SỬ DỤNG ĐẠO HÀM CẤP HAI GIẢI MỘT SỐ CÁC PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH

SỬ DỤNG ĐẠO HÀM CẤP HAI GIẢI MỘT SỐ CÁC PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH

TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUẢNG BÌNH TỔ TOÁN SỬ DỤNG ĐẠO HÀM CẤP HAI GIẢI MỘT SỐ CÁC PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH gv: TRẦN XUÂN BANG Đồng Hới, tháng năm 2012 SỬ DỤNG ĐẠO HÀM CẤP HAI GIẢI MỘT SỐ CÁC PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH I Đặt vấn đề Trong đề Dự bị thi vào Đại học năm 2007 khối A, có toán đây: Bài toán y  x e  2007  y2 1 Chứng minh hệ phương trình  có x y e  2007   x2 1 nghiệm thỏa mãn điều kiện x > 0, y > Giải  x  1  x  x > 0, y > suy x > 1, y >  y  1  y  Điều kiện hệ  T a chứng minh hệ phương trình cho có hai nghiệm x > 1, y >  Trước hết ta chứng minh từ hệ phương trình cho suy x = y Cách Xét hàm số: f(t) = et , t >  f '(t) > 0,  t > 1và  f tăng (1; ) gt  t t 1 1 , t   g/ (t)  (t  1)  0, t   giảm (1; ) Như thế, f tăng g giảm (1; )  f  x   g  y   2007  f(x) + g(y) = f(y) + g(x) (1)  f  y   g  x   2007 Hệ phương trình (1)   Nếu x > y  f(x) > f(y)  g(y) < g(x) ( do(1) )  y > x ( g giảm )  vô lý Tương tự y > x dẫn đến vô lý Vậy, ta có x = y Cách x Từ hệ phương trình cho suy ex  Xét hàm số F(t)  et  t t 1 x2 1 , t  Ta có :  ey  y y2  (2) t2 1  t F '(t)  e t  t 1 t t   et  (t  1) t   0, t  Suy ra, F đồng biến, liên tục (1; ) (2)  f ( x )  f ( y )  x  y  Hệ phương trình cho tương đương: x  x e   2007   x2  x  y x Xét hàm số h(x) = ex   2007 , x > x 1  x 2 Khi x >  h' x   ex   e  x  x 1  h ''  x   e x     x   2x  e x    3x x (*)  1 0 Đến đây, có số lời giải sau: Lời giải Đồ thị hàm số lõm, hàm số nhận giá trị âm: f    e2   2012  Suy phương trình (*) có hai nghiệm x1 > 1, x2 > Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm (x; x) với x > Lời giải Đồ thị hàm số lõm, và: lim h x    , lim h  x    , h    e  x 1 x   2012  Suy phương trình (*) có nghiệm x1 > 1, x2 > Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm (x; x) với x > Bình luận: Lời giải có hai sai lầm: + Trong chương trình Giải tích THPT hành khái niệm "đồ thị lõm" + Một hàm số có đồ thị lõm nhận giá trị âm chưa hẵn có hai nghiệm Lời giải có sai lầm: + Trong chương trình Giải tích THPT hành khái niệm "đồ thị lõm" Lời giải đúng: Từ h ''  x   e x   x  1 2x  e x   3x x  1  0, suy h'(x) đồng biến, liên tục (1, +) Mặt khác, lim h '  x    , lim h '  x    Suy hàm số h'(x) đổi dấu từ âm x 1 x  sang dương (1, +) Suy phương trình h(x) = có không hai nghiệm  2007  , lim h  x    , Suy x  Cuối có lim h x    , h    e2  x 1  phương trình h(x) = có nghiệm x1 > 1, x2 > Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm (x; x) với x > Sau toán trang Web Bài toán Giải phương trình x  x   x  x  Giải ĐK x  Phương trình cho tương đương với x  x   x  x   Xét hàm số f ( x)  x  x   x  x  1, x   0; ) f '( x)  x  (1)  x   f ''( x)      0, x  3x  x (3 x  1)3 Đến đây, có số lời giải sau: Lời giải Đồ thị hàm số lồi, hàm số nhận giá trị dương: 1 f        2 0 2 2 2 Suy phương trình (1) có hai nghiệm Thấy f(0) = f(1) = Suy phương trình (1) có hai nghiệm x = 0, x = Vậy, phương trình cho có hai nghiệm x = 0, x = Lời giải Đồ thị hàm số lồi, hàm số nhận giá trị: 3 11 19 f(0) = 0, f    0, f       1     2 2 2 2 Suy phương trình (1) có không hai nghiệm Thấy f(0) = f(1) = Suy phương trình (1) có hai nghiệm x = 0, x = Vậy, phương trình cho có hai nghiệm x = 1, x = Lời giải Theo Roll phương trình (1) có không hai nghiệm Thấy f(0) = f(1) = Suy phương trình (1) có hai nghiệm x = 0, x = Vậy, phương trình cho có hai nghiệm x = 0, x = Bình luận: Lời giải có hai sai lầm: + Trong chương trình Giải tích THPT hành khái niệm "đồ thị lồi" + Một hàm số có đồ thị lồi nhận giá trị dương chưa hẵn có hai nghiệm Lời giải có sai lầm: + Trong chương trình Giải tích THPT hành khái niệm "đồ thị lồi" Lời giải có sai lầm: + Trong chương trình Giải tích THPT hành định lý Roll Cách giải dùng kỳ thi HSG Lời giải đúng: Suy f ' nghịch biến, liên tục [0;+)     x  1    x 3x   Mặt khác lim f '( x)  lim  x 0  x0    lim f '( x)  lim    x  1   x  x 3x    Suy f '(x) đổi dấu từ dương sang âm [0;+) nên phương trình (1) có x  không hai nghiệm Thấy f(0) = f(1) = Suy phương trình (1) có hai nghiệm x = 0, x = Vậy, phương trình cho có hai nghiệm x = 0, x = Từ hai toán Đề xuất phương pháp: Cho phương trình f(x) = (*) Xét hàm số y = f(x) xác định D có đạo hàm cấp f '(x) không xét dấu  Nếu đạo hàm cấp hai f "(x) > 0, x  D f '(x) nhận hai giá trị trái dấu f '(x) đổi dấu từ âm sang dương phương trình (*) có không hai nghiệm f(x) nhận ba giá trị dương, âm, dương từ trái qua phải phương trình (*) có hai nghiệm Nếu đạo hàm cấp hai f "(x) > 0, x  D f '(x) nhận hai giá trị trái dấu f '(x) đổi dấu từ âm sang dương f ( x1 )  f ( x2 )  phương trình (*) có hai nghiệm x1 , x2  Nếu đạo hàm cấp hai f "(x) < 0, x  D f '(x) nhận hai giá trị trái dấu f '(x) đổi dấu từ dương sang âm phương trình (*) có không hai nghiệm f(x) nhận ba giá trị âm, dương, âm từ trái qua phải phương trình (*) có hai nghiệm Nếu đạo hàm cấp hai f "(x) < 0, x  D f '(x) nhận hai giá trị trái dấu f '(x) đổi dấu từ dương sang âm f ( x1 )  f ( x2 )  phương trình (*) có hai nghiệm x1 , x2 II Áp dụng giải số phương trình Bài toán Giải phương trình x 2  log 2 x Giải ĐK: x  2 x 1  log (2 x) 2 x 1  log (2 x)  x 2  log 2 x    x  x  x 1 Đặt f(x) =  log (2 x ), x  Suy f '(x) = x 1 ln  ,x  x ln f "(x) = x 1 ln 2   0, x  x ln  f ' đồng biến, liên tục (0; +  ) (*) Mặt khác :     lim f '( x)  lim  x 1 ln  f '( x )  lim  x 1 ln     , xlim     x  x0  x ln  x ln   Suy f ' đổi dấu từ âm sang dương (0; +  ) nên phương trình (*) có x 0 không hai nghiệm Thấy f(1) = f(2) = Vậy, phương trình cho có hai nghiệm x = 1, x = Bài toán Giải phương trình x 1   log (6 x  5) HD ĐK: x  Phương trình cho tương đương x 1  6( x  1)  x   log (6 x  5) (1) Xét hàm số f (t )  t  log t , t   0, t  Suy f đồng biến, liên tục  0;   t ln (1)  f(7x - 1) = f(6x - 5)  x 1  x   x1  x   (2) Xét hàm số f ( x)  x 1  x  5, x  f '( x)  x1 ln  6, f "( x )  x 1 ln  0, x  Suy f ' đồng biến, liên tục  ;   6  Để ý rằng, lim f '( x)  ln   0, lim   , suy đạo hàm cấp đổi dấu từ f '(t )   x 1 x  âm sang dương nên phương trình (2) có không hai nghiệm Thấy f(1) = f(2) = Suy phương trình (2) có hai nghiệm x = 1, x = Vậy, phương trình cho có hai nghiệm x = 1, x = Bài toán Gi¶i phư¬ng tr×nh x  log 22 x  x log7  x      log  x    log x 2  Giải ĐK : x > 1   log (1) x  x   log x  log  x  3    log x  log  x      log2 x  x  (2) (3)  x  4t  x  4t  (2)  log x  log  x  3 = 2t    t t t x    4    x  4t  t    t 1       (4) 7   Xét hàm số : t t t t 4 1 4 1 f (t )       , t  ; f '(t )    ln    ln  0, t   7 7 7 7 Suy f nghịch biến, liên tục  (4)  f (t )  f (1)  t  Vậy, x = nghiệm (2)  (3)  log x  x  XÐt g  x   log2 x  x, x  g ' x   2  1; g"  x    0, x   0;   x ln x ln Suy g' nghịch biến, liên tục (0;+) Mặt khác g ' 1    0; g'(4)  1  ln 2 ln Suy g(x) đổi dấu từ dương sang âm (0;+) nên phương trình (3) có không hai nghiệm Thấy f(2) = f(4) = Suy phương trình (3) có hai nghiệm x = 2, x = Như thế, phương trình cho có hai nghiệm x = 2, x = Bài toán Gi¶i phư¬ng tr×nh 3x   x  log (1  x ) Giải ĐK: + 2x >  x   Phương trình cho tương đương với : 3x  x  (1  x)  log (1  x) Xét hàm số f (t )  t  log t , t  (0; ) ta có: f '(t )   đồng biến, liên tục (0; +  ) Phương trình (1)  f(3 x ) = f(1 + 2x)  x = + 2x  x - - 2x =  (1)  0, t > Vậy f t ln (2) Xét hàm số: g(x) = x - - 2x , x    ;    g'(x) = x ln3 - 2, g''(x) = x ln23 > 0,  x    ;     Suy g' đồng biến, liên tục   ;     Mặt khác g'(0) < 0, g'(1) > Suy g' đổi dấu từ âm sang dương x    ;   nên phương trình (2) có   không hai nghiệm g(0) = g(1) = Vậy phương trình (2) có hai nghiệm x = 0, x = Như thê, phương trình cho có hai nghiệm x = 0, x = Bài toán Gi¶i phư¬ng tr×nh log 3log  x  1  1  x Giải ĐK x  1  y  log  x  1 dẫn đến  x  log  y  1 Đặt y = log  3x  1 ta có hệ phưg trình  phương trình sau log  3x  1  x = log  y  1 +y (*) Xét hàm số f(t) = log  3t  1  t f ’(t) =  1  ;     với t    1   0, t   ;    3t  1 ln   (*)  x  y  x  3x   Đặt g(x) = x  x  , g’(x) = 2xln2 - g’’(x)=2xln23 > suy g’(x) đồng biến, liên tục  Mặt khác g'(1) = ln4 - < 0, g'(3) = 8ln2 - > Suy g'(x) đổi dấu từ âm  1  sang dương  ;   nên phương trình (**) có không hai   nghiệm Thấy g(1) = g(3) = nên phương trình có hai nghiệm x = 1, x = 7x  x  Bài toán Giải phương trình Giải Phương trình cho tương đương x  x   (*) Xét hàm số f(x) = x  x  , x   f '( x )  x ln  6, f ''( x)  x ln  0, x Suy f đồng biến, liên tục  Mặt khác f '(0) = ln7 - < 0, f '(1) = 7ln7 - > Suy f(x) đổi dấu từ âm sang dương nên phương trình (*) có không hai nghiệm Thấy f(0) = f(1) = nên phương trình có hai nghiệm x = 0, x = Tổng quát Bài toán Với a > 1, phương trình a x  (a  1) x  có hai nghiệm x = 0, x = 3x  x  x  Bài toán Giải phương trình Giải Phương trình cho tương đương 3x  x  x   (*) Xét hàm số f(x) = 3x  x  x  , x   f '( x )  3x ln3  x ln5  6, f ''( x)  3x ln  x ln  0, x Suy f đồng biến, liên tục  Mặt khác f '(0) = ln3 + ln5 - < 0, f '(1) = 3ln3 + 5ln5 - > Suy f(x) đổi dấu từ âm sang dương nên phương trình (*) có không hai nghiệm Thấy f(0) = f(1) = nên phương trình có hai nghiệm x = 0, x = Tổng quát Bài toán x x  Với a > 1, b > phương trình a  b  (a  b  2) x  = có hai nghiệm x = 0, x = x  Khi a = b > phương trình a  (a  1) x  = có hai nghiệm x = 0, x = 10 III Các toán tương tự Bài toán 10 Giải phương trình (1  cosx)  2+4cosx   3.4cosx Bài toán 11 Giải phương trình 64 x  8.343x 1   12.4 x.7 x 1 Bài toán 12 Giải phương trình 2011x  2012 x  4021x  Bài toán 13 Giải phương trình 3x   x  log (1  x ) Bài toán 14 Giải phương trình 22 x  32 x  x  3x 1  x  1 Bài toán 15 Giải phương trình   2 2sin x  11  cos2x+log (4 cos x  cos6x-1) IV Kết luận Trên ý tưởng việc dùng đạo hàm cấp hai thay cho việc dùng khái niệm lồi, lõm đồ thị hàm số định lý Roll để giải lớp phương trình hệ phương trình Có thể mở rộng ý tưởng vào việc chứng minh số bất đẳng thức Ở khía cạnh tương tự, khắc phục thực tế quan điểm tinh giản mà số định lý mặt chương trình Toán THPT hành định lý đảo dấu tam thức bậc hai Trên nỗ lự cá nhân nhằm mang đến bạn đọc yêu Toán niềm vui nho nhỏ Những thiếu sót tránh khỏi Xin trân trọng tiếp nhận trao đổi chân tình bạn đọc Đồng Hới, tháng năm 2012 TRẦN XUÂN BANG 12 [...]... Kết luận Trên đây là một ý tưởng về việc dùng đạo hàm cấp hai thay cho việc dùng khái niệm lồi, lõm của đồ thị hàm số và định lý Roll để giải một lớp các phương trình và hệ phương trình Có thể mở rộng ý tưởng đó vào việc chứng minh một số bất đẳng thức Ở một khía cạnh tương tự, chúng ta có thể khắc phục thực tế do quan điểm tinh giản mà một số định lý đã không có mặt trong chương trình Toán THPT hiện...III Các bài toán tương tự Bài toán 10 Giải phương trình (1  cosx)  2+4cosx   3.4cosx Bài toán 11 Giải phương trình 64 x  8.343x 1  8  12.4 x.7 x 1 Bài toán 12 Giải phương trình 2011x  2012 x  4021x  2 Bài toán 13 Giải phương trình 3x  1  x  log 3 (1  2 x ) Bài toán 14 Giải phương trình 22 x  32 x  2 x  3x 1  x  1 1 Bài toán 15 Giải phương trình   2 2sin... tinh giản mà một số định lý đã không có mặt trong chương trình Toán THPT hiện hành như định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai Trên đây là một sự nỗ lự cá nhân nhằm mang đến bạn đọc yêu Toán một niềm vui nho nhỏ Những thiếu sót là không thể tránh khỏi Xin trân trọng tiếp nhận các trao đổi chân tình của bạn đọc Đồng Hới, tháng 4 năm 2012 TRẦN XUÂN BANG 12 ...SỬ DỤNG ĐẠO HÀM CẤP HAI GIẢI MỘT SỐ CÁC PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH I Đặt vấn đề Trong đề Dự bị thi vào Đại học năm 2007 khối A, có toán đây: Bài toán y  x e  2007  y2 1 Chứng minh hệ. .. Đến đây, có số lời giải sau: Lời giải Đồ thị hàm số lõm, hàm số nhận giá trị âm: f    e2   2012  Suy phương trình (*) có hai nghiệm x1 > 1, x2 > Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm (x;... 2 Suy phương trình (1) có hai nghiệm Thấy f(0) = f(1) = Suy phương trình (1) có hai nghiệm x = 0, x = Vậy, phương trình cho có hai nghiệm x = 0, x = Lời giải Đồ thị hàm số lồi, hàm số nhận