Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp tìm cực trị đại số

Sở giáo dục và đào tạo hải dơng Tên sáng kiến tìm cực trị bằng phơng pháp phơng trình bậc hai Môn : Toán Khối lớp : 9 Năm học: 2005 2006 Tìm cực trị bằng phơng pháp phơng trình bậc hai- Nguyễn Xuân Phan Phần ghi số Phách của PGD Tên sáng kiến tìm cực trị bằng phơng pháp phơng trình bậc hai Môn : Toán Khối lớp : 9 Đánh giá của trờng (Nhận xét, xếp loại, ký đóng dấu) Tên tác giả : Nguyễn Xuân Phan 2 Tìm cực trị bằng phơng pháp phơng trình bậc hai- Nguyễn Xuân Phan Đơn vị công tác : Trờng THCS Nguyễn Huệ Phần ghi số Phách của PGD Tên sáng kiến tìm cực trị bằng phơng pháp phơng trình bậc hai Môn : Toán Khối lớp : 9 Đánh giá của Phòng giáo dục (Nhận xét, xếp loại, ký đóng dấu) Tên tác giả : Đơn vị công tác : 3 Tìm cực trị bằng phơng pháp phơng trình bậc hai- Nguyễn Xuân Phan Muốn chỉnh sửa tài liệu hãy liên hệ : Anh Nguyễn Xuân Phan điện thoại 0987865472 hoặc 0320784628 phần thứ nhất mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Các bài toán tìm giá trị lớn nhất (Max), giá trị nhỏ nhất (Min) có một vị trí xứng đáng trong chơng trình dạy và học toán ở khối T.H.C.S. Các bài toán này rất phong phú về thể loại, về cánh giải. Nó đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng nhiều kiến thức và vận dụng một cách hợp lý nhiều khi khá độc đáo. Có nghĩa đây thực sự là một bài toán khó. Vì vậy chúng thờng xuyên có mặt trong các kỳ tuyển sinh vào lớp 10 cũng nh các kỳ thi học sinh giỏi. Để phần nào giúp các em học sinh, đặc biệt là các em học sinh lớp 9, chúng tôi xây dựng chuyên đề Giải bài toán cực trị bằng phơng pháp phơng trình bậc hai. Nội dung của nó là ứng dụng điều kiện có nghiệm, công thức nghiệm vào việc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức đại số. Cụ thể là : * Thuật toán hoá cách giải bài toán cực trị. * Củng cố, khắc sâu cách giải phơng trình bậc hai. Việc thể hiện các nội dung trên đợc trình bày thông qua hệ thống ví dụ từ dễ đến khó. Cuối cùng là hệ thống bài tập để luyện giải. 2. Giới hạn của đề tài a, Về kiến thức 4 Tìm cực trị bằng phơng pháp phơng trình bậc hai- Nguyễn Xuân Phan Để giải bài toán tìn cực trị của biểu thức đại số, đối với học sinh cấp T.H.C.S có thể trình bày theo 1 trong các cách sau : Cách 1 : Dùng bất đẳng thức đại số : * 1 ( ) ;f x K x TXĐ ( K 1 = Const ) Dấu = Có thể thực hiện đợc f min = K 1 . * 2 ( ) ;f x K x TXĐ ( K 2 = Const ) Dấu = Có thể thực hiện đợc f max = K 2 . Cách 2 : Sử dụng điều kiện có nghiệm của phơng trình bậc 2 Gọi y 0 là 1 giá trị của f(x) có thể đạt đợc x TXĐ/ f(x) = y 0 (I) Khai thác điều kiện để (I) có nghiệm x TXĐ ta tìm đợc miền giá trị T của hàm số f(x) từ đó tìm thấy f max , f min (nếu có). Nội dung đề tài này chỉ nghiên cứu tìm cực trị của biểu thức đại số theo cách 2, đồng thời tổng kết xem với cách này có thể tìm đợc cực trị của những biểu thức đại số dạng nh thế nào? b, Về đối tợng áp dụng Đề tài này dùng để ôn tập, trang bị cho học sinh có học lực khá, giỏi sau khi đã học về công thức nghiệm của phơng trình bậc hai và định lý Viét. Đồng thời đề tài này có thể dụng làm tài liệu tham khảo cho các đồng chí giáo viên giảng dạy bộ môn toán. 5 Tìm cực trị bằng phơng pháp phơng trình bậc hai- Nguyễn Xuân Phan Muốn chỉnh sửa tài liệu hãy liên hệ : Anh Nguyễn Xuân Phan điện thoại 0987865472 hoặc 0320784628 Phần thứ hai Tình hình nghiên cứu và công việc đã làm đợc A. Tình hình nghiên cứu Qua thực tế giảng dạy, ôn tập cho học sinh lớp 9 nhiều năm và qua tham khảo tài liệu tôi thấy : Khi gặp bài toán tìm cực trị của hàm f(x) hầu hết các tài liệu ôn tập đều hớng dẫn làm theo phơng pháp Dùng bất đẳng thức đại số. Đây là miột phơng pháp hay, dễ trình bày đối với học sinh, học sinh có thể giải thành thạo bài toán trong trờng hợp f(x) là 1 hàm số bậc 2 hoặc dạng phân thức đặc biệt. Tuy nhiên khi gặp dạng f(x) là một phân thức hoặc một biểu thức căn thì phơng pháp Dùng bất đẳng thức đại số lại không phù hợp, nó làm cho học sinh lúng túng vì cách làm lại mang tính chất áp đặt không tự nhiên, không hình thành cho học sinh một phơng pháp suy luận. Ví dụ : Trong tài liệu ôn tập môn toán 9 của sở giáo dục Hải Hng năm 1996, đề 3 câu 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của A với : 2 2 2 3 2 x x A x + + = + Giải : Phơng pháp dùng bất đẳng thức đại số Để tìm Min A ta biến đổi: 2 2 2 2 2 1 1 ( 2) 2 2 1 ( 2) 1 2 2 2 2 2( 2) 2 x x x x A x x + + + + + = = + + + 1 1 2 min 2 2 2 A x A x = = = = Để tìm maxA ta biến đổi: 6 Tìm cực trị bằng phơng pháp phơng trình bậc hai- Nguyễn Xuân Phan 2 2 2 2 2 2( 2) 2 1 ( 1) 2 2 2 2 x x x x A x x + + = = + + 2 1A x = = maxA = 2 1x = Vậy Max A = 2 khi x = 1; Min A = 1 2 khi x = - 2 Rõ ràng cách giải này ngắn gọn nhng mang tính áp đặt. Học sinh có thể thắc mắc dựa trên cơ sở suy luận nào mà tách đợc A nh vậy nếu đối với 1 biểu thức B khác thì tách nh thế nào? Trờng hợp biểu thức C có cực trị là một giá trị vô tỉ thì làm thế nào để tách đợc? Một ví dụ khác : Câu 4 đề 4 tài liệu ôn tập toán 9 của sở giáo dục Hải Hng năm 1997 có bài Cho 2 2 3 1.x y + = Tìm giá trị lớn nhất của A x y = Giải : Dùng bđt đại số Nhận thấy x- y và 2 2 3x y + là các thành phần của bđt B.C.S 2 2 2 2 2 ( . . ) ( )( )a x b y a b x y+ + + . áp dụng bđt trên ta có: 2 2 2 2 2 2 1 1 4 ( ) ( ( 3 )) (1 ( ) )( ( 3 ) ) 3 3 3 x y x y x y = + + + = 2 4 2 ( ) 3 3 x y x y maxA = 2 3 . Dấu = xảy ra khi : 3 3 3 ( ; ) ( ; ) 6 6 x y = hoặc 3 3 3 ( ; ) ( ; ) 6 6 x y = Cách giải này là quá khó đối với học sinh thậm chí khó cả đối với giáo viên. Trong thực tế giảng dạy tôi đã chữa cho học sinh 2 ví dụ trên theo cách dùng bất đẳng thức đại số sau đó cho học sinh làm 2 ví dụ tơng tự, kết quả số học sinh làm đợc là không đáng kể. Để giải quyết đợc phần nào khó khăn cho học sinh khi gặp dạng toán tìm cực trị của hàm phân thức, căn thức chúng ta có thể trang bị cho học sinh phơng pháp 7 Tìm cực trị bằng phơng pháp phơng trình bậc hai- Nguyễn Xuân Phan miền giá trị cơ sở lý luận của phơng pháp này là điều kiện có nghiệm của phơng trình bậc 2, đó là một vấn đề quen thuộc đối với học sinh lớp 9. Tôi nghĩ rằng phơng pháp tìm cực trị này cần đợc tổng kết và áp dụng vào giảng dạy, ôn luyện cho học sinh nhằm mục đích : - Thuật toán hoá cách giải bài toán tìm cực trị. - Củng cố khắc sâu cách giải phơng trình bậc hai. Tuy nhiên, do trình độ và thời gian có hạn, đề tại này khó trách khỏi thiếu sót. Rất mong các bạn đồng nghiệp phê bình, góp ý. 8 Tìm cực trị bằng phơng pháp phơng trình bậc hai- Nguyễn Xuân Phan B. Ph ơng pháp nghiên cứu 1. Nghiên cứu tài liệu tham khảo Trớc khi viết đề tài nay tôi luôn suy nghĩ có những phơng pháp nào để tìm cực trị của hàm số? Phơng pháp nào phù hợp với học sinh cấp T.H.C.S? Từ các câu trả lời tìm đợc tôi dã tham khảo các chuyên đề về bất đẳng thức, phơng trình bậc 2, tam thức bậc 2 và các bài toán về tim cực trị. Qua các chuyên đề đó tôi nghiên cứu lời giải, phân tích các u điểm, hạn chế của từng phơng pháp nhằm nắm vững phơng pháp suy luận, tìm ra điểm giống nhau, khác nhau giữa các dạng bài tập. 2. Nghiên cứu phơng pháp dạy đại số 9 Thông qua việc tìm cực trị của biểu thức đại số kết hợp ôn lại công thức nghiệm của phơng trình bậc 2, định lý vi ét, bất phơng trình bậc nhất, giải phơng trình bậc nhất . Kết hợp giữa việc học kiến thức mới với việc ôn lại, hệ thống lại từng bớc kiến thức, kỹ năng tính toán. Kết hợp linh hoạt giữa phân tích và tổng hợp, quy nạp và suy diễn nhng luôn đảm bảo tính vừa sức đối với học sinh. 3. Nghiên cứu đến nội dung đề tài *Xây dựng lý thuyết. *Hệ thống bài tập từ dễ đến khó. *Hệ thống bài tập luyện giải. 9 Tìm cực trị bằng phơng pháp phơng trình bậc hai- Nguyễn Xuân Phan C. Nội dung chuyên đề I/ Kiến thức cơ bản. 1.Định nghĩa Cho hàm số f(x) xác định trên miền D nào đó. Ta nói rằng M là giá trị lớn nhất (Max) trên D nếu thoả mãn 0 0 ( ) , / ( ) f x M x D x D f x M = (M = const) Khi đó Max f(x) = M tại x = x 0 . Tơng tự, m là giá trị nhỏ nhất (Min) trên D nếu thoả mãn : 0 0 ( ) , / ( ) f x m x D x D f x m = (m= const ) Khi đó Min f(x) = m tại x = x 0 . Nh vậy, khi nói đến giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một hàm số, ta phải xác định xem hàm số xác định trên tập hợp nào? có tồn tại giá trị của biến số để dấu = xảy ra hay không? 2.Công thức nghiệm của phơng trình bậc hai . Phơng trình bậc hai : 2 0ax bx c + + = . Với 2 4b ac = Nếu < 0 : Phơng trình vô nghiệm Nếu = 0 : Phơng trình có nghiệm kép 1 2 2 b x x a = = Nếu > 0 : Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt 1 2 2 b x x a = = 3.Hệ thức Viét. Nếu phơng trình 2 0ax bx c + + = có 2 nghiệm là x 1 , x 2 thì: S = 1 2 b x x a + = ; P = 1 2 . c x x a = * Phơng trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu 0P < 10 [...]... phơng pháp này, tuy nhiên điều này chỉ áp dụng cho đối tợng học sinh khá, giỏi Nhằm giúp các em củng cố, khắc sâu cách giải phơng trình bậc hai đồng thời thuật toán hoá cách giải bài toán cực trị E Những điểm còn hạn chế I- Những vấn đề hạn chế 19 Tìm cực trị bằng phơng pháp phơng trình bậc hai- Nguyễn Xuân Phan 1 Về kiến thức Giải bài toán cực trị đại số thờng xuất hiện từ lớp 8, tuy nhiên tìm cực trị. .. học sinh giải bài toán cực trị bằng phơng pháp dùng bất đảng thức học sinh thờng làm tốt vị dụ 1, một số em có tính sáng tạo đã dùng pháp đặt ẩn phụ để đa các Ví dụ 2, 3, 4, 5 về dạng hạm bậc hai nh ví dụ 1, tuy nhiên số học sinh làm đợc điều này rất ít Hầu hết các ví dụ từ 2 đến 7 học sinh đề bó tay Nhng nếu giảng cho học sinh phơng pháp tìm cực trị bằng phơng trình bậc 2 thì số học sinh làm đợc các... nguyên f ( x) = x2 + 6 Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất ( nhỏ nhất ) của : f ( x) = 3 x + x + 5 Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất của f(x; y) = x 2 y với x; y thoả mãn x 2 + 4 y 2 = 1 Bài 7: Xác định giá trị của m để giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) = x 2 + ( 2m + 1) x + m 2 m 1 trên đoạn [ 1; 2] bằng 1 16 Tìm cực trị bằng phơng pháp phơng trình bậc hai- Nguyễn Xuân Phan Đáp số, hớng dẫn Bài 1: Đa về ví.. .Tìm cực trị bằng phơng pháp phơng trình bậc hai- Nguyễn Xuân Phan 0 * Phơng trình bậc hai có hai nghiệm âm S < 0 P > 0 0 * Phơng trình bậc hai có hai nghiệm dơng S > 0 P > 0 4 Phơng pháp phơng trình bậc hai Cho hàm số f(x) xác định trên D Việc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của f(x) đợc làm nh sau: Gọi y0 là một giá trị của f(x) điều đó có nghĩa y0 = f(x)... 18 10 2 0 7 15 12 3 34 0 5 16 10 3 Lớp Sĩ số 9 (02 03) 9 ( 03 04) 9 (04 05) Nếu dạy cho học sinh giải bài toán cực trị bằng phơng pháp Phơng trình bậc hai kết quả khảo sát nh sau: 18 Tìm cực trị bằng phơng pháp phơng trình bậc hai- Nguyễn Xuân Phan Giỏi (9; 10) Khá (7; 8) TB (5; 6) Yếu (4; 5) Kém ( < 4) 35 37 4 15 14 2 0 7 14 15 1 0 34 5 13 13 3 0 Lớp Sĩ số 9 (02 03) 9 ( 03 04) 9 (04 05) Nhận... hai với TXĐ là D ' thì bài toán quy về việc tìm điều kiện của y0 để phơng trình mới có nghiệm trên D' + Nếu y0 = f(x) không thể biến đổi về dạng phơng trình bậc hai thì dùng phơng pháp này không làm đợc II Một số ví dụ: Ví dụ 1: Tìm min của f(x) = 3 x 2 4 x + 5 Giải: TXĐ: R Gọi y0 là một giá trị nào đó của f(x) suy ra phơng trình 11 Tìm cực trị bằng phơng pháp phơng trình bậc hai- Nguyễn Xuân Phan... = 0; y = 2 2 Tìm cực trị bằng phơng pháp phơng trình bậc hai- Nguyễn Xuân Phan Nhận xét: Qua các ví dụ 5; 6; 7 ta còn thấy rằng phơng pháp phơng trình bậc hai còn áp dụng với cả hàm số hai biến dạng phân thức, đa thức bậc hai với x; y Ngoài ra phơng pháp này có thể áp dụngduwowcj với hàm số dạng nào nữa? điều đó còn phụ thuộc vào khả năng vận dụng linh hoạt của ngời làm toán III Một số bài tập luyện... hai khả năng ta có: Max x y = tại x = ;y= 3 6 6 3 3 3 x= ;y= 6 6 Tìm đợc y0 Ví dụ 6: Tìm Max, Min của: Giải: f ( x; y ) = x2 ( x 4 y ) x + 4y 2 2 hoặc 2 , với x2 + y2 > 0 2 2 2 TXĐ = { ( x; y ) Ă / x + y > 0} ở ví dụ này ta có thể áp dụng phơng pháp phơng trình bậc hai qua một số phép biến đổi trunh gian 14 Tìm cực trị bằng phơng pháp phơng trình bậc hai- Nguyễn Xuân Phan Nếu y = 0 suy ra f(x;... giải: Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất,( nhỏ nhất) của a/ f ( x) = 9 x 2 5 x + 1 b/ f ( x) = 8 x 2 + 7 x 3 c/ f ( x) = 6 x 2 x + 4 Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các biểu thức a/ f ( x) = x2 + x + 1 x2 x + 1 Bài 3: Cho f ( x) = b/ f ( x) = ax 2 + bx + c x2 + 1 3x 4 + 4 x 2 + 3 x4 + 2 x + 1 , Tìm a, b để Max f(x) = 9; Min f(x) = -1 Bài 4: Tìm giá trị nguyên của m sao cho giá trị lớn nhất,... dụ 4, tìm đợc Max f(x) = 4 với x = -1 Bài 6: Nh ví dụ 5, giải ra đợc Max f(x, y) = 2 2 2 ; 4 ữ ữ Bài 7: m = -9/8 17 2 2 ; ữ hoặc với 2 với 2 4 ữ Tìm cực trị bằng phơng pháp phơng trình bậc hai- Nguyễn Xuân Phan D Kết quả khảo sát *Đối tợng khảo sát: học sinh lớp 9 *Thời gian khảo sát: Năm học : 2002 2003, 2003 2004, 2004 2005 *Thời gian làm bài là 90 phút Đề bài: Bài 1: (5đ) Tìm giá trị . hải dơng Tên sáng kiến tìm cực trị bằng phơng pháp phơng trình bậc hai Môn : Toán Khối lớp : 9 Năm học: 2005 2006 Tìm cực trị bằng phơng pháp phơng trình. nghiên cứu tìm cực trị của biểu thức đại số theo cách 2, đồng thời tổng kết xem với cách này có thể tìm đợc cực trị của những biểu thức đại số dạng nh