giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số

Khai test u xuõn 2016 Ti liu hc GII H PHNG TRèNH BNG PHNG PHP HM S GIO VIấN: NGUYN B TUN Ti liu dnh cho hc sinh lp 12 PHNG PHP HM S C s phng phỏp Nu f ( x) n iu trờn khong (a; b) v u, v (a; b) thỡ : f (u) f (v) u v Phng phỏp: Mu cht ca PP ny ú l xỏc nh c hm c trng f(t) v chng minh nú n iu trờn khong xỏc nh + Thụng thng ta s quan sỏt phng trỡnh ca h cú dng xem nú cú dng f(u)=f(v) hay khụng? - nu phng trỡnh cú cỏc bin dng bc ta cú th s dng phng phỏp iờm un, hoc phng phỏp h s bt nh nu khụng cú dng hm bc thỡ thng t n ph tm cỏc biu thc cha cn, hoc cỏc biu thc xut hin nhiu ln t ú s d quan sỏt phỏt hin hm c trng f Chỳ ý hm ta xột f trờn D1 D2 ú D1 , D2 ln lt l xỏc nh ca bin u, v + Khi khụng cú phng trỡnh no ca h cú dng hm c trng thỡ ta ngh ti vic kt hp phng trỡnh li vi bng cỏc phộp bin i thng a v dng f(u)=f(v) hoc f(t)=0 vi f l mt hm s n iu x x y y Bi 1: Gii h phng trỡnh: x y x Hng dn x x y y 2 x y x PT(1): x3 x y y t t y y Khi ú (2) : x3 x t2 t3 t t2 t 2 t3 t 2x 2x t t Xột hm s : f(u)= u u f '(u ) 3u 0u suy f(u) luụn ng bin Do ú f(x)=f(t) ch xy : 2x=t x y x y y x x2 Thay vo (2) : g ( x) x x : x 0; Ta thy x=0 v x= khụng l nghim 4 2x2 x x 0x 0; 4x 4x g'(x)= x x - Trang | - Khai test u xuõn 2016 Mt khỏc: g x Ti liu hc l nghim nhy , thay vo (4) tỡm c y=2 2 Vy h cú nghim nht : x; y ; x y y x x x y x Bi 2: Gii h phng trỡnh sau: Hng dn Cỏch 1: t n PT (2) bin i a v tam thc bc 2 2 3 x y y x x x y x y x y x x y yx x 2 x y x x y x x y x -Trng hp 1: y= x , thay vo (2) : x x2 x2 2x t : x t x t x t 2; t x x2 x2 x x x x 2 2 -Trng hp : x y yx x y yx x x y x4 x2 x4 3x4 8x2 x R y f (, y) x2 y yx x x, y Phng trỡnh vụ nghim Do ú h cú hai nghim : (x;y)= 3;3 , 3;3 Cỏch 2: dựng hm s - Phng trỡnh (1) x=0 v y=0 khụng l nghim ( khụng tha (2) ) y y - Chia v phng trỡnh (1) cho x x x x x - Xột hm s : f t 2t t f ' t 3t 0t R Chng t hm s f(t) ng bin phng trỡnh cú nghim thỡ ch xy : y x y x n õy ta Hng dn nhu TH1 bờn trờn x - Trang | - Khai test u xuõn 2016 Ti liu hc x x2 y y Bi 3: Gii h phng trỡnh sau : x x xy xy x Hng dn x x2 y y HPT ( nhõn liờn hp ) x x xy xy x Xột hm s : f (t ) t t f '(t ) t t2 t2 t t2 t t t 0t R Chng t hm s ng bin f(x)=f(-y) ch xy x=-y (*) - Thay vo phng trỡnh (2) : x x 3x x 25 x x x x x x x x x x x 2 * Trng hp : x x x x 3x x 1; y 2 x x x x x * Trng hp : x x x x x 2 x x x x x x 11 11 11 11 Vy h cú hai nghim : (x;y)=(1;-1),( ) ;y ; 2 2 y x y x; y ; - Ta cú f(1)=2+ Suy t=1 l nghim nht 2 5 y x x x y Bi 4: Gii h phng trỡnh sau: x y y x x Hng dn iu kin : y 2; x T (2) : x y y x x y x Xột hm s y x y2 y f (t ) x x 2 t t t y2 y x x 2 1 f '(t ) ' t 2t t Chng t hm s nghch bin - Trang | - Khai test u xuõn 2016 Ti liu hc Vy f x f y ch xy : y x Thay vo (1) ta c phng trỡnh : x 2 t x t x x x t 2t t 2t t t t x t x t x 3 2 t 4t 46t 49 4t t t t t 3t 49t 49 +/ Trng hp : t=1 hay x-2=1 suy x=3 v y+1=1 hay y=0 Vy nghim h l (x;y)=(3;0) 2 +/ Trng hp : f (t ) t 3t 49t 49 f '(t ) 3t 6t 49 t 52 0t 0; Hm s nghch bin v f(0)= -49 sauy hm s f (t ) n iu tng () Ta cú: (*) f ( - x ) = f ( 2y - 1) 2- x = 2y - x = - 2y Thay vo phng trỡnh (2) ta c: ớu = ù ù - 2y + y + = (*) t ù ỡ ùv = ù ù ợ - 2y y + (v 0) ù ù u = 1; v = ù ù ù u + 2v = ù ù - - 65 23 + 65 ù ù (*) ỡ ỡu = ;v = ù u + 2v = ù ù ù ù ợ ù ù 65 - 23 - 65 ùu = ;v = ù ù 4 ù ợ ộ = 2=> x = - y ờ 233 + 23 65 - 185 - 23 65 = y => x = 32 16 ờ = 233 - 23 65 = > x = - 185 + 23 65 y 32 16 - Trang | - Khai test u xuõn 2016 Ti liu hc 1 x y x2 y Bi 12 Gii h phng trỡnh K: y x 3x x y2 y Hng dn K: PT x 1 y * x y 2t f t t f ' t t t t 2t t * f x f y x y 3y2 y 2 y 3y y y y u : y u y 12 y y u u 12 u 2 u 12 u 4u u 2 y y y y u 7 x y 3 7 x y 3 7 7 S : ; , ; y 12 y 25 y 18 (2 x 9) x Bi 13 Gii h phng trỡnh: 2 3x 3x 14 x y y Hng dn K: Xột y a y a y 12 y 25 y 18 y3 y a ya 2a3 y a y 12 y 25 y 18 6a 12 6a 25 a 2a a 18 - Trang | - Khai test u xuõn 2016 Ti liu hc Nh vy: PT y y x x x * f t : 2t t co ' f ' t 6t => * f y f x y x Th vo PT (1) ta c: 3x 3x 14 x x4 x4 3x 3x2 14 x x K: x6 3x x 14 x x x 3x x 3x x6 x x 3x ** x 3x Vi x thỡ 3x 3x 3x x => x l nghim nht ca (**) => y =1 vy nghim ca h (5; 1) y x x x y Bi 14 Gii h phng trỡnh 3x y k: x HNG DN K: PT : y y x x 1 x y y x x x Kho sỏt hm f t 2t t y x th vo PT(2) ta c ỏp ỏn => S : 36 11 57 92 11 57 ; 128 128 3; , x( x 3) y( y 3) 3xy( x y) 2 ( x 2) 4(2 y) Bi 15 Gii h phng trỡnh Hng dn - Trang | 10 - Khai test u xuõn 2016 Ti liu hc x3 x y y 8 x y Bi 26 Gii h phng trỡnh sau : Hng dn T (2) suy : x , y T (1) ta xột hm s : f(t)= t 5t f '(t ) 3t t 1;1 Do vy f(t) l mt hm s nghch bin Vy cú (1) ch xy x=y Khi ú (2) tr thnh : x8 1 1 x x; y ; ; ; 2 2 2 - Trang | 15 - Khai test u xuõn 2016 Ti liu hc PHNG PHP NH GI Vi phng phỏp ny hc sinh cn quan sỏt nm chc cỏc biu thc khụng õm h cú th dng cỏc bt ng thc Cụ si, Bunhiacopski quỏ trỡnh ỏnh giỏ Mt s Bt ng thc hay s dng ỏnh giỏ: *BT cụsi: a b ab , a, b *BT Bunhiacopski: Cho 2n s thc ( n ): a1 , a2 , an , b1 , b2 , , bn Ta luụn cú: 2 2 (a1b1 a2 b2 an bn ) (a12 a2 an )(b12 b2 bn ) 3 2 * a b a b ab (vi a b ) * * 1 (vi a, b 0, ab ) a b ab 1 a 1 b (vi ab ) ab ùx + y (x - y ) ù ù + xy = + ù ù xy x + y ù Bi Gii h phng trỡnh: ỡ ù 1 ù +x+y= ù ù ù y x ù ợ xy Hng dn iu kin: x > 0; y > ( ) = x Thay vo (2) ta c: ( xy - 1)(xy xy + xy + Ta cú PT (1) y- x + xy y = xy ị x + y = x 2y + xy ) xy + = xy = ù ùx = ù ớx + y = ù ù ù ù Khi ú ta cú: ỡ ỡ ù xy = ù ù ùy = m ợ ù ù ù ợ ổ3 + - ữ ỗ ữ ỗ ; Vy h cú nghim ỗ ữ ữ ỗ ứ ữ ỗ ố - Trang | 16 - Khai test u xuõn 2016 Ti liu hc x2 y x y (1) 2 x 3x y 12 x 13 (2) Bi Gii h phng trỡnh: Hng dn (1) x x y y x 2x (1) y x x y y x (2) x3 3x 12 x y ( x 1) x y x 12 x (do x x 0) Ta cú: y (1 y 1) x 12 x x Du = sy v ch y y Th li ta thy x 1, y l nghim ca h Vy h phng trỡnh cú nghim l: x; y 1; x3 3xy y (1) y x y (2) Bi Gii h phng trỡnh: Hng dn Ta cú: x y khụng l nghim ca h (2) y y x y (1) x x y x Ly (1) (2) ta c: x3 3xy y x y y x y x xy y y (3) Ta suy x y, y cựng du Ta cú: x xy y 3x x y (do x, y 0) Nu: y y x y x y y x y (mõu thun vi (2)) Nu: y y x y x y y x y (mõu thun vi (2)) Nờn y thay vo (2) ta suy x Vy h phng trỡnh cú nghim l: x; y 1;1 - Trang | 17 - Khai test u xuõn 2016 Ti liu hc x3 3xy x y 4 2 x y 6x y Bi Gii h phng trỡnh: Hng dn x x2 y x2 y x x4 (VN ) t ú suy ra; y x x Nu y : I x y 2 xy I 2 2 x y x x y y xy T (4) bỡnh phng v v dựng BT B.C.S ta cú: x y x x y y xy 2 B.C S x 2 y x y xy x y (*) (do (3)) x2 y x2 y x2 y x2 y x2 y x2 y2 x2 y2 x2 y2 Du = ti (*) sy khi: x y 2 xy (do x 0, y ) x y x x x (do x ) x y y y4 y2 2 y y y Th vo h (1) ta cú: y y y y2 y y Vy h phng trỡnh cú nghim l: x; y 1;1 , 1; x x y (1) Bi Gii h phng trỡnh: 1 (2) y xy x Hng dn K: x 1, y 1, xy - Trang | 18 - Khai test u xuõn 2016 Ti liu hc T (1) suy x Do ú: y ta cú: 1 (3) x y x y Ta cú BT ph quen thuc sau: 1 , xy (4) x y 1 xy Tht vy: (4) x y xy xy x y x y xy x y xy xy xy x y x, y 0;1 xy T (3) v (4), suy ra: 1 x y xy ng thc sy v ch khi: x y Thay x y vo (2) ta c: x2 x x2 (5) t x sin t , t 0; (5) cos t sin t cos t cos t t t 2sin cos 2sin 2 2 t t dot 0; cos t t 3sin 4sin 2 3t sin sin k t (k  ) t k t x Vi t 0; , ta c: t x - Trang | 19 - Khai test u xuõn 2016 Ti liu hc x x x y xy y (1) Bi Gii h phng trỡnh: (2) x y x x Hng dn y 3y Nu x=0: ( I ) 2y (VN ) 4x2 4x x Nu y : ( I ) (VN ) x x x Do ú: x 0; y t (1) ta suy ra: y x x x y x x x y x x x y K: x y x x y x x xy x (do y 0) (2) x y x 81 x 81 x y 2x x2 4 x x 3 (do x x 0) x3 Do: x x2 x2 Ta cú: x x x 3, x 81 x x x x 3, x y x 3 81 x x 3, x y x2 (1) x x x y y xy y x x x y y y x y x y x x y x x x y y x y y x y x y y 8x y x y x x x y y x y 4 4 4 4 4 4 44 0, x 0, y x y - Trang | 20 - Khai test u xuõn 2016 Ti liu hc Thay vo (2) ta c: 3x x x 3x x 81 x x x 27 x (3) Mt khỏc: x x x x x , x 27 x 27 x 27 x x x x , x (3) vụ nghim Vy h phng trỡnh vụ nghim y x 12 x x Bi Gii h phng trỡnh: 40 x x y 14 x Hng dn K: x t: t x t 14 y t 12 t 2t (1) (I ) t (2) t y t 2 Nhn xột: t (2) ta cú: y Ta cú: t 2t 2t 2t 1 2t Do ú, t (1) suy ra: y t t t Ta cú: y 2t t 1 y t 3t (3) 2 y2 t 2 t Do ú, t (2) suy ra: t y2 t 5t 3t y (4) - Trang | 21 - Khai test u xuõn 2016 Ti liu hc T (3) v (4) suy ra: 5t 3t t 3t 4t 4t 6t 6t 2t 2t t Thay x 1 x x 2 vo h (I) ta cú: 3 y y y y y y y Vy h phng trỡnh cú nghim nht: x; y ; x2 y x y 2 x 3x y 12 x 13 Bi Gii h phng trỡnh: Hng dn Ta cú: (1) y 2x suy x x Do x , ỏp dng bt ng thc AM GM , suy y 2x , dn n y (*) x Mt khỏc x3 3x 12 x 13 x x (2) y (3) 6 Do x nờn t (3) suy y (**) T (*) v (**) suy y Thay y , suy x Vy h phng trỡnh cú nghim nht l 1; - Trang | 22 - Khai test u xuõn 2016 Ti liu hc x3 x x y Bi Gii h phng trỡnh: y y y x Hng dn x3 x x y H phng trỡnh tng ng: y y y 2x Xột f (t ) t 2t 2t Ta cú: f '(t ) 3t 4t t Suy f (t ) ng bin trờn R f ( x) y f ( y) x H ó cho tng ng vi h: Nu x y , suy f ( x) f ( y) dn n y x Li suy y x , mõu thun Vy h khụng cú nghim x y Nu x y , tng t nh trờn, cng loi c trng hp ny Vy h cú nghim ( x; y) thỡ x y 5 5 ; , ; Th vo trờn c h cú nghim: 1; , x y x y (1) Bi 10 Gii h phng trỡnh: 2 x 3x y 12 x 13 (2) Hng dn y2 T (1) ta cú: 2x x0 x Mt khỏc ta cú: x x x Ă x x Ă (luụn ỳng) Do ú: y 2x x2 y (*) x2 x2 T (2) ta li cú: x x x3 3x 12 x 13 x3 3x 12 x y 6 Vỡ x suy ra: y (**) T (*) v (**) ta cú: y x Th li thy x 1; y tha h - Trang | 23 - Khai test u xuõn 2016 Ti liu hc Vy h phng trỡnh cú nghim nht x; y 1; x y 54 x y (1) (2) x y 12 45 Bi 11 Gii h phng trỡnh: Hng dn T phng trỡnh (2) ta cú: (2) x y3 27 y 27 y Xem (1) l phng trỡnh bc n x phng trỡnh cú nghim ' 272 y y 81 y T ú ta suy ra: y th vo (2) ta c: x2 x x Vy h ó cho cú nghim nht x; y 3;3 x xy y xy y x Bi 12 Gii h phng trỡnh: x y Hng dn K: x, y xy Ta chng minh: 1 x y x xy xy y xy x y x y xy xy x y xy x y xy xy xy x y luụn ỳng xy Ta cú: xy x y y x xy xy x y 1 y x xy 1 2 xy x y xy x y - Trang | 24 - Khai test u xuõn 2016 Ti liu hc x y xy Mt khỏc: 1 x y xy 1 2 xy x y , xy xy x y Du bng sy x y th vo phng trỡnh th ta c x y => nghim ca h l: (5; 5) x2 y x xy y x y Bi 13 Gii h phng trỡnh: x xy x xy x Hng dn Ta cú: x xy y 1 1 2 x y x2 y x y x2 y x y 2 4 x y x xy y x y 2 2 x y x y x y Du = sy khi: x y PT (2) x x2 5x x 5x x 5x x x x x x x 3x (VN ) x3 x2 5x x Vy h cú nghim: (3; 3) x y x y x x y Bi 14 Gii h phng trỡnh: x y x3 x3 x y Hng dn x y x x y Vit li h phng trỡnh: x y x3 x3 x y Ly phng trỡnh (2) tr (1) ta c: x y x y x y 2 x y x y 2 (3) - Trang | 25 - Khai test u xuõn 2016 Chỳ ý: Ti liu hc x y x y thỡ ng thc (3) xy 2 c nghim ca h phng trỡnh (1; 1) Vy h phng trỡnh ó cho cú nghim nht l: 1;1 x2 x y y Bi 15 Gii h phng trỡnh: x y 11 10 x x Hng dn T phng trỡnh th2, ỏp dung bt ng thc AM-GM ta cú: 10 x x y x 11 10 x x 2 10 x x 2 => x 20 x y 30 x 10 x y 15 (1) Tip tc nh vy cho phng trỡnh ta cú: y y x 2x y y 2 y2 y 2 y2 y x2 x y y (2) Ly (1) + (2) v theo v ta cú: (1) (2) 3x2 x y y 12 x y 2 x x y y Nghim ca bt phng trỡnh trờn l: Vy h phng trỡnh ó cho cú nghim 1; ù 3x + 4x - = - y - 6y - (1) ù Bi 16 Gii h phng trỡnh: ù ỡ ù x + = 17 - 4y - 16x (2) ù ù ợ Hng dn iu kin: - y - 6y - 0;17 - 4y - 16x Ta cú: (1) 3x + 4x - = - y - 6y - Ê - y - 6y - 6x + 8x - 10 + y + 6y Ê (3) Mt khỏc: (2) x + = ớx - ù ù 17 - 4y - 16x ỡ ù x + 18x + 4y - 16 = (4) ù ù ợ Ly (3) - (4) v vi v ta c: - Trang | 26 - Khai test u xuõn 2016 Ti liu hc ớx = ù (tha món) 5(x - 1)2 + (y + 1)2 Ê ù ỡ ùy = - ù ợ ù x + y2 + y + - y = x + ù Bi 17 Gii h phng trỡnh: ù ỡ ù y + y - 3y - = 3x - x + ù ù ợ (1) (2) Hng dn iu kin: y 0; x - Ta cú: (1) x + y + y + = y + Ta cú: y + x+2= x+2 3y + x + Ê 3y + x + 2 Ta chng minh: 3y + x + Ê x + y + y + (y - 1) (ỳng) ớy = ớx = - ù ù ù ù ỡ Du " = " xy v ch khi: ỡ ù y = x+2 ùy = ù ù ợ ù ợ x + ù ù Bi 18 Gii h phng trỡnh: ù ỡ4 ù x + ù ù ợ 32 - x - y = - 32 - x + 6y = 24 Hng dn iu kin: Ê x Ê 32 Cng v vi v ca phng trỡnh ta c: ( x + 32 - x ) + ( x + 32 - x ) = y - 6y + 21 Ta cú: y - 6y + 21 = (y - 3)2 + 12 12, " y Du " = " xy y = p dng B.C.S ta c: ( x + ị x + (1) 32 - x )2 Ê (12 + 12 )(x + 32 - x ) = 64 32 - x Ê 8, " x ẻ [0;32] Du " = " xy khi: x = 32 - x x = 16 (2) p dng B.C.S v kt hp (2) ta c: (4 x + ị 4 x + 32 - x )2 Ê (12 + 12 )( x + 32 - x ) Ê 16 32 - x Ê 4, " x ẻ [0;32] Du " = " xy ra: x = T (2),(3) suy ra: ( x + 32 - x x = 16 32 - x ) + ( x + (3) 32 - x ) Ê 12 (4) Du " = " xy khi: x = 16; y = x4 + y4 ù xy ù ù = ù ù (x + y ) x+y Bi 19 Gii h phng trỡnh: ù ỡ ù ù + = ù ù x ù y ù ợ (1) (2) - Trang | 27 - Khai test u xuõn 2016 Ti liu hc Hng dn iu kin: x , y > p dng B.C.S ta c: x4 + y4 ( x2 + y2 ) (x + y ) ị V T (1) 8 p dng Cụ-si ta c: xy xy 3 1 Ê = ị V P (1) Ê x + y xy 8 Du " = " xy x = y Thay vo (2) ta c: ớx = ù = x = 1ị ù ỡ ùy = x ù ợ -H T -Giỏo viờn: Nguyn Bỏ Tun - Trang | 28 - Khai test u xuõn 2016 Ti liu hc LI CH CA HC TRC TUY N Ngi hc ti nh vi giỏo viờn ni ting Ch ng la chn chng trỡnh hc phự hp vi mc tiờu v nng lc Hc mi lỳc, mi ni Tit kim thi gian i li Chi phớ ch bng 20% so vi hc trc tip ti cỏc trung tõm L DO NấN HC TI HOCMAI.VN Chng trỡnh hc c xõy dng bi cỏc chuyờn gia giỏo dc uy tớn nht i ng giỏo viờn hng u Vit Nam Thnh tớch n tng nht: ó cú hn 300 th khoa, ỏ khoa v hn 10.000 tõn sinh viờn Cam kt t hc sut quỏ trỡnh hc CC CHNG TRèNH HC Cể TH HU CH CHO BN L cỏc khoỏ hc trang b ton b kin thc c bn theo chng trỡnh sỏch giỏo khoa (lp 10, 11, 12) Tp trung vo mt s kin thc trng tõm ca kỡ thi THPT quc gia L cỏc khúa hc trang b ton din kin thc theo cu trỳc ca kỡ thi THPT quc gia Phự hp vi hc sinh cn ụn luyn bi bn L cỏc khúa hc trung vo rốn phng phỏp, luyn k nng trc kỡ thi THPT quc gia cho cỏc hc sinh ó tri qua quỏ trỡnh ụn luyn tng th L nhúm cỏc khúa hc tng ụn nhm ti u im s da trờn hc lc ti thi im trc kỡ thi THPT quc gia 1, thỏng - Trang | 29 -