt động trí tuệ, biết sử dụng xen kẽ phân tích tổng hợp, dùng phân tích tìm tòi lời giải dùng tổng hợp để trình bày lời giải Ở học sinh giỏi có biểu yếu tố đặc trưng tư sáng tạo Điều quan trọng người giáo viên phải có phương pháp dạy học thích hợp để bồi dưỡng phát triển tốt lực sáng tạo em 2.1.2 Đánh giá thực trạng vấn đề dạy học số tập khó (Các tốn chứng minh bất đẳng thức; tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức; …) đề thi tuyển sinh đại học 2.1.2.1 Người dạy Hướng thứ nhất: Đưa số tốn chứng minh bất đẳng thức; tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức cho học sinh giải Nếu học sinh giải nhận xét cách trình bày lời giải học sinh sau đưa toán khác; Trang Nếu học sinh khơng giải hướng dẫn lời giải cho học sinh sau u cầu học sinh trình bày lại Thơng qua tìm hiểu bạn bè đồng nghiệp có nhiều giáo viên thực theo hướng này, đặc biệt giáo viên tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi trường nằm trung tâm huyện Hướng thứ hai: Giao tài liệu cho học sinh đọc kiểm tra trình đọc tài liệu học sinh Qua khảo sát, tơi thấy có nhiều giáo viên ngại tốn dạng hiểu khơng thật sâu sắc tốn dạng lúc giáo viên thường chọn hướng thứ hai 2.1.2.2 Người học Qua tìm hiểu học sinh, thấy em đa số xác định bỏ tốn dạng tốn thường tốn khó đề thi đại học Thậm chí số học sinh giỏi xác định em sợ tập trung vào tốn khơng có thời gian để kiểm tra lại toán dễ làm Bên cạnh số giáo viên không tự tin lực học sinh nên động viên em bỏ ln tốn dạng không thấy quen thuộc không giải Theo quan điểm cá nhân tôi, học sinh giỏi mơn Tốn nên dạy tốn dạng cho em xu toán dạng đề thi đại học giải cách dùng số bất đẳng thức biết kết hợp với cơng cụ đạo hàm khơng q khó học sinh giỏi; đồng thời thông qua tốn dạng bồi dưỡng tư sáng tạo cho em 2.1.3 Tiềm số tập khó (Các tốn chứng minh bất đẳng thức; tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức; …) đề thi tuyển sinh đại học việc bồi dưỡng tư sáng tạo cho học sinh Trong q trình học Tốn kỹ vận dụng Tốn học quan trọng nhất, nhà trường phổ thông không cung cấp cho học sinh kiến thức Tốn học, mà luyện cho học sinh kỹ vận dụng tính độc lập, độc đáo khả sáng tạo Các nhà tâm lý học cho rằng: "Sáng tạo thời điểm mà phương pháp logic để giải nhiệm vụ không đủ gặp trở ngại kết khơng đáp ứng đòi hỏi đặt từ đầu, xuất giải pháp tốt giải pháp cũ" Chính điều quan trọng hệ thống tập cần phải khai thác sử dụng hợp lý nhằm rèn luyện cho học sinh khả phát triển tư sáng tạo biểu mặt như: khả tìm hướng (khả tìm nhiều lời giải khác cho tốn), khả tìm kết (khai thác kết toán, đưa toán mới) Trang Một số tập khó (Các tốn chứng minh bất đẳng thức; tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức; …) đề thi tuyển sinh đại học chứa đựng nhiều tiềm to lớn việc bồi dưỡng phát huy lực sáng tạo cho học sinh Trong trình dạy học giáo viên cần dẫn dắt học sinh giải hệ thống tập, tạo cho học sinh phát vấn đề mới, vấn đề quan trọng mà ta cần quan tâm bồi dưỡng cho học sinh Có nhiều phương pháp khai thác khác tập khó (Các tốn chứng minh bất đẳng thức; tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức;…) đề thi tuyển sinh đại học, để tạo tốn có tác dụng rèn luyện tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo tư Trên sở phân tích khái niệm tư sáng tạo yếu tố đặc trưng dựa vào quan điểm: bồi dưỡng yếu tố cụ thể tư sáng tạo cho học sinh biện pháp để phát triển lực tư sáng tạo cho em Các tập chủ yếu nhằm bồi dưỡng tính mềm dẻo tư sáng tạo với đặc trưng: dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ sang hoạt động trí tuệ khác, suy nghĩ khơng rập khn; khả nhận vấn đề điều kiện quen thuộc, khả nhìn thấy chức đối tượng quen biết Các tập chủ yếu nhằm bồi dưỡng tính nhuần nhuyễn tư sáng tạo với đặc trưng: khả tìm nhiều giải pháp nhiều góc độ hồn cảnh khác nhau, khả xem xét đối tượng khía cạnh khác Các tập chủ yếu nhằm bồi dưỡng tính nhạy cảm vấn đề tư sáng tạo với đặc trưng: nhanh chóng phát vấn đề tìm kết mới, tạo tốn mới, khả nhanh chóng phát mâu thuẫn, thiếu logic Như tiềm số tập khó (Các tốn chứng minh bất đẳng thức; tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức; …) đề thi tuyển sinh đại học việc bồi dưỡng tư sáng tạo cho học sinh, đặc biệt học sinh giỏi lớn Việc bồi dưỡng tư sáng tạo cho học sinh thơng qua q trình dạy học giải tập tốn cần thiết qua giúp học sinh học tập tích cực kích thích tính sáng tạo học sinh học tập sống Vậy công việc giáo viên trình dạy học tìm phương pháp nhằm phát triển rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh 2.2 Một số vấn đề dạy học giải số tập khó (Các tốn chứng minh bất đẳng thức; tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức; …) đề thi tuyển sinh đại học theo định hướng bồi dưỡng tư sáng tạo cho học sinh 2.2.1 Vấn đề 1: Rèn luyện tư sáng tạo qua việc hướng dẫn học sinh tìm nhiều cách giải toán Trang Trong cuốn: "Sáng tạo Toán học", G.Polya cho rằng: "Một tư gọi có hiệu tư dẫn đến lời giải tốn cụ thể Có thể coi sáng tạo tư tạo tư liệu, phương tiện giải toán sau Các toán vận dụng tư liệu phương tiện có số lượng lớn, có dạng mn màu mn vẻ, mức độ sáng tạo tư cao Thí dụ: lúc cố gắng người giải vạch phương thức giải áp dụng cho toán khác Việc làm người giải sáng tạo cách gián tiếp, chẳng hạn lúc ta để lại toán khơng giải tốt gợi cho người khác suy nghĩ có hiệu quả" Lene hai số thuộc tính tư sáng tạo là: - Kỹ nhìn thấy nhiều lời giải, nhiều cách nhìn việc tìm hiểu lời giải (khả xem xét đối tượng phương thức biết thành phương thức mới) - Kỹ sáng tạo phương pháp giải độc đáo biết phương thức khác (Lene - dạy học nên vấn đề - NXBGD - 1977) Học sinh phổ thơng thường có thói quen tìm lời giải tốn thỏa mãn, sâu kiểm tra lại lời giải xem có sai lầm, thiếu sót khơng, quan tâm tới việc nghiên cứu, cải tiến lời giải, tìm nhiều lời giải Tìm nhiều lời giải cho toán giúp cho học sinh có cách nhìn tồn diện, biết hệ thống hóa, sử dụng kiến thức, kĩ phương pháp giải toán cách chắn, mềm dẻo, linh hoạt Đó lực đặc trưng giải tốn Tập hợp nhiều cách giải tìm cách giải tối ưu cho toán giúp học sinh thấy rõ ưu, khuyết phương pháp giải toán, thu nhận, hợp thức hóa, làm phong phú thêm tri thức người giải toán tạo hứng thú cho học sinh giải tốn Vì vậy, q trình dạy học, giáo viên cần ý cho học sinh thường xun tìm nhiều phương án giải tốn, sử dụng kết toán để giải tốn khác Xét ví dụ sau: Bài tốn 2.2.1.1 (Câu V – Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2003) Cho x, y,z ba số thực dương thỏa mãn x + y + z ≤ Chứng minh x2 + 1 + y + + z + ≥ 82 x y z 2.2.1.1.1 Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxky để khử vế trái bất đẳng thức cần chứng minh ta có lời giải sau Lời giải 1: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxky, ta có 1   + ÷ x + x 9  82  9  x 3 ÷≥  + ÷ ⇒ x + ≥  x + ÷ x 82  x  3 x Trang Tương tự ta có y2 + 82  9 82  9 ≥ y + ; z + ≥ z +  ÷  ÷ y2 82  y z2 82  z Suy x2 +  1  1 82  2 + y + + z + ≥ x + y + z +   x + y + z ÷ (1) x2 y2 z2 82    Áp dụng bất đẳng thức Cơ – Si, ta có  1 1 1  1   x + y + z +  + + ÷ =  9x + ÷ +  9y + ÷ +  9z + ÷ − 80 ( x + y + z ) x  y  z  x y z   9x 9y 9z  ≥ 9 +2 +2 ÷ − 80 ( x + y + z ) ≥ 82 (2) (Vì x + y + z ≤ ) x y z   Từ (1) (2) suy x2 + 1 + y + + z + ≥ 82 x y z 2.2.1.1.2 Sử dụng bất đẳng thức liên quan đến độ dài vec tơ để đánh giá tổng ba bậc hai theo bậc hai, ta có lời giải sau Lời giải 2: r r r r r r Với u, v ta có u + v ≤ u + v r r2 r r rr r r r r r r (Vì u + v = u + v + 2uv ≤ u + v + u v = ( u + v ) ) (*) r  1 r  1 r  1 Đặt a =  x; ÷, b =  y; ÷, c =  z; ÷  x  z  y r r r r r r r r r a + b + c ≥ a +b + c ≥ a +b+c Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có 1 1 1 Vậy P = x + + y + + z + ≥ (x + y + z) +  + + ữ ì x y z x y z 2 1 1 Ta có: P ≥ (x + y + z) +  + + ÷ ≥ x y z (3 xyz ) 2   + 33 ÷ = 9t + , với t  xyz  x+ y+z t = xyz ⇒ < t ≤  ÷ ≤ ×   ( ) Đặt Q = (t) = 9t + 9  1 ⇒ Q'(t) = − < 0, ∀t ∈  0; ÷ t t  9 Trang  1 ⇒ Q'(t) nghịch biến  0;   9 1 ⇒ Q(t) ≥ Q  ÷ = 82 Vậy P ≥ Q(t) ≥ 82 9 2.2.1.1.3 Sử dụng bất đẳng thức Cô – Si để đánh giá tổng ba bậc hai theo bậc hai, ta có lời giải sau Lời giải 3: Áp dụng bất đẳng thức Cơ – Si, ta có x2 + 1 1 1 2 2 + y + + z + ≥ x + × y + × z + x2 y2 z2 x2 y2 z2   1  =  x + ÷ y + ÷ z + ÷ (1) x  y  z   Lại áp dụng bất đẳng thức Cô – Si cho 82 số dương gồm x 81 số x2 + , ta có 81x 1 1 = x2 + + + + ≥ 8282 81 160 2 2 x 81x 81x 81x 81 x Tương tự ta có y + 1 1 82 82 ≥ 82 ; z + ≥ 82 y2 8181 y160 z2 8181 z160    Suy  x + ÷ y + ÷ z + x  y  z   ÷ ≥ 82 82 243 160 160 160 (2) 81 x y z  x+ y+z Mà xyz ≤  (3) ÷ ≤   27 x2 + Từ (1), (2) (3) suy 1 + y + + z + ≥ 82 x y z Bài toán 2.2.1.2 (Câu IV.1 – Đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2003) Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số y = x + − x 2.2.1.2.1 Nhận thấy x + ( − x2 ) = , ta có lời giải sau Lời giải 1: Tập xác định: [ −2;2] 2 Áp dụng kết quả: “ ( a + b ) ≤ ( a + b ) với số thực a, b Dấu xảy a = b”, ta có Trang ( y2 = x + − x )  ≤ x2 +  ( − x2 )  = ⇒ −2 2 ≤y≤2  x = − x  x = y=2 2⇔ ⇔ ⇔x= 2  − x =  x + − x = 2 Mặt khác: Vì x ∈ [ −2;2] nên y ≥ −2 Dấu xảy x = -2 y = y(−2) = −2 y = y( 2) = 2 Vậy max [ −2;2] [ −2;2] Nhận xét Nếu dùng kết ( y2 = x + − x )  ≤ x2 +  ( − x2 )  = ⇒ −2 2 ≤y≤2 ta khơng tìm giá trị nhỏ hàm số cho  x = − x2  x = − y = −2 ⇔  ⇔ (Vô lý)  − x = −  x + − x = −2 Vì học sinh phải linh hoạt thay đổi tư tìm giá trị nhỏ hàm số cho 2.2.1.2.2 Để tìm giá trị lớn hàm số cho, ta áp dụng bất đẳng thức Cơ – Si sau: Tập xác định: [ −2;2] Áp dụng bất đẳng thức Cơ – Si, ta có 2 + − x2 4−x = × 2( − x ) ≤ × 2 2 ( 2x 2 Suy y ≤ − +x+ =− x− 4 ) + 2 ≤ 2 2 = − x ⇔ x = Dấu xảy   x = y = y( 2) = 2 Do max [ −2;2] 2.2.1.2.3 Để tìm giá trị lớn nhỏ hàm số cho ta sử dụng công cụ đạo hàm sau Lời giải 2: Tập xác định: [ −2;2] Trang 10 +) Giải toán theo định hướng nêu Ở trên, thấy rõ số định hướng cụ thể để tìm lời giải số tốn dạng Qua việc nghiên cứu kỹ toán củng định hướng trên, tìm hiểu thêm số cách đưa toán từ toán biết xâu chuỗi lại thành hệ thống để hiểu sâu sắc số cách đề toán dạng 2.2.3 Vấn đề 3: Rèn luyện tư sáng tạo qua việc hướng dẫn học sinh đưa số tốn Trong q trình học Tốn kỹ vận dụng Toán học quan trọng nhất, nhà trường phổ thông không cung cấp cho học sinh kiến thức Tốn học, mà luyện cho học sinh kỹ vận dụng tính độc lập, độc đáo khả sáng tạo Các nhà tâm lý học cho rằng: "Sáng tạo thời điểm mà phương pháp logic để giải nhiệm vụ không đủ gặp trở ngại kết khơng đáp ứng đòi hỏi đặt từ đầu, xuất giải pháp tốt giải pháp cũ" Chính điều quan trọng hệ thống tập cần phải khai thác sử dụng hợp lý nhằm rèn luyện cho học sinh khả phát triển tư sáng tạo biểu mặt như: khả tìm hướng (khả tìm nhiều lời giải khác cho tốn), khả tìm kết (khai thác kết toán, xem xét khía cạnh khác tốn) Một số tập khó (Các tốn chứng minh bất đẳng thức; tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức; …) đề thi tuyển sinh đại học chứa đựng nhiều tiềm to lớn việc bồi dưỡng phát huy lực sáng tạo cho học sinh Bên cạnh việc giúp học sinh giải tập đó, giáo viên khai thác tiềm thơng qua việc xây dựng hệ thống tập sở hệ thống tập bản, tạo hội cho học sinh phát triển lực sáng tạo Trong trình dạy học giáo viên cần dẫn dắt học sinh giải hệ thống tập mới, tạo cho học sinh phát vấn đề mới, vấn đề quan trọng mà ta cần quan tâm bồi dưỡng cho học sinh Có nhiều phương pháp khai thác khác tập bản, để tạo tốn có tác dụng rèn luyện tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo tư Các tập chủ yếu nhằm bồi dưỡng tính nhạy cảm vấn đề tư sáng tạo với đặc trưng: nhanh chóng phát vấn đề tìm kết mới, tạo tốn Vì vậy, q trình dạy học, giáo viên cần ý cho học sinh thường xuyên khai thác, đào sâu kết toán giải đặc biệt đưa tốn Xét ví dụ sau: Bài tốn 2.2.3.1 (Câu V – Đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2012) Trang 25 Cho số thực x, y,z thỏa mãn điều kiện x + y + z = x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức P = x + y5 + z 2.2.3.1.1 Tương tự toán 2.2.3.1, ta có tốn Bài tốn 2.2.3.1.1 Cho số thực dương x, y,z thỏa mãn điều kiện x + y + z = x + y + z = Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức 1 P= + + x y z Lời giải: Từ giả thiết ta có x + y + z = x + y = − z    ⇔ xy + yz + zx = xy = z − z +   16 16 ⇔ x, y nghiệm phương trình X − (1 − z)X + z − z + = (*) 16 1 1 PT (*) có nghiệm dương ⇔ z ∈  ;  6 2 Ta lại có: P = 5 = 16xyz 16z − 16z + 5z 1 1 Xét f(z) = 16z3 – 16z2 + 5z với z ∈  ;  6 2 f '(z) = 48z − 32z + = ⇔ z = z = 12 1   25   1 f  ÷= f  ÷= ; f  ÷= f  ÷= 6  12  54    2 25 max f (z) = ; f (z) = Do  1  z∈ ;  54 z∈ ;  6 2 ⇒ 6 2 25 54 ≤ f (z) ≤ ⇒ 10 ≤ P ≤ 54 1 P = 10 chẳng hạn khi: x = y = ; z = P= 54 chẳng hạn x = y = ; z = 12 Trang 26 Vậy giá trị nhỏ P 10 Giá trị lớn P 54 2.2.3.1.2 Vì x + y + z = nên x + y2 + z = ⇔ ( x + y2 + z ) = 3( x + y + z ) ⇔ ( x + y + z ) = ( xy + yz + zx ) ; 1 1 P = ( x + y + z)  + + ÷ x y z Bằng cách chuẩn hóa (Đặt a = x y z ;b= ;c= ) x+y+z x+y+z x+y+z Ta có tốn Bài tốn 2.2.3.1.2 Cho số thực dương x, y,z thỏa mãn điều kiện ( x + y + z ) = ( xy + yz + zx ) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức 1 1 P = ( x + y + z )  + + ÷ x y z Tương tự tốn 2.2.3.1.2 ta có toán (Bài toán 2.2.3.1.3 2.2.3.1.4) Bài toán 2.2.3.1.3 (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Nghệ An năm 2010) Cho a, b, c số thực không đồng thời không thỏa mãn ( a + b + c ) = ( a + b2 + c2 ) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức a + b + c3 P= ( a + b + c ) ( ab + bc + ca ) Bài toán 2.2.3.1.4 (Đề thi học sinh giỏi Toán Quốc gia năm 2004) Cho số thực dương x, y,z thỏa mãn điều kiện ( x + y + z ) = 32xyz Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức P = x + y4 + z4 ( x + y + z) Bài toán 2.2.3.2 (Câu V – Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2011) Cho x, y,z ba số thực thuộc đoạn [ 1;4] x ≥ y, x ≥ z Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x y z + + 2x + 3y y + z z + x Trang 27 Tương tự tốn 2.2.3.2 ta có toán (Bài toán 2.2.3.2.1 2.2.3.2.2) Bài toán 2.2.3.2.1 (Đề số – Chuyên mục thử sức trước kì thi tạp chí Tốn học & tuổi trẻ số 356 – tháng năm 2007) a b c 1  + + ≥ × Cho a,b,c∈  ;3 Chứng minh a+b b+c c+a 3  Bài toán 2.2.3.2.2 (Tuyển tập đề thi Olympic 30/4 lần thứ XV năm 2009) Cho số thực dương a, b, c Chứng minh 2a 2b 2c + + ≤ a+b b+c c+a Bài tốn 2.2.3.3 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số ) ( f ( t ) = t + − t2 Lời giải: Tập xác định hàm số  − 5;  ) ( Xét hàm số f ( t ) = t + − t với − ≤ t ≤ f '(t) = − t + − 2t − t2 ( ) Trên khoảng − 5; ta có f '(t) = ⇔ − t = 2t − ⇔ t = ⇔ t = ±2 f (2) = 8; f ( −2 ) = −8; f ( 5) = 5; f ( − 5) = −3 f (t) = f ( ) = 8; f (t) = f ( −2 ) = −8 Vậy t∈max t∈- 5;  - 5;  2.2.3.3.1 Trong toán 2.2.3.3, t = a + b + c ta có tốn Bài tốn 2.2.3.3.1 Cho số thực a, b, c thỏa mãn ( a + b + c ) ≤ Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = ( a + b + c ) 3 + − ( a + b + c )    2.2.3.3.2 Từ toán 2.2.3.3 kết quả: “Với ba số thực a, b, c ta ln có ( a + b + c ) ≤ 3( a + b2 + c ) ; ( a + b + c ) ≥ 3( ab + bc + ca ) ” (Thật vậy: Hai bất đẳng thức tương đương với bất đẳng thức sau 2 ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) ≥ , với ∀a,b,c ∈ ¡ Dấu xảy a = b = c), ta có toán sau Trang 28 2 Bài toán 2.2.3.3.2 Cho số thực a, b, c thỏa mãn ( a + b + c ) ≤ Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = ( ab + bc + ca ) 3 + − ( a + b + c )    2.2.3.3.3 Từ toán 2.2.3.3.1 kết quả: “Với ba số thực a, b, c ta ln có a + 2b + 5c2 ≥ 2(ab + bc + ca) ” (Thật vậy: a + 2b + 5c2 ≥ 2(ab + bc + ca) ⇔ ( 2a − 3b ) + ( b − 2c ) + ( a − 3c ) ≥ , với ∀a,b,c ∈ ¡ Dấu xảy 2a = 3b = 6c), ta có tốn sau 2 Bài toán 2.2.3.3.3 Cho số thực a, b, c thỏa mãn a + 2b + 5c2 ≤ Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức   P = ( ab + bc + ca ) 3 + − ( a + 2b + 5c )    2.2.3.3.4 Từ toán 2.2.3.3.1 kết quả: “Với ba số thực không âm a, b, c ta 4( a + b + c) có a + ab + abc ≤ ” (Thật vậy: Áp dụng bất đẳng thức Cô – si, ta có a + 4b a + 4b + 16c ab = a.4b ≤ ; abc = a.4b.16c ≤ 4 12 a + 4b a + 4b + 16c ( a + b + c ) + = Suy a + ab + abc ≤ a + 12 Dấu xảy a = 4b = 16c), ta có tốn sau Bài tốn 2.2.3.3.4 Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c ≤ Tìm   giá trị lớn biểu thức P = a + ab + abc 3 + − ( a + b + c )    ( ) Tương tự toán 2.2.3.3 ta có tốn sau Bài tốn 2.2.3.4 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số ) ( f ( t ) = t + 10 − t Lời giải: Tập xác định hàm số  − 10; 10  ( Xét hàm số f ( t ) = t + 10 − t f '(t) = ( 2t 10 − t + 15 − 2t ( 10 − t ) ) với − 10 ≤ t ≤ 10 ) Trên khoảng − 10; 10 ta có Trang 29 t=0   t=0  t=0 f '(t) = ⇔  ⇔ ⇔   t = ±3 2 3 10 − t = 2t − 15  t =  f (0) = 0; f (3) = 81; f ( −3) = −81; f ( 10) = 20 10; f ( − 10) = −20 10 f (t) = f ( 3) = 81; f (t) = f ( −3 ) = −81 Vậy t∈-max t∈- 10 ; 10  10; 10  Từ tốn 2.2.3.4 ta đưa tốn nhiều biến khó hơn, chẳng hạn: 2.2.3.4.1 Trong toán 2.2.3.4, thay t = ( a + b + c ) ta có toán sau Bài toán 2.2.3.4.1 Cho số thực a, b, c thỏa mãn ( a + b + c ) ≤ 10 Tìm giá trị   lớn biểu thức P = ( a + b + c )  + 10 − ( a + b + c )    2.2.3.4.2 Từ toán 2.2.3.4.1 kết (a + b + c ) ( ab + bc + ca ) ≤ ab + bc + ca ≥ ( a + b + c ) , với số thực a, b, c thỏa mãn 27 (Thật vậy: Áp dụng bất đẳng thức Cơ – si, ta có  a + b + c2 + ( ab + bc + ca )  2 ( a + b + c ) ( ab + bc + ca ) ( ab + bc + ca ) ≤     ⇒ ( a + b + c ) ( ab + bc + ca ) ≤ ( a + b + c) 27 Dấu xảy a + b + c = ab + bc +ca ⇔ a = b = c), ta có tốn sau Bài toán 2.2.3.4.2 Cho số thực a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca ≥ ( a + b + c ) ≤ 10 Tìm giá trị lớn biểu thức P = ( a + b + c ) ( ab + bc + ca )  + 10 − ( a + b + c )    2.2.3.4.3 Từ toán 2.2.3.4 kết abc ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ≤ ( ab + bc + ca ) , với số thực a, b, c không âm 27 (Thật vậy: Áp dụng bất đẳng thức Cô – si, ta có  ( ab + bc + ca )  ( ab + bc ) ( bc + ca ) ( ab + ca ) ≤   = ( ab + bc + ca ) Dấu   27 xảy ab = bc = ca), ta có tốn sau Trang 30 Bài tốn 2.2.3.4.3 Cho số thực a, b, c không âm thỏa mãn ( ab + bc + ca ) ≤ 10 Tìm giá trị lớn biểu thức 2 P = abc ( a + b ) ( b + c ) ( c + a )  + 10 − ( ab + bc + ca )    2.2.3.4.4 Trong toán 2.2.3.4, thay t = a ta có tốn sau b Bài toán 2.2.3.4.4 Cho số thực a, b thỏa mãn b > 10b ≤ a Tìm giá trị lớn biểu thức P = ( a 2b + 10b − a b4 ) 2.2.3.4.5 Trong toán 2.2.3.4, thay t = a + b, ta có tốn sau Bài toán 2.2.3.4.5 Cho a b số thực thỏa mãn ( a + b ) ≤ 10 Tìm giá trị 3  lớn nhỏ biểu thức P = ( a + b )  + 10 − ( a + b )    2.2.3.4.6 Từ toán 2.2.3.4.5 kết quả: “Nếu a b số thực thỏa mãn a + b ≥ ( a + b ) ≥ 4ab ( a + b ) ” (Thật vậy: Vì a b số thực thỏa mãn a + b ≥ nên ( a + b ) ( a − b ) ≥ ⇒ ( a + b ) ≥ 4ab ( a + b ) Dấu xảy a = b a + b = 0), ta có tốn sau Bài toán 2.2.3.4.6 Cho a b số thực thỏa mãn ≤ a + b ≤ 10 Tìm giá trị   lớn biểu thức P = ab ( a + b )  + 10 − ( a + b )    x y 2.2.3.4.7 Trong toán 2.2.3.4.6, thay a = ; b = với z > ta có tốn sau z z Bài toán 2.2.3.4.7 Cho số thực x, y, z thỏa mãn ≤ x + y ≤ 10z z > xy ( x + y )  2z + 10z − ( x + y )    Tìm giá trị lớn biểu thức P= z4 2.2.3.4.8 Từ toán 2.2.3.4.7, hạn chế thêm điều kiện ta có tốn sau Bài toán 2.2.3.4.8 Cho số thực x, y, z thỏa mãn x + y ≥ ( x + y) + = 10z Tìm giá trị lớn biểu thức P= xy ( x + y ) ( 2z + 1) z4 2.2.3.4.9 Từ toán 2.2.3.4.6 kết quả: “Nếu a b số thực ( a + b ) ≤ ( a + b2 ) Dấu xảy a = b Trang 31 Suy 10 − ( a + b ) 30 − ( a + b ) − ( a + b ) 30 − 2a − 2b − ( a + b ) ”, ta có = ≥ 3 2 2 toán sau Bài toán 2.2.3.4.9 Cho số thực không âm a b thỏa mãn a + b + ( a + b ) ≤ 15 Tìm giá trị lớn biểu thức  2 2  P = ab ( a + b )  + 10 − a − b − ( a + b )  3   2.2.3.4.10 Trong toán 2.2.3.4.9, thay a = x – y, b = y – z ta toán sau Bài toán 2.2.3.4.10 Cho số thực x, y, z thỏa mãn 2 ( x − y ) + ( y − z ) + ( z − x ) ≤ 15 x ≥ y ≥ z Tìm giá trị lớn biểu thức  30 − ( x + y + z ) + ( xy + yz + zx )    P = ( x − y) ( y − z) ( x − z) +     2.2.3.4.11 Nếu x, y, z số thực thỏa mãn x ≥ y ≥ z biểu thức P tốn 2.2.3.4.10  30 − ( x + y + z ) + ( xy + yz + zx ) Q = ( x − y ) ( y − z ) ( z − x ) 2 +       Vì vai trò x, y, z giả thiết tốn 2.2.3.4.10 Q bình đẳng nên khơng tính tổng qt ta giả sử x ≥ y ≥ z Do ta có tốn sau Bài toán 2.2.3.4.11 Cho số thực x, y, z thỏa mãn ( x − y) thức + ( y − z ) + ( z − x ) ≤ 15 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu 2  30 − ( x + y + z ) + ( xy + yz + zx )  P = ( x − y) ( y − z) ( x − z) +       2 2.2.3.4.12 Trong toán 2.2.3.4.11 cho thêm giả thiết ( x + y + z ) = 15 , ta có toán sau 2 Bài toán 2.2.3.4.12 Cho số thực x, y, z thỏa mãn ( x + y + z ) = 15 xy + yz + zx ≥ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức  P = ( x − y ) ( y − z ) ( x − z ) 1 +  xy + yz + zx  ÷  Trang 32 2.2.3.4.13 Từ đẳng thức ( x − y) + ( y − z ) + ( z − x ) = ( x − y ) ( y − z ) ( z − x ) tốn 2.2.3.4.12 ta có 3 tốn 2 Bài toán 2.2.3.4.13 Cho số thực x, y, z thỏa mãn ( x + y + z ) = 15 xy + yz + zx ≥ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức xy + yz + zx  3  P = ( x − y ) + ( y − z ) + ( x − z )   + ÷     2 2.2.3.4.14 Nếu ( x + y + z ) = 15 xy + yz + zx ≥  ( x − y ) + ( y − z ) + ( x − z )   +    ( x − y ) + ( y − z )  = 225 × 3 xy + yz + zx  ÷   2( x + y2 + z2 ) + ( x − z)  +  15  (x + y2 + z )  xy + yz + zx ÷ ÷  Bằng cách chuẩn hóa (Đặt a = 30x x + y2 + z ;b= 30y x + y2 + z2 ;c= 30z x + y2 + z ) Ta có toán sau Bài toán 2.2.3.4.14 Cho số thực x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx ≥ x + y + z ≠ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức ( x − y ) + ( y − z )  P=  ( x + y2 + z ) + ( x − z)  +  15  (x + y2 + z )  xy + yz + zx ÷ ÷  2.2.3.4.15 Một số toán tương tự toán 2.2.3.4.12 (Từ toán 2.2.3.4.15.1 đến 2.2.3.4.15.6) Bài toán 2.2.3.4.15.1 (Đề thi giáo viên giỏi Tỉnh Nghệ An năm 2011) Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn x ≥ y ≥ z x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = ( x − y ) ( y − z ) ( z − x ) ( xy + yz + zx ) Bài tốn 2.2.3.4.15.2 (Bài T6/401 tạp chí tốn học tuổi trẻ) Cho ba số thực a, b, c đôi khác thỏa mãn a + b + c = ab + bc + ca > Tìm giá trị nhỏ biểu thức Trang 33 A= 2 + + + a −b b−c c−a ab + bc + ca Bài toán 2.2.3.4.15.3 (Câu V – Đề thi tuyển sinh đại học khối A khối A năm 2012) Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x − y + y− z + z − x − 6x + 6y + 6z Bài toán 2.2.3.4.15.4 (Đề thi học sinh giỏi Toán quốc tế năm 2006) Xác định số thực nhỏ M cho bất đẳng thức ab ( a − b ) + bc ( b − c2 ) + ca ( c − a ) ≤ M ( a + b + c ) thỏa mãn với số thực a, b, c Bài toán 2.2.3.4.15.5 (Đề thi học sinh giỏi Toán Quốc gia năm ) Cho x, y, z số thực không âm, đôi khác Chứng minh  ( xy + yz + zx )   ( x − y ) + ( y − z) +  ≥  ( z − x )  Bài toán 2.2.3.4.15.6 (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Nghệ An năm học 2013 – 2014) Cho ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện a > b > c 3ab + 5bc + 7ca ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= 32 ( a − b) + ( b − c) + ( c − a) Lời giải toán 2.2.3.4.15.6: Từ giả thiết suy ≥ 3ab ≥ ( a − c ) ( b − c ) ⇒ ( a − c ) ( b − c) ≤9  32 1  ⇒ 9P ≥ ( a − c ) ( b − c )  + + 4  ( b − c ) ( c − a )   ( a − b ) 2 Đặt x = a – c; y = b – c (với x > y > 0), ta có  32 x y 1 32 9P ≥ x y  + + 4= + + ÷ −2 x y x − y )  (   x y  y x + − y x ÷   Đặt t = 32 x y + t − (1) + , t > (Vì x > y > 0) ta có 9P ≥ y x ( t − 2) Trang 34 Xét f (t) = 32 ( t − 2) + t − với t > 2 f '(t) = 2t − ( t − 2) 2t ( t − ) − 64 64 = ( t − 2) = ( t − )  t ( t − ) + 4t + 8 ( t − 2) f '(t) = ⇔ t = (Vì t > 2) Ta có bảng biến thiên t f '(t) +∞ - + f(t) 22 f (t) = f (4) = 22 Từ bảng biến thiên hàm số f(t) khoảng ( 2;+∞ ) ta có (min 2;+∞ ) (2) Từ (1) (2) suy P ≥ 22 Dấu xảy  2+ a>b>0 a = a b   + =  2− ⇔ b a  b =  ab =  c=0    c =   Vậy giá trị nhỏ biểu thức P 22 2.2.3.4.16 Tổng quát toán 2.2.3.3 tốn 2.2.3.4 ta có tốn Bài tốn 2.2.3.4.16 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f ( t ) = t 2n +1 a + b − t , với n, a, b, số dương cho trước n số tự nhiên ( ) Những vấn đề trình bày lần khẳng định kết to lớn đạt biết cách hướng dẫn học sinh chịu khó khai thác, đào sâu kết tốn, ln có ý thức đưa toán Trang 35 PHẦN III KẾT LUẬN 3.1 Kết việc úng dụng đề tài Trong năm học 2012 – 2013 dùng đề tài làm tài liệu giảng dạy cho lớp 12T1 trường THPT Hà Huy Tập đạt kết cao (Có học sinh đạt từ điểm toán trở lên kỳ thi tuyển sinh đại học năm 2013 khối A, A1 B) Sau số liệu so sánh kết trước sau áp dụng đề tài trường THPT Hà Huy Tập: Năm học Dùng đề tài làm tài liệu Số học sinhđạt từ điểm toán trở lên kỳ thi tuyển sinh đại học khối A, A1 B 2010 - 2011 Không 2011 - 2012 Khơng 2012 - 2013 Có Đề tài củng đồng nghiệp trường khác trường THPT Đô Lương 1, THPT Quỳnh Lưu 1, THPT Nguyễn Xuân Ôn, THPT Phan Đăng Lưu, … sử dụng làm tài liệu đem lại kết tốt 3.2 Những kết luận 3.2.1 Tính mẻ Đề tài có điểm mẻ sau: - Đánh giá thực trạng vấn đề dạy học số tập khó đề thi tuyển sinh đại học - Đưa số vấn đề dạy học giải số tập khó đề thi tuyển sinh đại học theo định hướng bồi dưỡng tư sáng tạo cho học sinh Trang 36 - Đưa nhiều lời giải hay cho số toán toán đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2003, khối B năm 2003, khối A A năm 2012, … - Đưa số định hướng cụ thể để giải số tập khó đề thi tuyển sinh đại học - Đưa số toán phù hợp với xu đề tuyển sinh đại học 3.2.2 Tính khoa học Nội dung đề tài trình bày khoa học, lập luận xác Hệ thống lý thuyết đắn, có sức thuyết phục 3.2.3 Tính hiệu Đề tài áp dụng trình dạy học giáo viên học sinh đặc biệt học sinh khá, giỏi Đề tài làm tài liệu tham khảo cho học sinh giáo viên Nó đáp ứng phần việc đổi phương pháp giảng dạy toán trường THPT Đặc biệt đề tài phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo người học 3.3 Những đề xuất Đề tài mở rộng theo hướng: “Đưa tốn tìm giá trị nhỏ biểu thức P giải theo định hướng khác chẳng hạn định hướng: Từ giả thiết bất đẳng thức biết chứng minh P ≥ f (a;b) , với a = g1 ( x; y;z ) ; b = g ( x; y;z ) ; Tìm giá trị nhỏ f (a,b) định hướng (đối với tốn tìm giá trị lớn biểu thức P thực tương tự vậy)” Vinh, ngày 16 tháng năm 2014 Người thực Dương Văn Sơn Trang 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO Hoàng Chúng (1969) Rèn luyện khả sáng tạo toán học trường phổ thông NXB Giáo dục G Polya (1968) Tốn học suy luận có lý, NXB Giáo dục G Polya (1978) Sáng tạo Toán học, NXB Giáo dục Lene (1977) Dạy học nêu vấn đề, NXB Giáo dục Đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng từ năm 2002 đến năm 2013 MỤC LỤC Trang 38 Trang PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ PHẦN II NỘI DUNG .3 2.1 Cơ sở lý luận thực tiễn 2.1.1 Tư sáng tạo .3 2.1.2 Đánh giá thực trạng vấn đề dạy học số tập khó .4 2.1.3 Tiềm số tập khó 2.2 Một số vấn đề dạy học giải số tập khó 2.2.1 Vấn đề 1: 2.2.2 Vấn đề 2: 11 2.2.3 Vấn đề 3: 26 PHẦN III KẾT LUẬN 39 3.1 Kết việc úng dụng đề tài 39 3.2 Những kết luận 39 3.3 Những đề xuất 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 Trang 39 ... tốn 2.2.3.4, thay t = a ta có toán sau b Bài toán 2.2.3.4.4 Cho số thực a, b thỏa mãn b > 10b ≤ a Tìm giá trị lớn biểu thức P = ( a 2b + 10b − a b4 ) 2.2.3.4.5 Trong toán 2.2.3.4, thay t = a +...  x = − x2  x = − y = −2 ⇔  ⇔ (Vô lý)  − x = −  x + − x = −2 Vì học sinh phải linh hoạt thay đổi tư tìm giá trị nhỏ hàm số cho 2.2.1.2.2 Để tìm giá trị lớn hàm số cho, ta áp dụng bất đẳng... Bài toán 2.2.2.2.1 (Câu V – Đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2009) Cho số thực không âm x, y thay đổi thỏa mãn x + y = Tìm giá trị lớn 2 nhỏ biểu thức S = ( 4x + 3y ) ( 4y + 3x ) + 25xy Lời