Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 20 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
20
Dung lượng
655,17 KB
Nội dung
A). Phương Pháp: Với phương trình có dạng : )()( mgxf = Chúng ta thực hiện các bước sau ñây: Bước 1: Xem ñó là phương trình hoành ñộ giao ñiểm của )(xf và )(mg .Do ñó số nghiệm của phương trình là số giao ñiểm của 2 hàm số Bước 2: Xét hàm số )(xfy = • Tìm tập xác ñịnh D • Tính ñạo hàm ' y , rồi giải phương trình 0'=y • Lập bảng biến thiên của hàm số Bước 3: Kết luận: • Phương trình có nghiệm )(max)()(min xfmgxf ≤≤⇔ • Phương trình có k nghiệm phân biệt ⇔ dựa vào bảng biến thiên xem )( mg cắt )(xf tại k ñiểm .Suy ra giá trị cần tìm • Phương trình vô nghiệm ⇔ hai hàm số không cắt nhau Với bất phương trình có dạng : )()( mgxf ≤ Chúng ta thực hiện các bước sau ñây: Bước 1: Xét hàm số )(xfy = • Tìm tập xác ñịnh D • Tính ñạo hàm ' y , rồi giải phương trình 0'=y • Lập bảng biến thiên của hàm số Bước 2: Kết luận: • Bất phương trình có nghiệm D ∈ )(min mgy ≤⇔ • Bất phương trình nghiệm ñúng Dx ∈∀ )(max mgy ≤⇔ Chú ý : Nếu )()( mgxf ≥ thì: • Bất phương trình có nghiệm D ∈ )(min mgy ≥⇔ • Bất phương trình nghiệm ñúng Dx ∈∀ )(max mgy ≥⇔ Chú ý chung : Nếu có ñặt ẩn phụ )( xht = . Từ ñiều kiện của x chuyển thành ñiều kiện của t .Có 3 hướng ñể tìm ñiều kiện : • Sử dụng BðT Cô si cho các số không âm • Sử dụng bất ñẳng thức Bunhiacopxki • Sử dụng ñạo hàm ñể tim min và max ( lúc ñó t sẽ thuộc min và max ) B).Bài Tập Ứng Dụng : Loại 1: Bài toán tìm m ñối với phương trình Bài 1.Tìm m ñể phương trình sau có nghiệm : a) mxxxx =+−−++ 11 22 b) )45(12 xxmxxx −+−=++ c) mxxxx ++−=−+ 99 2 d) mxx =−+ 4 2 1 1 http://kinhhoa.violet.vn e) 0113 4 4 =−++− xmxx f) 4 2 4 2 422)422( −=+−−+− xxxxm g) 03)cot(tancottan 22 =++++ xxmxx Bài làm : a) mxxxx =+−−++ 11 22 Xét hàm số 11 22 +−−++= xxxxy • Miền xác ñịnh : R D = • ðạo hàm : 12 12 12 12 ' 22 +− − − ++ + = xx x xx x y 1)12(1)12(0' 22 +−+=++−⇔= xxxxxxy +−+=++− >+− ⇔ )1()12()1()12( 0)12)(12( 2222 xxxxxx xx ⇔ vô nghiệm Mà 01)0(' >=y nên hàm số ñồng biến trên R • Giới hạn : 1 11 2 lim)11(limlim 22 22 = +−+++ =+−−++= +∞→+∞→+∞→ xxxx x xxxxy xxx 1 11 2 limlim 22 −= +−+++ = −∞→−∞→ xxxx x y xx • Bảng biến thiên : Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 11 <<− m b) )45(12 xxmxxx −+−=++ ðiều kiện : 40 04 05 012 0 ≤≤⇔ ≥− ≥− ≥+ ≥ x x x x x (*) Viết phương trình về dạng : mxxxxx =−−−++ )45)(12( (1) Xét hàm số : )45)(12( xxxxxy −−−++= • Miền xác ñịnh : [ ] 4,0=D x ∞− ∞+ ' y + y 1 -1 2 http://kinhhoa.violet.vn • Nhận xét rằng : - Hàm )12()( ++= xxxxh là hàm ñồng biến trên D - Hàm xxxg −−−= 45)( có : Dx xx xx xg ∈∀> −− −−− = 0 452 45 )(' .Suy ra ñồng biến )().( xgxhy =⇒ là hàm ñồng biến trên D Vậy phương trình (1) có nghiệm khi : )4()0( fmf ≤≤ 12)25(12 ≤≤−⇔ m c) mxxxx ++−=−+ 99 2 ðiều kiện : 90 09 0 ≤≤⇔ ≥− ≥ x x x Biến ñổi phương trình : mxxxx ++−=−+ 9)9(29 2 mxxxx =+−+−−⇔ 9299 22 Xét hàm số xxxxy 9299 22 +−++−= • Miền xác ñịnh : [ ] 9,0=D • ðạo hàm : xx x xy 9 )92( 92' 2 +− +− −−= 0 9 1 1)92(0' 2 = +− +−⇔= xx xy 2 9 =⇔ x • Bảng biến thiên : Vậy phương trình có nghiệm khi : 9 4 9 ≤≤− m d) mxx =−+ 4 2 1 ðiều kiện : 0≥x Xét hàm số : xxy −+= 4 2 1 • Miền xác ñịnh : [ ) +∞= ,0D x 0 2 9 9 'y – 0 + y 9 9 4 9 − 3 http://kinhhoa.violet.vn • ðạo hàm : x x x y 2 1 )1(2 ' 4 32 − + = 4 32 )1(0' +=⇔= xxxy 326 )1( +=⇔ xx 1 22 +=⇔ xx (vô nghiệm) Suy ra )(' xy không ñổi dấu trên D , mà 0 2 1 82 1 )1(' 4 <−=y Do ñó Dxxy ∈∀< 0)(' ⇔ hàm số ñồng biến • Giới hạn: 0 )1)(1( 1 lim)1(limlim 2 4 2 4 2 = ++++ =−+= +∞→+∞→+∞→ xxxx xxy xxx • Bảng biến thiên: Vậy phương trình có nghiệm khi : 10 ≤< m e) 0113 4 4 =−++− xmxx Biến ñổi phương trinh : xmxx −=+− 113 4 4 −=+− ≥− ⇔ 44 )1(13 01 xmxx x =+−− ≤ ⇔ mxxx x 13)1( 1 44 Xét hàm số xxxy 13)1( 44 +−−= • Miền xác ñịnh : ( ] 1,∞−=D • ðạo hàm : 91212134)1(4' 233 ++−=+−−−= xxxxy 0912120' 2 =++−⇔= xxy −= = ⇔ )( 2 1 )( 2 3 nx lx • Giới hạn : [ ] +∞=+−−= −∞→−∞→ xxxy xx 13)1(limlim 44 • Bảng biến thiên: x 0 ∞+ 'y – y 1 0 4 http://kinhhoa.violet.vn Vậy ñể phương trình có nghiệm khi : 2 3 −≥m f) 4 2 4 2 422)422( −=+−−+− xxxxm ðiều kiện : 2≥x Khi 2=x : VPVT VP VT ≠⇔ = −= 0 2 (loại) Khi :2>x Chia 2 vế cho 4 2 4−x ta ñược : 2 2 2 2 2 2 44 = − + − + + − x x x x m (*) ðặt 4 2 2 − + = x x t Tìm ñiều kiện cho t Cách 1: Xét hàm số 2 2 2 )( 4 >∀ − + = x x x xf ðạo hàm : ( ) 0 2 2 2 1 2 2 4 1 2 2 )(' 4 3 2 4 3 ' < − + − − = − + − + = x x x x x x x xf Suy ra hàm số )(xf nghịch biến 2>∀x 1)(lim)( >⇔>⇔ +∞→ txfxf x Cách 2: Ta có 2>x . Mà 4 2 2 − + = x x t 2 2 4 − + =⇔ x x t 1 )1(2 2)2( 4 4 4 − + =⇔ +=−⇔ t t x xxt Do ñó: > −< ⇔ −< > ⇔>−⇔ > − ⇔> − + 1 1 1 1 01 0 1 4 2 1 )1(2 2 2 4 44 4 t t t t t tt t x ∞− 2 1 − 1 ' y — 0 + y ∞+ 12 2 3 − 5 http://kinhhoa.violet.vn Mặc khác 10 >⇒> tt Lúc ñó : (*) )()( 12 2 22 1 2 tfmg t tt mt t m =⇔ + + =⇔=− +⇒ Xét hàm số 12 2 )( 2 + + = t tt tf • Miền xác ñịnh : ( ) +∞= ,1D • ðạo hàm : ( ) ⇒> + ++ = 0 12 222 )(' 2 2 t tt tf hàm số ñồng biến • Giới hạn : +∞= +∞→ )(lim tf t • Bảng biến thiên: Vậy ñể phương trình có nghiệm : 11)( >⇔> mmg g) 03)cot(tancottan 22 =++++ xxmxx ðặt x x t cottan += 2cottan 222 ++=⇒ xxt Tìm ñiều kiện cho t : 2cot.tan2cottancottan ≥⇔≥+=+= txxxxxxt (vì )1cot.tan =xx Lúc ñó : )()( 1 01 2 2 tfmg t t mmtt =⇔ + =−⇔=++ Xét hàm số t t tf 1 )( 2 + = • Miền xác ñịnh: ),2()2,( +∞∨−−∞=D • ðạo hàm : Dx t t tf ∈∀> − = 0 1 )(' 2 2 • Giới hạn : ±∞= + = ±∞→±∞→ t t tf tt 1 lim)(lim 2 • Bảng biến thiên : x 1 ∞+ ' y + y ∞+ 1 x ∞− 2 − 2 ∞+ ' y + + y 2 5 − ∞+ ∞− 2 5 6 http://kinhhoa.violet.vn Vậy ñể phương trình có nghiệm: > −< 2 5 2 5 m m Bài 2.Tìm m ñể phương trình có ñúng 2 nghiệm phân biệt a) mxxxx =−+−++ 626222 44 b) 6164164 4 3434 =++−+++− mxxxmxxx Bài làm : a) mxxxx =−+−++ 626222 44 (1) ðiều kiện : 60 06 02 ≤≤⇔ ≥− ≥ x x x Xét hàm số xxxxy −+−++= 626222 44 • Miền xác ñịnh: [ ] 6,0=D • ðạo hàm x x x x y − − − −+= 6 1 )6(2 1 2 1 )2(2 1 ' 4 3 4 3 0 6 1 2 1 )6(2 1 )2(2 1 0' 4 3 4 3 = − −+ − −⇔= xx xx y 0 6 1 2 1 )6(2 1 6 1 2 1 2 1 6 1 2 1 44 4 44 = − ++ − + − + − −⇔ xxxxxxxx 44 6 1 2 1 xx − =⇔ xx −=⇔ 62 2 =⇔ x • Bảng biến thiên: ðể (1) có hai nghiệm phân biệt: )44(3)66(2 4 4 +<≤+ m x 0 2 6 ' y + 0 — y )44(3 4 + )66(2 4 + 1212 4 + 7 http://kinhhoa.violet.vn b) 6164164 4 3434 =++−+++− mxxxmxxx ðặt )0(164 4 34 ≥++−= tmxxxt Lúc ñó : 066 22 =−+⇔=+ tttt −= = ⇔ )(3 )(2 lt nt Với mxxxmxxxt −=+−⇔=++−⇔= 16164161642 3434 (*) Xét hàm số : xxxxf 164)( 34 +−= • Miền xác ñịnh: R D = • ðạo hàm : 1684)(' 23 +−= xxxf 016840)(' 23 =+−⇔= xxxf = −= ⇔ 2 1 x x • Giới hạn +∞=+−= +∞→+∞→ )164(lim)(lim 34 xxxxf xx +∞=+−= −∞→−∞→ )164(lim)(lim 34 xxxxf xx • Bảng biến thiên: Vậy ñể có hai nghiệm khi : 271116 <⇔−>− mm 3.Tìm m ñể phương trình xmx cos1 2 =+ có ñúng 1 nghiệm thuộc ) 2 ,0( π Bài làm: Biến ñổi phương trình: 1cos 2 −= xmx (1) Nhận xét: (1) có nghiệm khi 0 ≤m ( vì 0 >m lúc ñó 0,0 <> VPVT ) Lúc ñó (1) m x x x x m −= ⇔ − =⇔ 2 2 2 2 4 2 sin2 1cos x ∞− -1 2 ∞+ ' y — 0 + 0 + y ∞+ ∞+ 16 -11 8 http://kinhhoa.violet.vn m x x 2 2 2 sin 2 2 −= ⇔ (2) ðặt 2 x t = . Vì ∈⇒ ∈ 4 ,0 2 ,0 ππ tx (2) m t t m t t 2 sin 2 sin 2 2 2 −= ⇔−=⇔ Xét hàm số: t t tf sin )( = • Miền xác ñịnh = 4 ,0 π D • ðạo hàm Dt t ttt t ttt tf ∈∀< − = − = 0 )tan.(cossincos. )(' 22 ( vì tttDt <>⇒∈ tan,0cos ) Do ñó hàm )(tf nghịch biến • Giới hạn : 1 sin lim)(lim 00 = = →→ t t tf tt • Bảng biến thiên: Vậy ñể phương trình có ñúng một nghiệm : 22 2 2 4 2 1 12 8 1 sin8 1)( 22 πππ π −<<−⇔<−<⇔< <⇔<< mm t t tf 4.Tìm m ñể phương trình mxxm +=+ 2 2 có ba nghiệm phân biệt Bài làm: Biến ñổi phương trình: xxm =−+ )12( 2 12 2 −+ =⇔ x x m (vì 22 2 ≥+x ) Xét hàm số 12 )( 2 −+ = x x xf • Miền xác ñịnh : R D = t 0 4 π )(' tf – )(tf 1 π 22 9 http://kinhhoa.violet.vn • ðạo hàm : 222 2 )12(2 22 )(' −++ +− = xx x xf 220)(' 2 =+⇔= xxf 2±=⇔ x • Giới hạn 1 1 )12( lim 12 lim)(lim 2 2 2 = + ++ = −+ = +∞→+∞→+∞→ x xx x x xf xxx 1 1 )12( lim 12 lim)(lim 2 2 2 −= + ++ = −+ = −∞→−∞→−∞→ x xx x x xf xxx • Bảng biến thiên: Vậy ñể phương trình có 3 nghiệm phân biệt: 22 <<− m Loại 2: Bài toán tìm m ñối với bất phương trình Bài 1: Tìm m ñể bất phương trình nghiệm ñúng với mọi x a) 1256 2 >++− mxxx b) 0139. ≥+− xx m c) 04. 4 ≥+− mxxm Bài làm : a) Xét hàm số : mxxxxfy 256)( 2 ++−== <<−++−= ≥∨≤+−+= = )51(5)3(2)( )51(5)3(2)( )( 2 2 2 1 xxmxxf xxxmxxf xf ðể bất phương trình nghiệm ñúng với mọi x { } 1)3(),5(),1(min1)(min 111 >−⇔>⇔ mfffxf 51 056 10 1 2 1 1)3( 1)5( 1)1( 2 1 1 1 <<⇔ <+− > > ⇔ >− > > ⇔ m mm m m mf f f Vậy với 51 << m bất phương trình có nghiệm ñúng với mọi x x ∞− 2− 2 ∞+ 'y — 0 + 0 — y 1− 2 2− 1 10 http://kinhhoa.violet.vn [...]... http://kinhhoa.violet.vn 18 x 2 −2 x 1 Bài 4: Tìm m ñ phương trình = m 2 + m + 1 có b n nghi m phân bi t 3 Bài 5: Tìm m ñ phương trình − 2 x 2 + 10 x − 8 = x 2 − 5 x + m có b n nghi m phân bi t Bài 6: Tìm m ñ (3 + x)(7 − x) ≤ x 2 − 4 x + m nghi m ñúng ∀x ∈ [− 3,7] Bài 7: Tìm m ñ h phương trình có nghi m: x 2 1 4 −5 x 2 ≤ 2 3 x 2 − mx x + 16 = 0 Bài 8: Tìm m ñ h phương trình có ba c p nghi... − 2 = • ð o hàm f ' ( x) = 2 ln 2.(− x 2 − 2 x + 3) ln 4 f ' ( x ) = 0 ⇔ x = −1 • B ng bi n thiên: x f ' ( x) −2 −1 + f (x) 0 0 — 1 log 4 3 log 4 3 V y ñ b t phương trình nghi m ñúng v i m i 3 x ∈ (−2,0) ⇔ max f ( x) < m ⇔ 4 log 4 3 0 Hàm s ñ ng bi n Do ñó x = y Thay vào phương trình (2) ta có: x 2 + x 2 = m ⇔ 2x 2 = m ⇔ x 2 = m 2 ð h có nghi m: m ≥ 0 C) .Bài t p t luy n: Bài 1: Tìm m ñ b t phương trình (m + 2) x − m ≥ x + 1 có nghi m x ∈ [0,2] Bài 2: Tìm m ñ 9 2 x ki n x ≥ 2 −x − 2(m − 1).6 2 x 2 −x + (m + 1).4 2 x 2 −x ≥ 0 nghi m ñúng v i m i x tho ñi u 1 2 Bài 3: Tìm m ñ phương trình x − 2 ( x + 1) + m = 0 có ba nghi m phân... x 2 − 3x − 4 ≤ 0 Bài 9: Tìm m ñ h có nghi m 3 2 x − 3 x x − m − 15m ≥ 0 3 x + x = 3m + y Bài 10: Tìm m ñ h vô nghi m: y 3 + y = 3m + x Bài 11: Tìm m ñ phương trình có nghi m: 7 2 x + x +1 − 7 2+ x +1 + 2007 x ≤ 2007 2 x − ( m + 2) x + 2 m + 3 = 0 http://kinhhoa.violet.vn (1) ( 2) 19 TOÁN; Khối: A ⎧(4 x 2 + 1) x + ( y − 3) 5 − 2 y = 0 ⎪ (x, y ∈ R) Giải hệ phương trình ⎨ 2 2 ⎪4 x +... http://kinhhoa.violet.vn 13 x y' y +∞ 1 + +∞ 2 ð b t phương trình nghi m ñúng v i x ≥ 1 ⇔ min f ( x) ≥ g (m) 2 ⇔ 3m ≤ 2 ⇔ m ≤ 3 log 2 x 2 Bài 4: Tìm t t c m ñ b t phương trình log 2 x −1 2 ≥ m nghi m ñúng v i m i x > 0 Bài làm: ð t t = log 2 x 2 Tìm ñi u ki n cho t : Vì x > 0 ⇔ t > 1 t Lúc ñó : t −1 ≥ m ⇔ f (t ) ≥ g (m) t f (t ) = Xét hàm s t −1 • Mi n xác ñ nh D = (1,+∞ ) • ð o hàm : f ' (t ) = t−2 23 (t − 1) 2 f... 1 ð b t phương trình nghi m ñúng v i m i x > 0 ⇔ f (t ) ≥ g (m) ∀t > 0 ⇔ min f (t ) ≥ g (m) ⇔ 1 ≥ m 3 Bài 5: Tìm m ñ b t phương trình 4 x ∈ (− 2,0 ) http://kinhhoa.violet.vn log 4 ( − x 2 − 2 x + 3 ) < m nghi m ñúng v i m i 14 Bài làm: ði u ki n : − x 2 − 2 x + 3 > 0 ⇔ −3 < x < 1 Nh n xét : ñ bài yêu c u tho mãn x ∈ (− 2,0 ) Do ñó ta xét giao c a hai t p h p trên : x ∈ (− 2,0 ) Xét hàm s :... f ( m + 2) > 0 2 Bài 3: Tìm t t c m ñ b t phương trình − x 3 + 3mx − 2 ≤ − 1 tho mãn v i x ≥ 1 x3 Bài làm: 1 x3 x 6 + 2x3 − 1 ⇔ 3m ≤ x4 Bi n ñ i b t phương trình v d ng: 3mx ≤ x 3 + 2 − x6 + 2x3 −1 x4 • Mi n xác ñ nh : D = [1,+∞ ) Xét hàm s f ( x) = 2 x 6 − 2 x 3 + 4 2 x 3 ( x 3 − 1) + 4 = >0 x5 x5 2x 6 − 2x3 + 4 = +∞ • Gi i h n : xlim f ( x) = xlim → +∞ → +∞ x5 • ð o hàm : f ' ( x) = ∀x ∈ D... tung ñ trái d u ⇔ phương trình (**) có 2 nghi m trái d u ⇔ P < 0 ⇔ m < 0 3 x − 3 y = ( y − x)( xy + m) Bài 5: Tìm m ñ h có nghi m: 2 2 x + y = m (1) ( 2) Bài làm: Thay (2) vào (1) ta có : 3 x − 3 y = ( y − x)( xy + x 2 + y 2 ) ⇔ 3x − 3 y = y 3 − x3 ⇔ 3x + x3 = 3 y + y 3 ⇔ f ( x) = f ( y ) Xét hàm s f (t ) = 3t + t 3 • Mi n xác ñ nh D = R • ð o hàm f ' ( x) = ln 3.3t + 3t 2 > 0 Hàm s ñ ng bi n... ≥ f ( x ) x +1 ⇔m≥ Xét hàm s f ( x) = 4 4x x +1 4 • Mi n xác ñ nh D = R • ð o hàm f ' ( x) = 4 − 12 x 4 (x 4 ) +1 2 f ' ( x) = 0 ⇔ x = ± 1 4 3 • Gi i h n : xlim f ( x) = 0 → ±∞ • B ng bi n thiên: http://kinhhoa.violet.vn 11 x −∞ y' y − — 1 4 1 4 3 0 + +∞ 3 0 4 0 — 27 − 4 27 0 V y ñ b t phương trình nghi m ñúng v i m i x ⇔ g (m) ≥ max f ( x) ⇔ m ≥ 4 27 Bài 2: Tìm m ñ b t phương trình có nghi m a) mx... 2 2 ⎪4 x + y + 2 3 − 4 x = 7 ⎩ Bài làm: 3 5 ; y≤ 4 2 Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: (4x2 + 1).2x = (5 − 2y + 1) 5 − 2 y (1) Điều kiện: x ≤ Nhận xét: (1) có dạng f(2x) = f( 5 − 2 y ), với f(t) = (t2 + 1)t Ta có f ' (t) = 3t2 + 1 > 0, suy ra f đồng biến trên R Do đó: (1) ⇔ 2x = ⎧x ≥ 0 ⎪ 5 − 2y ⇔ ⎨ 5 − 4 x2 y= ⎪ 2 ⎩ 2 ⎛5 ⎞ Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được: 4x2 + ⎜ − 2 x 2 ⎟ . phương trình là số giao ñiểm của 2 hàm số Bước 2: Xét hàm số )(xfy = • Tìm tập xác ñịnh D • Tính ñạo hàm ' y , rồi giải phương trình 0'=y • Lập bảng biến thiên của hàm số Bước. biến thiên: Vậy ñể phương trình có 3 nghiệm phân biệt: 22 <<− m Loại 2: Bài toán tìm m ñối với bất phương trình Bài 1: Tìm m ñể bất phương trình nghiệm ñúng với mọi x . ñạo hàm ' y , rồi giải phương trình 0'=y • Lập bảng biến thiên của hàm số Bước 2: Kết luận: • Bất phương trình có nghiệm D ∈ )(min mgy ≤⇔ • Bất phương trình nghiệm ñúng Dx ∈∀ )(max mgy