Bài viết này sẽ tập trung vào một phương pháp tương đối mới mẻ đối với học sinh phổ thông “Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất” đó là phương pháp tìm cực trị trong giải toán. Phương pháp này giúp các em sinh viên chuyển dạng khó thành quen và giải nó một cách dễ dàng. Mời các em cùng tham khảo.
Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp tìn giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ A ĐặT VấN Đề Trong chương trình tốn trung học sở, số vấn đề không đưa vào sách giáo khoa để giảng dạy Nhưng thực tế thi cử, đặc biệt thi học sinh giỏi lại hay bắt gặp.dạng tốn tính “Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất” loại Do u cầu day Học mơn tốn ngày đòi hỏi cao, trọng việc phát huy khả tư logic cho học sinh.Nên thơi thúc, đòi hỏi tơi tìm tòi hướng dẫn học sinh có kĩ giải loại tốn Chính tơi mạnh dạn viết đề tài để trao đổi với bạn đồng nghiệp , mong bạn cùng trao đổi để học hỏi lẫn mục đích nâng cao chất lượng dạy học Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp tìn giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ B NộI DUNG I THựC TRạNG Qua trình dạy học thực tế thi cử, gặp dạng tính tốn”Tìm giá trị lớn (GTLN) giá trị nhỏ (GTNN)” biểu thức, học sinh khơng giải có học sinh giải lại mắc sai lầm khơng đáng có Nên thực tế học sinh ngại bắt gặp dạng toán Chính bồi dưỡng học sinh giỏi dạy tốn tơi tìm ngun nhân yếu học sinh vì: - Học sinh chưa hiểu chắn khái niệm GTLN, GTNN biểu thức đại số - Học sinh chưa có phương pháp (chưa biết bước giảic) loại - Chưa biết đưa dạng toán lạ dạng tổng qt gặp - Ngồi ra, có mọt số học sinh giải loại thường gặp số sai lầm ngộ nhận Ví dụ: Cho A ( x 5) Tìm GTNN A Học sinh thường hấp tấp trả lời: Vì ( x 5) bình phương biểu thức nên A 0 , nên GTNN A =0 Sai lầm học sinh phổ biến Vì HS biết A 0 không nhận dấu xẩy Vì x 5 xẩy A = x 0 ? Hoặc HS dễ sai lầm hấp tấp kết luận gặp toán sau: Cho B ( x 1) ( x 2) Tìm GTNN B Hs dễ sai lầm: Do ( x 1) 0 ( x 2) 0 nên B 0 nên suy GTNN B =0 Mà HS không thấy sai lầm chỗ khơng có giá trị thoả mãn x để B =0 Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp tìn giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ II CáCH LàM MớI Như nói trên, yếu HS dạng tốn “Tìm GTLN, GTNN” biểu thức đại số thiếu khái niệm thiếu phương pháp Vì điều hệ thống hố kiến thức bản, tìm bước giải Khái niệm GTLN, GTNN biểu thức đại số Cho biểu thức F (x,y,…) tập xác định (TXĐ) biểu thức ta chứng minh F ( x, y, ) A F ( x, y, ) B (A, B số) x= x0 ,y= y , … để F(x,y,…)= A F(x,y,…)= B ta nói biểu thức F(x,y,…) có GTLN = A kí hiệu Max F =A Hoặc F (x,y,…) có GTNN =B kí hiệu Min F =B Như để tìm GTLN hay GTNN biểu thức đại số ta làm sau: Phương pháp giải (Các bước giải) Bước 1: Tìm TXĐ F (x,y,…) Bước 2: Trên TXĐ F ( x, y, ) A F ( x, y, ) B Bước 3: Chỉ số (ít số) x0 , y , cho F ( x0 , y , ) A F ( x0 , y , ) B Bước 4: Kết luận Max F =A x= x0 ,y= y ,… Hoặc Min F =B x= x0 ,y= y ,… Sau cung cấp cho HS khái niệm phương pháp giải loại này, HS chưa biết cách làm song với dễ làm được, khó bó tay HS chưa có kỹ biến khó thành dễ, biến dạng lạ thành dạng bản.Vì tơi bước hưỡng dẫn ví dụ cụ thể đưa dạng tổng quát, từ tổng quát giải toán cụ thể Để đạt mục tiêu tơi tiến hành làm sau: Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp tìn giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Rèn kỹ giải dạng (Dạng phổ biến toán trung học sở) Ví dụ 1: Tìm GTNN biểu thức A x x (Cho HS áp dụng bước giải trên) Giải: TXĐ: R A x 2x = x 2x 1 A ( x 1) 4 ( x 1) 0 Vậy Min A =4 x=-1 (Khi có bước giải loại dễ HS) Ví dụ 2: Tìm Min B Max B có: B x x Giải: TXĐ: R B x x x x ( x x 1) ( x 1) B 6 ( x 1) 6 Vậy Max B V =6 x=1 Từ ví dụ ví dụ cho HS rút nhận xét: + Dạng biểu thức A B giống khác + Từ ví dụ ví dụ rút tổng quát chứng minh Dạng 1: (Dạng tam thức bậc haiD) F ( x) ax bx c F ( x) a( x b c b b2 b2 c x ) a ( x x ) a a 2a a 4a 4a b b 4ac = a x 2a 4a Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp tìn giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ F ( x) a ( x b ) 2a 4a Nếu a >0 F ( x) Vậy Min F = (Với b 4ac ) b Dấu “=” xảy x 2a 4a b x 2a 4a Nếu a 0 Min F= b x 2a 4a Nếu a 0 A có GTNN B có a =-2 0 M 3 M>0 M có GTLN x x (2 x 1) (2 x 1) có GTNN mà (2 x 1) 4 Vậy Max M = x= Chú ý: HS dễ sai lầm nói tử số nên M lớn mẫu nhỏ lập luận dễ dẫn đến lầm sau: Ví dụ: M x 3 Mẫu có GTNN -3 x=0 Lúc M 1 GTLN x 3 phân thức Chẳng hạn x =2 M 1 1 1 > x 3 3 (*) NHớ RằNG: Từ a a, b dấu a b B Dạng phân thức tử mẫu chứa biến x2 x Cho M Tìm Max M x x 1 Hướng dẫn HS dùng phép biến đổi làm biến tử để áp dụng nêu ví dụ1 (Tử số) M x2 x 1 1 x x 1 x x 1 Max M= 1+ x= 1 (x ) 1 Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp tìn giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Như qua phép biến đổi chuyển dạng phức tạp dạng đơn giản C Dạng phân thức vừa tồn GTLN,GTNN Ví dụ: Cho B x 2x Tìm Max B x2 Cách1: Tìm Max B x x 2( x 2) ( x 1) ( x 1) x2 x2 x2 Do ( x 1) 0 x 2 nên ( x 1) ( x 1) 0 Do 0 x2 x 2 Vì B 2 Vậy Max B =2 x=1 Tìm Min B x x ( x 2) ( x x 4) ( x 2) 2 2 2( x 2) x 2 2( x 2) Min B= x=2 Như thủ thuật biến đổi thật quan trọng, thường ta nên dựa vào mẫu để biến đổi theo mục đích tốn Cách 2: Ta hướng dẫn HS Đặt y sử dụng miền giá trị x 2x x2 y ( x 2) x x x ( y 1) x y 0 ' 12 ( y 1)(2 y 3) y y 0 y 2 2 Vậy Min B = ; Max B =2 Min B= x =-2 Max B =2 x =1 Dạng 5: Có thể sử dụng bất đẳng thức quen thuộc biết Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp tìn giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ A Bất đẳng thức Côsi: Với a 0, b 0 a b ab Dấu “=” xảy a =b a b Ví dụ 1: Cho A (a b)( ) với a >0, b>0 Tìm Max A Hướng dẫn HS: Dựa vào giả thiết a >0,b>0 áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương: (1) a b 2 ab 1 2 a b ab (2) a b Nhân hai vế (1) (2) ta có A (a b)( ) 4 ab 4 ab A 4 Vậy Min A =4 a=b Ví dụ 2: x y t Cho A y t x với x >0, y >0, t >0 Tìm Min A Chỉ cần hướng dẫn HS sử dụng bất đẳng thức Cơsi cho số dương toán giải đơn giản x y t x y t A 3 3 y t x y t x x y t A 3 dấu “=” xảy y t x x=y=t 1 2 Ví dụ 3: Cho M ( x y )( y x ) x, y số dương thoả mãn x+y=1 Tìm Min M Hướng dẫn cho HS biến đổi để sử dụng bất đẳng thức Cơsi Ta có: M ( x 1 x y 1 x y 1 x y 1 2 )( y ) ( ) ( xy ) 2 2 xy xy y x y x 10 Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp tìn giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 1 15 Mặt khác ta có: xy xy ( xy 16 xy ) 16 xy (1) áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có: xy Ta lại có: 1 2 xy (2) 16 xy 16 xy xy xy nên xy (3) 2 1 15 17 Từ (1),(2),(3) xy xy 16 4 M ( xy 17 289 ) ( ) xy 16 289 Vậy Min M = 16 xy 16 xy x y thoả mãn x +y=1 x y Ví dụ 4: Tìm Max f ( x) x x 3x Hướng dẫn HS tìm TXĐ f (x) áp dụng bất đẳng thức Côsi: Điều kiện để f (x) có nghĩa: x 3x 0 x (2) Áp dụng bất đẳng thức Côsi x x (1 x)(1 x) Với x 1; Do 3 (1 x) (1 x) 1 x f ( x ) x x 1 1 x 0 1; 3 Nên Max f (x) =1 x=0 B Bất đẳng thức Bunhia 11 Vì f (x) =1 1+x=1-3x Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp tìn giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Cho a,b,x,y R : (ax by ) (a b )( x y ) a b Dấu “=” xảy x y Ví dụ : Cho x y Và A =2x+3y Tìm Max A, Min A? Giáo viên hướng dẫn HS: 2 2 3 3 Như để áp dụng bất đẳng thức Bunhia ta cần biến đổi A 2 x y ( x ) ( y ) A ( x) ( y ) ( ) ( ) ( x ) ( y ) A (2 3)( x y ) 5 5 25 A 25 A 5 A 5 Dấu ‘=” xảy x 2 y Vậy Max A =5 x=y=1 Min A=-5 x=y=1 Ví dụ 2: Cho A=|2x+3y| Biết x y 13 Tìm Max A? Theo Bunhia: A (2 x y ) (2 )( x y ) 13 13 A 13 13 13 A 13 Dấu “=” xảy x y y 3 x 3x 9x 2 13 Mặt khác: x y 13 x ( ) 13 x 2 13 x 13 4 x 4 x 2 Với x =2 y =3 : X=-2 y =-3 Vì A =|2x+3y| Dođó Max A =13 x 2, y 3 Một số ý giải tốn tìm cực trị Chú ý 1: dùng phép biến đổi đưa dạng quen biết 12 x y 1 Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp tìn giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Ví dụ: Cho A ( x 1) ( x 1) Dùng đẳng thức khai triển dạng tìm Min, Max f ( x) ax bx c ( a 0) Chú ý 2: Có thể biến đổi đưa dạng quen thuộc Ví dụ 2: Cho B ( x 1)( x 2)( x 3)( x 4) ,Tim Min B? Biến đổi B ( x 1)( x 2)( x 3)( x 4) ( x x 4)( x x 6) Đặt y x x B y ( y 2) y y Như dạng f ( x) ax bx c Chú ý 3: Có thể chia khoảng để tìm cực trị sau so sánh giá trị tìm ứng với khoảng biến y Ví dụ: A ( x y ) Với x,y N Tìm Max A Giải: Xét x y 4 Nếu y =0 A 0 y Nếu y 3 A ( x y ) 3 Nếu y =4 x =0 A 4 Xét x +y 6 A 0 So sánh giá trị A ta thấy Max AS =4 x=0, y=4 Chú ý 4: Có thể dùng bất đẳng thức biết Chú ý 5: Trong bất đẳng thức cần ý mệnh đề cho ta GTLN tích, GTNN tổng Nếu hai số có tổng khơng đổi tích lớn hai số Nếu hai số dương có tích khơng đổi tổng chúng nhỏ hai số Để chứng minh ta dùng bất đẳng thức: (a b) 4ab (1) 13 Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp tìn giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Nếu a +b=k (K số) (1) ab Max ab k2 k2 a b + Nếu hai số dương a, b có ab=k (k số) a +b nhỏ (a b) nhỏ GTNN (a+b)=4k a=b Bài tập áp dụng 5.1 Tìm GTNN biểu thức sau: a, A ( x 8) ( x 6) 2 b, B x x x x c, C x y với |x| +|y|=5 m n d, D= 36 Với m, n N * x y e, E xyz h, H f, F Với x >0,y>0,z>0; x+y+z=1 x 4x 1 x2 27 12 x x2 m, M 8x 4x 1 5.2 Tìm GTLN biểu thức sau: a, A x2 x 1 b, B x y x y ( x y) c, C x x Với x, y N C So sánh kết 14 Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp tìn giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Trong trình dạy học cho học sinh làm đề giống vòng 10 phút: Đề bài: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ có của: a A 2 x x b B x 2007 x 2008 c C 3x x 3x Kết cụ thể: Chưa áp dụng Đã áp dụng Giỏi % 0% 10% Khá % 2% 30% 15 Trung bình % 50% 50% Yếu % 48% 10% Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp tìn giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ D Bài học kinh nghiệm Khi dạy toán THCS có nhiều vấn đề cần phải rèn luyện kỹ cho HS Đặc biệt khả suy luận lôgic nhận dạng, biến đổi dạng lạ thành dạng quen HS yếu.nguyên nhân yếu rèn luyện Có GV chưa mạnh dạn đưa phương pháo Qua q trình áp dụng đề tài tơi rút số vấn đề sau: - Để giải loại toán cần cung cấp cho HS sở lý thuyết để áp dụng HS phải tự đặt câu hỏi: Bài thuộc dạng tốn nào? Đã có dạng tổng quát chưa? Các bước giải loại nào: Nếu gặp dạng lạ HS phải đặt câu hỏi: Dạng biến đổi đưa dạng tổng quát không? Biến đổi nào? Dựa vào sở để biến đổi; Như rèn luyện khả nhận dạng cho HS vấn đề then chốt dạy học toán Nhận dạng áp dụng phương pháp đặc trưng cho dạng Trong giải toán cần rèn cho HS ý thức cần cù chịu khó Cứ tin “Khó = Dễ+Dễ” Nghĩa tìm bước trung gian (là toán dễ), đến kết luận khó Ví dụ: A->B->C->E->F 16 Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp tìn giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Nhưng đề thường bỏ qua trung gian (B->C->F) mà bắt người giải phải chứng minhA ->F Như mặt tâm lý giáo dục cho HS khơng nản lòng gặp dạng tốn lạ khó.Hãy mày mò để tìm tốn nhỏ trung gian bắc cầu cho giải cuối Khi dạy toán, sau giải cần rút cách giải tương tự rèn cho HS phải có thói quen Dùng nhiều cách giải khác để làm toán, qua so sánh phương pháp để rút cách tối ưu cho dạng toán E kết luận Trên số ý kiến phương pháp tìm cực trị giải tốn Đây việc làm có kết mà tơi mạnh dạn trình bày tất nhiên khơng thể đưa nhiều ví dụ để minh hoạ Vì tơi mong bạn đồng nghip gúp ý b sung để chất lợng dạy học đợc nâng cao 17 Sỏng kin kinh nghim: Phng pháp tìn giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 18 .. .Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp tìn giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ B NộI DUNG I THựC TRạNG Qua trình dạy học thực tế thi cử, gặp dạng tính tốn Tìm giá trị lớn (GTLN) giá trị nhỏ (GTNN)”... tính chất giá trị tuyệt đối Kiến thức bản: 1, |A| =|-A| 1 ) 4 Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp tìn giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 2, |A| + |B| |A+B| Dấu “=” xảy A.B Ví dụ 1: Tìm GTNN... (x) có giá trị Min M có giá trị Max Nếu f(x) có giá trị Max M có giá trị Min Với dạng cần hướng dẫn HS bước: + Tìm TXĐ + Chỉ phân thức có giá trị dương + Xét giá trị mẫu thức + Từ suy giá trị Mim