Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất

Bài viết này sẽ tập trung vào một phương pháp tương đối mới mẻ đối với học sinh phổ thông “Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất” đó là phương pháp tìm cực trị trong giải toán. Phương pháp này giúp các em sinh viên chuyển dạng khó thành quen và giải nó một cách dễ dàng. Mời các em cùng tham khảo.

A ĐặT VấN Đề

Trong chương trình toán trung học cơ sở, một số vấn đề tuy không đưa vào sách giáo khoa để giảng dạy Nhưng trong thực tế thi cử, đặc biệt là thi học sinh giỏi lại hay bắt gặp.dạng toán tính “Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất” là một trong những loại đó Do yêu cầu day Học môn toán ngày càng đòi hỏi cao, chú trọng việc phát huy khả năng tư duy logic cho học sinh.Nên nó càng thôi thúc, đòi hỏi tôi tìm tòi hướng dẫn học sinh có kĩ năng giải loại toán này Chính vì vậy tôi mạnh dạn viết đề tài này để trao đổi với các bạn đồng nghiệp , mong các bạn cùng cùng trao đổi để học hỏi lẫn nhau vì chúng ta cùng mục đích nâng cao chất lượng dạy và học

B NộI DUNG

I THựC TRạNG

Qua quá trình dạy học và thực tế trong thi cử, khi gặp dạng tính toán”Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN)” của biểu thức, hầu như học sinh đã không giải được hoặc có những học sinh giải được lại mắc sai lầm không đáng có Nên thực tế học sinh rất ngại khi bắt gặp dạng toán này Chính vì vậy khi bồi dưỡng học sinh giỏi và trong các giờ dạy toán tôi tìm ra nguyên nhân yếu kém của học sinh vì:

- Học sinh chưa hiểu chắc chắn về khái niệm GTLN, GTNN của một biểu thức đại số

- Học sinh chưa có phương pháp (chưa biết các bước giảic) loại này

- Chưa biết đưa các dạng toán lạ về dạng tổng quát đã gặp

- Ngoài ra, có mọt số học sinh khi giải loại này thường gặp một số sai lầm ngộ nhận

Ví dụ: Cho A (x2  5 ) 2.Tìm GTNN của A

Học sinh thường hấp tấp trả lời: Vì (x2  5 ) 2 là bình phương của một biểu thức nên A 0 , nên GTNN của A =0

Sai lầm này ở học sinh rất phổ biến Vì HS chỉ biết A 0 nhưng không nhận ra được dấu bằng không thể xẩy ra Vì x2  5  5 thì sao có thể xẩy ra A = 0 khi x2  5  0?

Hoặc HS dễ sai lầm hấp tấp kết luận khi gặp bài toán sau:

Cho B (x 1 ) 2  (x 2 ) 2 Tìm GTNN của B

Hs dễ sai lầm: Do (x 1 ) 2  0 và (x 2 ) 2  0 nên B 0 nên suy ra GTNN của B

=0 Mà HS không thấy mọi sai lầm ở chỗ không có giá trị thoả mãn của x để B

=0

II CáCH LàM MớI

Như đã nói trên, các yếu kém của HS trong dạng toán “Tìm GTLN, GTNN” của một biểu thức đại số là thiếu khái niệm thiếu phương pháp Vì vậy điều đầu tiên là hệ thống hoá kiến thức cơ bản, tìm ra các bước giải

1 Khái niệm về GTLN, GTNN của một biểu thức đại số

Cho biểu thức F (x,y,…) trên tập xác định (TXĐ) của biểu thức nếu ta chứng minh được F(x,y, ) A hoặc F(x,y, ) B (A, B là hằng số) và chỉ ra được ít nhất một bộ x=x0,y=y0 , … để tại đó F(x,y,…)= A hoặc F(x,y,…)= B thì ta nói rằng biểu thức F(x,y,…) có GTLN = A và kí hiệu Max F =A Hoặc

F (x,y,…) có GTNN =B và kí hiệu Min F =B

Như vậy để tìm GTLN hay GTNN của một biểu thức đại số ta làm như sau:

2 Phương pháp giải (Các bước giải)

Bước 1: Tìm TXĐ của F (x,y,…)

Bước 2: Trên TXĐ của F(x,y, ) A hoặc F(x,y, ) B

Bước 3: Chỉ ra bộ số (ít nhất 1 bộ số) x0,y0, sao cho F(x0,y0, ) A hoặc

B y

x

F( 0, 0, ) 

Bước 4: Kết luận Max F =A khi x=x0 ,y=y0 ,…

Hoặc Min F =B khi x=x0 ,y=y0 ,…

Sau khi đã cung cấp cho HS khái niệm và phương pháp giải loại này, tuy

HS chưa biết cách làm song với bài dễ thì làm được, nhưng bài khó thì bó tay HS chưa có kỹ năng biến khó thành dễ, biến dạng lạ thành dạng cơ bản.Vì vậy tôi từng bước hưỡng dẫn từng ví dụ cụ thể đưa về dạng tổng quát, rồi từ tổng quát giải quyết từng bài toán cụ thể Để đạt được mục tiêu đó tôi đã tiến hành làm như sau:

3 Rèn kỹ năng giải các dạng

(Dạng này phổ biến nhất ở toán trung học cơ sở)

Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức Ax2  2x 5

(Cho HS áp dụng các bước giải trên)

Giải:

TXĐ: R

5 2

2  

x x

4 4 )

1

(  2  

 x

Vậy Min A =4 khi x=-1

(Khi có các bước giải trên thì loại này dễ đối với HS)

Ví dụ 2: Tìm Min B hoặc Max B nếu có:

5 2

2  



B

Giải:

TXĐ: R

6 ) 1 ( 6 ) 1 2 ( 6 1 2 1

6

2                 



B

6 )

1

(

6   2 

B

Vậy Max B V =6 khi x=1

Từ ví dụ 1 và ví dụ 2 cho HS rút ra nhận xét:

+ Dạng biểu thức A và B sự giống nhau và khác nhau

+ Từ ví dụ 1 và ví dụ 2 rút ra tổng quát và chứng minh

Dạng 1: (Dạng tam thức bậc haiD)

F(x) ax2 bxc

4 4 2 2 ( ) (

)

a

c a

b a

b x a

b x

a a

c x a

b x

a

x

=





























2 2

4

4

ac b

a

b x

a

2 2

4

) 2 (

)

(

a a

b x

a

x

F     (Với b2 4ac





Nếu a >0 thì 2

4 ) (

a x

F   Dấu “=” xảy ra khi

a

b x

2





Vậy Min F = 2

4a





khi

a

b x

2





Nếu a <0 thì 2

4 ) (

a x

F   khi

a

b x

2





Vậy Max F = 2

4a





khi

a

b x

2





Kết luận: Cho F(x) ax2 bxc (a 0)

Nếu a >0 thì Min F= 2

4a





khi

a

b x

2





Nếu a <0 thì Max F= 2

4a





khi

a

b x

2





Khi đã hình thành cho HS đưa ra dạng tổng quát, từ dạng tổng quát làm các bài tập dạng này thật là dễ và cho HS áp dụng nhanh thành thạo

Ví dụ: Cho A 2x2  8x 10

B  2x2  5x 8

a, Biểu thức nào có giá trị Min? biểu thức nào có giá trị Max? Vì sao?

b, Tìm Min A,MaxB

(Học sinh dễ nhận ra A và B đều có dạng F(x) ax2 bxc (a 0) )

Trong đó A có a =2>0  A có GTNN và B có a =-2 <0  B có GTLN

Áp dụng công thức tổng quát thật là dễ:

2 2 ) 2 ( 2 10 8

2 2     2  

A

Min A=2 khi x=2

5 , 4 5 , 4 ) 2

5 ( 2 8 5

2 2      2  



B

Max B=4,5 khi

x=-2

5

Dạng 2: Đưa dạng phức tạp về dạng 1

Ví dụ 1: (Trở lại ví dụ mà HS sai lầm đã nêu)

Cho B (x 1 ) 2  (x 2 ) 2 Tìm Min B

Hướng dẫn cho HS biến đổi dưa về dạng 1

5 2 2 4 4 1

2 )

2 ( )

1

(  2   2  2    2    2  

Giáo viên chỉ cần nói với các em từ dạng 2 qua phép biến đổi đơn giản ta đưa (*)về dạng 1 quen thuộc.v

Ví dụ 2: Cho Ax(x 1 )(x2 x 4 ) Tìm Min A

Chỉ cần cho HS nhận xét dạng của A

Dễ thấy A (x2 x)(x2 x 4 ) Đặt x2 xy thì Ay( y 4 ) (Dạng 1)

Như vậy ta có thể dùng phương pháp biến đổi đưa dạng 2 về dạng 1 (Dạng tổng quát)

Ví dụ 3: Cho x, y thoả mãn 3x+y=1

Tìm GTNN của M  3x2 y2

Hướng dẫn HS từ điều kiện 3x+y=1  y=1-3x

y2  ( 1  3x) 2(*)

Thế (*)vào M lại biến đổi đưa được về dạng 1.v

4

1 4

1 ) 4

1 ( 12 1 6 12 9

6 1 3 ) 3 1 (

3 2   2  2    2  2     2  

M

Vậy Min M =

4

1

khi x=

4 1

Dạng 3: Vận dụng tính chất giá trị tuyệt đối

Kiến thức cơ bản:

1, |A| =|-A|

2, |A| + |B|  |A+B| Dấu “=” xảy ra khi A.B  0

Ví dụ 1: Tìm GTNN của A biết:

A=|x+1|+|x-2|

Do |A| =|-A| nên ta có |x -2| = |2-x|

Vậy A V = |x+1| + |x-2| = |x+1| +|2-x|  |x+1+2-x| = |3|=3

Min A=3 Khi (x+1)(2-x)0  Min A =3 khi -1x 2

Sau khi hướng dẫn phương pháp giải và cho biết các dạng thì HS có thể giải quyết vấn đề nhanh, linh hoạt các bài tập tương tự

Ví dụ: Tìm GTNN của A:

a, A= |x-2007|+| x-2008|

b, A= |x-7|+ |x+5|

c, A= |x2 x 1| + |x2 x 12|

d, A= x2  2x 1  x2  4x 4

Dạng 4: Dạng phân thức.

A Phân thức có tử là hằng số

Với loại nàycó thể biến đổi mẫu về dạng (xa)2 b, nếu mẫu đạt GTLN thì

phân thức có GTNN Nghĩa là M  f (x a ) Nếu f (x) có giá trị Min thì M có giá trị Max

Nếu f(x) có giá trị Max thì M có giá trị Min

Với dạng này cần hướng dẫn HS các bước:

+ Tìm TXĐ

+ Chỉ ra phân thức có giá trị dương

+ Xét giá trị của mẫu thức

+ Từ đó suy ra giá trị Mim hay Max

Ví dụ 1: Cho

5 4 4

3

2  



x x

Hướng dẫn HS xét mẫu: 4x2  4x 5  ( 2x 1 ) 2  4  4

Do mẫu dương D, tử dương nên M>0

4 ) 1 2 (

3 5

4 4

3

2



x x

x

M do M>0  M có GTLN khi ( 2x 1 ) 2  4 có GTNN mà ( 2x 1 ) 2  4  4

Vậy Max M =

4

3

khi x=

2 1

Chú ý: HS dễ sai lầm khi nói rằng tử là hằng số nên M lớn nhất khi mẫu nhỏ

nhất lập luận trên dễ dẫn đến lầm sau:

Ví dụ:

3

1

2 



x

Mẫu có GTNN là -3 khi x=0 Lúc đó

3

1 3

1 2









x

của phân thức

3 2

1 3

1

2









x

3

1



(*) NHớ RằNG: Từ a <b chỉ suy ra được

a

1

>

b

1

khi a, b cùng dấu

B Dạng phân thức tử và mẫu đều chứa biến

Cho

1

2 2

2











x x

x x

Hướng dẫn HS dùng phép biến đổi làm mất biến ở tử để có thể áp dụng như

đã nêu ở ví dụ1 (Tử là hằng số)

4

3 ) 2

1 (

1 1

1

1 1 1

2

2 2

2

2



























x x

x x

x

x

x

M

Max M= 1+

3

7 3

4

 khi x=

2 1



Như vậy chỉ qua một phép biến đổi đã chuyển dạng phức tạp về dạng đơn giản

C Dạng phân thức vừa tồn tại GTLN,GTNN

Ví dụ: Cho

2

3 2 2

2









x

x x

Cách1: Tìm Max

2

) 1 ( 2 2

) 1 ( ) 2 ( 2 2

3 2

2

2 2

2 2

2

2



























x

x x

x x

x

x x

B

Do (x 1 ) 2  0 và x2  2  2 nên 0

2

) 1 ( 2

2







x

x

2

) 1 ( 2

2









x x

Vì thế B  2 Vậy Max B =2 khi x=1

Tìm Min

2

1 ) 2 ( 2

) 2 ( 2

1 )

2 ( 2

) 4 4 ( ) 2 ( 2

3 2

2

2 2

2 2

2

2































x

x x

x x x

x

x

x

B

Min B=

2

1

khi x=2

Như vậy thủ thuật biến đổi thật quan trọng, thường ta nên dựa vào mẫu để biến đổi theo mục đích của bài toán

Cách 2: Ta có thể hướng dẫn HS sử dụng miền giá trị

Đặt

2

3 2 2

2









x

x x

y

3 2 )

2

( 2   2  

0 3 2 2 )

1

0 2 5 2 ) 3 2 )(

1 (

2

2

1





Vậy Min B =

2

1

; Max B =2 khi Min B=

2

1

thì x =-2 Max B =2 thì x =1

Dạng 5: Có thể sử dụng bất đẳng thức quen thuộc đã biết

A Bất đẳng thức Côsi:

Với a 0, b0 thì ab  ab

2 .Dấu “=” xảy ra khi a =b

Ví dụ 1: Cho ( )(1 1)

b a b a

A   với a >0, b>0 Tìm Max A Hướng dẫn HS: Dựa vào giả thiết a >0,b>0 áp dụng bất đẳng thức Côsi cho

2 số dương:

ab b

a  2 (1)

ab b

a

1 2 1 1



Nhân hai vế (1) và (2) ta có  (  )(11)  4 1  4

ab

ab b

a b a A

A 4 .Vậy Min A =4 khi a=b

Ví dụ 2: Cho Ay x  t y  x t với x >0, y >0, t >0 Tìm Min A

Chỉ cần hướng dẫn HS sử dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương thì bài toán giải quyết hết sức đơn giản

3









x

t t

y y

x x

t t

y y

x A

A 3 dấu “=” xảy ra khi y x t y x t  x=y=t

Ví dụ 3: Cho ( 1 )( 2 12)

2

2

x

y y x

M    trong đó x, y là các số dương thoả mãn x+y=1 Tìm Min M

Hướng dẫn cho HS biến đổi để sử dụng bất đẳng thức Côsi

Ta có:

2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

(

xy

xy xy

y x x

y x y

y x x

y y x

Mặt khác ta có: xy xy xy

xy

xy

16

15 ) 16

1 (

1







áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

2

1 16

1 2

16

1









xy

xy xy

Ta lại có: xy  xy

2 2

1

nên xy

4

1

 (3)

Từ (1),(2),(3) 

4

17 4 16

15 2

1 1











xy xy

16

289 )

4

17 ( )

1





xy xy

M

Vậy Min M =

16

289

khi

y x

xy xy



 16

1

2

1





 x y thoả mãn x +y=1

Ví dụ 4: Tìm Max f(x) x 1  2x 3x2

Hướng dẫn HS tìm TXĐ của f (x) rồi áp dụng bất đẳng thức Côsi:

Điều kiện để f (x) có nghĩa:

3

1 1

0 3 2













Áp dụng bất đẳng thức Côsi

x x

x x

x x

2

) 3 1 ( ) 1 ( ) 3 1 )(

1 ( 3

2

Với  

3

1

; 1

x Do f(x) x 1  x 1 Vì f (x) =1  1+x=1-3x

















3

1

; 1 0

Nên Max f (x) =1 khi x=0

B Bất đẳng thức Bunhia

Cho a,b,x,yR : (axby) 2  (a2 b2 )(x2 y2 )

Dấu “=” xảy ra khi a x b y

Ví dụ : Cho 2x2  3y2  5 Và A =2x+3y Tìm Max A, Min A?

Giáo viên hướng dẫn HS:

3 3 3

2 2 2









Như vậy để áp dụng bất đẳng thức Bunhia ta chỉ cần biến đổi

A 2x 3y 2 ( 2x)  3 ( 3y)

A2  2 ( 2x)  3 ( 3y) 2  ( 2 ) 2  ( 3 ) 2( 2x) 2  ( 3y) 2

A2  ( 2  3 )( 2x2  3y2 )  5  5  25

A2  25  A  5   5 A 5 Dấu ‘=” xảy ra khi 1

3

3 2

2







x

Vậy Max A =5 khi x=y=1

Min A=-5 khi x=y=1

Ví dụ 2: Cho A=|2x+3y| Biết x2 y2  13 Tìm Max A?

Theo Bunhia: A2  ( 2x 3y) 2  ( 2 2  3 2 )(x2 y2 )  13  13

A2  13  13   13 A 13

Dấu “=” xảy ra khi x y 2y 3x

3

4

9 13

) 2

3 ( 13

2 2 2

2 2

x

x x

y x

 13x2  13  4  x2  4  x  2

Với x =2 thì y =3 : X=-2 thì y =-3

Vì A =|2x+3y| Dođó Max A =13 khi x  2 ,y  3

4 Một số chú ý khi giải bài toán tìm cực trị

Chú ý 1: dùng các phép biến đổi cơ bản đưa về dạng quen biết

Ví dụ: Cho A (x 1 ) 2  (x 1 ) 2 Dùng hằng đẳng thức khai triển về dạng tìm Min, Max của f(x) ax2 bxc ( a 0 )

Chú ý 2: Có thể biến đổi đưa về dạng quen thuộc.

Ví dụ 2: Cho B (x 1 )(x 2 )(x 3 )(x 4 ) ,Tim Min B?

Biến đổi B (x 1 )(x 2 )(x 3 )(x 4 )  (x2  5x 4 )(x2  5x 6 )

Đặt y x2  5x 6  By(y 2 ) y2  2y

Như vậy đã về dạng f(x) ax2 bxc

Chú ý 3: Có thể chia khoảng để tìm cực trị sau đó so sánh các giá trị tìm

được ứng với từng khoảng của biến

Ví dụ: A 5 (x y y)





 Với x,yN Tìm Max A

Giải: Xét x y 4 Nếu y =0  A 0

) ( 5 3













y x

y A

y

Nếu y =4 thì x =0  A 4

Xét x +y 6 thì A 0

So sánh các giá trị A ta thấy Max AS =4 khi x=0, y=4

Chú ý 4: Có thể dùng bất đẳng thức như đã biết.

Chú ý 5: Trong các bất đẳng thức cần chú ý 2 mệnh đề cho ta GTLN của

tích, GTNN của tổng

 Nếu hai số có tổng không đổi thì tích lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau

 Nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau

Để chứng minh ta dùng bất đẳng thức:

(ab) 2  4ab (1)

Nếu a +b=k (K hằng số) thì (1)

4

2

k

ab 



Max abk  a b

4 2

+ Nếu hai số dương a, b có ab=k (k hằng số) thì a +b nhỏ nhất  (a  b) 2 nhỏ nhất

GTNN của (a+b)=4k a=b

5 Bài tập áp dụng

5.1 Tìm GTNN của các biểu thức sau:

a, A (x 8 ) 4  (x 6 ) 4

b, Bx2  x 1  x2  x 2

c, C x 2  y 1 với |x| +|y|=5

d, D= 36 m 5n Với m ,n N*

e, Ex xyzy Với x >0,y>0,z>0; x+y+z=1

h, 2 42 1

x

x x

f,

9

12 27

2 





x

x F

m,

1 4

3 8

2 





x

x M

5.2 Tìm GTLN của các biểu thức sau:

a,

1 4

2





x

x A

b, B x x y 8 (x y y)









 Với x ,y N

c, C x 2  x

C So sánh kết quả

Trong quá trình dạy học tôi cho học sinh làm một đề ra giống nhau trong vòng 10 phút: Đề bài: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất nếu có của:

a A 2x2  5x 3

b Bx 2007  x 2008

c

1 3

5 3

2  





x

x

x

C

Kết quả cụ thể:

D Bài học kinh nghiệm

Khi dạy toán THCS có rất nhiều vấn đề cần phải rèn luyện kỹ năng cho

HS Đặc biệt đối với khả năng suy luận lôgic nhận dạng, biến đổi dạng lạ thành dạng quen đối với HS còn yếu.nguyên nhân của sự yếu kém là ít được rèn luyện Có khi GV chưa mạnh dạn đưa ra phương pháo mới Qua quá trình áp dụng đề tài này tôi rút ra được một số vấn đề sau:

- Để giải một loại toán cần cung cấp cho HS cơ sở lý thuyết để áp dụng

HS phải tự đặt câu hỏi: Bài này thuộc dạng toán nào?

Đã có dạng tổng quát chưa?

Các bước giải loại này như thế nào:

Nếu gặp dạng lạ thì HS phải đặt câu hỏi:

Dạng này có thể biến đổi đưa về dạng tổng quát không?

Biến đổi như thế nào? Dựa vào cơ sở nào để biến đổi;

Như vậy rèn luyện khả năng nhận dạng cho HS là vấn đề then chốt trong dạy và học toán

Nhận dạng và áp dụng phương pháp đặc trưng cho từng dạng

Trong khi giải toán cần rèn cho HS ý thức cần cù chịu khó Cứ tin rằng

“Khó = Dễ+Dễ” Nghĩa là tìm ra các bước trung gian (là bài toán dễ), đi đến kết luận là khó

Ví dụ: A->B->C->E->F

Nhưng khi ra đề thường bỏ qua trung gian (B->C->F) mà bắt người giải phải chứng minhA ->F Như vậy về mặt tõm lý giỏo dục cho HS khụng nản lũng khi gặp dạng toỏn lạ và khú.Hóy mày mũ để tỡm ra cỏc bài toỏn nhỏ trung gian bắc cầu cho cỏi giải quyết cuối cựng

Khi dạy toỏn, sau khi giải một bài cần rỳt ra được cỏch giải cỏc bài tương tự và rốn cho HS phải cú thúi quen đú

Dựng nhiều cỏch giải khỏc nhau để làm một bài toỏn, qua đú so sỏnh từng phương phỏp để rỳt ra cỏch tối ưu nhất cho dạng toỏn

E kết luận

Trờn đõy là một số ý kiến của tụi về phương phỏp tỡm cực trị trong giải toỏn Đõy là việc làm cú kết quả mà tụi mạnh dạn trỡnh bày tất nhiờn khụng thể đưa ra nhiều vớ dụ để minh hoạ Vỡ vậy tụi rất mong cỏc bạn đồng nghiệp gúp ý bổ sung để chất lợng dạy và học đợc nâng cao