CHUYÊN ĐỀ: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

Chuyên đề hệ phương trình bằng phương pháp hàm số 1) Hàm đặc trưng được xác định ngay từ một phương trình trong hệ 2) Hàm đặc trưng được xác định sau khi thực hiện các phép biến đổi giữa các phương trình

CHUYÊN ĐỀ: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

1) Hàm đặc trưng được xác định ngay từ một phương trình trong hệ

Bài ❶: Giải hệ phương trình

f t = + > " Î ¡ nên hàm số ( ) đồng biến trên ¡

Nên (1) x y Û = thay vào (2) ta được phương trình:

-ï + =ïî

Lời giải:

Ta có : Û - - - Ûx3 3x y3 3y f x( )= f y( ) với f t( )= - t3 3t

Từ phương trình (2) :x2 + = Þy4 1 | |,| | 1x y £ Þ £ t 1

Khi đó f t'( ) 3= t2 - £ " £3 0 t 1

Hàm số ( ) nghịch biến trên ( ;1) -¥ Nên (1) x y Û = thay vào (2) ta được:

ï + + =ïî

3 3

2 4

x x

é =ê

ê

Û ê + - + = Û ê æç ö÷

÷+ -ç + =ê

Bài ❹: Giải hệ phương trình

( )3

3(x 1) 3(x 1) y 3 3 y 3

Với x = Þ = 3 y 1 Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( ) ( )x y =; 3;1

Bài ❺: Giải hệ phương trình

-ï + - - - + =ïïî

Lời giải: Điều kiện 1 1

x y

ìï- £ £ïí

ï £ £ïî

2 (*) 2

Với x = Þ = 0 y 1. Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( ) ( )x y =; 0;1

Bài ❻: Giải hệ phương trình

ï + - - - + =ïïî

Lời giải: Điều kiện 2 2

x y

ìï- £ £ïí

ï £ £ïî

-Với f ( )t = -t3 12t Với điều kiện x Î -éêë 2;2 ;ùúû y Î éêë0;4ùúû Þ Î -t éêë 2;2ùúû

Suy ra f ' t( )= 3t2 - 12 £ " Î - 0 t éêë 2;2ùúû Hàm số f t( ) nghịch biến trên éêë- 2;2ùúû

Nên ( 1) Û = - Û = + x y 2 y x 2 thay vào (2) ta được phương trình :

³-Û íïï + + =ïî Û = - +Với x = - 2 + 2 Þ y = - 2 (không thỏa mãn điều kiện)

Vậy hệ phương trình vô nghiệm

2sin 2 2cos 1 2cos sin

2 sin2 cos2 sin2sin2 sin 2 4

x = p Þ = -y p = p (thỏa mãn điều kiện)

Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( ) cos ; 2 sin3 3

Lời giải: Điều kiện 0 1

x y

ìï £ £ïí

ï £ £ïî

-được:

x = Þ =y Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( )x y; = çæçççè21 1;2ö÷÷÷÷ø

Bài ⓫: Giải hệ phương trình ( )

x y

ìï £ ïï

íï ³ ïïî

Khi đó (1)Û - +(2 x 1 2) - -x (2y- +1 1) 2y- =1 0

Với f( )t = +t3 t,t ³ 0 f '( )t = 3t2 + > " ³ 1 0 t 0 Hàm số đồng biến trên (0 ; + ¥)

Nên ( 1) Û 2 - =x 2y - Û = - 1 x 3 2y thay vào (2) ta được phương trình:

525

u v

u

u v

ìï

-ï =ïïïïï

ïî

ê =êê

ê =êê

êê =ê

ïïïë

ïïï

-ïîVới những giá trị của u đều thỏa mãn điều kiện nên

3 654

u u u

- +

-éê =êê

ê =êê

êê =êë

Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm.

1 136

Û - - = Û êê

-ê =êë

Bài ⓭: Giải hệ phương trình ( 1 2)( 1 2) 1 (1)

● v ¹ , chia 2 vế phương trình cho 0 v2 ta được:

x x

ï - + + - + =ïïî

Lời giải: Điều kiện 1

( )

120

é =ê

ïïïïî

(Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2010)

Lời giải: Điều kiện

3452

x y

ìïï £ïïíïï £ïïî Khi đó ( )3 ( )3

ï - - + - - + =ïïî

Lời giải: Điều kiện 2

ï + - ³ïî

Với f t( )= +t3 3t f '( )t = 3t2 + > " Î ¡ 3 0 t Hàm số đồng biến trên ¡

Nên (1) Û + = x 1 y thay vào (2) ta được:

( ) ( )2 2

2 4- -x 3 3 2+ x + - + - + =1 x 1 3x 2 0

Û - + =3x 2 4-x2

Û íïïïïî - = Û = Þ =Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( ) ( )x y =; 0;1

Bài ⓱: Giải hệ phương trình

ï + + - = - + - + + +ïïî

Lời giải: Điều kiện 0

0

x y y

ìï - ³ïí

ï ³ïî

Bài ⓲: Giải hệ phương trình ( )( 2 2 ) 2

2 5

 Phân tích và hướng giải:

Phương trình thứ 2 của hệ dường như ta khó tìm hàm đặc trưng nên ta cố gắng tìm hàm đặc trưng ở phương trình (1)

Bài ⓳: Giải hệ phương trình

( Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A-A1 năm 2013)

Lời giải: Điều kiện x ³1

f

t

= +

+

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm ( ) ( ) ( )x y =; 1;0 ; 2;1

Bài ⓴: Giải hệ phương trình

( Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A-A1 năm 2012)

ë ûNên (1) Û - = + Û = - x 1 y 1 y x 2 thay vào (2) ta được phương trình:

Û - + = Û ê

ê =êë

ï + + = +

 Phân tích và hướng giải:

Để ý hai phương trình của hệ có sự đối xứng của ẩn x và ẩn y Nếu ta trừ từng vế

phương trình (1) cho phương trình (2) ta nhận ra ngay hàm đặc trưng:

 Phân tích và hướng giải:

Tương tự với bài ❶, 2 phương trình của hệ có sự đối xứng nên:

(1) (2 - ) Þ +x + x + = 3 3 +y + 3 y + 3Hàm đặc trưng: f t( )= 3+ +t2 3 t +3 đơn điệu " ³ -t 3

ï + - + - =ïïî

 Phân tích và hướng giải:

Nhìn vào 2 phương trình của hệ, ta thấy phương trình 1 xuất hiện 2 căn thức là x +2

và 2y +1 Liệu 2 căn thức này có liên quan?

Mặt khác phương trình thứ 2 xuất hiện dạng tam thức bậc 2 nhưng sự phân tích kiểu

D chính phương có vẻ không ổn

Nếu ta dựa vào 2 căn thức này làm “điểm” tựa cho việc tìm hàm đặc trưng thì việc tìm hàm đặc trưng khá dễ dàng bằng việc đưa phương trình (2) về sự độc lập:

Ta thấy rõ ngay hàm đặc trưng: f ( )t = + -t4 t t2

Bài ❹: Giải hệ phương trình ( )2 2

ïïî

 Phân tích và hướng giải:

Phương trình (2) của hệ có xuất hiện 2 căn thức, một căn thức có sự độc lập là

x - x + và căn thức còn lại không có sự độc lập Nhưng biểu thức trong căn

2x 4 - y + 2 lại có ẩn x bậc nhất liên hệ mật thiết với ẩn x cũng bậc nhất ở phươngtrình (1) Liệu rằng phương pháp thế có phát huy tác dụng trong việc tìm hàm đặctrưng?

Lời giải: Điều kiện 2x-4y + ³2 0

Khi đó ( 1) Û 2x = 2y2 + 4y- + 1 2y y2 + 1 thế vào (2) ta được phương trình:

ï - - + + =ïïî

 Phân tích và hướng giải:

Sự xuất hiện những căn thức cho chúng ta những cơ sở để tìm hàm đặc trưng

x + - + = - và 3y y+ 2 - =3y y2 thì hàm đặc trưng sẽ xuất hiện

Cộng từng vế phương trình (1) với phương trình (2) ta được phương trình :

( ) ( )2 2 2 2

x - + x - + = +y y +

Hàm đặc trưng: f ( )t = +t2 t2 +4

ï + + - - + =

 Phân tích và hướng giải:

Nhìn thoáng qua phương trình (1) của hệ có dạng hàm bậc 3 quen thuộc Nhưng chỉ cóđiều biểu thức 3xy làm mất sự độc lập của hai ẩn nên ta có gắng làm mất biểu thứcđó

Mặt khác, ở phương trình (2) cũng xuất hiện biểu thức xy nên chúng ta muốn tiêu biến

3xy ở phương trình trên thì ta lấy phương trình (1) - 3(2) khi đó ta được:

ï + + + =ïïî

 Phân tích và hướng giải:

Đây là bài toán có khác nhiều trong các tìa liệu tham khảo Mặc dù hàm đặc trưng

không có sự độc lập của x và y nhưng số mũ ở phương trình (1) cho chúng ta suy nghĩ đến việc chia cho biểu thức (dạng đẳng cấp)

Chia như thế nào Chú ý phương trình (1)biểu thức x5 +xy4 đẳng cấp bậc 5 nên ta chia hai vế phương trình (1) cho y5 được:

 Phân tích và hướng giải:

Tương tự như Bài ❼, ta chia 2 vế phương trình (1) cho x3 ta được:

ïïî

 Phân tích và hướng giải:

Đem lại sự cô lập hai ẩn bằng cách đưa hệ về dạng 3

x

ìïï + = ¢ïï

íïï - = ¢ïïî

3 3

Hàm đặc trưng: f t( )= +t3 3t

-ï - + + = - +ïïî

 Phân tích và hướng giải:

Ta không tìm thấy sự liên quan giữa các căn thức nên việc dựa vào các căn thức để tìmhàm đặc trưng khá khó khăn Tuy nhiên phương trình (1) lại có dạng bậc hai đối với ẩn

x hoặc ẩn y nên ta thử phân tích (1) thành tích:

(1) Û x y+ + x y- + 4 = 0

Khi đó công việc còn lại khá nhẹ nhàng !!! Các bạn làm tiếp nhé!

 Phân tích và hướng giải:

Nhìn phương trình (2) có vẻ quen thuộc hơn Nếu ta chia cả hai vế (2) cho x2 (x ¹ 0 ) thì ta sẽ nhận ra ngay hàm đặc trưng:

Hàm đặc trưng: f ( )t = +t t t2 +1

Lời giải: Điều kiện x ³0

Nhận thấy x = không là nghiệm của hệ, nên ta chiacả hai vế phương trình 0 (2) cho

Xét hàm số f ( )t = +t t t2 +1 đơn điệu trên ¡ Nên (3) 2y 1

x = Þ =y Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( )x y; = ç ÷æ ö÷ç ÷1;12

 Phân tích và hướng giải:

Sự cô lập các ẩn phương trình đặt lên hàn đầu Để chọn phương trình để tìm ra hàmđặc trưng thì ta nên chọn phương trình (1) vì nó cần nhiều phép biến đổi hơn làphương trình (2) đã quá “trơ trọi” Bây giờ ta thực hiện công việc cô lập Nhận thấy0

Bây giờ ta mới thấy ngay vai trò của phương trình (2) Từ (2) 22 y 1

Þ = - + thay vào (3) ta có ngay:

 Phân tích và hướng giải:

Nhìn vào hai căn thức chúng ta đã nhận ra mối liên quan mật thiết x +2 1 và

y

ìéï = ïêïïê = -ï