Phương pháp tìm số hạng tổng quát của dãy số

TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ Bài viết Thầy: Nguyễn Tất Thu I SỬ DỤNG CSC – CSN ĐỂ XÂY DỰNG CÁCH TÌM CTTQ CỦA MỘT SỐ DẠNG DÃY SỐ CĨ CƠNG THỨC TRUY HỒI ĐẶC BIỆT Số hạng tổng quát cấp số cộng cấp số nhân 1.1: Số hạng tổng quát cấp số cộng Định nghĩa: Dãy số (un ) gọi cấp số cộng có số thực d cho với số nguyên n  ta có: un  un 1  d d : gọi công sai CSC; u1 : gọi số hạng đầu, un gọi số hạng tổng quát cấp số Định lí 1: Cho CSC (un ) Ta có : un  u1  (n  1)d (1) Định lí 2: Gọi Sn tổng n số hạng đầu CSC (un ) có cơng sai d Ta có: n [2u1  (n  1)d ] (2) 2: Số hạng tổng quát cấp số nhân Định nghĩa: Dãy số (un ) có tính chất un 1  q.un bội q Sn  n  * gọi cấp số nhân cơng n 1 Định lí 3: Cho CSN (un ) có cơng bội q Ta có: un  u1q (3) Định lí 4: Gọi Sn tổng n số hạng đầu CSN (un ) có cơng bội q Ta có: - qn Sn  u1 -q (4) Áp dụng CSC – CSN để xác định CTTQ số dạng dãy số đặc biệt Ví dụ 1.1: Xác định số hạng tổng quát dãy số (un ) xác định u1  1, un  un 1  n  Giải: Ta thấy dãy (un ) CSC có cơng sai d  2 Áp dụng kết (1) ta có: un   2(n  1)  2n  Ví dụ 1.2: Xác định số hạng tổng quát dãy số (un ) xác định u1  3, un  2un 1 Giải: -1- n  Ta thấy dãy (un ) CSN có cơng bội q  Ta có: un  3.2n 1 Ví dụ 1.3: Xác định số hạng tổng quát dãy (un ) xác định bởi: u1  2, un  3un 1  n  Giải: Trong toán gặp khó khăn dãy (un ) khơng phải CSC hay CSN! Ta thấy dãy (un ) CSN xuất số 1 VT Ta tìm cách làm 1 chuyển dãy số CSN Để thực ý đồ ta đặt un  k.vn  l ; k , l số k  ( ta chọn k , l sau) 2l  Khi đó, ta có: k  l  3k 1  3l    3vn  k k  2l  1    l  k nên ta chọn  Ta chọn k, l : k l    vn  3vn 1   (vn ) :  Dễ thấy dãy (vn ) CSN với công bội q  v   1  n 1 5.3n 1   v1.q   Suy ra: un      2 2 Ta thấy k bất kì, đặt ta chọn k  Tương tự cách làm ta có kết tổng quát sau: n 1 Dạng 1: Dãy số (un ) : u1  x 0, un  aun 1  b n  ( a, b  số) có CTTQ là: u1  (n  1)b a   un   a n 1  n 1 u a  b a    a 1 Ví dụ 1.4: Xác định CTTQ dãy (un ) xác định u1  2; un 1  2un  3n  Giải: Ở ví dụ khơng thể sử dụng kết hệ số tự số mà hàm bậc biến n Tuy nhiên bắt -2- chước cách giải làm 3n  VP, ta đặt : un  k.vn  t.n  l ; k, t, l số k  Khi ta có: t3 l t 2 kvn 1  t(n  1)  l  2kvn  2tn  2l  3n   1  2vn  n  k k t  t  3 0   Ta chọn k, t, l cho:  l  1 , ta chọn k   k l  t   k   k  v   (vn ) :    6.2n 1  3.2n Vậy un   3n   3.2n  3n  vn  2vn 1 Ta thấy cách giải không phụ thuộc vào k , nên đặt ta chọn k  u  Ví dụ 1.5: Cho dãy số (un ) :  Tìm CTTQ dãy (un ) u  u  n   n n 1 Giải: Với toán ta thực cách làm khơng dẫn đến kết quả, 1t sau đặt ta có : 1   n  dẫn đến ta làm n k k Ta tìm lời giải khác cho tốn Ta viết cơng thức truy hồi dãy cho dạng sau un  un 1  2n  Từ ta có: un  (un  un 1 )  (un 1  un 2 )   (u2  u1 )  u1    2n   2(n  1)    2.2    n  n      n  n(n  1)  n   n  2n  Từ kết tìm được, ta thấy nguyên nhân mà cách làm ban đầu không cho ta kết CTTQ dãy số đa thức bậc hai theo n , mà với cách đặt ban đầu ta thấy CTTQ dãy đa thức bậc Từ phân tích ta giải toán theo cách khác sau: 2 Đặt un   an  bn  c Khi đó, ta có:  an  bn  c  1  a(n  1)2  b(n  1)  c  2n    1  2(1  a )n  a  b  1  a  a   Ta chọn  , c nên ta chọn c  a  b   b    -3- v  1   1     v1  1 Khi đó: (vn ) :  v  v  n n 1 Vậy un   n  2n  n  2n  Vì c nên ta cần đặt un   an  bn   n(an  b ) Dạng 2: Từ ví dụ cách giải thứ hai ví dụ ta rút cách tìm CTTQ u  x dãy (un ) xác định bởi:  , f (n ) đa thức bậc k u  a u  f ( n ) n 1  n theo n ; a số Ta làm sau: * Nếu a  1, ta đặt un   n.g(n) với g(n ) đa thức theo n bậc k , thay vào công thức truy hồi dãy ta chọn g(n) : ng(n)  (n  1)g(n  1)  f (n) ta có     dãy CSN với công bội q  từ ta tìm CTTQ dãy suy ta có CTTQ dãy (un ) * Nếu a  , ta đặt un   h(n ) với h(n ) đa thức theo n bậc k Thay vào công thức truy hồi dãy ta chọn h(n) : h(n)  ah(n  1)  f (n) ta có dãy vn  CSN với công bội q  a   từ ta tìm CTTQ dãy Suy ta có CTTQ dãy (un ) u1  Ví dụ 1.6: Cho dãy số (un ) :  Tìm CTTQ dãy (un ) n u  u  ; n  2, 3,  n n 1 Giải: Với cách giải tương tự ví dụ ta đặt: un   a.2n Ta có:  a.2n  3(vn 1  a.2n 1 )  2n   3vn 1  2n (a  2) Ta chọn a  2   3vn 1  v1.3n 1  5.3n 1 Vậy un  5.3n 1  2n  Lưu ý : Trong trường hợp tổng quát dãy (un ) : un  a.un 1  b. n , ta đặt un  x n  y. n Khi , ta có: x n  y. n  a.x n 1  ay. n 1  b. n -4- b  xn  a.x n 1  y(a   )  b   n 1 Do đó, a   , ta chọn y   a b n 1 b  x n  a.x n 1  x n  x1.a  un  (u1  )a   n  a  a Trường hợp   a  un  a.un 1  b.a n n 1  un  (un  a.un 1 )  a(un 1  un  )   a n  (u2  au1 )  u1.a n 1  un  b(n  1)a n  u1a n 1 Vậy ta có kết sau u1  p Dạng 3: Cho dãy (un ) :  Khi ta có: n u  a u  b   n   n n 1  Nếu a    un  ab(n  1)  u1  a n 1 b n 1 b  Nếu a    un  (u1  )a   n  a  a Chú ý : Trong trường hợp a   ta tìm CTTQ dãy (un ) sau: Đặt un  x n  y.n.a n Khi ta có: x n  y.n. n  a.x n 1  ay(n  1).a n 1  b.a n  x n  a.x n 1  (y  b).a n nên ta chọn y  b  xn  x1.a n 1  un  (u1  ab)a n 1  bn.a n  ab(n  1)  u1  a n 1 u1  2 Ví dụ 1.7: Tìm CTTQ dãy (un ) :  n n u  u  2.3  6.7  12 ; n  2, 3,  n n 1 Giải: Đặt un   a.3n  b.7n  c Khi đó, ta có:  a.3n  b.7n  c  5(vn 1  a.3n 1  b.7n 1  c)  2.3n  6.7n  12   5vn 1  3n 1(2a  6)  7n 1(2b  42)  4c  12 2a   a  3   Ta chọn a,b, c : 2b  42   b  21 4c  12  c  3   Khi đó:  5vn 1   v1.5n 1  157.5n 1 Vậy un   3n 1  3.7n 1   157.5n 1  3n 1  3.7n 1  -5- Qua ví dụ ta có kết sau: u1  p Dạng 4: Để tìm CTTQ dãy số (un ) :  , n n u  a u  b   c   d ;  n   n n 1 a,b, c  0;  ,   1;    a ) ( ta làm sau:  Nếu a   un  un 1  b. n  c. n  d  un  u1   u1  n 2  (un i  un i 1 ) i 0 n 2  (b. n i  c. n i i 0 n 2  d )  u1  b   i 0 n i n 2  c   n i  d.(n  1) i 0   n  1  n   un  u1  b.     c.     d (n  1)  1   1        Nếu a  , ta đặt un   x  n  y. n  z Ta có:  a.vn 1  (ax  x   b) n 1  (by  y    c) n 1  z (a  1)  d Ta chọn : x  b c d ;y  ;z   a  b 1a Khi đó:  a.vn 1   v1.a n 1   2b  2c d  n 1   u1    a     a   b  a     2b  2c d  n 1 b c d un   u1     n  n  a     a   b  a   a   b  a   Chú ý : Nếu   a   a đặt un theo ta nhân thêm n vào trước  n  n u1  Ví dụ 1.8: Tìm CTTQ dãy (un ) :  n u  u   n ;  n   n n 1   Giải: Để tìm CTTQ dãy un ta sử dụng hai kết kết Đặt un   a.3n  bn  c -6-   Ta có:  a.3n  bn  c  1  a.3n 1  b(n  1)  c  3n  n   2vn 1  (a  1)3n 1  (b  1)n  2b  c Ta chọn a  b  1;c  Khi đó:  2vn 1   v1.2n 1  5.2n 1 Vậy un  5.2n 1  3n  n  u1  p Dạng 5: Nếu dãy số (un ) :  , f (n ) đa n u  a u  b   f ( n );  n   n n 1 thức theo n bậc k ta tìm CTTQ dãy sau: * Nếu a  ta đặt un   x  n  g(n ) , với g(n ) đa thức theo n bậc k Ta chọn cho dãy (vn ) CSN, ta tìm CTTQ dãy (vn ) từ ta có CTTQ dãy (un ) * Nếu a  ta tìm un theo cách làm kết Ví dụ 1.9: Xác định CTTQ dãy (un ) : u0  1, u1  3, un 1  5un  6un 1 n  Giải: Ta viết công thức truy hồi dãy lại sau: un 1  2un  3(un  2un 1 ) (1) v    5.3n 1  un  2un 1  5.3n 1 Đặt 1  un 1  2un , ta có:  vn 1  3vn Sử dụng kết 2, ta có: un  5.3n  6.2n Trong lời giải ta phân tích    2.3 để viết lại công thức truy hồi (1), từ ta đưa vào dãy phụ (vn ) CSN Các hệ số xuất công thức truy hồi 5; nên ta dễ dàng tìm mối liên hệ, trường hợp tổng qt ta có ln phân tích hệ số hay khơng ? Nếu phân tích ? Ta xét ví dụ sau: u  1; u1  Ví dụ 1.10: Cho dãy số un xác định :  un 1  4un  un 1 n  Hãy xác định CTTQ dãy (un )   Giải: -7- x  y   x , y nghiệm PT: X  4X   Gọi x, y hai số thỏa mãn:  xy  1  X   , ta chọn x   5; y   Ta có: un 1  (x  y)un  xyun 1  un 1  x un  y(un  xun 1 ) Đặt  un  x un 1  v1   x 1  y.vn   v1.y n 1  (2  x )y n 1  un  x un 1  (2  x )y n 1 Áp dụng kết 3, ta có: un  y 2 n 2x n 1 x  y  (2  5)n  (2  5)n   y x y x 2 Ví dụ 1.11: Cho a, b, c số thực khác không dãy (un ) xác định u0  p; u1  q Hãy xác định CTTQ dãy (un ) ?  u  a u  b u  n 1 n n 1 Giải: Ta viết lại công thức truy hồi dãy cho sau: un 1  x un  y(un  x un 1 ) x  y  a  x , y nghiệm PT: X  aX  b  (1) Ta xác định x, y cho:  xy  b Giả sử tồn tại x, y , tức phương trình (1) có nghiệm v1  q  x p   (q  xp)y n 1 Đặt  un  x un 1 Ta có:  vn 1  yvn  un  x un 1  (q  px )y n 1  Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt, hay x  y Áp dụng kết 2, ta có: yp  q n q  xp n un  x  y y x y x a  Ta xét trường hợp lại: (1) có nghiệm kép  x  y  n 1 a  a pa a n 1  un  un 1  (q  )( ) Áp dụng kết 2: un    2 2 Vậy ta có kết tổng quát sau: -8-  pa ap   ( q  )n   2   Dạng 6: Cho a, b, c số thực khác không; a  4b  dãy (un ) xác định u  p; u1  q bởi:  Khi đó: u  a u  b u  n 1 n n 1 y.u0  u1 n u1  x u n x  y , x, y nghiệm  Nếu a  4b  un  y x y x phương trình : X  aX  b  (1) n 1 a   pa ap   Nếu a  4b  un     ( q  )n    2 2 Phương trình (1) gọi phương trình đặc trưng dãy Chú ý : Để xác định CTTQ dãy (un ) nói ta trình bày sau Xét phương trình đặc trưng (1)  Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt X1, X2 un  x X1n  y.X 2n , dựa vào u0, u1 ta tìm x, y  Nếu (1) có nghiệm kép X1  X2   un  (pn  q ). n , dựa vào u0, u1 ta tìm p, q u  1; u1  Ví dụ 1.12: Cho dãy (un ) :  un  5un 1  6un   2n  2n  1; CTTQ dãy (un ) n  Xác định Giải: Ta tìm cách làm vế phải cơng thức truy hồi dãy, cách: Đặt un  x n  an  bn  c Thay vào công thức truy hồi dãy rút gọn ta x n  5x n 1  6x n 1  2an  (14a  2b)n  19a  b  2c  2n  2n  2a  a    Ta chọn a,b, c : 14a  2b  2  b  8 Khi đó: 19a  b  2c  c  13   x  12; x1  23 (x n ) :  Áp dụng kết 3, ta có: x  x  x   n n 1 n 2 x n  13.2n  3n  un  13.2n  3n  n  8n  13 -9- u  p; u2  q Ví dụ 1.13: Tìm CTTQ dãy số: (un ) :  , a.un 1  b.un  c.un 1  f (n ) ; n  (trong f (n ) đa thức theo n b  4ac  ) Giải: Đặt un  xn  g(n ) với g(n ) đa thức theo n Thay vào công thức truy hồi dãy ta được: a.xn  b.xn 1  c.xn 2  a.g(n )  b.g(n  1)  cg(n  2)  f (n ) Ta chọn g(n) : a.g(n)  bg(n  1)  cg(n  2)  f (n) (*) Khi đó: a.xn  bxn 1  c.xn 2  Áp dụng kết 2, ta có CTTQ dãy (xn ) , từ ta tìm CTTQ dãy (un ) Vấn đề lại giải phương trình (*) Giả sử g(n )  ak n k  ak 1n k 1   a1n  a đa thức bậc k Khi hệ số x k x k 1 VP là: ak (a  b  c)x k  (b  2c)k ak  (a  b  c)ak 1  x k 1 Do : * Nếu PT: aX  bX  c  (1) có nghiệm hai nghiệm phân biệt khác a  b  c  nên VT(*) đa thức bậc k * Nếu PT (1) có hai nghiệm phân biệt có nghiệm x   a  b  c  (b  2c)k.ak  (a  b  c)ak 1  (b  2c).k.ak  nên VT đa thức bậc k  a b c  * Nếu PT (1) có nghiệm kép x 1  (b  2c)k ak  (a  b  c)ak 1  x k 1 nên VT(*) đa thức bậc k  Vậy để chọn g(n ) ta cần ý sau:  Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt, g(n ) đa thức bậc với f (n )  Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt, nghiệm ta chọn g(n ) đa thức lớn bậc f (n ) bậc  Nếu (1) có nghiệm kép x  ta chọn g(n ) đa thức có bậc lớn bậc f (n ) hai bậc u  p; u2  q Dạng 7: Để tìm CTTQ dãy (un ) :  , a u  b u  c u  f ( n ) ;  n   n 1 n n 1 ( f (n ) đa thức theo n bậc k b  4ac  ) ta làm sau:  Xác định đa thức g(n) : a.g(n)  bg(n  1)  cg(n  2)  f (n) , g(n ) là: đa thức theo n bậc k PT (1) có hai nghiệm phân biệt khác ; đa thức bậc k  (1) có hai nghiệm phân biệt có nghiệm ; đa thức bậc k  (1) - 10 -  u1  Ví dụ 2.3: Tìm CTTQ dãy (un ) :  2 un   un 1 n   Giải:  Đặt    cos  ,    ;   , 2  : u1  2 cos   u2  2(1  cos2  )  2 cos 2 Bằng quy nạp ta chứng minh un  2 cos 2n 1  u1   Ví dụ 2.4: Tìm CTTQ dãy số (un ) :    un2 1  un  Giải: Ta có: u1  Bằng   sin  u2  quy nạp   sin2 ta chứng  n    minh 2(1  cos )  sin  2.6 được: un  sin  2n 1.6 Ví dụ 2.5: Cho a, b hai số thực dương không đổi thỏa mãn a  b hai dãy (an ),(bn )  a b ;b1  b.a1 a1  xác định:  Tìm an bn a  b a  n 1 n 1 ;b  a b n  n n n 1  n Giải:   a a Ta có:   nên ta đặt  cos  với    0;  b b  2 Khi đó: a1  a2  - 22 - a1  b1   b cos   b b(1  cos  )   b cos   b cos2 b1  b.b cos2 2 2  b cos2   b cos   b cos  cos2  b  b cos  cos  2 22 22 Bằng quy nạp ta chứng minh được:       an  b cos cos cos2 bn  b cos cos cos 2 22 2n 22 2n u   Ví dụ 2.6: Cho dãy (un ) :  Tính u2003 (Trích đề thi un 1   u   n   n  (1  2)un 1  Olympic 30 – – 2003 Khối 11) Giải: Ta có tan     un    tan  tan   un 1   tan(   )    tan tan   Bằng quy nạp ta chứng minh un  tan   (n  1)  8 3 Mà u1   tan  tan un 1  tan  u2    2002     Vậy u2003  tan     tan     (  2)  3 3 4 u1  a  un 1  b Chú ý : Để tìm CTTQ dãy (un ) :  u   n   n  bu  n 1 Ta đặt a  tan  ;b  tan  , ta chứng minh được: un  tan   (n  1)  u   un 1 Ví dụ 2.7: Tìm CTTQ dãy số (un ) :  un     un2 1  Giải: Ta có: - 23 - n  1 1   1 Đặt x n  ta dãy (xn ) xác un un 1 un un2 1 định sau: x1   cot  x  cot    cot2   cos   cot  3  2.3 sin    un  tan n  1,2, Bằng quy nạp ta chứng minh được: x n  cot n 1 n 1 3 Vì x1   x n  x n 1   x n2 1  ỨNG DỤNG BÀI TỐN TÌM CTTQ CỦA DÃY SỐ VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ - TỔ HỢP Trong mục đưa số ví dụ tốn dãy số tổ hợp mà q trình giải tốn vận dụng số kết un2 1 1  (2) Ví dụ 4.1: Cho dãy số nguyên (un ) : u1  2; u2    un  un  2 Chứng minh un lẻ n  Giải: 2  u2 1 un 1  1 un 1 n    ;    un   Từ giả thiết, ta có: Vì khoảng   un  2 un   un  2 un    (có độ dài ) có số nguyên nên dãy cho xác định Ta có: u3  25; u4  89 Ta giả sử un  xun 1  yun 2 un2 1 7x  2y  25 x   Từ u3  25; u4  89 ta có hệ:  25 x  y  89 y    v  2; v2  Ta chứng minh dãy (vn ) :  thỏa mãn (2) vn  3vn 1  2vn  n  Thật vậy, ta có:  vn2 1   vn   vn2 1  Từ công thức truy hồi dãy ta có  2n n  (a) Mặt khác: vn   vn2 1   (3vn 1  2vn  )  1(3vn   2vn  )  2(vn 1vn   vn2  )   (2)n  (v3v1  v22 )  (2)n  (b) - 24 - vn2 1 1  Từ (a) (b) ta suy ra:     2 u  2; u2   (un ) :  Từ công thức truy hồi dãy (un ) ta thấy un un  3un 1  2un  n  số nguyên lẻ n  Ví dụ 4.2: Cho dãy số (an ) : a0  0, a1  1, an 1  2an  an 1  n  Chứng minh A  4anan   số phương Giải: Từ cơng thức truy hồi dãy ta thay n  n ta được: an 1  2an  an 1   an 1  3an  3an 1  an    a  a  a   n n 1 n 2 Xét phương trình đặc trưng   3  3       an  (   n   n ) , a  0, a1  1, a2     0,     (n  n )  A  n(n  1)(n  2)(n  3)  (n  3n  1)2  đpcm Ví dụ 4.3: Cho dãy số (xn ) : x1  7, x  50; xn 1  4xn  5xn 1  1975 n   an  Chứng minh x1996 1997 (HSG Quốc Gia – 1997 ) Giải: Vì 1975  22(mod1997) xn 1  4xn  5xn 1  22 1997 ta cần chứng minh dãy Đặt yn 1  axn 1  b  a(4xn  5xn 1  22)  b  4(axn  b)  5(axn 1  b)  22a  8b  4yn  5yn 1  22a  8b Ta chọn a, b cho: 22a  8b  , ta chọn a   b  11  yn 1  4xn 1  11  y1  39, y2  211; yn 1  4yn  5yn 1 8(1)n  25.5n  25.51996 Từ ta có được: yn   y1996  3 Vì  25.51996  1   0(mod 3)  y1996  Theo định lí Fecma 51996  1(mod1997)  y1996  11(mod1997)  4x1996  11  11(mod1997)  x1996  0(mod1997) - 25 - Nhận xét: Từ tốn ta có kết tổng quát là: x p 1 p với p số nguyên tố lẻ u  20; u1  100 Ví dụ 4.4: Cho dãy số (un ) :  Tìm số nguyên dương un 1  4un  5un 1  20 n  h bé cho: un h  un 1998 n  * (HSG Quốc Gia Bảng A – 1998 ) Giải: a  45;a1  205 Đặt an  2un  , ta có dãy (an ) :  an 1  4an  5an 1 n  10 125 n 125 n 5  an  (1)n   un   (1)n  3 Vì an h  an  2(un h  un )  un h  un 1998  an h  an 2.1998  22.33.37 Mà an  h  an  (1)n 10  125.5n h (1)h  1  (5  1)   3  Nếu h chẵn  an  h 5h   125.5n h  an  (5  1) 4.27.37  5h  81 (*)  h 5  37 Gọi k số nguyên dương nhỏ thỏa mãn 5k  37 Vì 536  37  36 k  k  1,2, 3, 4,12,18, 36 thử trực tiếp ta thấy có k  36 thỏa mãn    5h  37  h 36 (1) Chứng minh tương tự, ta có: 5h  81  h  (81)  54 Từ (1) (2) ta suy (*)  h 36, 54   108  h  108 (2)  Nếu h lẻ: Vì un h  un (mod 1998) uh  u0  20(mod1998) Nên ta có:   5uh 1  uh 1  4uh  20  0(mod1998) uh 1  u1  100(mod1998)  uh 1 0(mod1998) 125 h 25 125 h 1 5   uh 1  6 6  0(mod1998) mâu thuẫn với uh  20(mod1998) Vì h lẻ  h  chẵn  uh   uh  5uh 1 - 26 - Với h  108 ta dễ dàng chứng minh un h  un (mod1998) n  Vậy h  108 giá trị cần tìm 2x n  Ví dụ 4.5: Cho dãy (x n ) : x  2; x n 1  xn  1) Tính x 2000 ? 2) Tìm phần nguyên A  2000  xi (Olympic 30 – – 2000 khối 11 ) i 1 Giải: Ta có: x n 1   xn  xn   x n 1  1 Đặt an   a0  xn  xn  3n 1  an 1  3an   an   xn   3n 1  32001  a) Ta có: x 2000  32001  2000 2000 b) Ta có: A  2000    2000  A  2000    2001 i 1 i 1 i 1 i 1 Vậy [A]  2000 Ví dụ 4.6: Cho dãy (x n ) : x1  1; x n 1  (2  cos 2 )x n  cos2  (2  cos 2 )x n   cos 2 n n  Tìm  để dãy số (yn ) có giới hạn hữu hạn tìm giới  i 1 i hạn ( HSG Quốc Gia Bảng A – 2004 ) Giải: Đặt yn  Ta có  2x 2xn 1 n sin2  1 1      (1  )sin2  1 3(2xn  1) 2xn  3n 3n 1 n n 1 1  yn      sin   (1  )  (1  )  [n  (1  )]sin2  i 2 3i 1 3n 3n i 1 2x i  i 1 i 1  nên dãy (yn ) có giới hạn hữu hạn  sin      k Vì lim 3n - 27 - Khi lim yn  x  3x n2  2x n yn  8yn2 n 1 n   2 yn 1  2x n  3x n yn  2yn Tìm tất số nguyên tố p cho x p  y p không chia hết cho p (TH&TT – 327 ) x  1 Ví dụ 4.7: Cho hai dãy (x n ),(yn ) :  y1  Giải: n 1 Ta có: x n  2yn  (x n 1  2yn 1 )2   (x1  2y1 )2  (1) Giả sử có số tự nhiên k để yk  2xk  yk 1  Khi đó, ta có: x  3x k2  k 2 vơ lí Vậy yn 1  (2xn  yn )(xn  2yn )  n  x   k  x (3x  4yn )(x n  2yn ) 3x n  4yn  Suy : n 1   n yn 1 (2x n  yn )(x n  2yn ) 2x n  yn Đặt an 1  x n 1 yn 1  an 1    an   a1  1;an 1  an  2an  1  4.(5)n 1 n 1  2.(5) 2an  an 1  2(5)n 1 2   2 an  an  xn (2)   3an  yn  4.(5)n 1  2.(5)n 1  2(5)n 1 Từ (1) (2)  xn  ; yn   x n  yn  3 * Nếu p   x  y2   p  khơng thỏa u cầu tốn * Nếu p   x  y3  16 không chia hết cho  p  thỏa yêu cầu toán * Nếu p  ta thấy thỏa yêu cầu toán * Nếu p   (5)p 1  1(mod p)  x p  y p  0(mod p) Vậy p  3, p  hai giá trị cần tìm  u1  Ví dụ 4.8: Cho dãy (un ) :  Tính tổng 2001 số un 1 un  n  2(2n  1)un 1   hạng dãy (un ) (HSG Quốc Gia – 2001 ) - 28 - Giải: Ta có: 1   4n  (1) Đặt  x n  n(an  b) thay vào (1) ta được: un un 1 un x n  an  bn  x n 1  a(n  1)2  b(n  1)  4n   xn  xn 1  (2a  4)n  a  b   x n  x1   Ta a  2;b  b chọn (2n  1)(2n  1) 1     2n  un 2 1   (2n  1)(2n  1) 2n  2n  2001 2001  1  4002   ui       1 i  i  4003 4003 i 1 i 1    un  x  x   x n2 1 x  n n 1    Ví dụ 4.9: Cho hai dãy số (xn ); (yn ) xác định :   yn 1 y  y   n  1   yn 1  n  Chứng minh  xn yn  n  (Belarus 1999) Giải: Ta có: x1   cot   x  cot    cot Bằng quy nạp ta chứng minh được: x n  cot  2n  2n 1.6 Theo kết ví dụ mục II, ta có: yn  tan Đặt n    cos  sin 1   2.6  2n 1.3  x n  cot n ; yn  tan 2n  x n yn  tan 2n cot n 2t   t2 t  t2      t2  Vì n    n    t  tan  6 3 Đặt t  tan n  tan 2n cot n  - 29 -  cot 2  t2    x n yn  n   đpcm | x1 |  Ví dụ 4.10: Cho dãy số (x n ) :  x n   3x n2 x n   n   1) Cần có thêm điều kiện x1 để dãy gồm toàn số dương ? 2) Dãy số có tuần hồn khơng ? Tại ? (HSG Quốc Gia 1990) Giải:    Vì | x1 | nên tồn     ;  : sin   x1 Khi đó:  2  x   sin   cos   sin(   ) 2   x   sin(   )  | cos(   ) | 3    Nếu      x  sin    2 )  Nếu       x  sin(  Bằng quy nạp ta chứng minh được: sin  n  2k     i) Nếu     thì: x n    n  2k sin(   )   2 ) n  2k  sin(         Nếu thì: xn   k  ii)  sin(   ) n  2k    sin   0        0  1) Dãy gồm toàn số dương      sin                3 điều kiện cần phải tìm 2) Dựa vào kết ta có: Vậy  x1  - 30 -     Nếu sin   sin         x1  Khi từ (1) ta có 3  x1  x2   xn   (xn ) dãy tuần hoàn    x1  dãy số có dạng x1, x 2, x1, x 2,  Nếu  x    Nếu 1  x1   dãy số có dạng x1, x , x , x , x Ví dụ 4.11: Tính tổng Sn      2n  , với n số tự nhiên n  Giải: Ta có: S1  Sn  Sn 1  2n  Áp dụng nhận xét (1), ta đặt : Sn  xn  n(an  b) , thay vào (1), ta xn  xn 1  n(an  b)  (n  1) a(n  1)  b   2n   xn  xn 1  2an  b  a  2n   ta chọn a  1;b   x n  x n 1   x1   Sn  n Ví dụ 4.12: Tính tổng Sn  12  22  32   n với n số tự nhiên n  Giải: Ta có S1  Sn  Sn 1  n (2) Sử dụng nhận xét 1, ta đặt Sn  x n  n(an  bn  c ) Thay vào (2) ta được: x n  x n 1  n(an  bn  c)  (n  1) a(n  1)2  b(n  1)  c   n    x n  x n 1  3an  (3a  2b)n  a  b  c  n  a  3a     Ta chọn a,b, c : 3a  2b   b  a  b  c    c   1 1  n(2n  1)(n  1)  x n  x n 1   x1   Sn  n  n  n    6   Ví dụ 4.13: Tính tổng Sn  1.2.3  2.3.4   n(n  1)(n  2) n  - 31 - được: Giải: Ta có: S1  Sn  Sn 1  n(n  1)(n  2) n  1 (n  1)4  n   (n  1)3  n    2  4 1  (n  1)2  n   (n  1)  n   4 1 1 Đặt f (n )  (n  1)4  (n  1)3  (n  1)2  (n  1) 4  Sn  f (n )  Sn 1  f (n  1)   S1  f (1)  Do n(n  1)(n  2)   Sn  f (n )  n(n  1)(n  1)(n  3) Ví dụ 4.14: Trong mp cho n đường thẳng, khơng có ba đường đồng quy đơi không cắt Hỏi n đường thẳng chia mặt phẳng thành miền ? Giải: Gọi an số miền n đường thẳng tạo thành Ta có: a1  Ta xét đường thẳng thứ n  (ta gọi d ), d cắt n đường thẳng cho n điểm bị n đường thẳng chia thành n  phần đồng thời phần thuộc miền an Mặt khác với đoạn nằm miền an chia miền thành miền, nên số miền có thêm n  Do vậy, ta có: an 1  an  n  n(n  1) Chú ý : Với giả thiết ví dụ thay yêu cầu tính số miên tính số đa (n  2)(n  1) giác tạo thành ta tìm được: an  Ví dụ 4.15: Trong khơng gian cho n mặt phẳng, ba mặt phẳng cắt khơng có bốn mặt phẳng qua qua điểm Hỏi n mặt phẳng chia không gian thành miền ? Giải: Gọi bn số miền n mặt phẳng tạo thành Xét mặt phẳng thứ n  (ta gọi (P ) ) Khi (P ) chia n mặt phẳng ban đầu theo n Từ ta có: an   - 32 - giao tuyến n giao tuyến chia (P ) thành  n(n  1) miền, miền nằm miền bn chia miền làm hai phần.Vậy bn 1 Từ đó, ta có: bn  n2  n   bn  (n  1)(n  n  6) Ví dụ 4.16: Trong thi đấu thể thao có m huy chương, phát n ngày thi đấu Ngày thứ nhất, người ta phát huy chương số huy chương lại Ngày thứ hai, người ta phát hai huy chương số huy chương lại Những ngày lại tiếp tục tương tự Ngày sau lại n huy chương để phát Hỏi có tất huy chương phát ngày? (IMO 1967) Giải: Gọi ak số huy chương lại trước ngày thứ k  a1  m , ta có: k 1 ak 1 6 6k  ak   ak    7 7 n 1 6  an  n    7   (m  36)  6k  42 n 1 7 (m  36)  6n  42  m  36  7(n  6)   6 Vì 6,  6n 1  n  nên ta có n    n   m  36 Vậ y có 36 huy chư ng đư ợ c phát phát ngày Bài tập áp dụng Bài 1: Tìm CTTQ dãy số sau 1) u1  1; u2  0, un 1  2un  un 1  n  1, n  2) u1  0; u2  0, un 1  2un  un 1  3.2n , n  3) u1  0; u2  0, un 1  2un  3un 1  n  2n , n  4) u1  0, u2  1, u3  3, un  7un 1  11.un 2  5.un  , n  - 33 -  u1 5)  u  n  u1  6)  u  n    24un3 1  12 6un2 1  15un 1  n    3 un 1   n   (  2)un 1   Bài 2: Cho dãy số bn b  2.b  bn  n 1 xác định :  n b1  1, b2  n N n   n 5 Chứng minh bn    , n  N 2   Bài 3: Cho dãy số un u  Z  ,   N  n thoả mãn sau : u0  1, u1  u  10.u  un  n  N , n  n 1  n Chứng minh : k  N , k  1) uk2  uk2 1  10uk uk 1  8 2) 5.uk  uk 1 3.uk2  x  1; x1  Bài 4: Cho dãy số xn xác định sau:  x  x  x   n   n n 1 n 2 Xác định số tự nhiên n cho : xn 1  xn  22685 x  1; x1  Bài 5: Cho dãy (xn ) xác định  x  x  x  n   n 1 n n 1 Tìm lim xn  2x  n (TH&TT T7/253)    (1  a )2 n Bài 6: Xét dãy (an ) : a1  an 1      - 34 - 2      n  Chứng minh rằng: a1  a2   a2005  1, 03 (TH&TT T10/335) Bài 7: Cho dãy (an ) : a0  2;an 1  4an  15an2  60 n  Hãy xác định CTTQ (a  8) biểu diễn thành tổng bình phương 2n ba số nguyên liên tiếp với n  (TH&TT T6/262) Bài 8: Cho dãy số p(n ) xác định sau: p(1)  1; an chứng minh số   p(n)  p(1)  2p(2)   (n  1)p(n  1) n  Xác định p(n) (TH&TT T7/244) u1  ( u ) : Bài 9: Xét dãy n  Chứng minh un  3un 1  2n  9n  9n  n  p 1 với số nguyên tố p 2000  ui chia hết cho p (TH&TT T6/286) i 1 x  a ( x ) : Bài 10: Dãy số thực n  x n 1  2x n  n  Tìm tất giá trị a để xn  n  (TH&TT T10/313) Bài 11: Dãy số (x n ) : x  1, x1  x n 1.x n x n   2002x n 1  2001x n  2000x n 1x n n  Hãy tìm CTTQ xn (TH&TT T8/298)  a1  Bài 12: Cho dãy số (an ) xác định sau: (an ) :  an  an  n  2nan 1   Tính tổng a1  a2   a1998 Bài 13: Cho dãy số (an ) xác định : a1  1.2.3, a2  2.3.4, , an  n(n  1)(n  2) Đặt Sn  a1  a2   an Chứng minh 4Sn  số phương (HSG Quốc Gia – 1991 Bảng B ) Bài 14: Cho hai dãy số (an ),(bn ) xác định sau: a0  2;b0  an   2anbn an  bn , bn 1  an 1bn n  Chứng minh dãy (an ) (bn ) có giới hạn chung n   - 35 - Tìm giới hạn chung ( HSG Quốc Gia – 1993 Bảng A ngày thứ 2) Bai 15: Cho số nguyên a, b Xét dãy số nguyên (an ) xác định sau a0  a;a1  b;a2  2b  a  2; an   3an   3an 1  an n  a ) Tìm CTTQ dãy (an ) b) Tìm số nguyên a, b để an số phương với n  1998 (HSG Quốc Gia – 1998 Bảng B) n a  Bài 16: Cho dãy số (an ) :  Tính  i  (3  an )(6  an 1 )  18 n  (Trung Quốc – 2004 ) a   Bài 17: Cho dãy số (an ) :  Chứng minh 7an 1  45an2 1  36 an  n   1) an số nguyên dương với n  2) an 1an  số phương n  ( Trung Quốc – 2005 ) u1  1; u2  un2  Bài 18: Cho dãy số (un ) :  Chứng minh số u  u  u  n  3  n n 1 n 2 phương ( Chọn đội tuyển Nghệ an – 2007 ) Bài 19: Có n thẻ đánh số từ đến n Có cách chọn số thẻ (ít tấm) cho tất số viết thẻ lớn số thẻ chọn Bài 20: Trong mặt phẳng cho n đường tròn đơi cắt khơng có ba đường tròn có điểm chung Hỏi n đường tròn chia mặt phẳng thành miền ? Bài 21: Cho dãy xn : x  1, x1  1, xn 1  4xn  xn 1 n  dãy số yn  : y0  1, y1  2, yn 1  4yn  yn 1 n  Chứng minh rằng: yn2  3x n2  n  (Canada – 1998 ) Bài 22: Có tam giác có độ dài cạnh số tự nhiên không vượt 2n (Macedonian – 1997 ) - 36 - ... TỐN TÌM CTTQ CỦA DÃY SỐ VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ - TỔ HỢP Trong mục chúng tơi đưa số ví dụ tốn dãy số tổ hợp mà trình giải tốn vận dụng số kết un2 1 1  (2) Ví dụ 4.1: Cho dãy số nguyên... 1  24 Ví dụ 1.19: Tìm CTTQ dãy số (un ) :  u   n   n 5un 1  13  Giải: Bài tốn khơng đơn giải tốn tử số hệ số tự do, ta tìm cách làm hệ số tự tử số Muốn ta đưa vào dãy phụ cách đặt un... truy hồi dãy ta chọn h(n) : h(n)  ah(n  1)  f (n) ta có dãy vn  CSN với công bội q  a   từ ta tìm CTTQ dãy Suy ta có CTTQ dãy (un ) u1  Ví dụ 1.6: Cho dãy số (un ) :  Tìm CTTQ dãy (un