SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỬ DỤNGĐẠO HÀMĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

Phương pháp hàm số trong các bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm sốcó lẽ đã trở thành một trong những phương pháp “kinhđiển”, chính vì thế mà người học có thể tìm thấy phương pháp này trong tất cả các quyển sách về Bất đẳng thức cũng như trong bài toán cực trị của hàm số.Với mong muốnbằng kinh nghiệm trong vận dụngphương pháp của mình tôi muốn viết chuyên đề này với mục đích là hướng dẫn cho học sinh của lớp mình đang giảng dạy, để các em có thể vận dụng và giải các bài toán thuộc dạng này một cách hiệu quả. Trong chuyên đề này các bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất được giới thiệu từ mứcđộcơ bản, từdễ tới nâng cao để mọi học sinh có thể tham khảo được và cũng là những bài toánquen thuộc khá quan trọng, thường xuất hiện trong các kì thi tốt nghiệp THPT và kỳ thi tuyển sinh Đại học, cao đẳng trong nhưng năm gần đây. Hy vọng rằng qua chuyên đề này, học sinh có thể biết “quy lạ về quen” khi đứng trước một bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số. Do thời gian thực hiện chuyên đề chưa được nhiều, vì vậy không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong được Quý thầy cô và các em học sinh đóng góp ýkiến để nội dung của chuyên đề hoàn thiện hơn.

Sử dụng đạo hàm để tìm GTLN – GTNN của hàm số Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang 1 Tên sáng kiến kinh nghiệm: SỬ DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Phương pháp hàm số trong các bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số có lẽ đã trở thành một trong những phương pháp “kinh điển”, chính vì thế mà người học có thể tìm thấy phương pháp này trong tất cả các quyển sách về Bất đẳng thức cũng như trong bài toán cực trị của hàm số. Với mong muốn bằng kinh nghiệm trong vận dụng phương pháp của mình tôi muốn viết chuyên đề này với mục đích là hướng dẫn cho học sinh của lớp mình đang giảng dạy, để các em có thể vận dụng và giải các bài toán thuộc dạng này một cách hiệu quả. Trong chuyên đề này các bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất được giới thiệu từ mức độ cơ bản, từ dễ tới nâng cao để mọi học sinh có thể tham khảo được và cũng là những bài toán quen thuộc khá quan trọng, thường xuất hiện trong các kì thi tốt nghiệp THPT và kỳ thi tuyển sinh Đại học, cao đẳng trong nhưng năm gần đây. Hy vọng rằng qua chuyên đề này, học sinh có thể biết “quy lạ về quen” khi đứng trước một bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số. Do thời gian thực hiện chuyên đề chưa được nhiều, vì vậy không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong được Quý thầy cô và các em học sinh đóng góp ý kiến để nội dung của chuyên đề hoàn thiện hơn. II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn Dựa trên tinh thần đổi mới của phương pháp dạy học đó là: dựa vào hoạt động tích cực, chủ động , sáng tạo của học sinh với sự tổ chức và hướng dẫn thích hợp của giáo viên nhằm phát triển tư duy độc lập, sáng tạo góp phần hình thành phương pháp và nhu cầu, khả năng tự học, bồi dưỡng hứng thú học tập, tạo niềm tin, niềm vui trong học tập. Và thực sự tạo được môi trường “Trường học thân thiện. Học sinh tích cực”. Thực hiện phương châm giáo dục “Học phải đi đôi với hành”, nếu việc học không được vận dụng vào thực tế, không giải quyết được những vấn đề mà thực tế đặt ra thì việc học cũng trở nên vô dụng. Sử dụng đạo hàm để tìm GTLN – GTNN của hàm số Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang 2 Trên những tiêu chí đổi mới đó, đồng thời với việc nắm bắt thực trạng học sinh trong trường THCS-THPT Bàu Hàm, tôi thấy đa phần học sinh của trường mình các em còn học yếu, nắm chưa vững kiến thức cơ bản và kỹ năng tính toán còn yếu. Đa phần các em chỉ mới áp dụng các dạng toán cơ bản của sách giáo khoa, khi gặp các bài toán nâng cao của dạng toán này các em thường bối rối, sợ hãi. Việc sợ hãi này nguyên nhân sâu xa là do các em chưa tìm được phương pháp tốt nhất hoặc là có phương pháp nhưng quá trình vận dụng phương pháp còn khó khăn. Chính vì thế mà mỗi khi dạy học về vấn đề này bản thân tôi luôn cố gắng tìm những giải pháp đơn giản và hiệu quả để truyền đạt cho các em. Chuyên đề này cũng là một trong những giải pháp đã được tôi thực hiện tại trường THCS- THPT Bàu Hàm trong các năm giảng dạy học sinh lớp 12. Trong quá trình áp dụng chuyên đề “Sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số” tại trường THCS- THPT Bàu Hàm mặc dù đã đem lại hiệu quả trong giảng dạy. Tuy nhiên phương pháp trên cũng chỉ thay thể một phần các giải pháp khác. 2. Các biện pháp thực hiện Để đề tài thực hiện tốt và có hiệu quả, trong quá trình giảng dạy phần này đối với học sinh lớp 12. Bản thân tôi cùng các em rất nghiêm túc tiến hành từng bước thực hiện đề tài đó là: thứ nhất, tôi gửi tới học sinh trong lớp bản tài liệu của chuyên đề để cho các em về nhà nghiên cứu kỹ các nội dung lý thuyết. Thứ hai, trong các tiết học trên lớp giáo viên cùng học sinh hệ thống các kiến thức lý thuyết cơ bản. Thứ ba, sau khi nắm được lý thuyết tôi yêu cầu học sinh về nhà chuẩn bị bài tập. Thứ tư, trong những tiết học bài tập tôi cùng các em sửa bài tập để các em nắm được phương pháp. Sau khi nắm được phương pháp và kiến thức cơ bản giáo viên hướng dẫn học sinh khai thác, mở rộng bài toán, biết nhìn bài toán dưới nhiều góc độ giúp học sinh có khả năng tổng hợp, khái quát hoá các vấn đề. III. NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ 1. BÀI TOÁN TÌM GTNN, GTLN CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP HỢP D 1.1. Định nghĩa Cho hàm số ( )y f x , xác định trên tập số D a) Nếu ( ) , f x M x D   và o x D  sao cho ( ) o f x M thì số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số ( )y f x trên D. Kí hiệu: ax ( ) x D m f x M   Sử dụng đạo hàm để tìm GTLN – GTNN của hàm số Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang 3 b) Nếu ( ) , f x m x D   và o x D  sao cho ( ) o f x m thì số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số ( )y f x trên D. Kí hiệu: min ( ) x D f x m   1.2. Phương pháp chung - Để tìm GTLN, GTNN của hàm số ( )y f x trên tập D ta đi: Tính y’, tìm các điểm mà tại đó đạo hàm triệt tiêu hoặc không tồn tại và lập bảng biến thiên của hàm số trên tập D. Dựa vào bảng biến thiên để kết luận GTLN, GTNN. - Nếu D là một đoạn   ;a b thì ta làm như sau:  Tìm các điểm 1 x , 2 x , …, m x thuộc khoảng   ;a b mà tại đó hàm số ( )f x có đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.  Tính   1 f x ,   2 f x , …,   m f x ,   f a ,   f b .  So sánh các giá trị tìm được ở bước 2. Số lớn nhất trong các giá trị đó chính là GTLN của ( )f x trên đoạn   ;a b ; số nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của ( )f x trên đoạn   ;a b .                 1 2 ; max max , , , , , m x a b f x f x f x f x f a f b    .                 1 2 ; min min , , , , , m x a b f x f x f x f x f a f b    . Nhận xét: ( )f x đồng biến trên   ;a b              ; ; min max x a b x a b f x f a f x f b         ; ( )f x nghịch biến trên   ;a b              ; ; min max x a b x a b f x f b f x f a         . Quy ước: Khi nói đến GTLN, GTNN của hàm số ( )f x mà không chỉ rõ GTLN, GTNN trên tập nào thì ta hiểu là GTLN, GTNN trên tập xác định của ( )f x . 1.3. Bài toán GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn Sử dụng đạo hàm để tìm GTLN – GTNN của hàm số Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang 4 Định lý: Hàm số liên tục trên đoạn [a; b] thì luôn tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó. 1.3.1.Tìm GTLN, GTNN khi biết trước đoạn [a; b] Nhận xét: Dạng bài toán này rất cơ bản, nó giúp học sinh có lực học yếu, trung bình khắc sâu định nghĩa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất cũng như các bước tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 9 y x x   trên đoạn   2;4 . Lời giải Hàm số đã cho liên tục trên đoạn   2;4 Ta có 2 2 2 9 9 ' 1 x y x x     , 2 3 ' 0 9 0 3 ;4] x y x x              [2;4] [2 y’ không xác định tại giá trị 0 [2;4] x   Ta có: 13 25 (2) ; (3) 6; (4) 2 4 y y y   Vậy [2;4] 13 max 2 y  tại 2 x  ; [2;4] min 6 y  tại 3 x  Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 ln(1 2 )y x x    trên đoạn   2;0  . Lời giải Hàm số đã cho liên tục trên đoạn   2;0  Ta có 2 2 4 2 2 ' 2 1 2 1 2 x x y x x x         , 2 1 ' 0 4 2 2 0 2 1 ;0] x y x x x                 [-2;0] [-2 y’ không xác định tại giá trị 1 [ 2;0] 2 x    Ta có: 1 1 ( 2) 4 ln5; ( ) ln 2; (0) 0 2 4 y y y        Sử dụng đạo hàm để tìm GTLN – GTNN của hàm số Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang 5 Vậy [-2;0] max 4 ln5 y   tại 2 x   ; [2;4] 1 min ln 2 4 y   tại 1 2 x   Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 3 lny x x x    trên đoạn   1;2 . Lời giải Hàm số đã cho liên tục trên đoạn   1;2 Ta có 2 ' (ln 1) 3 x y x x     , Với mọi x thuộc đoạn   1;2 , ta có 2 1 3 x x   và ln 1 1 x   Suy ra y’< 0 nên hàm số nghịch biến trên đoạn [1; 2] Do đó, [1;2] (2) 7 2ln 2 min y y   ; [1;2] max (1) 2 y y   tại 1 2 x   Nhận xét: Ở ví dụ 3, ta có thể làm theo thứ tự các bước như hai ví dụ trên, đó là tìm ' 0 y  . Tuy nhiên việc giải ' 0 y  dẫn đến kết quả vô nghiệm trên D và việc giải phương trình không dễ dàng, do vậy ta quan sát đánh giá biểu thức y’. Ví dụ 4: Tìm các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 ( ) 1 x m m f x x     trên đoạn [0;1] bằng -2. Lời giải Hàm số đã cho liên tục trên đoạn   0;1 Ta có     2 2 1 m m f '(x) (x 1) ; do        1 3 2 2 m m 1 (m ) 0, m 2 4 . Suy ra hàm số đồng biến trên [0 ; 1] với mọi m.       2 x [0;1] minf(x) f(0) m m , Yêu cầu bài toán 2 m m 2 m 1 hay m 2         Vậy có hai giá trị tham số m cần tìm :   m 1;m 2 Sử dụng đạo hàm để tìm GTLN – GTNN của hàm số Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang 6 Ví dụ 5. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 1 1 x y x    trên   1;2  . Lời giải. Ta có hàm số đã cho liên tục trên   1;2      2 2 2 2 2 1 1 1 1 ' 1 1 1 x x x x x y x x x           . Với mọi   1;2 x   ta có ' 0 y   1x  . Ta có: 3 5 ( 1) 0; (1) 2; (2) 5 y y y    Vậy, [-1;2] ( 1) 0 min y y    ; [-1;2] max (1) 2 y y  Ví dụ 6. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 y x 3x 2   trên đoạn [–3; 2]. Lời giải Hàm số 3 y x 3x 2   liên tục trên đoạn   3; 2 . Đặt 3 f(x) x 3x 2   liên tục trên đoạn   3; 2 . ' 2 f (x) 3x 3 0 x 1 [ 3; 2]        . Ta có: f( 3) 16, f( 1) 4, f(1) 0, f(2) 4       16 f(x) 4 , x [ 3; 2]       0 f(x) 16 x [ 3; 2]      0 y 16 x [ 3; 2]      . Vậy [-3;2] max 16 y  tại 3 x   ; [-3;2] min 0 y  tại 1 x   Nhận xét: Ở ví dụ trên nếu ta đi tính đạo hàm của hàm số này thì phải xét các trường hợp của biểu thức trị tuyệt đối. Tuy nhiên dựa vào việc nhận xét tính chất của hàm trị tuyệt đối thì ta có thể đánh giá được giá trị lớn nhất và nhỏ nhất với hàm số trung gian. Sử dụng đạo hàm để tìm GTLN – GTNN của hàm số Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang 7 Bài tập đề nghị Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 4 2 8 16 y x x    trên   1;3 . Bài 2 : Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 2 1 3 x y x    trên   0;2 . Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 2 2 3 3 1 x x y x     trên   0;2 . Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số . x y x e   trên   0;2 . Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 3 y x 3x 72x 90     trên đoạn [–5; 5]. 1.3.2.Xác định định đoạn [a; b] trong bài toán tìm GTLN, GTNN Nhận xét: Dạng bài toán này cũng thuộc dạng cơ bản, so với các bài toán ở dạng trên thì học sinh chỉ cần chú ý đi tìm tập xác định của hàm số đã cho. Các em học sinh có lực học yếu, trung bình chỉ cần nắm vững cách tìm tập xác định của hàm số là hoàn thành được bài toán. Ví dụ 1: ( Trích đề thi tuyển sinh cao đẳng năm 2014) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 5 y x x   Lời giải: Hàm số xác định khi 0 0 5 5 0 x x x          , do đó tập xác định của hàm số: [0;5] D  Ta có 1 1 ' , (0;5) 2 5 y x x x      Ta có ' 0 2 5 4 y x x x       Ta có (0) 5; (4) 5; (5) 2 5 y y y   Vậy [0;5] max (4) 5 y y   ; [0;5] min (0) 5 y y   Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 4 y x x   Lời giải: Sử dụng đạo hàm để tìm GTLN – GTNN của hàm số Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang 8 Hàm số xác định khi 2 4 0 2 2 x x       , do đó tập xác định của hàm số: [-2;2] D  Ta có 2 ' 1 , ( 2;2) 4 x y x x       Ta có 2 2 2 0 ' 0 4 2 4 x y x x x x x              Ta có ( 2) 2; ( 2) 2 2; (2) 2 y y y      Vậy [-2;2] max ( 2) 2 2 y y  ; [-2;2] min ( 2) 2 y y     Ví dụ 3: Cho , x y R thỏa mãn 2 0; 12    y x x y . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ của biểu thức 2 17    P xy x y Lời giải: Từ giả thiết ta có 2 12 0    y x x hay 4 3   x . Ta có 2 2 ( 12) 2( 12) 17 P x x x x x x         Xét hàm số 3 2 ( ) 3 9 7; [ 4;3] f x x x x x      Ta có 2 '( ) 3 6 9); f '( ) 0 3; 1f x x x x x x        Ta có: ( 4) 13; f ( 3) 20; f (1) 12; f (3) 20 f        Do đó x [ 4;3] x [ 4;3] min f (x) f(1) 12; max f (x) f ( 3) f(3) 20            Vậy: Giá trị nhỏ nhất của P bằng -12 đạt được khi x=1; y= -10 Giá trị lớn nhất của P bằng 20 đạt được khi x=-3; y=- 6 hoặc x=3; y=0 Ví dụ 4: ( Trích đề thi tuyển sinh đại học khối D-2010) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhât của hàm số 2 2 4 21 3 10 y x x x x         . Lời giải: Hàm số xác định khi 2 2 4 21 0 3 10 0 x x x x               3 7 2 5 x x           2 5 x    , Sử dụng đạo hàm để tìm GTLN – GTNN của hàm số Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang 9 Do đó tập xác định của hàm số:   2;5 D   . Ta có 2 2 2 2 3 ' , ( 2;5) 4 21 2 3 10 x x y x x x x x               . 2 2 2 2 3 ' 0 4 21 2 3 10 x x y x x x x               2 2 2 2 4 4 4 12 9 4 21 4 3 10 x x x x x x x x                   2 2 2 2 4 3 10 4 4 4 21 4 12 9 x x x x x x x x             2 51 104 29 0 x x     1 3 x  hoặc 29 17 x  . Thử lại, ta thấy chỉ có 1 3 x  là nghiệm của 'y .   2 3 y   ,   5 4 y  , 1 2 3 y        Vậy [-2;5] 1 min ( ) 2 3 y y  ; [-2;5] max (5) 4 y y   Nhận xét: ở ví dụ này việc giải y’=0 không dễ dàng, để biến đổi tương đương trong quá trình giải thì ta cần phẩn nhận xét đánh giá hai vế cùng dấu. Tuy nhiên ở trên ta chọn phép biến đổi suy ra để giải quyết cho đơn giản và kết thức lời giải ta cần kiểm tra thử lại để loại nghiệm ngoại lai. Ví dụ 5: Cho x, y > 0 thỏa 5 4   x y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 1 4  P x y Lời giải: Từ giả thiết ta có 5 4  y x khi đó 4 1 5 4    P x x . Xét hàm số 4 1 5 ( ) ; (0; ) 5 4 4     f x x x x . Ta có: 2 2 4 4 ( ) (5 4 )      f x x x ; 1 ( ) 0 5 ( 3 5 0; ) 4 x f x x           Sử dụng đạo hàm để tìm GTLN – GTNN của hàm số Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang 10 Bảng biến thiên: Do đó 5 [0; ] 4 min ( ) (1) 5 f x f   . Vậy biểu thức P có giá trị nhỏ nhất bằng 5, đạt được khi x=1 và y = 1 4 Bài tập đề nghị Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 f(x) (3 x) 5 x   . Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 f(x) x 5x 6    . Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của: 1 3 ( 1)(3 )y x x x x       Bài 4: Cho ,x y  ; 1, 1x y  và thỏa 3 x y   . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 2 2 2 3 4 5P x y x xy x     1.4. Kết quả áp dụng phần thứ nhất của chuyên đề tại cơ sở trong các năm học:(2013- 2014 và 2014- 2015) Trong năm học: 2013 – 2014, tôi dạy hai lớp 12A5 và 12A6, đối tượng học sinh trong mỗi lớp có học lực trung bình và thậm chí một số còn yếu. Sau khi học kết thúc chương 1 Giải tích 12 cơ bản và dành thời lượng 3 tiết ôn tập về bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số vào các tiết tăng tiết buổi chiều. Sau đó tôi cho học sinh làm bài kiểm tra khoảng 20 phút, để kiểm tra mức độ nắm kiến thức học sinh của hai lớp. Kết quả thu được rất khả quan, số điểm đạt yêu cầu 12A5 là 83,3%; lớp 12A6 là 89,1%. Đề bài: 1) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 2ln( 1) y x x    trên   0; 1 e  . 2) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 8 y x x   5 + - 5 3 0 0 5 4 1 0 f(x) f'(x) x [...]... được: số điểm đạt yêu cầu 12A3 là 77,8%; lớp 12A1 là 100% Đề bài: (Dành cho lớp 12A3) 1) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y  x  2ln( x  1) trên  0; e  1 2) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  2 x  2 2  x Đề bài: (Dành cho lớp 12A1) 1) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y  x  2ln( x  1) trên  0; e  1 2) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. .. nghị Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  sin 4 x  cos 2 x  2 Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x 6  4(1  x 2 )3 trên  1;1 Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x  3  6  x  18  3x  x 2 2.3 Đổi biến số, đối với biểu thức có nhiều biến Nhận xét: Để tìm GTLN, GTNN của một biểu thức có chứa nhiều hơn một biến số nào đó... Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là 10   k 2 , đạt khi s inx  1  x  3 2 Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là 0 , đạt khi s inx  0  x  k Ví dụ 2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x 6 - 3x 4 + 9 2 1 x + trên đoạn [1; 1] 4 4 Lời giải Vì x   1; 1  , nên đặt t  x2  t  [0; 1] 9 1 Hàm số đã cho viết lại thành y = t3 - 3t 2 + t + = f(t) 4 4 9 1 Xét hàm số f(t)... toán tương đương với tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(t) 1 trên đoạn t   ;1 2    Ta có f ' (t)  1  1  t2 1  0, t  ( ;1) nên f(t) là hàm số nghịch biến trên đoạ  ;1 2  2 t2   Suy ra min f (t )  f (1)  4 ; m1ax f (t )  f ( )  1 9 2 Vậy Giá trị lớn nhất của biểu thức P bằng 9 , khi (x; y)  (1;2) , 2 [ ;1] 2 [ ;1] 2 1 2 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P bằng... được kiến thức tốt hơn, sau khi kiểm tra mức độ nắm và vận dụng kiến thức trong thời gian khoảng 20 phút và kết quả thu được cũng rất tốt, đạt tỉ lệ 94,2 %, trong đó có nhiều em đạt điểm tuyệt đối Đề bài: (Dành cho lớp 12A1) 1) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y  sin 4 x  cos 2 x  2 x y 2) Cho x, y  [1;2] Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P   y x Đáp án : Nội dung 1) Tìm giá trị lớn nhất của hàm. .. số như sau: Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang 17 Sử dụng đạo hàm để tìm GTLN – GTNN của hàm số + Biểu diễn các biến số của biểu thức ban đầu theo một biến số mới + Tìm điều kiện cho biến số mới (dựa trên điều kiện của các biến số ban đầu) + Tìm GTNN, GTLN của hàm số theo biến số mới tương ứng với điều kiện của nó Ví dụ 1: Cho x, y là các số thực thoả mãn điều kiện 1  x  2; 1  y  2 Tìm giá trị. .. ba số thực a, b, c dương và thỏa a  b  c  0 1 a 1 b 1 c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  3(a  b  c)  2(   ) Bài 2: Cho ba số thực a, b, c dương và thỏa a 2  b2  c2  1 1 a 1 b 1 c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P     2abc Bài 3: ( Trích đề thi tuyển sinh đại học khối B-2008) Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang 23 Sử dụng đạo hàm để tìm GTLN – GTNN của hàm số Cho hai số thực... 3) Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số 2 y 2đ 1 xm m trên đoạn [0;1] bằng 2 x 1 m2  m  1  Ta có y '  ( x  1) 2 1 3 (m  ) 2  2 4  0, x  (0; 2) ( x  1) 2 1,0 Suy ra hàm số đồng biến trên [0; 1] Do đó giá trị lớn nhất của hàm số đạt được tại x = 2 m  0 1  m2  m 1 y (1)    2 2  m  1 Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn 1,0 Trang 13 Sử dụng đạo hàm để tìm GTLN – GTNN của hàm số Kết... (3)  ; f(3)  ; f(4)  [2;4] 8 12 8 60 V ậy giá trị nhỏ nhất của P là 7 , khi x  y  3; 1  x  2 ; 1  y  2 8 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1  P  x  y   Biết x, y thoả mãn điều kiện 1  x  y  2   x y   Lời giải Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang 18 Sử dụng đạo hàm để tìm GTLN – GTNN của hàm số 1 1 x y  Ta có P  x  y    2  ... và có thể áp dụng vào các bài toán dạng này dễ dàng hơn 4 3 Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  2s in 2 x  sin3 x Lời giải Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang 14 Sử dụng đạo hàm để tìm GTLN – GTNN của hàm số Đặt t  s inx; t  [-1;1] 4 3 Hàm số đã cho viết lại thành: y  2t 2  t 3  f (t ) 4 3 Xét hàm số f (t )  2t 2  t 3 , liên tục trên đoạn [-1;1] Ta có f '(t )  4t . 1.4. Kết quả áp dụng phần thứ nhất của chuyên đề tại cơ sở trong các năm học:(2013- 2014 và 2014- 2015) Trong năm học: 2013 – 2014, tôi dạy hai lớp 12A5 và 12A6, đối tượng học sinh trong mỗi. tìm GTLN – GTNN của hàm số Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang 12 Trong năm học: 2014 – 2015, tôi dạy hai lớp 12A1 và 12A3. Đối tượng học sinh trong lớp 12A1 đa phần các em có học lực