Sáng kiến kinh nghiệm về toán rời rạc ở trường THPT chuyên Bắc Giang.PDF

S GIÁO D C VÀ ðÀO T O B C GIANG TRƯ NG THPT CHUYÊN B C GIANG TR N TH HÀ PHƯƠNG CÁC CHUYÊN ð TOÁN R I R C (Chuyên ñ b i dư ng HSG) T : Toán- Tin Năm h c : 2010-2011 Mã s :…………… B c Giang - Tháng năm 2011 Tr n Th Hà Phương- THPT Chuyên BG M t s d ng tốn v t h p L I NĨI ð U Toán r i r c m t ph n quan tr ng chương trình tốn h c, k c ph thơng chương trình dành riêng cho l p Chuyên Toán Trong kỳ thi ð i h c kỳ thi h c sinh gi i đ u có tốn v t h p toán r i r c Hi n nay, sách vi t v toán r i r c khơng nhi u Chính v y h c sinh s g p khó khăn vi c tìm tài li u Trong cu n sách ”M t s chuyên ñ ð i s b i dư ng h c sinh gi i THPT” , thày Nguy n Văn Ti n ñã h th ng, xây d ng lý thuy t c a m t s nguyên lý toán h c cung c p h th ng t p cho h c sinh Tuy nhiên, khn kh cu n sách nên cịn có m t h th ng t p chưa có l i gi i Trong khn kh chun đ này, ngư i vi t ñã gi i thêm vào m t h th ng t p b sung thêm cho nguyên lý ph n ch ng, quy n p, Dirichlet, c c h n lý thuy t trò chơi Trong chương I, ngư i vi t trình bày m t s d ng tốn v t h p nh th c Newton Ph n có tác d ng đ i v i c ôn thi ð i h c ôn thi HSGQG Trong chương ñưa m t phương pháp xét s h ng t ng quát ñ ch ng minh ñ ng th c t h p.Thư ng d ng toán trư c dành cho h c sinh l p 12 Phương pháp giúp h c sinh l p 10 chưa ñư c h c ngun hàm tích phân v n có th gi i ñư c Trong chương II, ngư i vi t tóm t t l i nguyên lý b n c a Toán h c: nguyên lý ph n ch ng, quy n p, Dirichlet, c c h n lý thuy t trị chơi, đ ng th i ñưa m t h th ng t p minh ho ðây góp ph n m t tài li u v toán r i r c ñ d y l p Chuyên toán b i dư ng HSGQG Ngư i vi t mong nh n ñư c s trao ñ i, góp ý c a thày cô giáo em h c sinh ñ chuyên ñ có ch t lư ng cao n a B c giang, tháng năm 2011 Ngư i vi t Tr n Th Hà Phương Tr n Th Hà Phương- THPT Chuyên BG M t s d ng toán v t h p M CL C Trang Chương I M T S D NG TOÁN V T H P VÀ NH TH C NEWTON I.1 Tóm t t ki n th c lý thuy t ………………… …………………… I.1.1 I.1.2 I.1.3 I.2.M t s I.2.1 I.2.2 I.2.3 I.2.4 I.2.5 I.2.6 I.2.7 I.2.8 Hoán v Ch nh h p T h p Công th c khai tri n nh th c Newton……………………………1 M t s công th c v t h p……………………………………….1 d ng toán thư ng g p ……………………… Các toán v tính tốn, suy lu n … …2 Phương trình b t phương trình t h p……………………… Bài tốn tính t ng…………………………………………………4 Ch ng minh h th c t h p…………………… Tính h s c a đa th c………………………… S d ng ð o hàm ch ng minh công th c t h p…………… S d ng Tích phân ch ng minh cơng th c t h p…………….8 Bi n đ i tương ñương ch ng minh ñ ng th c t h p……….10 Chương II M T S D NG TOÁN V CÁC NGUYÊN LÝ CƠ B N C A TOÁN H C 13 II.1 Nguyên lý ph n ch ng ……… 13 II.1.1.M t s ý .13 II.1.2.M t s ví d minh ho 13 II.2 Nguyên lý Quy n p 16 II.2.1 Phương pháp quy n p hoàn toàn………………………………….16 II.2.2 Phương pháp quy n p lùi……………………………………… 17 II.2.3 M t s ví d minh ho .18 II.3 Nguyên lý Dirichlet .19 II.4.Nguyên lý c c h n ………………………………… 24 II.5.M t s t p v lý thuy t trò chơi…………………………….…… 39 II.5.1.M t s khái ni m…………………………………… 39 II.5.2.M t s phương pháp xây d ng chi n lư c th ng………………….40 Tr n Th Hà Phương- THPT Chuyên BG M t s d ng toán v t h p Chương I M TS D NG TOÁN V T H P VÀ NH TH C NEWTON I.1 Tóm t t ki n th c ký thuy t I.1.1 Hoán v , Ch nh h p, T h p ñây ta quy c n, k s t nhiên v i n ≥ 1; k ≤ n t a) Hoán v : Cho m t t p h p A g m n ph n t M i cách s p x p th t n ph n t o thành m t hoán v S hoán v c a n ph n t Pn = n! b) Ch nh h p: Cho m t t p h p A g m n ph n t M i cách s p x p k ph n t c a t p h p A t o thành m t ch nh h p ch p k c a n ph n t k S ch nh h p ch p k c a n ph n t An = n! (n − k )! c) T h p: Cho t p h p A g m n ph n t M i t p g m k ph n t c a t p h p A t o thành m t t h p ch p k c a n ph n t n! k S t h p ch p k c a n ph n t Cn = k !(n − k )! I.1.2 Công th c khai tri n nh th c Newton n k (a + b)n = ∑ Cn a n−k bk k =0 n k k (a − b)n = ∑ ( −1) Cn a n−k bk k =0 I.1.3 M t s công th c v t h p k n a C n = C n − k k k b C n + C n +1 = C k +1 n +1 n c C n + xC + x C n + + x n C n n n C n + C + C n + + C n = n n = (1 + x ) n n d C n − xC + x C n − + ( − 1) n x n C n = (1 − x ) n n n C n − C + C n − + ( − 1) n C n = n C + C + + C n = C + C + + C n −1 = 2 n −1 2n 2n 2n 2n 2n 2n Tr n Th Hà Phương- THPT Chuyên BG M t s d ng toán v t h p I.2 M t s d ng tốn thư ng g p I.2.1 Các tốn tính tốn, suy lu n Bµi Cho A= {0, 1, 2, 3, 4, 5} Có thể lập đợc số gồm chữ số khác từ A nhng thiết phải có mặt chữ số Bài Cho chữ số 1, 2, 3, 4, 5, Có thể lập đợc số có chữ số khác mà ba số 1, 2, đứng cạnh Bài Cho số 0, 1, 2, 3, 4, Có thể lập đợc số có chữ số, chữ số có mặt ba lần, chữ số khác có mặt lần Bài Cho số 1, 2, 3, 4, 5, Có thể lập đợc số có chữ số, chữ số có mặt hai lần, chữ số khác có mặt lần Bài Cho sè 1, 2, 3, 4, 5, Cã thÓ lËp đợc số có chữ số khác nhau, chữ số không đứng cạnh Bài Cho số 1, 2, 3, 4, 5, Có thể lập đợc số gồm chữ số khác nhau.Tính tổng số lập đợc Bài Cho số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Có thể lập đợc số có bốn chữ số khác từ chữ số trên.Tính tổng số lập đợc Bài Một đội xây dựng có 10 nhân công kỹ s Để lập tổ công tác ngời ta chọn kỹ s làm tổ trởng, công nhân làm tổ phó, công nhân làm tổ viên Hỏi có cách lập tổ Bài Có nhà toán học nam, nhà toán học nữ, nhà vËt lý nam Hái cã bao nhieu c¸ch lËp mét đoàn công tác gồm ngời cần có nam nữ, nhà toán học nhà vật lý Bài 10 (B-2004) Trong môn học, thày giáo có 30 câu hỏi khác để lập kiểm tra víi c©u khã, 10 c©u TB, 15 c©u dƠ Từ 30 câu hỏi lập đợc đề kiểm tra gồm câu hỏi khác đề phải thiết có mặt ba loại số câu dễ không Bài 11 (B-2002) Cho đa giác 2n đỉnh A1, A2,, A2n néi tiÕp (O) BiÕt r»ng sè tam gi¸c cã đỉnh ba 2n điểm A1, A2,, A2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh bốn 2n điểm A1, A2,, A2n Tìm n Bµi 12 M t h p đ ng 14 viên bi có tr ng lư ng khác ñó có viên bi tr ng viên bi đen Tìm s cách ch n viên bi cho viên bi ñư c ch n ph i có nh t m t viên bi tr ng Tr n Th Hà Phương- THPT Chuyên BG M t s d ng toán v t h p I.2.2 Phương trình b t phương trình t h p -Phương trình t h p phương trình có ch a nhi u n s cơng th c t h p, ch nh h p, hoán v -Khi gi i phương trình t h p ta ñ c bi t ý ñ n vi c ñ t ñi u ki n cho n s , s d ng công th c v t h p ñ bi n ñ i, rút g n đưa v phương trình đ i s đ gi i, cu i so sánh nghi m tìm đư c v i ñi u ki n ñ t r i k t lu n Bài 13 Gi i phương trình b t phương trình sau a, Ax + 2C x−1 − 3C x−3 = 3x2 + P + 159 x+1 x−1 b, C + C > An n+ n+ 2 c, 1 x − Cx = Cx C d, 72C1 − A3 ≥ 72 x x+1 Bài 14 25 h c sinh c a m t l p mu n l p nh ng nhóm g m p h c sinh Tìm p ñ s nhóm có th l p ñư c l n nh t Tìm s nhóm L i gi i S nhóm g m p h c sinh có th l p đư c C p (1 ≤ p ≤ 25) 25 ð s nhóm có th l p đư c l n nh t 25! 25!   p C ≥ C p−1  p !(25 − p)! ≥ ( p − 1)!(26 − p)! 26 − p ≥ p  p ≤ 13  p = 12  25 25 ⇔  ⇔ ⇔ ⇒   25! 25!  p + ≥ 25 − p  p ≥ 12  p = 13 C p ≥ C p+1  ≥ 25  25  p !(25 − p)! ( p + 1)!(24 − p)!  V y n u l p nh ng nhóm g m 12 h c sinh ho c 13 h c sinh s nhóm l p ñư c l n nh t Bài t p t luy n A + An , v i C2 + 2C2 + 2C2 + C2 =149 Bài 15 Tính giá tr c a bi u th c A = n+1 n+1 n+2 n+3 n+4 (n + 1)! Bài 16 Gi i phương trình b t phương trình sau: x x x C + C x − + C x − = C x −1 − x x x 3 x b , C x C x − + C x C x + C x C x − = 0 14 − ≥ x c, Cx Cx C x x d , C1 + 6C x − + 6C x −3 ≤ x − 14 x x a, Tr n Th Hà Phương- THPT Chuyên BG Bài 17 Cho dãy { xn } xác ñ nh M t s d ng toán v t h p A4 143 xn = n+4 − (n ∈ ℤ+ ) 4.Pn P n+ Tìm s h ng không dương c a dãy s Bài 18 (B-2006): Cho t p A g m n ph n t (n ≥ 4) Bi t r ng s t p g m ph n t c a A b ng 20 l n s t p g m ph n t c a A Tìm k ∈ {1, 2, , n} cho s t p g m k ph n t c a A l n nh t Bài 19 (A-2008) Cho khai tri n (1 + x ) = a0 + a1 x + a2 x + + an x n , n ∈ N * h s th a n mãn h th c a0 + a a1 a2 + + + n = 4096 Tìm s l n nh t s a0 , a1 , , an 2 2n ( ) n Bài 20 CMR v i ∀n ∈ N , s  +  s l     I.2.3 Bài toán tính t ng Bài 21 Tính t ng S = C1 + C3 + C5 + + C2n−1 4n 4n 4n 4n L i gi i C1 = C 4n−1; C = C 4n−3; ; C 2n−1 = C 2n+1 4n 4n 4n 4n 4n 4n + C + C + + C 4n−1 = 24n−1 Do 2S = C 4n 4n 4n 4n 4n−1 V y S =2 Ta có Bài 22 Rút g n bi u th c k S = Cn − C1 + Cn − Cn + + (−1)k Cn (k ≤ n; n > 1) n k k k (áp d ng công th c Cn + Cn +1 = C k +1 lưu ý Cn = C = ) n−1 n+1 Bài t p t luy n Bài 23 Tính t ng a)S = C1 + C + C + + C 2n−1, (n ∈ℕ + ) 4n 4n 4n 4n 1 + + + A2 A An p c)C p−1 + C p−1 + + C p −1 + C p−1 m−1 m−2 p−1 b) d )1 + P + 2P + + (n −1) P n−1 Tr n Th Hà Phương- THPT Chuyên BG M t s d ng toán v t h p I.2.4 Ch ng minh h th c t h p Bài 24 Ch ng minh r ng: k k k k k a, Cn + 4Cn −1 + 6Cn −2 + 4Cn −3 + Cn −4 = C k (4 ≤ k ≤ n) n+ p p b, C p−1 + C p−1 + C p−1 + + C p −1 + C p−1 = Cm (0 ≤ p ≤ m) m−1 m−2 m−3 p−1 G i ý: p p S d ng công th c C p−1 + C p = Cm hay C p−1 = Cm − C p m−1 m−1 m−1 m−1 Bài 25 Ch ng minh ñ ng th c sau: a, (Cn0 )2 + (Cn )2 + (Cn2 )2 + + (Cnn )2 = C2nn m k b, Cm Cnk + Cm Cnk −1 + Cm Cnk −2 + + Cm Cnk −m = Cm+ n (0 ≤ m ≤ k ≤ n) G i ý: 0 n a, Ta có (1 + x)2n = ( x + 1)n (1 + x)n = (Cn xn + C1 xn−1 + + Cn )(Cn + C1 x + + Cn xn ) n n ð ng nh t h s c a x 2n hai v b, Xét ñ ng th c (1 + x)m+ n = ( x + 1)m (1 + x) n S d ng công th c khai tri n nh th c Newton, r i ñ ng nh t h s c a x k ta ñư c đ ng th c câu b I.2.5 Tính h s c a đa th c Chú ý: Tính h s c a s h ng xα khai tri n ña th c P(x) n - Vi t khai tri n P( x) = ∑ ak x g ( k ) k =0 - H s c a xα ng v i k tho mãn g (k ) = α - N u tìm đư c k ∈ ℕ; k ≤ n h s ph i tìm a k N u tìm đư c k ∉ℕ ho c k > n h s ph i tìm Bài 26 Tính s h ng khơng ch a x khai tri n P( x) = ( x + )n , bi t r ng n tho x mãn Cn + 3Cn + 3Cn + Cn = 2C8 n+ Bài 27 Tìm h s có giá tr l n nh t khai tri n ña th c P( x) = ( x + )14 Bài 28 Tìm h s khơng ph thu c x khai tri n (2 x − )n bi t x 1 + + + = 10 A2 A2 An Tr n Th Hà Phương- THPT Chuyên BG M t s d ng toán v t h p An A1 + n + + 0! 1! Bài 29 Tìm h s c a x8 khai tri n ( + x5 )n bi t x3 n An = 212 n! Bài 30 Tìm h s c a x5 khai tri n ( + x7 )n bi t x4 C1 + C + + C n = 220 −1 2n+1 2n+1 2n+1 Bài 31 Tìm h s c a x14 y3 khai tri n (3 x y + x 3n ) y3 v i x, y > 0, bi t r ng: C1 + C + + C 2n+1 = 1024 2n+1 2n+1 2n+1 21 Bài 32 Tìm h s c a s h ng ch a x 43   khai tri n  x5 +  x   n   Bài 33 Bi t t ng h s c a ba s h ng ñ u tiên khai tri n  x x + 15 28  b ng 79 x   Tìm s h ng khơng ch a x     Bài 34 Tìm s h ng khơng ch a x khai tri n 1 + 2x −  x ( Bài 35 Tìm h ng t s nguyên khai tri n 3+ ) 19 Bài 36 Tìm h s c a x10 khai tri n nh th c ( + x ) , bi t r ng n n 3n Cn − 3n −1 Cn + 3n − Cn − 3n −3 Cn + + ( −1) Cn = 2048 n Bài 37 Tìm h s c a x5 khai tri n bi u th c P = x (1 − x ) + x (1 + 3x ) 10   n Bài 38 Tìm h s c a s h ng ch a x26 khai tri n nh th c Niu-tơn c a  + x  , x  bi t r ng C2 n +1 + C22n +1 + + C2nn +1 = 220 − Bài 39 Tìm h s c a x8 khai tri n thành ña th c c a bi u th c P = 1 + x (1 − x )    Bài 40 Tìm s h ng khơng ch a x khai tri n nh th c Niu-tơn   P=3 x+  , x>0 x  1  n Bài 41 Tìm h s c a s h ng ch a x8 khai tri n nh th c Niu-tơn  + x5  , bi t x  +1 r ng Cnn+ − Cnn+3 = ( n + 3) Tr n Th Hà Phương- THPT Chuyên BG M t s d ng toán v t h p Bài 42 V i n s nguyên dương, g i a3n −3 h s c a x3n −3 khai tri n thành ña th c c a ( x + 1) ( x + ) Tìm n đ a3n −3 = 26n n n Bài 43 Tìm s nguyên dương n th o mãn phương trình sau n Cn + 2Cn + 22 Cn2 + 23 Cn + + n Cn = 243 Bài 44 Cho khai tri n nh th c n n x − x −1 x −1 −   x2   0 1 +  = C n  2  + Cn  2         +C n −1 n n −1 x  −3   + +    x −  x2   −  2      n −1  −x  +C 2    n n n 1 Bi t r ng khai tri n Cn = 5Cn s h ng th tư b ng 20n Tìm n x Bài 45 Cho ña th c P ( x ) = (1 + x ) + (1 + x ) + (1 + x ) + + 20 (1 + x ) 20 Tìm h s c a s h ng ch a x15 khai tri n thành ña th c c a P(x) Bài 46 Bi t r ng t ng t t c h s c a khai tri n nh th c ( x + 1) b ng 1024 Hãy n tìm h s c a s h ng ch a x12 khai tri n Bài 47 G i a1, a2, …, a11 h s khai tri n sau: ( x + 1) ( x + ) = x11 + a1 x10 + a2 x9 + + a10 x + a11 10 Tìm h s a5 Bài 48 Khai tri n ña th c P ( x ) = (1 + x ) thành d ng 12 P ( x ) = a0 + a1 x + a2 x + + a12 x12 Tìm h s l n nh t h s a0, a1, a2, …, a12 Bài 49 Xét khai tri n ( 3x + ) = a0 + a1 x + a2 x + + a9 x9 Tìm max {a0 , a1 , a2 , , a9 } Bài 50 Cho khai tri n: (1 + x ) = a0 + a1 x + + an x n , n ∈ ℕ∗ h n a0 , a1 , , an th a mãn h th c a0 + a a1 + + n = 4096 Tìm s 2n s l n nh t s a0 , a1 , , an Bài 51 Tìm s h ng không ch a x khai tri n nh 18    2x +  x  ( x > 0) th c Niu-tơn: Tr n Th Hà Phương- THPT Chuyên BG M t s d ng toán v t h p ⇒ Dãy (T(k)), (T(P(x))),…dương b ch n ⇒ S phép bi n ñ i h u h n Bài 95 Trên m t đư ng trịn co n ñi m phân bi t T i m i ñi m ta ñ t s th c N u s a,b,c,d theo th t liên ti p theo chi u kim đ ng h tho mãn (a-d)(b-c)>0 ta th c hi n đ i v trí c a b,c Ch ng minh r ng sau h u h n l n th c hi n, không t n t i s a,b,c,d v y n a Bài gi i Ta xét A(x)= ∑ ai +1 Qua m i th i ñi m th c hi n A(x) > A(P(x)) Mà có h u h n m nên có h u h n giá tr A(x) hay {A(x)} b ch n Do A(x) ∈ Z nên sau h u h n bư c không xu t hi n b a,b,c,d v y n a (ủpcm) Bài 96 Trên mặt phẳng cho n điểm ba điểm thẳng hàng Chứng minh rằng: tồn đờng tròn qua ba điểm đà cho cho điểm số điểm đà cho nằm hình tròn Bi gi i Lấy n điểm đà cho cặp điểm có khoảng cách ngắn nhất, giả sử cặp ; điểm cho ∠ΑΜΒ lín nhÊt ⇒ Ba ®iĨm Α; Β; không thẳng hàng Ta chứng minh đờng tròn qua ba điểm ; ; đờng tròn phải tìm Ta có ; ⇒ ∠ΑΜΒ ≤ ∠ΑΒΜ; ∠ΑΜΒ ≤ ∠ΒΑΜ ⇒ ∠ΑΜΒ ≤ 60 Giả sử số (n 3) điểm lại có điểm nằm đờng tròn ( ) Xét khả xảy ra: i, Trờng hợp 1: Điểm nằm viên phân với điểm > , mâu thuẫn với cách chọn điểm ii, Trờng hợp 2: Điểm thuộc viên phân khác tù ( vô lí ) Do đờng tròn ( ) điểm đà cho Vậy tồn đờng tròn qua ba điểm đà cho mà điểm số điểm lại nằm hình tròn (đpcm) 32 Tr n Th Hà Phương- THPT Chuyên BG M t s d ng tốn v t h p Bµi 97 Trong mét cuéc thi ®Êu cê cã n ng−êi tham gia (n ∈ Ζ; n > 3) BiÕt r»ng hai ng−êi bÊt kú ®Ịu ®Êu víi ®óng mét ván ván hoà Chứng minh xếp n ngời thành hàng dọc cho: ngời kể từ ngời đứng đầu thắng ngời đứng kề sau Bi gi i Vì ván đấu hoà nên từ ngời chơi, xếp đợc thành hàng dọc cho hàng ngời kể từ ngời đứng đầu thắng ngời đứng kề sau ( hàng có ; ; ngời ) Trong hàng dọc đà xếp đợc, xét hàng có số ngời nhiều Giả sử hàng ( kÝ hiƯu lµ hµng 1) gåm m ng−êi vµ đợc xếp thành hàng theo thứ tự là: A1 ; A2 ; ; Am NÕu m = n ta có điều phải chứng minh Xét m < n , giả sử B ngời thuộc hàng Nếu B thắng A1 hàng B; A1 ; A2 ; ; Am có nhiều ngời hn hàng 1: vô lí B thua A1 Nếu B thắng A2 hµng A1 ; B; A2 ; ; Am cã nhiỊu ngời hàng 1: vô lí B thua A2 Cứ tiếp tục lí luận nh ta đợc B có nhiều ngời hàng 1: vô lí Vậy m = n hàng có đủ n ngời, toán đợc chứng minh Bài 98 Giải hệ phơng tr×nh sau: x = y −   y = 2z −  z = 2x Bi gi i Vì hệ phơng trình hoán vị vòng quanh nên không tính tổng quát ta giả sử x = max {x; y; z} x = y − ta suy ra: y ≥ z  y = 2z Vì x y nên tõ   y3 = 2z −1 suy : z ≥ x z = 2x −  Tõ  Do ®ã : x = y = z Thay vµo x = y − ta cã: x − x + = 33 Tr n Th Hà Phương- THPT Chuyên BG M t s d ng toán v t h p x = y = z =1   ⇒ −1± x = y = z =  Bài 99 Trên mặt phẳng kẻ n đờng thẳng hai đờng thẳng song song ba đờng thẳng đồng quy Các đờng thẳng chia mặt phẳng thành phần Chứng minh rằng: ta lấy đờng thẳng từ n đờng thẳng có phần có biên thuộc đờng thẳng đợc chọn miền tam giác Bi gi i Gọi n đờng thẳng ®· cho lµ: d1 ; d ; d ; ; d n Xét đờng thẳng d i số n đờng thẳng đà cho Nếu nửa mặt phẳng có bờ d i có giao điểm cặp đờng thẳng lại nửa mặt phẳng ta lấy giao điểm gần d i Ta chứng minh số đờng thẳng mà giao điểm cặp đờng thẳng lại nằm phía không vợt Thật vậy, giả sử có đờng thẳng nh vậy, chẳng hạn là: d j ; d k ; d l Khi xét đờng thẳng d n khác , d n cắt d j ; d k ; d l điểm phân biệt: Α nj ; Α nk ; Α nl Trong điểm có điểm nằm điểm kia, giả sử điểm nk giao ®iĨm Α nj ; Α nl n»m vỊ hai phía d k (trái với giả thiết) Do số đờng thẳng mà giao điểm đờng thẳng lại nằm phía không vợt Vậy ta lấy đờng thẳng từ n đờng thẳng đà cho có phần có biên thuộc đờng thẳng đợc chọn miền tam giác (đpcm) Bài 100 Trên mặt phẳng kẻ n đờng thẳng hai đờng thẳng cắt có ba số đờng thẳng đà cho qua giao điểm hai đờng thẳng Chứng minh rằng: tất đờng thẳng đà cho ®ång quy Bài gi i Gäi Ο lµ giao ®iĨm hai đờng thẳng số n đờng thẳng đà cho Giả sử tất đờng thẳng đà cho qua O, nghĩa tồn đờng thẳng (d ) số n đờng thẳng đà cho không qua O Trong số giao điểm đờng thẳng đà cho không thuộc (d ) ta chọn điểm gần (d ) nhất, giả sử điểm A Theo giả thiết có đờng thẳng ®i qua ®iĨm A, ®ã lµ: (D'); (D"); (D' ' ') Các đờng thẳng lần lợt cắt (d ) t¹i E; F; G 34 Tr n Th Hà Phương- THPT Chuyên BG M t s d ng toán v t h p Ta giả sử F điểm E G Qua F, (D") (d ) ra, theogiả thiết có đờng thẳng ( ) Đơng thẳng ( ) cắt cạnh AG AFG điểm D nằm A G GD < GA Điểm D gần đờng thẳng (d ) A ( mâu thuẫn với cách chọn điểm A ) Nếu ( ) không cắt cạnh AG AFG ( ) cắt cạnh AE AFE Lí luận tơng tự nh ta suy điều mâu thuẫn Do n đờng thẳng đà cho có điểm chung Vậy tất đờng thẳng đà cho đồng quy (đpcm) Bài 101 Trên mặt phẳng cho n điểm phân biệt (n 3) Biết đờng thẳng qua hai số điểm đà cho có điểm khác Chứng minh rằng: tất n điểm đà cho thẳng hàng Bi gi i Giả sử n điểm đà cho không thẳng hàng Xét tất khoảng cách từ điểm số n đà đờng thẳng qua cặp điểm( số n điểm đà cho) mà không qua điểm ta xét Tồn điểm số n điểm đà cho đờng thẳng mà khoảng cách chúng ngắn Gọi điểm A đờng thẳng BC Theo giả thiết, đờng thẳng BC qua điểm M số điểm lại Không giảm tính tổng quát ta giả sử điểm M thuộc đoạn BC Khoảng cách từ M đến đoạn AC nhỏ khoảng cách từ điểm A đến đoạn BC ( Mâu thuẫn với cách chọn điểm A đờng thẳng BC ) Vậy n điểm đà cho thẳng hàng (đpcm) Bài 102 Bảy ngời câu đợc tất 100 cá Biết hai ngời câu đợc số cá nh Chứng minh rằng: có ba số bảy ngời câu đợc không 50 cá Bi gi i Ta ngời câu cá theo thứ tự để số cá câu đợc họ giảm dần Nh vậy, ngời thứ câu đợc số cá nhiều ngời thứ bảy câu đợc số cá Nếu ngời thứ t câu đợc không 15 cá ba ngời đầu câu đợc không 16+17+18 = 51 cá Nếu ngời thứ t câu đợc 14 cá bốn ngời sau câu đợc không 14+13+12+11 = 50 cá Nh ba ngời đầu câu đợc không 50 c¸ 35 Tr n Th Hà Phương- THPT Chuyên BG M t s d ng toán v t h p VËy bao giê còng cã ba sè bảy ngời câu đợc không dới 50 cá ( đpcm ) Bài 103 Chứng minh rằng: phơng trình: x − y = (1) cã nghiÖm nguyªn nhÊt x = y = Bài gi i Tr−íc hÕt ta nhËn xÐt r»ng: nÕu a b a b Hơn nữa, ( x; y ) nghiệm phơng trình (1) ( x ; y ) nghiệm phơng trình (1) Do ta cần xét nghiệm nguyên không âm phơng trình Giả sử ( x0 ; y ) nghiệm nguyên không âm phơng trình (1)sao cho x0 số nhỏ 2 x0 − y = Khi ®ã, ta cã: (*) ⇒ x0 ⋮ Do ®ã : x0 = 7m ( m số nguyên không ©m) Thay vµo (*) ta cã: 7m − y = (**) 2 Do c¸ch chän ban đầu ta có y x0 Từ (**) ta suy 2 x0 ≥ y Tøc lµ 2 x0 = y ⇔ x0 = y = Vậy phơng trình (1) có nghiệm nhÊt lµ ( x; y ) = (0;0) (đpcm) Bài104 Chứng minh rằng: phơng trình: x + y + z + t = xyzt nghiệm tập hợp số nguyên dơng Bài 105 Chứng minh rằng: số hữu tỉ mà bình phơng Bài gi i Tr−íc hÕt ta nhËn xÐt r»ng: nÕu a số vô tỉ a sè v« tØ ( ) Ta cã: = ± 2 ( ) vµ = ± Ta chØ cÇn chøng minh ThËt vËy: NÕu hữu tỉ Khi = 2= ( số hữu tỉ ( tức chúng số vô tỉ ) ) m m; n ∈ Ν * ; (m, n ) = n m2 ⇒ 2n = m 2 n ⇒ m ⋮2 Mµ lµ sè nguyên tố nên m Đặt m = 2k (k ∈ Ν * ) 36 Tr n Th Hà Phương- THPT Chuyên BG M t s d ng toán v t h p Ta cã: 2n = (2k )2 ⇒ 2n = 4k ⇔ n = 2k ⇒ n ⋮ ⇒ n ⋮ Do vËy, m vµ n cïng chia hÕt cho ⇒ (m, n ) ≠ Điều mâu thuẫn với (m, n ) = số vô tỉ Từ ta có - số vô tỉ Do số hữu tỉ mà bình phơng Chứng minh tơng tự ta có đợc: số hữu tỉ mà bình phơng Vậy số hữu tỉ mà bình phơng ( đpcm ) Bài 106 Cho n(n > ) đờng thẳng mặt phẳng, đờng thẳng đồng quy Chứng minh rằng: n đờng thẳng đồng quy Bi gi i Giả sử đờng thẳng đà cho không đồng quy Xét khoảng cách khác từ điểm đến đờng thẳng không qua ( tồn điểm nh theo giả thiết phản chứng ) Trong khoảng cách đó, chọn đoạn ngắn nhất, giả sử đoạn từ điểm đến đờng thẳng d Qua có ba đờng thẳng qua, gọi giao điểm chúng với đờng thẳng d ; C; D Tồn hai điểm nằm phía với H, chẳng hạn C; D Giả sử C nằn H D, dễ dàng chứng minh đợc khoảng cách từ C đến AD nhỏ AH (vô lí ) Vậy điều giả sử sai tức đờng thẳng đồng quy Bài 107 Cho n hình låi (n > 2) cho cø ba h×nh låi có giao khác rỗng Chứng minh rằng: n hình lồi đà cho có giao khác rỗng Đó nội dung cua định lí Hely ( Một hình đợc gọi hình lồi hai điểm thuộc hình đoạn thẳng nối hai điểm thuộc hình ) Sử dụng định lí ta giải toán sau: 1, Cho đa gi¸c låi cã chu vi b»ng mét Chøng minh r»ng: chứa đa giác hình tròn có bán kính 1/4 Bi gi i Hình tròn chứa tam giác nhọn có bán kính nhỏ hình tròn ngoại tiếp, tam giác tù hình tròn đờng kính cạnh lớn nhất, ta chứng minh đa giác lồi chứa hình tròn có bán kính lớn số hình tròn chứa tam giác ( có đỉnh đỉnh đa giác ) 2, Cho n hình tròn cho đặt đĩa bán kính cắt ba đờng tròn Chứng minh rằng: tìm đợc vị trí đặt đĩa cho cắt n đờng trßn 37 Tr n Th Hà Phương- THPT Chuyên BG M t s d ng toán v t h p Bài 108 Cho tập hợp gồm n điểm mặt phẳng không thuộc đờng thẳng, kẻ đờng thẳng qua cặp hai điểm n điểm ®ã Chøng minh r»ng: tån tai mét ®−êng th¼ng ®i qua hai điểm tập hợp Bài 109 Tìm hàm f : * * thoả mÃn điều kiện sau: i, ii, f (n + f (n )) = f (n ) Tån t¹i n0 cho f (n0 ) = Bài gi i Ta sÏ chøng minh f (n ) = víi ∀n NÕu f (a ) = th× ta cã f (a + f (a )) = f (a ) hay f (a + 1) = , tøc lµ f (n ) = víi ∀n ≥ n0 Gọi S tập hợp số n cho f (n ) Vì S hữu hạn nên gọi b phần tử lớn cña S Ta cã: f (b + f (b )) = f (b ) nªn b + f (b ) ∈ S Mµ b + f (b ) > b ( mâu thuẫn với cách chọn điểm b ) Vậy f (n ) = víi ∀n Bµi 110 Trong hội nghị, hai ngời cã ng−êi quen chung , cø hai ng−êi kh«ng quen có hai ngời quen chung Chứng minh rằng: hội nghị này, tất ngời cã sè ng−êi quen nh− Gỵi ý: Chøng minh hai ng−êi quen cã sè ng−êi quen b»ng trớc chứng minh phần lại toán Bài 111 Chứng minh rằng: phơng trình: 5a = 36b + 18c + 6d cã nghiÖm nhÊt a = b = c = d = Gợi ý: Xét đồng d theo mod 16 sử dụng nguyên lí cực hạn Bài 112 Gọi C đa giác 2009 đỉnh có toạ độ nguyên ( không thiết đa giác lồi ) Mỗi cạnh C không chứa điểm có toạ độ nguyên ( trừ hai đỉnh C ) Chứng minh rằng: có cạnh chứa điểm có toạ độ (x; y ) cho x;2 y số nguyên lẻ Bài 113 Một tập hợp n phÇn tư (n > 4) , chän n + tập con, tập gồm ba phần tư Chøng minh r»ng: cã thĨ t×m hai tËp mà chúng có chung hai phần tử Bài 114 Chứng minh rằng: không tồn ngũ giác có đỉnh có toạ độ nguyên 38 Tr n Th Hà Phương- THPT Chuyên BG M t s d ng tốn v t h p Gỵi ý: Gäi ABCDE ngũ giác dều có cạnh nhỏ nhất, áp dụng tính chất sau: giao điểm đờng chéo ngũ giác ngũ giác chứng minh giao điểm có toạ độ nguyên suy điều vô lí Mở rộng: Tìm tất số tự nhiên n cho tồn đa giác n cạnh có đỉnh có toạ độ nguyên Gợi ý: n = giá trị Bài 115 Tìm số tự nhiên n(n > 3) lớn cho mặt phẳng có n điểm phân biệt mà ba điểm chúng đỉnh cua tam giác vuông Bi gi i Giả sử có n điểm phân biệt: A1 ; A2 ; ; An với n > , thoả mÃn điều kiện toán Vì số đoạn thẳng nối điểm hữu hạn vai trò điểm nh nên giả sử A1 A2 = max (Ai A j ) víi i; j = n Thế thì, A1 A2 Ai tam giác vuông với cạnh huyền A1 A2 , i nằm đoạn n Nói cách khác, điểm A1 ; A2 ; ; An nằm đờng tròn ®−êng kÝnh A1 A2 NÕu c¸c ®iĨm A3 ; A4 ; ; An cã hai ®iĨm cïng n»m nửa đờng tròn đờng kính A1 A2 , chẳng hạn A3 ; A4 dễ thấy A1 A3 A4 tam giác tù ( vô lí) Trên nửa đờng tròn đơng kính A1 A2 có nhiều nhÊt mét ®iĨm thc {A3 ; A4 ; An } n Đảo lại, dễ thấy n = hình chữ nhật A1 A2 A3 A4 thoả mÃn điều kiện toán Nh n lín nhÊt b»ng ThÊy r»ng, ®Ønh cđa mét hình chữ nhật thoả mÃn toán Vậy số n lớn phải tìm Bài 116 Cho a; b; c ∈ [0;1] T×m Max cđa : Α= a b c + + + (1 − a )(1 − b )(1 − c ) b + c +1 a + c +1 a + b +1 Bài gi i Gi¶ sư a = max{a; b; c} Khi ®ã: b b c c ≤ ≤ ; a + c +1 b + c +1 a + b +1 b + c +1 Theo bất đẳng thức AM-GM, ta cã: (1 − b )(1 − c )(1 + b + c ) ≤  − b + − c + + b + c  =     39 Tr n Th Hà Phương- THPT Chuyên BG M t s d ng toán v t h p Suy ra: (1 − b )(1 − c ) ≤ b + c +1 ( + b + c > ) Tõ ®ã cã: a b c 1− a a + b + c +1− a + + + = = b + c +1 b + c +1 b + c +1 b + c +1 b + c +1 Đẳng thức xảy chẳng hạn a = b = c = ∈ [0;1] Vậy giá trị lớn A=1 Bài 117 Trên đờng thẳng cho tập X gồm điểm cho điểm M thuộc X trung điểm đoạn thẳngnối hai điểm thuộc X Chứng minh tập X vô hạn Hớng dẫn: Giả sử tập X hữu hạn, tồn điểm B biên X, nhng B trung điểm hai điểm thuộc X, giả sử sai, tức tập X vô hạn Bài 118 Một nớc có 80 sân bay mà khoảng cách cặp sân bay khác ba sân bay thẳng hàng Cùngmột thời điểm từ sân bay có máy bay cất cánh bay đến sân bay gần Chứng minh sân bay có máy bay bay ®Õn Bài gi i Tõ gi¶ thiÕt suy ra: nÕu máy bay bay từ sân bay M N đến sân bay O MN cạnh lớn OMN Vì vậy, MON góc lớn OMN MON > 60 Giả sử O sân bay có số máy bay bay đến nhiều (có n máy bay bay đến ) máy bay bay đến từ sân bay M ; M ; ; M n ( tên sân bay đợc đặt cho tia OM i OM i +1 kề đợc xếp ngợc chiỊu kim ®ång hå, M n +1 := M ) Do ba sân bay thẳng hàng nên ta đợc n góc M i OM i +1 cã tæng b»ng 360° Gãc nhá nhÊt số góc phải 360 Nhng theo trên, góc n phải > 60 Từ ta cã: 360° > 60° ⇒ n < ⇒ n ≤ n Tõ chøng minh trªn ta thấy điều kiện ba sân bay thẳng hàng bỏ qua Vậy sân bay có máy bay bay đến Bài 119 Một quốc gia có 2009 thành phố Giữa hai thành phố có đờng nối với Độ dài đờng đôi khác Từ thành phố A ta đến thành phố B khác theo đờng ngắn Từ thành phố B ta lại ®Õn thµnh C 40 Tr n Th Hà Phương- THPT Chuyên BG M t s d ng toán v t h p khác theo đờng ngắn ( khác với đờng vừa ) Cứ nh quy tắc Hỏi đờng có thành phố đợc qua hai lần hay không Bi gi i Biểu diễn thành phố điểm A j ; j 1; ;2009 mặt phẳng Giả sử ta xuất phát từ điểm A1 đến điểm A2 Khi A1 A2 đoạn ngắn số đoạn A1 A j A2 Xét đoạn A2 A j tìm đoạn ngắn số đoạn Có hai khả xảy ra: ( ) Khả 1: Min A2 A j = A2 A1 j ∈ 1; ;2009, j ≠ Khi ®ã ®−êng kết thúc A2 thành phố đợc qua hai lần Khả 2: Min A2 A j = A2 A3 ( j ∈1; ;2009, j 2) Khi A3 A2 A3 < A2 A1 Ta ®i tiÕp ®Õn điểm A3 Đối với điểm A3 ta làm nh Giả sử đờng ( ) kết thúc điểm An theo lập luận trên, điểm Ak k 1; ; n đợc chọn cách nhÊt vµ: A1 A2 > A2 A3 > > Ai Ai +1 > > An −1 An Giả sử đờng ta qua điểm Ai hai lần, đờng chứa ®−êng gÊp Ai Ai +1 Ai + Am Ai khóc khÐp kÝn: Theo nhËn xÐt trªn ta cã: Ai Ai +1 > Ai +1 Ai + > > Am −1 Am > Am Ai ⇒ Ai Ai +1 > Ai Am Đó điều vô lí ( trái với cách chọn điểm Ai +1 điểm có khoảng cách ngắn tới Ai ) Vậy đờng thành phố đợc qua hai lần II.5 M t s bi t p v lý thuy t trò chơi II.5.1 M t s khái ni m: II.5.1.1 Trò chơi : + S ngư i chơi: ( → n ) + Quy lu t chơi + Quy ñ nh th ng thua + Chi n lư c th ng (1, 2, t i ưu) II.5.1.2 M t s phương pháp xây d ng chi n lư c th ng • Phương pháp d a vào tính ch n l (c a s nư c đi, tình hu ng) 41 Tr n Th Hà Phương- THPT Chuyên BG M t s d ng tốn v t h p Ví d 11 Có th di chuy n quân mã bàn c qu c t theo qui t c thông thư ng b t ñ u b ng A1 k t thúc b ng H Sau m i nư c ñi c a quân mã ñ i m u m t đ đ n màu A1 (trong có H ) quân mã ph i ñi m t s ch n nư c, qua m i c a bàn c ph i qua × − = 63 nư c s l V y khơng th qn mã t A1 t i ô H cho m i ô c a bàn c ñ u ñi qua m t l n • Phương pháp d a vào tính ñ i x ng Ví d 12 Hai ngư i ñ t mã tr ng ñen ô tr ng c a bàn c qu c t cho khơng b b t b i mã đ t trư c c a đ i phương Ngư i khơng cịn nư c ñi s thua H i ngư i chi n th ng? Bài gi i Ngư i ñi sau ch c ch n th ng b ng cách ñ t ñ i x ng qua tâm bàn c c a ngư i ngư i ñi trư c ñã đ t (th t v y cịn tr ng có th đ t trư c) Ơ màu v i mã đ i phương v a đ t.(n u khơng b qn mã ăn) Ơ khơng b mã khác kh ng ch n u b kh ng ch ô v a ñ t c a ñ i phương b kh ng ch t trư c Ví d 13 Thay quân mã b ng tư ng ví d 12 G i ý L y ñ i x ng qua tr c bàn c • Chi n lư c c p Tồn b trị chơi có th chia thành c p nư c ñi chi n lư c c p địi h i n u ngư i ñi nư c ñ u tiên c a c p ngư i nư c l i c a c p II.5.2 M t s t p Bài 120 Hãy xây d ng t p A, B ⊂ ℕ cho v i ∀n ∈ N t n t i nh t a, b th a mãn: a ∈ A, b ∈ B, n = a + b Bài gi i Xét: A = { 0, s thu c ℕ * mà vi t theo s đ ng ph i sang trái, 1, 100, 101,… v trí l t } = {0,1, 4,5, } B = {0, vi t s v trí chi m t ph i sang trái; 10, 101,… Suy m i s n ñ u ph a phân tích m t cách nh t theo { A} , { B} 42 } Tr n Th Hà Phương- THPT Chuyên BG M t s d ng toán v t h p Bài 121 CMR: t p A = {1, 2, ,1995} có th phân ho ch thành t p A2 ( i = 1, ,33) th a mãn : ∀i = 33, Ai có 15 ph n t S1 = S = = S133 (= ∑ A ) i T ng quát Cho m, n, k ∈ ℤ + , m ≥ k + + + n = mk T p An = {1, , n} ln có th phân ho ch thành k nhóm cho t ng s m i nhóm b ng n Bài gi i 1: Xét t p: A' = {−997, −996, −995, , −1, 0,1, ,995} Xét: B1 = {997, −498, −499} B2 = {−997, 498, 499} B3 = {993, −496, −497} B4 = {−993, −496, 497} B2 k +1 = {997 − 4k , 2k − 498, 2k − 499} B2 k + = {4k − 997, 498 − 2k , 499 − 2k } B33 = {−1, 0,1} Thì t ng s ∈ Bi = Bi ∩ B j ≠ ∅ x ∈ Bi ⇒ ∃j → x ∈ B j ðã dùng h t: 133 × s ∈ A' Cịn l i: 133 × 12 s ∈ A' Cho vào Bi m t b c p ñ i d u suy t ng s k=0 ta ñư c cách phân ho ch A' thành 133 t p mà m i t p có t ng b ng Xét Ai = { x + 998 x ∈ Bi } Suy ñpcm Bài 122 Có th x p x p s : 1, ,4n+2 t i ñ nh trung ñi m c nh c a 2n+1 giác ñ u cho t ng s ñư c ghi m i c nh b ng , x p cho trư ng h p n = Bài 123 Cho n ∈ N * t p A1 , A2 , , A2 n +1 t p c a B cho trư c, bi t r ng: 43 Tr n Th Hà Phương- THPT Chuyên BG M t s d ng toán v t h p 1)M i t p Ai ch a ñúng 2n+1 ph n t 2)M i t p Ai ∩ Aj ch a ñúng ph n t 3)M i ph n t c a B ∈ khơng t p Ai ≤ i < j ≤ 2n + V i nh ng giá tr c a n có th ñ t tương t ng m i ph n t c a B v i m t s {0,1} Sao cho m i Ai ch a ñúng n ph n t tương ng v i s Bài gi i: Bi u di n t p Ai ñ nh c a 2n+1 giác ñ u ph n t b ∈ ( B ) ∈ Ai ∩ Aj bi u di n b i ño n Ai Aj (c nh ho c ñư ng chéo) ph n t khác ng v i ño n khác (theo (2)) V y m i ph n t b ∈ ( B ) m t ño n Ai Aj ñó N u có m t đo n Ai Aj chưa đư c bi u di n (không ng v i ph n t c a b t p Ai ( A ) ch j a t i 2n ph n t (trái v i (1)) V y t p B t p ño n Ai Aj ñi u ki n (3) th a mãn Gi s có th vi t đo n Ai Aj s ho c th a mãn: yêu c u s đo n c đ nh n ( 2n + 1) ⇒ n ch n Ngư c l i v i n=2k V i m i s Ai ta g n s 0; v i s Ai Aj v i ñ nh g n nh t: j − i ≤ k Bài 124 Trên ñư ng tròn ñánh s th t 1,2…n Hai ngư i chơi trò chơi sau m i ngư i l n lư t k dây gi a ñi m tính ch n l Các dây đư c k khơng có m chung k c biên Ngư i th ng ngư i k dây cu i Hãy xác ñ nh ngư i th ng cu c giá tr c a n Bài gi i Gi s m ñ nh c a m t ña giác ñ u, m ch n tơ tr ng, m l tơ đen v i n=4k Ngư i th nh t th ng b ng cách k đư ng kính, sau k dây ñ i x ng dây ngư i th k 2) n = 4k + Ngư i th b ng cách k dây ñ i x ng qua tâm O 3) n = 4k + Thì m 4k-1 màu Ngư i th th ng b ng cách k ch ng h n k dây 1,3 ñưa v toán v i n=4(k-1)+2 ngư i th tr thành ngư i th suy ngư i th nh t k th ng 4)n = 4k + 44 Tr n Th Hà Phương- THPT Chuyên BG M t s d ng toán v t h p Các ñ nh 1,4k+3,2k+1,2k+3 màu Ngư i th nh t n i ch ng h n; 2k+1,2k+3 4k m cịn l i có th d ch chuy n cho ñ i x ng qua O Các ñi m ñ i x ng qua O trái màu m c dù có m m c dù m màu Trong trị chơi ngư i th s th ng b ng cách k ñ i x ng qua tâm O t c ngư i thư nh t th ng Tóm l i ngư i th ch th ng v i n=4k+2 ngư i th nh t th ng t t c trư ng h p cịn l i Bài 125 Qn t t đ ng góc bàn c Hai ngư i di chuy n qn t t sang bên c nh có c nh chung, khơng đư c vào mà qn t t qua, ngư i khơng cịn nư c s thua.Ch ng minh n u n ch n ngư i đ u s th ng, n l ngư i đ u s thua Ai s ngư i th ng n u qn t t ban đ u g c c a bàn c ? Bài gi i a) N u n ch n tồn b bàn c s chia thành hình ch nh t 1.2 (c p hình ch nh t domino) N u n l tồn b bàn c s chia thành domino tr ô nh : hi n nhiên n u ngư i vào đ u c a domino thua ngư i th s vào cịn l i c a domino suy n u n ch n ngư i đ u s th ng, n l ngư i đ u s thua b) Ngư i th nh t th ng theo chi n lư c v i n ch n vào c a domino cịn l i, n u n l ngồi vi c chia bàn c thành nhi u domino ta cịn tơ bàn c bàn c qu c t Vì m i domino g m ô khác màu nên n u ngư i th nh t quét domino ngư i th bao gi ph i ñi vào đ u tiên c a domino m i khơng bao gi vào góc đi vào góc ln khác màu v i c a ngư i th 45 Tr n Th Hà Phương- THPT Chuyên BG M t s d ng toán v t h p TÀI LI U THAM KH O T p chí Tốn h c tu i tr Nguy n Văn M u (Ch biên) Chuyên ñ ch n l c T h p toán r i r c NXB GDVN 2009 ðào Tam (Ch biên) Tuy n t p 200 thi vô ñ ch toán - ñ i s t h p NXBGD 2004 Nguy n Văn Ti n M t s chuyên ñ ð i s b i dư ng h c sinh gi i THPT NXB GDVN 2009 M t s gi ng c a thày giáo d y ñ i n HSGQG t i B c Giang 46 ...Tr n Th Hà Phương- THPT Chuyên BG M t s d ng toán v t h p L I NĨI ð U Tốn r i r c m t ph n quan tr ng chương trình tốn h c, k c ph thơng chương trình dành riêng cho l p Chuyên Toán Trong kỳ thi... có toán v t h p toán r i r c Hi n nay, sách vi t v toán r i r c khơng nhi u Chính v y h c sinh s g p khó khăn vi c tìm tài li u Trong cu n sách ”M t s chuyên ñ ð i s b i dư ng h c sinh gi i THPT? ??... + C n −1 = 2 n −1 2n 2n 2n 2n 2n 2n Tr n Th Hà Phương- THPT Chuyên BG M t s d ng toán v t h p I.2 M t s d ng toán thư ng g p I.2.1 Các toán tính tốn, suy lu n Bµi Cho A= {0, 1, 2, 3, 4, 5} Có