SKKN Hướng dẫn học sinh giải một số bất phương trình vô tỷ

SKKN Hướng dẫn học sinh giải một số bất phương trình vô tỷSKKN Hướng dẫn học sinh giải một số bất phương trình vô tỷSKKN Hướng dẫn học sinh giải một số bất phương trình vô tỷSKKN Hướng dẫn học sinh giải một số bất phương trình vô tỷSKKN Hướng dẫn học sinh giải một số bất phương trình vô tỷSKKN Hướng dẫn học sinh giải một số bất phương trình vô tỷSKKN Hướng dẫn học sinh giải một số bất phương trình vô tỷSKKN Hướng dẫn học sinh giải một số bất phương trình vô tỷSKKN Hướng dẫn học sinh giải một số bất phương trình vô tỷSKKN Hướng dẫn học sinh giải một số bất phương trình vô tỷSKKN Hướng dẫn học sinh giải một số bất phương trình vô tỷSKKN Hướng dẫn học sinh giải một số bất phương trình vô tỷSKKN Hướng dẫn học sinh giải một số bất phương trình vô tỷSKKN Hướng dẫn học sinh giải một số bất phương trình vô tỷSKKN Hướng dẫn học sinh giải một số bất phương trình vô tỷSKKN Hướng dẫn học sinh giải một số bất phương trình vô tỷSKKN Hướng dẫn học sinh giải một số bất phương trình vô tỷ

HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ Phần thứ : ĐẶT VẤN ĐỀ Xuất phát từ mục đích việc dạy học toán trường THPT; việc dạy học ta coi mục đích chủ yếu tập toán hình thành phát triển tư toán học, tạo cho học sinh vốn kiến thức biết vận dụng kiến thức vào thực tiễn Vì xây dựng hình thành cho học sinh phương pháp giải dạng toán cần thiết Bất phương trình vô tỷ nội dung kiến thức quan trọng chương trình toán THPT Bất phương trình vô tỷ thường dùng để đề thi đại học thi học sinh giỏi cấp tỉnh Để giải bất phương trình vô tỷ học sinh phải nắm vững định nghĩa bất phương trình, định nghĩa bất phương trình vô tỷ , hai bất phương trình tương đương, phép biến đổi tương đương bất phương trình… Vấn đề đặt là, làm để nâng cao chất lượng giảng dạy kết học tập học sinh Bước vào năm học 2014-2015 phân công giảng dạy môn toán lớp 12, trước dạy ôn thi THPT Quóc gia môn toán phần Bất phương trình vô tỷ, chuẩn bị đề tài này, xem cải tiến phương pháp dạy học “ Hướng dẫn học sinh giải số bất phương trình vô tỷ” Phần thứ hai: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ A CƠ SỞ LÝ LUẬN *) Định nghĩa : Hai bất phương trình gọi tương đương chúng có tập nghiệm *)Tính chất phép biến đổi tương đương hệ : +) Cộng (trừ) hai vế bất phương trình với biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện bất phương trình ta bất phương trình tương đương +) Nhân (chia) hai vế bất phương trình với biểu thức ( dương âm) mà không làm thay đổi điều kiện bất phương trình tương đương +) Lũy thừa bậc lẻ hai vế, khai bậc lẻ hai vế bất phương trình tương đương +) Lũy thừa bậc chẵn hai vế, khai bậc chẵn hai vế hai vế bất phương trình dương ta bất phương trình tương đương +) Nghịch đảo hai vế bất phương trình hai vế dương ta phải đổi chiều ta bất phương trình tương đương Từ tính chất phép biến đổi tương đương hệ ta rút số kỹ sau phép biến đổi tương đương B THỰC TRẠNG Trong thực tế giảng dạy trường THPT Ba Đình, đặc biệt học sinh khối lớp 12 chuẩn bị thi THPT quốc gia, giải toán bất phương trình vô tỷ em gặp nhiều khó khăn, chưa định hình cách giải Ngoài hay vướng mắc sai lầm kết hợp nghiệm bất phương trình vô tỷ xét thiếu trường hợp bình phương hai vế mà không xét dấu hai vế dẫn tới phép biến đổi không tương đương….Tóm lại kỹ giải khai thác toán bất phương trình vô tỷ học sinh hạn chế Kết khảo sát giải bất phương trình vô tỷ thấp so với yêu cầu Cụ thể: Lớp Số Điểm 8-10 Điểm từ 6,5 Điểm từ Điểm từ Điểm HS đến đến 6,5 đến 12A 45 6.7 13.4 17 37.7 13 28.8 13.4 12E 45 4.4 15.4 16 35.5 12 26.6 18.0 C GIẢI PHÁP THỰC HIỆN Khi dạy phần bất phương trình vô tỷ hướng dẫn học sinh theo phương pháp sau : I PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Kỹ lũy thừa hai vế 1.1 Một số phép lũy thừa hai vế: a) k +1 f ( x) > k +1 g ( x) ⇔ f ( x) > g ( x) b) 2k *) *)  g ( x) ≥ f ( x) > k g ( x ) ⇔   f ( x ) > g ( x)  g ( x) ≥ f (x) >g(x) ⇔   f ( x) > [ g ( x)]  g ( x) <  f ( x) ≥   g ( x) >  f (x ) 2 x − >   ⇔ x ≥ ⇔ x ≥ Giải : x − < x − ⇔  x − ≥   2  x − < ( x − 1) 4 x − x + >  Vậy bất phương trình có tập nghiệm là: S= [ 3;+∞) Ví dụ :Giải bất phương trình sau : x − x + ≥  x − x + ≤ x + ⇔ x + ≥ ⇔x≥−  2 ( ) x − x + ≤ x +    Vậy tập nghiệm bất phương trình là: − ;+∞    Ví dụ 2: Giải BPT: x + − − x ≤ − x (1) Phân tích : Nếu dùng hệ phép biến đổi tương đương chuyển vế để hai vế bất phương trình không âm bình phương hai vế ta bất phương trình dạng Giải: 1 − x ≥ 1 − x ≥  x + ≤ − x + − 2x ⇔  x+4≥0  x + ≤ − x + − 2x  (1) ⇔ ( )  − ≤ x ≤ ⇔ 2 x + ≤ x − x +   − ≤ x ≤   − ≤ x ≤  x < −    ⇔ 2 x + < ⇔  ⇔ −4 ≤ x ≤   2 x + ≥   x ≥ −   2  2 x − x + ≥ ( x + 1)     − ≤ x ≤  Vậy tập nghiệm:S = [-4; 0] * Chú ý : học sinh dễ mắc sai lầm để nguyên bất phương trình (1) để bình phương không bất phương trình tương đương Kỹ khai 2.1 Đưa biểu thức thức : *  A( A ≥ 0) A2 = A =  − A( A < 0) A2n = A * 2n * n +1 A n +1 = A 2.2 Lưu ý : Nhiều học sinh không để ý đến biểu thức lúc nghĩ đến việc lũy thừa hai vế Trong trường hợp biểu thức dạng đẳng thức không nên lũy thừa hai vế mà nên áp dụng cách đưa biểu thức 2.3 Ví dụ :Giải BPT : x + x − + x − x − > (1) ⇔ x − + x − + + x − − x − + > ⇔ ( ) x −1 +1 + ( ) x −1 −1 > 3 x ≥  ⇔  x − + + x −1 −1 > (2) * Với x − − ≥ ⇔ x − ≥ ⇔ x ≥ thỏa mãn bpt (2) Vậy trường hợp tập ngiệm T1=[2 ;+ ∞) x ≥ ⇔ ≤ x < bpt (2) trở thành : x − < * Với x − − < ⇔  x −1 +1+1− x −1 > 3 ⇔ > (luôn đúng) 2 Vậy tập nghiệm (1) trường hợp T2 =[1 ;2) KL : Tập nghiệm (1) T= T1 ∪ T2 = [1;+∞) * Chú ý : Bài ta giải phương pháp bình phương hai vế Kỹ chia điều kiện Nếu toán có điều kiện x ∈ D mà D = D1 ∪ D2 ∪ ∪ Dn ta chia toán theo n trường hợp sau : +) Trường hợp 1: x ∈ D1 , giải bất phương trình ta tìm tập nghiệm T1 +) Trường hợp 2: x ∈ D2 , giải bất phương trình tìm tập nghiệm T2 ………………………………… +) Trường hợp n: x ∈ Dn , giải bất phương trình tìm tập nghiệm Tn Tập nghiệm bất phương trình T = T1 ∪ T2 ∪ ∪ Tn Cần phải xác định giao, hợp tập R thành thạo Các ví dụ: − 3x + x + + 7 x − x > (2)  4 Kết hợp (1) (2) ta có tập nghiệm T1 =  ;   3 * Với − ≤ x < (1) Tập nghiệm trường hợp T2 = [-1 ;0)   Vậy tập nghiệm (1) T = T1 ∪ T2 =  ;  ∪ [ − 1;0)  3 Ví dụ : Giải BPT : x − x + 15 + x + x − 15 > x − 18 x + 18 (2)  x ≤ −5  Giải : Điều kiện :  x =  x ≥ Nhận thấy x = không thỏa mãn bất phương trình Nếu x ≥ bất phương trình (2) tương đương ( x − 3)( x − 5) + ( x − 3)( x + 5) > ( x − 3)(4 x − 6) ⇔ Giải bất phương trình tìm x > x − + x + > 4x − 17 Nếu x ≤ −5 Bất phương trình (2) tương đương (3 − x)(5 − x ) + (3 − x )(− x − 5) > (3 − x )(6 − x) ⇔ − x + − x − > − 4x Bất phương trình vô nghiệm Vậy tập nghiệm bất phương trình S = ( Ví dụ : Giải bất phương trình : 17 ;+∞) x−3 x + − x +1 ≥ 4− x x Phân tích : Ta thấy bất phương trình phức tạp mặt hình thức Vậy điều giảm độ phức tạp Mẫu thức có dạng (ax + b +c dx + e ) thấy hình thức phức tạp nên thử xem nhân liên hợp có không ? Nhận thấy x + − x + = ( x + 3) − 9( x + 1) x + + x +1 = x( x − 3) x + + x +1 Đến hai vế bất phương trình xuất x ta có cách giải sau − ≤ x ≤  x ≠ Giải : ĐK  x ≠  Với đk bất phương trình cho tương đương với : x−3 4−x ≥ x + + x +1 − x x ⇔ ≥ ( x + 3) − 9( x + 1) x x x + + x +1 x + + x +1 − − x ≥ (1) x Nếu < x ≤ x ≠ x +3 +3 x + − − x > + + − = ⇔ ⇒ x + + x +1 − − x ≥ ⇒ (1) thỏa mãn x Nếu -1 ≤ x < x + + x + − − x < ⇔ x + + x +1 − − x ≥0 x (1) thỏa mãn Vậy tập nghiệm bất phương trình ban đầu S = [ − 1;4] \ { 0;3} Kỹ phân tích thành nhân tử đưa bất phương trình tích 4.1 Bất phương trình tích : Chú ý đến hai bất phương trình dạng sau :  f ( x) >   g ( x) > * f ( x) g ( x) > ⇔   f ( x) <   g ( x ) < *)f(x).g(x) ≥    f ( x) =  f ( x) > ⇔   g ( x) ≥   f ( x) <  gx) ≤ 4.2 Các ví dụ Ví dụ 1: Giải BPT : x − 1( 3x − x + 1) − 3x − ≥ (1) Giải: Điều kiện : x ≥ 1(*) (1) x − + 3x x − + x − − x x − − 3x − x ≥ ⇔ ⇔ ( ( ) ( ) x − x − + 3x + − x x − + 3x + ≥ x −1 − x )( ) x − + 3x + ≥ ⇔ x − − x ≥ (do x − + x + > x ≥ ) ⇔ x − ≥ x ⇔ x − ≥ x ⇔ x − x + ≤ (vô nghiệm) Vậy BPT cho vô nghiệm Ví dụ : Giải bất phương trình (x2 – 3x) 3x − ≥ Phân tích: Với bất phương trình dạng f(x).g(x) ≥ học sinh thường  f ( x) ≥  f ( x) ≤   g ( x) ≥  g ( x) ≤ mắc phải sai lầm đưa đến hệ tương đương  Giáo viên phải hướng dẫn học sinh để đưa cách giải Với toán điều kiện xác định x ≥ 2 Khi x = bất phương trình 3 thừa số tích dương ta có cách giải sau Giải: Điều kiện : x ≥ Nếu x = Bất phương trình nghiệm x ≤ Với x > Bất phương trình tương đương x2 – 3x ≥ ⇔  x ≥ Khi x > Kết hợp điều kiện ta x ≥   Vậy tập nghiệm bất phương trình S =    [ 3;+∞) 3 Ví dụ : x ( x + 2) ( x + 1) − x ≥1 Phân tích : Khi gặp phải bất phương trình có chứa ẩn mẫu nhiều học sinh hoang mang ta chưa xác định dấu mẫu Đối với toán việc xác định dấu mẫu đơn giản Ta cần có điều kiện x ≥ Với điều kiện x ≥ ( x + 1) − x > Do ta có cách giải sau Giải : Điều kiện x ≥ Khi x ≥ ta có ( x + 1) − x > Do bất phương trình cho tương đương với x( x + 2) ≥ ( x + 1) − x ⇔ x + x ≥ x + x + x + − 2( x + 1) x( x + 1) ⇔ x + x + x + − 2( x + 1) x + x ≤ ⇔ ( x + 1)( x + x + − x + x ) ≤ Vì x ≥ nên x + 1>0 Khi x + x + − x + x ≤ ⇔ ( x + x − 1) ≤ ⇔ x2 + x = ⇔ x = −1± Kết hợp điều kiện ta có nghiệm bất phương trình x = −1+ 5 Kỹ nhân chia liên hợp : 5.1 Cách giải: +) Tìm giá trị x làm cho hai vế bất phương trình Hướng dẫn học sinh nhẩm nghiệm ghi biểu thức lên máy để tìm nghiệm +) Nếu x = a giá trị làm cho hai vế biểu thức bất phương trình phải xuất nhân tử chung (x – a) 5.2 Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải BPT : x + 15 < 3x − + x + (1) Giải: Ta có (1) ⇔ x + 15 − x + < 3x − ⇔ x + 15 − x − < 3x − ⇔ x + 15 + x + Từ (2) ta có 3x − > ⇔ x > x + 15 + x − < 3x − (2) * Mặt khác: (1) ⇔ x + 15 − < x − + x + − ⇔ 2  x +1 ⇔ ( x − 1)  −3− x + 15 +  * Lại có : Vì x > ⇒ x +1 nên x +1 x2 −1 x + 15 + < 3( x − 1) + x2 −1 x2 + +   < (3)  x2 + +  x +1 x + 15 + > x + + ⇔ x +1 x + 15 + < x +1 x +8 +3 − −3< x + 15 + x2 + + Vậy (3) ⇔ x − > ⇔ x > Kết luận : BPT (1) có tập nghiệm T = (1;+∞) Ví dụ :Giải bất phương trình x + + x − x + ≤ 3x − Phân tích: Trong phương trình có chứa hai bậc hai, tam thức bậc hai Có thể nhẩm x = giá trị làm cho hai vế bất phương trình Do ta dùng phương pháp liên hợp Giải : Điều kiện x ≥ Bất phương trình tương đương x + − 3x − + x − x − ≤ − 2( x − 2) ⇔ + ( x − 2)( x + 1) ≤ x + + 3x −   −2 ⇔ ( x − 2)  + x + 1 ≤  x + + 3x −  −2 + x +1 x + + 3x − + 3x − Ta có f / ( x) = x + + >0 ⇒ f ( x) ≥ f ( ) >0 ( x + + 3x − 2) Xét f(x) = Do bất phương trình ⇔ x − ≤ ⇔ x ≤   Vậy tập nghiệm bất phương trình T=  ;3 3  * Chú ý: Trong toán này, việc thêm bớt, nhóm số hạng với để xuất nhân tử chung xuất phát từ việc nhẩm x = hai vế BPT Có thể xuất bất phương trình có số khác Ví dụ : Giải bất phương trình x + − x − > x − x − Phân tích: Nhiều học sinh nhìn thấy với bất phương trình có số khác cảm thấy lúng túng ta nghĩ đến phương pháp nhẩm nghiệm để liên hợp Nhận thấy x = giá trị làm cho hai vế bất phương trình Thay x = ta x + = x − = Vì ta thêm bớt số để có cách giải Giải : Điều kiện x ≥ Bất phương trình tương đương với : ( x + − 2) − 2( x − − 3) > x − x   10 ⇔ (x-2)  − − x >  ( x + 6) + 23 x + +  5x − +   Với đk x ≥ biểu thức ngoặc vuông âm Do bất phương trình tương đương x-2 x + x + 11 13 15 x + 2x − + x − 2x − > x − 16 x−3 (3 − x+ + x−3 > 2x x−3 3x − (x − − 4x < x x2 (3 − 10 − 3x − < − x ) − x x − 3x − ≥ 2x + 2x ) < x + 21 3x + − x + ≤ + x 12 x + 3x − 2x − > ( < x + 21 14 4( x + 1) < ( x + 10) − + x 1 + x− ≥ x x x 16 x + x +1 + x x − x +1 ≤ + 2x ) 2 ( 2 ) ) (x ) +1 x II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ - Phương pháp đặt ẩn phụ sử dụng biểu thức bất phương trình có liên quan Đặt biểu thức qua ẩn phụ biểu thức khác phải đươc biểu thị qua ẩn phụ - Chú ý tới điều kiện ẩn - Thông thường phải qua phép biến đổi tương đương xác định biểu thức cần đặt .1 Đặt ẩn phụ thông thường (đưa bất phương trình bất phương trình đa thức) Ví dụ :Giải BPT : x x +1 −2 >3 x +1 x x >0 Giải : Điều kiện :  (*) x −1 Đặt x +1 (t > 0) x t= ( ) BPT (1) trở thành : ⇔ ( t + 1) 2t + t − < ⇔ < t < Vậy 0< − 2t > ⇔ 2t + 3t − < 0(t > 0) t2 x +1 < ⇔ − < x < −1 x    < x + +4 Ví dụ 2: Giải bất phương trình : 5 x + 2x x  Phân tích: Khi bình phương biểu thức x + Vì ta đặt x + x x nhân thêm ta 2x + 2x =t Giải: Điều kiện : x>0 * Đặt t = x + ⇒ t2 = x + x ⇒ t ≥ (theo bất đẳng thức Côsi) 1 + ⇔ 2x + = 2t − 4x 2x t > * BPT (2) trở thành : 5t < 2t − + ⇔  kết hợp với t ≥ ta t > t<  2  2+  x> x> +   2 >2⇔ ⇔ * Khi x +  x 2− 0 < x < − 0 < x <  2  3 KL : Tập nghiệm bất phương trình S = (0 ; − ) ∪ ( + ;+∞) 2 Ví dụ : Giải bất phương trình x − x − + x ≤ x − x − Phân tích : Nhìn vào bất phương trình ta nghĩ đến việc bình phương hai vế liên hợp Nhưng ghi biểu thức bất phương trình lên máy tính cầm tay biểu thức nghiệm hữu tỉ Do việc liên hợp không nên Ta khử bậc hai phương pháp lũy thừa Giải : ĐK x ≥ Với ĐK bất phương trình tương đương: x( x − 2)( x + 1) ≤ x − x − ⇔ ( x − x)( x + 1) ≤ 2( x − x) − 2( x + 1) (1) Vì x ≥ nên x + > ( 1) Đặt t = x − 2x x +1 Vì t ≥ nên t ≥ x − 2x x − 2x ≤2 −2 x +1 x +1 t ≥ ( t ≥ 0) ta có bất phương trình 2t − 3t − ≥ ⇔  t≤−  2  x ≤ − 13 ⇒ x − 6x − ≥ ⇔   x ≥ + 13 Kết hợp ĐK suy nghiệm bất phương trình S = [3 + 13;+∞) Đặt ẩn phụ không hoàn toàn Đó phương pháp đặt ẩn phụ đưa bất phương trình bất phương trình gồm ẩn cũ ẩn Ví dụ : Giải bất phương trình x + (3x − x − 4) x + ≤ 10 Phân tích : Đây bất phương trinh mà nhìn vào biểu thức tương đối phức tạp Nếu đổi ẩn hoàn toàn bất phương trình trở bất phương trình bậc Rõ ràng không dễ mà giải bất phương trình Do ta nghĩ đến phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn Giải : ĐK x ≥ −1 y ≥ Đặt y = x + ⇔  y = x +1 Bất phương trình trở thành x − (3x − y ) y ≤ Nếu y = x = -1 bất phương trình Nếu y > x > - chia hai vế bất phương trình cho y3 ta x y ≤1 x x x x ( ) + 3( ) − ≤ ⇔ ( − 1)( + 2) ≤ ⇔  y y y y x  y = −2  x Nếu y = −2 ⇒ x = −2 x + ⇔ x = − 2 Nếu x 1+ ≤ ⇔ x ≤ x + ⇔ −1 ≤ x ≤ y  Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm bất phương trình T = − 1;  Đặt ẩn phụ đưa hệ Ví dụ : Giải bất phương trình Điều kiện : x ≤ 12 1+    x + 24 + 12 − x ≤ 3 x + 24 = u  x + 24 = u (v ≥ 0) ⇔  Đặt  12 − x = v  12 − x = v u +v = 36(1) Ta có hệ  u +v ≤ 6( 2) (1) ⇔ u = 36 − v ⇔ u = 36 − v Ta có bất phương trình 36 − v + v ≤ ⇔ 36 − v ≤ (6 − v ) ⇔ (v − 6)(v − 3)(v − 10) ≤ ⇔ v ∈ [ 0;3] ∪ [ 6;10] ⇒ x ∈ [ − 88;−24] ∪ [ 3;+∞) Kết hợp đk ta có tập nghiệm bất phương trình T = [ − 88;−24] ∪ [ 3;13] Ví dụ : Giải bất phương trình : x + x + ≤ x2 + (1) Giải: Điều kiện : x ≥ −1 Nhận thấy x = -1 nghiệm bất phương trình (1) ⇔ ( x + 1)( x − x + 2) ≤ ( x − x + 2) + ( x + 1) 11  a = x − x + ≥ Đặt :  b = x + ≥ Có : a − b = x − x + − x − = x − x + = ( x − 1)2 ≥ ⇔ (a − b)(a + b) ≥ ⇔ a ≥ b Khi bất phương trình trở thành : ab ≤ a + b ⇔ 2a − 5ab + b ≥ ⇔ (a − 2b)(2a − b) ≥ ⇔ a − 2b ≥ ⇔ a ≥ 2b Suy : x − x + ≥ x + ⇔ x − x + ≥ x + ⇔ x2 − 5x − ≥   − 33   + 33 ⇔ x ∈  −∞; ; +∞ ÷  U ÷     Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm bất phương trình là:  + 33  ; +∞ ÷ ÷U{ −1}   T=  Đặt ẩn phụ đưa bất phương trình lượng giác Ví dụ : Giải BPT : (1 − x ) Giải : Điều kiện : x ∈ [ 0;1] + x5 ≤ π   * Đặt x = cos t với t ∈ 0;  BPT (1) trở thành : sin t + cos t ≤  2 π   Do sin t ≤ sin t nên sin t + cos t ≤ sin t + cos t = với t ∈ 0;   2 * Do BPT cho có nghiệm x ∈ [ 0;1] Bài tập tự luyện: Giải BPT: 1) x − 3x + + x − 3x + < 2) x + + x − + 49 x + x − 42 < 181 − 14 x 3) x( x − 4) − x + x + ( x − ) < 4) 1− 5) x − x2 −1 + x + x2 −1 ≤ 1 + x− ≥ x x x 6) x + 1− x2 < x 1− x2 7) x + 2x x − 8) x3 35 − x 9) + − x 10) 11) < 3x + x (x + ) 35 − x > 30 > 2x + − x  (1 + x ) −  (x + )( (1 − x )  ≥ )  + 1− x2 x + x + x + 18 ≤ 168 x 12 12) 13) 14) x3 − < 4x + 7x + 1 3x +1 > 1− x 1− x2 − 2x + 2x + + 2x − 2x − 2x + + 2x < III PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Sử dụng bất đẳng thức sử dụng phương pháp vec tơ Kỹ sử dụng BĐT để đánh giá hai vế: 1.1 Bất đẳng thức thông dụng: * Bất đẳng thức Côsi: a + a + a n n ≥ a1 a a n Với a1 ≥ 0, a ≥ 0, , a n ≥ ta có n Dấu “=” xảy a1 = a = = a n * Bất đẳng thức Bunhiacopski : Với a1 , a , , a n , b1 , b2 , , bn ta có : ( a1b1 + a b2 + + a n bn ) ≤ ( a12 + a 22 + + a n2 )(b12 + b22 + + bn2 ) a a a n Dấu « = » xảy b = b = = b n 1.2 Các ví dụ : Ví dụ : Giải BPT : + x + − x ≤ − x2 1 + x ≥ ⇔ −1 ≤ x ≤ (*) 1 − x ≥ Giải : Điều kiện :  Khi ( 1) ⇔ + x + − x + − x ≤ − x + ( ) x4 16 x4 ⇔ 1− x − 1− x +1 + ≥0⇔ 16 2 ( ) x4 1− x −1 + ≥0 16 2 Điều với x thỏa mãn điều kiện (*) Vậy nghiệm BPT x ∈ [ − 1;1] Ví dụ : Giải BPT : x− x ( ) 1− x2 − x +1 ≥ (2) Giải : Điều kiện: x ≥ (*) * Ta có: 2( x − x + 1) = x + ( x − 1) + > ⇒ − 2( x − x + 1) < Vậy (2) ⇔ x − x ≤ − 2( x − x + 1) ⇔ 2( x − x + 1) ≤ − x + x (3) Mặt khác: Theo BĐT bunhiacopski ta có: ( ) x2 − x +1 = (1 + 1) (1 − x ) + (  ) x  ≥ − x + x (4)  13 1 − x = x (1 − x ) = x 3− ⇔ ⇔x= * Dấu xảy  1 − x + x ≥ 1 − x ≥ Ví dụ 3: Giải bất phương trình sau: x − Giải : Điều kiện x ≥ x +1 + < 2x − + ( x + 1) Áp dụng bất đẳng thức Bunhicỗpki ta có x +1 x +1  x +1  ( x + 1) ≤ x − + ( ) = x− + 2x − + = x − +1   4 2 x +1 ⇔ x − x + 24 = phương trình vô nghiệm Vậy nghiệm bất phương trình x ≥ Đẳng thức xảy ⇔ x − = Kỹ sử dụng tích vô hướng hai vectơ 2.1 Định nghĩa: u.v = u v cos(u, v) a) Biểu thức tọa độ tích vô hướng: +) Trong hệ tọa độ Oxy, u = ( x; y ), v = ( x' ; y ' ) u.v = x.x'+ y y ' +) Trong hệ tọa độ Oxyz, u = ( x; y; z ), v = ( x' ; y ' ; z ' ) u.v = x.x'+ y y '+ z.z ' b) u.v ≤ u v Dấu xảy u, v phương c) u + v ≤ u + v Dấu xảy u, v hướng 2.2 Ví dụ: Ta quay lại thi ĐH-A-2010: Giải BPT x− x ( ) 1− x2 − x +1 ≥ (1) Giải: Điều kiện: x ≥ Do 2( x − x + 1) = (2 x − x + >1 nên bất phương trình (1) tương đương với x − x ≤ − 2( x − x + 1) ⇔ 2( x − x + ≤ (1 − x) + x (2)  Trong mặt phẳng tọa độ lấy a = (1 − x; x) , b = (1;1) Khi đó: ( ) a.b = − x + x ; a b = x − x + Vậy (2) trở thành a b ≤ a.b Điều xảy 1 − x = k k > cho: a = k b ⇔   x =k ⇒x= a, b hướng tức tồn 3− Nhận xét: Ta xây dựng lớp toán tương tự cách lấy vectơ thích hợp 14 IV PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG CHIỀU BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ Giả sử hàm số f đơn điệu D, u(x) v(x) có miền giá trị tập D Khi ta có : f (u ( x)) < f (v( x)) ⇔ u ( x) < v( x) u ( x) > v( x) (Tương tự cho dấu ≤, ≥, > ) Các ví dụ Ví dụ 1: Giải BPT : ( x + 3) x + + ( x − 3) − x + x ≤ x + ≥ ⇔ −1 ≤ x ≤ (*) 1 − x ≥ Giải : Điều kiện :  * Khi (1) ⇔ ( x + 1) x + + ( x + 1) + x + ≤ (1 − x ) − x + (1 − x ) + − x ⇔ ( ) ( x +1 + ) x +1 + x +1 ≤ ( ) ( 1− x + 1− x ) + − x (2) * Xét hàm số f (t ) = t + t + 2t với t ≥ : Có f ' (t ) = 3t + 2t + > 0∀t ≥ nên f (t ) hàm đồng biến [ 0;+∞) * Mặt khác : (2) ⇔ f ( x + 1) ≤ f ( − x ) ⇔ x + ≤ − x ⇔ x + ≤ − x ⇔ x ≤ kết hợp với điều kiện (*) ta : − ≤ x ≤ Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = [ − 1;0] Ví dụ 2: Giải bất phương trình x − x + − x − x + 11 > − x − x − (1) Giải : Điều kiện : ≤ x ≤ (1) ⇔ x − x + + x − > − x + x − x + 11 ⇔ ( x + 1) + + x − > (3 − x) + + − x Xét hàm số : f (t ) = t + + t Ta có : f '(t ) = t t2 + + t > 0∀t ∈ [ 1;3] Nên f(t) đồng biến, suy f( x-1) > f(3 - x) ↔ x – > – x ↔ x > Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm bất phương trình : T = ( ; 3] Một số Bài tập tự luyện : Giải BPT : 1, − x + − 1  ≥ 4−x +  x x  2, x + x + x − ≥ 3x + x + 3, x x + + − x ≤ x + 4, x − x + + x − 10 x + 50 ≥ 5, 6, ( − x ) x − + − x ≤ 40 − 34 x + 10 x − x x − + − x > x − x + 11 7, − x + − 9, 11, 1  ≥ 4−x +  x x  x + + x − + 50 − x ≤ 12 x − + − x > x − x + 11 8, x−9 x − 100 x − 40 x + 40 ≥1 10, x + x + x − ≥ 3x + x + 12, ( − x ) x − + − x ≤ 40 − 34 x + 10 x − x 15 D KIỂM NGHIỆM Khi chưa thực đề tài này, trình giảng dạy thấy học sinh hay vướng mắc giải bất phương trình vô tỷ Sau áp dụng đề tài giúp học sinh giải nhiều dạng toán khó bất phương trình vô tỷ Thông qua giải bất phương trình vô tỷ, giúp học sinh rèn luyện khả tư duy, phát huy tính chủ động, tích cực, sáng tạo học toán, giúp em tự tin học tập Thực tế, thực đề tài này, chất lượng môn học nâng lên rõ rệt Kết cụ thể sau: Lớp Số Điểm 8-10 Điểm từ 6,5 Điểm từ Điểm từ Điểm HS đến đến 6,5 đến 12A 45 13.3 13 28.9 22 48.9 9.8 0 12E 45 17.8 15 33.3 19 42.2 6.7 0 Phần thứ ba: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT Bất phương trình vô tỷ dạng toán khó học sinh, giảng dạy phần này, cần lựa chọn phương pháp hợp lý rèn luyện cho học sinh khả tư duy, khả hệ thống kiến thức Cần ý sửa cho học sinh cách trình bầy cách tỷ mỉ Chất lượng học sinh phụ thuộc nhiều vào giảng thầy, dạng toán cần có phân loại hệ thống phương pháp giải Trên số kinh nghiệm rút từ thực tiễn giảng dạy phần bất phương trình vô tỷ Trong khuôn khổ có hạn đề tài không tránh khỏi thiếu sót Rất mong đồng nghiệp trao đổi để nội dung đề tài hoàn chỉnh Xin chân thành cám ơn Thanh Hóa, ngày tháng năm 2015 XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG CAM KẾT KHÔNG COPI Mai Thị Mơ 16 ... này, trình giảng dạy thấy học sinh hay vướng mắc giải bất phương trình vô tỷ Sau áp dụng đề tài giúp học sinh giải nhiều dạng toán khó bất phương trình vô tỷ Thông qua giải bất phương trình vô tỷ, ... thể xuất bất phương trình có số khác Ví dụ : Giải bất phương trình x + − x − > x − x − Phân tích: Nhiều học sinh nhìn thấy với bất phương trình có số khác cảm thấy lúng túng ta nghĩ đến phương. .. 12 26.6 18.0 C GIẢI PHÁP THỰC HIỆN Khi dạy phần bất phương trình vô tỷ hướng dẫn học sinh theo phương pháp sau : I PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Kỹ lũy thừa hai vế 1.1 Một số phép lũy thừa