Sáng kiến kinh nghiệm về giải bất phương trình chứa tham số

Sở giáo dục đào tạo nghệ an I Lý chọn đề tài: Trong chơng trình toán trung học phổ thông, dạng toán tìm giá trị tham số để bất phơng trình bậc hai nghiệm tập D dạng toán phổ biến tơng đối quan trọng Nhng việc giải học sinh lại gặp nhiều khó khăn, kể có lời giải sẵn nhng học sinh không hiểu lại phải đa điều kiện nh Giả sử ta xét toán sau đây: Bài toán 1: Tìm giá trị tham số m để bất phơng trình f(x) = (m2 +1)x2 + (2m - 1)x – < < nghiƯm ®óng với x thuộc khoảng (-1 ; 1) Bài toán 2: Tìm giá trị tham số m để bất phơng trình f(x) = -(m2 +2)x2 < 2mx +1 – < m > nghiệm với x thuộc nửa khoảng (2 ; + ) Bài toán 3: Tìm giá trị tham số m để bất phơng trình f(x) = 2mx2 – < (1 – < 5m)x +3m +1 > nghiƯm ®óng víi mäi x thuộc khoảng (-2 ; 0) Trên toán có đề hoàn toàn hợp lý af ( 1) 0  af (1) 0 Khi gi¶i toán điều kiện đa là: Với toán gặp thờng học sinh bắt tay vào việc giải mà nhận xét để đa kết nhanh xác Nếu để ý ta thấy hÖ sè a = -(m +2) < 0, m R nên giá trị m thỏa mÃn điều kiện toán (bài toán vô nghiệm) Khi gặp toán học sinh gặp nhiều khó khăn, không cẩn thận dẫn đến thiếu nghiệm Để giải toán ta phải xét trờng hợp sau: TH1: a     TH2: a    0   a f ( 2) 0   s   TH3: a    0   a f (0) 0   s 0  TH4: a    a f ( 2) 0  a f (0) 0  Nhng ch¾c ch¾n r»ng nhiỊu häc sinh không hiểu đợc ta lại phải xét trờng hợp nh Song có giúp đỡ đồ thị việc giải toán trở nên nhẹ nhàng nhiều xảy tình trạng thiếu nghiệm Thật để tìm đợc giá trị tham số thỏa mÃn điều kiện toán (về mặt đồ thị) ta có trờng hợp sau (có thể) xảy vị trí đồ thị hàm số f(x) = 2mx2 < (1 – < 5m)x +3m +1 Vơng Văn Phong_ Gv Toán Trờng THPTDTNT Tơng Dơng I Sở giáo dục đào tạo nghệ an trục Ox thỏa mÃn toán nh sau: a) ( -2 b) c) ( -2 ) d) ( -2 ) e) ( -2 ) ) ) trờng hợp ta dễf)dàng suy Nhìn vào đồ thị trong( -2 ( cho ) trờng hợp của0 toán 3: điều kiện -2 a) ta có điều kiện TH1 ứng với ứng với b) c) ta có điều kiện chung TH2 ứng với d) e) ta có điều kiện chung TH3 ứng với f) ta có điều kiện TH4 Vì lý mà chọn đề tài: Sử dụng đồ thị để giải số toán tìm giá trị tham số để bất phơng trình bậc hai nghiệm tập D nhằm giúp em học sinh nh thầy cô giáo có nhận xét đắn để đa lời giải cho toán dạng II Thực trạng cũ giải pháp mới: 1.Thực trạng cũ: Khi gặp toán dạng học sinh lúng túng gặp nhiều khó khăn vấn đề đa trờng hợp để từ tìm đợc giá trị tham số thỏa mÃn điều kiện toán 2.Giải pháp mới: Khi gặp toán dạng học sinh nên vận dụng đồ thị để đa trờng hợp toán, từ tìm đợc giá trị tham số thỏa mÃn điều kiện toán mà lại tránh đợc nhiều thiếu sót III Nội dung: Trong giải dạng toán này, nhng chóng ta rÊt Ýt chó ý tíi mét kÕt đơn giản mà lại hữu ích sau đây: Nếu hệ số a > Parabol y = ax2 + bx + c cã bÒ lâm quay lên Trong hệ trục tọa độ Oxy, ta xét vị trí tơng đối Parabol y = ax2 + bx + c víi trơc Ox th× cã khả sau: a) b) c) Vơng Văn Phong_ Gv Toán Trờng THPTDTNT Tơng Dơng I Sở giáo dục đào tạo nghệ an Nếu hệ số a < th× Parabol y = ax2 + bx + c cã bỊ lâm quay xng díi Trong hƯ trơc täa độ Oxy, ta xét vị trí tơng đối Parabol y = ax2 + bx + c víi trơc Ox có khả sau: a) b) c) *Chú ý: Trong hình vẽ toán trục nằm ngang trục Ox Parabol đồ thị hàm số bậc hai Để tìm giá trị tham số m cho tam thức bËc hai f(x,m) > (hay f(x,m) < 0) trªn tập D đó, có nghĩa ta phải tìm giá trị tham số m đồ thị hàm số f(x,m) nằm phía (hay nằm phía díi) trơc hoµnh (trơc Ox) víi mäi x thc tËp D Dựa vào nhận xét việc giải toán nh đà nêu phần I tơng đối đơn giản Ta lần lợt xét số toán sau đây: Bài toán 4: Tìm giá trị tham số m để bất phơng trình f(x) = x2 + 2(2m+1)x + 4m2 – < > nghiệm với x thuộc khoảng (0 ; 1) Chỉ dẫn: Nếu gặp toán mà không cẩn thận việc giải thờng dễ nhầm lẫn dẫn đến thiếu nghiệm Nhng dựa vào đồ thị, ta có nhận xét sau: Để tìm giá trị tham số m thỏa mÃn điều kiện toán, ta phải tìm giá trị tham số m cho đồ thị hàm số f(x) = x2+2(2m+1)x +4m2 < nằm phía trục hoành (trục Ox) với x thuộc khoảng (0 ; 1) Vì hƯ sè a = > nªn ta cã trờng hợp xảy sau đây: a) ( d) b) ) ( c) ) ( ) e) ( ) ( ) Vơng Văn Phong_ Tơng Dơng I Gv Toán Trờng THPTDTNT Sở giáo dục đào t¹o nghƯ an a      a    0  kiƯn lµ: af (1) 0   s 1  a    0  kiƯn lµ: af (0) 0   s 0  Víi trêng hỵp a) tơng ứng điều kiện là: Với trờng hợp b) c) tơng ứng điều Với trờng hợp d) e) tơng ứng điều Từ ta có lời giải toán nh sau: Giải: Tham số m thỏa mÃn điều kiện toán m tháa m·n trêng hỵp sau: TH1: TH2: TH3: 1  a     m < -1  2     4(2m  1)  4(4m  3)  a  1    0  m     -1≤ m ≤  a f (1) 0    8m 0  s 1   (2m  1) 1   a  1   m    0  m    3    m  a f (0) 0    m    2   4m  0   s 0   (2m  1) 0    m  m Kết hợp kết trờng hợp ta đợc m R thỏa mÃn điều kiện toán Bài toán 5: Tìm giá trị tham số m để bất phơng trình f(x) = x2 < m(m-2)x + 2m2 – < nghiệm với x thuộc đoạn [1 ; 2] Chỉ dẫn: Với toán biết minh họa đồ thị có trờng hợp sau xảy ra: a) b) c) Vơng[ Văn ] Phong_ Gv Toán Trờng [ ] THPTDTNT T¬ng[ D¬ng ] I 2 Sở giáo dục đào tạo nghệ an Với trờng hợp a) tơng ứng điều kiện là: a    af (1) 0  af (2) Với trờng hợp b) tơng ứng điều kiện là: a af (1) 0  af (2) 0  Víi trêng hỵp c) tơng ứng điều kiện là: a   af (1)   af (2) 0 Kết hợp điều kiện ta đợc điều kiƯn chung lµ: a    af (1) 0  af (2) 0  Do ®ã ta cã lời giải toán nh sau: Giải: Tham số m thỏa mÃn điều kiện toán m thỏa m·n ®iỊu kiƯn sau: a    a f (1) 0  a f (2) 0  Gi¶i hệ ta tìm đợc kết toán Bài toán 6: Tìm giá trị tham số m để bất phơng trình f(x) = -2x2 +(m-3)x +m-3 < nghiệm với x thuộc đoạn [-1; 0] Chỉ dẫn: Đây bất phơng trình bậc hai có hệ số a < 0, nên giải ta nên để ý đồ thị f(x) có khả sau xảy thỏa mÃn điều kiện toán: -1 [ ] -1 [ a) ] -1 [ b) -1 [ ] ] c) -1 [ ] d) e) Dơng I Vơng Văn Phong_ Gv Toán Trờng THPTDTNT Tơng Sở giáo dục đào tạo nghệ an Với trờng hợp a) tơng ứng điều kiện là: a      Víi trêng hỵp b) c) tơng ứng điều kiện là: Với trờng hợp d) e) tơng ứng điều kiện lµ: a    0   af ( 1)   s   a    0   af (0)   s 0  Tõ nhËn xÐt ta có lời giải toán nh sau: Giải: Tham số m thỏa mÃn điều kiện toán m tháa m·n trêng hỵp sau: TH1: TH2: TH3: a      a    0   af ( 1)   s   a    0   af (0)  s Kết hợp kết trờng hợp ta tìm đợc giá trị tham số m thỏa mÃn điều kiện toán Bài toán7: Tìm giá trị tham số m để bất phơng trình f(x) = -m2x2 + 2(m+2)x -1 > tháa m·n víi mäi x thuộc đoạn [0 ; 1] Chỉ dẫn: Trong toán ta thấy m hệ số a < 0, nên toán có khả xảy nh sau: [ ] 1THPTDTNT Tơng Dơng I Vơng Văn Phong_ Gv Toán Trờng Sở giáo dục đào tạo nghệ an Từ ta có lời giải toán nh sau: Giải: Tham số m thỏa mÃn điều kiện toán m thỏa mÃn điều kiện: a   af (0)   af (1)  Giải hệ ta đợc giá trị tham số m thỏa mÃn điều kiện toán Bài toán 8: Tìm giá trị tham số m để bất phơng trình f(x) = mx2 +2(m+1)x + 4m > tháa m·n víi mäi x thuộc khoảng (-2; +) Chỉ dẫn: Đây bất phơng trình mà hệ số a ta cha biết âm hay dơng, gặp toán thờng học sinh lúng túng Nhng dựa vào đồ thị ta có nhận xét trờng hợp có thĨ x¶y nh sau: NÕu hƯ sè a < đồ thị f(x) quay bề lõm xuống dới nên trờng hợp xảy thỏa mÃn điều kiện toán Nếu hệ số a > (về đồ thị) ta có trờng hợp (có thể) xảy thỏa mÃn điều kiện toán nh sau: a) ( -2 b) +∞ ( -2 c) + Với trờng hợp a) tơng ứng điều kiện a  lµ:     Víi trờng hợp b) c) tơng ứng điều kiện lµ: ( -2 +∞ a    0   a f ( 2) 0   s Từ nhận xét ta có lời giải toán nh sau: Giải: Tham số m thỏa mÃn điều kiện toán m thỏa mÃn trờng hợp sau: Vơng Văn Phong_ Gv Toán Trờng THPTDTNT Tơng Dơng I Sở giáo dục đào tạo nghệ an a     a    0  TH2: af ( 2) 0   s TH1: Kết hợp kết trờng hợp ta tìm đợc giá trị tham số m thỏa mÃn điều kiện toán Bài toán 9: Tìm giá trị tham số m để bất phơng trình f(x) = mx2 +4(m-1)x + m – < < thỏa mÃn với x thuộc khoảng (- ; 1) Chỉ dẫn: Bài toán có dạng giống nh toán 8, giải ta có nhận xét nh sau: Vì m nên hệ số a ≠ NÕu hƯ sè a > th× trờng hợp thỏa mÃn điều kiện toán Nếu hệ số a < (về đồ thị) ta có trờng hợp (có thể) xảy thỏa mÃn điều kiện toán là: - ) a) -∞ ) -∞ b) Víi trêng hỵp a) tơng ứng điều kiện là: ) c) a      Víi trêng hỵp b) c) tơng ứng điều kiện là: a    0   af (1) 0   s 1  Tõ nh÷ng nhËn xÐt ta có lời giải toán nh sau: Giải: Tham số m thỏa mÃn điều kiện toán m thỏa mÃn trờng hợp sau: TH1: a      V¬ng Văn Phong_ Gv Toán Trờng THPTDTNT Tơng Dơng I Sở giáo dục đào tạo nghệ an TH2: a    0   af (1) 0 s Kết hợp kết trờng hợp ta tìm đợc giá trị tham số m thỏa mÃn điều kiện toán Bài toán 10: Tìm giá trị tham số m để bất phơng trình f(x) = x2 -2(m+1)x -2m -2 ≥ tháa m·n víi mäi x thuéc khoảng [-1 ; 1) Chỉ dẫn: Vì hệ số a =1 > nên (về đồ thị) ta có trờng hợp sau xảy thỏa mÃn điều kiện toán nh sau: a) [ -1 b) ) [ -1 c) ) [ -1 d) ) e) [ ) Với trờng hợp a) tơng -1 ứng điều kiện là: a Với trờng hợp b) c) tơng ứng điều kiện Với trờng hợp d) e) tơng ứng điều kiện [ -1 ) a    0  lµ: af (1)    s 1  a    0  lµ: af ( 1) 0   s   Tõ nhËn xét ta có lời giải toán nh sau: Giải: Tham số m thỏa mÃn điều kiện toán m thỏa mÃn trờng hợp sau: Vơng Văn Phong_ Gv Toán Trờng THPTDTNT Tơng Dơng I Sở giáo dục đào tạo nghệ an TH1: TH2: TH3: a      a    0   af (1)    s 1  a    0   af ( 1) 0   s   KÕt hợp kết trờng hợp ta tìm đợc giá trị tham số m thỏa mÃn điều kiện toán Bài toán 11: Tìm giá trị tham số m để bất phơng trình f(x) = x2 +m(m+1)x +6m - > tháa m·n víi mäi x thuéc tËp [-1 ; 0]  [2 ; 3] ChØ dÉn: V× hƯ sè a = > nên (về đồ thị) ta có trờng hợp sau xảy thỏa mÃn điều kiện toán: a) [ -1 ] b) [ ] [ -1 c) [ -1 ] [ ] ] [ ] d) [ -1 Với trờng hợp a) tơng ứng điều kiƯn lµ: ] [ ] a  Vơng Văn Phong_ Gv Toán Trờng THPTDTNT Tơng Dơng I 10 Sở giáo dục đào tạo nghệ an Với trờng hợp Với trờng hỵp Víi trêng hỵp a    0 b) tơng ứng điều kiện là: af ( 1)   s   a c) tơng ứng ®iỊu kiƯn lµ: af (3)   s 3   a     0 d) tơng ứng điều kiện là: af (0)  af (2)   s  0   Tõ nhËn xÐt ®ã ta cã lời giải toán nh sau: Giải: Tham số m thỏa mÃn điều kiện toán m tháa m·n trêng hỵp sau: TH1: a      TH2: a    0   af ( 1)   s   TH3: a    0   af (3)   s 3  TH4:  a     0   af (0)   af (2)   s  0  Kết hợp kết trờng hợp ta tìm đợc giá trị tham số m thỏa mÃn điều kiện toán Bài toán 12: Tìm giá trị tham số m để bất phơng trình f(x) = (m -1)x2 +2mx + 6m - > tháa m·n víi mäi x thuéc tËp [0 ; 1]  [4 ; 5] Chỉ dẫn: Nếu m > (về đồ thị) ta có trờng hợp sau xảy thỏa mÃn điều kiện toán: a) b) [ ] [ ] [ ] [ Tơng Dơng4I Vơng Văn Phong_ Gv Toán Trờng THPTDTNT ] 11 Sở giáo dục đào tạo nghệ an c) [ ] [ d) ] [ ] [ ] a      a  b) tơng ứng điều kiện lµ: af (0)   s 0  a c) tơng ứng điều kiện là: af (5) s 5   a     d) tơng ứng điều kiện là: af (1)   af (4)    s Với trờng hợp a) tơng ứng điều kiện là: Với trờng hợp Với trờng hợp Với trờng hợp Nếu m < (về đồ thị) ta có trờng hợp sau xảy thỏa mÃn điều kiện toán: [ ] [ ] e) Víi trêng hợp tơng ứng điều kiện là: a   af (0)   af (5) Giải: Tham số m thỏa mÃn điều kiện toán m thỏa mÃn trờng hợp sau: Vơng Văn Phong_ Gv Toán Trờng THPTDTNT Tơng Dơng I 12 Sở giáo dục đào tạo nghÖ an TH1: a      TH4:  a     0   af (1)   af (4)    s 1   TH2: a    0   af (0)   s 0  TH5: TH3: a    0   af (5)   s 5  a    af (0)   af (5)  Kết hợp kết trờng hợp ta tìm đợc giá trị tham số m thỏa mÃn điều kiện toán IV Kết luận: Việc sử dụng đồ thị hàm số bậc hai để giải toán điều hoàn toàn hợp lí phù hợp với trình độ nhận thức học sinh Nếu biết nhìn nhận đắn nhận xét đợc nhanh kết số toán mà không cần phải giải nó, giả sử ta có toán sau đây: Bài toán 13: Tìm giá trị tham số m để bất phơng trình f(x) = 3x2+ (2m-1)x < 0m2 +12 < tháa m·n víi mäi x thc n÷a khoảng (0; +) Bài toán 14: Tìm giá trị tham số m để bất phơng trình f(x) = -(2m2+1)x2+ 2mx +m - > tháa m·n víi x thuộc khoảng (- ; 1) Với hai toán 13; 14 giống nh toán đà nêu phần I, toán vô nghiệm (nghĩa không tồn giá trị tham số m thỏa mÃn điều kiện toán) Điều đợc giải thích dựa ®å thÞ cđa nã nh sau: NÕu hƯ sè a > đồ thị hàm số bậc hai chØ cã thĨ cã mét phÇn øng víi x  (x1 ; x2) nằm dới trục Ox mà Do với toán 13 tồn giá trị tham số m thỏa mÃn đợc điều kiện toán Nếu hệ số a < đồ thị hàm số bậc hai có thĨ cã mét phÇn øng víi x  (x1 ; x2) nằm trục Ox mà Do với toán 14 tồn giá trị tham số m thỏa mÃn đợc điều kiện toán (Với x1 x2 nói trờng hợp nghiệm tam thức bậc hai f(x) = 0) Vơng Văn Phong_ Gv Toán Trờng THPTDTNT Tơng Dơng I 13 Sở giáo dục đào tạo nghệ an Với việc sử dụng đồ thị hàm số bậc hai đắn, học sinh áp dụng để giải dạng toán đà nêu toán tơng tự cách hiệu quả./ Vơng Văn Phong_ Gv Toán Trờng THPTDTNT Tơng Dơng I 14 Sở giáo dục đào tạo nghệ an Vơng Văn Phong_ Gv Toán Trờng THPTDTNT Tơng Dơng I 15 Sở giáo dục đào tạo nghệ an Vơng Văn Phong_ Gv Toán Trờng THPTDTNT Tơng Dơng I 16 Sở giáo dục đào tạo nghệ an Vơng Văn Phong_ Gv Toán Trờng THPTDTNT Tơng Dơng I 17 Sở giáo dục đào tạo nghệ an Vơng Văn Phong_ Gv Toán Trờng THPTDTNT Tơng Dơng I 18 ... đồ thị để giải số toán tìm giá trị tham số để bất phơng trình bậc hai nghiệm tập D nhằm giúp em học sinh nh thầy cô giáo có nhận xét đắn để đa lời giải cho toán dạng II Thực trạng cũ giải pháp... lời giải toán nh sau: Giải: Tham số m thỏa mÃn điều kiện toán m thỏa mÃn điều kiện: a  af (0)   af (1)  Giải hệ ta đợc giá trị tham số m thỏa mÃn điều kiện toán Bài toán 8: Tìm giá trị tham. .. trị tham số m thỏa mÃn điều kiện toán Bài toán 10: Tìm giá trị tham số m để bất phơng trình f(x) = x2 -2(m+1)x -2m -2 ≥ tháa m·n víi mäi x thc n÷a khoảng [-1 ; 1) Chỉ dẫn: Vì hệ số a =1 > nên (về