Sáng kiến kinh nghiệm phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

A ĐẶT VẤN ĐỀ I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong cơng đổi tồn diện giáo dục nước nhà, đổi phương pháp dạy học nhiệm vụ quan trọng hàng đầu Trong q trình cơng tác, trải qua nhiều phương pháp dạy học tích cực tơi nhận thấy phương pháp dạy học “Phát giải vấn đề” có nhiều ưu điểm phù hợp với công tác giảng dạy mơn Tốn trường phổ thơng nói chung dạy học giải tập tốn nói riêng Tuy nhiên để thành cơng phương pháp dạy học “Phát giải vấn đề” lực chuyên môn lực sư phạm giáo viên đòi hỏi người giáo viên nhiều thời gian tâm huyết Để có giảng thu hút học trò, giúp học trò phát triển tư mơn tốn dẫn dắt học trò tới niềm say mê tìm tòi sáng tạo, tơi bao giáo viên yêu nghề yêu toán khác thường trăn trở với khó khăn học trò q trình tiếp cận tốn Bài tốn hình học giải tích mặt phẳng tốn thường xuất kỳ thi ln quan tâm đặc biệt học trò, bên cạnh tốn khó với nhiều đối tượng học trò đặc biệt với em có lực trung bình Băn khoăn trước khó khăn học trò, tơi tìm tòi định chọn phương pháp dạy học “Phát giải vấn đề” để giúp em tiếp cận loại toán cách hiệu Trong số tốn hình giải tích mặt phẳng có lớp tốn “thiên tính chất hình phẳng túy” gây cho học trò nhiều khó khăn tiếp cận Vì chọn đề tài “Kinh nghiệm dạy học giải tập hình giải tích mặt phẳng nhờ mối quan hệ ba điểm” để nghiên cứu II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Tìm hiểu khó khăn thuận lợi học sinh tiếp cận tốn hình giải tích mặt phẳng thơng qua phương pháp dạy học “Phát giải vấn đề” Phát triển tư khái quát hóa, tương tự hóa, lật ngược vấn đề, tư sáng tạo học sinh… III ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU - Học sinh khối 10 THPT Trang | - Đội tuyển HSG khối 11 THPT - Học sinh khối 12 THPT ôn thi vào trường Đại học - Giáo viên giảng dạy mơn Tốn bậc THPT IV V KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU TT Thời gian Nội dung công việc Sản phẩm Từ 15 tháng 01 đến 15 tháng 02 năm 2014 Chọn đề tài, viết đề cương nghiên cứu Bản đề cương chi tiết Từ 15 tháng 02 đến 30 tháng 02 năm 2014 Đọc tài liệu lí thuyết viết sở lý luận Tập hợp tài liệu lý thuyết Từ 01 tháng 03 đến 15 tháng 03 năm 2014 Trao đổi với đồng nghiệp đề xuất sáng kiến Tập hợp ý kiến đóng góp đồng nghiệp Từ 15 tháng 03 đến 30 tháng 03 năm 2014 Dạy thử nghiệm lớp 10A, 12C1, 12C2, 12C4 Thống kê kết thử nghiệm Từ 01 tháng 04 đến 25 tháng 04 năm 2014 Hồn thiện đề tài Đề tài thức PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Tìm kiếm tài liệu tham khảo từ nguồn khác liên quan đến hình học phẳng, hình học giải tích mặt phẳng, phương pháp dạy học mơn tốn sáng kiến kinh nghiệm giáo viên khác thuộc mơn Tốn THPT - Trao đổi với đồng nghiệp để đề xuất biện pháp thực - Giảng dạy tiết tập toán lớp 10A, 11C1, 12C1, 12C2, 12C4 trường THPT Đặng Thúc Hứa để thu thập thông tin thực tế B NỘI DUNG I THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG Trang | Trường THPT Đặng Thúc Hứa đóng địa bàn có nhiều xã khó khăn kinh tế, việc học tập phấn đấu em học sinh chưa thực quan tâm từ bậc học THPT kiến thức sở mơn Tốn em hầu hết tập trung mức độ trung bình Khi chưa áp dụng nghiên cứu đề tài để dạy học giải tập hình giải tích mặt phẳng, em thường thụ động việc tiếp cận toán phụ thuộc nhiều vào kiến thức giáo viên cung cấp chưa ý thức tìm tòi, sáng tạo tạo niềm vui, hưng phấn làm toán Kết khảo sát số lớp phần giải tập tốn phần hình giải tích mặt phẳng qua tìm hiểu giáo viên dạy mơn Tốn, có khoảng 10% học sinh hứng thú với tốn hình giải tích mặt phẳng II KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC VÀ KINH NGHIỆM RÚT RA Sau áp dụng kết nghiên cứu đề tài, qua khảo sát cho thấy: Có 80% em học sinh có hứng thú với học 50% số biết cách tìm tòi xây dựng tốn từ toán gốc giáo viên gợi ý em tự tìm tòi Trong kỳ thi thử ĐH toàn tỉnh khảo sát với đề thi thử ĐH nước, có 90% học sinh lớp giải tốn hình giải tích mặt phẳng đề thi III KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG VÀ TRIỂN KHAI KẾT QUẢ - Đề tài làm tài liệu tham khảo cho em học sinh học khối 10 THPT em học sinh khối 12 THPT ôn thi vào trường ĐH-CĐ - Đề tài phát triển thêm lớp tốn khác phần hình giải tích phẳng để trở thành tài liệu cho giáo viên giảng dạy môn trường THPT Bắttriển đầu thành mơ hình sách tham khảo - Đề tài ứng dụng để phát cho học sinh giáo viên phục vụ học tập giảng dạy mơn tốn Phân tích vấn đề IV Đề xuất thực hướng giải CƠ SỞ LÝ THUYẾT Sơ đồ quy trình thực phương pháp dạy học phát giải vấn đề Hình thành giải pháp Giải pháp Trang | Kết thúc Một số toán sử dụng đề tài  Bài toán Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng  : ax  by  c   a  b   hai điểm A  x A ; y A  , B  xB ; yB  Xác định điểm M đường thẳng  , biết đường thẳng AM vng góc với đường thẳng AB Quy trình giải tốn Bước Viết phương trình đường thẳng AM qua A vng góc với đường thẳng AB Bước Xác định tọa độ giao điểm đường thẳng AM đường thẳng  Bước Kết luận  Bài toán Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng  : ax  by  c   a  b   điểm C  xC ; yC  Xác định tọa độ điểm A đường thẳng  , biết góc hai đường thẳng AC   Quy trình giải tốn Bước Tham số hóa điểm A Trang | uuur uur AC.u uu r cos   u uur uur (Trong u véc tơ Bước Sử dụng công thức AC u phương đường thẳng  ) Bước Giải phương trình bước kết luận  Bài toán Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A  x A ; y A  , B  xB ; yB  Xác định điểm M đường thẳng AB , biết AM  kBM ;  k �R, k   Quy trình giải toán Bước Giả sử M  x; y  Bước Xác định M utrong hợp: uuu r hai utrường uuu r - Trường hợp 1: AM  k BM (Điểm M nằm đoạn AB) uuuu r uuuu r - Trường hợp 2: AM  k BM (Điểm M nằm đoạn AB) Bước Kết luận  Bài toán Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A  x A ; y A  , B  xB ; yB  đường thẳng  : ax  by  c  Xác định tọa độ điểm M thuộc  cho d  M , AB   k ,  k �R, k   Quy trình giải tốn Bước Tham số hóa điểm M Bước Sử dụng cơng thức tính khoảng cách d  M , AB  Bước Giải phương trình bước kết luận  Bài toán Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A  x A ; y A  , B  xB ; yB  Viết phương trình đường thẳng  qua điểm M  x0 ; y0  thỏa mãn hệ thức d  A,    k d  B,   ;  k �R, k   Quy trình giải tốn Bước Giả sử Trang |  : ax  by  ax0  by0  a  b   Bước Sử dụng hệ thức a  b � d  A,    k d  B,   � �  * a   b � Bước Chọn a, b đại diện thỏa mãn (*) V NỘI DUNG ĐỀ TÀI Thơng thường loại tập tốn liên quan đến hình giải tích mặt phẳng chia thành hai mảng Mảng thứ dạng tập có tính “đại số” cao, với phương pháp giải tốn chủ đạo phương pháp tham số hóa Mảng thứ hai dạng tập có tính “ túy hình phẳng” cao, mà sở để giải tốn thường dựa khả sử dụng tính chất hình phẳng học sinh học bậc học THCS Trong năm gần toán hình giải tích mặt phẳng thuộc mảng thứ hai thường xuyên xuất kỳ thi chọn HSG kỳ thi vào trường ĐH gây nhiều khó khăn cho đối tượng học sinh Xuất phát từ yêu cầu thực tiễn phần muốn nêu lên quan điểm dạy học sinh nghiên cứu, tìm tòi giải lớp toán xuất phát từ sở lý thuyết toán quen thuộc nêu mục IV Phát giải vấn đề giải tập hình giải tích mặt phẳng a Ba điểm phân biệt mối quan hệ vng góc  Bài tốn 1.1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng � 1�  ; �là điểm ABCD Gọi M  1;3 trung điểm cạnh BC, N � � 2� cạnh AC cho AN  AC Xác định tọa độ đỉnh hình vuông ABCD, biết D nằm đường thẳng x  y   Bước Phát thâm nhập vấn đề - Ta nhận thấy giả thiết toán xoay quanh ba điểm D, M, N nên chúng xuất mối quan hệ đặc biệt Bằng trực quan ta đưa giả thuyết DN  MN Nếu giả thuyết Trang | dựa vào toán tìm tọa độ điểm D Từ ta tìm tọa độ đỉnh lại hình vng phương pháp tham số hóa quen thuộc - Ta cụ thể toán để kiểm chứng giả thuyết đề ra: Giả sử ta chọn hình vng ABCD có tọa độ đỉnh A  2;  , B  2;  , uuur uuuu r C  2; 2  , D  2; 2  Khi DN MN  � DN  MN Bước Tìm giải pháp Nhận thấy mối quan hệ toán quan hệ vng góc, trung điểm mối liên quan đến độ lớn cạnh hình vng, ta đề xuất giải pháp chứng minh sau:  Giải pháp (Thuần túy hình phẳng) Gọi I giao điểm hai đường chéo AC BD Điểm F trung điểm đoạn DI Khi tứ giác FNMC hình bình hành F trực tâm tam giác NDC nên CF  DN Mà CF / / MN nên DN  MN  Giải pháp (Sử dụng công cụ véctơ) uuu r r uuur u r ru r r u r DA  x ; DC  y x y  0; x  y Đặt   Ta có uuur r u r uuuu r uuur uuuur r u r DN  x  y ; MN  DN  DM  x  y 4 4 uuur uuuu r r2 u r2 x  y  � DN  MN Suy DN MN  16    Giải pháp (Sử dụng công cụ tọa độ) Chọn hệ trục tọa độ Oxy hình vẽ Khi D  0;0  , A  0; a  , C  a;0  � a � �a 3a � a; � ,N� ; � Nên M � � � �4 � Do uuur uuuu r 3 DN MN   a  a  � DN  MN 16 16  Giải pháp (Sử dụng công cụ lượng giác) Đặt AB  BC  CD  DA  a - Xét tam giác AND, ta có Trang | DN  AN  AD  AN AD.cos A  a - Xét tam giác CMN, ta có MN  CN  CM  2CN CM cos C  a - Xét tam giác DCM, ta có DM  DC  CM  a Suy DM  DN  MN � DN  MN Bước Trình bày giải pháp Trước hết ta chứng minh DN  MN (Có thể sử dụng giải pháp bước 2) Phương trình đường thẳng DN : x  y   �x  y   �x  �� � D  1; 2  Tọa độ điểm D nghiệm hệ � �x  y   �y  2 uuur uuur A m ; n   AC  AN � C  6  3m;  3n  Giả sử , từ uuu r uuur Từ AB  DC � B  7  2m;  2n  �13  5m  5n � ; Suy tọa độ điểm M M � � � � 13  5m  � m  3 � �� � A  3;0  , B  1;  , C  3;  Từ ta có �  5n  n0 � � Bước Nghiên cứu sâu giải pháp - Để giải toán 1.1 ta mở “nút thắt đầu tiên” tìm tọa độ điểm D nhờ mối quan hệ DN  MN Như toán 1.1 thực chất xây dựng dựa tốn hình phẳng túy: Cho hình vng ABCD Gọi M trung điểm cạnh BC; N điểm cạnh AC AC Chứng minh DN  MN - Trong giải pháp chứng minh DN  MN giải pháp 4(sử dụng cơng cụ lượng giác) giúp phát mối liên quan khác ba điểm D, M , N ND  NM hay nói cách khác, tam giác NDM vng cân N , từ ta nhận thấy bỏ giả thiết “D nằm đường thẳng x  y   ” toán giải quyết, song cho nhiều nghiệm số - Bằng giải pháp (sử dụng cơng cụ véctơ) ta kiểm tra tốn tương tự trường hợp tứ giác ABCD hình chữ nhật cho AN  Trang | r � �r u r uuur r u r uuuu MN  k  x  k y Ta có DN  k x    k  y , � � � 2� uuur uuuu r � �2 DN MN  k� k  �x  k   k  y Suy � 2� +) Trường hợp Nếu k  N C +) Trường hợp Nếu k  , rõ ràng k  uuur uuuur k  ta ln có DN DM  uuur uuuur x2   k  ,  k   * Suy DN DM  �  y 2k  x2 Ta thấy,  � x  y � k  hình chữ nhật ABCD trở y thành hình vng Ta phát biểu tốn tương tự tốn 1.1 với hình chữ nhật có độ lớn chọn thỏa mãn (*) Thí dụ, ta chọn x  y � k  , ta xây dựng tốn hình giải tích thơng qua tốn túy hình phẳng: Cho hình chữ nhật ABCD có AD  DC Gọi M trung điểm BC, N điểm đường chéo AC cho AN  NC Chứng minh DN  MN � �2 k  �x    k  y  0, k ta xét toán sau để +) Trường hợp � � 2� làm rõ trường hợp  Bài toán 1.2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh B thuộc đường thẳng d1 : x  y   , đỉnh C thuộc đường thẳng d : x  y   Gọi H hình chiếu B xuống AC �9 � , K  9;  trung điểm AH CD Biết điểm M � ; � �5 � Xác định tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD, biết điểm C có tung độ dương Bước Phát thâm nhập vấn đề - Giả thiết toán xoay quanh điểm M, K, B Bằng trực quan ta đề xuất giả thuyết BM  KM giả thuyết đề sử dụng kết toán để “mở nút thắt đầu tiên” tìm tọa độ điểm B Từ phương pháp giải tốn quen thuộc ta tìm tọa độ đỉnh lại hình chữ nhật Trang | - Để kiểm chứng giả thuyết đề ra, ta cụ thể hóa tốn 1.2 hình chữ nhật ABCD với A  2;1 , B  2;1 , C  2; 1 , D  2; 1 Bước Tìm giải pháp Nhận thấy mối quan hệ tốn cho vng góc, trung điểm góc Vì ta đề xuất giải pháp để chứng minh BM  KM sau:  Giải pháp (Thuần túy hình phẳng) Gọi E trung điểm HB Lúc tứ giác MECK hình bình hành E trung trực tam giác BMC nên CE  MB Mà MK / / CE � MK  MB  Giải pháp (Sử dụng công cụ véctơ) uuu r r uuur u r ru r BA  x ; BC  y x y 0 Đặt   Ta uuurcó uuu r uuur r u r BH  k BA    k  BC  k x    k  y uuur uuur uuu r r u r AC  BC  BA   x  y uuur uuur Nên BH AC  � kx    k  y   * uuuu r uuu r uuur r u r ; Lại có BM  BA  BH  � �1  k  x    k  y � � 2 uuuu r uuur uuuu r u r r MK  BK  BM   k x    k  y 2 uuuu r uuuu r � BM MK    k  � kx    k  y � � � hay BM  MK    Giải pháp (Sử dụng công cụ tọa độ) Chọn hệ trục tọa độ Oxy hình vẽ, điểm B  0;0  , A  0; a  , C  c;0  � a� c; � Tọa độ điểm K � � 2� Phương trình đường thẳng AC : ax  cy  ac; BH : cx  ay  ax  cy  ac � a2c � ac � � H ; Tọa độ điểm H nghiệm hệ � �2 2 � cx  ay  � �a  c a  c � Trang | 10  Bài tốn gốc 2.2 Cho hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo cắt I Kẻ AH BK vng góc với BD AC Đường thẳng AH BK cắt E Chứng minh HK  IE Xuất phát từ kết toán gốc 2.2 ta xây dựng tốn hình giải tích mặt phẳng cách lựa chọn hình chữ nhật đó, giả sử ta chọn hình chữ nhật ABCD với A  3;0  , B  1;  , C  3; 2  , �3 4� D  1; 4  Lúc đó: I  0; 1 , H �  ; �, �5 5� �9 2� � 1� K�  ;  �, E �  ; � � 5� � 2� Kết hợp với kết toán mục IV.2 ta xây dựng số toán: Bài toán 2.2.1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo cắt I  0; 1 Kẻ AH BK vng góc với BD AC Đường thẳng AH BK cắt � 1�  ; � Xác định tọa độ đỉnh chữ nhật ABCD, biết E � 2 � � điểm H nằm đường thẳng x  y   Bài toán 2.2.2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo cắt I Kẻ AH BK vng góc với BD AC Đường thẳng AH BK cắt E Xác định tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD, biết phương trình đường thẳng BK : x  y   , phương trình đường thẳng IE : x  y   � 4�  ; � tọa độ điểm H � �5 5�  Bài toán gốc 2.3 Cho tam giác ABC cân A Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, D trung điểm cạnh AB, E trọng tâm tam giác ACD Chứng minh IE  CD Xuất phát từ kết toán gốc 2.3 ta xây dựng tốn hình giải tích mặt phẳng cách lựa chọn tam Trang | 45 giác đó, giả sử ta A  7;5  , B  1;1 , C  3; 3 chọn tam giác cân ABC với Khi ta tính tốn kiện: Tọa độ điểm D  3;3 , tâm đường 11 � � tròn ngoại tiếp tam giác ABC I � ; �, trọng tâm tam giác ACD �3 � 13 � � E � ; � Kết hợp với kết toán mục IV.2 ta xây dựng �5 � số tốn: Bài tốn 2.3.1 (Trích đề thi thử ĐH chuyên Phan Bội Châu năm 2013) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A; D 11 � � 13 � � , E � ; �lần lượt tâm trung điểm đoạn AB Biết I � ; � �3 � �3 � đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, trọng tâm tam giác ADC; Các điểm M  3; 1 , N  3;0  thuộc đường thẳng DC , AB Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC, biết A có tung độ dương Bài toán 2.3.2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân 13 � � A; D trung điểm đoạn AB Điểm E � ; �là trọng tâm tam �3 � giác ADC Phương trình đường thẳng CD : x   0, đường cao kẻ từ đỉnh A tam giác ABC qua N  2;0  Xác định tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC  Bài tốn gốc 2.4 Cho đường tròn tâm I đường kính AC Từ điểm M ngồi đường tròn, vẽ tiếp tuyến MA, MB (A,B tiếp điểm) Tiếp tuyến C cắt đường thẳng AB D Chứng minh ID  MC Giả sử ta chọn ba điểm A  2;3 , B  2;0  , C  1;0  Khi đó: Đường tròn tâm I đường kính AC 2 1� � 3�  C :� �x  � �y  �  ; � 2� � 2� � 3� Tọa độ điểm: M � ; � , D  2; 3 � 2� Từ ta xây dựng số toán sau: Trang | 46 Bài toán 2.4.1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn �7 3� tâm I đường kính AC Từ điểm M � ; �nằm ngồi đường tròn, vẽ � 2� tiếp tuyến MA, MB (A,B tiếp điểm) Tiếp tuyến C có phương trình x  y   cắt đường thẳng AB D Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC, biết điểm I thuộc đường thẳng x  y  Bài toán 2.4.2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn �1 3� � 3� I�  ; �đường kính AC Từ điểm M � ; �nằm ngồi � 2� � 2� đường tròn, vẽ tiếp tuyến MA, MB (A,B tiếp điểm) Tiếp tuyến C cắt đường thẳng AB D  2; 3 Xác định tọa độ tâm đỉnh tam giác ABC  Xây dựng từ mối quan hệ với góc có số đo   Bài tốn gốc 2.5 Cho hình vng ABCD, E điểm thuộc cạnh BC Qua B kẻ đường thẳng vng góc với DE; đường thẳng cắt � đường thẳng DE DC theo thứ tự H K Tính góc CHK Ta chọn hình vng ABCD, với A  2;  , B  2;  , C  2; 2  , D  2; 2  E  2;1 cạnh BC �62 34 � Tọa độ điểm H � ; �, tọa độ điểm K  5; 2  �25 25 � Bài toán 2.5.1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD, E  2;1 điểm thuộc cạnh BC Đường thẳng qua B vng góc với DE cắt đường thẳng DE DC theo thứ tự H K  5; 2  Xác định tọa độ đỉnh hình vng, biết đường thẳng CH có phương trình x  y  16  Bài toán 2.5.2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD, E  2;1 điểm thuộc Trang | 47 cạnh BC Đường thẳng qua B vng góc với DE cắt đường thẳng �62 34 � DE DC theo thứ tự H � ; �và K  5; 2  Xác định tọa độ �25 25 � đỉnh hình vng, biết điểm C thuộc đường thẳng x  y    Bài toán gốc 2.6 Cho hình vng ABCD Gọi E trung điểm cạnh AD, H hình chiếu vng góc B lên CE M trung điểm �  đoạn BH Chứng minh cos BAM Từ toán gốc 2.6 kết hợp với kết toán mục IV.2 Lựa chọn hình vng ABCD với tọa độ đỉnh A  1;  , B  1; 2  , C  3; 2  , D  3;  ta xây dựng tốn sau: Bài tốn 2.6.1 (Trích đề thi thử ĐH trường THPT Đặng Thúc Hứa năm 2014) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD Gọi E trung điểm 11 � � cạnh AD, H � ;  �là hình chiếu vng 5� �5 �3 � góc B lên CE M � ;  � trung �5 � điểm đoạn BH Xác định tọa độ đỉnh hình vng ABCD, biết điểm A có hồnh độ âm  Bài toán gốc 2.7 Cho tam giác ABC vuông A Gọi M điểm cạnh AC cho AB  AM Đường tròn đường kính CM cắt BM ACD  D Chứng minh cos � 10 Từ toán gốc 2.7 kết hợp với kết toán mục IV.2 Chọn tam giác ABC với tọa độ đỉnh Trang | 48 A  2; 1 , B  2;  , C  3; 1 chọn điểm M AC có tọa độ M  1; 1 , ta xây dựng toán sau: Bài tốn 2.7.1 (Trích đề thi thử ĐH trường THPT Đặng Thúc Hứa năm 2014) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A Gọi M điểm cạnh AC cho AB  AM Đường tròn tâm I  1; 1 đường kính CM cắt BM D Xác định tọa �4 � độ đỉnh ABC biết đường thẳng BC qua N � ;0 �, �3 � phương trình đường thẳng CD : x  y   điểm C có hồnh độ dương  Xây dựng từ mối quan hệ thẳng hàng  Bài toán gốc 2.8 Cho ABC ,  AB  BC  nội tiếp đường tròn tâm (I) Trung tuyến AM, phân giác AD Gọi E giao điểm AD (I) Chứng minh ba điểm I, M, E thẳng hàng Chọn tam giác ABC với tọa độ đỉnh A  0;  , B  2;0  , C  4; 4  �5 � � � 0;  � Lúc I � ; � , E� Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam �2 � � � 2 � � � � 325 giác ABC  C  : �x  � �y  � � � � � 16 Bài toán 2.8.1 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn 2 � � � 325 Đường  C :� �x  � �y  � � � � � 16 � phân giác góc BAC cắt  C  điểm � 7� E� 0;  � Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC, biết đường thẳng � 2� BC qua điểm N  5;  đường thẳng AB qua P  3; 2  Trang | 49  Bài toán gốc 2.9 Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh AB lấy điểm M, tia đối tia CA lấy điểm N cho BM = CN Gọi K trung điểm MN Chứng minh ba điểm B, K, C thẳng hàng Chọn tam giác ABC với A  2;2  , B  4;0  , C  0; 4  Chọn điểm M  1;1 � N  1; 7  , K  1; 3 Ta xây dựng tốn dựa vào tính thẳng hàng ba điểm B, K, C Bài toán 2.9.1 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân A Các điểm M  1;1 N  1; 7  điểm cạnh AB tia đối tia CA cho BM  CN Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC, biết đường thẳng BC qua điểm E  3; 1 Bài toán 2.9.2 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân A Các điểm M N  1; 7  điểm cạnh AB tia đối tia CA cho BM  CN Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC, biết K  1; 3 trung điểm MN đường thẳng BC qua điểm E  3; 1  Bài toán gốc 2.10 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  I  M điểm thuộc đường tròn Gọi D, E , F theo thứ tự hình chiếu vng góc M AB, BC, AC Chứng minh ba điểm E, D, F thẳng hàng (Đường thẳng Simson) Chọn tam giác ABC với A  0;  , B  2;0  , C  4; 4  Chọn điểm M  5;  , suy D  1;6  , E  1;2  , F  1; 2  Bài toán 2.10.1 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  I  Điểm M  5;  điểm thuộc đường tròn  I  Gọi D  1;6  , E  1;  , F theo thứ tự hình chiếu vng góc M AB, BC, CA Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC, biết điểm F thuộc đường thẳng x  y  Trang | 50  Bài toán gốc 2.11 Cho tam giác ABC có AC  AB M trung điểm BC, N điểm thuộc cạnh AC cho AN  NC , D thuộc � BC cho AD đối xứng với AM qua tia phân giác góc BAC uuuur uuur Chứng minh DM  3MC Bài toán 2.11.1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có AC  AB Điểm M  1;1 trung điểm BC, N thuộc cạnh AC cho AN  NC , điểm D thuộc BC cho AD đối xứng với AM � Đường qua tia phân giác góc BAC thẳng DN có phương trình x  y   Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC, biết C thuộc d : x  y    Bài toán gốc 2.12 Cho tam giác ABC, gọi O, G, H theo thứ tự tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm tam giác I tâm uuurđường uurtrònuƠuur le (*) Chứng minh O, H, G, I thẳng hàng, đồng thời OH  2OI  3OG (Đường thẳng Ơ-le) (*) Đường tròn Ơ-le: Trong tam giác trung điểm cạnh, trung điểm đoạn thẳng nối trực tâm đến đỉnh, chân đường cao thuộc đường tròn Bài tốn 2.12.1 Cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp �4 � �1 � I�; � , trực tâm H � ; � trung �3 � �3 � điểm cạnh BC M  1;1 Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC Bài toán 2.12.2 Cho tam giác ABC có đỉnh A  1;  , C  3;0  nội tiếp đường �4 � Xác định tọa độ đỉnh tròn tâm I � ; � �3 � B, biết trực tâm H thuộc đường thẳng x  y  Trang | 51 Bài toán 2.12.3 Cho tam giác ABC có trọng tâm G  1;  , đường tròn qua trung điểm ba cạnh tam giác ABC x  y  x  y   Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài tốn 2.12.4 (Trích đề thi HSG khối 12 tỉnh Nghệ An năm 2011) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G  1;  Gọi H trực tâm tam giác ABC Biết đường tròn qua ba trung điểm ba đoạn thẳng HA, HB, HC có phương trình là: x  y  x  y   Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC  Xây dựng từ mối quan hệ khoảng cách  Bài toán gốc 2.13 Cho tam giác ABC có trọng tâm G Chứng minh d  A, BC   3d  G, BC  Bài toán 2.13.1 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G  1;1 ; đường cao từ đỉnh A có phương trình x  y   đỉnh B, C thuộc đường thẳng  : x  y   Xác định tọa độ đỉnh A, B, C biết diện tích tam giác ABC  Bài tốn gốc 2.14 Cho hình vng ABCD có tâm I, ta ln có d  I , AB   d  I , AD  Bài toán 2.14.1 Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vng ABCD, có tâm O hai cạnh kề qua M  1;  , N  3; 1 Xác định tọa độ đỉnh hình vng Bài toán 2.14.2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có phương trình đường thẳng chứa cạnh AB CD x  y   0, x  y  18  Xác định tọa độ đỉnh hình vng ABCD, biết tâm I thuộc đường thẳng  : x  y   Trang | 52  Bài toán gốc 2.15 Cho hình thang cân ABCD có hai đáy AB, CD Ta ln có d  A; BD   d  B; AC  Bài toán 2.15.1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có hai đáy AB, CD; hai đường chéo AC BD vng góc với Biết A  0;3 , B  3;  điểm C nằm trục hoành Xác định tọa độ đỉnh D hình thang ABCD b Một số hướng thay đổi cách phát biểu để xây dựng toán  Bài tốn gốc 2.16 Cho hình vng ABCD Gọi M, N trung điểm cạnh BC CD Chứng minh AM  BN Giả sử ta chọn hình vng ABCD với tọa độ đỉnh A  4;0  , B  0;  , C  4;0  , D  0; 4  Khi ta tính tốn kiện khác sau: M  2;  , N  2; 2  , phương trình đường thẳng AM : x  y   , BN : 3x  y   , tọa độ giao điểm H AM �4 � BN H � ; � �5 � Dựa vào kết tính tốn trên, ta xây dựng tốn hình giải tích mặt phẳng từ phương án sau:  Kết hợp với kết toán Bài toán 2.16.1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có đỉnh B  0;  Gọi M , N trung �4 � điểm cạnh BC CD Gọi H � ; �là giao �5 � điểm AM BN Xác định tọa độ đỉnh lại hình vng ABCD, biết A nằm đường thẳng  : x  y   Bài toán 2.16.2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có đỉnh A  4;0  Gọi M , N trung điểm cạnh �4 � BC CD ; Điểm H � ; �là giao điểm AM BN Xác định �5 � Trang | 53 tọa độ đỉnh lại hình vng, biết điểm N nằm đường thẳng x  y    Xây dựng tốn tương tự cách “cắt” hình vng thành hình thang có cạnh AB  2CN kết hợp với toán Bài toán 2.16.3 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang vng ABCD (vng B C) có AB  BC  2CD đỉnh A  4;0  Gọi M trung điểm cạnh BC ; Điểm �4 � H � ; �là giao điểm AM BD Xác �5 � định tọa độ đỉnh lại hình thang, biết điểm D nằm đường thẳng x  y    Mở rộng kết toán 2.1 cách dựng thêm điểm kết hợp toán Bài toán 2.16.4 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông B có BC  BA Điểm M  2;   trung điểm cạnh AC Gọi N �4 � BC ; Điểm H � ; �là giao điểm �5 � AN BM Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC , biết điểm N nằm đường thẳng x  y   điểm cạnh BC cho BN  Trang | 54  Xây dựng toán tương tự cách “cắt” hình vng thành hình chữ nhật kết hợp kết toán Bài toán 2.16.5 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có BC  BA Gọi E  1;1 điểm cạnh BC cho BE  BC ; Điểm �4 � H � ; �là giao điểm BD AE Xác định tọa độ đỉnh �5 � hình chữ nhật ABCD, biết điểm B nằm đường thẳng x  y   BC  , kết hợp với toán tốn ta có: BN Bài tốn 2.16.6 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD Gọi M , N trung điểm cạnh BC CD Điểm �   Từ cos NBC �4 � H � ; �là giao điểm BN AM Xác �5 � định tọa độ đỉnh hình vng ABCD , biết phương trình đường thẳng BC : x  y   điểm C có hồnh độ dương Bài tốn 2.16.7 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD Gọi M , N trung điểm �4 � cạnh BC CD Điểm H � ; �là giao �5 � điểm BN AM Xác định tọa độ Trang | 55 đỉnh hình vng ABCD , biết phương trình đường thẳng AN : x  y   điểm A có hồnh độ âm Bài toán 2.16.8 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang vng ABCD (vng B C) có AB  BC  2CD Gọi M trung �4 � điểm cạnh BC ; Điểm H � ; �là giao điểm BD AM Xác �5 � định tọa độ đỉnh hình thang ABCD , biết phương trình cạnh AB : x  y   A có hồnh độ âm uuur uuur  Từ BH  BN áp dụng kết toán mục IV.2 ta có Bài tốn 2.16.9 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có đỉnh B  0;  Gọi M, N trung điểm cạnh BC CD; đường thẳng AM qua điểm E  5;3 Xác định tọa độ đỉnh lại hình vng, biết N có tung độ âm nằm đường thẳng x  y   Bài tốn 2.16.10 Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vng ABCD Gọi M, N trung điểm cạnh BC �4 � DC, điểm H � ; �là giao điểm AM BN Xác định tọa độ �5 � đỉnh hình vng, biết điểm B thuộc đường thẳng x  y   , N thuộc đường thẳng x  y    Từ d  H , AB   d  N , AB  kết hợp toán mục IV.2 ta có Bài tốn 2.16.11 Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vng ABCD Phương trình đường thẳng AB : x  y   Gọi M, N trung điểm cạnh BC DC, điểm H giao điểm AM BN Xác định tọa độ đỉnh hình vng, biết khoảng cách , điểm thuộc đường từ H đến đường thẳng AB N có hồnh độ dương thẳng x  y   Trang | 56 d  N , AB  kết hợp tốn mục IV.2 ta có Bài tốn 2.16.12 Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vng ABCD có đường thẳng AB qua điểm E  5; 1 Gọi  Từ d  H , AB   M, N  2; 2  trung điểm BC DC; H giao điểm AM BN Xác định tọa độ đỉnh hình vng ABCD, biết khoảng cách từ H đến đường thẳng AB hoành độ điểm A không âm Kết kinh nghiệm rút Trong trình dạy học giải tốn hình giải tích phẳng để tạo niềm vui học tập sáng tạo, giáo viên hướng dẫn học sinh xây dựng toán từ tốn hình phẳng túy kết hợp với số toán làm sở lý thuyết, cắt ghép hình để xây dựng tốn tương tự hay sử dụng cơng cụ giải tốn khác để khái qt hóa tốn C KẾT LUẬN I - - - - NHỮNG KẾT LUẬN Trong dạy học giải tập tốn nói chung dạy học giải tập tốn hình giải tích mặt phẳng nói riêng, việc xây dựng tốn riêng lẻ thành hệ thống theo trình tự logic có đặt phương pháp quy trình giải tốn giúp học sinh dễ dàng tiếp cận với nội dung học, đồng thời phát triển tư học toán tạo niềm vui hứng thú học toán Trong đề tài tơi hệ thống tốn với mối quan hệ ba điểm, từ phát triển thành thuật tốn để giải tốn hình giải tích phẳng với đặc điểm xuất phát từ tốn hình phẳng túy Để tiếp tục phát triển đề tài, tiếp tục xây dựng dựa mối quan hệ khác ba điểm mối quan hệ nêu đề tài nhiều điểm Đề tài vận dụng để dạy học tập hình giải tích mặt phẳng cho học sinh thuộc khối 10 THPT, ôn tập cho HSG khối 11 THPT, ôn tập cho học sinh thi vào trường ĐH làm tài liệu giảng dạy cho giáo viên toán khối THPT Trang | 57 - Đề tài phát triển xây dựng thành hệ thống tốn hình giải tích mặt phẳng giải nhờ chất hình phẳng đề thành sách tham khảo cho học sinh giáo viên II NHỮNG KIẾN NGHỊ, ĐỀ XUẤT Trong dạy học giải tập toán, giáo viên cần xây dựng giảng thành hệ thống tập có phương pháp quy trình giải tốn Khuyến khích học sinh xây dựng tập toán liên quan đến dạng tập toán giảng Phát triển nhân rộng đề tài có ứng dụng thực tiễn cao, đồng thời viết thành sách tham khảo cho học sinh giáo viên Thanh Chương, ngày 25 tháng 04 năm 2014 Người thực Phạm Kim Chung DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13 Sở GD&ĐT Nghệ An Bộ GD&ĐT Internet Trần Văn Hạo Đề thi chọn HSG Tỉnh Nghệ An năm 2014 Đề thi tuyển sinh Đại học năm 2012, năm 2013 Đề thi thử ĐH mơn tốn năm 2014 trường THPT Hình học 10 (SGK) Nguyễn Bá Kim Phương pháp dạy học mơn Tốn NXB GD Tạp chí Tốn học & Tuổi trẻ Bộ GD&ĐT Tài liệu Bồi dưỡng thường xuyên giáo viên THPT Bộ GD&ĐT Tăng cường lực dạy học giáo viên Bộ GD&ĐT Tăng cường lực nghiên cứu khoa học giáo viên Phan Huy Khải Toán nâng cao Hình Học 10 Vũ Hữu Bình Tốn nâng cao phát triển lớp Internet Một số tài liệu hình học phẳng khác Internet Một số SKKN mơn Tốn bậc THPT Trang | 58 Trang | 59 ... Đề tài thức PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Tìm kiếm tài liệu tham khảo từ nguồn khác liên quan đến hình học phẳng, hình học giải tích mặt phẳng, phương pháp dạy học mơn tốn sáng kiến kinh nghiệm giáo... Giải pháp (Sử dụng công cụ tọa độ) Chọn hệ trục tọa độ Oxy hình vẽ Trong B  0;0  , A  0; a  , C  c;0  Phương trình đường thẳng MD : ax  cy  2ac BN : cx  ay  Tọa độ điểm N nghiệm hệ phương. .. thuyết đặt hình vng với tọa độ cụ thể Nếu giả thuyết đúng, từ kết toán tìm tọa độ điểm M, từ ta tìm tọa độ đỉnh lại hình vng thơng qua tọa độ điểm biết Bước Tìm giải pháp Dữ kiện tốn xoay quanh