Đang tải... (xem toàn văn)
Vận dụng phương pháp tìm cực trị giúp học sinh có kinh nghiệm giải bài toán khó trong kỳ thi THPT Quốc gia và kỳ thi HSG môn Vật lí 2.1. Tính ưu việt của phương pháp tìm cực trị Các bài toán tìm cực trị trong Vật lí có độ phân hóa học sinh rất cao, vì đa phần đều phải vận dụng tổng hợp kiến thức để giải quyết. Vì thế yêu cầu học sinh không những có năng lực tư duy logic chặt chẽ mà còn có năng lực tưởng tượng phong phú. Việc vận dụng phương pháp tìm cực trị thường đi theo các bước sau: Bước 1: Sâu chuỗi các dữ kiện, từ đó phải xác định được đại lượng nào là biến và đại lượng nào là hàm. Bước 2: Thiết lập các quy luật quan hệ của hàm theo biến. Bước 3: Tùy vào dạng của biểu thức toán học thiết lập được, dựa vào kinh nghiệm và khả năng toán học sẽ chọn một trong các giải pháp tìm cực trị, tìm ẩn của bài toán. Dưới đây là một số ví dụ minh họa.
MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong năm vừa qua có nhiều thay đổi lớn cơng tác tổ chức thi tốt nghiệp THPT tuyển sinh Đại học Bộ Giáo dục Đào tạo Từ thi tự luận sang thi trắc nghiệm, từ cách làm môn thi cho buổi thi sang thi tổ hợp gồm môn thi buổi thi Những đổi xã hội đánh giá tích cực giải triệt để mục tiêu giảm số lần thi cử áp lực di chuyển đến trường thi thí sinh Bên cạnh kỳ thi đánh giá lực thí sinh kết tốt bối cảnh để trường Đại học xét tuyển Tuy nhiên kỳ thi THPT Quốc gia năm học 2017-2018 vừa qua cho kết không kỳ vọng, chất lượng thấp năm học trước có mơn Vật lí Phổ điểm thi mơn Vật lí cho thấy thí sinh có điểm từ trở lên đạt 0,15% có thí sinh đạt điểm 10, đặc biệt điểm trung bình 4,97 thấp năm học trước 5,34 Trong kết trường THPT Nguyễn Trãi tỉnh Gia Lai có thí sinh đạt điểm điểm cao mơn Vật lí trường Bên cạnh kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12 cấp Quốc gia năm học 2018-2019 có số lượng giải giảm rõ nét, đặc biệt tỉnh Gia Lai có nhiều mơn trắng giải có mơn Vật lí Có nhiều ngun nhân dẫn đến chất lượng kỳ thi không kỳ vọng, song có lẽ nguyên nhân thiết thực em học sinh vơi nhiệt huyết, thiếu lửa đam mê chinh phục tri thức Nhiệm vụ cấp bách thời điểm đội ngũ giáo viên THPT phải xây dựng chuyên đề chuyên môn với giải pháp đủ sức hấp dẫn kích thích em học sinh chinh phục tốn khó Sử dụng phương pháp tìm cực trị giải pháp tối ưu giải tập vật lí nâng cao Song cụm chun mơn số 2, đặc biệt trường THPT Nguyễn Trãi chưa khai thác hướng với hệ thống tập tương đối hồn chỉnh Trên sở đó, chúng tơi chọn đề tài “Vận dụng phương pháp tìm cực trị giúp học sinh có kinh nghiệm giải tốn khó kỳ thi THPT Quốc gia kỳ thi HSG mơn Vật lí” cho sáng kiến Mục tiêu nghiên cứu Khi viết sáng kiến muốn xây dựng chuyên đề bồi dưỡng học sinh theo định hướng phát triển lực nhằm cung cấp cho học sinh có khiếu với mơn Vật lí kiến thức đủ sâu phương pháp tối ưu để giải số dạng tập nâng cao nội dung vật lí sơ cấp, thường xuất đề thi THPT Quốc gia đề thi học sinh giỏi Qua đó, giúp học sinh hoàn thiện kiến thức nâng cao khả vận dụng kiến thức để giải tập, chuẩn bị tốt cho kì thi đến Giả thuyết khoa học Nếu thiết kế phương pháp tìm cực trị giải tập vật lí sơ cấp sử dụng chúng vào dạy học nội dung ôn tập thi THPT Quốc gia ôn luyện học sinh giỏi môn Vật lí cách hợp lí góp phần làm đổi phương pháp dạy học theo hướng tích cực hóa hoạt động nhận thức học sinh, từ nâng cao chất lượng kỳ thi trường trung học phổ thông Đối tượng phạm vi nghiên cứu Trong đề tài này, tập trung phân tích tương đối chi tiết vận dụng phương pháp tìm cực trị giải số tốn vật lí sơ cấp thường xuất đề thi THPT Quốc gia đề thi học sinh giỏi q trình dạy học Vật lí trường phổ thơng Phương pháp nghiên cứu Có thể khẳng định, phương pháp nghiên cứu sử dụng đề tài vận dụng lí thuyết vào thực tiễn từ thực tiễn bổ sung thêm cho lí thuyết Thật vậy, để nghiên cứu giải số tốn vật lí sơ cấp phương pháp tìm cực trị, trước hết chúng tơi hệ thống lại lí thuyết tốn học liên quan đến cực trị Từ lí thuyết này, vận dụng để giải tập cụ thể để rút phương pháp giải tập khác có độ khó tương đương Nội dung sáng kiến Từ lí thuyết tốn học liên quan đến cực trị, Vật lí chúng tơi lập hàm biến tương đồng dạng toán học biết, từ chúng tơi tìm nhiều lời giải cho toán nội dung Vật lí, chúng tơi giải tốn tiêu biểu Trên sở đó, chúng tơi tổng hợp thành phương pháp chung để giải toán tương đương độ khó có tính chọn lọc từ nhiều nguồn tài liệu tham khảo Những đóng góp sáng kiến - Ý nghĩa khoa học: Đã đưa phương pháp tìm cực trị hệ thống tập vật lí sơ cấp vận dụng phương pháp vào dạy học ơn tập thi THPT Quốc gia ôn luyện học sinh giỏi mơn Vật lí - Ý nghĩa thực tiễn: Phương pháp cực trị giải tập vật lí sơ cấp sử dụng vào dạy học nội dung ôn tập thi THPT Quốc gia ôn luyện học sinh giỏi mơn Vật lí trường THPT thuộc cụm chun môn số đặc biệt trường THPT Nguyễn Trãi góp phần làm đổi phương pháp dạy học theo hướng tích cực hóa hoạt động nhận thức học sinh, từ nâng cao chất lượng kỳ thi nói chung kỳ thi chọn học sinh giỏi mơn Vật lí cấp tỉnh lớp 12 năm học 2018-2019 vừa qua minh chứng rõ nét - Điềm đề tài sáng kiến: Một tốn tìm cực trị chúng tơi phân tích nhiều góc độ, sâu chuỗi kiện theo nhiều chiều khác nhau, từ chúng tơi đặt nhiều lời giải cho tốn Với cách làm đó, chúng tơi góp phần làm đổi phương pháp dạy học theo hướng tích cực hóa hoạt động nhận thức học sinh, từ giúp học sinh hình thành lực cho thân vận dụng kiến thức vào thực tiễn Đặc biệt qua ví dụ trên, chúng tơi mong muốn giúp học sinh có tư giải vấn đề theo nhiều chiều Và với đường khác nhau, cho kết kết thu đáng trân trọng NỘI DUNG CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ THUYẾT 1.1 Phương pháp tìm cực trị 1.1.1 Khái niệm chung phương pháp tìm cực trị Phương pháp tìm cực trị phương pháp khảo sát cực đại, cực tiểu, giới hạn phía: cực trị trái, cực trị phải, đồng thời dựa vào phân tích, suy luận khoa học, đưa dự đoán dẫn dắt đến kết luận Trong số phân tích q trình Vật lí, phương pháp cực trị có tác dụng đặc biệt, nâng cao hiệu suất giải đề, biến vấn đề khó thành dễ, vấn đề phức tạp thành đơn giản, cách suy nghĩ linh hoạt phán đoán chuẩn xác Vì u cầu khơng có lực tư logic chặt chẽ mà có lực tưởng tượng phong phú, từ thu kết cao dùng phương pháp 1.1.2 Kinh nghiệm học sinh giải toán cực trị Khi tốn Vật lí u cầu tìm cực trị (cực đại cực tiểu) đại lượng Vật lí, bạn học sinh thường nghĩ đến dùng đạo hàm, cụ thể lấy đạo hàm đại lượng cho Việc biết tính thành thạo đạo hàm tất nhiên có lợi, điều có học sinh lớp cuối cấp THPT, học sinh lớp hay gặp tốn tìm cực trị, đặc biệt kì thi học sinh giỏi, mà họ thường chưa học đạo hàm Hơn nữa, lời giải dùng đạo hàm đơn giản đẹp 1.2 Các phương pháp tìm cực trị 1.2.1 Phương pháp cực trị từ điểm đến đường thẳng Khoảng cách cực tiểu từ điểm đến đường thẳng đoạn vuông góc hạ từ điểm xuống đường thẳng 1.2.2 Khảo sát tam thức bậc hai Có thể sử dụng cơng thức có sẵn đỉnh parabol, tìm nghiệm tam thức (đỉnh parabol nằm hai nghiệm này) y = f(x) = ax2 + bx + c + a > ymin đỉnh Parapol + a < ymax đỉnh Parapol + Tọa độ đỉnh: x = - b −∆ ; y= 2a 4a (∆ = b2 - 4ac) + Nếu ∆ = phương trình y = ax2 + bx + c = có nghiệm kép + Nếu ∆ > phương trình có hai nghiệm phân biệt 1.2.3 Sử dụng biến đổi lượng giác cực trị hàm lượng giác Ví dụ, hàm khảo sát dẫn tới hàm số sin biến góc, cực đại đạt sin Một ví dụ quen thuộc tầm bay vật ném lên góc so với phương ngang biểu diễn qua sin góc nhân đơi (cosα)max = ⇔ α = 00 ⇔ α = 900 (sinα) max = 1.2.4 Sử dụng bất đẳng thức Cơsi Trong chương trình tốn trường phổ thơng, ta biết bất đẳng thức (BĐT) Cô si: a + b ≥ ab hay a+b ≥ ab Tức trung bình cộng hai số khơng âm a b khơng nhỏ trung bình nhân chúng, dấu xảy a = b Một số hệ BĐT hữu ích giải số tốn Vật lý Đó là: + Hai số khơng âm có tổng khơng đổi tích chúng có giá trị lớn hai số + Tích hai số khơng âm có giá trị khơng đổi tổng chúng có giá trị nhỏ chúng 1.2.5 Chuyển tới hệ quy chiếu (HQC) khác Trong HQC việc tìm cực trị dễ nhiều 1.2.6 Sử dụng phương pháp đồ thị Khi đó, việc tìm cực trị quy phép dựng hình đơn giản Thường phương pháp sử dụng với phương pháp chuyển HQC 1.2.7 Sử dụng đại lượng cần khảo sát tham số phương trình Nếu khảo sát cực tiểu (hoặc cực đại) hàm y(x), giá trị cực tiểu tương ứng với giá trị x; giá trị y > y tương ứng với hai giá trị x; y < ymin phương trình x khơng có nghiệm, đồng thời hàm y(x) có dạng phức tạp 1.2.8 Phương pháp biến thiên nhỏ Với biến thiên nhỏ tham số, độ biến thiên đại lượng cần khảo sát phải (ở bậc nhỏ thứ nhất) 1.2.9 Sử dụng đạo hàm ẩn có ý nghĩa Vật lý Ví dụ, cực trị tọa độ đạt hình chiếu vận tốc 0; cực trị vận tốc đạt gia tốc 0; cực trị điện tích đạt dòng điện 1.2.10 Phương pháp sử dụng đạo hàm khảo sát hàm số Cho hàm số biến số thực y = f(x) xác định khoảng (a;b) Xét giá trị xo ∈ (a;b) giá trị x (a;b), x xo Đặt Δx = x − x0 x = x0 + Δx Δx gọi số gia đối số Đặt Δy = f(x) – f(x0) Δy gọi số gia hàm số Xét tỷ số ∆y : Δx → 0, tỷ số dần tới giới hạn giới hạn gọi ∆x đạo hàm hàm số y = f(x) điểm x0 kí hiệu f’(x) f ( x + ∆x ) − f ( x ) ∆x → ∆x f ' ( x ) = lim Giá trị f’(x) thể tốc độ biến đổi hàm f(x) theo tăng dần biến số x gần sát điểm x xét Cụ thể: - Nếu f’(x) > 0: hàm số f(x) tăng hay f(x) đồng biến x Nếu f’(x) < 0: hàm số f(x) giảm hay f(x) nghịch biến x Nếu f’(x) = 0: hàm số f(x) không tăng giảm hay f(x) đạt cực trị x Như vậy, đại lượng Vật lý phụ thuộc vào thời gian theo hàm số f(t) đạo hàm f’(t) theo thời gian cho biết tốc độ biến thiên đại lượng Nếu đạo hàm f’(t) có giá trị giá trị đại lượng f(t) đạt cực trị đại lượng số Đây ý nghĩa Vật lí đạo hàm CHƯƠNG II: GIẢI BÀI TỐN VẬT LÍ BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ 2.1 Tính ưu việt phương pháp tìm cực trị Các tốn tìm cực trị Vật lí có độ phân hóa học sinh cao, đa phần phải vận dụng tổng hợp kiến thức để giải Vì u cầu học sinh khơng có lực tư logic chặt chẽ mà có lực tưởng tượng phong phú Việc vận dụng phương pháp tìm cực trị thường theo bước sau: - Bước 1: Sâu chuỗi kiện, từ phải xác định đại lượng biến đại lượng hàm - Bước 2: Thiết lập quy luật quan hệ hàm theo biến - Bước 3: Tùy vào dạng biểu thức toán học thiết lập được, dựa vào kinh nghiệm khả toán học chọn giải pháp tìm cực trị, tìm ẩn tốn Dưới số ví dụ minh họa Ví dụ Một vật sáng AB hình mũi tên đặt song song B với EL hình bên Khoảng cách AB E E làAL Giữa AB E có thấu kính hội tụ tiêu cự f = 20cm Tịnh tiến thấu kính dọc theo trục AE người ta thấy có hai vị trí thấu kính cho ảnh rõ nét AB Tìm điều kiện L để tốn thỏa mãn Hướng dẫn giải Nguồn sáng S cho ảnh thật d’ > Giải pháp Ứng dụng bất đẳng thức Cơsi Theo BĐT Cơsi ta có: L = d + d ' ≥ d d ' Hay: d + d' ≥ d d ' = f Suy ra: L ≥ f d + d' Vậy Lmin = 4f = 80(cm) d = d’= 40(cm) Giải pháp Ứng dụng tính chất hàm số bậc L = d + d' = d + df ⇒ d − Ld + Lf = d−f ∆ = L2 − 4Lf Để có hai vị trí thấu kính cho ảnh rõ nét AB màn, pt phải có nghiệm => Δ ≥ => L ≥ 4f Vậy Lmin = 4f = 80(cm) d = d’= 40(cm) Giải pháp Ứng dụng đạo hàm L = d + d′ = d + Sử dụng đạo hàm: L ′ = (d + df d− f df f2 )′ = − d− f (d − f ) Cho L ′ = ⇒ d = f Vậy Lmin = f = 80cm Ví dụ Cho mạch điện hình vẽ: ξ = 12V, r = Ω , E, r R biến trở.Tìm giá trị R để cơng suất mạch R ngồi đạt giá trị cực đại Hướng dẫn giải Giải pháp - Ứng dụng bất đẳng thức Côsi - Công suất: P = I2.R = ⇔ P= ξ2 R ( R + r )2 ξ2 ξ2 = ξ R = r ( R + r )2 R + 2r + R + 2rR + r R R 2 Đặt y = ( R + r ξ2 )⇒P= R y Nhận xét: Để Pma x ⇔ ymin Theo bất đẳng thức Cơsi: Tích hai số không đổi, tổng nhỏ hai số => ymin ⇔ R = (Ω) Pmax = Giải pháp Ứng dụng tính chất hàm số bậc ξ2 ξ 122 = = = 9(W ) r + 2r + r 4r 4.4 ξ2 R - Công suất: P = I R = ( R + r )2 PR + (2 Pr − E ) + Pr = - Điều kiện phương trình có nghiệm: ∆ ≥ ⇒P≤ ξ2 ξ2 ⇒ Pmax = = 9W R = r 4r 4r Giải pháp - Cơng suất mạch ngồi tính: Ứng dụng tính chất P = ξI − I r ⇒ I r − ξI + P = hàm số bậc -Điều kiện phương trình có nghiệm: ∆ ≥ ξ2 ξ2 ⇒P≤ ⇒ Pmax = = 9W 4r 4r - Ta có: Giải pháp Ứng dụng đạo hàm ξ2 ξ 2R = ⇒R=r 4r ( R + r ) ξ2 R -Công suất: P = I R = ( R + r )2 -Sử dụng đạo hàm: P′ = ξr − ξ R =0 ( R + Rr + r ) r ⇒ R=r=4 R R = r ⇒ Pmax = -Ta có: ξ2 = 9W 4r Ví dụ Hãy xác định áp suất lớn n mol khí lý tưởng thực q trình diễn theo quy luật T = T0 (1 – V0 ), T0 , V0 số dương biết V V > V0 Hướng dẫn giải - Phương trình Cla-pê-rơn – Men-đe-lê-ép dạng: Giải pháp Ứng dụng tính chất P= hàm số bậc νRT V -Kết hợp với đầu bài: P = νRT0 V (1 − ) V V -Ta có: PV − νRT0V + νRT0V0 = -Điều kiện phương trình có nghiệm: ∆ ≥ νRT0 4V0 νRT0 V V P= (1 − ) = νRT0 ( − 02 ) V V V V ⇒ Pmax = Giải pháp Ứng dụng đạo hàm -Sử dụng đạo hàm: P ′ = νRT0 ( - Ta có: V = 2V0 ⇒ Pmax = − 2VV0 + )=0 V2 V4 νRT0 4V0 Ví dụ Một bình hình trụ chứa đầy nước đến độ cao h Hỏi cần phải khoét lỗ nhỏ thành bên độ cao để tầm bay dòng nước cực đại? Hướng dẫn giải -Nếu lỗ độ cao x, khoảng cách đến mức nước là: Giải pháp h–x -Từ định luật bảo toàn lượng, tốc độ phóng dòng Ứng dụng bất đẳng thức Côsi nước lỗ bằng: v = g (h − x) (cơng thức Torrichelli) -Khi cơng thức tầm bay là: 2x = x(h − x) g l = vt = g (h − x) -Theo bất đẳng thức Côsi: h2 h2 h x(h − x) ≤ ⇒ ( x(h − x)) max = ⇔ x = 4 Giải pháp Ứng dụng tính chất hàm số bậc Giải pháp Ứng dụng đạo hàm 2x = x (h − x) = hx − x g l = vt = g (h − x ) x= lmax =h h lmax = h -Đặt y = hx − x -Sử đụng đạo hàm: y ′ = h − x = ⇒ x = -Ta có y max = h2 ⇒ y max = h h lmax = h Ví dụ Một xe ô tô tới gần điểm A với tốc độ v1 = 80m/s Tại thời điểm phải L = 10km nữa, từ A xe tải theo phương vng góc với tốc độ v2 = 60m/s Hỏi khoảng cách ngắn xe ô tô xe tải bao nhiêu? Hướng dẫn giải - Sự phụ thuộc khoảng cách ( mà bình phương Giải pháp Ứng dụng đạo hàm khoảng cách) ô tô xe tải vào thời gian có dạng: s = ( L − v1t ) + (v2 t ) = (v12 + v22 )t − Lv1t + L2 - Sử dụng đạo hàm Lấy đạo hàm cho 0, ta y ′ = (v12 + v 22 )t − Lv1t + L2 )′ = t= Lv1 v + v 22 s = Lv v12 + v 22 = 6km ( L − v1t ) + (v2 t ) = (v12 + v22 )t − Lv1t + L2 − s = Giải pháp Ứng dụng tính chất hàm số bậc 10 Vận tốc gọi vận tốc vũ trụ cấp hay vận tốc thoát vệ tinh khỏi ảnh hưởng trọng trường bay vào vũ trụ Bài Một bán cầu đồng chất, trọng lượng P, bán kính R Trọng tâm điểm C tâm O có OC = 3R Bán cầu đặt mặt phẳng ngang, mặt phẳng bán cầu có đặt vật nhỏ với trọng lượng P Hệ số ma sát trượt vật nửa khối cầu µ =0,2 Để vật nhỏ khơng trượt mặt phẳng bán cầu phải đặt vật cách tâm O khoảng tối đa bao nhiêu? θ O x C Hướng dẫn giải P - Dựa điều kiện cân momen lực đặt vật xa tâm O độ nghiêng mặt phẳng bán cầu cáng lớn Tuy nhiên để hệ thống trì đứng yên tương đối góc nghiêng θ có giá trị định - Gọi x khoảng cách từ vật đến tâm O đủ để vật không trượt, chọn điểm tiếp xúc mặt đất với bán cầu làm trục quay Từ điều kiện cân momen ta có: P 3R P sin θ = x cosθ 8 Từ tìm được: x = 8Rtanθ ( thấy x θ đồng biến) Tình trạng giới hạn tình trạng ứng với vật chịu lực ma sát lớn (lực ma sát nghỉ cực đại), tức là: tanθmax = fm = µ = 0,2 N Do x = 3µR = 0,6R Bài Có thẳng, cứng, đồng chất, khối lượng m= 50 kg đặt thẳng đứng mặt đất Hệ số ma sát mặt đất µ =0,3 Đầu giữ sợi dây cố định mặt đất Góc dây θ = 300 64 a Nếu dùng lực F theo phương nằm ngang tác dụng vào thanh, khoảng cách từ điểm tác dụng đến mặt đất h1 = 2L (L chiều dài thanh), để khơng bị đổ lực F có độ lớn khơng vượt q giá trị nào? b Nếu điểm tác dụng cách mặt đất khoảng h2 = 4L tượng xảy nào? T P F L h Hướng dẫn giải - Thanh không bị đổ xem xét theo hai mặt: Lực ma sát nghỉ mặt đất đạt đến giá trị giới hạn trước bị đổ - Độ lớn lực tác dụng có liên quan đến độ cao h điểm đặt - Xem xét mối liên quan lực tác dụng h vấn đề then chốt đề Thanh chịu tác dụng lực biểu diễn hình b Từ điều kiện cân ta có hệ phương trình (trục quay qua đầu thanh): θ Fms F – Tsinθ – f = N – Tcosθ – mg = F(L – h) – fL = T F P N Hình b ) Từ phương trình ta thấy, F tăng f tăng f tăng tới giá trị tối đa lực ma sát nghỉ cực đại vừa trượt đổ, lúc f thỏa mãn: f = µN Thay f vào phương trình giải ta được: Fmax = mgL tan θ tan θ ( L − h) −h µ Từ cơng thức cho thấy ( L − h) tan θ − h → Fmax → ∞ , tức h = h0 = 0,66L µ lực F khơng hạn chế 65 2L < h0 thay số vào cơng thức ta tìm Fmax = 385 N 4L b Khi h = h2 = > h0 F có giá trị không trượt đổ Loại a Khi h = h1 = tượng gọi tượng tự khóa Bài Trong huấn luyện quân sự, người chiến sĩ cách tường khoảng s bắt đầu nhảy với vận tốc v0 hướng phía tường (hình vẽ) Khi tới sát tường, đạp vào mặt tường lần làm cho toàn thân bật lên thẳng đứng Hệ số ma sát mặt tường đế giày µ Hỏi để trọng tâm người lên đến độ cao lớn góc nhảy θ phải bao nhiêu? V0 S Hướng dẫn giải - Tổng mức nâng trọng tâm thân người lên cao gồm hai phần: phần độ cao nâng lên nhờ chuyển động ném xiên, phần độ cao nâng lên chân người đạp vào tường - Người thực chuyển động ném xiên lên (hình bên) vx = v0cosθ ; vy = v0sinθ – gt - Trọng tâm nâng cao lên đoạn : S H t = S tan θ − g ( )2 v0 cosθ - Khi chân đạp vào tường nhờ xung lượng lực ma sát nghỉ cực đưa người nâng lên: ∆(mv y ) = m∆v y = ∑ f (t )∆t = ∑ µN (t )∆t = µ ∑ N (t )∆t Vì ∑ N (t )∆t = mv x nên ∆vy = µvx y Vì sau người đạp chân vào tường, trọng tâm nâng lên theoBphương vận tốc hướng lên Vận tốc người sau đạp chân vào tường là: V0 x 66 S v/y = vy + ∆vy = vy + µvx phần tiếp tục nâng cao lên H = v y/ 2g tổng độ cao trọng tâm người : H = H1 + H = Khi tan θ = v02 ( µ cosθ + sin θ ) − µS 2g tổng độ cao trọng tâm người lớn µ Bài 10 Một xe nhỏ khối lượng M, sàn phẳng, chạy thẳng đường nằm ngang trơn nhẵn với vận tốc v Thả nhẹ vật nhỏ khối lượng m xuống sát cạnh trước sàn xe (hình vẽ) Biết hệ số ma sát trượt sàn xe vật µ a Để vật khơng rơi phía sau xe độ dài tối thiểu sàn xe bao nhiêu? b Nếu chiều dài xe phù hợp câu a tồn q trình cơng lực ma sát bao nhiêu? v0 Hướng dẫn giải - Khi thả vật nhẹ m xuống sàn xe vật m trượt sàn xe, để vật m không trượt khỏi sàn xe sau khoảng thời gian hai vật phải có vận tốc đến độ dịch chuyển vị trí vật so với xe đạt cực đại - Độ dài tối thiểu sàn xe phải độ dịch chuyển vật không trượt khỏi sàn xe - Gọi chiều dài tối thiểu sàn xe l Theo định luật bảo toàn động lượng Mv0 = ( M + m)v 2 - Theo định lí động : mgµl = Mv02 − ( M + m)v Suy : l = Và công lực ma sát : A = −mgµl = − Mv02 2( M + m) gµ Mmv02 2( M + m) B Bài 11 Một thang đồng chất có chiều dài AB = l = 2,7m, trọng lượng P Đầu A thang tựa vào sàn nhà nằm ngang, đầu B G 67 α A thang tựa vào tường thẳng đứng Khối tâm G thang cách đầu A đoạn 0,9m Thang cân vị trí hợp với sàn nhà góc α = 600 hình vẽ Gọi µ hệ số ma sát thang với sàn, bỏ qua ma sát thang tường Tìm giá trị nhỏ µ để thang chưa bị trượt Cho µ = 0,32 Một người có trọng lượng P1 = 3P trèo lên thang Hỏi người trèo đoạn tối đa (so với đầu A) để thang chưa bị trượt Hướng dẫn giải Chọn hệ trục tọa độ x’Oy’ hình vẽ - Điều kiện cân lực cho thang: r r r r P + N B + N A + FmsA = Chiếu lên trục Oy’, ta có: NA = P (1) y’ Chiếu lên trục Ox’, ta có: N B = FmsA (2) B Chọn trục quay A, theo quy tắc mơ men lực, ta có : r r M(P) = M(N B ) AB cosα = N B AB.sin α; ⇒ N B = P.cot α 3 Từ (2) (3), ta có: FmsA = N B = P.cot α ⇔ P ur NB G (3) ur NA r α u rA FmsAP Để thang khơng bị trượt : FmsA ≤ µ.N A ⇔ P.cot α ≤ µ.P 1 ⇒ µ ≥ cot α ⇒µ = cot α 3 Vậy, giá trị nhỏ hệ số ma sát là: µ = 0,192 Chọn hệ trục tọa độ xOy hình vẽ Gọi khoảng cách từ vị trí người đến A x r r r r r Do nằm cân bằng, ta có: P + P1 + N B + N A + FmsA = Chiếu lên trục Oy’, ta có: NA = P + P1 (1) Chiếu lên trục Ox’, ta có: N B − FmsA = ; ⇒ N B = FmsA (2’) 68 x’ r r r Chọn trục quay A, theo quy tắc mơ men lực, ta có : M(P) + M(P1 ) = M(N B ) ⇔ P y’u r AB cosα + P1.x.cosα = N B AB.sin α x ⇒ N B = P.cot α + P1 .cot α l B (3') u r G ur P1 N A r α u rA FmsAP x Từ (2’) (3’), ta có: FmsA = N B = P.cot α + P1 .cot α l Để thang khơng bị trượt : FmsA ≤ µ.N A ⇔ ⇒ x ≤l( x’ x P.cot α + P1 .cot α ≤ µ(P + P1 ) l 3µ(P + P1 ).tan α − P ) 3.P1 ⇒ x max = NB ⇔ x≤ l (12µ tan α − 1) ; l (12µ tan α − 1) ; 1,695m Vậy người trèo tối đa đoạn 1,695m Bài 12 Người ta phóng vật từ lên theo ván nghiêng với vận tốc nhỏ đủ để vật lên tới mép ván Hỏi với góc nghiêng ván thời gian chuyển động vật nhỏ nhất? Tính thời gian Biết hệ số ma sát vật ván µ = 0,75, chiều dài ván l = 4m Hướng dẫn giải Chọn Oxy có Ox hướng theo gia tốc, Oy theo phản lực pháp tuyến Mgsinα + Fms = ma N – mgcosα = Fms = µN y Ta tìm a = g (sinα + µcosα ) N v Kết hợp với công thức động học : = v0 – at at l = v0 t − 2l Ta khử v0 tìm t = a 69 x a Fms α P Như để t nhỏ gia tốc a vật phải lớn Tìm cực đại a : µ sin α + µ cosα = + µ sin α + cos α = + µ sin(α + β ) 1+ µ 1+ µ với β = arccos( 1+ µ ) cực đại biểu thức + µ , đạt sin(α+β) =1 gia tốc cực đại amax = g + µ 2l 2l = 0,8s thời gian cực tiểu t = a = g 1+ µ max Bài 13 Chiếu tia sáng tới mặt bên lăng kính tam giác vng góc tới 45 Để khơng có tia ló mặt bên chiết suất nhỏ lăng kính bao nhiêu? Hướng dẫn giải Để có tia ló phải khơng xảy tượng phản xạ tồn phần mặt thứ sin igh = n2 1 = ; r2 ≥ igh → sin r2 ≥ ( 1) n1 n n r1 + r2 = 900 sin 450 → cosr2 = = ( 2) n n sin i = nsinr1 ( 1) ( ) → − 1 ≥ → ≤1 2n n 2n → n2 ≤ 3 →n≤ 2 Bài 14 Một có khối lượng m chiều dài l gắn đầu vào lề Treo ròng rọc nằm trục thẳng đứng qua lề cách lề đoạn H Buộc đầu vào sợi dây vắt qua ròng rọc Tìm khối lượng nhỏ cần buộc vào đầu dây nằm cân bền mặt phẳng thẳng đứng a1 a2 M H l Hướng dẫn giải m 70 α Hình 1.10 Chọn mốc lề l - Thế hệ : U = mg sinα + Mg(H – a2) Trong a2 chiều dài đoạn dây bên trái ròng rọc Chiều dài đoạn dây bên phải ròng rọc : a1 = H + l −2 Hl sin α (bỏ qua kích thước ròng rọc) Gọi a = a1 + a2 chiều dài dây U= mgl sin α + Mg ( H − a + H + l − Hl sin α ) Vì vị trí cân bền nên đạo hàm U theo sinα phải 0, ta có : dU mgl Hl = − Mg =0 d(sinα ) H + l − Hl sin α 2MH H +l − ÷ m ⇒ sin α = ≤1 HL H −l ⇒M ≥ m 2H 2 Bài 15 Một người khối lượng m đứng đầu xe trượt có khối lượng M chiều dài L Người phải nhảy với vận tốc nhỏ theo hướng để đến đầu m xe trượt nếu: M a) Xe trượt giữ chặt b) Xe trượt thả tự mặt băng Hướng dẫn giải a) Chọn hệ trục toạ độ hình vẽ, gốc toạ độ vị trí ban đầu người nhảy Phương trình chuyển động người theo trục tọa độ là: x = v0 cos α t ; y = v0 sin α t − gt 2 Khi y = ⇒ t1 = 0; t = 2v0 sin α g Để người nhảy đến cuối xe trượt thì: 71 x = v0 cos α t2 = L ⇔ v0 = gL sin 2α Hay : v0 = vmin = gL ⇔ sin 2α = ⇒ α = 45° Vậy người phải nhảy với vận tốc nhỏ gL với góc nhảy hợp với xe trượt góc α = 45° v0 x = vmin cos 45° = gL v0 y = vmin sin 45° = gL (1) b) Động lượng hệ theo phương ngang bảo toàn xe trượt thả tự do, vận tốc theo phương ngang người v1, xe v2 phải thoả mãn: mv1 + Mv2 = ⇔ v2 = − m v1 M Trong hệ quy chiếu gắn với xe, vận tốc người theo phương ngang người là: vx = v1 − v2 hay vx = m+M v1 (2) M Trong hệ quy chiếu này, hình chiếu vận tốc người thoả mãn điều kiện (1) câu a Thay (1) vào (2): v1 = M gL M +m Vậy vận tốc cực tiểu người hệ quy chiếu gắn với đất: vmin = v12 + v 2y = gL M2 ( M + m) Góc nhảy α người thoả mãn: tan α = vy v1 = +1 m+M M A Bài 16 Một kiến bám vào đầu B cứng mảnh AB có chiều dài L dựng đứng cạnh tường thẳng đứng Vào thời điểm mà đầu B bắt đầu chuyển động sang phải với vận tốc không đổi v theo sàn ngang kiến bắt đầu bò dọc theo 72 B với vận tốc không đổi u Trong q trình bò thanh, kiến đạt độ cao cực đại sàn? Cho đầu A ln tì lên sàn thẳng đứng Hướng dẫn giải Khi B di chuyển đoạn s = v.t kiến đoạn l = u.t L2 − v 2t Độ cao mà kiến đạt được: h = l sin α = ut sin α với sin α = L ⇒h= u 22 u L t − v t = y L L Với y = L2t − v t Đặt X = t2 ⇒ y = −v X + L X Nhận xét: hmax ⇔ ymax y tam thức bậc hai có a = - v2 < ⇒ ymax đỉnh Parabol ⇒ ymax = − ⇒ ymax r u ∆ L L ⇒ ymax = − = 2 4a 4(−v ) 4v 4 h L4 b L2 = X = − = 4v a 2v B Vây độ cao mà kiến đạt : hmax = u u.L ymax = L 2v r Bài 17 Vật m1 chuyển động với vận tốc v1 A đồng thời va chạm với vật m2 v1' r' v nằm yên Sau va chạm, m1 có vận tốc Hãy xác định tỉ số m1 để góc lệch v1 r r α v1 v1' lớn α max Cho m1 > m2, va chạm đàn hồi hệ xem hệ kín Hướng dẫn giải r r r * Động lượng hệ trước va chạm: PT = P1 = m1v1 r r r r r * Động lượng hệ sau va chạm : PS = P1' + P '2 = m1v1' + m2v 2' r r r r p1 Vì hệ kín nên động lượng bảo tồn PS = PT = P1 r ps r r r r Gọi α = (v1 , v1' ) = ( P1 , PS ) '2 '2 Ta có: P2 = P1 + P1 − P1 P2 cos α (1) r p2 Mặt khác, va chạm đàn hồi nên động bảo toàn: 73 m12 v12 m12 v12 m22 v2 '2 P12 P1'2 P2 '2 m1v12 m1v1'2 m2 v2 '2 ⇔ = + ⇒ = + ⇔ = + 2m1 2m1 2m2 2m1 2m1 2m2 2 P12 − P1'2 P2'2 m1 '2 m2 ( P12 − P1'2 ) '2 '2 = ⇒ P1 − P1 = P2 ⇔ P2 = (2) 2m1 2m2 m2 m1 Từ (1) (2) ta suy ra: (1 − ⇔ (1 + m2 P1 m P' ) ' + (1 + ) = cos α m1 P1 m1 P1 m2 v1' m v ) + (1 − ) 1' = cos α m1 v1 m1 v1 m2 m2 v1' Đặt x = > ⇒ (1 + ).x + (1 − ) = cos α m1 m1 x v1 Để α max (cos α ) m m 1 Theo bất đẳng thức Côsi (cos α ) ⇔ (1 + ).x + (1 − ) m m x 1 Tích hai số không đổi, tổng nhỏ hai số m m ⇒ 1 + ÷.x = − ÷ m1 m1 x ⇔x= m1 − m2 m1 + m2 r v1' m1 − m2 r' m12 − m2 = Vậy góc lệch v1 v1 cực đại.Khi đó, cos α max = v1 m1 + m2 m1 Bài 18 Một mol khí lí tưởng thực q trình giãn nở từ trạng thái (P 0, V0) đến trạng thái (P0/2, 2V0) có đồ thị hệ toạ độ P-V hình vẽ Xác định nhiệt độ cực đại khối khí q trình Hướng dẫn giải Vì đồ thị P-V đoạn thẳng nên ta có: P = αV + β (1.1) α β hệ số phải tìm - Khi V = V0 P = P0 nên: P0 = αV0 + β (1.2) 74 - Khi V = 2V0 P = P0/2 nên: P0 /2 = 2αV0 + β (1.3) - Từ (1.2) (1.3) ta có: α = - P0 / 2V0 ; β = 3P0 / - Thay vào (1.1) ta có phương trình đoạn thẳng : P = 3P0 P - V 2V0 (1.4) - Mặt khác, phương trình trạng thái mol khí : PV = RT - Từ (1.4) (1.5) ta có : T = (1.5) 3V0 2V0 PP (1.6) R RP0 - T hàm bậc P nên đồ thị TOP phần parabol + P = P0 P = P0/2 T = T1 =T2 = P0 V0 ; R + T = P = P = 3P0/2 ′ = - Ta có : T(P) Khi P = 3V0 4V0 3P ′ =0 ⇔ P= P ⇒ T(P) R RP0 3P0 9V P nhiệt độ chất khí T = Tmax = 0 8R Bài 19 Có 20g khí hêli chứa xilanh đậy kín pittơng biến đổi chậm từ (1) → (2) theo đồ thị mơ tả hình bên Cho P (2) P2 V1=30lít; p1=5atm; V2=10lít; p2=15atm Hãy tìm nhiệt độ cao mà khí đạt q trình biến đổi Biết khối lượng mol hêli 4g/mol R= 0,082atm.l/mol.độ O Hướng dẫn giải Đoạn (1)-(2) có dạng đoạn thẳng nên có dạng: p=aV+b - Khi V1=30lít; p1=5atm ⇒ 5=a.30+b (a) - Khi V2=10lít; p1=15atm ⇒ 15=a.10+b (b) Từ (a) (b) ⇒ a= -1/2; b= 20 ⇒ pV = − Mà: pV = V2 + 20V (c) m 20 RT RT = = 5RT µ Từ (c) (d) ⇒ RT = − V2 + 20V (1) P1 (d) V 4V ⇒T = − + 10 R R 75 V2 V1 V T' = − Xét hàm T=f(V) 2V + 10 R R Khi T’=0 ⇒ V= 20lít V(l) T’ 10 30 20 + T - CĐ ⇒ V= 20lít Tmax ⇒ Tmax = − 202 4.20 + = 487,8K 10.0, 082 0, 082 Bài 20 Một chất điểm chuyển động với vận tốc v tới va chạm vào đầu A kim loại M, chiều dài l treo vào O đầu Coi va chạm đàn hồi Vận tốc chất điểm sau va chạm r v’ chuyển động phương chiều với v liên kết hoàn hảo a)v’ = ? ωt =? b) Góc lệch cực đại θ m khỏi phương thẳng đứng c) Sự mát động tương đối Q chuyển động theo tỉ số n = m , M Qmax? Hướng dẫn giải a Trong suốt trình va cham, monme ngoại lực tác dụng lên hệ “chất điểm + uuuuur r thanh” ( trục quay qua O) Nên L/ = const Ta có: Bảo toàn momen động lượng: mvl = mv’l + I ω mv Bảo tồn động năng: Mơmen qn tính thanh: ml(v - v’) = I ω ; 2 = m v ' + Iω 2 I = Ml m(v2 - v’2) = Iω 76 2 (1) (2) (3) ω = v + v' l ml(v - v’) = Ml ω Suy v’ = 3m − M v 3m + M (4) 6m v (5) 3m + M l ur r Sau va chạm v ' phương chiều với v nên ta có v’ ≥ ⇔ 3m ≥ M ω = ta tìm được: b Theo định luật bảo toàn năng: ⇒ sin2 θ m = I ω 2 gl ⇒ sin θ m = I ω = Mg l (1 − cosθ ) m 2 mv ÷ 3m + M gl = v M gl 3+ m c Sự mát lượng tương đối ω2 2 = Iω Q = mv mv 2 I Mà 12 Mm 12 = ⇒ Q = (3m + M )2 9m M + +6 m m 9m M m + ≥ = Dấu xảy = M M m Nên Qmax = 12 m =1⇔ = 6+6 M KẾT LUẬN Nội dung sáng kiến thực chất chuyên đề góp phần làm phong phú tài liệu bồi dưỡng học sinh có khiếu môn Vật lý ôn luyện thi THPT Quốc gia thi học sinh giỏi mơn Vật lí Trong chuyên đề này, xây dựng khái niệm phương pháp tìm cực trị giải tốn Vật lí, hệ thống tập giới thiệu có tính chọn lọc xếp có logic Điểm đề tài sáng kiến là, tốn tìm cực trị chúng tơi phân tích nhiều góc độ, sâu chuỗi kiện theo nhiều chiều khác nhau, từ chúng tơi đặt nhiều lời giải cho tốn Với cách làm đó, chúng tơi góp phần làm đổi phương pháp dạy học theo hướng tích cực hóa hoạt động nhận thức học sinh, từ giúp học sinh hình thành lực cho thân vận dụng kiến thức vào thực tiễn 77 Đặc biệt qua ví dụ trên, chúng tơi mong muốn giúp học sinh có tư giải vấn đề theo nhiều chiều Và với đường khác nhau, cho kết kết thu đáng trân trọng Tôi tin tưởng giáo án thực theo tiến trình kích thích học sinh hứng thú học tập Qua hy vọng em có lĩnh sáng tạo, đưa phương pháp hiệu đối mặt với toán lạ đề thi THPT Quốc gia đến Chuyên đề sử dụng giảng dạy cho em học sinh đội tuyển học sinh giỏi mơn Vật lí trường THPT Nguyễn Trãi tham dự kì thi học sinh giỏi mơn Vật lí tỉnh Gia Lai nhiều năm Chất lượng số lượng giải năm ổn định, kết đạt mang tính động viên tương đối cao Tôi tin rằng, nội dung chuyên đề thực bổ ích học sinh yêu thích mơn Vật lí nói chung học sinh đội tuyển bồi dưỡng học sinh giỏi môn Vật lí nói riêng Với thời gian có hạn, cộng với hạn chế thân nên chắn đề tài khơng thể tránh thiếu sót Rất mong nhận góp ý, trao đổi từ quý đồng nghiệp để chuyên đề có nội dung tốt An Khê, tháng năm 2019 Người viết Nguyễn Thanh Long Phan Thị Thanh Tuyền TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] David Halliday – Robert Resnick – Jearl Walker (2001), Cơ sở vật lí, NXB Giáo Dục [2] Dương Trọng Bái, Vũ Thanh Khiết (2013), Tài liệu giáo khoa chuyên Vật Lí , NXB Giáo Dục [3] Lương Duyên Bình (2002), Vật lí đại cương, NXB Giáo Dục [4] Vũ Thanh Khiết, Nguyễn Thế Khôi (2010), Chuyên đề bồi dưỡng Học sinh giỏi Vật Lí, NXB Giáo Dục [5] Vũ Thanh Khiết, Vũ Đình Túy (2002), Chuyên đề bồi dưỡng Học sinh giỏi Vật Lí, NXB Giáo Dục [6] Tạp chí Vật Lí Tuổi Trẻ 78 ... khoa học Nếu thi t kế phương pháp tìm cực trị giải tập vật lí sơ cấp sử dụng chúng vào dạy học nội dung ôn tập thi THPT Quốc gia ôn luyện học sinh giỏi môn Vật lí cách hợp lí góp phần làm đổi phương. .. vật lí sơ cấp vận dụng phương pháp vào dạy học ơn tập thi THPT Quốc gia ôn luyện học sinh giỏi mơn Vật lí - Ý nghĩa thực tiễn: Phương pháp cực trị giải tập vật lí sơ cấp sử dụng vào dạy học nội... f(t) đạt cực trị đại lượng số Đây ý nghĩa Vật lí đạo hàm CHƯƠNG II: GIẢI BÀI TỐN VẬT LÍ BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ 2.1 Tính ưu việt phương pháp tìm cực trị Các tốn tìm cực trị Vật lí có độ phân