MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KẾT HỢP NGHIỆM TRONG BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN

Nhằm giúp đỡ học sinh có kỹ năng tốt trong việc kết hợp nghiệm với điều kiện của PTLG có điều kiện qua đó có được những phương án giải quyết tối ưu và trọn vẹn cho mỗi bài toán PTLG có điều kiện, tôi chọn nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm:“MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KẾT HỢP NGHIỆM TRONG BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN”

Tên sáng kiến kinh nghiệm:

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KẾT HỢP NGHIỆM TRONG BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN

Tác giả sáng kiến : Nguyễn Thị Hiền

Môn : ToánTrường THPT : Bến Tre

Vĩnh Phúc, năm 2018

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

Tên sáng kiến:

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KẾT HỢP NGHIỆM TRONG BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN

Vĩnh phúc, năm 2018 MỤC LỤC

I Các phương pháp kết hợp nghiệm với điều kiện phổ biến 7

II Một số chú ý khi áp dụng chuyên đề vào thực tế 7

III Hướng phát triển sáng kiến 7

I Các phương pháp kết hợp nghiệm với điều kiện phổ biến 8

1 Biểu diễn trên đường tròn lượng giác (ĐTLG) 8

2 Biểu diễn nghiệm (của phương trình hệ quả) và điều kiện (của phương trình ban đầu) qua cùng một hàm số lượng giác: 16

2.2 Một số ví dụ minh hoạ: 16

3 Thử trực tiếp và xét mệnh đề đối lập 20

II Một số chú ý khi áp dụng chuyên đề vào thực tế 24

III Hướng phát triển sáng kiến: 25

BẢNG KÝ HIỆU TẮT

1 PTLG Phương trình lượng giác

2 ĐTLG Đường tròn lượng giác

Phần I ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Lý do chọn đề tài:

Những kiến thức lượng giác đặc biệt là phương trình lượng giác (PTLG) là

một bộ phận quan trọng trong chương trình toán THPT nói chung và trong Đại

số và giải tích 11 nói riêng Trong các đề thi tuyển sinh đại học và cao đẳngthường xuyên có mặt dạng toán giải PTLG, trong đó loại PTLG có điều kiệnthường làm cho học sinh khó khăn Đa số các em gặp khó khăn trong khâu kếthợp nghiệm của phương trình hệ quả với điều kiện của phương trình ban đầu.Đặc thù của PTLG thường là có vô số nghiệm và công thức nghiệm cho mộtPTLG có thể có những hình thức biểu diễn khác nhau Dung lượng kiến thức ởphần này tương đối lớn, số lượng tiết học trên lớp chỉ đảm bảo cho các em nắmvững kiến thức cơ bản Để giải quyết tốt các đề bài PTLG có điều kiện ở mức độthi đại học và cao đẳng, học sinh cần tìm tòi thêm và phải liên hệ tốt với kiếnthức về công thức lượng giác

Nhằm giúp đỡ học sinh có kỹ năng tốt trong việc kết hợp nghiệm với điềukiện của PTLG có điều kiện qua đó có được những phương án giải quyết tối ưu

và trọn vẹn cho mỗi bài toán PTLG có điều kiện, tôi chọn nghiên cứu sáng kiếnkinh nghiệm:

“MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KẾT HỢP NGHIỆM TRONG BÀI

TOÁN PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN”

2 Mục đích nghiên cứu

Sáng kiến nhằm rèn luyện cho học sinh kĩ năng tiếp cận vấn đề từ nhiềugóc độ khác nhau từ đó chọn được một phương pháp kết hợp nghiệm với điềukiện phù hợp nhất đối với mỗi bài toán PTLG cụ thể Qua đó có thể rút ngắnđáng kể thời gian để có được lời giải trọn vẹn, ngắn gọn, mạch lạc

3.Nhiệm vụ nghiên cứu

Phương trình lượng giác có điều kiện ở chương trình toán 11,đề thi THCN

ĐH-CĐ-4.Đối tượng nghiên cứu và khách thể nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu :Phương trình lượng giác có điều kiện ở chương trình

là đối với học sinh ôn thi THPT quốc gia

6 Phương pháp nghiên cứu

+ Tổng hợp kiến thức, kiểm nghiệm qua thực tế dạy học

+ Tập hợp những vấn đề nảy sinh, những băn khoăn, lúng túng của học sinh trong quá trình giải quyết bài toán phương trình lượng giác có điều kiện Từ

đó đề xuất các phương án giải quyết, tổng kết thành bài học kinh nghiệm

7.Cấu trúc của SKKN

Phần I Đặt vấn đề

Phần II.Nội dung

I Các phương pháp kết hợp nghiệm với điều kiện phổ biến

II Một số chú ý khi áp dụng chuyên đề vào thực tế

III Hướng phát triển sáng kiến

Phần III.Kết luận và khuyến nghị

PHẦN II NỘI DUNG.

I Các phương pháp kết hợp nghiệm với điều kiện phổ biến

1 Biểu diễn trên đường tròn lượng giác (ĐTLG)

1.1 Kiến thức cơ sở

+ Mỗi cung (hoặc góc) lượng giác được biểu diễn bởi một điểm trênĐTLG

2

x= + α k π được biểu diễn bởi một điểm trên ĐTLG;

x= + α kπ được biểu diễn trên ĐTLG bởi 2 điểm đối xứng nhau qua O;

2 3

n

π α

= + được biểu diễn trên ĐTLG bởi n điểm cách đều nhau, tạo

thành n đỉnh một đa giác đều nội tiếp ĐTLG.

+ Ta biểu diễn trên ĐTLG những điểm không thoả mãn điều kiện (đánhdấu “x”) và những điểm nghiệm tìm được (đánh dấu “o”) Những điểm đánh dấu

“o” mà không trùng với những điểm đánh dấu “x” chính là những điểm thoảmãn điều kiện

Nhận xét : Trên đường tròn lượng giác các điểm ngọn cung là đỉnh của

một đa giác đều m cạnh

Biểu diễn góc (cung) dưới dạng công thức tổng quát :

Ta biểu diễn từng góc (cung) trên đường tròn lượng giác Từ đó suy ra côngthức tổng quát

Ví dụ 2 : Biểu diễn góc lượng giác có số đo sau dưới dạng một công thức

Nhận xét : Qua bài toán này ta thấy rõ vai trò của việc kết hợp các góc

lượng giác dưới dạng một công thức tổng quát đơn giản hơn Hơn nữa, đây còn

là bài toán về việc giải hệ phương trình lượng giác cơ bản bằng phương phápbiểu diễn trên đường tròn lượng giác

Bài toán giải PTLG dùng phương pháp kết hợp nghiệm bằng đường tròn lượnggiác để loại các nghiệm ngoại lai

Ta xét một số bài toán sau :

Với điều kiện đó phương trình tương đương :

sinx(cosx+ sinx)− = 1 0

Nhận xét : Đây là một bài có công thức nghiệm đơn giản cho phép ta có

thể biểu diễn một cách chính xác trên đường tròn lượng giác Tuy nhiên ta hãyxét thêm bài toán sau để thấy rõ màu sắc của bài toán biểu diễn nghiệm trênđường tròn lượng giác

Ví dụ 4 : Giải phương trình sau :

sin 4

1 cos 6

Nhận xét : Ta nhận thấy đối với bài toán này việc biểu diễn bằng đường

tròn lượng giác đã trở nên khó khăn và khó chính xác

Ví dụ 5: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ 2011, khối D)

Giải phương trình sin2x +2cos sinx 1 0

Ví dụ 6: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ 2006, khối A)

Giải phương trình 2 cos( 6 sin 6 ) sin cos

2 4

Ví dụ 7: Giải phương trình sau:

Kết hợp với điều kiện trên đường tròn lượng

giác (như hình bên) ta được nghiệm của

phương trình là

2 3

Kết hợp với điều kiện trên đường tròn lượng giác ta được

nghiệm của phương trình là

54π

sin sin 2 sin 3x

3cos cos 2 cos 3

k x

PT trở thành cosx+sin 3x =0 3 4

k x

Biểu diễn nghiệm trên ĐTLG và lấy những nghiệm thoả mãn đk

cos x ≥ 0 ta được

24283

28

9

28

5

24

28

9

28

5

24

24

28

3

28

2 Biểu diễn nghiệm (của phương trình hệ quả) và điều kiện (của phương

trình ban đầu) qua cùng một hàm số lượng giác:

Điều kiện:cost anxx≠≠ −01⇔sint anxx≠ ±≠ −11

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

.2 6

Ví dụ 2: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ 2006, khối B)

Giải phương trình cot sin 1 tan tan 4

⇔ cos sinx cos os2 sinx.sin2 4 cos sinx 4

.2 6

Lời giải: Điều kiện sin 2x> 0

Khi đó phương trình đã cho trở thành

2 2

3/ c otx t anx 4sin 2 2

3.2 Một số ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1: Giải phương trình cos3 tan 5x x= sin 7x

Lời giải: Điều kiện cos5x≠ 0

Khi đó phương trình đã cho trở thành

2 2sin 5 os3 2sin 7 os5 sin 8 sin12

20 10

k x

k x

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là

Ví dụ 2: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ, 2011, khối A)

Giải phương trình 1 sin2x+ cos 22 2 sinx sin 2

Lời giải: Điều kiện sinx≠ ⇔ 0 cosx≠ ± 1

Khi đó phương trình đã cho trở thành

Giả sử sinx= ⇔ 0 cosx= ± 1, khi đó ( )* ⇔ ± = 0 1 2 (vô lí)

Do đó phương trình tương đương với

2

2 4

Tức là các nghiệm của (2) đều thoả mãn điều kiện.

Giả sử c xos = ⇔ 0 sinx= ± 1, thay vào (*) ta được ± ± − = 1 2 1( ) 0(vô lí)

Tức là các nghiệm của (*) đều thoả mãn điều kiện

Ví dụ 5: Giải phương trình tan 5 tan 2x x= 1

+ Đối chiếu điều kiện (2)

Từ đó suy ra điều kiên (2) luôn được thoả mãn

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x=14π +kπ7 (k Z∈ )

II Một số chú ý khi áp dụng chuyên đề vào thực tế

Khi áp dụng sáng kiến vào thực tế giảng dạy có thể nảy sinh một vài vấn

đề cần chú ý như sau

1/ Nếu một bài toán PTLG có thể kết hợp nghiệm với điều kiện theo cả

ba phương pháp trên thì nên áp dụng theo phương pháp nào?

Với vấn đề này cần nhấn mạnh cho học sinh thấy phương pháp 1 là ít thaotác hơn cả Vì vậy nếu làm được theo phương pháp 1: “Biểu diễn nghiệm (củaphương trình hệ quả) và điều kiện (của phương trình ban đầu) qua cùng một hàm

số lượng giác”là ngắn gọn hơn cả

2/ Khi làm bài thi nếu áp dụng phương pháp 3: “Biểu diễn trên ĐTLG”, do yêu cầu thẩm mỹ và tính chính xác nên sẽ mất rất nhiều thời gian trình bày Vậy có được phép bỏ qua phần vẽ hình ở khâu kết hợp điều kiện không?

Với vấn đề này, có thể cho phép học sinh không trình bày hình vẽ vàotrong bài làm nhưng yêu cầu học sinh phải phác hoạ ra nháp và thực hiện đúngcác thao tác như đã nói trong phương pháp để có kết luận chính xác Đồng thờikhi trình bày vào bài làm phải nói rõ là kết hợp trên ĐTLG ta được nghiệm củaphương trình là…

3/ Có phương pháp nào có thể áp dụng cho tất cả các bài toán PTLG có điều kiện không? Làm sao biết mỗi bài toán nên kết hợp nghiệm theo phương pháp nào?

Câu trả lời là không có phương pháp nào có thể áp dụng cho tất cả các bàitoán PTLG có điều kiện

Với những bài toán không áp dụng được theo phương pháp 1 thì ta tìmcách áp dụng phương pháp 2 và 3 Phương pháp 3 có thể coi là phổ biến hơnphương pháp 2 nhưng trong một số bài toán mà việc biểu diễn nghiệm và điềukiện cần quá nhiều điểm hoặc các điểm biểu diễn trên ĐTLG quá gần nhau…thìphương pháp 3 gặp khó khăn và gần như không thể thực hiện được trong giớihạn về thời gian cũng như năng lực của học sinh Khi đó phương pháp 2 lại phùhợp hơn ( ví dụ 1, ví dụ 5 của phương pháp 2 minh hoạ cho điều này)

III Hướng phát triển sáng kiến:

Do thời gian có hạn nên sáng kiến kinh nghiệm chỉ đề cập những phương pháp

cơ bản về kết hợp nghiệm với điều kiện của phương trình lượng giác có điềukiện.Sáng kiến kinh nghiệm có thể nghiên cứu để mở rộng với các bài toán giải

hệ phương trình lượng giác hoặc hệ lượng giác hỗn hợp, cũng như các phươngtrình kết hợp giữa hàm số lượng giác và các hàm số mũ, lôgarít và hàm số dướidấu căn…

5 Kết quả thực hiện

5.1/ Kết quả từ thực tiễn.

- Ban đầu học sinh gặp khó khăn nhất định trong việc làm quen với phươngpháp kết hợp nghiệm và điều kiện trong PTLG có điều kiện Sau khi được rèn

luyện hệ thống kiến thức trên,các em học sinh đã mạnh dạn hơn, linh hoạt hơntrong việc giải PTLG có điều kiện

- Cái hay của phương pháp này là học sinh không bị mất điểm trong giải PTLG

có điều kiện

- Tránh được việc không biết kết luận nghiệm

* Ngoài bài tập sách giáo khoa, hệ thống bài tập ở chương I sách Đại số và giảitích 11, tôi cho học sinh luyện tập các bài tập trong các đề thi cao đẳng, đại họchàng năm và các tài liệu tham khảo về chuyên đề lượng giác của nhà xuất bảnĐHQG

Nhận xét: Học sinh đã làm được một số lượng tương đối lớn bài tập mà ít mắcsai lầm trong lời giải

Do đó qua bài viết này tôi muốn nhấn mạnh những ưu điểm của việc sử dụngcác phương pháp kết hợp nghiệm và điều kiện trong PTLG có điều kiện Tuynhiên trong bài viết này có nhiều vấn đề tôi chưa đề cập đến và cũng khôngtránh khỏi những thiếu sót Mong nhận được sự góp ý của tất cả mọi người để

đề tài hoàn thiện và có tác dụng tốt hơn nữa

Tôi xin chân thành cảm ơn

2 Kiến nghị

- Cần cung cấp thêm tài liệu liên quan tới môn học

- Mở lớp bồi dưỡng luyện thi THPTquốc gia cho học sinh

*Vấn đề mới/ cải tiến SKKN đật ra và giải quyết so với các SKKN trước đây (ởtrong nhà trường hoặc trong tỉnh):

- Ban đầu học sinh gặp khó khăn nhất định trong việc làm quen với phươngpháp kết hợp nghiệm và điều kiện trong PTLG có điều kiện Sau khi được rènluyện hệ thống kiến thức trên,các em học sinh đã mạnh dạn hơn, linh hoạt hơntrong việc giải PTLG có điều kiện

- Cái hay của phương pháp này là học sinh không bị mất điểm trong giải PTLG

có điều kiện

- Tránh được việc không biết kết luận nghiệm

PHẦN IV TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Sách giáo khoa môn Toán lớp 10, 11 cơ bản_NXB Giáo dục

2 Sách giáo khoa Bài tập môn Toán lớp 10, 11 cơ bản_NXB Giáo dục

3 Sách giáo khoa môn Toán lớp 10, 11 nâng cao_NXB Giáo dục

4 Sách giáo khoa Bài tập môn Toán lớp 10, 11 nâng cao_NXB Giáo dục

5 Tạp chí Toán học và tuổi trẻ_NXB Giáo dục

Tác giả sáng kiến

(Ký, ghi rõ họ tên)