giai he phuong trinh bang phuong phap ham so

Giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số, hệ phương trình ôn thi đại học, hệ phương trình, phương pháp giải hệ phương trình, bài tập hệ phương trình giải bằng phương pháp hàm số, giải phương trình bất phương trình hệ phương trình bằng phương pháp hàm số

Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp HỆ PHƯƠNG TRÌNH (Ôn thi TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NĂM 2015) Biên soạn: Huỳnh Chí Hào - THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 2 y  12 y  25 y  18   x  9 x    Bài 1: Giải hệ phương trình    x   3x 14 x    y  y    (1) (2) (Thi thử THPT Nghi Sơn – Thanh Hóa) Bài giải    x   ♥ Điều kiện:  (*)  6  y  y    ♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản x y (sử dụng phương pháp hàm số kiểu f u   f v  ) ♦ y  12 y  25 y  18   x  9 x    y  2   y  2    x4  x4 (3) [Tại ?] ♦ Xét hàm đặc trưng f t   2t  t  ta có: f ' t   6t   0, t    f  t  đồng biến  Nên: 3  f  y  2  f   y  2  y  2    x4  y2 x4     y  2  x   x  y  y      (4) ♥ Thế (4) vào (2) để phương trình ẩn 3x    x  x 14 x   (5) ♦ Phương trình (5) có nghiệm x  nên biến đổi phương trình tích số kỹ thuật nhân liên hợp 5   3x   4    x 1  3x 14 x    3 x  5 3x 1   x5   x  53 x  1   x 1 (Tách thành biểu thức liên hợp) (Nhân liên hợp)       x  5    3 x  1   x  3x 1   6  x      0  ♦ Với x   y  (thỏa điều kiện (*)) ♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y   5;1  Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp PHƯƠNG PHÁP GIẢI Bước 1: Tìm điều kiện cho biến x, y hệ phương trình (nếu có) Bước 2: Tìm hệ thức liên hệ đơn giản x y phương pháp hàm số + Biến đổi phương trình hệ dạng f(u) = f(v) (u, v biểu thức chứa x,y) + Xét hàm đặc trưng f(t), chứng minh f(t) đơn điệu, suy ra: u = v (đây hệ thức đơn giản chứa x, y) Bước 3: Thay hệ thức đơn giản tìm vào phương trình lại hệ để phương trình ẩn Bước 4: Giải phương trình ẩn (cần ôn tập tốt phương pháp giải phương trình ẩn)  x3  y  17 x  32 y  x  y  24  Bài 2: Giải hệ phương trình    y  2 x    x  9 y  x   x  y    (1) (2) (Thi thử THPT Chuyên Vĩnh Phúc) Bài giải  x  4  ♥ Điều kiện:  (*)  2 y  x     ♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản x y (sử dụng phương pháp hàm số kiểu f u   f v  ) ♦ x  y  17 x  32 y  x  y  24  x  x  17 x 18  y  y  32 y  42   x  2   x  2   y  2   y  2 3 [Tại ?] (3) ♦ Xét hàm đặc trưng f t   t  5t  ta có: f ' t   3t   0, t    f  t  đồng biến  Nên: 3  f  x  2  f  y  3  x   y   y  x 1 (4) ♥ Thế (4) vào (2) để phương trình ẩn  x  3 x    x  9 x 11  x  x 10 (5) ♦ Phương trình (5) có nghiệm x  nên biến đổi phương trình tích số kỹ thuật nhân liên hợp 5   x  3 x   3   x  9 x 11  4  x  x  35 (Tách thành biểu thức liên hợp)   x  3 x 5 x5   x  9   x  5 x  7 (Nhân liên hợp) x  3 x  11   x3  x9   x  5     x     x4 3  x  11    Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp x5     x3 x9     x  7   x   x  11  (6) ♦ Chứng minh (6) vô nghiệm  6  x 3 x 4 3  x5 x9 x 9   0 2 x 11  [Tại ?]   1 1     x  5     x  9    : phương trình VN      x  3 2  x  11           x     0 0 0 ♦ Với x   y  (thỏa điều kiện (*)) ♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y   5;6  BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Giải hệ phương trình  x3  y  3x  x  y   1)    x  y  x  y 10  y   x  y   53  x  10  x  5 y  48  y    2)   x  y   x  x  66  2 x  y  11     2012  x  x  6 y  2009  y    3)  2 x  y  14 x 18 y  x  x 13     x  x  y y 1    4)    x  x  x 1  x  y 13 1    Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp  x   x   y4   y   Bài 3: Giải hệ phương trình   x  x  y  2  y  y      (1) (2) (Phạm Trọng Thư GV THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu, Đồng Tháp – THTT số 2) Bài giải ♥ Điều kiện: x  (*) ♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản x y ♦ x   x   y4   y  x    x  2   y  y  (3) ♦ Xét hàm đặc trưng f t   t  t  khoảng 0; f liên tục 0; f ' t    Do 2t t4   0, t  0;    f  t  đồng biến 0; x   y   x  y  2  y  nên 3  f  x    f  y   x   y  x  y  (4) ♥ Thế (4) vào (2) để phương trình ẩn y 0 y   y  y   y  y  y  y  4     y  y4  y    (5) ♦ Giải phương trình (5) phương pháp hàm số Xét hàm số g  y   y  y  y  khoảng 0; Do g liên tục 0; g' y   y  y   0, y   0;   g  y  đồng biến 0; Nên: 5  g  y   g 1  y  ♣ Với y   x  [thỏa (*)] ♣ Với y   x  [thỏa (*)] ♥ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm  x; y   2; 0 3;1  Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp  x 1 0  x  3x  y  y  y   ln y 1  y  log  x  3  log y   x     Bài 4: Giải hệ phương trình:  1 2 (Thi thử THPT Chuyên Vĩnh Phúc) Bài giải  x 1  y 1   x   ♥ Điều kiện:  x     y  y     (*) ♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản x y ♦ 1   x  13   x  12  ln  x  1   y  13   y  12  ln  x  1 (3) ♦ Xét hàm đặc trưng f  t   t  3t  ln t khoảng  0;   f   t   3t  6t   t   f  t  đồng biến khoảng  0;   t Do x 1  y   nên  3  f  x  1  f  y  1  x   y   y  x  (4) ♥ Thế (4) vào (2) để phương trình ẩn  x   log  x  3  log3  x    x    (5) ♦ Giải phương trình (5) phương pháp hàm số 5  log  x  3  log3  x    x 1 x 1  log  x  3  log3  x     6 x2 x2 ♣ Xét hàm số g  x   log  x  3  log  x    g x  1    x   x  3 ln  x   ln  x  2  g  x  đồng biến khoảng Nên x 1 khoảng  3;   x2  3;   4    g  x   g  5  x   y  ♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y    5;3   [thỏa mãn (*)] Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp  3 x  3y    y  x  y  xy  x   Bài 5: Giải hệ phương trình:   x  y  13 3y  14  x       1 2 (Thi thử THPT Chuyên Vĩnh Phúc) Bài giải  x  1 x 1    14 y  14   y     * ♥ Điều kiện:  ♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản x y 3 ♦ 1   x  1  3 x  1   y  1  3 y  1 (3) ♦ Xét hàm đặc trưng f  t   t  3t , t   f   t   3t   0, t    f  t  đồng biến  Do x   y 1  nên  3  f  x  1  f  y  1  x   y   x   y (4) ♥ Thế (4) vào (2) để phương trình ẩn  x  11   5  3x   x   ♦ Giải phương trình (5) phương pháp hàm số Ta nhận thấy x  11 không nghiệm phương trình   nên  5  3x   x    x  11  6 Xét hàm số g  x   3x   x   g  x  3x    11   11  , x   ;    ;   x  11 3    x 1  10  x  11  x   3x   10  3x  8 x  1  x  11  11   11   x   ;  &  ;   3     11   11   g  x  đồng biến khoảng  ;  &  ;   3     11   11  ♣ Trên khoảng  ;  g  x  đồng biến,   ;  , g  3  nên 3  3  6   11   4 g  x   g  3  x   y  [thoả mãn (*)]  11  ♣ Trên khoảng  ;   g  x  đồng biến,   ;   , g 8   nên 2  2   4 6  g  x   g 8   x   y  10 [thoả mãn (*)] ♥ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm  x, y    3;5  ,  x, y    8;10   Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Giải hệ phương trình  x  1 x   y  3  y    1)  4 x  y   x      x3  y  y  y  x   2)    x  y  x  y 19  105  y  xy    4x   y     3)   2 2 x 13  x    y  3 y     Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp 2 y  y  x 1 x  1 x   Bài 6: Giải hệ phương trình    y2  2x2  y     (1) (2) (Thi thử THPT Trần Phú – Thanh Hóa) Bài giải x    ♥ Điều kiện:  (*)    y    2  ♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản x y (sử dụng phương pháp hàm số kiểu f u   f v  ) ♦ y  y  x 1 x  1 x  y  y  1 x  x 1 x  1 x  y  y  21 x 1 x  1 x (3) ♦ Xét hàm đặc trưng f t   2t  t  ta có: f ' t   6t   0, t    f đồng biến  y    y  1 x   3  f  y   f  1 x   y  1 x    Nên: (4) ♥ Thế (4) vào (2) để phương trình ẩn x   x  x 1 (5) ♦ Giải phương trình (5) phương pháp đặt ẩn phụ chuyển hệ đối xứng loại II  Phương trình (5) viết lại thành:  x  3  x  11 Điều kiện Đặt  3 x   2t  t   , ta hệ phương trình:      2  x  32  4t       2t  32  x     (6) (7)  Trừ theo vế (6) (7) ta được:  x  t  3 x  t   4t  x   x  t  x  t  2  + Khi x  t , thay vào (7) ta được: x 12 x   x   x  x 1   x   So với điều kiện x t ta chọn x   [không thỏa mãn (*)] + Khi x  t    t   x , thay vào (7) ta được: [Tại ?] Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp 1 x   x   x  x 1   x   (loại) So với điều kiện x t ta chọn x   ♦ Với x  1  y   [thỏa mãn (*)]     ♥ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm  x; y  1 2;  1 2;  2 x  x  3x 1  x   y   y   Bài 7: Giải hệ phương trình    x   14  x  y +1    (1) (2) (Thi thử THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Đà Nẵng) Bài giải   y  ♥ Điều kiện:     x  2   (*) ♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản x y (sử dụng phương pháp hàm số kiểu f u   f v ) ♦ Do x  không thỏa hệ nên ta có: x 1      22  y   y x x  1  1 1   1   3  y   y   y         x  x   (3) ♦ Xét hàm đặc trưng f t   t  t  ta có: f ' t   3t   0, t    f đồng biến  Nên:  1 3  f 1   f   y   1   y     x  x (4) ♥ Thế (4) vào (2) để phương trình ẩn x   15  x  (5) ♦ Phương trình (5) có nghiệm x  nên biến đổi phương trình tích số kỹ thuật nhân liên hợp 5  x     15  x            1      x  7  2  x  3  3   x  15  x  15           0   x7  Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp ♦ Với x   y  111 98 [thỏa mãn (*)]  111  ♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y  7;    98     3x    x  y 1  y  +   y x 1 Bài 8: Giải hệ phương trình    y   7x  y   2y     (1) (2) (Thi thử THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Đà Nẵng) Bài giải  x  1   ♥ Điều kiện:   y     (*) ♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản x y (sử dụng phương pháp hàm số kiểu f u   f v ) ♦ Ta có y 1  y   y  x 1 x 1  x 1 (3) ♦ Xét hàm đặc trưng f t   t   3t 0; ta có: t  2t 1t 1 f ' t   t2  0, t  0;   f đồng biến 0; 3  f  y   f  x 1  y  x   x  y 1 Nên: (4) ♥ Thế (4) vào (2) để phương trình ẩn y 1  y  y   y  (5) ♦ Phương trình (5) có hai nghiệm y  y  nên biến đổi phương trình tích số kỹ thuật nhân liên hợp Định hướng biến đổi dạng  y  2 y  3.h  x  hay  y  y  6.h  x  5   y    y  2  y  y    y  1  y2 5 y  9y2  y 2   y 1 y  y  6  y 1   y 1 y  y    y  y   3 2 0            y 1       y  y  6  2   9y 2  y  2 2 3   y 1   y 1 y  y   y  y              0   Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp y   y2  y      y  ♦ Với y   x  [thỏa mãn (*)] ♦ Với y   x  [thỏa mãn (*)] ♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y  3; 2 ; 8;3   x  y  y   x  1 y    Bài 9: Giải hệ phương trình:   3x   y  x  y2  1 2 Bài giải  x   ♥ Điều kiện:  y   x  y  12    * ♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản x y ♦ 1   y  x  1   y  x  (3) ♥ Thế (3) vào (2) để phương trình ẩn 3x   x   x  11 5 ♦ Giải phương trình (5) phương pháp hàm số  5  3x   x    x  11 6 Xét hàm số f  x   3x   x   f ' x    11   11  , x   ;    ;   x  11 3    10 x   3x  10  11   11       x   ;  &  ;   2 x  x   x  11 3     x   x  1  x  11  11   11   f  x  đồng biến khoảng  ;  &  ;   2 2    11   11  ♣ Trên khoảng  ;  f  x  đồng biến,   ;  , f    nên 3  3  6   11   4 f  x   f  3  x   y  [thoả mãn (*)]  11  ♣ Trên khoảng  ;   f  x  đồng biến,   ;   , f    nên 2  2  6   4 f  x   f  8  x   y  [thoả mãn (*)] ♥ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm  x, y    3;5  ,  x, y    8;10   Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp XEM THÊM PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ DẠNG TRÊN CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH DẠNG n  ax  b  p n a ' x  b '  qx  r ( x ẩn số; p, q, r , a, b, a ', b ' số; paa '  ; n  2;3 Dạng thường gặp:  ax  b  p a ' x  b '  qx  r Phương pháp giải Đặt ẩn phụ: + Đặt n a ' x  b '  ay  b pa '  + Đặt n a ' x  b '   ay  b pa '  Bài toán dẫn đến giải hệ phương trình hai ẩn x y : h( x)  Ay  Bx  C   (*)  h( y)   A ' B x  C '   (*) thường hệ đối xứng loại x y Chú ý: Có thể sử dụng phương pháp nâng lũy thừa để đưa phương trình bậc bốn Các ví dụ Ví dụ 1: Giải phương trình x 15  32 x  32 x  20 (1) Lời giải  Điều kiện: x 15   x  15  Phương trình (1) viết lại thành: 4 x  2  x  15  28 Đặt  1 x  15  y   y    , ta hệ phương trình:      2  y  22  x  15      x  22  y  15     Trừ theo vế (2) (3) ta được: (2) (3) Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp  y  x  44 y  x    x  y    x  y  1  8 x  y 1  + Khi x  y , thay vào (3) ta được:  x    x  2  x 15  16 x 14 x 11    11  x    So với điều kiện x y ta chọn x  + Khi   x  y  1   y  x  , thay vào (3) ta được:  x  2  2 x  15  64 x  72 x  35   x  So với điều kiện x y ta chọn x  9  221 16 9  221 16  9  221       Tập nghiệm (1) S   ;   2  16     Ví dụ 2: Giải phương trình x  x    13 x (1) Lời giải  Điều kiện: x    x    Phương trình (1) viết lại thành: Đặt  x  3   3x 1  x   3 x    y  3  y   , ta hệ phương trình:      2  x  32  y  x       y  32  x     (2) (3)  Trừ theo vế (2) (3) ta được: 2 x  y  6 x  y   y  x   x  y  x  y  5  + Khi x  y , thay vào (3) ta được: x 12 x   x   x 15 x    x  So với điều kiện x y ta chọn x  15  97 15  97 Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp + Khi x  y    y   x , thay vào (3) ta được:   x  3x 1  x 11x    x  So với điều kiện x y ta chọn x  11  73 11  73 11  73 15  97       Tập nghiệm (1) S   ;     8     Một số toán tự luyện Giải phương trình 1) x   x2  x 4) x  14 x  11  x  10 2) x  x   x  3) x 1  x  3x 1  5) x  12 x   x  7) 6) x  x   x  -Hết