CHUYÊN ĐỀ: BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Chuyên đề này gồm: Hệ thống ngắn gọn các kiến thức cơ bản về biến đổi lượng giác và cách giải phương trình lượng giác. Cung cấp các bài tập phong phú về số lượng, đa dạng về các dạng toán về biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác. Hệ thống các bài tập tự luyện giúp học sinh tự luyện tập, củng cố kĩ năng biến đổi lượng giác, giải phương trình lượng giác.

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác phương trình lượng giác …… CHUYÊN ĐỀ: BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Tổng số tiết dạy: 48 tiết = 16 buổi MỞ ĐẦU Biến đổi lượng giác phương trình lượng giác nội dung quan trọng học tập lượng giác nội dung cấu trúc đề thi THPTQG Thành thạo phép biến đổi lượng giác giúp em học sinh thêm tự tin kì thi THPTQG Với mục đích cung cấp cho học sinh THPT Đặc biệt học sinh lớp 10, 11.Các phương pháp biến đổi lượng giác phương trình lượng giác góp phần phát huy tính tích cực, sáng tạo học sinh học tập Chuyên đề gồm: Hệ thống ngắn gọn kiến thức biến đổi lượng giác cách giải phương trình lượng giác Cung cấp tập phong phú số lượng, đa dạng dạng tốn biến đổi lượng giác phương trình lượng giác Hệ thống tập tự luyện giúp học sinh tự luyện tập, củng cố kĩ biến đổi lượng giác, giải phương trình lượng giác PHẦN I: BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC A Lí thuyết B Bài tập phương pháp giải toán Dạng Bài tập hệ thức lượng giác I Tính giá trị lượng giác.Tính giá trị biểu thức lượng giác Cho hàm số lượng giác Tính giá trị hàm số lượng giác lại Biết hàm số lượng giác hay phương trình lượng giác.Tính giá trị biểu thức lượng giác Cho biểu thức lượng giác Tính giá trị lượng giác Tính giá biểu thức lượng giác Tổ: Tốn - Tin Trường THPT ……… Chuyên đề: Biến đổi lượng giác phương trình lượng giác …… Bài tập tính giá trị biểu thức lượng giác qua đề thi thử THPTQG năm 2015 II Chứng minh đẳng thức lượng giác III Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến số IV Rút gọn biểu thức lượng giác Dạng 2: Bài tập công thức quy gọn góc (Cơng thức biểu diễn góc (cung) có liên quan đặc biệt) Dạng 3: Bài tập công thức lượng giác (Công thức cộng Công thức nhân Công thức biến đổi) I Chứng minh đẳng thức lượng giác II Rút gọn biểu thức lượng giác III.Chứng minh biểu thức khơng phụ thuộc vào biến IV Tính giá trị lượng giác.Tính giá trị biểu thức lượng giác PHẦN II: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Dạng Phương trình lượng giác Dạng 2: Phương trình lượng giác thường gặp I Phương trình bậc nhất, bậc 2, bậc với hàm số lượng giác II Phương trình bậc sinx cosx III Phương trình đẳng cấp bậc 2, bậc sinx cosx IV Phương trình đối xứng nửa đối xứng sinx cosx Dạng Dùng phương pháp biến đổi tương đương đưa phương trình tích phương trình lượng giác thường gặp I Phương trình đưa phương trình bậc sinx cosx II Phương trình đưa phương trình bậc nhất, bậc hai hàm số lượng giác III Phương trình đưa phương trình đối xứng nửa đối xứng sinx cosx IV Phương trình đưa phương trình đẳng cấp bậc 2, bậc sinx cosx Dạng Phương trình lượng giác khơng mẫu mực với phương pháp khác I Phương pháp tổng bình phương II Phương pháp đánh giá hai vế Tổ: Toán - Tin Trường THPT ……… Chuyên đề: Biến đổi lượng giác phương trình lượng giác …… PHẦN I BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC Số tiết dạy:18 tiết = buổi A.Mục tiêu dạy 1.Mục tiêu dạy - Học sinh nhớ hệ thức lượng giác -Hiểu cơng thức thu gọn góc -Hiểu nhớ công thức cộng, công thức nhân công thức biến đổi Kỹ -Dùng công thức lượng giác để: +Tính giá trị lượng giác +Rút gọn biểu thức lượng giác Chứng minh đẳng thức lượng giác B LÝ THUYẾT CƠ BẢN I ĐƠN VỊ ĐO GÓC VÀ CUNG: Độ: Goù c10 = goù c beït 180 x Radian: (rad) 1800 =π rad Bảng đổi độ sang rad ngược lại số góc (cung) thơng dụng: Độ Radian 00 300 π 450 π 600 π 900 π 1200 2π 1350 3π 1500 5π 3 II GÓC LƯỢNG GIÁC & CUNG LƯỢNG GIÁC: 3600 2π y Định nghĩa: y 1800 π (tia ngọn) (điểm ngọn) B + α t α O x (Ox, Oy ) = α + k 2π (k ∈ Z) Tổ: Toán - Tin O (tia gốc) + α M t x A (điểm gốc) AB = α + k 2π Trường THPT ……… Chuyên đề: Biến đổi lượng giác phương trình lượng giác …… III ĐỊNH NGHĨA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC: y Đường tròn lượng giác: • A: điểm gốc • x'Ox : trục côsin (trục hồnh ) −1 (trục tung ) C x' • t'At : trục tang u B u' • y'Oy : trục sin t + R =1 O A − −1 • u'Bu : trục cotang y' Định nghĩa hàm số lượng giác: x t' a Định nghĩa: Trên đường tròn lượng giác cho AM= α Gọi P, Q hình chiếu vng góc M x 'Ox y'Oy T, U giao điểm tia OM với t 'At u'Bu Ta định nghĩa: t y t Trục sin Trục cotang u' U B M Q t x' α O Trục cosin P + T α x A −1 y' u t' cosα = OP sinα = OQ − tgα = AT cot gα = BU Trục tang b Các tính chất: Với α ta có: −1≤ sinα ≤ hay sinα ≤ −1≤ cosα ≤ hay cosα ≤ • tanα xá c đònh ∀α ≠ π + kπ với k ∈ ¢ c đònh k k  cot xaự T: Toán - Tin Trường THPT ……… Chuyên đề: Biến đổi lượng giác phương trình lượng giác …… c Tính tuần hồn sin(α + k2π ) = sinα cos(α + k2π ) = cosα tan(α + kπ ) = tanα cot(α + kπ ) = cotα (k ∈ Z ) IV GIÁ TRỊ CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG (GÓC) ĐẶC BIỆT: Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ giá trị đặc biệt y t - - 3/3 -1 u' 2π/3 3π/4 π π/2 3/3 u π/4 3/2 π/6 1/2 1/2 - 3/2 - 2/2 -1/2 -1 2/2 3/2 -π/6 -1 -π/2 -1 -π/3 y' tan α cot α 00 300 450 600 π π π 2 2 2 kxđ 3 kxđ 3 3 - 3/3 -π/4 - 3/2 cos α x A (Điể mgố c) -1/2 Hslg sin α 3/3 O - 2/2 Góc π/3 2/2 5π/6 x' B t' - 900 1200 1350 1500 π 2π 3π 5π π 2π − 2 2 − 2 0 -1 − -1 0 3 -1 kxđ kxđ − 3 − − − 1800 3600 V HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG (GĨC) CĨ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT: Tổ: Tốn - Tin Trường THPT ……… Chuyên đề: Biến đổi lượng giác phương trình lượng giác …… Đó cung: π π & − ,…) 6 Cung đối : α vaø-α Cung bù : α vaøπ -α Cung phụ π π π π & ,…) : α vaø − α (tổng ) (Vd: Cung (tổng 0) (Vd: 2 π π : α vaø + α 2 Cung π : α vaøπ + α Cung đối nhau: cos(−α ) = cosα sin(−α ) = − sinα tan(−α ) = − tanα cot(−α ) = − cotα π 5π & ,…) 6 (tổng π ) (Vd: (Vd: π 2π & ,…) (Vd: π 7π & ,…) 6 Cung bù nhau: Cos đối Sin bù Cung phụ nhau: π cos( − α ) = sinα π sin( − α ) = cosα Phụ chéo π tan( − α ) = cotα π cot( − α ) = tanα cos(π − α ) = − cosα sin(π − α ) = sinα tan(π − α ) = − tanα cot(π − α ) = − cotα Cung π Hơn sin cos cos trừ sin π π cos( + α ) = − sinα π sin( + α ) = cosα π tan( + α ) = −cotα π cot( + α ) = − tanα Cung π : Tổ: Toán - Tin Trường THPT ……… Chuyên đề: Biến đổi lượng giác phương trình lượng giác cos(π + α ) sin(π + α ) tan(π + α ) cot(π + α ) = − cosα = − sinα = tanα = cotα …… Hơn π tan , cot VI CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC: Các hệ thức bản: 1+ tan2α = cos2α + sin2α = sinα π tanα = (α ≠ +kπ ) cosα cosα cotα = (α ≠ kπ ) sinα 1+ cot2α = cos2α sin2α (α ≠ π +kπ ) (α ≠ kπ ) tanα cotα =1 (α ≠ kπ ) 2 Công thức cộng: cos(α + β ) = cosα cosβ − sinα sinβ cos(α − β ) = cosα cosβ + sinα sinβ sin(α + β ) = sinα cosβ + sinβ cosα sin(α − β ) = sinα cosβ − sinβ cosα tanα +tanβ tan(α +β ) = 1− tanα tanβ tanα − tanβ tan(α − β ) = 1+ tanα tanβ Công thức nhân đôi: cos2α = cos2α − sin2α = 2cos2 α − 1= 1− 2sin2α = cos4α − sin4 α sin2α = 2sinα cosα 2tanα π π kπ π tan2α = (α ≠ ± +kπ , α ≠ + ,α ≠ +kπ ) 4 2 1− tan α Công thức nhân ba: cos3α = 4cos3 α − 3cos α sin 3α = 3sin α − 4sin α Công thức hạ bậc: cos α = Tổ: Toán - Tin + cos 2α − cos 2α ; sin α = ; 2 tg 2α = cos α = cos 3α + cos α sin α = sin α − sin 3α − cos 2α + cos 2α Trường THPT ……… Chuyên đề: Biến đổi lượng giác phương trình lượng giác Cơng thức tính sin α ,cos α , tan α theo t = tan sin α = 2t ; + t2 cos α = 1− t2 ; + t2 tan α = …… α 2t + t2 Công thức biến đổi tích thành tổng: [ cos(α + β ) + cos(α − β )] sinα sin β = [ cos(α − β ) − cos(α + β )] sinα cos β = [ sin(α + β ) + sin(α − β )] cosα cosβ = Cơng thức biến đổi tổng thành tích: α+β α −β cosα + cosβ = 2cos cos 2 α+β α −β cosα − cosβ = −2sin sin 2 α +β α −β cos 2 α +β α −β sinα − sin β = 2cos sin 2 sinα + sin β = 2sin sin(α + β ) cosα cosβ sin(α − β ) tanα − tan β = cosα cosβ tanα + tan β = Các công thức thường dùng khác: π π cosα + sinα = 2cos(α − ) = 2sin(α + ) 4 π π cosα − sinα = 2cos(α + ) = − 2sin(α − ) 4 + cos 4α + cos 4α cos α + sin α = cos α + sin α = C BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN Tổ: Tốn - Tin Trường THPT ……… Chuyên đề: Biến đổi lượng giác phương trình lượng giác …… DẠNG BÀI TẬP HỆ THỨC LƯỢNG CƠ BẢN I TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC Cho hàm số lượng giác Tính giá trị hàm số lượng giác lại * Các bước thực hiện: Bước 1: Kiểm tra dấu hàm số lượng giác cần tính Bước 2: Dùng hệ thức lượng giác để tính Bước 3: Kết luận * Ví dụ 1: a) Cho sinα = π < α < π Tính cosα, tanα, cotα Giải: + Vì: π < α < π => cosα < 0, tanα < 0, cotα < + Áp dụng hệ thức lượng giác bản, ta có: cos2α = – sin2α = tanα = sin α =− cosα cotα = − b) Cho cosα = + Vì π < α < 16 = ⇒ cosα = − 25 25 3π với π < α < Tính sinα, tanα, cotα 3π => sinα < 0, tanα > 0, cotα > + Áp dụng hệ thức lượng giác bản, ta có: sin2α = – cos2α = Tổ: Toán - Tin 15 − 15 ⇒ sin α = 16 Trường THPT ……… Chuyên đề: Biến đổi lượng giác phương trình lượng giác tanα = 15 ;cot α = …… 15 15 * Ví dụ 2: π < α < π Tính sinα, cosα, cotα; 3π b) Cho cotα = π < α < Tính sinα, cosα, tanα a) Cho tanα = - Biết hàm số lượng giác hay phương trình lượng giác Tính giá trị biểu thức lượng giác * Phương pháp: Cách 1: Rút gọn biểu thức lượng giác cho hàm số lượng giác biết Cách 2: + Tính hàm số có biểu thức + Thay kết tìm vào biểu thức Cách 3: Giải phương trình để tính giá trị đơn * Áp dụng: Ví dụ 1: Cho tanα = - Tính giá trị biểu thức A= sin α + 2cos α sin α − 2cos α Giải: Vì tanα = - 2(gt) => cosα ≠ Chia tử mẫu A cho cosα ≠ thay tanα = - 2, được: A= tan α + −2 + = =0 tan α − −2 − Ví dụ 2: Cho cotα = Tính giá trị biểu thức sau: A= cos α − sin α cosα + sin α Giải: Chia tử mẫu B cho sin2α ≠ thay cotaα = 3, được: A= + cot α 10 = cot α − cot α + Ví dụ 3: Tổ: Toán - Tin 10 Trường THPT ……… Chuyên đề: Biến đổi lượng giác phương trình lượng giác …… sin x + cos x+sin3x = + cos x + 2sin x ( sin x+sin3x ) + cos x = + cos x ⇔ + 2sin x 2sin x.cos x + cos x ⇔ = + cos x + 2sin x cos x ( 1+2sin2x ) ⇔ = + cos x + 2sin x ⇔ ⇔ 5cos x = + cos x ⇔ cos x − 5cos x + =  cos x =  ⇔  cos x = 2(PTVN) π  x = + k 2π  Vậy cos x = ⇒   x = − π + k 2π  Kết hợp với điều kiện nghiệm x = Vậy phương trình có nghiệm: x = π + k 2π π + k 2π Ý b, c, d tương tự III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VÀ NỬA ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI SINX, COSX Bài Giải phương trình sau: b sin x + cos3 x − = sin x a sin x +sin x + cos3 x = c d ( cot x − cosx ) − ( tan x − sin x ) = 2 ( sin x + cos x ) = tan x + cot x Giải: a s inx+sin x + cos3 x = ⇔ sin x +sin x + cos3 x = ⇔ sin x ( + sin x ) + cosx ( − sin x ) = Tổ: Toán - Tin 45 Trường THPT ……… Chuyên đề: Biến đổi lượng giác phương trình lượng giác …… ⇔ ( + sin x ) ( sin x + cos x ( 1-sin x ) ) = sin x =1 ⇔ sin x + cos x − sin x.cos x = π  x = + k 2π ⇔ 2 t + t − = 0(1)  t = −1 − < − ( l ) (1) ⇔  t = − π π −1   ⇒ sin  x + ÷ = − ⇔ sin  x + ÷ = = sin α 4 4   π   x = α − + k 2π ( k ∈Z) Do đó:   x = 3π − α + k 2π  ⇔ sin x + cos x − = sin x b (1) ⇔ ( sin x + cos x ) ( − sin x.cos x ) − = 3sin x.cos x Đặt t = sin x + cos x, t ≤  ( 1) ⇔ t 1 −   t2 −1  t2 −1 = + ÷  ÷     − t  + ( t − 1) ⇔ t ÷= 2   ⇔ t + 3t − 3t − = ⇔ ( t + 1) ( t + 4t + 1) =  t = −1  ⇔  t = −2 − < − ( l )   t = −2 + Do phương trình:   π  π  sin  x + ÷ =  sin  x + ÷ =      ⇔    π π 3−2  = sin α sin  x + ÷ =  sin  x + ÷ = − 4 4     Tổ: Toán - Tin 46 Trường THPT ……… Chuyên đề: Biến đổi lượng giác phương trình lượng giác ……  x = k 2π   x = π + k 2π   ⇔ π  x = α − + k 2π   3π − α + k 2π x =  c sin x ≠ π ⇒ x ≠ k ( *) ( sin x + cos x ) = tan x + cot x Điều kiện:  cos x ≠ Khi phương trình (c) trở thành: sin x cos x + cos x sin x ⇔ ( sin x + cos x ) sin x cos x =1 ⇔ ( sin x + cos x ) = t = sin x + cos x, t ≤  Đặt  t2 −1 sin x cos x =   Thay vào phương trình ta được:  t −1  3 ⇔ 2t  ÷ = ⇔ 2t − 2t − = ⇔ t − t − = ⇔ t − t + 2t + =   ( )( ) π π π   ⇒ t = ⇔ sin  x + ÷ = ⇔ sin  x + ÷ = ⇒ x = + k 2π ( k ∈ Z ) 4 4   Thỏa mãn điều kiện Bài Giải phương trình: a cos x + = ( − cos x ) ( sin x-cos x ) b cos3 x + sin x = cos2x c tan x + tan x + cot x + 3cot x + = d tan x + cot x + tan x + cot x + tan x + cot x = Bài Giải phương trình sau: a sin x − cos3 x = sin x-cos x π  b sin x + sin  x − ÷ = c sin2 x -12(sin x - cos x )+12=0 d   sin x + cos x =1 sin x + Bài Giải phương trình sau: a − cos2x − cos x = + cos2x − sin x b ( sin x + cos x ) + sin x − cos3x =2 ( + sin x ) c sin x cos x − cos2x + sin x = cos x sin x + cos x Tổ: Toán - Tin 47 Trường THPT ……… Chuyên đề: Biến đổi lượng giác phương trình lượng giác …… d 4sin x − = 3sin x − 3cos3x IV PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI - BẬC BA ĐỐI VỚI SINX, COSX Bài Giải phương trình sau: a sin x − 3cos x = sin x.cos x − sin x cos x b sin x ( tan x +1) = 3sin x ( cos x-sin x ) + Giải: a sin x − 3cos x = sin x.cos x − sin x.cos x Có cách giải: Cách Chia vế phương trình cho cos3 x ≠ , ta có phương trình: sin x sin x sin x − = − cos3 x cos x cos x ⇔ tan x + t an x- tan x- = ⇔ ( ) ⇔ tan x + ( tan x − 1) =  tan x = − ⇔  tan x = ± π   x = − + kπ ⇔ ( k ∈¢)  x = ± π + kπ  Cách ⇔ sin x − s inxcos x + sin x cos x − 3cos x = ⇔ sin x ( sin x − cos x ) + cos x ( sin x − cos x ) = ( ) ⇔ ( sin x − cos x ) sin x + cos x = π π kπ    x = + kπ x = + sin x − cos x =  −cos2x = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ (k∈Z)  x = − π + kπ  x = − π + kπ  tan x = − sin x + 3cosx =  3  Tổ: Toán - Tin 48 Trường THPT ……… Chuyên đề: Biến đổi lượng giác phương trình lượng giác …… ⇔ tan x + tan x − tan x -1=0 ⇔ ( tan x+1) ( tan x − 1) = π   tan x =-1  x = − + kπ ⇔ ⇔  tan x = ±  x = ± π + kπ   DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHƠNG MẪU MỰC I PHƯƠNG PHÁP TỔNG BÌNH PHƯƠNG Phương pháp - Xét phương trình f(x) = f1 (x) = f (x) = 2 2 - Nếu f(x) = f1 (x) + f (x) + + f n (x) thi f (x) = ⇔   f n (x) = Bài tập áp dụng: Bài Giải phương trình sau: a 4sin x − tan x +3tan x − 4sin x + = b tan x + tan 2 x + cot x = c cos x + tan x − cos x +2 tan x+4=0 d sin x + sin y + sin ( x + y ) = Giải: a 4sin x − tan x +3tan x − 4sin x + = ⇔ ( 2sin x − 1) + ( ) tan x +1 =  π x = + k 2π    sin x =  2sin x − =   5π ⇔ ⇔ ⇔ x= + k 2π    tan x +1=0  tan x =  π   x = − + kπ  Kết hợp với điều kiện có nghiệm x = 5π + k 2π thỏa mãn b tan x + tan 2 x + cot x = Do: cot x = cot ( x + x ) = − tan x.tan2x ⇒ tan x.cot3x + tan2x.cot3x + tan x.tan2x =1 tan x + tan2x Cho nên phương trình có dạng: Tổ: Toán - Tin 49 Trường THPT ……… Chuyên đề: Biến đổi lượng giác phương trình lượng giác ( tan x - tan2x ) …… + ( tan x − cot x ) + ( cot x − tan x ) = 2 ⇔ tan x = tan2x = cot3x ⇒ x ∈ ∅ Phương trình vơ nghiệm ( c 4cos x + 3tan x − 3cosx+2 tan x +4=0 ⇔ 2cos x- ) +( ) tan x+1 =  π x = + k 2π     cos x = π ⇔  ⇔   x = − + k 2π  tan x = -    π  x = − + lπ  Khi biểu diễn nghiệm vòng tròn đơn vị ta thấy nghiệm chung là: x=− π + k 2π ( k∈Z) d sin x + sin y + sin ( x + y ) = − cos2x − cos2y − cos2 ( x +y ) ⇔ + + = 2 ⇔ cos2x +cos2y+cos2 ( x +y )  + = ⇔ 2.2 cos ( x + y ) cos ( x-y ) +2  2cos ( x + y ) − 1 + = ⇔ cos ( x + y ) + 2.2 cos ( x + y ) cos ( x-y ) + = sin ( x − y = ) ( 1)  ⇔  cos ( x + y ) + cos ( x − y )  + sin ( x − y ) = ⇔  cos ( x +y ) = − cos ( x-y ) ( )  2 - Xét: x − y = kπ ⇔ y = x − kπ , thay vào (2)  cos2x = - ⇒ k = 2n  ⇔ cos ( x − kπ ) = − cos kπ ⇔  cos2x = ⇒ k = 2n +  π   x = + nπ ( n, k ∈ Z ) Giải ta tìm được:  y = π +( m − k) π  π   x = − + nπ ( m, k ∈ Z )  y = −π +( m− k) π  Bài Giải phương trình sau: a sin x + sin x = s inx.sin x b 3cot x + cos x − cot x − cos x + = c 8cos x.cos 2 x + − cos3x + = Tổ: Toán - Tin 50 Trường THPT ……… Chuyên đề: Biến đổi lượng giác phương trình lượng giác …… sin 3x cos3x.sin x + sin x.cos x ) = sin x.sin x d sin x + ( 3sin x Giải: a ⇔ sin x + sin x = sin x.sin x 1 1 ⇔ sin x − sin x.sin x + sin x + sin x − sin x = 4   ⇔  sin x- sin 3x ÷ + sin x ( − sin x ) =     ⇔  sin x- sin 3x ÷ + sin x.cos x =    x = kπ   x = kπ    s inx=0   π    x = kπ    x=k π   x = + l 2π sin3x=0        π  s inx= sin x  ⇔ ⇔  ⇔  ⇔  x = + l 2π 5π ⇔  x =  + l 2π  s inx= sin x.cos x =  s inx=       5π  x =  + l 2π  cos3x=0  sin 3x=1   x = π + k π     b 3cot x + cos x − cot x − cos x + = (1) ĐK: x ≠ kπ (1) ⇔ ( ) cot x − + ( cos x − 1) =  cot x = ⇔ cosx=  π   x = + kπ π ⇔ ⇒ x = + m2π ( m ∈ Z )  x = ± π + l 2π  c 8cos x.cos x + − cos3x + = ⇔ cos x ( + cos4x ) + − cos3x + = π kπ  x=± +   c os4 x =2π   ⇔ ( 2cos4x +1) + − cos3x = ⇔  ⇒x= + m2π ( m ∈ Z ) 2⇔ l π cos3x =1 x =  Tổ: Toán - Tin 51 Trường THPT ……… Chuyên đề: Biến đổi lượng giác phương trình lượng giác …… sin 3x cos3xsin x + sin x cos x ) = sin xsin x d sin x + ( 3sin x sin x ⇔ cos3xsin x + sin x cos x ) ( 3sin x sin x  = sin x ( 4cos3 x − 3cos x ) + cos3 x ( 3sin x-4sin x )  =  3sin x sin x  sin x 2  3sin x cos x cos x − sin x = ( )  3sin x sin x.cos2x 3sin x  sin x 1 = sin x = sin x sin x 4 ⇔ Cho nên phương trình d phương trình a mà ta giải II PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ HAI VẾ Phương pháp - Xét phương trình: f(x) = g(x) , với ∀x ∈ D - Nếu tồn số thực k cho: f (x) ≤ k ≤ g(x), ∀x ∈ D f (x) = k thi f (x) = g(x) ⇔  g(x) ≤ k ≤ f (x)  g(x) = k Kiến thức sử dụng: - Tính chất hàm số lượng giác - Các bất đẳng thức bản: cauchy, Bunhiacopski Bài tập áp dụng Bài Giải phương trình sau: a cos3x + − cos x = ( + sin 2 x ) b sin x + cos3 x = − sin x c − cos x − cos x + = 2 d tan x + cot x = 2sin  x +   π ÷ 4 Giải: a cos3x + − cos x = ( + sin 2 x ) ( Ta có: VT = 1.cos3x +1 − cos x Tổ: Toán - Tin ) ≤ ( + 1) ( cos x + − cos x ) = ⇒ VT ≤ 52 Trường THPT ……… Chuyên đề: Biến đổi lượng giác phương trình lượng giác …… VP = ( + sin x ) ≥ ⇒ Cho nên phương trình có nghiệm hai vế xảy dấu đẳng thức:  = cos 3x = cos6x =1  cos3x = − cos x ⇔  cos3x ⇔ ⇔ ⇔ − cos x   sin x = sin x = sin2x =0   sin x =   kπ  x=  x = k π   ⇔ ⇔ 2 x = lπ  x = lπ  Nếu phương trình có nghiệm tồn k, l thuộc Z cho hai nghiệm: kπ lπ = ⇔ k = l ⇒ chọn: l = 2n 2 Khi phương trình có nghiệm là: x = nπ ( n∈Z ) b sin x + cos3 x = − sin x VT = sin x + cos x ≤ sin x + cos x = VP = − sin x ≥ − = (Do ≤ sin x ≤ ) Do phương trình xảy khi: sin x ( − sin x ) = sin x = sin x   sin x = π ⇔ cos3 x = cos x ⇔ cos x ( − cos x ) = ⇔  ⇒ x = + k 2π cos x = sin x =  sin x =    Bài Giải phương trình sau: a cos13 x + sin14 x = b cos x − cos x − x sin x + x + = Giải a cos13 x + sin14 x =  cosx ≤ cos13 x ≤ cos x ⇔  14 ⇒ cos13 x + sin14 x ≤ cos x + sin x = Do:  sin x ≤ sin x  sinx ≤ Tổ: Toán - Tin 53 Trường THPT ……… Chuyên đề: Biến đổi lượng giác phương trình lượng giác …… Vậy:  π   x = + kπ  cos x =0  11  12 π   cos13 x = cos x x = + kπ cos x ( cos x − 1) = sin x =1   x = π + kπ   ⇒  14 ⇔ ⇔ ⇔  ⇔ 2 12   cos x =1 sin x sin x − = sin x = sin x  ( )   x = l 2π   x =k2 π    sin x =0   x =kπ  b − cos x − x sin x + x = ⇔ ( cos x-1) + ( x − sin x ) = 2  x = k 2π cos x − 1=0 cos x =  x = k 2π ⇔ ⇒ ⇔ ⇔ ⇒x=0  2 x = c os x + sin x = x +  x-sin x =  x = sin x   Bài tập tương tự: Bài Giải phương trình sau: a sin x + cosx = ( − sin x ) b tan x +tan2 x = -sin3 x cos2 x c sin4 x cos16 x = π  d 2sin  x + ÷ = t anx +cotx   Bài Giải phương trình sau: 2     a  cos x + ÷ +  sin x + ÷ = 12 + sin y cos x   sin x   2      3x ÷  3x ÷ 81 b  sin + ÷ +  cos + ÷ = cos x 2 x x  sin ÷  cos ÷  2  2 Bài Giải phương trình sau: =0 s inx.cos2x.cos3x a cos x − cos x − cos4x =1 b tan x + tan x + c cos 3x cos x − cos x = d ( cos4x-cos2x ) = + sin x MỘT SỐ ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Giải phương trình sau: 1) (ĐHKHTN – Trường THPT chuyên KHTN – Ngày 28/12/2014) π π cos x cos( x + )cos( − x) = sin x 3 2) (ĐHKHTN – Trường THPT chuyên KHTN – Tháng 1/2015) Tổ: Toán - Tin 54 Trường THPT ……… Chuyên đề: Biến đổi lượng giác phương trình lượng giác …… cos 3x − cos x = 2sin x + sin x + 3) (ĐHKHTN – Trường THPT chuyên KHTN – Tháng 3/2014) sin x − cos 3x = cos x − 2sin x − 4) (ĐHKHTN – Trường THPT chuyên KHTN – Tháng 4/2015) cos 3x − sin x = (cos x − sin x)(2 cos x − 2sin x + 1) 5) (ĐHSPHN – Trường THPT chuyên ĐHSP – lần 1) (1 + sin x)(cos x − sin x) = − 2sin x 6) (ĐHSPHN – Trường THPT chuyên ĐHSP – lần 2) 4 π sin x + cos ( + x) = 7) (ĐHSPHN – Trường THPT chuyên ĐHSP – lần 3) cos x − sin 2 x π π = sin( x + )sin( x − ) cos x 6 8) (ĐHSPHN – Trường THPT chuyên ĐHSP – lần 4) sin x = sin x + cos x(cos x − 1) 9) (Trường THPT Đào Duy Từ - lần 2- ngày 05/10/2014) sin x + sin x + sin x + tan x = cos x + cos x + cos x 10) (Trường THPT Đào Duy Từ - lần 3- ngày 23/11/2014) cos x − cos x − cos x = 11) (Trường THPT Đào Duy Từ - lần 3- ngày 21/12/2014) sin x = tan x 12) (Trường THPT Đào Duy Từ - lần 3- ngày 25/01/2015) log 5− x2 ( 3sin x − 2sin x ) = log 22 5− x sin x cos x 13) (Sở GD-ĐT Hà Nội- Trường THPT Thăng Long-lần 1) sin x + cos x = sin x − 14).(Trường THPT chuyên Nguyễn Huệ-lần 1) 2cox3 x + cos x + cos x = 15) (Trường THPT Lương Thế Vinh Hà Nội- lần 1) 3cos x + s inx-1= cos x + sin x − sin x 16) (Trường THPT chuyên Đại học Vinh- lần 1) cos 3x + cos x = cos x sin x Tổ: Toán - Tin 55 Trường THPT ……… Chuyên đề: Biến đổi lượng giác phương trình lượng giác …… 17) (Sở GD_ĐT Thanh Hóa- Trường THPT Đào Duy Từ - lần 1) sin x − sin x + sin x = 18) (Trường THPT chuyên Hà Tĩnh- lần 1) cos 3x + 2sin x − cos x = 19) (Trường THPT chuyên Lam Sơn- ngày thi 31/1/2015) cos x.cos x + sin x = cos8 x 20) (Sở GD_ĐT Thanh Hóa- Trường THPT Đơng Sơn 1) cos x + (1 + cos x)(sin x − cos x) = 21) (Sở GD_ĐT Nghệ An- Trường THPT Quỳnh Lưu 1) 2sin x − cos x = sin x + 2cox − 22) (Sở GD_ĐT Bắc Ninh-Trường THPT Hàn Thuyên- lần 2) π cos x + cos x = + 2(2 x + ) 23) (Sở GD_ĐT Thanh Hóa- Trường THPT Hậu Lộc 2-lần 1) sin x + 2sin x + = cos x (x ∈ ¡ ) 24) (Sở GD_ĐT Thanh Hóa- Trường THPT Hậu Lộc 2-lần 2) sin x + cos x − sin x − = 25) (Sở GD_ĐT Thanh Hóa- Trường THPT Hậu Lộc 4) cos x − cos x + sin x = 26) (Sở GD_ĐT Hải Dương- Trường THPT Hồng Quang- lần 1) 2sin x + sin x − = 27) (Trung tâm dạy thêm văn hóa Lê Hồng Phong- lần 1) 3s in x + cos2 x = 28) (Sở GD_ĐT Bắc Giang-Trường THPT Lục Ngạn số 1- lần 2) s in x − 2sin4 x + 3cos2 x = + sin x 29) (Sở GD_ĐT Hải Phòng- Trường THPT Trần Nguyên Hãn) π sin x + cos x − sin( x − ) − = 30) (Sở GD_ĐT Hải Dương- Trường THPT Chí Linh- lần 1) s in x = s inx − cos3 x + cos x cos x π π tan( − x) tan( + x) 4 31) (Trường THPT Chuyên Bắc Yên Thành- lần 1) cos x = − sin x + sin x 32) (Trường THPT Chuyên Nguyễn Thị Minh Khai-lần 1) sin x − 2sin x − cos x + = Tổ: Toán - Tin 56 Trường THPT ……… Chuyên đề: Biến đổi lượng giác phương trình lượng giác …… 33) (Sở GD_ĐT Tỉnh Nam Định) 4sin x + sin x = − cos x 34) (Trường THPT Nghi Sơn- Thanh Hóa) cos x + cos x(2 tan x − 1) = 35) (Sở GD_ĐT Bắc Ninh-Trường THPT Ngô Gia Tự) sin x − 2(sin x + cox) = 36) (Trường THPT Nguyễn Trung Thiên- lần 1) sin x − sin x = − cos x 37) (Trường THPT Quảng Xương I) 4sin x + sin x + cos x = 38) (Sở GD_ĐT Thanh Hóa- Trường THPT Thiệu Hóa- lần 1) sin x + cos x = 39) (Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc- lần 2) π 3x x (tan x cot x − 1)sin x = sin( x + ) + cos sin 2 40) (Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc- lần 3) cos x − cos x − 3cos2 x = sin x + 41) (Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc) sin x + = cos x + 4sin x + cos x 42) (Sở GD_ĐT Vĩnh Phúc-Trường THPT Yên Lạc- lần 1) 3π sin x(1 + 8cos x) = cos(3 x − ) 43) (Sở GD_ĐT Bắc Ninh-Trường THPT Yên Phong số 2) sin x − cos x = 44) (Sở GD_ĐT Thái Nguyên -Trường THPT Gang Thép) cos x + sin x − sin x − cos x = 45) (Trường THPT Triệu Sơn 5- lần 2) sin x − cos x = sin x − 46) (Sở GD_ĐT Hà Tĩnh-Trường THPT Cù Huy Cận) π sin x − cos x − 3cos( − x) − cos x + = 47) (Sở GD_ĐT Thanh Hóa- Trường THPT Trần Phú) sin x = cos x + 48) (Sở GD_ĐT Vĩnh Phúc) sin x + 3sin x − = Tổ: Toán - Tin 57 Trường THPT ……… Chuyên đề: Biến đổi lượng giác phương trình lượng giác …… 49) (Trường THPT Lam Kinh- lần 1) π cos x + cos x = + sin(2 x + ) 50) (Sở GD_ĐT Hải Phòng- Trường THPT Lê Quý Đôn) cos10 x = cos x sin x − cos x 51) (Sở GD_ĐT Bắc Ninh-Trường THPT Lý Thái Tổ) cos x + cos x sin x − sin x + sin x = cos x 52) (Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi- lần 1) cos x( cos x + cos x − 1) = 53) (Sở GD_ĐT Nghệ An- Trường THPT Nam Yên Thành – lần 1) sin x + cos x = + sin x cos x 54).(Sở GD_ĐT Hà Nội- Trường THPT Yên Lãng) sin x + cos3 x = cos x(2 cos x − sin x) 55) (Sở GD_ĐT Thanh Hóa- Trường THPT Như Xuân) (sin x + cos x) = + cos x 56) (Sở GD_ĐT Thanh Hóa- Trường THPT Thường Xuân 3) 3cos x − = −3(1 − cos x) cot x 57).(Sở GD_ĐT Thanh Hóa- Trường THPT Thường Xuân 3- lần 2) π cos(2 x + ) + 4sin x sin x − = 58).( Vietel study- lần 1) sin x + cos x = cos x 59).( Vietel study- lần 2) cos x + 5cos x sin x + sin x cos x =0 tan x + 60).( Vietel study- lần 3) 2sin x sin x + sin x = cos x sin x + cos x + 61).( Vietel study- lần 4) 2sin x − cos x + 5cos x + 2sin x + = 62)( Vietel study- lần 6) (cos x − 1) cos x = 2(1 + sin x) sin x + cos x HIỆU TRƯỞNG Tổ: Tốn - Tin Xn Hòa, ngày 15 tháng 11 năm 2015 Người viết 58 Trường THPT ……… Chuyên đề: Biến đổi lượng giác phương trình lượng giác …… Đào Mỹ Hạnh Tổ: Tốn - Tin 59 Trường THPT ……… ... II: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Dạng Phương trình lượng giác Dạng 2: Phương trình lượng giác thường gặp I Phương trình bậc nhất, bậc 2, bậc với hàm số lượng giác II Phương trình bậc sinx cosx III Phương. .. biến đổi tương đương Tổ: Toán - Tin 29 Trường THPT ……… Chuyên đề: Biến đổi lượng giác phương trình lượng giác …… -Phương pháp đánh giá -Phương pháp tổng bình phương 2.K ỹ -Giaỉ phương trình lượng. .. -Giaỉ phương trình lượng giác - Giaỉ phương trình lượng giác thường gặp -Giaỉ phương trình lượng giác khơng mẫu mực B.C ác dạng phương trình lượng giác DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN I LÝ THUYẾT