Sáng kiến kinh nghiệm về phép ngịch đảo ở trường THPT chuyên Bắc Giang.PDF

S GIÁO D C ðÀO T O T NH B C GIANG TRƯ NG THPT CHUYÊN B C GIANG TR N ANH ð C S D NG PHÉP NGH CH ð O GI I TỐN HÌNH H C PH NG T : Toán - Tin Năm h c: 2010 - 2011 Mã s : B c Giang, tháng năm 2011 M cl c Danh m c t vi t t t L i nói ñ u Chương I PHÉP NGH CH ð O TRONG M T PH NG I.1 M t s khái ni m………………………………………… I.1.1 Các khái ni m ñã bi t………………………… I.1.2 Các khái ni m b sung………………………… I.2 ð nh nghĩa tính ch t c a phép ngh ch ñ o I.2.1 ð nh nghĩa I.2.2 Các tính ch t…………………………………… I.3 S b o t n góc c a phép ngh ch đ o…………………… I.3.1 ð nh nghĩa I.3.2 S b o t n góc c a phép ngh ch ñ o I.4 nh c a đư ng th ng đư ng trịn qua phép ngh ch ñ o I.5 Phép ngh ch ñ o ñ i v i hai ñư ng tròn………………… I.5.1 Trư ng h p t ng quát………………………… I.5.2 Các trư ng h p ñ c bi t……………………… I.6 Bi u th c t a ñ c a phép ngh ch ñ o…………………… Chương II NG D NG PHÉP NGH CH ð O GI I TỐN HÌNH H C PH NG………………………………………………………… II.1 Ch ng minh tính ch t hình h c, tính tốn đ i lư ng……………………………………………………… II.2 Tìm t p h p m II.3 D ng hình II.4 Các t p v n d ng……………………………………… II.4.1 Các tốn ch ng minh, tính tốn…………… II.4.2 Các tốn qu tích…………………………… II.4.3 Các tốn d ng hình………………………… K t lu n………………………………………………………………… Tài li u tham kh o………………………………………………… … Trang 3 3 4 7 8 10 10 11 12 13 13 24 27 30 30 31 31 32 33 B ng kí hi u, t vi t t t s d ng chuyên ñ AM - GM IMO PM /( O ) B t ñ ng th c gi a trung bình c ng trung bình nhân (b t đ ng th c Cơ-si) ðư ng trịn qua ba m A, B, C; ðư ng tròn tâm O ; ðư ng tròn tâm O, bán kính R Olympic tốn h c qu c t Phương tích c a m M đ i v i đư ng trịn (O) S ABC Di n tích tam giác ABC VOk Phép v t tâm O, t s k (ABC); (O) ; C(O ; R) L I NĨI ð U Lí thuy t v phép bi n hình m t n i dung l n quan tr ng chương trình tốn h c ph thơng Vi c đưa n i dung phép bi n hình vào chương trình tốn b c trung h c ph thông không nh ng ch nh m cung c p cho h c sinh nh ng cơng c m i đ gi i tốn mà quan tr ng t p cho h c sinh làm quen v i phương pháp tư suy lu n m i, bi t nhìn nh n s vi c hi n tư ng xung quanh cu c s ng v i s v n ñ ng bi n ñ i c a chúng đ nghiên c u, tìm tịi, khám phá, t o s cho s ñ i c a nh ng phát minh sáng t o tương lai Trong chương trình tốn trung h c ph thơng có gi i thi u m t l p phép bi n hình m t ph ng, ñ c bi t phép d i hình phép ñ ng d ng ng d ng c a chúng vào gi i m t l p r ng tốn hình h c ph ng Các phép bi n hình đ u có tính ch t bi n ñư ng th ng thành ñư ng th ng, bi n đư ng trịn thành đư ng trịn Ngồi phép bi n hình quan tr ng cịn có m t phép bi n hình có r t nhi u ng d ng nh ng tính ch t đ p, ch ng h n bi n đư ng trịn thành đư ng th ng phép ngh ch đ o ð i v i h c sinh chuyên n i dung v phép ngh ch ñ o quan tr ng cung c p cho h c sinh m t phương pháp gi i toán hay cho m t l p r ng tốn hình h c ph ng ð giúp h c sinh làm quen bư c ñ u v n d ng phép ngh ch đ o vào gi i tốn hình h c ph ng, ngư i vi t m nh d n vi t chuyên ñ “S d ng phép ngh ch đ o gi i tốn hình h c ph ng” Chuyên ñ g m hai chương Chương I Phép ngh ch ñ o m t ph ng Chương II ng d ng phép ngh ch ñ o gi i tốn hình h c ph ng chương th nh t trình bày đ nh nghĩa tính ch t b n c a phép ngh ch ñ o m t s khái ni m liên quan s s d ng chương sau Chương th hai gi i thi u ng d ng c a phép ngh ch ñ o vào gi i m t s d ng tốn hình h c ph ng Các n i dung lí thuy t t p chuyên ñ ph n l n ñư c ngư i vi t ch n l c t tài li u tham kh o ñư c ghi cu i chuyên ñ m t s ngu n khác t internet Hy v ng em h c sinh có th tìm th y nhi u ñi u b ích t chuyên ñ s u thích mơn tốn Chun đ đư c th c hi n m t th i gian ng n, ngư i vi t có th cịn nhi u thi u sót, mong nh n đư c nhi u nh n xét c a b n ñ c ñ chun đ đư c hồn thi n Ngày 18 tháng 04 năm 2011 Tr n Anh ð c Chương I PHÉP NGH CH ð O TRONG M T PH NG I.1 M t s khái ni m I.1.1 Các khái ni m ñã bi t Nh ng khái ni m sau ñư c coi ñã bi t khơng đư c trình bày l i chun ñ này: Hình, phép bi n hình m t ph ng, phép bi n hình đ o ngư c ði m b t ñ ng c a phép bi n hình, nh c a m t hình qua phép bi n hình Các phép d i hình : Phép ñ ng nh t, phép ñ i x ng tr c, phép ñ i x ng tâm, phép t nh ti n, phép quay Phép v t , phép ñ ng d ng I.1.2 Các khái ni m b sung I.1.2.1 Phép bi n hình có tính ch t ñ i h p Cho m t phép bi n hình f bi n m M thành m M’, sau n u ta th c hi n ti p phép bi n hình f v i ñi m M’ gi s f ( M ') = M " N u ñi m M’’ trùng v i M ta nói r ng phép bi n hình f có tính ch t đ i h p Khi ta có fο f ( M ) = M hay f = Id , ñó Id phép ñ ng nh t c a m t ph ng Ví d : Phép đ i x ng tâm, phép ñ i x ng tr c phép bi n hình có tính ch t ñ i h p I.1.2.2 ðư ng tròn tr c giao a) ð nh nghĩa Hai đư ng trịn g i tr c giao v i t i m t ñi m chung A c a chúng, n u hai ti p n t i A c a hai đư ng trịn vng góc v i Khi hai đư ng trịn c t t i m t m A chúng cịn c t t i m t ñi m th hai B lí đ i x ng qua ñư ng n i tâm nên ti p n t i B vng góc v i Rõ ràng hai đư ng trịn tr c giao v i t i m chung c a chúng, ti p n c a ñư ng trịn qua tâm c a đư ng trịn Do áp d ng đ nh lí Pitago ta có đ nh lí sau b) Các đ nh lí ð nh lí ði u ki n c n ñ ñ hai ñư ng trịn tr c giao v i bình phương kho ng cách gi a hai tâm b ng t ng bình phương bán kính c a chúng ð nh lí ði u ki n c n ñ ñ hai ñư ng tròn tr c giao v i phương tích c a tâm c a m t hai đư ng trịn đ i v i đư ng trịn th hai b ng bình phương bán kính c a đư ng trịn th nh t I.2 ð nh nghĩa tính ch t c a phép ngh ch ñ o I.2.1 ð nh nghĩa Cho m t ñi m O c ñ nh m t s th c k ≠ N u ng v i m i ñi m M c a m t ph ng khác ñi m O ta tìm đư c m M ' đư ng th ng OM cho OM OM ' = k phép bi n hình f ( M ) = M ' g i phép ngh ch ñ o c c O, phương tích k f (O, k ) , phép ngh ch ñ o f hồn tồn Ta thư ng kí hi u phép ngh ch ñ o ñư c xác ñ nh n u bi t c c O phương tích k c a N u k > hai m M M ' = f ( M ) n m v m t phía đ i v i m O Khi t p h p nh ng ñi m kép (ñi m b t ñ ng) c a phép ngh ch ñ o f (O, k ) đư ng trịn tâm O bán kính b ng phép ngh ch đ o f (O, k ) k Ta g i ñư ng trịn đư ng trịn ngh ch đ o c a Ta có OM OM ' = ( k )2 = k Chú ý r ng n u ñi m M n m mi n c a đư ng trịn ngh ch đ o m M ' = f ( M ) s n m ngồi đư ng trịn O ngh ch đ o ngư c l i N u k < hai ñi m M M ' = f ( M ) n m v hai phía A đ i v i m O Khi ta khơng có m kép khơng có đư ng trịn ngh ch đ o OM OM ' = k Vì khơng đ i nên n u m M g n m O m M ' xa m O V đư ng trịn ñư ng kính MM ' t O v ñư ng th ng vng góc v i MM ' c t đư ng trịn t i A B M' M M' N' O B M N Ta có OA.OB = OM OM ' = k N u N ' = f ( N ) qua phép ngh ch ñ o v i k < ñã cho ta có OA.OB = ON ON ' = OM OM ' Khi ta có b n ñi m N , N ', A, B n m m t đư ng trịn I.2.2 Các tính ch t ð nh lí Phép ngh ch đ o có tính ch t đ i h p Th t v y, t ñ nh nghĩa c a phép ngh ch ñ o suy n u M ' = f ( M ) M = f ( M ') Do fο f ( M ) = M hay f phép ñ ng nh t ð nh lí N u phép ngh ch đ o f (O, k ) có phương tích k > m i đư ng trịn qua hai ñi m tương ng M M ' = f ( M ) ñ u tr c giao v i đư ng trịn ngh ch đ o c a phép ngh ch đ o Ch ng minh Theo gi thi t ta có OM OM ' = k Gi s (C) đư ng trịn b t kì qua M M ' = f ( M ) Khi ta có PO /( C ) = OM OM ' = ( k ) (1) O H th c (1) ch ng t r ng đư ng trịn ngh ch đ o tâm O, bán kính giao v i đư ng trịn (C) C M k tr c □ M' H qu Qua phép ngh ch ñ o v i phương tích k > , m i đư ng trịn tr c giao v i đư ng trịn ngh ch đ o đ u bi n thành ð nh lí Cho phép ngh ch đ o f (O, k ) có phương tích k > N u có hai đư ng trịn tr c giao v i đư ng trịn ngh ch đ o tâm O c t t i M , M ' hai m hai m tương ng c a phép ngh ch ñ o f (O, k ) ñã cho Ch ng minh Gi s hai đư ng trịn (C1 ), (C2 ) tr c giao v i đư ng trịn ngh ch đ o (O) chúng c t t i M M ' Tr c ñ ng phương MM ' c a hai đư ng trịn (C1 ) (C2 ) ñi qua tâm O c a ñư ng trịn ngh ch đ o m O n m ngồi đo n MM ' O ph i n m ngồi hai đư ng trịn (C1 ) (C2 ) C1 O M ðư ng tròn (O) tr c giao v i (C1 ) (C2 ) nên ta có C2 PO /(C1 ) = PO /(C2 ) = ( k ) M' Do OM OM ' = k □ ð nh lí ð i v i m t phép ngh ch ñ o f (O, k ) b t kì, hai ñi m A, B không th ng hàng v i c c ngh ch ñ o v i nh c a chúng A ' = f ( A), B ' = f ( B ) n m m t đư ng trịn Ch ng minh Vì OA.OA ' = OB.OB ' = k nên b n ñi m A, A ', B, B ' n m m t đư ng trịn □ ð nh lí Tích c a hai phép ngh ch đ o có c c O f (O, k ) f '(O, k ') m t phép v t tâm O t s k' k Ch ng minh N u f (O, k ) bi n M thành M ' f '(O, k ') bi n M ' thành M '' OM OM ' = k , OM '.OM '' = k ' Do ta suy OM '' = k' OM V y tích c a hai phép ngh ch đ o ñã cho phép v k k' □ k H qu Hình d ng nh c a m t hình H m t phép ngh ch đ o khơng ph thu c vào phương tích ngh ch ñ o mà ch ph thu c vào v trí c a c c ngh ch ñ o Ch ng minh Gi s H1 nh c a hình H phép ngh ch ñ o f1 (O, k1 ) H nh c a t tâm O t s hình H phép ngh ch đ o f (O, k2 ) Khi H1 = f1 ( H ), H = f ( H ) ⇒ H = f 2−1 ( H ) = f ( H ) Do H1 = f1 ( f ( H )) = ( f1 ο f )( H ) = V ( H ) v i V = f1 ο f m t phép v t Do H1 H hai hình đ ng d ng □ ð nh lí Cho hai ñi m A, B nh A’, B’ c a chúng m t phép ngh ch ñ o c c O, phương tích k ð dài ño n th ng AB A’B’ liên h v i b i h th c AB A ' B ' =| k | OA.OB Ch ng minh Ta xét hai trư ng h p sau a) Ba m O, A, B khơng th ng hàng OA OB ' Ta có OA.OA ' = OB.OB ' hay = OB OA ' Suy hai tam giác OAB OB’A’ ñ ng d ng nên ta có A' A A ' B ' OA ' OA '.OA |k | = = = AB OB OA.OB OA.OB AB Do A ' B ' =| k | OA.OB O B B' b) Ba ñi m O, A, B th ng hàng Ta có k k − ; OB OA − AB (OA − OB) = k A ' B ' = k OA.OB OA.OB L y giá tr t ñ i hai v c a ñ ng th c ta thu ñư c ñi u ph i ch ng minh □ A ' B ' = OB ' − OA ' = I.3 S b o t n góc c a phép ngh ch ñ o I.3.1 ð nh nghĩa Cho hai ñư ng cong (C1 ) (C2 ) c t t i m t ñi m A t i ñó chúng có ti p n Ta g i góc gi a hai ti p n góc c a hai đư ng cong cho t i m A Các tốn liên quan ñ n góc c a hai ñư ng chuyên ñ ch xét lo i ñư ng th ng đư ng trịn I.3.2 S b o t n góc c a phép ngh ch đ o ð nh lí Phép ngh ch đ o b o t n góc Ch ng minh c a đ nh lí b n có th xem tài li u tham kh o (xem [3]) Như v y phép ngh ch đ o b o tồn s ti p xúc c a hai đư ng trịn b o tồn góc giũa hai đư ng trịn c t Cũng b o tồn góc gi a ñư ng th ng ñư ng tròn I.4 nh c a đư ng th ng đư ng trịn qua phép ngh ch ñ o T ñ nh nghĩa c a phép ngh ch ñ o, ta suy r ng phép ngh ch ñ o bi n m i ñư ng th ng ñi qua c c ngh ch đ o thành đư ng th ng Cịn đ i v i đư ng th ng khơng ñi qua c c ngh ch ñ o nh c a đư c xác đ nh b i đ nh lí sau ð nh lí Phép ngh ch ñ o bi n ñư ng th ng khơng qua c c ngh ch đ o O thành m t đư ng trịn qua c c ngh ch ñ o O tr ñi m O Ngư c l i m t đư ng trịn qua c c ngh ch ñ o O (tr ñi m O) có nh m t đư ng th ng khơng qua c c ngh ch đ o Ch ng minh Gi s d m t đư ng th ng khơng qua c c ngh ch ñ o O G i H chân đư ng vng góc h t O xu ng d H’ nh c a H qua phép ngh ch đ o f (O, k ) Ta có OH OH ' = k Ta l y m t ñi m M ñư ng th ng d (M khác H) M’ nh c a M qua phép ngh ch đ o f Vì b n ñi m M, M’, H, H’ thu c m t đư ng trịn nên d M' M ο I' OM ' H ' = MHH ' = 90 Do M’ n m đư ng trịn tâm I đư ng kính OH’ Khi M ch y đư ng th ng d m M ' = f ( M ) ch y ñư ng trịn tâm O H I H' I nói trên, tr ñi m O V y nh c a d đư ng trịn (I) tr m O Ph n cịn l i c a đ nh lí đư c ch ng minh d a vào nh ng l p lu n tương t Chú ý G i I’ nh c a tâm I c a ñư ng trịn đư ng kính OH ta có OI OI ' = OH OH ' = OH 2OI Do ñó OI ' = 2OH T ñó thu ñư c h qu sau □ Xét phép ngh ch đ o f c c P, phương tích k ta có f : M ֏ C , A ֏ A ', AM ֏ ( PA ' C ) Tương t , có f : ND ֏ ( PBD ') , D ' = f ( D) M t khác f : XY ֏ XY Do đ ch ng minh XY, AM, DN ñ ng quy, ta s ch ng minh XY tr c ñ ng phương c a (PA’C) (PBD’) Th t v y, ta có PZC = PA ' C = 90ο nên Z thu c (PA’C) Tương t có Z thu c (PBD’) Do PZ ≡ XY tr c ñ ng phương c a (PA’C) (PBD’) T ta có u ph i ch ng minh □ Bài Cho đư ng trịn (O) đư ng kính BC m t m A n m (O) G i B’, C’ l n lư t giao ñi m th hai c a AC AB v i (O) G i H giao ñi m c a BB’ CC’ G i M, N l n lư t ti p ñi m c a ti p n t A ñ n (O) Ch ng minh r ng ba ñi m H, M, N th ng hàng L i gi i A B' N C' M B H A' O C G i A’ hình chi u c a A đư ng th ng BC Ta có H tr c tâm c a tam giác ABC Xét phép ngh ch ñ o f ( A, k ) c c A phương tích k v i k = AB ' AC = AC ' AB = AM = AN Khi ta có f : M ֏ M , N ֏ N , A ' ֏ H , ( AMN ) ֏ MN Ta có OMA = ONA = OA ' A = 90ο nên A’ thu c đư ng trịn (AMN), t ñó suy nh c a A’ qua phép ngh ch ñ o f thu c ñư ng th ng MN Nói cách khác ba m H, M, N th ng hàng 19 Bài Cho tam giác ABC n i ti p đư ng trịn (O) Gi s M m t m khơng thu c (O), ñư ng th ng MA, MB, MC c t l i đư ng trịn (O) l n lư t t i ñi m A’, B’, C’ a) Ch ng minh r ng v i M (O) ta có S A ' B ' C ' MA '.MB '.MC ' = S ABC MA.MB.MC b) Tìm t p h p ñi m M cho tam giác A’B’C’ vuông L i gi i C' B' A M A' O C B a) Ta có S ABC = AB.BC CA A ' B '.B ' C '.C ' A ' S A ' B '.B ' C '.C ' A ' , S A ' B 'C ' = ⇒ A' B 'C ' = S ABC AB.BC CA 4R 4R (1) R bán kính đư ng trịn (O) Ta có MA.MA ' = MB.MB ' = MC.MC ' = k Xét phép ngh ch đ o f ( M , k ) f bi n A, B, C l n lư t thành A’, B’, C’ Theo tính ch t c a phép ngh ch đ o ta có | k | AB | k | BC | k | CA (2) A' B ' = , B 'C ' = , C ' A' = MA.MB MB.MC MC.MA Thay (2) vào (1) ta có u ph i ch ng minh b) Gi s tam giác A’B’C’ vuông t i A’ B’C’ qua tâm O c a đư ng tròn (O) hay B’C’ tr c giao v i (O) Xét phép ngh ch ñ o f ( M , k ) ph n f bi n (O) thành (O) bi n B’C’ thành (MBC) tr c giao v i (O) 20 B' Suy M n m đư ng trịn tr c giao v i (O) ñi qua hai ñi m B, C Xét tương t ñ i v i trư ng h p tam giác A’B’C’ vuông B’ C’ ta thu đư c qu tích m M th a mãn yêu c u toán A B O A' M C C' Bài 10 Cho O tâm ñư ng tròn ngo i ti p tam giác ABC Giao ñi m th hai c a ñư ng CO, AO, BO v i đư ng trịn ngo i ti p tam giác AOB, BOC, COA l n lư t A1 , B1 , C1 Ch ng minh r ng AA1 BB1 CC1 + + ≥ OA1 OB1 OC1 L i gi i G i (C) đư ng trịn ngo i ti p tam giác ABC R bán kính c a nó, f phép ngh ch đ o c c O, t s k = R Khi f bi n A, B, C l n lư t thành nên f bi n (BOC) thành ñư ng th ng BC Do ñư ng th ng ñi qua ba ñi m A, O, A1 b t ñ ng ñ i v i f nên n u g i A1' giao ñi m c a đư ng th ng v i BC A1' nh c a A1 qua phép ngh ch ñ o f Ta có OA1.OA1' = R (1) Theo tính ch t c a phép ngh ch ñ o ta có R AA1' AA1 = OA.OA1' 21 (2 ) C1 A B1 O B C A1' A1 T (1) (2) ta có AA1 R AA1' OA1' AA1' = = OA1 OA.OA1' R OA (3) G i I, J tương ng hình chi u c a A, O xu ng ñư ng th ng BC g i x = SOBC , S = S ABC Ta có OA1' OJ x = = AA1' AI S Vì O m tam giác ABC nên OA = AA1' − OA1' , OA OA' S − x = − 1' = AA1' AA1 S T (2) (4) ta có AA1 S Tương t ta có = OA1 S − x BB1 S CC1 S = , = OB1 S − y OC1 S − z v i y = SOAC , z = SOAB 22 (4) Vì v y AA1 BB1 CC1 S S S + + = + + OA1 OB1 OC1 S − x S − y S − z S d ng b t ñ ng th c AM – GM d dàng ch ng minh ñư c S S S + + ≥ S−x S−y S−z v i x, y, z s dương th a mãn x + y + z = S T ta thu đư c ñi u ph i ch ng minh □ Bài 11 Cho b n đư ng trịn mà m i đư ng trịn ti p xúc ngồi v i hai đư ng trịn khác (hình v ) Ch ng minh r ng ti p ñi m A, B, C, D n m m t đư ng trịn A D B C L i gi i D' K C' L B' Xét phép ngh ch ñ o tâm A, phương tích k b t kỳ (k ≠ 0) Khi đư ng trịn cho bi n thành m t c p ñư ng th ng song song hai đư ng trịn ti p xúc v i (như 23 hình v ) Ta ch ng minh r ng ti p ñi m B’, C’, D’ th ng hàng (khi b n m A, B, C, D thu c m t ñư ng tròn) Th t v y, gi s K, L tâm c a đư ng trịn Khi KD’ // LB’ b i hai đư ng th ng vng góc v i hai ñư ng th ng song song ñó D ' KC ' = B ' LC ' T ñó suy 1 KC ' D ' = 90ο − D ' KC ' = 90ο − B ' LC ' = LC ' B ' 2 Suy ñi m C’ n m ño n th ng B’D’, t thu đư c u ph i ch ng minh □ II.2 Tìm t p h p m Ý tư ng d ng toán sau: Gi s ta c n tìm qu tích m M, ta tìm m t phép nghich đ o f thích h p bi n M thành M’ Chúng ta tìm qu tích m M’ m t qu tích đ y đ (ph n thu n, gi i h n qu tích ph n đ o) Gi s qu tích m M’ hình (H’) tính ch t đ i h p c a phép ngh ch ñ o, t p h p m M c n tìm s hình (H) nh c a hình (H’) qua phép ngh ch ñ o f Bài 12 Cho hai ñư ng tròn tr c giao (O; R) (O’; R’) c t t i A B G i f phép ngh ch ñ o c c O, t s k = R f’ phép ngh ch ñ o c c O’, t s k ' = R '2 M t ñi m M thay ñ i ñư ng th ng AB, g i P = f ( M ), Q = f '( M ) a) Tìm t p h p ñi m P, Q b) Ch ng minh r ng giao ñi m H c a OQ O’P n m ñư ng th ng AH L i gi i a) Do (O) đư ng trịn ngh ch ñ o c a f nên f bi n ñư ng th ng AB thành đư ng trịn (OAB) Mà hai đư ng trịn (O) (O’) tr c giao nên t giác AOBO’ n i ti p ñư ng trịn đư ng kính OO’ Ta th y P n m gi a O M nên M thay đ i P ch y cung trịn AOB Tương t ta có Q thu c đư ng trịn đư ng kính OO’ t p h p m Q cung trịn AO ' B 24 M Q A P H O' O I B b) T ph n a), ta có H tr c tâm c a tam giác MOO’ Do H thu c đư ng th ng AB (vì AB vng góc v i OO’) Bài 13 Cho m t đư ng trịn c đ nh tâm O m t dây cung c ñ nh AB c a đư ng trịn M t m M di ñ ng ñư ng tròn (O) G i M’ giao ñi m th hai c a ñư ng tròn qua M, l n lư t ti p xúc v i ñư ng th ng AB t i A B Hãy tìm t p h p ñi m M’ L i gi i G i (C) (C’) hai đư ng trịn qua M l n lư t ti p xúc v i AB t i A B ðư ng th ng MM’ tr c ñ ng phương c a (C) (C’) ph i ñi qua trung ñi m I c a đo n th ng AB Ta có IM IM ' = IA2 = IB G i f phép ngh ch ñ o c c I, t s k = IA2 = IB f bi n M thành M’ ði m M ch y ñư ng tròn (O) nên ñi m M’ ch y đư ng trịn (O’) nh c a đư ng trịn (O) qua phép ngh ch đ o f ðư ng trịn (O) qua hai m A, B hai ñi m b t bi n c a f nên (O’) đư ng trịn qua ba ñi m A, B, M’ 25 (C) M (C') O M' A I B O' H G i H giao c a ñư ng th ng OI v i ti p n c a (O) t i A, xét tam giác vng OAH Ta có IO.IH = IA.IB hay IA2 = IO '.IH v i O’ ñi m ñ i x ng c a O qua ñư ng th ng AB ta có IO ' = − IO V y t p h p m M’ đư ng trịn (O’) đ i x ng v i đư ng trịn (O) qua ñư ng th ng AB Bài 14 Cho ñư ng trịn (O) đư ng kính AB, m I n m đo n AB (I khơng trùng v i A, B) ñư ng th ng m ti p n c a (O) t i ñi m B M t ñư ng th ng d thay ñ i qua I c t (O) t i P Q (d không trùng v i AB) ðư ng th ng AP, AQ c t ti p n m t i M, N Ch ng minh r ng ñư ng trịn (AMN) qua m c đ nh th hai, t suy tâm c a đư ng trịn (AMN) ln n m m t đư ng th ng c ñ nh L i gi i 26 M P d A B I (O) Q N m Xét phép ngh ch ñ o f tâm A, t s k = AB , ta có nh c a (O) qua f đư ng th ng m, nh c a P Q qua f tương ng M N Như v y qua phép ngh ch đ o f ñư ng th ng d bi n thành ñư ng trịn (AMN) Do I m c đ nh c a d nên nh c a I qua phép ngh ch ñ o f ñi m c ñ nh I’ s thu c đư ng trịn (AMN) Do ñư ng tròn (AMN) ñi qua hai ñi m c ñ nh A, I’ nên tâm c a (AMN) n m ñư ng trung tr c c a ño n th ng AI’ II D ng hình Bài 15 Cho ba ñi m A, B, C th ng hàng v i ñi m B thu c ño n AC ba n a đư ng trịn đư ng kính BC, CA, AB n m v m t phía đ i v i đư ng th ng AC Hãy d ng đư ng trịn (O) ti p xúc v i c ba đư ng trịn cho L i gi i Kí hi u n a đư ng trịn đư ng kính AB, BC, CA l n lư t (AB), (BC), (CA) * Phân tích: Gi s d ng đư c đư ng trịn (O) ti p xúc v i n a ñư ng trịn (AB), (BC), (CA) Xét phép ngh ch đ o f c c A, phương tính k = AB AC 27 m l d O' O A B I C Khi ta có f : ( BC ) ֏ ( BC ) (CA) ֏ l ( AB ) ֏ d (O ) ֏ (O ') l d l n lư t n a đư ng th ng vng góc v i đư ng th ng AC t i B C, phía v i (AB), (BC), (CA), cịn (O’) đư ng tròn ti p xúc v i d, l (BC) Suy O’ ñi m n m n a đư ng th ng m vng góc v i ñư ng th ng AC t i trung ñi m I c a ño n BC cho IO ' = BC (m phía v i d, l so v i đư ng th ng AC hình v ) * Cách d ng: - D ng ñư ng th ng d, l, m ph n phân tích L y m O’ n a đư ng th ng m cho IO ' = BC D ng đư ng trịn (O’), đư ng kính BC - D ng nh c a (O’) qua phép ngh ch đ o f nói ta đư c đư ng trịn (O) * Ch ng minh: T tính ch t c a phép ngh ch ñ o d dàng suy đư c đư ng trịn (O) th a mãn yêu c u c a hình c n d ng * Bi n lu n : Bài tốn ln có m t nghi m hình Bài 16 Cho m t ñư ng th ng d hai ñư ng tròn (O1 ), (O2 ) ti p xúc v i ti p xúc v i d Hãy d ng m t đư ng trịn ti p xúc ñ ng th i v i hai ñư ng tròn ñã cho ti p xúc v i ñư ng th ng d L i gi i 28 O1 l O2 O' O B A d G i ti p ñi m c a d v i (O1 ) (O2 ) l n lư t A B Ta xét hai trư ng h p sau: Trư ng h p 1: A B phân bi t * Phân tích : Gi s ta ñã d ng ñư c ñư ng tròn (O) th a mãn yêu c u toán Xét phép ngh ch đ o f c c A, phương tích k = AB , ta có f : (O2 ) ֏ (O2 ) (O1 ) ֏ l (O) ֏ (O ') d ֏ d * Cách d ng : - D ng ñư ng th ng l nh c a đư ng trịn (O1 ) qua f l ñư ng th ng song song v i d ti p xúc v i đư ng trịn (O2 ) - D ng đư ng trịn (O’) ti p xúc v i d, l đư ng trịn (O2 ) Khi đư ng trịn (O) c n d * d * ng nh c a ñư ng tròn (O’) qua phép ngh ch ñ o f Ch ng minh : T tính ch t c a phép ngh ch ñ o d dàng suy đư ng trịn (O) ng th a mãn yêu c u c a toán Bi n lu n: N u (O1 ), (O2 ) có bán kính khác tốn có hai nghi m hình (do có hai đư ng trịn (O’) ti p xúc v i d, l (O2 ) nên d ng đư c hai đư ng trịn (O) th a mãn yêu c u toán ) N u (O1 ), (O2 ) có bán kính b ng tốn có m t nghi m hình Trư ng h p 2: A B trùng Khi A trùng B có th d ng đư c vơ s đư ng trịn th a mãn u c u tốn, ph n d ng hình trư ng h p xin dành cho b n ñ c 29 II Các t p v n d ng II.4.1 Các tốn ch ng minh, tính tốn Bài1 Cho tam giác đ u ABC m t m O b t kì Ch ng minh r ng t ng c a hai ba ño n th ng OA, OB, OC khơng nh đo n cịn l i Bài Cho tam giác khơng cân ABC ðư ng tròn ( I ) n i ti p tam giác ABC ti p xúc v i c nh BC, CA, AB theo th t t i A1 , B1 , C1 G i M giao ñi m c a B1C1 v i BC, N giao ñi m c a C1 A1 v i CA, E giao ñi m c a A1B1 v i AB Ch ng minh r ng M, N, E th ng hàng Bài Cho hai ñư ng tròn ti p xúc A M t ti p n t i M c a ñư ng trịn th nh t c t đư ng trịn th hai B C Ch ng minh r ng ñư ng th ng AM ñư ng phân giác c a góc t o thành b i hai đư ng th ng AB AC Bài Cho phép ngh ch đ o f c c O, phương tích k tam giác AMB có đ nh khơng trùng v i O G i A’, B’, M’ l n lư t nh c a A, B, M qua phép ngh ch ñ o f M ' A ' MA OA Ch ng minh r ng = : M ' B ' MB OB Bài Ch ng minh r ng đư ng trịn qua trung ñi m c nh c a tam giác ti p xúc v i đư ng trịn n i ti p ba đư ng trịn bàng ti p c a tam giác Bài Trong m t ph ng cho m t s h u h n m, m khơng có ba ñi m th ng hàng Bi t r ng m i đư ng trịn qua ba m ñã cho b t kì ch a thêm m t ñi m ñã cho n a Ch ng minh r ng, t t c m cho n m m t đư ng trịn Bài Các ñi m A, B, C n m m t ñư ng th ng, ñi m P n m ngồi đư ng th ng Ch ng minh r ng, tâm c a ñư ng tròn ngo i ti p tam giác ABP, BCP, CAP ñi m P n m m t đư ng trịn Bài Cho đư ng trịn tâm O bán kính r n i ti p t giác ABCD ti p xúc v i AB, BC, CD, DA theo th t t i ñi m M, P, N, Q Bi t r ng t giác ABCD n i ti p đư ng trịn bán kính R kho ng cách gi a hai tâm đư ng trịn a Tính t ng MN + PQ Bài Cho tam giác nh n ABC G i ( A0 ), ( B0 ), (C0 ) đư ng trịn đư ng kính BC, CA, AB T A, B, C ta k ti p n t i ( A0 ), ( B0 ), (C0 ) Các ti p n ti p xúc v i ñư ng tròn t i A1 , A2 ; B1 , B2 ; C1 , C2 Ch ng minh r ng sáu ñi m A1 , A2 ; B1 , B2 ; C1 , C2 n m m t đư ng trịn (C) Tính bán kính c a (C) theo c nh c a tam giác ABC (Olympic 30 – 4, l n XII) Bài 10 Cho M m t ñi m n m tam giác ABC cho APB − C = APC − B G i D E l n lư t tâm đư ng trịn n i ti p tam giác APB APC Ch ng t r ng ba ñư ng th ng AP, BD CE ñ ng quy t i m t ñi m (IMO 1996) 30 II.4.2 Các tốn qu tích Bài 11 Cho ba ñi m A, B, C th ng hàng d ñư ng th ng trung tr c c a đo n AB M t đư ng trịn thay ñ i (O) ñi qua A, B c t d t i D E Các ñư ng th ng CD CE c t đư ng trịn (O) t i D’ E’ Tìm t p h p ñi m D’, E’ Bài 12 Cho ba ñi m c ñ nh A, B, C m t ñư ng th ng M t ñư ng tròn (O) bi n thiên ti p xúc v i ñư ng th ng t i C Ti p n th hai xu t phát t A ti p xúc v i đư ng trịn (O) t i T ðư ng th ng BT c t đư ng trịn (O) t i M Tìm qu tích c a m M Bài 13 Cho đư ng trịn (O) dây cung AB c ñ nh c a (O) Trên AB l y hai ñi m c ñ nh C, D v i C n m gi a A D V i m i ñi m M ñư ng trịn (O) ta d ng đư ng trịn ( O1 ) ñi qua ba ñi m M, A, D ñư ng tròn ( O2 ) ñi qua ba ñi m M, B, C G i M’ giao ñi m th hai c a ( O1 ) ( O2 ) Tìm t p h p m M’ M thay đ i đư ng trịn (O) Bài 14 Tìm t p h p m M mà t s kho ng cách t ñi m đ n hai m A B cho trư c khơng đ i II.4.3 Các tốn d ng hình Bài 15 Cho ba đư ng trịn (O1 ), (O2 ), (O3 ) đơi m t ti p xúc ngồi Hãy d ng đư ng trịn (O) ti p xúc v i c ba ñư ng trịn cho (bài tốn Apollonius) Bài 16 D ng ñư ng tròn ñi qua hai ñi m ñã cho ti p xúc v i m t ñư ng trịn (ho c đư ng th ng) cho trư c Bài 17 a) D ng ñư ng th ng ti p xúc v i hai đư ng trịn cho trư c c) D ng đư ng trịn qua m t ñi m cho trư c ti p xúc v i hai đư ng trịn (ho c m t đư ng trịn m t đư ng th ng) cho trư c Bài 18 Cho hai đư ng trịn (O1 ), (O2 ) c t t i hai ñi m A, B Trên ñư ng th ng AB l y m C n m ngồi c hai đư ng trịn Hãy d ng đư ng trịn (O) qua C ti p xúc ñ ng th i v i (O1 ) (O2 ) Bài 19 Cho đư ng trịn (O) ba m M, N, P n m (O) Hãy d ng tam giác ABC n i ti p đư ng trịn (O) ñư ng th ng AB, BC, CA l n lư t ñi qua ñi m ñã cho Bài 20 Cho hai ñi m A, B ñư ng tròn (O) Hãy d ng ñư ng tròn (O’) ñi qua hai ñi m ñã cho c t (O) t i m C cho góc t o b i (O) (O’) b ng α cho trư c Bài 21 D ng tam giác ABC, bi t A = α , BC = a BD AB = k ( BD ñư ng cao c a tam giác ABC) 31 K T LU N Chuyên ñ ñã ñưa ñ nh nghĩa tính ch t b n nh t c a phép ngh ch ñ o nh ng ng d ng c a phép ngh ch ñ o vào gi i tốn hình h c ph ng Qua m t s tốn chun đ th y tính ch t đ p c a phép ngh ch ñ o nh ng ng d ng phong phú c a chúng vào l p r ng tốn hình h c ph ng Cu i chun đ có m t s t p ñ b n ñ c v n d ng tính ch t c a phép ngh ch ñ o ñ gi i, ph n l n t p m c n m danh m c tài li u tham kh o ñư c nêu cu i chuyên ñ Do chuyên ñ ñư c th c hi n th i gian ng n nên nhi u n i dung quan tr ng liên quan ñ n phép ngh ch ñ o chưa ñư c xem xét kĩ, ch ng h n bi u th c t a ñ c a phép ngh ch ñ o, phép ngh ch ñ o m t ph ng ph c Trong chun đ có th cịn thi u sót v hình th c ho c n i dung, mong ñư c b n ñ c chia s 32 TÀI LI U THAM KH O [1] Hồng ð c Chính, Nguy n ð Các tốn v hình h c ph ng NXB ðHQG TPHCM 2003 [2] Nguy n Minh Chương, Lê ðình Phi, Nguy n Cơng Quỳ Hình h c sơ c p NXBGD 1965 [3] Nguy n M ng Hy Các phép bi n hình m t ph ng NXBGD 2003 [4] Vũ Dương Th y, Nguy n Văn Nho 40 năm olympic toán h c qu c t NXBGD 2002 [5] Tuy n t p 30 năm t p chí tốn h c tu i tr NXBGD 2000 33 ... m b t đ ng c a phép bi n hình, nh c a m t hình qua phép bi n hình Các phép d i hình : Phép đ ng nh t, phép ñ i x ng tr c, phép ñ i x ng tâm, phép t nh ti n, phép quay Phép v t , phép ñ ng d ng... cho s ñ i c a nh ng phát minh sáng t o tương lai Trong chương trình tốn trung h c ph thơng có gi i thi u m t l p phép bi n hình m t ph ng, ñ c bi t phép d i hình phép đ ng d ng ng d ng c a chúng... bư c ñ u v n d ng phép ngh ch ñ o vào gi i tốn hình h c ph ng, ngư i vi t m nh d n vi t chuyên ñ “S d ng phép ngh ch ñ o gi i tốn hình h c ph ng” Chun đ g m hai chương Chương I Phép ngh ch ñ o