SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC để GIẢI một số DẠNG PHƯƠNG TRÌNH vô tỷ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT MAI ANH THANH HOÁ NĂM 2017 TUẤN MỤC LỤC Trang Mở đầu 1-2 Nội dung đề tài SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Bài toán 1: Cực trị điểm đường thẳng hình học giải tích phẳng 2-6 2.2 Bài tốn 2: Cực trị điểm đường thẳng hình học giải tích khơng gian - 10 DỤNG THỨC 2.3 Bài toán 3: CựcSỬ trị điểm HẰNG đườngĐẲNG thẳng hình học 10 - 12 giải tích ĐỂkhơng GIẢIgian MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ 2.4 Bài tốn 4: Cực trị điểm mặt phẳng hình học giải tích khơng gian 12 - 14 2.5 Bài tốn 5: Ứng dụng tốn cực trị hình học giải tích để tìm GTLN, GTNN biểu thức 14 - 15 Bài tập áp dụng 15 - 16 Người thực hiện: Lê Đình Chung Chức vụ: Giáo viên 2.6 Kiểm nghiệm đề tài SKKN thuộc lĩnh mực (mơn): Tốn Kết luận kiến nghị 16 16 - 17 Tài liệu tham khảo 18 Danh mục đề tài SKKN Sở GD & ĐT Thanh Hóa xếp loại 19 THANH HOÁ NĂM 2018 MỤC LỤC Trang Mục lục I Đặt vấn đề II Nội dung đề tài Dạng 1: ax + bx + c = qx + p Dạng 2: ax + bx + c = qx + p (k > ) k Dạng 3: ax + bx + c = ( dx + e ) qx + px + r Dạng 4: ax + bx + cx + dx + e = qx + px + r Bài tập áp dụng III Kết luận kiến nghị Tài liệu tham khảo Danh mục đề tài SKKN Sở GD & ĐT Thanh Hóa xếp loại 10 SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ I ĐẶT VẤN ĐỀ Lí chọn đề tài Trong xu chung năm gần đây, việc đổi phương pháp dạy học vấn đề cấp bách, thiết thực nhằm đào tạo người có lực hoạt động trí tuệ tốt Đổi phương pháp dạy học không giảng lý thuyết, mà luyện tập Nhằm giúp học sinh vận dụng kiến thức học vào giải tập cách động sáng tạo Có thể nói, tốn phương trình vơ tỷ tốn thường gặp chương trình lớp 10 Trong trình bồi dưỡng cho học sinh, đặc biệt bồi dưỡng học sinh giỏi Những toán gây khơng khó khăn học sinh Nhưng kiến thức mà em học cấp hai, sử dụng khéo léo đẳng thức đáng nhớ, việc giải dạng phương trình vơ tỷ sau đơn giản nhiều Ở viết chủ yếu đề cập đến tốn phương trình vơ tỉ, có dạng tổng quát: a n x n + a n −1 x n −1 + + a1 x + a = bm x m + bm−1 x m−1 + + b1 x + b0 Với m, n ∈ Ν * n ≥ 2; n ≥ m Trong khoảng thời gian có hạn nên tơi ứng dụng phạm vi m ≤ 2, n ≤ Cụ thể có dạng sau: ax + bx + c = qx + p ax + bx + c = qx + p (k > ) k ax + bx + c = ( dx + e ) qx + px + r ax + bx + cx + dx + e = qx + px + r Mục đích nghiên cứu Trong trình dạy cho học sinh lớp 10 giải phương trình vơ tỷ có tốn giải phương trình x − x + = x + Đây dạng toán quên thuộc, dùng theo cách giải truyền thống tốn phức tạp học sinh đọc khó hiểu Nhưng sử dụng khéo léo đẳng đáng nhớ tốn đơn giản cách giải tự nhiên Đối tượng nghiên cứu Qua nhiều năm thực tế giảng dạy trường THPT thấy học sinh lúng túng việc giải tập phưng trình vơ tỷ, mà cụ thể ba dạng tốn Đa số em áp dụng cách giải tốn cách máy móc, khơng phát huy tính tích cực, sáng tạo giải tốn Phương pháp nghiên cứu Trong đề tài muốn trình bày với ý tưởng giúp học sinh khai thác kiến thức từ đẳng thức đáng nhớ Nhằm giúp em thấy liên kết, thống q trình học tốn Giải pháp tổ chức thực là: - Giáo viên dạy, học sinh học làm tập - Kiểm tra đánh giá mức độ nhận thức học sinh trước sau học đề tài - Tổng kết mặt làm chưa làm đề tài để có hướng vận dụng đề tài cho khóa học sinh II NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI 1.Dạng 1: ax + bx + c = qx + p (I) Nhân hai vế phương trình (I) với 2a' cho 2aa' số phương 2aa' x + 2ba' x + 2ca' = 2a' qx + p sau sử dụng đẳng thức đưa dạng ( mx + n ) = ( m' + n' qx + p ) Bài tốn 1: Giải phương trình x − x + = x + (1) Lời giải: Nhân hai vế pt (1) với 16,… nhân 2; 4; 6; 8… không phù hợp pt(1) ⇔ x − 24 x + 12 = x + (1’) Bây ta thêm bới vế phải VP = x + đẳng thức 2 VP có hai tình ( + x + ) (1 + x + ) - Nếu lấy ( + x + ) pt(1’) ⇔ x − 23x + 19 = ( + x + ) không phù hợp 2 - Nếu lấy (1 + x + ) pt(1’) ( ⇔ x − 20 x + 25 = + x + ( ⇔ ( x − 5) = + x + ) ) phù hợp 1 + x + = x − 2 x + = x − ⇔ ⇔ 1 + x + = −2 x + 2 x + = −2 x + Đến việc giải phương trình (vì bình phương vế đưa phương trình bậc hai ẩn)  − 21     KL: phương trình có tập nghiệm S = 6; Bài toán 2: Giải phương trình 3x − = −4 x + 21x − 22 (2) (số 384 – THTT) Lời giải: pt(2) ⇔ − 3x − = x − 21x + 22 Nhân hai vế pt (2) với ta có − 3x − = 16 x − 84 x + 88 (2’) 2 VP có hai tình ( − 3x − ) (1 − 3x − ) - Nếu lấy ( − 3x − ) pt(2’) ⇔ ( − 3x − ) = 16 x − 81x + 90 không phù hợp 2 - Nếu lấy (1 − 3x − ) pt(1’) ( ⇔ (1 − ) 3x − ) ⇔ − 3x − 2 = 16 x − 72 x + 81 = ( x − 9) phù hợp 1 − x − = x − 2 x − = −4 x + 10 ⇔ ⇔ 1 − x − = −4 x +  x − = x − 19 + 73 23 − 97  ;  8   KL: phương trình có tập nghiệm S =  qx + p ( k > ) (II) k Khử mẫu số k ta có akx + bkx + ck = qkx + pk (trở phương trình dạng 1) 2.Dạng 2: ax + bx + c = Bài toán 3: Giải phương trình x+3 (3) ( Olympic 30/4/2003) Lời giải: pt(3) ⇔ x + x = x + (khử mẫu số 2) ⇔ 16 x + 32 x = x + 2x + 4x = ( ⇔ 16 x + 40 x + 25 = + 2 x + ( ⇔ ( x + 5) = + 2 x + ) ) 2 1 + 2 x + = x +  2x + = 2x + ⇔ ⇔ 1 + 2 x + = −4 x −  x + = −2 x −  − + 17 − − 13  ; KL: phương trình có tập nghiệm S =   4   Bài tốn 4: Giải phương trình 4x + = x + x với x > (4) 28 (Đề thi ĐHAN khối D năm 2000) 4x + = 14 x + 14 x (khử mẫu số 7) ⇔ 28 x + 63 = 98 x + 98 x ⇔ 28 x + 63 = 196 x + 196 x Lời giải: pt(4) ⇔ ( ⇔ (1 + ) 28 x + 63 ) ⇔ + 28 x + 63 = 196 x + 224 x + 64 = (14 x + 8) 1 + 28 x + 63 = 14 x +  28 x + 63 = 14 x + ⇔ ⇔ 1 + 28 x + 63 = −14 x −  28 x + 63 = −14 x − −6+5 KL: pt có nghiệm x = 14 3.Dạng 3: ax + bx + c = ( dx + e ) qx + px + r (III) Nhân hai vế phương trình (III) với 2a' cho 2aa' số phương 2aa' x + ba' x + ca' = 2a' ( dx + e ) qx + px + r sau sử dụng đẳng thức đưa dạng ( mx + n ) = [m' ( dx + e ) + n' qx + p ] Bài toán 5: Giải phương trình x + x − = x x + (5) Lời giải: pt(5) ⇔ x + 12 x − = x x + ( ⇔ x + 12 x + = x + x + ( ⇔ ( 3x + 2) = x + x + 2 ) )  x + x + = 3x +  x2 + = x +1  ⇔  x + x + = −3 x −  x + = −2 x − 1 − −  KL: phương trình có tập nghiệm S =  ;  2  Bài toán 6: Giải phương trình x + x + = ( x + 2) x + x + Lời giải: pt(6) ⇔ x + x + = 4( x + 2) x + x + ( ⇔ x + 24 x + 16 = x + + x + x + ( ⇔ ( 3x + 4) = x + + x + x + ) )  x + + x + x + = 3x +  x + 4x + = x + ⇔ ⇔  x + + x + x + = −3 x −  x + x + = −2 x − KL: pt có nghiệm x = 4.Dạng 4: ax + bx + cx + dx + e = qx + px + r (IV) Dùng đẳng thức biến đổi phương trình (IV) dạng a1 ( mx + n ) + a ( mx + n ) + a3 = b1 ( mx + n ) + b2 2 Đặt t = ( mx + n ) ( t ≥ 0) ta có a1t + a t + a3 = b1t + b2 (trở phương trình dạng 1) Bài tốn 7: Giải phương trình x + x + 3x − x − = x + x + (7) (số 362 - THTT) Lời giải: pt(7) ⇔ ( x + 1) − 3( x + 1) − = 2( x + 1) + Đặt t = ( x + 1) ( t ≥ 0) ta có t − 3t − = 2t + ⇔ 4t − 12t − 20 = 2t + ( ⇔ 4t − 4t + = + 2t + ( ⇔ ( 2t − 1) = + 2t + ) ) 2 1 + 2t + = 2t −  2t + = t − ⇔ ⇔ 1 + 2t + = −2t +  2t + = −t - Phương trình 2t + = −t vơ nghiệm t ≥ - Phương trình 2t + = t − có nghiệm t = + 2 Suy ( x + 1) = + 2 ⇔ x = −1 ± + 2 Phương trình (7) có nghiệm x = −1 ± + 2 Bài toán 8: Giải phương trình x + x + = (8) Lời giải: pt(8) ⇔ x − = − x + Đặt t = x ( t ≥ 0) ta có t2 −3 = − t + ⇔ 4t − 12 = −4 t + ( ⇔ 4t + 4t + = − t + ( ⇔ ( 2t + 1) = − t + ) ) 2 1 − t + = 2t +  t + = −t ⇔ ⇔ 1 − t + = −2t −  t + = t + - Phương trình t + = −t vơ nghiệm t ≥ - Phương trình t + = t + có nghiệm t = t = −2 (loại) Suy x = ⇔ x = ±1 Phương trình (8) có nghiệm x = ±1 * Chúng ta thấy dạng toán dạng tốn khó, cách giải sử dụng khéo léo đẳng thức đáng nhớ, tốn biến đổi dạng Phù hợp với học sinh học lớp 10 học phần giải phương trình vơ tỷ Cách giải tự nhiên kết hợp hài hòa kiến thức cấp hai kiến thức giải phương trình vơ tỷ lớp 10 Còn dạng tốn mà giải theo cách cũ số tài liệu trình bày phức tạp, vẽ đẹp theo tư tự nhiên thông thường đưa BÀI TẬP ÁP DỤNG Giải phương trình sau: 14 x + = 18 x − 37 x + − 10 − 3x = x − (Học sinh giỏi Toàn Quốc 2002) x − x = 2 x − x + x + = 3x + 3( x + x − 1) = 5x + x − x + = x − x + x − x + x − 3x + = x x − x − x + 3x + = x x + x x − x + = ( x + 2) x − 10 x + x = ( x + 2) x + x + III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ - Kết việc đánh giá cho thấy học sinh tiếp thu đề tài cách tích cực, biết vận dụng thành thạo vào giải tập tương tự - Cách giải mà tơi trình bày đề tài hồn tồn tự nhiên, sáng Do gây hứng thú học tập cho học sinh, nâng cao khả tư lôgic khả sáng tạo học sinh - Đề tài có tác dụng tốt việc bồi dưỡng học sinh giỏi Trong trình bày đề tài chắn hạn chế, thiếu sót Mong góp ý từ đồng nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 25 tháng 05 năm 2018 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Lê Đình Chung TÀI LIỆU THAM KHẢO ********* Báo Toán học tuổi trẻ Sách giáo khoa sách tập đại số lớp 10 - Nhà xuất giáo dục Việt Nam, năm 2006 Tham khảo số tài liệu mạng internet - Đề thi học sinh giỏi số trường 10 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên : Lê Đình Chung Chức vụ : Giáo Viên Đơn vị công tác : Trường THPT Mai Anh Tuấn TT Tên đề tài SKKN Đưa phương trình vơ tỉ hệ phương trình gần đối xứng Ứng dụng phép quay phép đối xứng để giải Cấp đánh giá xếp loại (Phòng, Sở, Tỉnh ) Sở GD & ĐT Thanh Hóa Sở GD & ĐT Thanh Hóa Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) C C Năm học đánh giá xếp loại 2010 - 2011 2014 - 2015 số tốn hình học giải tích phẳng 11 ... Sở GD & ĐT Thanh Hóa xếp loại 10 SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ I ĐẶT VẤN ĐỀ Lí chọn đề tài Trong xu chung năm gần đây, việc đổi phương pháp dạy học vấn đề cấp bách,... giải sử dụng khéo léo đẳng thức đáng nhớ, tốn biến đổi dạng Phù hợp với học sinh học lớp 10 học phần giải phương trình vơ tỷ Cách giải tự nhiên kết hợp hài hòa kiến thức cấp hai kiến thức giải phương. .. Đến việc giải phương trình (vì bình phương vế đưa phương trình bậc hai ẩn)  − 21     KL: phương trình có tập nghiệm S = 6; Bài tốn 2: Giải phương trình 3x − = −4 x + 21x − 22 (2) (số 384