phương pháp hàm số giải hệ phương trình phần 1

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia 2015! Ví dụ 1: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 5 4 10 6 2 , (1) 4 5 8 6, (2)  + = +   + + + =   x xy y y x y ( ) ; ∈ ℝ x y Hướng dẫn giải: Điều kiện: 4 . 5 ≥ − x N ế u 0 0 = ⇒ = y x không thỏa mãn (2). Nếu 0 ≠ y . Chia cả hai vế của (1) cho 5 y ta được 5 5 ( )       + = + ⇔ =             x x x y y f f y y y y Xét hàm số 5 4 ( ) '( ) 5 1 0, , = + ⇒ = + > ∀ ∈ ℝ f t t t f t t t suy ra ( ) f t đồng biến tên ℝ Ta có 2 ( )   = ⇔ = ⇔ =     x x f f y y x y y y . Khi đó 2 (2) 4 5 8 6 4 5 8 2 4 37 40 36 ⇔ + + + = ⇔ + + + + + + = x x x x x x 2 2 2 2 23 23 5 0 2 4 37 40 23 5 5 4(4 37 40) (23 5 ) 9 378 369 0  − ≥ ≤   ⇔ + + = − ⇔ ⇔   + + = −   − + =  x x x x x x x x x x 23 1 1 5 1; 41  ≤  ⇔ ⇒ = ⇒ = ±   = =  x x y x x Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm (1; 1) và (1; −1). Ví dụ 2: [ĐVH]. Giải hệ phương trình sau : ( ) ( ) 3 3 8 8 5 5 1 1 2 x x y y x y  − = −   + =   H ướ ng d ẫ n gi ả i: Từ (2) suy ra : , 1 x y ≤ . Từ (1) ta xét hàm số : [ ] 3 2 ( ) 5 '( ) 3 5 0 1;1 f t t t f t t t= − ⇒ = − < ∀ ∈ − Do vậy f(t) là một hàm số nghịch biến . Vậy để có (1) chỉ xảy ra khi x = y. Khi đó (2) trở thành : ( ) 8 8 8 8 8 8 1 1 1 1 1 1 ; ; ; ; 2 2 2 2 2 2 x x x y     = ⇔ = ± ⇒ = − −         Ví dụ 3: [ĐVH]. Giải hệ phương trình : 3 3 6 6 3 3 1 x x y y x y  − = −   + =   H ướ ng d ẫ n gi ả i: H ọ c sinh gi ả i ví d ụ 2, t ừ đ ó suy ra cách gi ả i ví d ụ 2. Ví dụ 4: [ĐVH]. Gi ả i h ệ ph ươ ng trình sau : 2 1 2 1 2 2 3 1 2 2 3 1 y x x x x y y y − −  + − + = +   + − + = +   H ướ ng d ẫ n gi ả i: 12. PP HÀM SỐ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – P1 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia 2015! Đặt u = x – 1 ; v = y – 1 khi đó hệ có dạng : 2 2 1 3 1 3 v u u u v v  + + =   + + =   Tr ừ hai ph ươ ng trình v ế v ớ i v ế ta có ph ươ ng trình : 2 2 1 3 1 3 u v u u v v + + + = + + + (*) Xét hàm s ố : 2 2 ( ) 1 3 '( ) 1 3 ln3 0 1 u u u f u u u f u u = + + + ⇒ = + + > + . Hàm s ố đồ ng bi ế n . Để có (*) thì ch ỉ x ả y ra khi u = v. Thay vào (1) ta có ( ) ( ) 2 2 2 1 3 ln 1 ln3 ( ) ln 1 ln3 u u u u u u f u u u u⇔ + + = ⇔ + + = ⇒ = + + − 2 2 2 1 1 1 '( ) ln3 ln3 0 1 1 u u f u u u u u + + ⇔ = − = − < ∨ + + + . Ch ứ ng t ỏ hàm s ố ngh ị ch bi ế n . Nh ư ng ta l ạ i có f(0)=0 vì v ậ y ph ươ ng trình có nghi ệ m u = 0 và v = 0. Do đ ó h ệ có nghi ệ m duy nh ấ t : x = y = 0. Ví dụ 5: [ĐVH]. Gi ả i h ệ ph ươ ng trình sau : ( ) ( ) 2 2 2 4 1 3 5 2 0 4 2 3 4 7 x x y y x y x  + + − − =   + + − =   Hướng dẫn giải: Đ i ề u ki ệ n : 3 5 , 4 2 x y ≤ ≤ . Đặ t : ( ) 2 1 5 2 5 2 t y y t = − ⇒ = − , thay vào (1) c ủ a h ệ ta có : 2 3 3 3 5 4 3 8 2 2 t x x t x x t t   − ⇔ + = − ⇔ + = +     . Xét hàm s ố 3 2 ( ) '( ) 3 1 0 ( ) f u u u f u u u f u = + ⇒ = + > ∀ ⇒ đồ ng bi ế n Do đ ó : 2 5 4 5 2 2 2 x y x y − − = ⇔ = . Thay vào ph ươ ng trình (2) c ủ a h ệ ta đượ c 2 2 2 5 4 3 ( ) 4 2 3 4 0 0; 2 4 x g x x x x   −   = + + − = ∀ ∈         D ễ th ấ y x = 0 và x = 3/4 không là nghi ệ m . Ta xét : ( ) 2 2 5 4 4 3 '( ) 8 8 2 4 4 3 0 0; 2 4 3 4 3 4 g x x x x x x x x x     = − − − = − − < ∨ ∈     − −     , v ớ i : 1 1 0 ; 0 2 2 g x y   = ⇒ = =     là nghi ệ m c ủ a h ệ Ví dụ 6: [ĐVH]. Gi ả i h ệ ph ươ ng trình: 3 2 2 2 3 ( 3) (1) ( 1) 2 5 0 (2)  = − + +   + + + + + − =   x x y y y y x y x Hướng dẫn giải: PT 3 3 (1) 3 3 x x y y ⇔ + = + Xét hàm 3 ( ) 3 f t t t = + . Hàm s ố đồ ng bi ế n. T ừ (1) ( ) ( ) f x f y x y ⇒ = ⇒ = Thay và (2) tiếp tục sử dụng PP hàm số C/m PT (2) có 1 nghiệm duy nhất 1 1 x y = ⇒ = . Ví dụ 7: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 3 3 3 ( 1) 9( 1) (1) 1 1 1 (2) x x y y x y  − = − − −   + − = −   Hướng dẫn giải: Từ điều kiện và từ phương trình (2) có 1; 1 1 x y ≥ − ≥ ( ) 3 3 (1) 3 1 3 1 ⇔ − = − − − x x y y , xét hàm số 3 ( ) 3 f t t t = − trên [1; ) +∞ Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia 2015! Hàm số đồng biến trên [1; ) +∞ , ta có ( ) ( 1) 1 f x f y x y = − ⇒ = − Với 1 x y = − thay vào (2) giải được 1; 2 x x = = 1 2 , 2 5 x x y y = =   ⇒   = =   Ví dụ 8: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 3 2 3 2 2 2 3 9 22 3 9 1 2 x x x y y y x y x y  − − + = + −   + − + =   Hướng dẫn giải: Từ phương trình (2) 2 2 1 1 1 2 2     ⇒ − + + =         x y nên 3 1 1 3 1 ; 1 2 2 2 2 − ≤ − ≤ − ≤ + ≤ x và y 3 3 (1) ( 1) 12( 1) ( 1) 12( 1) x x y y ⇔ − − − = + − + nên xét 3 ( ) 12 f t t t = − trên 3 3 ; 2 2   −     Ch ỉ ra f(t) ngh ị ch bi ế n. Ta có ( 1) ( 1) 1 1 f x f y x y − = + ⇒ − = + Nghi ệm 1 3 3 1 ( ; ) ; ; ; 2 2 2 2 x y     = − −         Ví dụ 9: [ĐVH]. Gi ả i h ệ ph ươ ng trình ( ) 1 3 2 2 3 1 6 6 6 +  − = − +    − = + − −  x y e e e y x x y xy x y xy BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1: [ĐVH]. Gi ả i h ệ ph ươ ng trình 3 1 1 2 1  − = −    = +  x y x y y x Bài 2: [ĐVH]. Gi ả i h ệ ph ươ ng trình 2 1 1 2 1 0  − = −    − − =  x y x y x xy Bài 3: [ĐVH]. Gi ả i h ệ ph ươ ng trình 2 1 2 2 1 2  + − =   + − =   x y y x Bài 4: [ĐVH]. Gi ả i h ệ ph ươ ng trình      =−+ =−+ 22 22 xy yx Bài 5: [ĐVH]. Gi ả i h ệ ph ươ ng trình 1 7 4 1 4  + + − =   + + − =   x y y x y Bài 6: [ĐVH]. Gi ả i h ệ ph ươ ng trình      =−++ =−++ 479 479 xy yx Bài 7: [ĐVH]. Gi ả i h ệ ph ươ ng trình 2 3 4 6 2 2 2 ( 2) 1 ( 1)  + = +   + + = +   x y y x x x y x Bài 8: [ĐVH]. Gi ả i h ệ ph ươ ng trình ( ) (2 2) 2 1 ( 3) 2 0 8 4 2 2 1  + + + − − =   + − − − =   x x y y x y y Bài 9: [ĐVH]. Gi ả i h ệ ph ươ ng trình 3 3 2 2 3 4 2 1 2 1  + = + + +   − − = − −   y y x x x x y y Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia 2015! Bài 10: [ĐVH]. Giải hệ phương trình ( ) ( ) 2 2 2 2 91 2 1 91 2 2 x y y y x x  + = − +   + = − +   Bài 11: [ĐVH]. Giải hệ phương trình ( ) 3 4 1 1 1  − − = −   − =   x y x x y Bài 12: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 2 2 8 2 2 3 2  + = +    + − + = −  x y y x x y y Bài 13: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 3 2 2 log log (4 ) 10 2  − = −   + =   x y e e x y x y Bài 14: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 3 4 2 2 2 3  − = −    = +  x y x y x y Bài 15: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 3 2(2 1) 2 1 (2 3) 2 4 2 2 4 6  + + + = − −   + + + =   x x y y x y Bài 16: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 3 2 1 0 (3 ) 2 2 2 1 0  − + =   − − − − =   x y x x y y Bài 17: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 3 3 8 2 ( 4) 3 0 8 2 3 7  + − + + =   + − − + =   x x y y x x y y Bài 18: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 2 2 1 2 log 3log 2  − = −   + = −   x y e e x y x y Bài 19: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 2 1 1 log ( 3) 2  − = −    + + − =  x y x y xy x y Bài 20: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 2 (3 ) 2 2 2 1 0 2 2 (2 1) 1  − − − − =   − − − =   x x y y x y . 1 1 x y = ⇒ = . Ví dụ 7: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 3 3 3 ( 1) 9( 1) (1) 1 1 1 (2) x x y y x y  − = − − −   + − = −   Hướng dẫn giải: Từ điều kiện và từ phương trình (2) có 1; 1 1 x. THPT quốc gia 2 015 ! Bài 10 : [ĐVH]. Giải hệ phương trình ( ) ( ) 2 2 2 2 91 2 1 91 2 2 x y y y x x  + = − +   + = − +   Bài 11 : [ĐVH]. Giải hệ phương trình ( ) 3 4 1 1 1  − − = −   −. x 23 1 1 5 1; 41  ≤  ⇔ ⇒ = ⇒ = ±   = =  x x y x x Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm (1; 1) và (1; 1) . Ví dụ 2: [ĐVH]. Giải hệ phương trình sau : ( ) ( ) 3 3 8 8 5 5 1 1 2 x