Sáng kiến kinh nghiệm về bất đẳng thức ở trường THPT chuyên Bắc Giang.PDF

sở GIáO DụC Và ĐàO TạO bắc giang Trờng THPT Chuyên bắc giang - - TH NHUNG L I THU H NG Bất đẳng thức T : Toán - Tin Năm h c: 2010 - 2011 Mã s : B c Giang, tháng3 năm 2011 L i Thu H ng – ð Th Nhung THPT Chuyên B c Giang B t ñ ng th c - M cl c trang KÍ HI U VÀ C M T VI T T T TRONG đề tài Chương I B t ñ ng th c tính ch t c a b t đ ng th c I.1.Khái ni m tính ch t b t ñ ng th c I.2 M t s b t ñ ng th c thư ng g p Chương II M t s phương pháp ch ng minh b t ñ ng th c 12 II.1.M t s phương pháp ch ng minh b t ñ ng th c 12 II.2.M t s hư ng nhìn b t đ ng th c 12 II.2.1 Nhìn b t đ ng th c theo phương di n lư ng giác 12 II.2.2 Nhìn b t đ ng th c theo phương di n hình h c 19 II.2.3 Nhìn b t đ ng th c theo phương di n khác 22 II.2.4 Sáng t o b t đ ng th c b ng cách nhìn b t đ ng th c có theo nh ng phương di n m i 46 II.2.5 ð xu t gi i pháp sư ph m 54 Chương III Th c nghi m sư ph m 56 III.1 M c ñích, n i dung t ch c th c nghi m sư ph m 56 III.2 ðánh giá th c nghi m sư ph m 57 K T LU N 60 TÀI LI U THAM KH O 61 L i Thu H ng – ð Th Nhung THPT Chuyên B c Giang B t ñ ng th c - KÍ HI U VÀ C M T VI T T T TRONG đề tài Vi t t t ð c BðT B t ñ ng th c ðpcm ñi u ph i ch ng minh GV giáo viên HS H c sinh NXB nhà xu t b n NXB ðHSP Nhà xu t b n ð i h c sư ph m NXB ðHQG Nhà xu t b n ð i h c qu c gia PGS Phó giáo sư THPT Trung h c ph thông TS Ti n sĩ THPT Trung h c ph thông TS Ti n sĩ L i Thu H ng – ð Th Nhung THPT Chuyên B c Giang B t ñ ng th c - Ph n th nh t M U I lí chọn đề tài Trong quỏ trình hình thành phát tri n tư c a h c sinh Tốn h c có vai trị đ c bi t quan tr ng Ngư i giáo viên c n rèn luy n cho h c sinh th y đư c nhi u hình th c có th di n t m t n i dung Tốn h c đ ng th i ph i rèn luy n cho h c sinh bi t l a ch n hình th c phù h p nh t th hi n n i dung Theo quan ñi m c a tri t h c v t bi n ch ng, b t kì s v t mang hai y u t n i dung hình th c N i dung có th đư c th hi n b ng nhi u hình th c khác nhau, n i dung quy t đ nh hình th c hình th c tác ñ ng tr l i n i dung B t ñ ng th c m t nh ng n i dung hay c a Tốn ph thơng thư ng xu t hi n kì thi Olympic Toán ðây m t n i dung quan tr ng nh m rèn luy n trí tu cho h c sinh Nhìn b t đ ng th c dư i nhi u phương di n khác s giúp h c sinh linh ho t l a ch n hình th c th hi n n i dung ði u kích thích tư bi n ch ng, tư sáng t o cho em Tuy nhiên, b t ñ ng th c m t n i dung khó, n u khơng có đ nh hư ng làm b t đ ng th c khơng ®ư c rèn luy n nhi u khơng làm đư c T nh ng lí trên, đỊ tài đư c ch n là: “ b t ñ ng th c II mục đích nhiệm vụ nghiên cứu M c đích nghiên c u v n d ng ki n th c c a ñ i s , hình h c, gi i tích đ gi i tốn b t đ ng th c Nhi m v nghiên c u - Nghiên c u c¸c tính ch t cđa b t đ ng th c - Xây d ng cách nhìn nh n b t đ ng th c d a trªn phương di n khác - Th c nghi m sư ph m đ ki m nghi m tính kh thi hi u qu c a ñ tài L i Thu H ng – ð Th Nhung THPT Chuyên B c Giang B t ñ ng th c - III néi dung nghiªn cøu - Nghiên c u tính ch t b t ñ ng th c - ð xu t m t s phương pháp ch ng minh b t ñ ng th c - Nhìn nh n đ ng th c, b t ñ ng th c theo nhi u phương di n khác d a vào m i liên h tương ng gi a s v i đ i lư ng hình h c lư ng giác - Sáng t o b t ñ ng th c b ng cách nhìn b t đ ng th c có theo nh ng phương di n m i - ð xu t gi i pháp sư ph m IV phơng pháp nghiên cứu IV.1 Nghiờn c u lý lu n Tìm hi u, nghiên c u nh ng v n ñ liên quan ñ n ñ tài ñ nh hư ng cho vi c nghiên c u; phân tích t ng h p nh ng quan ñi m d a tài li u v tâm lý h c, giáo d c h c, phương pháp d y h c mơn tốn tài li u v b t ñăng th c IV.2 Th c nghi m sư ph m ð i tư ng th c nghi m: h c sinh l p 11 Tin, 11 Lí, ð i n chän h c sinh gi i qu c gia X lý k t qu b ng m t s phương pháp th ng kờ toỏn h c V cấu trúc đề tài ð tài g m ph n m ñ u ba chương: Chương I B t ñ ng th c tính ch t c a b t đ ng th c Chương II M t s phương pháp ch ng minh b t ñ ng th c Chương III Th c nghi m sư ph m Cu i ph n k t lu n tài li u tham kh o L i Thu H ng – ð Th Nhung THPT Chuyên B c Giang B t ñ ng th c - Ph n th hai N I DUNG TI Chng I bất đẳng thức tính chất bất đẳng thức I.1 Khỏi ni m v tớnh ch t b t ñ ng th c I.1.1 Quan h th t R Trong t p h p s th c có quan h th t , t c : V i m i c p s th c a, b b t kì , ln x y m t ch m t ba kh năng: - ho c a b ng b, ký h u a = b - ho c a l n b, ký hi u a > b - ho c a nh b, ký hi u a < b I.1.2 ð nh nghĩa b t ñ ng th c I.1.2.1 ð nh nghĩa Gi s A, B hai bi u th c (trư ng h p đ c bi t A, B có th hai s ) M nh ñ ‘A l n B’, ký hi u A > B ñư c g i m t b t ñ ng th c A g i v trái c a b t ñ ng th c, B g i v ph i c a b t ñ ng th c Ngư i ta vi t b t ñ ng th c dư i d ng B < A, m nh ñ “B nh A” tương ñương v i m nh ñ Như b t c m t m nh đ tốn h c nào, b t ñ ng th c A > B có th ñúng ho c sai I.1.2.2 B t ñ ng th c suy r ng Khi so sánh hai bi u th c A B, nhi u chưa th k t lu n d t khoát : A b ng B, A l n B, A nh B, mà ch có th đưa m t k t lu n m m d o hơn, ch ng h n: A l n ho c b ng B Do v y, ngư i ta s d ng m nh ñ sau ñây dư i d ng ký hi u: A ≥ B : “A l n ho c b ng B” A ≤ B : “A nh ho c b ng B” L i Thu H ng – ð Th Nhung THPT Chuyên B c Giang B t ñ ng th c - Các m nh ñ ñư c g i b t ñ ng th c, rõ hơn: b t ñ ng th c suy r ng, ñ phân bi t v i b t ñ ng th c nghiêm ng t d ng A > B, A < B Quy c: Khi nói m t b t đ ng th c mà khơng ch rõ hơn, ta hi u r ng m t b t đ ng th c I.1.3 Tính ch t b t đ ng th c Tính ch t 1: a > b ⇔ a - b > Tính ch t 2: a > b ⇒a > c b > c Tính ch t 3: a > b ⇔ a + c > b+c H qu 1: a > b ⇔ a - c > b – c H qu 2: a + c > b ⇔ a > b – c Tính ch t 4: a > b ⇒ a+c >b+d c > d Tính ch t 5: N u c > a > b ⇔ ac > bc N u c < a > b ⇔ ac < bc H qu 1: a > b ⇔ -a < -b H qu 2: N u c > a > b ⇔ a b > c c N u c < a > b ⇔ a b < c c 1 < a b Tính ch t 6: a > b> ⇔0< Tính ch t 7: a > b > ⇒ a n > b n ∀n ∈ N * Tính ch t 8: a > b ⇔ a n+1 > b n +1 ∀n ∈ N * Tính ch t 9: a > b >0 ⇒ Tính ch t 10: a>b ⇔ n +1 a>nb ∀n ∈ N * a > n +1 b ∀n ∈ N n Ngoài ta có tính ch t tương ng v i b t ñ ng th c suy r ng I.2 M t s b t ñ ng th c thư ng g p I.2.1 B t ñ ng th cC«si L i Thu H ng – ð Th Nhung THPT Chuyên B c Giang B t ñ ng th c - I.2.1.1 D ng c th ( s , s ) n = 2: ∀ x, y ≥ ñó : n = 3: ∀ x, y, z ≥ : x+ y ≥ xy x+ y+z ≥ xyz x + y ≥ xy x + y + z ≥ 3 xyz  x+ y   ≥ xy    x+ y+z   ≥ xyz   ( x + y ) ≥ xy ( x + y + z ) ≥ 27 xyz 1 + ≥ x y x+ y 1 + + ≥ x y z x+ y+ z ≥ xy ( x + y )2 ≥ xyz ( x + y + z )3 ð ng th c x y ⇔ x = y = z ð ng th c x y ch x = y H qu 1: N u hai s dương thay đ i có t ng khơng đ i tích c a chúng l n nh t ch hai s b ng H qu 2: N u hai s dương thay ñ i có tích khơng đ i t ng c a chúng nh nh t ch hai s b ng Ví d : Tìm giá tr nh nh t c a hàm s : f ( x) = x + x v i x > x x Gi i Do x > nên ta có : f ( x) = x + ≥ x = f ( x) = ⇔ x = ⇔ x = x V y giá tr nh nh t c a hàm s f ( x) = x + v i x > f ( 3) = x x y z Ví d 2: Ch ng minh r ng n u x, y, z ba s dương ( x + y + z )( + + ) ≥ Khi x y ñ ng th c ? Gi i Vì x, y, z ba s dương nên x + y + z ≥ 3 xyz ( ñ ng th c x y ch x = y = z ) L i Thu H ng – ð Th Nhung THPT Chuyên B c Giang B t ñ ng th c - 1 1 1 + + ≥ 33 ( ñ ng th c x y ch = = ) x y z xyz x y z x y z Do ( x + y + z)( + + ) ≥ 3 xyz 3 = xyz x = y = z  ð ng th c x y ch :  1 ⇔ x = y = z x = y = z  I.2.1.2 D ng t ng quát (n s ) ∀x1, x2, x3 , ,xn không âm ta có: x1 + x2 + xn D ng 1: ≥ n x1 x2 xn n D ng 2: x1 + x2 + + xn ≥ n n D ng 3:  x1 + x2 + + xn    n   ≥ x1 x2 xn x1 x2 xn n D u “ = ” x y ch khi: x1 = x2 = = xn H qu 3: N u: x1 + x2 +…+ xn = S x1 = x2 =…= xn = H qu 4: N u: x1x2 xn = P ( S lµ h»ng sè) thì: S Max ( P = x1 x2 xn ) =   n n S n ( P lµ h»ng sè) thì: Min ( S = x1 + x2 + xn ) = n n P x1 = x2 =…= xn = n P I.2.1.3 Các quy t c c n ý s d ng b t ñ ng th c Côsi 1) Quy t c song hành: h u h t BðT đ u có tính đ i x ng vi c s d ng ch ng minh m t cách song hành, tu n t s giúp ta hình dung đư c k t qu nhanh chóng đ nh hư ng cách gii i nhanh 2) Quy t c d u b ng: d u b ng “=” BðT r t quan tr ng Nó giúp ta ki m tra tính đ n c a ch ng minh Nó đ nh hư ng cho ta phương pháp gi i, d a vào ñi m rơi c a BðT 3) Quy t c v tính đ ng th i c a d u b ng: không ch h c sinh mà c m t s giáo viên m i nghiên c u ch ng minh BðT thư ng r t hay m c sai l m này, áp d ng liên ti p ho c song hành BðT khơng chu ý đ n ñi m rơi c a d u b ng M t nguyên t c áp d ng song hành L i Thu H ng – ð Th Nhung THPT Chuyên B c Giang B t ñ ng th c - BðT ñi m rơi ph i ñư c ñ ng th i x y ra, nghĩa d u “ = ” ph i ñư c ñư c th a mãn v i ñi u ki n c a bi n 4) Quy t c biên: C s c a quy t c biên tốn quy ho ch n tính, toán t i ưu, toán c c tr có u ki n ràng bu c, giá tr l n nh t , giá tr nh nh t c a hàm nhi u bi n m t mi n đóng Ta bi t r ng giá tr l n nh t, nh nh t thư ng x y v trí biên ñ nh n m biên 5) Quy t c đ i x ng: Các BðT thư ng có tính ch t đ i x ng v y vai trò c a bi n BðT d u “ = ” thư ng x y t i v trí biên b ng N u tốn có g n h u ki n đ i x ng ta có th ch d u “ = ” x y bi n b ng mang m t giá tr c th Chi u c a BðT s giúp ta ñ nh hư ng ñư c cách ch ng minh : ñánh giá t Trung bình c ng (TBC) sang Trung bình nhân (TBN) ngư c l i I.2.2 B t ñ ng th c Bunhiacopxky v i s th c a, b x, y ta có: ( a + b )( x + y ) ≥ ( ax + by ) ð ng th c x y ch x y = a b V i s th c a, b,c x, y, z ta có (a + b + c )( x + y + z ) ≥ ( ax + by + cz ) ð ng th c x y ch x y z = = a b c 3.T ng quát : v i s th c a , a , a , a n b1 , b , b b n ta có (a + a2 + a32 + + a n )( b12 + b2 + b3 + + b n ) ≥ ( a1b1 + a2b2 + + anbn ) a1 a a ñ ng th c x y ch = = = n b1 b2 bn I.2.3 B t ñ ng th c v d u giá tr t ñ i |a| ≥ v i ∀ a∈R a |a| =  − a víi a ≥ víi a ≤ a > α |a| > α ⇔   a < -α v i α >0 L i Thu H ng – ð Th Nhung THPT Chuyên B c Giang B t ñ ng th c - Tương t ta có: 3 + ≥ , + ≥ + b + c + bc + c + a + ca C ng theo v b t ñ ng th c ta có b t đ ng th c sau: Bài toán 4: Cho a, b, c ≥ ch ng minh r ng : 1 1 1 + + ≥ + + 3 2 1+ a 1+ b 1+ c + ab + bc + ca *Khai thác b ng khái quát hoá Sau ch ng minh xong tốn So sánh hai b t đ ng th c (1.1), (2.1) (3.1) c v hình th c l i gi i đ tìm nh ng ñ c ñi m chung r i t ñó ñưa toán t ng quát Khái quát hoá toán b ng cách tăng s bi n ta s thu đư c Bài tốn 5: V i xi ≥ 1, (i = 1, n) Ch ng minh r ng: 1 + + + ≥ + x1 + x + xn + n n x1 x x n *Khai thác b ng tương t - Hư ng th nh t : Nâng lu th a Bài toán 6: V i s m u s ta thu ñư c toán th c a,b,c tho mãn a , b , c ≥ CMR: 1 3 + + ≥ (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) + abc ( ) (6.1) x3 + y3 + z3  x + y + z  G i ý l i gi i:S d ng b t ñ ng th c ≥  3   1 + + 1 1 + a + b + c )3 ta có + + ≥ 3( (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) m t khác theo k t qu toán : 1 + + ≥ + a + b + c + abc T ng h p k t qu (6.2) (6.3) ta ñư c (ñpcm) -Hư ng th 2: Thay ñ i gi thi t Bài toán 7: Cho a, b, c s th c tho mãn k k a2 a3 a1 Bài toán Cho a,b,c s th c dương CMR: a3 b3 c3 a+b+c + + ≥ 2 2 a +b b +c a +c Hư ng d n tìm l i gi i tốn: Trư c h t phân tích b ng cách nh n xét v b c c a s h ng HS th y r ng s h ng hai v hai v ñ u b c nh t V i toán vi c s d ng phương pháp bi n ñ i tương ñương r t khó khăn V n đ làm th ñ kh ñư c m u s Ta có th thêm b t sau: a(a + b − b a3 = Ta có: a + b2 a2 + b2 2 )=a− ab ab = a−b 2 a +b a + b2 50 L i Thu H ng – ð Th Nhung THPT Chuyên B c Giang B t ñ ng th c - t bi u th c cu i ta có th nh n th y ab a2+b2 có m i quan h đ ng b c V y ta có th d đốn: ab nh m t h ng s 2 a +b a + b2 ab ≤ 22 = Th t v y, theo b t ñ ng th c Cauchy ta có: 2 a +b a +b a3 ab ⇒ = a − b ≥a− b a + b2 a + b2 Làm tương t ta ñư c: b3 ≥b− c 2 b +c c3 ; ≥c− a a +c C ng theo v b t đ ng th c m t s t ng h p ta suy ra: a3 b3 c3 a+b+c (ñpcm) + + ≥ 2 2 a +b b +c a +c ð ng th c x y ch a=b=c *Khai thác b ng ñ c bi t hoá - Hư ng th nh t : T toán n u ta ch n a,b,c cho a +b+c =12 suy a3 b3 c3 a+b+c + + ≥ = t ta có tốn c c tr a2 + b2 b + c2 a + c2 Cho a,b,c s th c dương tho mãn a+b+c=12 Tìm giá tr nh nh t a3 b3 c3 c a bi u th c P = + + a + b2 b2 + c2 a + c - Hư ng th hai : Ch n a,b,c cho v trái b ng h ng s ta có tốn c c tri tương t sau: Cho a,b,c s th c dương tho mãn a3 b3 c3 + + = k Tìm giá tr l n nh t nh t c a bi u th c a2 + b2 b + c2 a + c2 T=a+b+c -Hư ng th 3: ð c bi t hoá b ng cách ch n c = 51 ta thu đư c tốn a L i Thu H ng – ð Th Nhung THPT Chuyên B c Giang B t ñ ng th c - a3 a 2b a + a 2b + + 2 + ≥ a2 + b2 a b + a + a Cho a,b s th c dương CMR: *Khai thác b ng tương t hoá Xét toán tương t b ng cách tăng s mũ t s ta thu ñư c toán sau: Cho a,b,c s th c dương.CMR: a4 b4 c4 a + b2 + c2 + + ≥ a + b2 b + c2 c + a 2 Cho a,b,c s th c dương.CMR: a4 b4 c4 a + b2 + c2 + + ≥ a + b2 b2 + c2 c + a 2 Xét toán Tương t b ng cách thay đ i m u s ta có: Cho a,b,c s th c dương CMR: a3 b3 c3 a+b+c + 2 + 2 ≥ 2 a + b + ab b + c + cb a + c + ac Tương t n u thay ab b i 3ab ta có toán : Cho a,b,c s th c dương CMR: a3 b3 c3 a+b+c + + ≥ a + b + 3ab b + c + 3cb a + c + 3ac Thay ñ i b c m u làm tương t ta đư c tốn: Cho a,b,c s th c dương CMR: a4 b4 c4 b b c c a a  + 3+ +  + + ≥a+b+c 3 a +b b +c c +a 2 a b c  G i ý l i gi i: 3 a ( a3 + b3 − b3 ) a4 b b a 2b b b Ta có: = =a− ≥a− 3 3 a +b a +b a a +b a b4 c c c4 a a ≥b− ; ≥c− C ng theo v ba b t ñ ng th c 3 b +c b a +c c ta thu ñư c ñpcm Ti p t c thay ñ i b c Cho a,b,c s th c dương CMR: 52 m u s ta có tốn tương t L i Thu H ng – ð Th Nhung THPT Chuyên B c Giang B t ñ ng th c - a ( a + b3 ) a + 2b 3 + b ( b3 + c ) b + 2c 3 + c ( c3 + a ) c + 2a 3 ≥ (a + b + c) *Khai thác b ng khái quát hoá - Hư ng th nh t: Tăng s mũ t s ta có tốn t ng quát sau 10 Cho a,b,c s th c dương CMR: an bn cn a n − + b n −2 + c n− + + ≥ ; ∀n ≥ a + b2 b2 + c2 c2 + a 2 Không d ng l i tốn ,th c hi n ho t ñ ng so sánh h s ab toán 6, m u s l n lư t ñ phát hi n ñ c ñi m b n ch t ñó h s c a ab m t s th c dương tuỳ ý α ñ ñi t i KQH ta thu đư c tốn t ng qt: 11 Cho a,b,c, α s th c dương CMR: an bn cn a n−2 + bn−2 + n−2 + + ≥ ; ∀n ≥ a + b + α ba b + c + α cb a + c + α ca +α Khi sáng t o toán m i, ngư i ta thư ng đ c bi t hố, t ng quát hoá ho c m r ng k t qu có Tuy nhiên khơng ph i tốn làm đư c vây Ph n l n tốn v b t đ ng th c đ u có u ki n c a bi n s d ng y u t ñ thay ñ i phương di n b t ñ ng th c, sáng t o nhi u toán m i II.2.5 ð xu t gi i pháp sư ph m V n d ng ki n th c c a ñ i s , hình h c, gi i tích ….trong d y h c b t ñ ng th c ngư i th y c n ñ t h c sinh vào nh ng tình hu ng địi h i ph i xây d ng t a thu t tốn đ gi i quy t v n ñ ñ t Nh ng t p ngư i th y ñưa ph i v a s c ñ h c sinh có th tranh lu n xây d ng t a thu t toán, t ng k t thành quy trình Khi th y giáo giúp h c sinh xây d ng xong quy trình đàm tho i ngư i th y ph i t p ph i b n giúp h c sinh d nh n di n quy trình đ t m t h th ng giúp h c sinh th m nhu n quy trình Sau ngư i th y c n ph i ñưa nh ng t p khó v i phương pháp khác l i d v n d ng quy trình tìm l i gi i nh m kích thích lịng say mê c a h c sinh s khai thác quy trình đàm tho i vào tốn ph c t p 53 L i Thu H ng – ð Th Nhung THPT Chuyên B c Giang B t ñ ng th c - Cu i cùng, ngư i th y c n nh n m nh vài trị c a quy trình m t thói quen c a trí óc gi i tốn b t đ ng th c, qua hư ng d n em t đ t câu h i cho t tr l i câu h i nh m bi n trình d y h c thành trình t h c Song song v i vi c ngư i th y giúp h c sinh t sáng tác t p thơng qua vi c thay đ i phương di n b t ñ ng th c nâng cao kh ñ c t p, sáng t o c a em Ngư i th y không v n d ng quy trình m t cách áp đ t, c n c vào t ng toán c th t ng ñ i tư ng khác Khi c n thi t, ngư i th y có th đưa nh ng câu h i r nhánh ñ h c sinh ñ t ñư c bư c l n quy trình Như v y, ngư i th y c n c vào nh ng v n ñ b n c a phân b c ho t đ ng qúa trình xây d ng h th ng câu h i ñàm tho i Trong d y h c b t ñ ng th c, ngư i th y có th t ch c d y h c chuyên theo ñ cho h c sinh N u l p h c có s phân hoá v kh h c t p, ngư i th y c n t ch c chuyên ñ theo t ng nhóm nh mà kh tư khơng q chênh l ch đ t ñ nh hư ng vi c ñ t câu h i phù h p cho t ng nhóm Ngư i th y c n xác ñ nh ch ñ cho t ng ti t h c : Phương pháp lư ng giác ch ng minh b t ñ ng th c, phương pháp ñ i bi n s ch ng minh b t đ ng th c, sau Gi i tốn b t đ ng th c theo nhi u cách khác …đ t ñ nh hư ng s t p trung c a h c sinh vi c th c hi n m c đích đàm tho i 54 L i Thu H ng – ð Th Nhung THPT Chuyên B c Giang B t ñ ng th c - Chơng III Thực nghiệm s phạM III.1 M c đích, n i dung t ch c th c nghi m sư ph m a) M c đích Th c nghi m sư ph m nh m ki m nghi m tính kh thi hi u qu c a ñ tài “b t ñ ng th c” b) N i dung D y th c nghi m sư ph m toàn b n i dung chương c a ñ tài c) T ch c ð i tư ng h c sinh l p 11 Lí, 11 Tin , đ i n d thi chän HSG Qu c gia trư ng THPT Chuyên B c Giang Tác gi chia thành nhóm theo líp Th i gian th c nghi m sư ph m: tu n k t 20/12/2010 ñ n 20/1/2011 Trong th i gian này, em ñư c h c chuyên ñ v b t ñ ng th c, m i tu n m t bu i (3 ti t) ð c ñi m c a l p : l p 11 Tin (29 h c sinh) g m nhi u h c sinh mơn tốn, l p 11 Lí ( g m 29 h c sinh) h c sinh h c 11 Tin, ñi u ki n ñ d nh n bi t s thay ñ i v k t qu h c t p th c hi n phương pháp m i L p 11 lí, tác gi d y theo n i dung ñè tài, l op 11 Tin tác gi d y theo phân ph i chương trình c a b giáo d c T i th i gian th c nghi m, tác gi ki m hai ñ t, ñ t th nh t sau d y ba tu n, ñ t th hai sau d y tu n M i ñ t, ñánh giá k t qu c a hai nhóm 45 phút làm v i m t ñ : Bài ki m tra ñ t Bài 1: Cho x, y s th c tho mãn : x2 + y2=1 55 L i Thu H ng – ð Th Nhung THPT Chuyên B c Giang B t ñ ng th c - Ch ng minh r ng 8x4 − 8x2 + 4xy(x2 − y ) ≤ −1 Bài : Cho s dương x, y, z nh tho mãn xy + yz + zx = Ch ng minh r ng x y z 3 + + ≥ 2 1− x 1− y 1− z Bài 3: Cho a, b, c ba s dương th a mãn a.b.c =1 Ch ng minh 1  1  1   a − +   b − +   c − +  ≤ b  c  a  Bài ki m tra ñ t Bài 1: Cho tam giác ABC ngo i ti p đư ng trịn (I , r) Ch ng minh b t ñ ng th c: 1 1 + + > IA IB IC r Bài 2: Cho s dương x, y, z tho mãn x2 + y2 + z2 + 2xyz = Ch ng minh r ng − x + − y + − z ≤ Bài 3: Cho s th c dương a, b, c tho mãn 1 + + =1 + 2a + 2b + 2c Ch ng minh r ng abc ≥ III.2 ðánh giá th c nghi m sư ph m a) K t qu th c nghi m sư ph m: tính theo s h c sinh làm đư c Nh n xét qua vi c ch m quan sát h c sinh làm ki m tra Bài ki m tra ñ t Bài 1: Cho x2+y2=1 Ch ng minh x − x + xy ( x − y ) ≤ − nhóm th c nghi m: t t c h c sinh ñ u ti n hành vi c ñ t x = cosa, y=sina chuy n b t ñ ng th c c n ch ng minh v b t ñ ng th c 8cos4a – 8cos2a + 4cosa.sina(cos2a –sin2a) ≤ − Các em ch ng minh đư c nh cơng th c h b c b t ñ ng th c A sin α + B cos α ≤ A2 + B nhóm đ i ch ng: m t s em khơng làm đư c xa vào bi n ñ i tương ñương gi a b t ñ ng th c ñ i s Bài : Cho s dương x, y, z nh tho mãn xy + yz + zx =1 56 L i Thu H ng – ð Th Nhung THPT Chuyên B c Giang B t ñ ng th c x y z 3 Ch ng minh r ng + + ≥ 2 1− x 1− y 1− z nhóm th c nghi m, 19 em làm ñư c nh vi c ñ t x, y, z tang c a góc đ c bi t s d ng b t đ ng th c tam giác nhóm ñ i ch ng ch có 11 em phát hi n vi c ñ t n ph tang c a góc đ c bi t gi i đư c Cịn l i b t c bi n đ i tương đương Bài 3: Cho a, b, c ba s dương th a mãn a.b.c =1 Ch ng minh r ng 1  1  1   a − +   b − +   c − +  ≤ b  c  a  ðây m t th c s khó nên nhóm ñ i ch ng ch có em làm ñư c nh bi n ñ i tương ñương ph c t p Tuy nhiên 17 em nhóm th c nghi m gi i d dàng thơng qua phép đ i bi n a =x/y , b =y/z, c =z/x (x, y, z >0) Bài ki m tra ñ t 2: ð t ki m tra th hai yêu c u em m c ñ cao hơn, n u em khơng quen chuy n đ i phương di n r t khó gi i tốn ho c m t nhi u th i gian gi i Bài 1: 1 1 + + > IA IB IC r Sau nhìn th y s khó khăn n u ch ng minh b ng b t ñ ng th c hình h c h u h t h c sinh c a hai nhóm đ u chuy n phương di n hình A B C h c sang phương di n lư ng giác: sin + sin + sin > 2 nhóm th c nghi m, em ñã bi t chuy n ñ i phương di n b ng cách xét m t tam giác khác có góc A' = B+C C+A A+ B ; B' = ;C' = s d ng tính ch t 2 cosA’ + cosB’ + cosC’ = + 4sin ⇒ cos B+C + cos C+A + cos A+ B A' B' C' sin sin >1 2 A B C > ⇔ sin + sin + sin > 2 nhóm đ i ch ng ch có m t s em làm đư c b ng cách ch ng minh tr c ti p b t ñ ng th c lư ng giác em m t r t nhi u th i gian cho vi c bi n ñ i lư ng giác 57 L i Thu H ng – ð Th Nhung THPT Chuyên B c Giang B t ñ ng th c - Bài 2: Các em nhóm th c nghi m làm ñư c nh vi c ñ t x = cosA, y=cosB, z= cosC v i A, B, C ba góc m t tam giác chuy n b t ñ ng th c A B C c n ch ng minh v b t ñ ng th c lư ng giác quen thu c sin + sin + sin ≤ 2 2 nhóm ñ i ch ng có 14 em làm ñư c, nhi u em bi n đ i đ i s dùng b t ñ ng th c c ñi n nên m t r t nhi u th i gian Bài 3: ðây t p có th d dàng dùng b t đ ng th c Cơsi em nhóm đ i ch ng ph i m t nhi u công s c ñ phát hi n cách bi n ñ i: 1− 2a 1 = = + ≥ 1+ 2a 1+ 2a 1+ 2b 1+ 2c (1+ 2b)(1+ 2c) 1− 2b 1 = = + ≥ + 2b + 2b + 2c + 2a (1 + 2c)(1 + 2a) 1− 2c 1 = = + ≥ 1+ 2c 1+ 2c 1+ 2a 1+ 2b (1+ 2a)(1+ 2b) Nhân v tương ng, ta có đpcm Các em nhóm th c nghi m ñã s d ng vi c bi u di n bi u th c có t ng b ng theo ba bi n dương trung gian: z+x y y+z x = ⇒b = ; = ⇒a = ; 2y + 2a x + y + z 2x 1+ 2b x + y + z ( y + z)(z + x)(x + y) z x+ y ≥ = ⇒c = T abc = 8xyz + 2c x + y + z 2z Như v y v n d ng phương pháp nhìn nh n b t ñ ng th c theo nh u phương di n khác giúp h c sinh không ch gi i t t t p mà vi c phát hi n v n đ c a em có s ti n b rõ ràng v t c ñ x lý v i tốn khó 58 L i Thu H ng – ð Th Nhung THPT Chuyên B c Giang B t ñ ng th c - Ph n th ba K T LU N Đề tài ủó thu ủ c nh ng k t qu sau đây: Trình bày t ng quan v b t ñ ng th c ,tính ch t b t đ ng th c, xây d ng cách nhìn nh n b t đ ng th c d a phương di n khác nhau, liên h v i th c tr ng d y h c mơn tốn trư ng THPT ð xu t gi i pháp sư ph m d y h c ch ng minh b t ñ ng th c ð tài trình bày c th m t s ví d đ đ minh ho làm sáng t cho ý ki n ñ xu t K t qu th c nghi m sư ph m ph n ki m nghi m ñư c tính kh thi hi u qu c a đ tài ð tài có th dùng làm tài li u tham kh o cho ñ ng nghi p, h c sinh sinh viên ð i h c Sư ph m, Cao ñ ng Sư ph m ngành toán 59 L i Thu H ng – ð Th Nhung THPT Chuyên B c Giang B t ñ ng th c - TÀI LI U THAM KH O 1.Polya, 1997, Gi i m t toán th nào, NXB Giáo d c Lê H i Châu, 1994, Các thi h c sinh gi i tốn PTTH tồn qu c, NXB Giáo d c Phan ð c Chính, 1994, B t ñ ng th c, NXB Giáo d c Nguy n Vi t H i, 2007, Các thi Olympic Toán THPT Vi t Nam (19902006), NXB Giáo d c Ph m Kim Hùng, 2006, Sáng t o B t ñ ng th c, NXB Tri th c Vũ Th H u, 2002, Phương pháp lư ng giác hoá toán, NXB Giáo d c Phan Huy Kh i, 2001, 10000 Bài toán sơ c p ,NXB Hà N i Robert J.Marzano, 2005, Các phương pháp d y h c hi u qu , NXB Giáo d c Phan Huy Kh i, 2000, 500 toán ch n l c v b t ñ ng th c.NXB Hà N i 10 Nguy n Bá Kim, 2004, Phương pháp d y h c môn Toán , NXB ðHSP 11 Nguy n Bá Kim, Vương Dương Minh, 1998, Khuy n khích m t s ho t đ ng trí tu c a h c sinh qua mơn tốn trư ng THCS, NXB Giáo d c 12 Nguy n Vũ Lương, 2007, M t s gi ng v toán tam giác, NXB ðHQG HN 13 Tr n Thành Minh, 2003, Gi i toán lư ng giác, NXB Giáo d c 14 Nguy n Văn Nho 2003, Tuy n t p d n Olympic Toán h c qu c t , NXB Giáo d c 15 Nguy n Văn Nho, 2005, Tuy n ch n toán t nh ng cu c thi t i m t s nư c ðông Âu, NXB Giáo d c 16 Nguy n Lan Phương, 2003, C i ti n Phương pháp d y h c Tốn v i u c u tích c c hố ho t đ ng h c t p theo hư ng giúp h c sinh phát hi n gi i 60 L i Thu H ng – ð Th Nhung THPT Chuyên B c Giang B t ñ ng th c - quy t v n ñ (Qua ph n gi ng d y Quan h vng góc khơng gian L p 11 Trư ng THPT) Lu n án Ti n sĩ giáo d c Vi n Chi n lư c phát tri n giáo d c 17 Tr n Phương, 2005, Tuy n t p chuyên đ luy n thi đ i h c mơn tốn h th c lư ng giác, NXB Hà N i 18 Tr n Phương, 2007, Diamonds in Mathematical Inequalities, NXB Hà N i 19 Vũ Dương Thu , 2001, 40 năm Olympic Toán h c qu c t , NXB Giáo d c 20 Vũ Dương Thu , 2005, Tuy n t p 200 thi Vơ đ ch tốn, NXB Giỏo d c 21 Nguyễn Văn Tiến, 2003, Các khai thác từ toán 22 Nguy n C nh Tồn, 2003, 74 Câu chuy n h c Tốn thông minh sáng t o, NXB Giáo d c 23 Nguy n C nh Toàn, 2004, H c d y cách h c, NXB ðHSP 24 Nguy n C nh Toàn, 2005, Khơi d y ti m sáng t o, NXB Giáo d c 25 Nguy n C nh Toàn, 1997,T p cho h c sinh gi i làm quen d n v i nghiên c u toán h c, NXB Giáo d c 26 Nguy n C nh Toàn, 1997, Phương pháp v t bi n ch ng v i vi c d y h c nghiên c u toán h c, NXB ðHQG 27 Nguy n Quang U n, 2006, giáo trình Tâm lý h c ñ i cương, NXB ðHSP 61 ... ng – ð Th Nhung THPT Chuyên B c Giang B t ñ ng th c - Ph n th hai N I DUNG ð TÀI Chương I bÊt đẳng thức tính chất bất đẳng thức I.1 Khái... i Thu H ng – ð Th Nhung THPT Chuyên B c Giang B t ñ ng th c - Ch−¬ng II Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức II.1.M t s phương pháp... víi ∀   b > c >  H ng d n Ta cú bất đẳng thức đà cho tương đương v i: Theo BðT Cơsi ta có: 29 c (b − c ) c (a − c) + ≤1 ab ab L i Thu H ng – ð Th Nhung THPT Chuyên B c Giang B t ñ ng th c