Phương pháp tìm số hạng tổng quát của dãy số

TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ Bài viết của Thầy: Nguyễn Tất Thu I.. SỬ DỤNG CSC – CSN ĐỂ XÂY DỰNG CÁCH TÌM CTTQ CỦA MỘT SỐ DẠNG DÃY SỐ CÓ CÔNG THỨC TRUY HỒI ĐẶC BIỆT.. Số hạng tổng qu

TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ Bài viết của Thầy: Nguyễn Tất Thu

I SỬ DỤNG CSC – CSN ĐỂ XÂY DỰNG CÁCH TÌM CTTQ CỦA MỘT SỐ DẠNG DÃY SỐ CÓ CÔNG THỨC TRUY HỒI ĐẶC BIỆT

1 Số hạng tổng quát của cấp số cộng và cấp số nhân

1 2: Số hạng tổng quát của cấp số nhân

Định nghĩa: Dãy số ( ) u có tính chất n u n1 q u n  n * gọi là cấp số nhân công

bội q

Định lí 3: Cho CSN ( ) u có công bội q Ta có: n u n  u q1 n1 (3).

Định lí 4: Gọi S n là tổng n số hạng đầu của CSN (u có công bội q Ta có: n)

1

1

1

-n n

q

q

 (4).

2 Áp dụng CSC – CSN để xác định CTTQ của một số dạng dãy số đặc biệt

Ví dụ 1.1: Xác định số hạng tổng quát của dãy số ( ) u được xác định bởi n

Ta thấy dãy ( )u là một CSN có công bội n q  2 Ta có:u n  3.2n1

Ví dụ 1.3: Xác định số hạng tổng quát của dãy ( ) u được xác định bởi: n

1 2, n 3 n 1 1 2

u   u  u    n

Giải:

Trong bài toán này chúng ta sẽ gặp khó khăn vì dãy ( )u không phải là CSC hay CSN! n

Ta thấy dãy (u không phải là CSN vì xuất hiện hằng số 1 n)  ở VT Ta tìm cách làm mất 1 đi và chuyển dãy số về CSN Để thực hiện ý đồ này ta đặt u n k v n l ; k l, là các hằng số và k  0 ( ta sẽ chọn k l, sau)

k l

3( ) : 5

1

( 1) khi 1

1

Giải: Ở ví dụ này chúng ta không thể sử dụng kết quả 1 được vì hệ số tự do ở đây

không phải là hằng số mà là một hàm bậc nhất biến n Tuy nhiên chúng ta có thể bắt

chước cách giải ở trên làm mất 3n 2 ở VP, ta đặt :u n k v n t n l  ; k t l, , là các hằng số k  0 Khi đó ta có:

1

6( ) : 6.2 3.2

2 1

n

u u

Khi đó: 1 1 2 1

1

1( ) :n n n n 1

Dạng 2: Từ ví dụ 4 và cách giải thứ hai của ví dụ 5 ta rút ra được cách tìm CTTQ của

dãy (u n)được xác định bởi: 1 0

* Nếu a 1, ta đặt u n v n n g n ( ) với g n là một đa thức theo ( ) n bậc k , thay vào

công thức truy hồi của dãy rồi ta chọn ( ) :g n ng n( ) ( n 1) (g n 1)  f n( )ta có được dãy  v n là CSN với công bội q  1 từ đó ta tìm được CTTQ của dãy  v n suy ra ta có CTTQ của dãy ( )u n

* Nếu a 1, ta đặt u n v n h n( ) với ( )h n là một đa thức theo n bậc k Thay vào

công thức truy hồi của dãy rồi ta chọn ( ) :h n h n( )ah n( 1) f n( ) ta có được dãy

 v n là CSN với công bội q a từ đó ta tìm được CTTQ của dãy  v n Suy ra ta có CTTQ của dãy ( )u n

Ví dụ 1.6: Cho dãy số 1

1

1( ) :

3 2 ; n 2, 3,

n

u u

1 1

5 2.3n 6.7n 12 ; 2, 3,

n

u u

Qua ví dụ trên ta có kết quả sau:

2 3n ; 2

n

u u

thức theo n bậc k ta tìm CTTQ của dãy như sau:

* Nếu a 1 ta đặt u n  v n  x.n  g n( ), với ( )g n là đa thức theo n bậc k Ta sẽ

chọn sao cho dãy ( )v là một CSN, khi đó ta sẽ tìm được CTTQ của dãy ( ) n v từ đó ta n

Ví dụ 1.10: Cho dãy số  u n được xác định bởi : 0 1

Gọi ,x y là hai số thỏa mãn: 4 ,

1

x y

x y xy

Dạng 6: Cho a b c, , là các số thực khác không; a2 4b  0 và dãy (u được xác định n)

;

Phương trình (1) gọi là phương trình đặc trưng của dãy

Chú ý : Để xác định CTTQ của dãy ( u nói trên ta có thể trình bày như sau n)

Giải: Ta tìm cách làm mất vế phải trong công thức truy hồi của dãy, bằng cách:

Đặt u n  x n an2 bn c Thay vào công thức truy hồi của dãy và rút gọn ta được

Ví dụ 1.13: Tìm CTTQ của dãy số: 1 2

;( ) :

Khi đó: a x n bx n1 c x n2  0 Áp dụng kết quả 2, ta có được CTTQ của dãy ( )x , n

từ đó ta tìm được CTTQ của dãy ( )u n

Vấn đề còn lại là giải phương trình (*)

Giả sử g n( ) a n k k a k1n k1  a n a1  0là đa thức bậc k Khi đó hệ số của x k và

k 

* Nếu PT (1) có nghiệm kép x 1    a b c 0 và

1 1

(b 2 ) c k a k (a b c a) k x k

Vậy để chọn ( )g n ta cần chú ý như sau:

 Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt, thì ( )g n là một đa thức cùng bậc với ( ) f n

 Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt, trong đó một nghiệm bằng 1 thì ta chọn ( )g n là

đa thức lớn hơn bậc của ( )f n một bậc

 Nếu (1) có nghiệm kép x 1 thì ta chọn ( )g n là đa thức có bậc lớn hơn bậc của

( trong đó ( )f n là đa thức theo n bậc k và b2 4ac  0) ta làm như sau:

 Xác định đa thức g n a g n( ) : ( )bg n(  1) cg n( 2) f n , trong đó ( )( ) g n là: đa

thức theo n bậc k nếu PT (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1 ; đa thức bậc k 1 nếu (1) có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 1; đa thức bậc k 2 nếu (1)

a x bx c n Áp dụng kết quả 3 ta xác định được CTTQ của ( )x , từ n

đó ta tìm được CTTQ của dãy ( )u n

Ví dụ 1.14: Tìm CTTQ của dãy số 0 1

1; 3( ) :

Giải: Đặt u n  x n y.2n Khi thay vào công thức truy hồi ta không làm mất 5.2n ở VT

Ta sẽ đi tìm cách giải khác cho bài toán này

Ta viết công thức truy hồi của dãy như sau: (u n 2u n1) 3( u n1 2u n2)  5.2n

Với dãy số này nếu ta đặt u n  x n y.2n thì khi thay vào công thức truy hồi của dãy

ta không xác định được y ! Nên ta sẽ tìm cách giải khác cho bài toán này

Ta viết lại công thức truy hồi của dãy như sau: (u n 2u n1) 2( u n1 2u n2)  3.2n

Từ ba ví dụ trên ta rút ra được nhận xét sau:

Dạng 8 : Cho dãy số (u xác định bởi: n) 0 1

; n; 2

 Nếu phương trình : X2 bX  c 0 (1) có hai nghiệm phân biệt khác  thì ta đặt

Từ đây sử dụng kết quả 4, ta tìm được x n u n

 Nếu x  là nghiệm đơn của (1) thì ta đặt:

2

.2

a x  bx c x   Từ đây sử dụng kết quả 4, ta tìm được x n  u n

 Nếu x  là nghiệm kép của (1) thì ta đặt:

2 2

.4

a x  bx c x   Từ đây sử dụng kết quả 4, ta tìm được x n  u n

Với cách xây dựng tương tự ta cũng có được các kết quả sau

Dựa vào u u u ta tìm được 0, ,1 2   , ,

 Nếu (1) có nghiệm bội 3 x1  x2  x3 u n  (  n  n x2) 1n Dựa vào

Ta biến đổi được: x n1 (p s x ) n (ps qr x ) n1  0 theo kết quả 4 ta xác định được

n

x , từ đây thay vào hệ đã cho ta có được y n

Chú ý : Ta có thể tìm CTTQ của dãy số trên theo cách sau:

Ta đưa vào các tham số phụ ,' 1 1

( )( )

'' ( ' )( )

1( ) : 2

Ví dụ 1.19: Tìm CTTQ của dãy số

1

1 1

2( ) : 9 24

Giải: Bài toán này không còn đơn giải như bài toán trên vì ở trên tử số còn hệ số tự do,

do đó ta tìm cách làm mất hệ số tự do ở trên tử số Muốn vậy ta đưa vào dãy phụ bằng cách đặt u n x n a Thay vào công thức truy hồi, ta có:

22.3 242

2

n n

 ta được dãy số

1 2 1 1

 (*)

2 2

2 u 2 2

v

      (*) đúng

(2 2) (2 2)

n x

1

( ) ( )2

n n

5 24 8 2

n

u u

5 8 2

n

u u



Ta có u n au n1  bx n21 c đây là dãy mà ta đã xét ở trên

Ví dụ 1.24: Cho dãy

2 1 2

II SỬ DỤNG PHÉP THẾ LƯỢNG GIÁC ĐỂ XÁC ĐỊNH CTTQ CỦA DÃY SỐ

Nhiều dãy số đại số có công thức truy hồi phức tạp trở thành đơn giản nhờ phép thế lượng giác Khi trong bài toán xuất hiện những yếu tố gợi cho ta nhớ đến những công thức lượng giác thì ta có thể thử với phương pháp thế lượng giác Ta xét các ví dụ sau

Ví dụ 2.1: Cho dãy 1

2 1

1( ) : 2

2 1 2

n

u u

3

n n

u    Thật vậy

 Với

2 1 2

3

n n

4 3 2

n

u u

6

n n

Ví dụ 2.3: Tìm CTTQ của dãy 1

2 1

3( ) : 2

2 2

n

u u

12( ) :

2 2 1

22

n

n n

u u

Bằng quy nạp ta chứng minh được:

2 2

cos cos cos

n

u u

( ) :

21

3( ) :

n n

n

n

u

u u

 khi đó ta được dãy (x được xác n)

ỨNG DỤNG BÀI TOÁN TÌM CTTQ CỦA DÃY SỐ VÀO GIẢI MỘT SỐ

BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ - TỔ HỢP

Trong mục này chúng tôi đưa ra một số ví dụ các bài toán về dãy số và tổ hợp mà quá trình giải các bài toán đó chúng ta vận dụng một số kết quả ở trên

Ví dụ 4.1: Cho dãy số nguyên ( ) :u n u1 2;u2 7 và

2 1 2

n n n

u u u

Từ (a) và (b) ta suy ra:

2 1 2

n n n

v v v

Nhận xét: Từ bài toán trên ta có kết quả tổng quát hơn là: x p1 p với p là số nguyên tố

lẻ

Ví dụ 4.4: Cho dãy số 0 1

20; 100( ) :

(5 1) 4.27.37 5 1 813

5 1 37

h n

h h

Với h 108 ta dễ dàng chứng minh được u n h u n(mod1998)  n 1

x x

n n

a a

* Nếu p  2 x2 y2  4 2  p 2 không thỏa yêu cầu bài toán

* Nếu p  3 x3 y3  16 không chia hết cho 3  p  3 thỏa yêu cầu bài toán

* Nếu p  5 ta thấy cũng thỏa yêu cầu bài toán

* Nếu p   5 ( 5)p1 1(mod )p  x p y p  0(mod )p

Vậy p  3,p  5 là hai giá trị cần tìm

Ví dụ 4.8: Cho dãy 1

1 1

23( ) :

22(2 1) 1

n

n n

x y

1

n n

n

y y

1 1

t t

| | 1( ) : 3 3

22

1) Cần có thêm điều kiện gì đối với x để dãy gồm toàn số dương ? 1

2) Dãy số này có tuần hoàn không ? Tại sao ? (HSG Quốc Gia 1990)

sin( ) khi 23

  là điều kiện cần phải tìm

2) Dựa vào kết quả trên ta có:

 Nếu sin sin 1 1

12

x x

3 1

1, , : 3 2 0

2

0 1

6

a a

Ví dụ 4.14: Trong mp cho n đường thẳng, trong đó không có ba đường nào đồng quy

và đôi một không cắt nhau Hỏi n đường thẳng trên chia mặt phẳng thành bao nhiêu miền ?

Giải: Gọi a là số miền do n nđường thẳng trên tạo thành Ta có: a1 2

Ta xét đường thẳng thứ n 1 (ta gọi là d ), khi đó d cắt n đường thẳng đã cho tại n

điểm và bị n đường thẳng chia thành n 1phần đồng thời mỗi phần thuộc một miền của a Mặt khác với mỗi đoạn nằm trong miền của n a sẽ chia miền đó thành 2 miền, n

nên số miền có thêm là n 1 Do vậy, ta có:a n1 a n  n 1

Chú ý : Với giả thiết ở trong ví dụ trên nếu thay yêu cầu tính số miên bằng tính số đa

giác tạo thành thì ta tìm được: ( 2)( 1)

Giải:

Gọi b là số miền do n n mặt phẳng trên tạo thành

Xét mặt phẳng thứ n 1 (ta gọi là ( )P ) Khi đó ( ) P chia n mặt phẳng ban đầu theo n

giao tuyến và n giao tuyến này sẽ chia ( )P thành 1 ( 1)

2

n n 

 miền, mỗi miền này

nằm trong một miền của b và chia miền đó làm hai phần.Vậy n 1 2 2

7 số huy chương còn lại Những ngày

còn lại được tiếp tục và tương tự như vậy Ngày sau cùng còn lại n huy chương để phát

Hỏi có tất cả bao nhiêu huy chương và đã phát trong bao nhiêu ngày? (IMO 1967)

Giải: Gọi a là số huy chương còn lại trước ngày thứ k k a1 m, khi đó ta có:

1 1

6

7

n n

Xác định số tự nhiên n sao cho : x n1 x n 22685

Bài 5: Cho dãy (x được xác định bởi n) 0 1

1 (1 )

12

n n

Chứng minh rằng: a1 a2  a2005 1, 03 (TH&TT T10/335)

Bài 7: Cho dãy ( ) :a n a0 2;a n1  4a n  15a n2 60  n 1 Hãy xác định CTTQ của a và chứng minh rằng số n 1( 2 8)

5 a n  có thể biểu diễn thành tổng bình phương của

ba số nguyên liên tiếp với  n 1 (TH&TT T6/262)

Bài 8: Cho dãy số  p n( ) được xác định như sau: p(1) 1;

3 2 9 9 3 2

n

u u

2000

p i i u

  Hãy tìm CTTQ của x (TH&TT T8/298) n

Bài 12: Cho dãy số (a được xác định như sau: n) 1

1 1

12( ) :

1

2 1

n

n n

Tìm giới hạn chung đó ( HSG Quốc Gia – 1993 Bảng A ngày thứ 2)

Bai 15: Cho các số nguyên a b, Xét dãy số nguyên ( )a được xác định như sau n

(3 )(6 ) 18 1

n

a a

12

1) a là số nguyên dương với n  n 0

2) a n1a n 1 là số chính phương  n 0 ( Trung Quốc – 2005 )

Bài 18: Cho dãy số 1 2

1; 2( ) :

n

u 

là số

chính phương ( Chọn đội tuyển Nghệ an – 2007 )

Bài 19: Có n tấm thẻ được đánh số từ 1 đến n Có bao nhiêu cách chọn ra một số thẻ (ít nhất 1 tấm) sao cho tất cả các số viết trên các tấm thẻ này đều lớn hơn hoặc bằng số tấm thẻ được chọn

Bài 20: Trong mặt phẳng cho n đường tròn đôi một cắt nhau và không có ba đường tròn nào có điểm chung Hỏi n đường tròn đó chia mặt phẳng thành bao nhiêu miền ?

Bài 21: Cho dãy x n :x0 1,x1 1,x n1  4x n x n1  n 1 và dãy số