sang kien kinh nghiem - PT duong thẳng trong KG

Lời mở đầu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz thì phơng trình đờng thẳng là một dạng bài tập thờng gặp trong các đề thi tốt nghiệp phổ thông và tuyển sinh đại học. Đối với phơng trình đờng thẳng, sách giáo khoa trình bày cả ba loại: phơng trình tổng quát, phơng trình tham số và phơng trình chính tắc.Trong sách giáo khoa có nhiều bài tập về phơng trình đờng thẳng mà không đa ra cách giải chung. Trong quá trình giảng dạy và bồi dỡng học sinh học phần này tôi đã làm theo hớng sau: 1) Một số vấn đề về phơng trình đờng thẳng. 2) Đa ra các bài toán cơ bản. 3) Mô phỏng các bài toán bằng hình vẽ. 4) Phơng pháp giải quyết các bài toán đó. 5) Ví dụ cụ thể. 6) Phơng pháp giải các bài toán khác. 7) Một số bài tập tự luyện. Nội dung của chuyên đề I. Một số vấn đề về phơng trình đờng thẳng. 1. Điều kiện để lập đợc phơng trình đờng thẳng Biết một điểm M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) và véc tơ chỉ phơng u ur (a; b; c), hoặc biết hai điểm A(x A ; y A ; z A ) và B(x B ; y B ; z B ), hoặc biết phơng trình của hai mặt phẳng: ( ) ( ) . 2. Chuyển phơng trình tổng quát của đờng thẳng về dạng tham số và chính tắc. + Tìm một điểm M 0 d và véc tơ chỉ phơng u ur = [ ; n n uur uur ] + Cho x = t, giải hệ x, y theo t. Có nhiều bài toán công thức dựa trên từng dạng phơng trình đờng thẳng học sinh phải biết chuyển đổi để xác định đợc các yếu tố và áp dụng. 3. Chuyển phơng trình tham số, phơng trình chính tắc của đờng thẳng về dạng tổng quát. Đờng thẳng đợc xem nh là giao tuyến của hai mặt phẳng vuông góc với một trong ba mặt phẳng toạ độ. II. Một số bài toán về phơng trình đờng thẳng. 1. Viết phơng trình đờng thẳng d qua điểm M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) và vuông góc với mặt phẳng () . 2. Viết phơng trình hình chiếu d của đờng thẳng d trên mặt phẳng (). 3. Viết phơng trình đờng thẳng d qua điểm M 0 , cắt cả d 1 và d 2 . 4. Viết phơng trình đờng thẳng d qua điểm M 0 , vuông góc với đờng thẳng d 1 và cắt đờng thẳng d 2 . 5. Viết phơng trình đờng vuông góc chung của hai đờng thẳng chéo nhau d 1 và d 2 . III. M« pháng c¸c bµi to¸n b»ng h×nh vÏ. Bµi to¸n 1: Bµi to¸n 2: Bµi to¸n 3: Bµi to¸n 4: Bµi to¸n 5: IV. Phơng pháp giải quyết từng bài toán . Qua hình vẽ đợc mô phỏng học sinh tự tìm và nêu phơng pháp giải quyết. 1. Bài toán 1 : Viết phơng trình đờng thẳng d qua điểm M 0 và vuông góc với mặt phẳng (). Phơng trình đờng thẳng d là phơng trình của đờng thẳng qua điểm M 0 và có véc tơ chỉ phơng u ur là véc tơ pháp tuyến n uur . 2. bài toán 2 : Viết phơng trình hình chiếu d của đờng thẳng d trên mặt phẳng (). Ph ơng pháp 1: + d = ( ) ( ) trong đó ( ) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với (). Hay ( ) là mặt phẳng qua M 0 d và có véc tơ pháp tuyến n uur =[ , d u n uur uur ]. Ph ơng pháp 2: + Tìm hình chiếu H của M 0 d trên (). + Tìm giao điểm I của d và (). + d là đờng thẳng HI. 3. Bài toán 3: Viết phơng trình đờng thẳng d qua điểm M 0 , cắt cả d 1 và d 2 . Đờng thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (M 0 , d 1 ) và (M 0 , d 2 ). ; Nếu d 1 và d 2 chéo nhau thì d là duy nhất. ; Nếu d 1 d 2 , 1 2 d ( ) d ( ) thì vô nghiệm ; Nếu d 1 , d 2 và M 0 đồng phẳng thì có vô số nghiệm. 4. Bài toán 4: Viết phơng trình đờng thẳng d qua điểm M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ), vuông góc với đờng thẳng d 1 và cắt đờng thẳng d 2 . Có phơng pháp giải nh sách bài tập hình học 12 ( bài tập 10Đ9 chơng 2): Gọi d là đờng thẳng cần tìm, thì d = () (). Trong đó: + () là mặt phẳng đi qua M 0 , vuông góc với d 1 . + () là mặt phẳng đi qua M 0 và chứa d 2 . Cách giải trên cha đầy đủ vì 2 d ( ) cha chứng tỏ d cắt d 2 . Nếu thêm lời giải bằng cách xét vị trí tơng đối của d d 2 thì lời giải dài dòng và đôi khi không có hiệu lực trong trờng hợp bài toán vô số nghiệm ( có vô số đờng thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán) hoặc bài toán vô nghiệm. Cách giải bài tập dạng này nh sau: Ph ơng pháp 1: + Lập phơng trình mặt phẳng () qua M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ), () vuông góc với d 1 . + Tìm giao điểm M của d 2 &(). + Đờng thẳng d cần tìm là đờng thẳng qua hai điểm M 0 , M. Ph ơng pháp 2 : + Gọi d là đờng thẳng cần tìm. Giả sử M(x M ; y M ; z M ) là giao điểm của d & d 2 M d 2 nên toạ độ của M thoả mãn d 2 . (1) + M 0 d 2 nên M 0 M uuuuur 0 MM là một véc tơ chỉ phơng của d. + d 1 có véc tơ chỉ phơng ur 1 u mà d d 1 nên ur 1 u uuuuur 0 MM hay ur 1 u . uuuuur 0 MM = 0. (2) Từ (1) và (2) tìm đợc toạ độ của M. Chú ý: Số nghiệm của hệ phơng trình (cách1 & cách 2) tìm tọa độ của M là số nghiệm của bài toán. 5. Bài toán 5: Viết phơng trình đờng vuông góc chung của hai đờng thẳng chéo nhau d 1 & d 2 . Ph ơng pháp 1 : + Xác đinh véc tơ chỉ phơng ur uur 1 2 , u u của d 1 & d 2 . r u [ ur uur 1 2 , u u ] + Lập phơng trình mặt phẳng () qua d 1 có véc tơ chỉ phơng r u + Lập phơng trình mặt phẳng () qua d 2 có véc tơ chỉ phơng r u + Giao tuyến d = ()() là đờng vuông góc chung cần tìm. Ph ơng pháp 2 : + Viết phơng trình đờng thẳng d 1 & d 2 dới dạng tham số + Lấy M d 1 (phụ thuộc tham số t) N d 2 (phụ thuộc tham số s). + uuuur MN vuông góc với các véc tơ chỉ phơng ur 1 u & uur 2 u = = uuuur ur uuuur uur 1 2 MN. 0 toạ độ của M và N. MN. 0 u t s u + Đờng thẳng MN là đờng vuông góc chung d của d 1 và d 2 . V. Các ví dụ minh hoạ 1. Ví dụ 1: Viết phơng trình đờng thẳng () qua điểm M(-2; 1; 0) và vuông góc với mặt phẳng (): x + 2y 2z +1 = 0. Giải: Mặt phẳng () có véc tơ pháp tuyến (1;2; 2)n uur . là đờng thẳng qua điểm M(- 2; 1; 0) có véc tơ chỉ phơng (1;2; 2) d u n = = uur uur . Do đó phơng trình đờng thẳng () có dạng: 2 1 1 2 2 x y z+ = = . 2.Ví du 2: Viết phơng trình hình chiếu vuông góc của đờng thẳng d: 2 2 1 3 4 1 x y z + = = trên mặt phẳng (): x + 2y + 3z + 4 = 0. Giải: Gọi d là hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng (), () là mặt phẳng qua d và vuông góc với () thì d = () (). Mặt phẳng () có phơng trình: 4 1 1 3 3 4 ( 2) ( 2) ( 1) 0 2 3 3 1 1 2 10( 2) ( 8)( 2) 2( 1) 0 10 8 2 38 0 5 4 19 0. x y z x y z x y z x y z + + + = + + + = + = + = . Vậy phơng trình của đờng thẳng d là: x + 2y + 3z + 4 = 0 5x - 4y + z - 19 = 0 . 3. ví dụ 3: Viết phơng trình hình chiếu vuông góc của đờng thẳng d: 2x + y + z + 1 = 0 x + y + z + 2 = 0 trên mặt phẳng () : 4x 2y + z 1 = 0. Giải: Gọi d là hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng (), () là mặt phẳng qua d và vuông góc với () thì d = () (). Đờng thẳng d cho dới dạng tổng quát nên nó là giao của hai mặt phẳng vì vậy ta viết phơng trình mặt phẳng () chứa d: (2 ) ( ) ( ) 2 0x y z à à à à + + + + + + + = . à à à à à + + + + + = + = ( ) ( ) 4(2 ) 2( ) ( ) 0 7 3 0 hay = -3, = 7. Từ đó phơng trình mặt phẳng () có dạng: x + 4y + 4z + 11 = 0. Vậy hình chiếu d của d trên mặt phẳng () có phơng trình là: d: 4x - 2y + z - 1 = 0 x + 4y + 4z +11 = 0 . * Nhận xét: Ta còn có thể giải theo phơng pháp 2 nh sau: + Lấy M 0 d có toạ độ M 0 (1; -3; 0). + Tìm H là hình chiếu của M 0 trên mặt phẳng (), I là giao điểm của d với () + d là đờng thẳng IH. Phơng trình của d là: 1 3 . 4 5 6 x y z + = = 4. Ví dụ 4: Viết phơng trình của đờng thẳng qua điểm M(-4; -5; 3) và cắt cả hai đ- ờng thẳng: 1 2 1 3 2 : , 3 2 1 2 1 1 : . 2 3 5 x y z d x y z d + + = = + = = Giải: Gọi là đờng thẳng qua điểm M và cắt cả d 1 , d 2 thì = (M; d 1 ) (M; d 2 ). d 1 qua điểm A(-1; -3; 2), có véc tơ chỉ phơng 1 (3; 2;1)u = ur . d 2 qua điểm B(2; -1; 1), có véc tơ chỉ phơng 2 (2;3; 5)u = uur . Gọi (P) là mặt phẳng qua M & d 1 thì (P) có cặp véc tơ chỉ phơng 1 (3; 2;1)u = ur và MA (3;2; 1)= uuuur nên (P) có phơng trình là: 2 1 1 3 3 2 ( 4) ( 5) ( 3) 0 2 1 1 3 3 2 4( 4) 0( 5) 12( 3) = 0 3 5 0. x y z x y z x z + + + + = + + + + + = Gọi (Q) là mặt phẳng qua M & d 2 thì (Q) có cặp véc tơ chỉ phơng 2 (2;3; 5)u = uur 3 5 5 2 2 3 ( 4) ( 5) ( 3) 0 4 2 2 6 6 4 14( 4) 26( 5) 10( 3) = 0 7 13 5 0. x y z x y z x y z + + + + = + + = và MB (6;4; 2)= uuur nên (Q) có phơng trình là: Vậy đờng thẳng có phơng trình: + = = 3 5 0 7 13 5 22 0 x z x y z . 5. Ví dụ 5: Viết phơng trình đờng thẳng qua điểm M 0 (0; 1; 1), vuông góc với đờng thẳng d 1 : 1 2 3 1 1 x y z + = = và cắt đờng thẳng d 2 : + + + = + = 2 0 1 0 x y z x . Giải: Ph ơng pháp 1: Mặt phẳng () đi qua điểm M 0 (0; 1; 1) và vuông góc với d 1 sẽ nhận véc tơ chỉ phơng của d 1 là 1 (3;1;1)u = ur là véc tơ pháp tuyến nên phơng trình () có dạng: 3(x - 0) + 1(y - 1) + 1(z - 1) = 0 3x + y + z - 2 = 0. Gọi M là giao điểm của d 2 và () thì toạ độ của M là nghiệm của hệ phơng trình: + + = = + + = = + = = 3 2 0 1 2 0 2 vậy toạ độ của M là: M(-1; 2; 3). 1 0 3 x y z x x y z y x z Đờng thẳng cần tìm đi qua M 0 và nhận véc tơ 0 M M( 1;1;2) uuuuuur làm véc tơ chỉ phơng nên có phơng trình là: 1 1 1 1 2 x y z = = . Ph ơng pháp 2 : 3 5 5 2 2 3 ( 4) ( 5) ( 3) 0 4 2 2 6 6 4 14( 4) 26( 5) 10( 3) = 0 7 13 5 0. x y z x y z x y z + + + + = + + = Gọi d là đờng thẳng cần tìm. Giả sử M(x 0 ; y 0 ; z 0 ) là giao điểm của d & d 2 , ta có M d 2 nên toạ độ của M thoả mãn hệ phơng trình: 0 0 0 0 2 0 1 0 x y z x + + = + = (1) vì M 0 d 2 nên M 0 M, suy ra 0 0 0 0 M M ( ; 1; 1)x y z= uuuuuur là một véc tơ chỉ phơng của d. Ta có d 1 có véc tơ chỉ phơng 1 (3;1;1)u = ur mà d vuông góc với d 1 nên 1 0 M Mu ur uuuuuur hay 1 0 .M Mu ur uuuuuur = 0 3x 0 + 1(y 0 - 1) +1(z 0 1) = 0 3x 0 + y 0 + z 0 2 = 0. (2) Từ (1) và (2) suy ra: + + = = + + = = + = = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 2 0 1 2 0 (*) 2 M( 1;2;3) 1 0 3 x y z x x y z y x z Vậy phơng trình đờng thẳng d là: 1 1 1 1 2 x y z = = . Chú ý: Nh vậy số nghiệm của hệ phơng trình (*) là số nghiệm của bài toán. 6. Ví dụ 6: Viết phơng trình đờng vuông góc chung của hai đờng thẳng: 1 2 3 3 4 : 2 2 3 1 6 1 : 1 2 0 x y z d x y z d = + = = Ph ơng pháp 1: d 1 qua M 1 (3; 3; 4) và có véc tơ chỉ phơng là 1 (2;2;3)= ur u . d 2 qua M 2 (1; 6; -1) và có véc tơ chỉ phơng là 2 ( 1;2;0)= uur u . 1 2 1 2 [ ; ] ( 6; 3;6), và v u u v u v u= = r ur uur r ur r uur . Đờng vuông góc chung d của d 1 và d 2 là giao tuyến của P( 1 ;d v r ) Q( 2 ;d v r ). 2 3 3 2 2 2 (P): ( 3) ( 3) ( 4) 0 -3 6 6 6 -6 -3 + + = x y z 7 10 2 1 0x y z + + = . 2 0 0 1 -1 2 (Q): ( 1) ( 6) ( 1) 0 -3 6 6 6 -6 -3 + + + = x y z 4 2 5 11 0x y z + + = . Vậy phơng trình của đờng vuông góc chung d: 7 10 2 1 0 4 2 5 11 0 x y z x y z + + = + + = . Ph ơng pháp 2: Gọi M d 1 có toạ độ thoả mãn: M( 3 + 2t; 3 + 2t; 4+3t) Gọi N d 2 có toạ độ thoả mãn: N(1 s; 6 + 2s; -1) MN( 2 2; 2 2 3; 3 5)t s t s t + + uuuur 1 1 2 2 MN d .MN 0 2( 2 2) 2( 2 2 3) 3(3 5) 0 MN d 1( 2 2) 2( 2 2 3) 0 .MN 0 17 2 13 0 1 2 5 8 0 2 u t s t s t t s t s u t s t t s s = + + + + = + + + = = + = = + + = = ur uuuur uur uuuur M(1; 1; 1) và MN uuuur = (2; 1; -2). Phơng trình đờng vuông góc chung d là: 1 2 1 1 2 x t y t z t = + = + = . VI. Phơng pháp giải các bài toán khác Từ 5 bài toán thờng gặp trên, học sinh vận dụng giải một số bài toán dạng khác nh sau: 1.Bài toán 1: Viết phơng trình đờng thẳng d qua điểm M(2; 3; -5) và song song với đờng thẳng có phơng trình: + = + + = 3 2 7 0 3 2 3 0 x y z x y z Hớng dẫn: Ta chuyển về bài toán viết phơng trình đờng thẳng d qua điểm M, có véc tơ chỉ phơng ( 4; 8; 10)u = r . 2. Bài toán 2: Viết phơng trình hình chiếu vuông góc của đờng thẳng trên các mặt phẳng toạ độ. 3. Bài toán 3: Viết phơng trình đờng thẳng d qua điểm M(3; 2; 1) cắt và vuông góc với đờng thẳng có phơng trình: + = = 3 4 4 1 x y z . * Nhận xét : Học sinh có cách giải: + Lập phơng trình mặt phẳng () qua M và () . + Gọi H = (). + d là đờng thẳng qua M&H. Kết quả: phơng trình đờng thẳng d: + + = = 4 2 4 3 2 1 x y z . 4. Bài toán 4: Tìm điểm đối xứng của điểm M 0 qua đờng thẳng : [...]... vuông góc với đờng thẳng : 2(x - 2) + (-1 )(y + 1) +2(z - 1) = 0 2x y + 2z 7 = 0 + Giao điểm I của và (): 17 13 8 ; ; 9 9) I( 9 + M0 đối xứng với M0 qua đờng thẳng nhận I là trung điểm của MM0 có toạ độ : 16 17 7 ; ; 9 9) M0( 9 Chú ý: Đờng thẳng d d vuông góc với mặt phẳng chứa 5 Bài toán 5: Viết phơng trình đờng thẳng d qua giao điểm của đờng thẳng và mặt phẳng () cho trớc nằm trong mp() và vuông... trình đờng thẳng d đi qua điểm M0(1; 3; 0), vuông góc với x 2 y +1 z 1 = = 1 2 2 và cắt đờng thẳng: đờng thẳng: x = 1 + 2t y = 2 2t z = 1 t Kết quả: có vô số đờng thẳng thoả mãn 4 Bài tập 4: Viết phơng trình của đờng thẳng đi qua điểm M0(2; 1; 1), vuông góc x +1 y 2 z = = 2 1 và cắt đờng thẳng: với đờng thẳng 3 x = 2 3t y = 3 + 2t z = 2 + 5t Kết quả: Không tồn tại đờng thẳng nào thoả... phẳng () + Đờng thẳng d = () () VII Một số bài tập tự luyện 2 x y + z + 1 = 0 xy+z+2=0 1 Bài tập 1: Viết phơng trình hình chiếu d của đờng thẳng : trên mặt phẳng (): 2x + y + z + 1 = 0 y z 3 = 0 2x + y + z + 1 = 0 Kết quả: d 2 Bài tập 2: Cho hai đờng thẳng: x+y = 0 d1 7 x 13y 5 z 22 = 0 d2 x + 3y 1 = 0 y + z 2 = 0 a) Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau b) Viết phơng trình đờng thẳng d qua... học sinh nắm và biết vận dụng Đồng thời qua đó có phơng pháp giải quyết một bài toán dạng khác Với các phơng pháp nêu trên, nhằm hớng dẫn học sinh biết cách giải các bài toán về viết phơng trình đờng thẳng trong chơng trình đã học Kết quả học sinh nắm đợc và bớc đầu vận dụng tốt Móng Cái, ngày 24 tháng 05 năm 2005 ngời viết Nguyễn Thị Quảng . 2 (P): ( 3) ( 3) ( 4) 0 -3 6 6 6 -6 -3 + + = x y z 7 10 2 1 0x y z + + = . 2 0 0 1 -1 2 (Q): ( 1) ( 6) ( 1) 0 -3 6 6 6 -6 -3 + + + = x y z 4 2. đờng thẳng qua điểm M (-4 ; -5 ; 3) và cắt cả hai - ờng thẳng: 1 2 1 3 2 : , 3 2 1 2 1 1 : . 2 3 5 x y z d x y z d + + = = + = = Giải: Gọi là đờng thẳng