Sáng kiến kinh nghiệm: Chuyên đề về phương trình đường thẳng

1.2 Nếu nhìn theo quan điểm minh hoạ tập nghiệm của phơng trình bậc nhất hai ẩn x;y Mỗi đờng thẳng biểu diễn trên mặt phẳng toạ độ Oxy đều đợc biểu diễn bởi phơng trình đờng Nếu a ≠ 0 v

Phần I - Đặt vấn đề

Qua một vài năm kinh nghiệm khi trực tiếp giảng dạy môn Toán lớp 9 – THCS, thực tế tôi nhận thấy rằng việc học tập tích cực, chủ động và sáng tạo là cái cốt để học sinh nắm vững kiến thức và phát triển năng lực t duy cá nhân cũng nh có khả năng linh hoạt khi giải quyết các tình huống trong thực tiễn Đó cũng là một trong những mục tiêu đổi mới phơng pháp dạy học Vấn đề quan trọng để có đợc điều này là cần có sự tổ chức, hớng dẫn học sinh học tập hợp lý,

đảm bảo tính vừa sức và khơi nguồn đợc cảm hứng, tạo động cơ học tập môn học cho mỗi học sinh Phơng pháp bồi dỡng theo chuyên đề - khi ngời dạy có đợc cái nhìn xuyên suốt, hệ thống

và làm chủ đợc kiến thức - là một trong những phơng pháp tích cực để góp phần đạt đợc điều

đó Với tinh thần này, khi bồi dỡng học sinh, căn cứ vào mức độ nhận thức của đối tợng học sinh, tôi luôn quan tâm xây dựng các chuyên đề bám sát theo đơn vị kiến thức giảng dạy

Chơng trình nửa sau học kỳ I - Đại số 9 bắt đầu từ chơng II, thấy rằng kiến thức về

ph-ơng trình đờng thẳng là một kiến thức cơ bản và quan trọng, tôi đã xây dựng chuyên đề phph-ơng trình đờng thẳng để bồi dỡng học sinh Hệ thống các kiến thức đến thời điểm đó, tôi lợc lại

ph-ơng trình đờng thẳng về các dạng chung theo từng quan điểm sau đây:

1 1 Nếu nhìn theo quan điểm hàm số

* Dạng y = ax+b (D) – dạng hàm số của y đối với x

+ Nếu a ≠ 0 thì đờng thẳng (D) là đồ thị hàm số bậc nhất y = ax+b - (1)

+ Nếu a = 0 thì đờng thẳng (D) là đồ thị hàm hằng y = k = const - (2)

đờng thẳng (D) lúc này sẽ song song với Ox cắt Oy tại điểm có tung độ bằng k

* Vấn đề đặt ra là liệu có trờng hợp phơng trình đờng thẳng (D) không là hàm số của y đối với

x Câu trả lời là có, khi đó (D) là đờng thẳng song song với Oy- các đờng thẳng mà phơng trình

có dạng x = k = const - (3)

1.2 Nếu nhìn theo quan điểm minh hoạ tập nghiệm của phơng trình bậc nhất hai ẩn x;y

Mỗi đờng thẳng biểu diễn trên mặt phẳng toạ độ Oxy đều đợc biểu diễn bởi phơng trình đờng

Nếu a ≠ 0 và b ≠ 0 thì sẽ trở thành dạng (1) Nếu a = 0 và b ≠ 0 thì sẽ trở thành dạng (2) Nếu a ≠ 0 và b = 0 thì sẽ trở thành dạng (3)

Và trớc khi thực hiện chuyên đề này, tôi tìm hiểu nhận thức của học sinh về phơng trình

đờng thẳng với một số tình huống hết sức đơn giản đặt ra cho các em:

+ Trong mặt phẳng toạ độ, phơng trình đờng thẳng có dạng nào?

Hầu nh học sinh trả lời khá lộn xộn hoặc trả lời là dạng (1), hoặc trả lời là dạng (4), hoặc

+ Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm:

Tuy nhiên, khi hỏi tại sao chọn (1) làm dạng tổng quát thì hầu hết các em đều không có câu

trả lời đúng.

b) M(4;5) và N(4;-5)

Cũng lại hầu nh học sinh các em máy móc sử dụng phơng trình (1) dẫn đến cách giải sơ lợc

nh sau:

Gọi phơng trình đờng thẳng đi qua M điểm N là : y = ax + b.

Với M(4;5) và N(4;-5) nên ta có - 











5 4

5 4

b a b a

=> 0a +0b = 10 (vô lý)

sau đó hầu nh các em đã tỏ ra lúng túng và kết luận khá vội vã: “Không tồn tại phơng trình

Tôi lật lại vấn đề: Bằng kiến thức hình học lớp 6, chúng ta khẳng định rằng luôn tồn tại

một đờng thẳng qua hai điểm phân biệt M và N ! Đã tồn tại đờng thẳng thì sẽ có phơng trình đờng thẳng tơng ứng! Vậy phơng trình đờng thẳng MN là gì?

Chỉ một vài học sinh gọi ra đợc đó là phơng trình x = 4 xong ít nhiều vẫn còn tỏ ra có nét nghi ngờ, băn khoăn Điều quan trọng mà tôi nhận thấy, ở các em đã nhận ra mình thiếu cài mình cần, có mong muốn, nhu cầu đợc giải quyết, tháo gỡ vấn đề nhận thức về phơng trình đờng thẳng

Nh vậy sơ bộ thực tế, tôi có kết luận chủ quan rằng nếu chỉ đơn thuần thực hiện về nội dung chơng trình mà không tổ chức đợc cho học sinh nghiên cứu rèn luyện thêm thì hầu nh vấn đề phơng trình đờng thẳng đối với nhiều học sinh lớp 9 là còn mơ hồ và hình thức, vấn

đề khai thác mối liên hệ kiến thức giứa các phân môn hình học và đại số để giải quyết là còn thụ động Tuy sau này, khi đợc học về chơng trình Toán THPT, học sinh sẽ đợc trang bị những phơng pháp bài bản hơn, sâu sắc hơn với việc sử dụng phơng trình tuyến tính, phơng trình tham số hay phơng trình chính tắc của một đờng thẳng nhng hiện tại trong giải toán THCS đây vẫn là một kiến thức quan trọng trong chơng trình Toán THCS mà không ít học sinh gặp khó khăn khi giải quyết các bài toán liên quan Mặt khác sử dụng phơng trình đờng

thẳng ở dạng (1), (2), (3), (4) đều tuỳ thuộc vào từng kiểu bài, tuỳ thuộc từng bài cụ thể mà

nếu học sinh không linh hoạt, không nắm chắc bản chất của vấn đề thì giải quyết các bài toán về phơng trình đờng thẳng sẽ gặp vớng mắc nhất định Bên cạnh đó, khai thác đợc mối quan hệ phơng trình đờng thẳng cũng là chỉ ra một trong những mối liên hệ hết sức chặt chẽ giữa hình học và đại số đó là dùng phơng pháp đại số có thể giải quyết đợc nhiều bài toán hình học, nhìn một bài toán hình học theo quan điểm đại số Trong một năm trở lại đây, với chuyên đề này áp dụng cho đối tợng học sinh lớp 9 tại đơn vị trờng THCS Tam Cờng , suy nghĩ của bản thân không chỉ với mục tiêu tạo và rèn cho các em những phơng pháp, kĩ năng

giải toán cơ bản về phơng trình đờng thẳng mà bên cạnh đó còn mong muốn góp phần giúp học sinh có đợc t duy linh hoạt, có cái nhìn đa chiều và có hứng thú học Toán trong quá trình khai thác hợp lý những mối quan hệ của các phân môn toán học đồng thời cũng tạo dựng cho các em bớc đầu những cơ sở nhất định để thuận lợi cho việc học Toán ở bậc học tiếp theo

Phần II – nội dung chuyên đề: nội dung chuyên đề:

Với thời lợng 3 đến 4 tiết (trong phạm vi 1 buổi học ngoại khoá), khi sau khi dạy xong về

ph-ơng trình bậc nhất hai ẩn số, tôi triển khai nội dung chuyên đề theo các hoạt động (HĐ) chính sau đây:

HĐ1 Cho học sinh đợc trình bày nhận thức, hiểu biết về phơng trình đờng thẳng tạo động cơ

học tập

Bằng cách thực hiện nh nêu tại phần I, tôi đa ra một vài tình huống là bài tập cụ thể cùng với việc lật lại vấn đề giúp các em tự nêu, tự nhận thấy đợc thực trạng việc nắm bắt kiến thức của mình và có động cơ tự bù đắp lấp hổng kiến thức theo hớng chủ động

HĐ2 Hệ thống lại kiến thức cơ sở ở các phân môn Hình học 6, hình học 7, Đại số 7, đại số 9

theo quan điểm (mục 2.1) trong đó lu ý phải giao trớc cho học sinh tự chuẩn bị tập hợp các

kiến thức liên quan đến:

- Sự xác định của một đờng thẳng qua các phân môn hình học từ lớp 6 đến lớp 8

- Phơng trình đờng thẳng

HĐ3 Tổ chức cho học sinh vận dụng kiến thức giải bài tập về phơng trình đờng thẳng với hệ

thống bài tập của giáo viên xây dựng Trong việc tổ chức này, cần chú ý đến việc tạo cho học sinh thói quen t duy phân tích hay cần có những cách đặt vấn đề, lật lại vấn đề đa các tình huống để học sinh định hớng và nắm đợc cách giải quyết một cách sâu sắc

Với hệ thống bài tập này, tôi xây dựng có hai phần:

- mục 2.2 : bài tập cơ bản dành cho mọi đối tợng

- mục 2.3: bài tập nâng cao dành cho các đối tợng khá giỏi

HĐ4 GIao việc và hớng dẫn học sinh học tập tại nhà

2.1 Các kiến thức cơ sở: Thực hiện giải các bài toán về phơng trình đờng thẳng thì học sinh

cần nắm vững đợc các kiến thức cơ bản trong phạm vi chơng trình ( sách giáo khoa, sách bài tập) Qua tổng hợp và hệ thống theo chủ quan của mình, tôi đã tập trung vào những kiến thức sau đây:

+ Khái niệm đờng thẳng (qua mô tả) và các cách xác định đờng thẳng (qua 2 điểm

phân biệt, qua một điểm nằm ngoài đờng thẳng cho trớc và song song với đờng thẳng đó, qua một điểm cho trớc và vuông góc với một đờng thẳng cho trớc) - Hình học 6 - 7

+ Các quĩ tích đờng thẳng (Hình học 7-8)

+ Phơng trình đờng thẳng : các dạng (1); (2); (3); (4) (Đại số 7; Đại số

9)-(Nh trình bày ở phần ĐVĐ)

+ Các vị trí tơng đối giữa hai đờng thẳng

Xét hai đờng thẳng (D): y = ax +b và (D’): y = a’x +b’ (Đại số 9)

- (D) // (D’) <=> a = a’ và b ≠ b’

Khi đó hoành độ điểm A là nghiệm của phơng trình ax +b = ax +b.

+ Các công thức:

2

B

A x

x 

2

B

A y

y 

- Với  là góc tạo bởi đờng thẳng với trục hoành)

2.2 Các dạng toán cơ bản:

Dạng 1: Viết phơng trình đờng thẳng qua hai điểm phân biệt

(nhìn nhận :

+ có cùng hoành độ viết theo công thức (2)

+ có cùng tung độ viết theo công thức (3)

+ khác hoành độ, khác tung độ viết theo công thức (1), thực hiện bớc tiếp theo.)

Bài tập vận dụng

Bài 1 Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm :

a) điểm A (1;2) và điểm B(-2;-1)

b ) điểm M (1; 1) và điểm N (-1; 5)

c) điểm C (16;1975) và điểm D(-6;1975)

d) điểm E (2006;2008) và điểm F(2006;2007)

Bài giải:

a) Gọi ptđt AB là y =ax +b













1 2

2

b a b a

=> => a = 1

và b = 1

Vậy phơng trình đờng thẳng AB là y =x+1

b) Gọi ptđt MN là y =ax +b.

do đờng thẳng MN đi qua điểm M (1;1) và điểm N (-1;5) nên ta có















5 1

b

a

b

a

c) do hai điểm phân biệt C (16;1975) và D(-6;1975) có tung độ cùng bằng 1975 nên phơng trình đờng thẳng CD là y = 1975

d) do hai điểm phân biệt E (2006;2008) và F(2006;2007) có hoành độ cùng bằng 2006 nên

ph-ơng trình đờng thẳng EF là x = 2006

Bài 2: Cho A(2;3); B(1;3) và C(2;-5)

a) Viết phơng trình đờng thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC

b) Viết phơng trình đờng thẳng chứa trung tuyến AM của tam giác ABC

Bài giải:

=> phơng trình đờng thẳng AB là y = 3

=> phơng trình đờng thẳng AC là x = 2

Do đờng thẳng BC đi qua điểm B (1;3) và điểm C(2;-5) nên ta có













-5

b

2a

3

b

a

=> => a = -8 và b = 11 => phơng trình đờng thẳng BC là y = -8x+11 Vậy phơng trình đờng thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC là:

+) Gọi ptđt AM là y =ax +b

Do đờng thẳng AM đi qua điểm A (2;3) và điểm M(1,5;-1) nên ta có













-1 b

1,5a

b

2a

=>…! => 



 13 -b 8 a

=> phơng trình đờng thẳng chứa trung tuyến AM là y = 8x-13

Bài 3: Viết phơng trình đờng thẳng (D) biết

a) (D) đi qua điểm A(1;2) và cắt đờng thẳng y = 3x- 5 tại điểm có hoành độ là 2 b) (D) đi qua điểm B(-3;1) và cắt đờng thẳng x + y = -1 tại điểm có tung độ độ là 2

Gợi ý: Yêu cầu và các dữ kiện đã cho trong bài tập 3 có gì giống và khác với bài toán 1? Có thể qui về tờng minh nh bài toán 1 đợc không? Bằng cách nào? Từ đó hãy đề xuất cách giải quyết

Một vấn đề cần lu ý tránh sai lầm cho học sinh là cắt đờng thẳng y = 3x- 5 tại điểm có

hoành độ là 2 khác với cắt Ox tại điểm có hoành độ bằng 2 (thực tế nhiều học sinh lớp 9 đã

mắc phải sai lầm kiểu nh vậy)

Tơng tự với phần b

Bài giải:

a) Gọi M là điểm thuộc đờng thẳng y = 3x- 5 và có hoành độ x = 2

=> Tung độ điểm M là: y = 3 2 – 5 = 1

=> Đờng thẳng (D) : y = ax +b đi qua A(1;2) và M(2;1)











1 2

2

b

a

b

a

b) Gọi N là điểm thuộc đờng thẳng x + y = - 1 và có tung độ y = 2

=> Hoành độ điểm M là nghiệm phơng trình : x + 2 = -1 => x = -3

=> Đờng thẳng (D) : y = ax +b đi qua hai điểm A(-3; 1) và M(-3; 2) phân biệt có cùng hoành

độ x = -3

Vậy (D) : x = -3

cho trớc

)

Bài tập vận dụng

Bài 4 Viết phơng trình đờng thẳng (D) trong từng trờng hợp sau :

a) (D) đi qua điểm M (1;2) và song song với đờng thẳng y = 2x - 3

b ) (D) đi qua điểm N (3;-1) và song song với đờng thẳng 2y – 4x + 3 = 0

L

u ý: y = 2x – 3 và 2y – 4x + 3 = 0 là các đờng thẳng đều có dạng hoặc có thể qui về dạng

(1) nên đờng thẳng (D) tơng ứng song song với các đờng thẳng trên cũng sẽ có dạng (1)

Bằng kiến thức hình học hãy cho biết đờng thẳng (D) đã đủ điều kiện xác định cha?

Vận dụng kiến thức liên quan để giải quyết bài toán

Bài giải:

Gọi phơng trình đờng thẳng (D): y =ax +b

a) * vì (D) : y =ax +b song song với đờng thẳng y = 2x – 3 nên ta có a = 2 và b ≠ -3

=> (D) : y = 2x + b (với đk: b ≠ -3)

* Lại có (D) đi qua M(1;2) nên 2.1 + b = 2 => b = 0 (thoả mãn đk)

Vậy (D) : y = 2x

* Lại có (D) đi qua N(3;-1) nên 2.3 + b = -1 => b = -7 (thoả mãn đk)

Vậy (D) : y = 2x – 7

Bài 5 : Cho hình bình hành ABCD biết A(2;3); B(1;3) và C(2;-5) Viết phơng trình đờng thẳng chứa cạnh AD

Gợi ý: Liên hệ các dữ kiện đã cho cùng yêu cầu để thấy điểm giống và khác với bài tập 2a

Do ABCD là hình bình hành nên đờng thẳng AD có tính chất gì? (AD //BC)

=> Từ đó cho biết bài tập có hớng giải quyết bài toán

Bài giải:

* Gọi ptđt BC là y =ax +b











-5 b 2a

3 b a

=> => a =

-8 và b = 11

=> phơng trình đờng thẳng BC là y = -8x+11

* Do ABCD là hình bình hành => (AD) // (BC): y = -8x+11 => (AD) : y = -8x + b’ với b’ ≠

11 (*)

mà đờng thẳng AD đi qua A(2;3) => -8.2 + b’=3 => b’ = 19 (thoả (*) )

Vậy (AD) : y = -8x +19

L

u ý : với bài tập này cón có thể nhìn nhận theo hớng khác, để giảI quyết bằng cách đa về dạng

toán 1

* ABCD là hình bình hành <=> AC và BD cắt nhau tại trung điểm chung I (**)

+ Với A,C cho trớc thì I xác định; lại có B đã xác định nên xác định đợcD; và lại có A cho trớc nên suy ra phơng trình đờng thẳng AD là xác định

ta có cách 2 : - xác định toạ độ trung điểm I của AC

- lập luận nh (**) sẽ có I là trung điểm BD và từ đó xác định toạ độ D

- tiến hành viết phơng trình đờng thẳng AD

* ABCD là hình bình hành <=> AD = BC; và AB = CD (***)

+ Liệu từ (***) xác định đợc toạ độ điểm D; Nếu đợc lại có A cho trớc

=> phơng trình đờng thẳng AD là xác định

ta có cách 3 : - Gọi D(x;y) Tính toán đợc BCvà AB, lập hệ thức biểu thị AD và CD qua x; y

- lập luận nh (***) sẽ đợc hệphơng trình ẩn x; y.

- Giải tìm x; y

- Viết phơng trình đờng thẳng AD.

Tuy nhiên theo hớng giảI quyết này đợc đa vào khai thác ở hoạt động IV

Dạng 3: Viết phơng trình đờng thẳng (D') qua 1 điểm và vuông góc với 1 đờng thẳng (D)

cho trớc

vuông góc với (D’) <=> a a’ = -1 Từ đó tìm a

Bài 6 Viết phơng trình đờng thẳng (D) trong từng trờng hợp sau :

a) (D) đi qua điểm M (1;2) và vuông góc với đờng thẳng y = - 2x + 3

b ) (D) đi qua điểm N (3;-1) và vuông góc với đờng thẳng y – 2x - 5 = 0

L

u ý : Bằng kiến thức hình học hãy cho biết đờng thẳng (D) đã đủ điều kiện xác định cha?

Bằng kinh nghiệm tích luỹ đợc từ cách giải quyết một số bài tập dạng toán 1 hãy phân tích, tìm và nêu hớng giải bài tập này

Bài giải: Gọi ptđt (D) là y =ax +b

a) Ta có (D)  (D’): y = -2x +3 <=> a.a’ = -1 <=> -2a = -1 <=> a =

2

1

<=> (D): y =

2

1

x +b

mà (D): y =

2

1

x +b đi qua điểm M (1;2) nên

2

1

+b = 2 <=> b =

2

3

Vậy (D): y =

2

1

x +

2 3

b) với (D’): y – 2x - 5 = 0 hay (D’): y = 2x + 5

Ta có (D)  (D’): y = 2x+5 <=> a.a’ = -1 <=> 2a = -1 < => a =

2

1

2

1

mà (D): y =

2

1

2

3



x + b = -1<=> b =

2

1

Vậy (D): y =

2

1

2 1

Dạng 4: Với phơng trình đờng thẳng có chứa tham số Giống nh ở Dạng toán 1, 2, 3 nhng sẽ

không phải thực hiện bớc 1 Thông thờng cũng có thể dạng này dừng tại việc tìm giá trị tham số

Bài 7 Cho phơng trình đờng thẳng y = 2(m-1)x + m - 3 (D) - với m là tham số

Xác định phơng trình đờng thẳng (D) nếu:

a) (D) đi qua điểm M (2; 1)

Bài giải: Xét đờng thẳng (D): y = 2(m-1)x + m - 3

a) Do (D) đi qua điểm M (2; 1) nên ta có:

2(m - 1).2+ m – 3 = 1 <=> 4m – 4 + m – 3 = 1 <=> 5m = 8 <=> m =

5 8

Vậy phơng trình đờng thẳng (D) là y = 2(

5

8

-1)x +

5

8

- 3 hay y =

5

6

x

-5 7

b) (D’): 4x - 2y + 3 = 0 hay (D’): y = 2x +

2

3

<=> m = 2 và m ≠ 4,5 <=> m = 2 Vậy phơng trình đờng thẳng (D) là y = 2x + 2 - 3 hay y = 2 x -1

2

x

- 2 2

Ta có (D)  (D’’) <=> 2(m-1)

2

1

= -1 <=> m-1 = -1 <=> m = 0 Vậy (D) có phơng trình đờng thẳng là y = 2(0-1)x + 0 – 3 hay y = -2x – 3

d) Với  là góc nhon tạo bởi (D) với Ox thì a = tg  với a là hệ số góc của đờng thẳng (D)

3

3 <=> m =

6

3

6 

Vậy (D) có phơng trình đờng thẳng là

3

6

3

3

6

12

3 

2.2 Một số dạng bài toán nâng cao:

Dạng 5: Điểm cố định của họ đờng thẳng

Điểm M (x 0 , y 0 ) là điểm cố định của họ đờng thẳng (D) : y = f(x;m) – m là tham số

<=> y 0 = f(x 0 ;m) đúng  m

<=> phơng trình đa thức ẩn m : f(m; x 0 ; y 0 ) =0 (1) nghiệm đúng  m (x 0 ; y 0 là tham số)

<=> các hệ số của pt (1) đồng thời bằng 0 Từ đó tìm đợc x 0 , y 0

Bài 8 Cho họ đờng thẳng (D) : y = 2(m-1)x + m - 3 - với m là tham số Chứng tỏ rằng khi

m thay đổi thi (D) luôn đi qua một điểm cố định

Bài giải:

<=> 











0 2

0 1

2

0 0

0

y x

x

<=>









 1 2 1 0

0

y x

Vậy đờng thẳng (D) : y = 2(m-1)x + m luôn đi qua điểm M(

2

1



; 1) khi m thay đổi - ĐPCM

Bài 9 Cho đờng thẳng (D) : y = 2(m-1)x + m - 3 - với m là tham số Tìm m để khoảng

cách từ O tới đờng thẳng (D) là lớn nhất

Một số gợi ý cách giải

- Đờng thẳng (D) thay đổi nhng luôn đi qua điểm cố định M(

2

1



; 1) – Kết quả bài 8

- Minh hoạ hình vẽ ( mang tính tợng trng để H dễ phát hiện) khoảng cách OH từ đờng thẳng (D) tới O luôn thay đổi.

- Nhận xét đợc OH OM (quan hệ đờng vuông góc - đờng xiên) để từ đó khẳng định

Max (OH) = OM (khi ( D) đi qua M và vuông góc với OM)

Dạng 6: Xác định hoặc chứng minh tính chất hay quan hệ nào đó

Bài 10 Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho các điểm A(2007;2006), B(-19,-20) và C(3;2) Chứng minh rằng ba điểm A; B; C thẳng hàng

Gợi ý: Bằng kinh nghiệm tích luỹ đợc từ cách giải quyết một số bài tập dạng toán 1 hãy phân tích, tìm và nêu hớng giải bài tập này?

(Có thể chứng minh theo tiên đề cộng đoạn thẳng khi tính đợc AB, BC và CA Tuy nhiên vận dụng kiến thức viết phơng trình đờng thẳng có thể thực hiện theo các bớc sau đây

- Viết phơng trình đờng thẳng qua hai trong số 3 điểm đã cho

phơng trình đờng thẳng y = x-1

- chứng minh điểm còn lại cũng thuộc đờng thẳng trên)

m để các điểm A, B, C thẳng hàng

Sơ l ợc cách giải :

- Viết phơng trình đờng thẳng AB: y = x – 1

(D2): 3x+2y = 5 (D3): đi qua điểm N(-2;

2

1

 ) Xác định phơng trình đờng thẳng (D3) biết (D1), (D2) và (D3) dồng qui tại 1 điểm

Sơ l ợc cách giải :

- Tìm toạ độ giao điểm M của hai đờng thẳng (D 1 ) và (D 2 ) - M(1;1)

- Viết phơng trình đờng thẳng (D 3 ) đi qua điểm N(-1;2) và M(1;1)

2

1



x

Dạng 7: Quĩ tích đại số có dạng phơng trình đờng thẳng

ĐVĐ : Cho các điểm M(x,y), nếu (x; y) thoả mãn một trong các phơng trình (1), (2), (3), (4) thì M thuộc đờng thẳng tơng ứng và ngợc lại nếu điểm M(x,y) thuộc một đờng thẳng nào đó thì

sẽ thoả mãn một phơng trình tơng ứng