Đang tải... (xem toàn văn)
Thời gian gần đây đã có rất nhiều cuộc hội thảo khoa học bàn về vấn đề làm thế nào để đẩy nhanh sự phát triển của giáo dục mà nội dung then chốt là đổi mới để nâng cao chất lượng dạy và học. Một trong những phương pháp được chú ý nhất ,có tính ưu việt nhất đó là dạy học theo quan điểm hoạt động. Phương pháp dạy học theo quan điểm hoạt động được hình thành trên những tư tưởng chủ đạo sau. i) Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động thành phần tương thích với nội dung và mục đích dạy học. ii) Gây động cơ học tập và tiến hành hoạt động. iii) Truyền thụ tri thức ,đặc biệt là những tri thức phương pháp như phương tiện và kết quả hoạt động. iv) Phân bậc hoạt động . Bản sáng kiến kinh nghiệm này trình bày về một khía cạnh nhỏ của phương pháp dạy học trên, đó là “Thực hiện các hoạt động thành phần trong quá trình dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11 trung học phổ thông” mà tác giả đã trực tiếp giảng dạy và kiểm nghiệm.. Hoạt động dạy học phương trình lượng giác là một hoạt động phức hợp có thể chia làm nhiều hoạt động thành phần, ký hiệu một cách hình thức là . Có thể mô tả cấu trúc của hoạt động dạy học phương trình lượng giác như sau. :Nhận dạng phương trình: Nếu học sinh đã nhận dạng được phương trình cần giải thì chuyển qua . :Biến đổi phương trình về dạng quen thuộc,giáo viên cần tiến hành gợi động cơ, hướng đích cần thiết, kết thúc thì chuyển sang . :Giải các phương trình nhận được (thể hiện phương pháp giải). :Kiểm tra các kết quả để bảo đảm không bỏ sót nghiệm,không thừa nghiệm, tránh các sai lầm phổ biến thường gặp. : Phân tích các sai lầm của học sinh để thu hoạch về tri thức toán học và tri thức phương pháp toán học. : Xét mối liên hệ với các bài toán liên quan,mở rộng bài toán bằng tương tự,khái quát hóa. Các hoạt động thành phần trên có liên quan mật thiết với nhau ,thường xuất hiện đan kết hoặc lồng vào nhau.Việc phân tích hoạt động dạy học giải phương trình thành các hoạt động trên giúp giáo viên nắm được cách thức tiến hành toàn bộ dạy học phương trình .
SKKN - Thực hành hoạt động dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11 Phần I MỞ ĐẦU I CƠ SỞ LÍ LUẬN Thời gian gần có nhiều hội thảo khoa học bàn vấn đề làm để đẩy nhanh phát triển giáo dục mà nội dung then chốt đổi để nâng cao chất lượng dạy học Một phương pháp ý ,có tính ưu việt dạy học theo quan điểm hoạt động Phương pháp dạy học theo quan điểm hoạt động hình thành tư tưởng chủ đạo sau i) Cho học sinh thực tập luyện hoạt động thành phần tương thích với nội dung mục đích dạy học ii) Gây động học tập tiến hành hoạt động iii) Truyền thụ tri thức ,đặc biệt tri thức phương pháp phương tiện kết hoạt động iv) Phân bậc hoạt động Bản sáng kiến kinh nghiệm trình bày khía cạnh nhỏ phương pháp dạy học trên, “Thực hoạt động thành phần trình dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11 trung học phổ thông” mà tác giả trực tiếp giảng dạy kiểm nghiệm Hoạt động dạy học phương trình lượng giác hoạt động phức hợp chia làm nhiều hoạt động thành phần, ký hiệu cách hình thức Có thể mơ tả cấu trúc hoạt động dạy học phương trình lượng giác sau :Nhận dạng phương trình: Nếu học sinh nhận dạng phương trình cần giải chuyển qua :Biến đổi phương trình dạng quen thuộc,giáo viên cần tiến hành gợi động cơ, hướng đích cần thiết, kết thúc chuyển sang :Giải phương trình nhận (thể phương pháp giải) :Kiểm tra kết để bảo đảm khơng bỏ sót nghiệm,khơng thừa nghiệm, tránh sai lầm phổ biến thường gặp : Phân tích sai lầm học sinh để thu hoạch tri thức toán học tri thức phương pháp toán học Gv: …………… SKKN - Thực hành hoạt động dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11 : Xét mối liên hệ với toán liên quan,mở rộng toán tương tự,khái quát hóa Các hoạt động thành phần có liên quan mật thiết với ,thường xuất đan kết lồng vào nhau.Việc phân tích hoạt động dạy học giải phương trình thành hoạt động giúp giáo viên nắm cách thức tiến hành toàn dạy học phương trình II.CƠ SỞ THỰC TIỄN 1.Về phía học sinh Giải phương trình lượng giác nội dung quan trọng chương trình Đại số giải tích 11,hơn nội dung “cứng” cấu trúc đề thi đại học Bộ GD ĐT Tuy nhiên đụng đến biến đổi lượng giác nói chung giải phương trình lượng giác nói riêng học sinh cịn lúng túng,thậm chí phận lớn học sinh cịn cảm giác “sợ” nội dung Có nhiều tài liệu tham khảo giải phương trình lượng giác ,nhưng hầu đến số lượng ví dụ nhiều định hướng cho học sinh có nhìn sâu sắc ,bản chất 2.Về phía giáo viên Việc cung cấp kiến thức cho học sinh cách chi tiết khó khăn,bởi số tiết dành cho nội dung hạn chế,so với lượng kiến thức nói đồ sộ.Vì việc tìm cho phương pháp giảng dạy có tính hiệu cao,trong thời gian ngắn điều cần thiết giáo viên Do tơi muốn chia sẻ qua sáng kiến kinh nghiệm nhỏ với mong muốn mang đến cho bạn đọc cách nhìn nội dung cũ nhằm góp phần đưa tiết học nội dung giải phương trình lượng giác trở nên sơi động hiệu Phần II THỰC HIỆN CÁC HOẠT ĐỘNG THÀNH PHẦN TRONG QUÁ TRÌNHDẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHO HỌC SINH LỚP 11 Nhận dạng phương trình Gv: …………… SKKN - Thực hành hoạt động dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11 Khi học giải phương trình lượng giác nhiều học sinh nhầm tưởng học thuật toán tổng quát cho phép giải phương trình lượng giác, thực khơng có phương pháp tổng quát Các phương trình lượng giác chương trình phổ thơng đa dạng thể loại, phong phú cách giải ,vì yêu cầu quan trọng mà giáo viên phải đạt giúp học sinh nhận dạng phương trình lượng giác khác thể phương pháp giải chúng Có nhiều cách phân dạng phương trình lượng giác ,chẳng hạn sách giáo viên Đại số giải tích 11 Ban khoa học tự nhiên phương trình lượng giác phân loại thành: - Phương trình lượng giác - Một số phương trình lượng giác thường gặp (phương trình bậc ,bậc hai hay phương trình bậc cao hàm số lượng giác ,phương trình sinx cosx ,phương trình đối xứng theo sinx cosx) - Những phương trình lượng giác khác: Cách phân loại có ưu điểm chi tiết ,tuy nhiên chưa nhấn mạnh đến đặc điểm dạng thức phương pháp giải Theo kinh nghiệm cá nhân nhận thấy sử dụng hệ thống phân dạng nói với thay thích hợp cách xếp ,tổ chức lại có hệ thống phân dạng đầy đủ chi tiết tạo điều kiện giúp học sinh nhận dạng phương trình tìm giải pháp thể phương pháp giải chúng Trước hết, phân dạng (cịn thơ) chia phương trình thành hai loại : Loại phương trình lượng giác khơng có tham số loại phương trình lượng giác có tham số Về ngun tắc phương trình khơng có tham số phương trình cụ thể nên phép giải chúng tương đối đơn giản Các phương trình có tham số nhìn chung phức tạp ,vì học sinh phải có khả phân tích để chia tập hợp giá trị tham số thành phận ,trong phương trình có dạng chung thống lập luận thống biến đổi tương đương phương trình Chi tiết cụ thể phân dạng phương trình lượng giác thành: I.Phương trình lượng giác II.Phương trình lượng giác gần III.Phương trình bậc sinx cosx Gv: …………… SKKN - Thực hành hoạt động dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11 IV.Các phương trình lượng giác đại số hóa V.Các phương trình lượng giác biến đổi phương trình tích VI.Các phương trình lượng giác có điều kiện ràng buộc ẩn VII.Các phương trình lượng giác khơng mẫu mực Các dạng IV,V ,VI,VII phân dạng cách chi tiết sau: IV1 Phương trình đại số hóa a Phương trình đa thức hàm lượng giác b Phương trình đối xứng sinx cosx c Phương trình đẳng cấp sinx cosx V1 Phương trình lượng giác biến đổi tích a Dạng asinx+bsin2x+csin3x=0 b Dạng sử dụng cơng thức hạ bậc ,tích thành tổng,tổng thành tích c Dạng chứa biểu thức có thừa số chung d Dạng phương trình có liên quan đặc biệt VI1 Phương trình lượng giác với điều kiện ràng buộc ẩn a Phương trình lượng giác chứa ẩn mẫu thức b Phương trình lượng giác chứa ẩn dấu c Phương trình lượng giác chứa ẩn lơgarit d Phương trình lượng giác miền VII1 Phương trình lượng giác khơng mẫu mực a Các phương trình khơng mẫu mực giải nhờ sử dụng phương pháp đánh giá số hạng ,nhân tử b Các phương trình khơng mẫu mực giải dựa vào tính chất hàm số đồ thị Về phương trình có chứa tham số ,học sinh gặp dạng cụ thể sau a Biện luận phương trình b Biện luận số nghiệm phương trình c Điều kiện để phương trình có nghiệm,nghiệm Gv: …………… SKKN - Thực hành hoạt động dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11 d Điều kiện để hai phương trình tương đương 1.1 Phương trình lượng giác Là lớp phương trình đơn giản lại quan trọng việc giải phương trình dẫn đến giải phương trình dạng Các phương trình lượng giác gồm:sinx=a,cosx=a,tanx=a,cotx=a, với x ẩn, a số cho 1.2.Phương trình lượng giác gần Là phương trình dạng sinf(x)=a,cosf(x)=a,tanf(x)=a,cotf(x)=a 1.3.Phương trình bậc sinx cosx Là phương trình có dạng:asinx+bcosx+c=0 1.4.Các phương trình lượng giác đại số hóa Về nguyên tắc, phương trình lượng giác đại số hóa nhờ phép đặt ẩn phụ t=tan(x/2) sử dụng cơng thức hữu tỉ hóa: Tuy nhiên có hai lí chủ yếu khơng nên máy móc đặt ẩn phụ dạng cho trường hợp Thứ nhất, phép biến đổi làm thu hẹp miền xác định phương trình Thứ hai, phép đặt ẩn phụ làm bậc phương trình tăng lên gấp đơi Do nhiều trường hợp ,để đại số hóa phương trình lượng giác cần xem xét cụ thể phương trình để lựa chọn phép biến đổi thông minh a.Phương trình đa thức hàm lượng giác b.Phương trình đối xứng sinx cosx c.Phương trình đẳng cấp sinx cosx 1.5 Các phương trình lượng giác biến đổi đưa tích Phương pháp đưa phương trình dạng tích kĩ thuật quan trọng để giải phương trình nói chung phương trình lượng giác nói riêng.Mục đích phương pháp quy việc giải phương trình phức tạp việc giải tập hợp phương trình Các em học sinh ý ghi nhớ biểu thức có thừa số chung cho bảng sau Gv: …………… SKKN - Thực hành hoạt động dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11 f(x) Sinx Cosx 1+cosx 1-cosx 1+sinx 1-sinx Sinx+cosx Sinx-cosx Biểu thức chứa thừa số f(x) Sinnx,tannx,… Sin2x,cos3x,tan2x,cotx,cot3x… cos,cot,sin,tan… Bảng 1.6 Phương trình lượng giác với điều kiện ràng buộc ẩn Với dạng phương trình giải ta phải đặt điều kiện ý phepa biến đổi tương đương ,khi giải xong nghiệm ta phải kiểm tra lại điều kiện để loại nghiệm vi phạm điều kiện 1.7 Phương trình lượng giác khơng mẫu mực Một số phương trình lượng giác khơng thể áp dụng phương pháp truyền thống Gặp dạng học sinh cần vận dụng khéo léo phương pháp đánh giá số hạng có phương trình(sử dụng tính chất bất đẳng thức ) sử dụng tính chất đơn điệu ,hay tính bị chặn hàm số ,hoặc dùng đồ thị hàm số để giải chúng Biến đổi phương trình dạng quen thuộc Đây hoạt động thành phần quan trọng khó khăn hoạt động dạy học giải phương trình lượng giác Phần lớn phương trình lượng giác có dạng thức không đường đến lời giải Việc nhận dạng phương trình cần giải gợi ý cho người làm thuật toán chung, tổng qt để suy nghĩ tìm tịi lời giải Do đó,trong hoạt động thành phần này, giáo viên cần cố gắng hướng dẫn học sinh cách suy nghĩ tìm tịi lời giải Một học tốn sinh động hay khơ khan buồn tẻ, có trở thành niềm say mê, háo hức học sinh hay không tùy thuộc lực điều khiển giáo viên Vì giáo viên cần thường xuyên rèn luyện nhằm không ngừng nâng cao lực tiến hành biến đổi phương trình Gv: …………… SKKN - Thực hành hoạt động dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11 2.1 Phương trình lượng giác gần * Phương trình lượng giác :sinx=a,cosx=a, tanx=a,cotx=a.Các phương trình lượng giác dạng có cơng thức nghiệm chi tiết.Cần nhấn mạnh phương trình sinx=sinb,cosx=cosb,tanx=tanb,cotx=cotb * Phương trình lượng giác gần Là phương trình :sinf(x)=a,cosf(x)=a,tanf(x)=a,cotf(x)=a Bằng phép đặt f(x)=t,ta đưa phương trình dạng Cần ý điều kiện phương trình tanf(x)=a,cotf(x)=a 2.2 Phương trình bậc sinx cosx Dạng phương trình :asinx+bcosx+c=0 Bằng cách chia hai vế phương trình cho ý ,nên ta đặt ,với góc xác định Khi phương trình cho trở thành :,đây phương trình Sử dụng cách giải phương trình ta áp dụng cho phương trình dạng sau: 2.3 Lựa chọn phép biến đổi lượng giác Để nhanh chóng lựa chọn phép biến đổi lượng giác thích hợp cho việc đại số hóa phương trình ,giáo viên cần lưu ý học sinh số nhận xét hữu ích sau: a Các biểu thức lượng giác biểu diễn qua đa thức cosx gồm: sin,cos2x,cos3x Các biểu thức biểu diễn qua đa thức sinx gồm:cos,cos2x,sin3x b Các phương trình đối xứng với sinx,cosx đại số hóa phép đặt ẩn số phụ t=sinx+cosx,từ cách đặt ẩn phụ ta rút t sinxcosx.Như phương trình đối xứng f(sinx+cosx,sinxcosx)=0 đại số hóa c Các phương trình dạng f(cosx-sinx,sinxcosx) =0 đại số hóa d Một dạng đặc biệt phương trình đối xứng cosx sinx phương trình đối xứng với tanx cotx.Chú ý :tanx.cotx=1,tanx+cotx=2/sin2x nên có phép đặt ẩn phụ t= tanx+cotx t=sin2x.Khi đặt t=tanx+cotx ta có công thức biến đổi:S2 = Gv: …………… SKKN - Thực hành hoạt động dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11 e Qui trình biến đổi phương trình đẳng cấp sinx cosx sau: Bước 1.Làm cho tất số hạng bậc cách nhân số hạng với biểu thức ,với k lựa chọn thích hợp Bước 2.Rút lũy thừa bậc cao cosx làm nhân tử chung.Nếu số hạng khơng nhận cosx làm nhân tử chung chia hai vế cho lũy thừa cao cosx Bước 3.Đặt t =tanx giải phương trình đại số thu 2.4 Biến đổi phương trình dạng tích Muốn biến đổi phương trình lượng giác dạng tích trước tiên cần giúp học sinh thuộc tất công thức biến đổi lượng giác Trong thực tế đa số học sinh không nhận thức tầm quan trọng việc thuộc lòng phép biến đổi lượng giác ,đã hài lòng yên tâm với việc hiểu ý nghĩa công thức biến đổi ,có khả áp dụng chúng ,nhưng lại khơng nhớ có cơng thức nào,khơng hình dung cơng thức cách tường minh, khơng có khả so sánh phân tích ,tổng hợp.Vì lẽ em giải tốn cách thụ động ,hiểu vấn đề cách lơ mơ khơng có khả sáng tạo Thiết nghĩ tổ chức tốt việc dạy học công thức biến đổi lượng giác bảo đảm kết chắn tiết kiệm thời gian cho học sinh nhiều Cách tổ chức dạy học biến đổi lượng giác nên dựa vào hai yếu tố :hệ thống hóa cơng thức; phối hợp giác quan tham gia hoạt động học tập Hệ thống công thức biến đổi tóm tắt sơ đồ sau Ba hệ thức Quy gọn góc Cộng cung Góc nhân đơi nhân ba Tích thành tổng Tổng thành tích Hạ bậc Gv: …………… Đột biến Hữu tỉ hoá SKKN - Thực hành hoạt động dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11 Để phối hợp giác quan tham gia hoạt động xếp công thức theo trật tự thích hợp để mặt âm đọc trơn tru, tốt u cầu học sinh luyện đồng thời nói - nhìn - nghe - viết Ví dụ 1: Cơng thức biến tích thành tổng dạng viết cho bởi: Các em nhận xét quy luật viết khai triển vế phải (góc trừ trước, góc cộng sau) luyện đọc thành lời: Cos nhân cos phần hai cos trừ cộng cos cộng… Bằng cách cho lớp đọc đồng thanh, đọc đuổi nhau… học sinh nhanh chóng thuộc tất cơng thức nói Sau số kỹ biến đổi thường dùng: a Phương trình asinx + bsin2x + csin3x = tương đương với trước đến với dạng phương trình cho, học sinh cần có khả quy gọn góc Ví dụ 2: Tìm a để phương trình có nghiệm Ta có phương trình trở thành b Sử dụng cơng thức biến tổng thành tích: Học sinh cần biết nhóm số hạng cách thích hợp, thường phải ý đến tổng, hiệu góc có mặt số hạng cần ghép, đơi phải hạ bậc trước biến tổng thành tích: Ví dụ 3.Giải phương trình: Gv: …………… SKKN - Thực hành hoạt động dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11 H2: Hai vế phương trình tổng lượng giác, khơng có số hạng đồng dạng để đơn giản, ta nên nghĩ đến việc biến tổng thành tích nhằm mục đích làm xuất nhân tử chung để đưa phương trình dạng tích Chú ý đến góc nửa tổng nửa hiệu ta thấy nên nhóm sinx+3sinx vế trái, cosx + 3cosx vế phải, cịn góc nửa tổng Vậy ta biến đổi Ví dụ 4: sin3x+sin6x=sin9x H2: Chú ý đến cung chứa ẩn (3x+6x =9x) ta thấy nên biến đổi Cũng biến đổi theo cách khác, chẳng hạn đặt t=3x dùng cơng thức góc bội ta biến đổi phương trình thành sint+sin2t = sin3t (dạng asinx+bsin2x + csin3x = 0) Ví dụ 5: H2: Tất số hạng bậc với cos sin ta dùng cơng thức hạ bậc, phương trình biến đổi thành: chỳ ý nên nhóm cosx + cos3x, cosx + cos8x, phương trình tương đương với: Trong nhiều trường hợp, vế phương trình tổng nhiều tích hàm số lượng giác mà khơng có thừa số chung, nên tìm cách biến tích thành tổng để rút gọn số hạng đồng dạng biến tích thành tổng Ví dụ 6: cos3xcos6x= cos4xcos7x H2: Hai vế hai tích khơng có nhân tử chung, biến tích thành tổng phương trình tương đương với c Sử dụng đồng thức đối xứng từ hệ thức ta rút biến đổi thành tích sau: Gv: …………… 10 SKKN - Thực hành hoạt động dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11 - Với điều kiện tương đương với Nếu k chẵn Nếu k chẵn Nếu k lẻ ý nghiệm thoả mãn điều kiện đặt k =2n (k chẵn) Nếu k lẻ Vậy phương trình có nghiệm 2.6 Phương trình với điều kiện ràng buộc Giải phương trình lượng giác với điều kiện hạn chế x, chẳng hạn với yêu cầu ẩn x phải thuộc khoảng cho thường khó việc tìm nghiệm phương trình tồn trục số Khó khăn phát sinh từ chỗ số khơng thể cho số thập phân đánh giá thơng qua giá trị gần điều kiện đòi hỏi học sinh phải nhận thức trường hợp cần sử dụng giá trị gần thừa, trường hợp phải sử dụng giá trị gần thiếu Xét ví dụ đơn giản sau: Ví dụ 18:Giải phương trình: với 0 nghiệm Tượng tự tìm n=0 => nghiệm Cũng lập luận theo cách khác sau: Khi k thay đổi, hàm số đồng biến Khi k 0 Khi k 2 bị loại với k=1 Gv: …………… 16 SKKN - Thực hành hoạt động dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11 2.7 Phương trình khơng mẫu mực Nhiều phương trình lượng giác khơng thể đưa dạng áp dụng phép biến đổi thông thường Những phương trình gọi phương trình khơng mẫu mực, cách giải chúng khơng theo qui trình mẫu mực, thụng thường mà lại địi hỏi học sinh phải có khả quan sát, so sánh, đối chiếu biểu thức chứa ẩn có mặt phương trình để đề cách giải thích hợp Về có hai cách giải phương trình khơng mẫu mực: đánh giá, ước lượng biểu thức phương trình (phương pháp sử dụng bất đẳng thức) sử dụng tính chất hàm số đồ thị để giải phương trình Việc giải phương trình khơng mẫu mực phương pháp đánh giá thường dựa vào mệnh đề tương đương sau đây: i) Nếu f(x) ≥A g(x) ≤A (A số) x tập xác định f(x) =g(x) ii) iii) Nếu af2(x)+bf(x)+c=0 Ví dụ 19: Giải phương trình:Sin10x + cos8x=1 H2: biến đổi phương trình dạng đẳng cấp bậc 10 hệ số cồng kềnh Mặc dù, ý 1=sin2x +cos2x sin 10x ≤sin2x, cos8x≤cos2x ta viết phương trình dạng ≥0 ≤0 ≥0 ≤0 Ví dụ 20:Giải phương trình: H2: Để khử chứa ẩn, bình phương vế phương trình trở nên đặc biệt cồng kềnh, nhiên bình phương phận chứa thức ước lượng ta thấy Mặt khác: phương trình tương đương với: Gv: …………… 17 SKKN - Thực hành hoạt động dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11 Khi sin x nghiệm phương trình: Ví dụ 21: Giải phương trình:sinx=x2+x+1 H2: Rõ ràng khơng thể sử dụng phép biến đổi làm phương trình đơn giản Tuy nhiên y =sinx y =x2+x+1 hai hàm số đơn giản, có đồ thị quen thuộc học sinh dễ dàng vẽ đồ thị chúng hệ toạ độ thấy phương trình vơ nghiệm Hình ảnh đồ thị gợi ý cho thấy khoảng mà y =x2 +x+1 nhận giá trị nhỏ hàm số y=sinx nhận giá trị âm, y =x2+x+1 nhận giá trị dương, tiến hành biến đổi toán đẹp sau: Nếu sinx = x2+x+1 x2+x+1 ≤1 => => Phương trình vơ nghiệm Giải phương trình nhận (H3) Nếu hoạt động H2 (biến đổi phương trình dạng quen thuộc) quan trọng hoạt động H3 có vai trị định tồn hoạt động giải phương trình lượng giác Theo chúng tôi, trước hết giáo viên cần dành thời gian thích đáng để rèn luyện kỹ giải phương trình lượng giác khâu định cuối hoạt động giải phương trình lượng giác nào; sản phẩm thu có đạt u cầu, bảo đảm chất lượng hay khơng hoàn toàn phụ thuộc vào kỹ đơn giản quan trọng Do tính tuần hồn hàm số lượng giác y =sinx, y =cosx, y =tanx, y =cotx nên biến nghiệm phương trình lượng giác bản, ta biết tất nghiệm phương trình theo bảng dễ nhớ sau: Phương trình Cosx=a Sinx=a Tanx=a Cotx=a Điều kiện có nghiệm -1≤a≤1 -1≤a≤1 Nghiệm a Trong bảng nghiệm biết tuỳ ý phương trình, k số nguyên Gv: …………… 18 SKKN - Thực hành hoạt động dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11 Do tính chất nêu, giải phương trình lượng giác qui tìm nghiệm phương trình Trong trường hợp tổng qt, ta có định lý sau: Định lý: Nếu đoạn phương trình cosx=a có nghiệm nhất, nghiệm ký hiệu arccos a, đoạn phương trình sinx=a có nghiệm nhất, ký hiệu arcsin a Định lý: Với a số thực tuỳ ý cho, khoảng 0
