1. Trang chủ
  2. » Luận Văn - Báo Cáo

Sáng kiến kinh nghiệm về hệ thức lượng ở trường THPT chuyên Bắc Giang.PDF

94 648 5

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 94
Dung lượng 760,93 KB

Nội dung

S GIÁO D C ðÀO T O T NH B C GIANG TRƯ NG THPT CHUYÊN B C GIANG L I THU H NG TR N TH HÀ PHƯƠNG NGUY N VĂN TI N H TH C LƯ NG TRONG CÁC HÌNH PH NG T : Tốn - Tin Năm h c: 2009 - 2010 Mã s : B c Giang, tháng năm 2010 M cl c M ñ u Trang Chương I Các d ng toán b n I.1 Các h th c ñư c phép s d ng tam giác (các h th c lo i I) I.1.1 H th c lư ng tam giác vuông I.1.2 H th c lư ng tam giác thư ng I.1.3 H th c lư ng hình khác I.2 Các phương pháp ch ng minh ñ ng th c tam giác M t s ñ ng th c thư ng g p tam giác (các ñ ng th c lo i II) 10 I.2.1 Phương pháp bi n ñ i m t v v v 10 I.2.2 Phương pháp bi n ñ i h qu 11 I.2.3 Phương pháp s d ng hình v 13 I.2.4 Các phương pháp khác 14 I.2.5 Bài t p rèn luy n 17 I.3 Các phương pháp ch ng minh b t ñ ng th c tam giác M t s b t ñ ng th c thư ng g p tam giác (các b t ñ ng th c lo i II) 18 I.3.1 Phương pháp ñánh giá 18 I.3.2 Phương pháp bi n ñ i h qu 20 I.3.2 Phương pháp s d ng vectơ 23 I.3.4 Phương pháp bi n ñ i tương ñương 26 I.3.5 Phương pháp s d ng tam th c b c hai 28 I.3.6 Các phương pháp khác 30 I.4 Bài toán nh n d ng tam giác 35 I.4.1 Bài toán 35 I.4.2 Bài toán 37 I.4.3 Bài toán 38 I.4.4 Bài toán 40 I.4.5 Phương pháp b t ñ ng th c gi i toán nh n d ng tam giác Chương II Phân lo i t p 41 45 II.1 M t s t p v ñi m tam giác 45 II.2 M t s t p v di n tích tam giác 49 II.3 M t s t p v ñư ng trung n c a tam giác 52 II.4 M t s t p v ñư ng cao c a tam giác 57 II.5 M t s t p v ñư ng phân giác c a tam giác 60 II.6 M t s t p v nh n d ng tam giác 65 II.7 M t s t p v ñ ng th c tam giác 77 II.8 M t s t p v b t ñ ng th c tam giác 78 II.9 M t s t p d ng khác 81 Chương III M t s ki n th c b sung cho h c sinh gi i 82 K t lu n 92 Tài li u tham kh o 93 M ñ u Các t p ph n toán tam giác t p thư ng g p kỳ thi ð i h c, thi h c sinh gi i c p T nh, c p Qu c gia Qu c t Tuy nhiên t p ph n thư ng gây khơng khó khăn cho h c sinh sách giáo khoa t p ph n không ñư c ñ c p nhi u M c ñích c a nh ng ngư i vi t chuyên ñ cung c p cho thày cô giáo em h c sinh ham thích h c toán m t h th ng lý thuy t t p tương ñ i ñ y ñ v d ng t p tam giác, ph c v cho vi c ôn luy n thi ð i h c luy n thi h c sinh gi i c p Bài t p ñư c phân lo i theo t ng ch ñ g m c ba lo i: d , v a, khó ho c r t khó R t ti c khn kh c a chun đ nên ch có m t s ví d đư c gi i m u Vi c gi i t p ñư c dành cho b n ñ c Trong chuyên ñ , m c đ khó d c a t ng t p khơng đư c ch c th không tránh kh i trư ng h p t p c a ph n có s trùng h p Chun đ g m 44 ví d 500 t p ñư c l y t nhi u ngu n khác Tuy nhiên, lư ng t p khơng th đư c đ y ñ mong mu n, l i không th quét h t d ng có th g p kỳ thi Chuyên ñ ñã ñư c chúng tơi s d ng đ d y cho l p chuyên Toán, Tin, Lý, Hoá c a Trư ng THPT chuyên B c Giang ñư c dùng ñ luy n thi ð i h c nhi u năm Ph n l n ki n th c ñư c s d ng ch ki n th c c a chương trình Tốn b c ph thơng (sau h c xong ph n hàm s lư ng giác SGK ðS & GT 11) M t s ki n th c b sung dành cho HSG ñư c trình bày cu i chun đ Trong chun đ khơng trình bày ph n lý thuy t c a phương pháp: Vectơ ; Bi n hình ; To ñ ; Hàm s ; Tâm t c Tr ng tâm h m có đưa m t s t p ñư c gi i b ng phương pháp Ph n lí thuy t c a phương pháp s ñư c trình bày k chun đ khác Sau ph n m ñ u, chuyên ñ g m chương: Chương I Các d ng toán b n Trong chương chúng tơi trình bày nh ng ki n th c giáo khoa, ñư c s d ng kì thi phân d ng t p v i phương pháp gi i tương ng Chương I ñư c dùng ñ d y l p tương ng v i ti t d y v i ñi u ki n h c sinh có tài li u Chương II Phân lo i t p Trong chương ñưa h th ng t p liên quan ñ n t ng d ng toán c th Chương II M t s ki n th c b sung cho h c sinh gi i Chương ñư c ñưa m t ph l c, b sung nh ng ki n th c quan tr ng c a hình h c tam giác mà thư ng g p kì thi h c sinh gi i Nh ng ki n th c c a chương ch dành cho h c sinh l p chuyên toán ho c h c sinh c a ñ i n thi h c sinh gi i qu c gia tham kh o Tài li u tham kh o ñư c cho trang cu i Do hi n có nhi u tài li u ph c v cho vi c nâng cao trình đ tốn h c luy n thi nên ch ñưa m t s tài li u quan tr ng nh t Trong trình s d ng chuyên ñ ñ d y h c, sau m i ph n lý thuy t giáo viên nên ch n l c t p t d ñ n khó đ trình bày cho h c sinh Các t p cịn l i đ luy n t p nhà Các ñ nh lý ñư c ñưa n u khơng có SGK nên đư c ch ng minh ñ y ñ l p Tuy nhiên, chun đ khơng th tránh kh i nh ng sai sót nh t đ nh R t mong nh n đư c s góp ý, b sung c a b n đ c đ có th t o đư c m t tài li u t t nh m ph c v cho vi c nâng cao trình ñ d y h c toán c a giáo viên h c sinh T nh B c Giang Các tác gi xin chân thành c m ơn B c giang, ngày 28 tháng 03 năm 2010 Chương I Các d ng toán b n I.1 Các h th c ñư c phép s d ng tam giác (các h th c lo i I) I.1.1 H th c lư ng tam giác vuông Trong tam giác vuông ABC, (C = 900) H CH ⊥ AB ; MA = MB (xem Hình 1) V i ký hi u quy c ta ln có A + B = 900 A sinA = M a c c = 2R sinB = b c mc = c = AB H m a c cosB = b' = AH CA =b a' = BH h a2 + b2 = c2 B C a = BC cosA = Hình 11.a2 = a'c b c 1 = 2+ h2 a c 10 S = c = R ab 13 h2 = a'b' 12.b2 = b'c (trong a' ; b' l n lư t hình chi u c a c nh vuông a ; b lên c nh huy n c, h ; mc tương ng ñư ng cao trung n k t C) 14 tan A = 17 cot B = a b a b 20 tan A = cot B 15 cot A = b a 16 tan B = 18 sinA = cosB 19 cosA = sinB 21 cot A = tan B b a 22 a ≤ c; b ≤ c (d u b ng x y ch tam giác suy bi n thành ño n th ng) Các h th c t đ n 22 cịn đư c g i u ki n c n (tính ch t) c a tam giác ABC vuông t i C Ngư c l i, n u tam giác ABC tho mãn m t h th c t đ n 13 tam giác ABC vng t i C Các h th c t ñ n 13 đư c g i u ki n ñ (d u hi u), ñi u ki n c n ñ ñ tam giác ABC vuông t i C, h th c xác đ nh d ng vng c a tam giác ð ch ng minh tam giác ABC vuông t i C ta ch c n ch ng minh r ng tho mãn m t h th c t ñ n 13 N u góc A, B nh n h th c t 14 ñ n 21 ñi u ki n đ đ tam giác ABC vng t i C Tương t ta có u ki n c n; ñi u ki n ñ ñ tam giác ABC vuông t i A ho c vuông t i B I.1.2 H th c lư ng tam giác thư ng Trong tam giác ABC b t kỳ V i ký hi u quy c ta ln có (1) A + B + C = π h qu • sin(A + B) = sinC • cos(A + B) = − cosC 2 2 • sin (A + B) = cos C • cos (A + B) = sin C • tan (A + B) = − tan C (C ≠ π) ↺ • cot (A + B) = − cot C • tan 1 (A + B) = cot C 2 • cot 1 (A + B) = tan C 2 Nhi u h th c tam giác có tính ch t hốn v vịng quanh "H th c v n ta hốn v vịng quanh ký hi u a, b, c (a → b → c → a) ho c A, B, C (A → B → C → A)" ð i v i h th c v y, thay vào vi c vi t c ba h th c, ta ch vi t m t h th c kèm theo kí hi u hốn v vịng quanh: ↺ Chú ý r ng ký hi u S; p; r khơng đ i qua phép hốn v vịng quanh (2) (ð nh lý hàm s sin) a = R sin A a b c  = = = R b = R sin B sin A sin B sin C c = R sin C  (3) (ð nh lý hàm s cosin) a2 = b2 + c2 − 2bc.cosA b2 + c − a2 cosA = 2bc (4) (5) ↺ ↺ Tam giác ABC có i) góc A nh n ch a2 < b2 + c2 ; ii) góc A vng ch a2 = b2 + c2 ; ↺ iii) góc A tù ch a2 > b2 + c2 (6) (7) a = bcosC + ccosB r = (p - a)tan (9) 1 A = (p - b)tan B = (p - c)tan C 2 = ptan (8) ↺ A ↺ Các cơng th c tính di n tích c a tam giác (xem Chương II m c 2) (10) Các tính ch t c a đư ng trung n tam giác (xem Chương II.3) (11) Các tính ch t c a đư ng cao tam giác (xem Chương II.4) (12) Các tính ch t c a ñư ng phân giác tam giác (xem Chương II.5) (13) < A, B, C < π (14) |b-c| ; p - b > ; p - c > ↺ B≥C ⇔ b≥c; (16) (B - C)(b - c) ≥ ; (B - C)(sinB - sinC) ≥ ; (B - C)(cosB - cosC) ≥ ; (b - c)(sinB - sinC) ≥ ; (17) ↺ (b - c)(cosB - cosC) ≥ ð nh lý v t s di n tích Cho hai đư ng th ng d ∆ c t t i O Trên d l y hai ñi m A ; B ≠ O, dt (OAB ) OA.OB = dt (OA ' B ') OA '.OB ' ∆ l y hai ñi m A' ; B' ≠ O Khi (18) ð nh lý Ceva (19) ð nh lý Menelaus (xem Chương III) (xem Chương III) (20) x, y, z ñ dài c nh c a m t tam giác ch  x > 0; y > 0; z > x + y > z   y + z > x  z + x > y  (21) N u x ≤ y ≤ z x, y, z ñ dài c nh c a m t tam giác ch x >   x + y > z 22 N u a + b + c = ba vectơ a , b , c có hai vectơ khơng c ng n t ba đo n th ng có ñ dài | a |, | b |, | c | có th d ng đư c m t tam giác (22) Trong tam giác ñ u c nh a có a a 3a a2 R= ;r= ;p= ;S= I.1.3 H th c lư ng hình khác Trong hình vng c nh a, đư ng chéo d, ta có d =a 2; R= a a ; r = ; S = a2; p = 2a 2 Trong l c giác ñ u c nh a v i đư ng chéo d, ta có a 3a d = 2a; R = a; R = ;S= ; p = 3a 2 Cho t giác ABCD l i Khi • A + B + C + D = 2π • ABCD n i ti p ch x y m t ñi u ki n sau i) A + C = π ho c B + D = π ho c A + C = B + D ii) PA⋅PD = PB⋅PC (P giao ñi m c a AD BC) iii) QA⋅QD = QB⋅QC (Q giao ñi m c a AB CD) iv) MA⋅MC = MB⋅MD (M giao ñi m c a AC BD) v) AC⋅.BD = AD⋅BC + AB⋅CD (ð nh lý Ptoleme) • ABCD ngo i ti p ch AB + CD = AD + BC Trong hình bình hành v i c nh a, b ñư ng chéo m, n G i α góc gi a c nh β góc gi a đư ng chéo Khi ta có • m2 + n2 = 2(a2 + b2) • S = absinα = Cho hình ch nh t v i c nh a, b, ñư ng chéo d Khi ñó ta có d= mnsinβ a2 + b2 ; R = a + b ; S = ab Cho đư ng trịn C tâm O, bán kính R, ký hi u C(O ; R) Khi đó, kí hi u ρ kho ng cách t O ñ n d, ta có • ðư ng th ng d ti p xúc v i C ch ρ = R ; • ðư ng th ng d khơng có m chung v i C ch ρ > R ; 8) Cho tam giác ABC nh n M ñi m b t kỳ thu c mi n c a tam giác G i x ; y ; z l n lư t kho ng cách t M ñ n c nh BC ; CA ; AB Ch ng minh r ng 9) Ch ng minh r ng a2 + b2 + c2 x+ y+ z≤ 2R ∑ cos( A , B ,C 10) Ch ng minh r ng A−B π ) ≤ ∑ cos ( A − ) 3 A , B ,C ∑ sin Asin2 A < ( ∑ sin A)( ∑ sin A) A, B ,C ∑ cos 11) A , B ,C A,B ,C A, B ,C A 3 A ≤ + ∑ cos A , B ,C π 12) {a, b, c } l p thành c p s c ng Ch ng minh r ng B ≤ 13) Trong m i tam giác ABC tìm tam giác làm cho bi u th c sau ñ t giá tr l n nh t 14) P= sin A + sin B + sin C A B C cos + cos + cos 2 Ch ng minh r ng ∏ (1 + A , B ,C A sin ) ≥ 27 2 15) Ch ng minh r ng cosAcosBcosC ≤ sin A sin B sin C 16) Ch ng minh r ng m t tam giác ABC ta ln có (1 − cosA)(1 − cosB)(1 − cosC) ≥ cosAcosBcosC 17) 18) Ch ng minh r ng Ch ng minh r ng a b c + + ≥ b+c−a c+a−b a+b−c ∑ A−B ≥ C sin cos A , B ,C 19) Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c 20) Tìm giá tr bé nh t c a bi u th c sin A + sin B + sin C M= cos2 A + cos B + cos C M= 79 2 + + + cos A + cos B − cos 2C 21) Ch ng minh r ng n u góc A, B, C tho mãn u ki n cos2A + cos2B + cos2C ≥ −1 sinA + sinB + sinC ≤ + 22) ∑ sin Ch ng minh r ng A , B ,C 23) A ≥ ∑ A , B ,C A cos Ch ng minh r ng n u tam giác ABC nh n (sinA)2sinB + (sinB)2sinC + (sinC)2sinA > B t đ ng th c cịn khơng n u tam giác ABC vuông 24) Ch ng minh r ng n u tam giác ABC nh n tan 8A + tan 8B + tan 8C ≥ 9tan 2Atan 2Btan 2C 25) Cho tam giác ABC có a ≥ b ≥ c di n tích = Ch ng minh r ng b≥ 26) Cho tam giác ABC G i D trung ñi m c a AB cịn E ; F m b t kỳ l n lư t thu c AC ; BC Ch ng minh r ng dt(DEF) ≤ dt(ADE) + dt(BDF) 27) Trong tam giác ABC có phân giác AD ; trung n BM ñư ng cao CH ñ ng quy Ch ng minh r ng ∠BAC > 450 R+r≥ S 28) Ch ng minh r ng 29) Ch ng minh r ng V i m i α ∈ R ; α ≥ ta ln có α R + (α + 1)r ≥ 30) 3α + S Cho tam giác ABC nh n P ñi m thu c mi n c a tam giác H PM ; PN ; PL l n lư t vng góc v i c nh AC ; AB ; BC Hãy tìm v trí c a m P cho f = BL2 + CM2 + AN2 nh nh t S ≤ R + r + 2max{ha ; hb ; hc} + max{ra ; rb ; rc} 31) Ch ng minh r ng 32) Ch ng minh r ng a2 ≤ b2 + c2 + R2 33) 1 4R Ch ng minh r ng + + ≥ 33 rb rc rabc(a + b + c) 80 II.9 Các t p d ng khác B 1) Các c nh góc c a tam giác ABC tho mãn cos cos C b+c A = + sin 2 a Hãy tính góc A c a tam giác ñó 2) Các góc c a tam giác ABC tho mãn sin2A + sin2B = sin C Bi t r ng góc A B nh n Hãy tính góc C 3) Tính góc c a tam giác ABC bi t r ng A + B = 2C a + b = 2c 4) Trên cung AB c a đư ng trịn ngo i ti p tam giác ñ u ABC l y ñi m M Bi t r ng MA = 1; MB = Tính MC 5) Xác đ nh góc c a tam giác ABC bi t cos A + cos B + cos C =   2 cos A + cos B + cos C ≥  6) Các góc c a tam giác ABC tho mãn ñi u ki n cosC(sinA + sinB) = sinCcos(A − B) Hãy tính cosA + cosB 7) Hãy tính góc c a tam giác ABC bi t b + c ≤ a   sin A + sin B + sin C = +  8) Hãy tính góc c a tam giác ABC bi t sin2A + sin2B + 2sinA.sinB = cos2C + 3cosC + 9) Xét xem m nh đ sau có khơng? " N u m t tam giác mà t ng kho ng cách t tâm đư ng trịn ngo i ti p ñ n ba c nh b ng 3R (R bán kính đư ng trịn ngo i ti p) tam giác tam giác ñ u 10) Cho tam giác ñ u ABC M m t m b t kỳ khơng gian Ch ng minh r ng t ño n MA ; MB ; MC ln d ng đư c m t tam giác 81 Chương III Các ki n th c b sung ð i v i h c sinh gi i c n b sung thêm m t s ki n th c sau ð nh lý Ceva (Italia 1647 - 1734) Cho tam giác ABC ba ñư ng th ng AA', BB', CC' xu t phát t ñ nh c a tam giác c t ñư ng th ng ch a c nh ñ i di n t i A', B', C' ñ u n m ba c nh c a tam giác ho c m t ba ñi m ñó n m m t c nh c a tam giác cịn hai m n m ph n kéo dài c a hai c nh l i ði u ki n c n ñ ñ AA', BB', CC' ñ ng quy ho c song song v i ta có h th c AB ' CA ' BC ' = (ði m ñ ng quy ñư c g i ñi m B 'C A' B C' A Ceva Các ñư ng AA', BB', CC' ñư c g i ñư ng th ng Ceva) Các ñư ng th ng đ ng quy đ c bi t • Ba ñư ng trung n ñ ng quy (T i tr ng tâm G c a tam giác) • Ba ñư ng phân giác ñ ng quy (T i tâm đ trịn n i ti p I c a tam giác) • Ba đư ng cao đ ng quy (T i tr c tâm H c a tam giác) • Ba ñư ng trung tr c ñ ng quy (T i tâm đ trịn ngo i ti p O c a tam giác) • ðư ng phân giác c a góc (A) hai đư ng phân giác ngồi c a hai góc (B C) đ ng quy (T i Ia tâm đư ng trịn bàng ti p v i c nh a c a tam giác ABC) (*) • Các đư ng th ng ñi qua ñ nh c a tam giác ti p ñi m c a c nh ñ i di n v i đư ng trịn n i ti p đ ng quy (T i m g i m Gergonne Pháp 1771 - 1859) • Các ñư ng th ng ñi qua ñ nh c a tam giác ti p ñi m c a c nh đ i di n v i đư ng trịn bàng ti p v i c nh đ ng quy (T i ñi m g i ñi m Nagel ð c 1821 - 1903) Trong m t tam giác ABC n u có ba đư ng th ng AA', BB', CC' ñ ng quy t i m t ñi m K n m tam giác 82 • AK AB ' AC ' = + KA ' B ' C C ' B • KA ' KB ' KC ' + + = vµ AA ' BB ' CC ' (ð nh lý Van Oben) AK BK CK + + = (ð nh lý Gergonne) AA ' BB ' CC ' ð nh lý Poncelet (Pháp 1788 - 1867) (M r ng c a ñ nh lý Ceva) Các ñư ng th ng n i ñ nh c a m t ña giác l i có s l c nh v i m t ñi m b t kỳ bên ña giác xác ñ nh c nh ñ i di n (mà ñư ng th ng ñó c t) nh ng đo n th ng mà tích c a nh ng đo n khơng có đ u mút chung b ng tích c a nh ng đo n l i ð nh lý Menelaus (Hi l p I - A.D.) Cho tam giác ABC ba ñi m A', B', C' ñư ng th ng ch a c nh BC, CA, AB cho ho c c ba ñi m A', B', C' ñ u n m ph n kéo dài c a ba c nh, ho c m t ba m n m ph n kéo dài c a m t c nh cịn hai m n m hai c nh c a tam giác ði u ki n c n ñ ñ A', B', C' th ng hàng ta có h th c AB' CA' BC ' = B'C A'B C 'A Các ñi m th ng hàng m t tam giác (t ð nh lý Menelaus) • Trong tam giác cân, trung m c a c nh ñáy; chân ñư ng phân giác c a m t góc đáy chân đư ng phân giác ngồi c a góc đáy ba m th ng hàng • Chân đư ng phân giác c a hai góc chân đư ng phân giác ngồi c a góc th ba ba m th ng hàng • Chân c a ba đư ng phân giác ngồi ba m th ng hàng • Hình chi u c a m t ñi m b t kỳ thu c ñư ng tròn ngo i ti p tam giác ABC lên c nh AB, BC, CA c a tam giác ba ñi m th ng hàng (ðư ng th ng qua ba m đư c g i ñư ng th ng Simson (Scotland 1867 - 1768)) 83 • O ; G ; H ba ñi m th ng hàng (ðư ng th ng qua ba ñi m đư c g i đư ng th ng Euler) ð nh lý Stewart (Scotland 1717 - 1785) Trong m t tam giác ABC n u ño n th ng AD = d chia c nh BC thành nh ng ño n BD = m ; CD = n ad2 = mb2 + nc2 − amn (H th c Stewart) ð nh lý Euler (Th y Sĩ 1707 - 1783) IO2 = R2 − 2Rr (H th c Euler) ð nh lý Leibniz (ð c 1646 - 1716) Cho P ñi m b t kỳ m t ph ng (ABC) Khi PA2 + PB2 + PC2 = GA2 + GB2 + GC2 + 3PG2 (H th c Leibniz) 10 ð nh lý Carnot (Pháp 1753 - 1823) Trong m t tam giác t ng kho ng cách t tâm ñư ng trịn ngo i ti p đ n c nh b ng t ng bán kính c a ñư ng tròn ngo i ti p n i ti p 11 ð nh lý Steiner - Lenmus (Steiner Th y Sĩ 1796 - 1863) Tam giác có hai phân giác b ng m t tam giác cân 12 ð nh lý Fagnano (Italia 1682 - 1766) Trong t t c tam giác n i ti p m t tam giác ABC cho trư c, tam giác tr c tâm (có ba đ nh chân ba đư ng cao) tam giác có chu vi nh nh t 13 Bài toán Napoleon (Pháp 1769 - 1821) N u c nh c a m t tam giác b t kỳ, v phía ngồi c a nó, ta d ng tam giác ñ u tâm c a tam giác ñ u ñ nh c a m t tam giác ñ u 14 ð nh lý Torricelli I (Italia 1608 - 1647) • N u c nh c a m t tam giác ABC b t kỳ, v phía ngồi c a nó, ta d ng tam giác đ u BCA'; CAB'; ABC' đư ng tròn ngo i ti p c a tam giác ñ u c t t i m t ñi m T (T ñư c g i ñi m Torricelli c a tam giác ABC) • N u A < 1200 T m c a tam giác ABC cho 84 ∠ATB = ∠BTC = ∠CTA = 1200 • N u A = 1200 T ≡ A • N u A > 1200 T m thu c mi n c a tam giác ABC cho ∠BTC = 1200, cịn ∠BTA = ∠CTA = 600 • AA'; BB'; CC' ñ ng quy t i T 15 ð nh lý Torricelli II N u tam giác ABC có góc l n nh t A ≤ 1200 M ñi m thu c m t ph ng (ABC) MA + MB + MC nh nh t ch M ≡ T 16 ðư ng tròn Euler Trong m t tam giác, trung ñi m c nh, chân ñư ng cao trung ñi m ño n th ng n i ñ nh c a tam giác v i tr c tâm ñi m n m m t ñư ng trịn (E) (ðư ng trịn đư c g i đư ng trịn chín m đư ng trịn Euler) 17 Các tính ch t c a đư ng trịn Euler • Tâm E c a ñư ng tròn Euler trung ñi m c a OH • ðư ng kính c a đư ng trịn Euler b ng bán kính R c a đư ng trịn ngo i ti p tam giác ABC • (E, R) = VH [(O, R)] • B n ñi m O, E, G, H th ng hàng (cùng thu c ñư ng th ng Euler) l p thành m t hàng m u hồ • EG = 1 R − (a2 + b + c ) GO = • Trung m đo n th ng n i ñ nh c a tam giácABC v i tr c tâm H c a đư c g i ba ñi m Euler c a tam giác ABC 18 ð nh lý Hamilton (Ai-len 1805 - 1865) Các tam giác ABC, ABH, BCH, ACH (H tr c tâm c a tam giác ABC) có đư ng tròn Euler chung 85 19 ð nh lý Feuerbach (ð c 1800 - 1834) Trong m t tam giác ñư ng tròn Euler ti p xúc v i ñư ng tròn n i ti p ti p xúc ngồi v i đư ng trịn bàng ti p 20 ð nh lý Morley (Anh 1860 - 1937) Trong m t tam giác ABC b t kỳ, giao ñi m X, Y, Z c a ñư ng chia ba góc k v i m i c nh ñ nh c a m t tam giác ñ u 21 ði m ñ ng c đư ng đ ng c • ð nh nghĩa +) Hai ñi m thu c m t c nh c a m t tam giác cách ñ u trung ñi m c a c nh ñó ñư c g i hai ñi m ñ ng c +) Hai ñư ng th ng n i m t ñ nh c a tam giác v i hai ñi m ñ ng c c nh ñ i di n ñư c g i hai đư ng th ng đ ng c • ð nh lý N u ba ñư ng th ng AA', BB', CC' c a m t tam giác ABC mà đ ng quy ba đư ng th ng ñ ng c c a chúng AA1, BB1, CC1 đ ng quy • ð nh lý N u m t cát n c t ba c nh c a m t tam giác ABC t i m A', B', C' m A1, B1, C1 ñ ng c v i chúng th ng hàng 22.ðư ng ñ ng giác ñi m ñ ng giác • ð nh nghĩa +) Hai ñư ng th ng xu t phát t m t ñ nh c a tam giác ABC ñ i x ng v i qua ñư ng phân giác c a góc đư c g i hai ñư ng th ng ñ ng giác (ñ i v i đư ng phân giác ho c ñ i v i hai c nh c a góc ñó) +) Hai ñi m ñư c g i ñ ng giác n u ñư ng th ng n i chúng v i m i ñ nh c a tam giác nh ng c p ñư ng ñ ng giác • ð nh lý N u chi u hai ñi m M, N hai ñư ng đ ng giác c a m t góc xu ng hai c nh c a góc t i m M1, M2 N1, N2 +) Tích kho ng cách t hai m đ n m t c nh b ng tích kho ng cách t hai m đ n c nh th hai T c MM1.NN1 = MM2.NN2 86 +) B n ñi m M1, M2, N1, N2 m t đư ng trịn +) ðư ng đ ng giác vng góc v i đư ng n i hình chi u c a m t m ñư ng ñ ng giác lên hai c nh c a góc T c AN ⊥ M1M2 AM ⊥ N1N2 • ð nh lý (ñ o) N u chi u hai ñi m M, N hai bên ñư ng phân giác c a m t góc xAy xu ng hai c nh c a góc t i m M1, M2 N1, N2 mà ta có đ ng th c MM1.NN1 = MM2.NN2 AM AN hai đư ng th ng ñ ng giác ñ i v i hai c nh c a góc xAy • ð nh lý (Steiner) T s gi a tích kho ng cách t m t ñ nh c a tam giác ñ n chân ñư ng ñ ng giác tích kho ng cách t đ nh ñ n chân ñư ng ñ ng giác nói b ng t s bình phương c nh k • ð nh lý N u ñư ng th ng AA', BB', CC' k t ñ nh c a tam giác ABC c t ñư ng th ng ch a c nh ñ i t i ba ñi m th ng hàng đư ng th ng đ ng giác v i chúng c t c nh tương ng t i ba m th ng hàng • ð nh lý Trong m t tam giác nh ng ñư ng th ng ñ ng giác v i m t b ba ñư ng th ng Ceva m t b ba đư ng th ng Ceva • ð nh lý Trong m t tam giác bán kính đư ng trịn ngo i ti p qua m t đ nh đ ng giác v i ñư ng cao c a tam giác h t ñ nh • Tính ch t c a m đ ng giác +) Tích kho ng cách t ñi m ñ ng giác ñ n m i c nh c a tam giác m t s khơng đ i 87 +) Hình chi u c a hai ñi m ñ ng giác c a m t tam giác lên c nh c a tam giác sáu ñi m n m m t đư ng trịn • ð nh lý Trong m t tam giác tích kho ng cách t tr c tâm t tâm đư ng trịn ngo i ti p tam giác ñ n m i c nh c a tam giác m t s không ñ i 23 ði m Broca • ð nh nghĩa ði m Ω n m tam giác ABC cho ∠ΩAB = ∠ ΩBC = ∠ ΩCA = ϕ ñư c g i ñi m Broca (th nh t) Góc ϕ đư c g i góc Broca • ð nh nghĩa Do ba đư ng th ng ΩA, ΩB, ΩC ñ ng quy (t i Ω) nên ba ñư ng th ng ñ ng giác v i ΩA, ΩB, ΩC ñ ng quy t i m t ñi m Ω' ði m Ω' ñư c g i ñi m Broca th hai • Cách d ng +) D ng ñi m Broca th nh t Ω giao ñi m c a ñư ng tròn Φ1 qua hai ñ nh A, C ti p xúc v i AB t i A v i đư ng trịn Φ2 qua hai đ nh A, B ti p xúc v i BC t i B +) D ng ñi m Broca th hai Ω' giao m c a đư ng trịn Φ3 qua hai ñ nh A, C ti p xúc v i BC t i C v i ñư ng trịn Φ4 qua hai đ nh A, B ti p xúc v i AC t i A 24 ðư ng đ i trung • ð nh nghĩa Trong m t tam giác ñư ng th ng ñ ng giác v i m t trung n ñư c g i đư ng đ i trung Thí d tam giác vng đư ng cao h xu ng c nh huy n m t ñư ng ñ i trung • ð nh lý ðư ng đ i trung chia c nh ñ i di n thành hai đo n t l v i bình phương c nh k 88 • ð nh lý (ð o) Trong tam giác ABC n u m t ñư ng th ng AN chia c nh BN c = AN m t đư ng ñ i trung NC b BC theo t l • ð nh lý ðư ng ñ i trung qu tích m có kho ng cách ñ n hai c nh c a m t tam giác t l v i c nh d ( P, AB ) AB = d ( P, AC) AC • ð nh lý Trong m t tam giác ñư ng ñ i trung ñ ng quy t i m t m (ði m ñư c g i ñi m Lemoine (Pháp 1840 - 1912).) • ð nh lý G i AS ñư ng ñ i trung h t ñ nh A Khi AS = bc 2(b + c2 ) − a 2 b +c 25 ðư ng đ i phân giác • ð nh nghĩa ðư ng th ng ñ ng c c a m t phân giác ñư c g i m t đ i phân giác • H qu +) ðư ng ñ i phân giác chia c nh ñ i di n theo t l ngh ch c a c nh k +) Các ñư ng ñ i phân giác c a m t tam giác c t t i m t ñi m ði m đư c g i tâm ñ i phân giác • ð nh lý ðư ng đ i phân giác qu tích ñi m mà kho ng cách ñ n hai c nh c a tam giác t l ngh ch v i bình phương c a c nh 26 ðư ng th ng [n] • ð nh nghĩa ðư ng th ng xu t phát t m t ñ nh c a tam giác chia c nh ñ i di n thành hai ño n t l v i lu th a b c n c a hai c nh k ñư c g i ñư ng th ng [n] (n ∈ Z) • Thí d +) Trung n ñư ng th ng [0] +) Phân giác ñư ng th ng [1] +) ðư ng ñ i trung ñư ng th ng [2] 89 +) ðư ng ñ i phân giác ñư ng th ng [- 1] • ð nh lý Ba ñư ng th ng [n] xu t phát t ñ nh c a m t tam giác ñ ng quy t i m t ñi m (ði m đư c g i m Kn) • ð nh lý Nh ng ñư ng th ng ñ ng giác v i m t b ba ñư ng th ng [n] ñ ng quy l p thành m t b ba ñư ng th ng ñ ng quy 27 Kho ng cách gi a ñi m ñ c bi t tam giác • OG = R2 − a2 + b2 + c2 9 R − (a2 + b + c ) • EG = (= OG) 9r − p + 2(a + b + c ) • IG = • OI2 = R2 - 2Rr • IaO2 = R2 + 2Rra • EI = (*) R - r • EIa = • GH = R + 2 R − (a + b + c ) (= OG) 3 • HA2 + HB2 + HC2 = 12R2 - (a2 + b2 + c2) • EA2 + EB2 + EC2 = • ma4 + mb4 + mc4 = 28 ð nh lý (3R2 + a2 + b2 + c2) (a + b4 + c4) 16 ðo n th ng n i tâm đư ng trịn n i ti p tâm đư ng trịn bàng ti p b đư ng trịn ngo i ti p chia đơi 90 29 ð nh lý Di n tích c a m t tam giác nh n b ng trung bình nhân c a di n tích tam giác tr c tâm tam giác ti p xúc (Tam giác tr c tâm tam giác có ba đ nh chân ba đư ng cao; tam giác ti p xúc tam giác có ba đ nh ti p m c a đư ng trịn n i ti p v i c nh) 30 Tam giác hình chi u • ð nh nghĩa Tam giác A1B1C1 có đ nh hình chi u c a m t ñi m M b t kỳ lên c nh c a tam giác ABC ñư c g i tam giác hình chi u (bàn đ p) c a ñi m M ñ i v i tam giác ABC • Chú ý N u M thu c đư ng trịn ngo i ti p tam giác ABC theo ð nh lý Simson, ba ñi m A1, B1, C1 th ng hàng Do đó, nói đ n tam giác hình chi u ta ph i gi thi t M khơng thu c đư ng trịn ngo i ti p tam giác ABC • ð nh lý Gi s A1, B1, C1 l n lư t thu c BC, CA, AB Khi ta ln có A1C2 + B1A2 + C1B2 = A1B2 + B1C2 + C1A2 • ð nh lý (ð o) N u ba ñi m ñ nh ba c nh c a m t tam giác sáu ño n th ng cho t ng bình phương c a đo n th ng khơng có chung đ u mút b ng t ng bình phương ba đo n ba m có th coi hình chi u c a m t m ñó lên c nh c a tam giác • ð nh lý G i MA1 = da; MB1 = db; MC1 = dc; B1C1 = a'; C1A1 = b'; A1B1 = c' Khi +) da db dc + + = hb hc +) a' b' c' + + = a.sin A b.sin B c.sin C R +) N u M ≡ I a' = 2(p - a) ( p − b)( p − c) bc a 2(b + c ) +) N u M ≡ G a' = 6R 91 (*) (*) • ð nh lý Tam giác hình chi u c a m Broca Ω ñ i v i tam giác ñã cho ñ ng d ng v i tam giác • ð nh lý G i A1B1C1 tam giác hình chi u c a m Kn Khi 4S (b n−2cn −2 + cn −2a n−2 + a n−2 b n −2 ) dt(A1B1C1) = ð c bi t (a n + b n + c n )2 +) N u n = (M ≡ G) 4S (a + b + c2 ) dt(A1B1C1) = 9.a 2b 2c +) N u n = (M ≡ I) dt(A1B1C1) = Sr 2R +) N u n = (M giao ñi m c a ñư ng ñ i trung) dt(A1B1C1) = +) N u M ≡ O dt(A1B1C1) = 12S (a + b + c2 )2 S 31 ð nh lý Ptoleme Trong m i t giác l i ABCD ta ln có AC.BD ≤ AB.CD + AD.BC D u b ng x y ch t giác ABCD n i ti p K t lu n T p tài li u ñã ñư c s d ng nhi u năm qua ñ gi ng d y cho l p chuyên c a trư ng THPT chuyên B c Giang ñã có nh ng hi u qu nh t ñ nh Hy v ng t p tài li u s giúp ích cho Th y, Cơ giáo vi c gi ng d y giúp em h c sinh kỳ thi ð i v i nh ng h c sinh ham thích mơn Tốn, mong r ng ñây tài li u tham kh o b ích Tuy nhiên, khơng trách kh i có nh ng sai sót q trình ch n l c, s p x p tư li u so n th o Mong b n ñ c lư ng th góp ý đ chúng tơi có đư c t p tài li u chu n xác 92 Tài liệu tham khảo [1] Lê Hải Châu Các thi chọn học sinh giỏi Toán PTTH toàn quốc NXB GD 1995 [2] Bộ Giáo dục Đào tạo Đề thi tuyển sinh môn Toán NXB GD 1993 [3] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Văn Tiến Một số chuyên đề Đại sè båi d−ìng häc sinh giái THPT NXB GD 2009 [4] Nhiều tác giả Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào trờng ĐH CĐ năm học từ 1998 đến 2001 NXB GD [5] Hội Toán học Việt Nam Tạp chí Toán học tuổi trẻ [6] Tuyển đề đề nghị IMO năm từ 1984 đến 2000 [7] Các đề thi tuyển sinh khối từ năm học 2002 đến năm học 2009 [8] Phan Đức Chính, Phạm Văn Điều tác giả khác Một số phơng pháp chọn lọc giải toán sơ cấp, tập I, II, III NXB ĐH GDCN 1991 [9] Nguyễn Văn Ban, Hoàng Chúng Hình học tam giác NXB GD 1996 [10] KBAHT Tạp chí (tiếng Nga) năm 1980 - 1985 [11] Toán học nhà trờng Tạp chí (tiếng Nga) năm 1980 - 1985 [12] ST Đ O Scliarxki ; N N Trenxop I M Iaglom Tuyển tập tập Định lí Toán sơ cấp NXB Hayka 1976 [13] Selected Problems from IMO XXX - XXXVI NXB ĐHQG Hà Nội 1995 93 ... mu n, l i không th quét h t d ng có th g p kỳ thi Chuyên ñ ñã ñư c chúng tơi s d ng đ d y cho l p chuyên Toán, Tin, Lý, Hoá c a Trư ng THPT chuyên B c Giang ñư c dùng ñ luy n thi ð i h c nhi... khn kh c a chun đ nên ch có m t s ví d đư c gi i m u Vi c gi i t p ñư c dành cho b n ñ c Trong chuyên ñ , m c đ khó d c a t ng t p khơng đư c ch c th không tránh kh i trư ng h p t p c a ph n... khăn cho h c sinh sách giáo khoa t p ph n không ñư c ñ c p nhi u M c ñích c a nh ng ngư i vi t chuyên ñ cung c p cho thày cô giáo em h c sinh ham thích h c toán m t h th ng lý thuy t t p tương

Ngày đăng: 28/07/2015, 13:41

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w