Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 14 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
14
Dung lượng
355,77 KB
Nội dung
Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp HỆ PHƯƠNG TRÌNH (Ôn thi TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NĂM 2015) Biên soạn: Huỳnh Chí Hào - THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 2 y 12 y 25 y 18 x 9 x Bài 1: Giải hệ phương trình x 3x 14 x y y (1) (2) (Thi thử THPT Nghi Sơn – Thanh Hóa) Bài giải ne t x ♥ Điều kiện: (*) 6 y y u ♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản x y ilie (sử dụng phương pháp hàm số kiểu f u f v ) ♦ y 12 y 25 y 18 x 9 x y 2 y 2 ta x4 x4 (3) [Tại ?] ox ♦ Xét hàm đặc trưng f t 2t t ta có: y 2 y 2 x y x y 2 x x y y w w Nên: 3 f y 2 f b f ' t 6t 0, t f t đồng biến (4) w ♥ Thế (4) vào (2) để phương trình ẩn 3x x x 14 x (5) ♦ Phương trình (5) có nghiệm x nên biến đổi phương trình tích số kỹ thuật nhân liên hợp 5 3x 4 x 1 3x 14 x 3 x 5 3x 1 x5 x 53 x 1 x 1 (Tách thành biểu thức liên hợp) (Nhân liên hợp) x 5 3 x 1 x 3x 1 x 1 0 ♦ Với x y (thỏa điều kiện (*)) ♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y 5;1 www.boxtailieu.net Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp PHƯƠNG PHÁP GIẢI Bước 1: Tìm điều kiện cho biến x, y hệ phương trình (nếu có) Bước 2: Tìm hệ thức liên hệ đơn giản x y phương pháp hàm số + Biến đổi phương trình hệ dạng f(u) = f(v) (u, v biểu thức chứa x,y) + Xét hàm đặc trưng f(t), chứng minh f(t) đơn điệu, suy ra: u = v (đây hệ thức đơn giản chứa x, y) Bước 3: Thay hệ thức đơn giản tìm vào phương trình lại hệ để phương trình ẩn Bước 4: Giải phương trình ẩn (cần ôn tập tốt phương pháp giải phương trình ẩn) x3 y 17 x 32 y x y 24 Bài 2: Giải hệ phương trình y 2 x x 9 y x x y (1) ne t (2) (Thi thử THPT Chuyên Vĩnh Phúc) u Bài giải ilie x 4 ♥ Điều kiện: (*) 2 y x ta ♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản x y ox (sử dụng phương pháp hàm số kiểu f u f v ) b ♦ x y 17 x 32 y x y 24 x x 17 x 18 y y 32 y 42 x 2 x 2 y 2 y 2 3 [Tại ?] (3) w w ♦ Xét hàm đặc trưng f t t 5t ta có: f ' t 3t 0, t f t đồng biến 3 f x 2 f y 3 x y y x 1 w Nên: (4) ♥ Thế (4) vào (2) để phương trình ẩn x 3 x x 9 x 11 x x 10 (5) ♦ Phương trình (5) có nghiệm x nên biến đổi phương trình tích số kỹ thuật nhân liên hợp 5 x 3 x 3 x 9 x 11 4 x x 35 (Tách thành biểu thức liên hợp) x 3 x 5 x5 x 9 x 5 x 7 (Nhân liên hợp) x 3 x 11 x3 x9 x 5 x x4 3 x 11 www.boxtailieu.net Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp x5 x3 x9 x 7 x x 11 (6) ♦ Chứng minh (6) vô nghiệm 6 x 3 x 4 3 x5 x9 x 9 0 2 x 11 [Tại ?] 1 1 x 5 x 9 : phương trình VN x x 11 x 0 0 0 ♦ Với x y (thỏa điều kiện (*)) ne t ♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y 5;6 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ 53 x 10 x 5 y 48 y 2) x y x x 66 2 x y 11 ilie x3 y x x y 1) x y x y 10 y x y u Giải hệ phương trình x x y y 1 4) x x x 1 x y 13 1 w w w b ox ta 2012 x x 6 y 2009 y 3) 2 x y 14 x 18 y x x 13 www.boxtailieu.net Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp x x y y Bài 3: Giải hệ phương trình x x y 2 y y (1) (2) (Phạm Trọng Thư GV THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu, Đồng Tháp – THTT số 2) Bài giải ♥ Điều kiện: x (*) ♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản x y ♦ x x y4 y x x 2 y y (3) ♦ Xét hàm đặc trưng f t t t khoảng 0; Do t4 0, t 0; f t đồng biến 0; t 2t ne f liên tục 0; f ' t x y x y 2 y nên (4) ilie u 3 f x f y x y x y ♥ Thế (4) vào (2) để phương trình ẩn ta y 0 y y y y y y y 4 y y4 y (5) ox ♦ Giải phương trình (5) phương pháp hàm số b Xét hàm số g y y y y khoảng 0; Nên: w w Do g liên tục 0; g' y y y 0, y 0; g y đồng biến 0; 5 g y g 1 y w ♣ Với y x [thỏa (*)] ♣ Với y x [thỏa (*)] ♥ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm x; y 2; 0 3;1 www.boxtailieu.net Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp x 1 0 x 3x y y y ln y 1 y log x 3 log y x Bài 4: Giải hệ phương trình: 1 2 (Thi thử THPT Chuyên Vĩnh Phúc) Bài giải x 1 y 1 x ♥ Điều kiện: x y y (*) ♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản x y (3) t x 13 x 12 ln x 1 y 13 y 12 ln x 1 ne ♦ 1 u ♦ Xét hàm đặc trưng f t t 3t ln t khoảng 0; ilie f t 3t 6t t f t đồng biến khoảng 0; t Do x 1 y nên (4) b ox ♥ Thế (4) vào (2) để phương trình ẩn ta 3 f x 1 f y 1 x y y x (5) w w x log x 3 log3 x x w ♦ Giải phương trình (5) phương pháp hàm số 5 log x 3 log3 x x 1 x 1 log x 3 log3 x 6 x2 x2 ♣ Xét hàm số g x log x 3 log x g x 1 x x 3 ln x ln x 2 g x đồng biến khoảng Nên x 1 khoảng 3; x2 3; 4 y 3 g x g 5 x ♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y 5;3 www.boxtailieu.net [thỏa mãn (*)] Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp 3 x 3y y x y xy x Bài 5: Giải hệ phương trình: x y 13 3y 14 x 1 2 (Thi thử THPT Chuyên Vĩnh Phúc) Bài giải x 1 x 1 14 y 14 y * ♥ Điều kiện: ♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản x y 3 ♦ 1 x 1 3 x 1 y 1 3 y 1 (3) t ♦ Xét hàm đặc trưng f t t 3t , t ne f t 3t 0, t f t đồng biến f x 1 f y 1 x y x y (4) ilie 3 u Do x y 1 nên 5 ♥ Thế (4) vào (2) để phương trình ẩn 3x x ta x 11 11 không nghiệm phương trình nên b Ta nhận thấy x ox ♦ Giải phương trình (5) phương pháp hàm số 5 w w 3x x Xét hàm số w g x 3x x g x 3x x 11 6 11 11 , x ; ; x 11 3 x 1 10 x 11 x 3x 10 3x 8 x 1 x 11 11 11 x ; & ; 3 11 11 g x đồng biến khoảng ; & ; 3 11 11 ♣ Trên khoảng ; g x đồng biến, ; , g 3 nên 3 3 6 11 4 g x g 3 x y [thoả mãn (*)] 11 ♣ Trên khoảng ; g x đồng biến, ; , g 8 nên 2 2 4 y 10 [thoả mãn (*)] 6 g x g 8 x ♥ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm x, y 3;5 , x, y 8;10 www.boxtailieu.net Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Giải hệ phương trình x 1 x y 3 y 1) 4 x y x x3 y y y x 2) x y x y 19 105 y xy w w w b ox ta ilie u ne t x y 3) 2 2 x 13 x y 3 y www.boxtailieu.net Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp 2 y y x 1 x 1 x Bài 6: Giải hệ phương trình y x y (1) (2) (Thi thử THPT Trần Phú – Thanh Hóa) Bài giải x ♥ Điều kiện: (*) y 2 ♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản x y (sử dụng phương pháp hàm số kiểu f u f v ) t ♦ y y x 1 x 1 x y y 1 x x 1 x 1 x ne y y 21 x 1 x 1 x u ♦ Xét hàm đặc trưng f t 2t t ta có: (3) ilie f ' t 6t 0, t f đồng biến y y x 3 f y f 1 x y 1 x (4) ox ta Nên: b ♥ Thế (4) vào (2) để phương trình ẩn w w x x x 1 (5) ♦ Giải phương trình (5) phương pháp đặt ẩn phụ chuyển hệ đối xứng loại II w Phương trình (5) viết lại thành: x 3 x 11 Điều kiện Đặt 3 x 2t t , ta hệ phương trình: 2 x 32 4t 2t 32 x (6) (7) Trừ theo vế (6) (7) ta được: x t 3 x t 4t x x t x t 2 + Khi x t , thay vào (7) ta được: x 12 x x x x 1 x So với điều kiện x t ta chọn x [không thỏa mãn (*)] + Khi x t t x , thay vào (7) ta được: www.boxtailieu.net [Tại ?] Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp 1 x x x x 1 x (loại) So với điều kiện x t ta chọn x ♦ Với x 1 y [thỏa mãn (*)] ♥ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm x; y 1 2; 1 2; 2 x x 3x 1 x 2 y y Bài 7: Giải hệ phương trình x 14 x y +1 (1) (2) (Thi thử THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Đà Nẵng) Bài giải ne t y ♥ Điều kiện: x 2 u (*) (sử dụng phương pháp hàm số kiểu f u f v ) 22 y y x x ox x 1 1 1 3 y y y x x b (3) w w ta ♦ Do x không thỏa hệ nên ta có: ilie ♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản x y ♦ Xét hàm đặc trưng f t t t ta có: Nên: w f ' t 3t 0, t f đồng biến 1 3 f 1 f y 1 y x x (4) ♥ Thế (4) vào (2) để phương trình ẩn x 15 x (5) ♦ Phương trình (5) có nghiệm x nên biến đổi phương trình tích số kỹ thuật nhân liên hợp 5 x 15 x 1 x 7 2 x 3 x 15 x 15 0 x7 www.boxtailieu.net Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp ♦ Với x y 111 98 [thỏa mãn (*)] 111 ♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y 7; 98 3x x y y y + x 1 Bài 8: Giải hệ phương trình y x y y (1) (2) (Thi thử THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Đà Nẵng) Bài giải t (*) ne x 1 ♥ Điều kiện: y y 1 y y x 1 x 1 x 1 (3) ta ♦ Ta có ilie (sử dụng phương pháp hàm số kiểu f u f v ) u ♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản x y ox ♦ Xét hàm đặc trưng f t t 3t 0; ta có: t 2t 1t 1 f ' t b t2 0, t 0; f đồng biến 0; w w 3 f y f x 1 y x x y 1 Nên: (4) w ♥ Thế (4) vào (2) để phương trình ẩn y 1 y y y (5) ♦ Phương trình (5) có hai nghiệm y y nên biến đổi phương trình tích số kỹ thuật nhân liên hợp Định hướng biến đổi dạng y 2 y 3.h x hay y y 6.h x 5 y y 2 y y y 1 y2 5 y 9y2 y 2 y 1 y y 6 y 1 y 1 y y y y 3 2 0 y 1 y y 6 2 y y 2 y 1 y 1 y y y y 0 www.boxtailieu.net Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp y y2 y y ♦ Với y x [thỏa mãn (*)] ♦ Với y x [thỏa mãn (*)] ♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y 3; 2 ; 8;3 x y y x 1 y Bài 9: Giải hệ phương trình: 3x y x y2 1 2 x ♥ Điều kiện: y x y 12 t Bài giải u ne * ilie ♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản x y ♥ Thế (3) vào (2) để phương trình ẩn ta ♦ 1 y x 1 y x ox 3x x x 11 (3) 5 b ♦ Giải phương trình (5) phương pháp hàm số 5 w w 3x x Xét hàm số w f x 3x x f ' x x 11 6 11 11 , x ; ; x 11 3 10 x 3x 10 11 11 x ; & ; 2 2 x x x 11 x x 1 x 11 11 11 f x đồng biến khoảng ; & ; 2 11 11 ♣ Trên khoảng ; f x đồng biến, ; , f nên 3 3 6 11 4 f x f 3 x y [thoả mãn (*)] 11 ♣ Trên khoảng ; f x đồng biến, ; , f nên 2 2 6 4 f x f 8 x y [thoả mãn (*)] ♥ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm x, y 3;5 , x, y 8;10 www.boxtailieu.net Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp XEM THÊM PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ DẠNG TRÊN CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH DẠNG n ax b p n a ' x b ' qx r ( x ẩn số; p, q, r , a, b, a ', b ' số; paa ' ; n 2;3 Dạng thường gặp: ax b p a ' x b ' qx r t Phương pháp giải a ' x b ' ay b pa ' + Đặt n a ' x b ' ay b pa ' u n ilie + Đặt ne Đặt ẩn phụ: Bài toán dẫn đến giải hệ phương trình hai ẩn x y : ox ta h( x) Ay Bx C (*) h( y) A ' B x C ' b (*) thường hệ đối xứng loại x y w w Chú ý: Có thể sử dụng phương pháp nâng lũy thừa để đưa phương trình bậc bốn w Các ví dụ Ví dụ 1: Giải phương trình x 15 32 x 32 x 20 (1) Lời giải Điều kiện: x 15 x 15 Phương trình (1) viết lại thành: 4 x 2 x 15 28 Đặt 1 x 15 y y , ta hệ phương trình: 2 y 22 x 15 x 22 y 15 (2) (3) Trừ theo vế (2) (3) ta được: www.boxtailieu.net Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp y x 44 y x x y x y 1 8 x y 1 + Khi x y , thay vào (3) ta được: x x 2 x 15 16 x 14 x 11 11 x So với điều kiện x y ta chọn x + Khi x y 1 y x , thay vào (3) ta được: 9 221 16 9 221 16 u So với điều kiện x y ta chọn x ne t x 2 2 x 15 64 x 72 x 35 x ta ilie 9 221 Tập nghiệm (1) S ; 16 b ox Ví dụ 2: Giải phương trình x x 13 x Phương trình (1) viết lại thành: x 3 3x 1 x 3 x y 3 y , ta hệ phương trình: 2 w Đặt Lời giải w w Điều kiện: x x (1) x 32 y x y 32 x (2) (3) Trừ theo vế (2) (3) ta được: 2 x y 6 x y y x x y x y 5 + Khi x y , thay vào (3) ta được: x 12 x x x 15 x x So với điều kiện x y ta chọn x 15 97 www.boxtailieu.net 15 97 Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp + Khi x y y x , thay vào (3) ta được: x 3x 1 x 11x x So với điều kiện x y ta chọn x 11 73 11 73 11 73 15 97 Tập nghiệm (1) S ; 8 Một số toán tự luyện 2) x x x 5) x 12 x x 7) 3) x 1 x 3x 1 6) x x x ox ta 4) x 14 x 11 x 10 u x x2 x ilie 1) ne t Giải phương trình w w w b -Hết www.boxtailieu.net [...]... x 8 [thỏa mãn (*)] ♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y là 3; 2 ; 8;3 x 2 y 2 y 2 x 1 y 2 Bài 9: Giải hệ phương trình: 5 3x 8 y x y2 1 2 8 x 3 ♥ Điều kiện: y 0 x y 12 0 t Bài giải u ne * ilie ♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản của x và y 2 ♥ Thế (3) vào (2) để được phương trình một ẩn ta ♦ 1 y... 8 y 9 [thoả mãn (*)] ♥ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm x, y 3;5 , x, y 8;10 www.boxtailieu.net Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp XEM THÊM PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ DẠNG TRÊN CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH DẠNG n ax b p n a ' x b ' qx r ( x là ẩn số; p, q, r , a, b, a ', b ' là các hằng số; paa ' 0 ; n 2;3 Dạng thường... qx r 2 t 1 Phương pháp giải a ' x b ' ay b nếu pa ' 0 + Đặt n a ' x b ' ay b nếu pa ' 0 u n ilie + Đặt ne Đặt ẩn phụ: Bài toán dẫn đến giải hệ phương trình hai ẩn đối với x và y : ox ta h( x) Ay Bx C (*) h( y) A ' B x C ' b (*) thường là hệ đối xứng loại 2 đối với x và y w w Chú ý: Có thể sử dụng phương pháp nâng lũy thừa để đưa về phương trình bậc bốn... liên hệ đơn giản của x và y 2 ♥ Thế (3) vào (2) để được phương trình một ẩn ta ♦ 1 y x 1 0 y x 1 ox 3x 8 x 1 5 2 x 11 (3) 5 b ♦ Giải phương trình (5) bằng phương pháp hàm số 5 w w 3x 8 x 1 Xét hàm số w f x 3x 8 x 1 f ' x 5 0 2 x 11 6 5 8 11 11 , x ; ; 2 x 11 3 2 2 3 1 10 3 x 1 3x 8 10 8 11 ... thể sử dụng phương pháp nâng lũy thừa để đưa về phương trình bậc bốn w 2 Các ví dụ Ví dụ 1: Giải phương trình 2 x 15 32 x 2 32 x 20 (1) Lời giải Điều kiện: 2 x 15 0 x 15 2 Phương trình (1) viết lại thành: 2 4 x 2 2 x 15 28 2 Đặt 1 2 x 15 4 y 2 y , ta được hệ phương trình: 2 4 y 22 2 x 15 4 x 22 2 y 15 (2) (3) Trừ theo... 35 0 x ta ilie 1 9 221 Tập nghiệm của (1) là S ; 2 16 b ox Ví dụ 2: Giải phương trình 4 x 2 3 x 1 5 13 x Phương trình (1) viết lại thành: 2 2 x 3 3x 1 x 4 3 3 x 1 2 y 3 y , ta được hệ phương trình: 2 w Đặt Lời giải 1 3 w w Điều kiện: 3 x 1 0 x (1) 2 x 32 2 y x 1 2 y 32 3 x ... 73 8 11 73 15 97 Tập nghiệm của (1) là S ; 8 8 3 Một số bài toán tự luyện 2) x 2 4 x 3 x 5 5) 9 x 2 12 x 2 3 x 8 7) 3) 2 x 1 x 2 3x 1 0 6) 9 x 2 6 x 5 3 x 5 ox ta 4) 4 x 2 14 x 11 4 6 x 10 u x 6 x2 4 x ilie 1) ne t Giải các phương trình w w w b -Hết www.boxtailieu.net ... Diêu Đồng Tháp PHƯƠNG PHÁP GIẢI Bước 1: Tìm điều kiện cho biến x, y hệ phương trình (nếu có) Bước 2: Tìm hệ thức liên hệ đơn giản x y phương pháp hàm số + Biến đổi phương trình hệ dạng f(u) =... (2) để phương trình ẩn 3x x ta x 11 11 không nghiệm phương trình nên b Ta nhận thấy x ox ♦ Giải phương trình (5) phương pháp hàm số 5 w w 3x x Xét hàm số w g... ♥ Thế (4) vào (2) để phương trình ẩn ta y 0 y y y y y y y 4 y y4 y (5) ox ♦ Giải phương trình (5) phương pháp hàm số b Xét hàm số g y y y y