SKKN Hướng dẫn học sinh giải dạng toán bất đẳng thức với đoạn giá trị của biếnSKKN Hướng dẫn học sinh giải dạng toán bất đẳng thức với đoạn giá trị của biếnSKKN Hướng dẫn học sinh giải dạng toán bất đẳng thức với đoạn giá trị của biếnSKKN Hướng dẫn học sinh giải dạng toán bất đẳng thức với đoạn giá trị của biếnSKKN Hướng dẫn học sinh giải dạng toán bất đẳng thức với đoạn giá trị của biếnSKKN Hướng dẫn học sinh giải dạng toán bất đẳng thức với đoạn giá trị của biếnSKKN Hướng dẫn học sinh giải dạng toán bất đẳng thức với đoạn giá trị của biếnSKKN Hướng dẫn học sinh giải dạng toán bất đẳng thức với đoạn giá trị của biếnSKKN Hướng dẫn học sinh giải dạng toán bất đẳng thức với đoạn giá trị của biếnSKKN Hướng dẫn học sinh giải dạng toán bất đẳng thức với đoạn giá trị của biếnSKKN Hướng dẫn học sinh giải dạng toán bất đẳng thức với đoạn giá trị của biếnSKKN Hướng dẫn học sinh giải dạng toán bất đẳng thức với đoạn giá trị của biếnSKKN Hướng dẫn học sinh giải dạng toán bất đẳng thức với đoạn giá trị của biến
MỤC LỤC ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Đối tượng phạm vi nghiên cứu 1.3 Mục tiêu, nhiệm vụ nghiên cứu 1.3.1 Mục tiêu 1.3.2 Nhiệm vụ 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.5 Những đóng góp đề tài PHẦN NỘI DUNG 2.1 Cơ sở khoa học 2.1.1 Cơ sở lý luận 2.1.2 Cơ sở thực tiễn 2.2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu 2.2.1 Thuận lợi 2.2.2 Hạn chế 2.3 Hướng dẫn học sinh giải dạng toán bất đẳng thức với đoạn giá trị biến chương trình tốn THCS 2.3.1 Khái niệm 2.3.2 Tính chất 2.3 Dạng toán áp dụng 2.3.1 Dạng toán tổng quát 2.3.2 Bài tập áp dụng 2.3.3 Bài tập tự luyện 2.4 Kết đạt KẾT LUẬN 3.1 Ý nghĩa sáng kiến 3.2 Khả ứng dụng khai triển Danh mục tài liệu tham khảo 2 2 3 4 4 5 5 6 14 14 15 15 16 Sáng kiến kinh nghiệm: “Hướng dẫn học sinh giải dạng toán bất đẳng thức với đoạn giá trị biến” ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1 Lý chọn đề tài Việc dạy tốn trường THCS ngồi mục đích cung cấp kiến thức cho học sinh, điều đặc biệt dạy cho học sinh cách phân tích, nghiên cứu, tìm tòi đào sâu khai thác, phát triển tốn để tổng quát hóa, khái quát hóa kiến thức Nhưng thực tế, việc học sinh nhìn chung khó khăn, phận học sinh dừng lại việc giải tốn, độ ì tư lớn Bất đẳng thức dạng tốn khó, đa dạng thường xuất nhiều kỳ thi học sinh giỏi toán lớp 8, lớp kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Với mong muốn nâng cao chất lượng giáo dục nói chung, chất lượng dạy học nói riêng phát triển tư sáng tạo, nâng cao khả phát giải vấn đề, đem lại niềm vui hứng thú cho học sinh Tơi xin trình bày kinh nghiệm “Hướng dẫn học sinh giải dạng toán bất đẳng thức với đoạn giá trị biến” chương trình tốn THCS 1.2 Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đề tài tập trung nghiên cứu số toán liên quan đến bất đẳng thức với đoạn giá trị biến phát huy hiệu phương pháp giải tốn cụ thể chương trình tốn 8, Đặc biệt việc bồi dưỡng học sinh giỏi môn tốn lớp 8; ơn thi vào lớp 10 THPT 1.3 Mục tiêu nhiệm vụ nghiên cứu 1.3.1 Mục tiêu: Đề tài trọng nghiên cứu toán liên quan đến bất đẳng thức với đoạn giá trị biến, qua việc phân tích, nghiên cứu, tìm tòi tìm mối quan hệ kiến thức liên quan tốn, để tìm phương pháp giải phù hợp Từ đào sâu, khai thác phát triển toán Giúp em học sinh lựa chọn phương pháp giải tốn có hiệu Học sinh nhận dạng giải dạng toán liên quan đến bất đẳng thức Từ em hứng thú, đam mê với mơn tốn 1.3.2 Nhiệm vụ: - Nghiên cứu chương trình sách giáo khoa, sách tham khảo bất đẳng thức - Tiến hành điều tra tìm hiểu thực tiễn học sinh việc giải toán liên quan đến bất đẳng thức với đoạn giá trị biến - Xác định biện pháp sư phạm để áp dụng phương pháp dạy học phù hợp - Thực nghiệm sư phạm để kiểm định tính khả thi đề tài 1.4 Phương pháp nghiên cứu Thực đề tài này, sử dụng phương pháp nghiên cứu sau: - Phương pháp phân loại toán - Phương pháp phân tích, đánh giá, tổng hợp - Phương pháp thực nghiệm giáo dục để kiểm định tính khả thi đề tài 1.5 Những đóng góp đề tài Trong thực tiễn có nhiều tài liệu liên quan đến “Bất đẳng thức với đoạn giá trị biến”, học sinh làm quen theo số tập đơn lẻ theo khối lớp, chưa có phương pháp giải cụ thể dạng toán Với đề tài học sinh có cách nhìn tổng quan, hiểu sâu chất có phương pháp vận dụng tốt để giải toán Nhằm nâng cao chất lượng học tập học sinh Đây nguồn tài liệu tham khảo bổ ích cho đội ngũ giáo viên giảng dạy trực tiếp bồi dưỡng học sinh giỏi nhằm nâng cao chất lượng dạy học giáo dục toàn diện PHẦN NỘI DUNG 2.1 Cơ sở khoa học 2.1.1 Cơ sở lý luận Trong chương trình tốn phổ thơng bất đẳng thức phần quan trọng Nó có mặt tất mơn số học, hình học, đại số Vì tốn bất đẳng thức ngày quan tâm mức tỏ có sức hấp dẫn mạnh mẽ tính độc đáo phương pháp giải chúng Học sinh tiếp cận bậc tiểu học mức độ đơn giản, so sánh hai số hay hai biểu thức số Lên trung học học sinh học cụ thể khái niệm bất đẳng thức tính chất chương trình tốn lớp Nhưng việc vận dụng tính chất bất đẳng thức vào giải tốn để em trình bày lơgic, vấn đề mà khơng phải học sinh thực Vậy làm để thơng qua học tốn để giúp em nắm kiến thức rèn luyện phương pháp giải Qua hình thành cho em tư duy, tích cực độc lập sáng tạo, nâng cao khả phát giải vấn đề, rèn luyện kỹ vận dụng vào thực tiễn đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh 2.1.2 Cơ sở thực tiễn: Qua trình dạy học, bồi dưỡng học sinh giỏi thường có nhiều dạng tốn khó, có nhiều tốn với lời giải đặc thù riêng Mặc dù trình học tập học sinh, có tài liệu để hỗ trợ, gặp dạng toán liên quan đến bất đẳng thức học sinh thường lúng túng gặp khó khăn Có nhiều em sau đọc kỹ đề mà khơng biết định hình lời giải đâu Là giáo viên trực tiếp giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi Tơi tìm hướng giải có hiệu cho thân, cho học sinh triển khai chuyên đề bất đẳng thức Khi giáo viên phân tích, hướng dẫn học sinh cách nhìn tốn, mối liện hệ yếu tố tốn học sinh có lời giải nhanh giải tập liên quan Đồng thời thơng qua giúp em biết phân tích, tìm tòi, phát triển tốn ban đầu nhiều toán khác 2.2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu 2.2.1 Thuận lợi: - Hiện nay, điều kiện học tập học sinh điều kiện dạy học giáo viên cải thiện rõ rệt Cùng với phát triển chung xã hội, người giáo viên học sinh có điều kiện tiếp thu với nhiều nguồn thông tin, nhiều nguồn tư liệu phong phú phương tiện dạy - học đại, - Sự quan tâm cấp, ngành tạo điều kiện thuận lợi cho hoạt động dạy - học giáo viên học sinh - Nhiều giáo viên có nhiệt huyết với cơng tác dạy học, tích cựu đổi phương pháp dạy học để không ngừng nâng cao chất lượng môn 2.2.2 Hạn chế - Trên thực tế tài liệu viết “Bất đẳng thức” nhiều cụ thể viết phương pháp giải dạng toán bất đẳng thức với đoạn giá trị biến hầu hết tập dạng đơn lẻ, nhiều giáo viên gặp khó khăn gặp dạng toán để dạy cho học sinh cách có hệ thống - Đối với nhiều học sinh + Khơng nắm phần lí thuyết học nắm nội dung học cách thụ động, nên q trình làm tập gặp nhiều khó khăn, lúng túng + Khơng chịu đề cập tốn theo nhiều hướng khác nhau, khơng sử dụng hết kiện toán + Không biết vận dụng vận dụng chưa thành thạo phương pháp suy luận giải tốn, khơng biết sử dụng toán giải mẫu áp dụng phương pháp giải cách thụ động + Không chịu suy nghĩ tìm cách giải khác cho tốn hay mở rộng lời giải tìm cho tốn khác, hạn chế việc rèn luyện lực giải toán + Việc đầu tư cho thời gian tự đọc sách tham khảo em học sinh 2.3 Hướng dẫn học sinh giải dạng toán bất đẳng thức với đoạn giá trị biến chương trình tốn THCS 2.3.1 Khái niệm Ta gọi hệ thức dạng a b (hay a b ; a �b ; a �b ) bất đẳng thức gọi a vế trái, b vế phải bất đẳng thức 2.3.2 Tính chất a b � b a Tính bắc cầu: a b; b c � a c Cộng hai vế bất đẳng thức với số: a b � a c b c Nhân hai vế bất đẳng thức với số: a b; c � ac bc a b; c � ac bc Bổ sung: Cộng vế hai bất đẳng thức chiều, bất đẳng thức a b; c d � a c b d chiều bất đẳng thức cho : Trừ vế hai bất đẳng thức ngược chiều, bất đẳng thức chiều bất đẳng thức thứ : a b; c d � a c b d Nhân vế hai bất đẳng thức chiều mà hai vế không âm ta bất đẳng thức chiều : a b �0; c d �0 � ac bc Nâng lên lũy thừa bậc nguyên dương hai vế bất đẳng thức ta bất đẳng thức chiều : a b � an bn ; a b � a n b n với n lẻ; a b � a n b n với n chẵn So sánh hai lũy thừa số với số mũ nguyên dương: Nếu m n a � a m a n ; a � am an ; a � am an 2.3 DẠNG TỐN ÁP DỤNG 2.3.1 Dạng tốn tổng qt Cho số a; b; c; thỏa mãn điều kiện: a; b; c; � m; n Chứng minh bất đẳng thức: Phương pháp giải: Với điều kiện toán cho a; b; c; � m; n ta có m �a �n ; m �b �n ; ; Từ ta suy nghĩ đến bất đẳng thức: a m �0 ; a n �0 ; b m �0 ; b n �0 ; c m �0 ; c n �0 ; Từ bất đẳng thức dựa vào bất đẳng thức cần chứng minh, tìm mối liên quan để xác định dấu tích cần lập Ví dụ (a m)(a n) �0 ; (b m)(b n) �0 (a m)(b m) �0 ; (a n)(b n) �0 (a m)(b m)(c m) �0 ; (a n)(b n)(c n) �0 2.3.2 Bài toán áp dụng Bài toán 1: Gọi a ; b ; c số thỏa mãn điều kiện: a b c �0 a; b; c � 2; 336 Chứng minh: a b c �2016 Phân tích tốn Từ điều kiện: a; b; c � 2; 336 suy 2 �a; b; c �336 Theo cách phân tích 2.3.1 ta nghĩ đến bất đẳng thức: a �0 ; a 336 �0 b �0 ; b 336 �0 c �0 ; c 336 �0 Bất đẳng thức cần chứng minh là: a b2 c �2016 Vấn đề đặt làm xuất hạng tử a ; b2 ; c ta nghĩ đến việc xác định dấu tích (a � 2)( a 336) a 334a 672 xuất hạng tử a2 Tương tự ta có: b �334b 672; c �334c 672 xuất hạng tử b ; c � a b2 c �334(a b c ) 2016 Kết hợp với điều kiện a b c �0 suy bất đẳng thức cần chứng minh Lời giải Ta có a; b; c � 2; 336 � a �0 a 336 �0 � (a 2)(a 336) �0 � a 334a - 672 �0 a 334a 672 Tương tự ta có: b �334b 672 c �334c 672 � a b2 c �334a 334b 334c 672 672 672 � a b2 c �334(a b c ) 2016 Mà a b c �0 nên a b c �2016 �� a 2 �� a 336 �� (a 2)(a 336) � � b 2 � � � (b 2)(b 336) �� � � �� b 336 Dấu “=” xẩy � � (c 2)(c 336) � � c 2 �� � abc 0 � � �� c 336 � �a b c Dấu “=” không xẩy Khai thác toán: Từ điều kiện tốn ta thay đổi điều kiện đoạn giá trị biến điều kiện tổng a b c ta có tốn tương tự sau: Bài Cho số a ; b ; c số thỏa mãn điều kiện: a b c a; b; c � 1; 2 Chứng minh: a b c �6 Bài Cho số a ; b ; c số thỏa mãn điều kiện: a b c a; b; c � 0; 2 Chứng minh: a b c �6 * Nếu ta thay đổi điều kiện đoạn giá trị biến điều kiện hệ số tổng a + b + c ta có tốn sau: Bài Cho số a; b; c � 2; 4 thỏa mãn điều kiện: a 2b 3c �6 Chứng minh bất đẳng thức: a 2b 3c �60 Đẳng thức xẩy ? Lời giải Từ a; b; c � 2; 4 ta có: a �0 ; a �0 � (a 2)(a 4) �0 � a 2a �0 a 2a (1) Tương tự ta có: b �2b 8; c �2c 2b 4b 16; 3c �6c 24 (2) 2 Từ (1) (2) suy a 2b 3c �2(a 2b 3c) 48 Mà a 2b 3c �6 nên a 2b 3c �2.6 48 � a 2b 3c �60 �� a 2 �� a4 �� � a b 2 � ( a 2)( a 4) � � b 2 � � � � c4 (b 2)(b 4) � � � � � � �� � b Dấu “=” xẩy � � � � (c 2)(c 4) ab4 � � � � c � � � � a 2b 3c c 2 � � � � �� c4 � � a 2b 3c � Bài Cho số a, b, c thỏa mãn �a �2; �b �2;0 �c �2 a b c Chứng minh rằng: a b3 c3 �9 Lời giải Giả sử a max(a, b, c); c min(a, b, c) Vì �a �2; �b �2;0 �c �2 a + b + c � �c �1 �a �2 a� ��� ( a 2)(a 1) a 3�3a -2a 3(3a a2 3a 2) 2a = 7a a 7a (1) � c � c c (2) Nếu �b �1 b �b (3) Từ (1), (2), (3) ta a3 b3 c3 �7a + b + c = 6a �9 Nếu �b �2 tương tự có: b3 �7b (4) Từ (1), (2), (4) ta a3 b3 c3 �7a 7b c 12 21 6c 12 �9 Vậy a b3 c3 �9 Bài Cho số a; b; c � 0; 2 thỏa mãn: a b c Chứng minh: a b c �5 Phân tích tốn Theo cách suy luận toán học sinh suy luận Với a; b; c � 0; 2 a �0 ; a �0 b �0 ; b �0 (1) c �0 ; c �0 Xét dấu tích a (a 2) �0; b(b 2) �0; c(c 2) �0 a2 2a; b �2b; c �2c � a b c �2(a b c ) 2.3 � sai Vậy phải làm Ta cần ý sử dụng tới điều kiện ban đầu toán cho: a b c � a b2 c 2(ab bc ac) chuyển toán dạng sau: ab bc ac �2 Do cần nghĩ tới việc làm để xuất hạng tử ab, bc, ac từ bất đẳng thức (1) Vậy dấu tích cần lập là: (a 2)(b 2)(c 2) �0 � abc 2(ab bc ac ) 4(a b c ) �0 � 2(ab bc ac) �4 abc �4 Từ suy bất đẳng thức cần chứng minh Lời giải Vì a; b; c � 0; 2 nên (a 2)(b 2)(c 2) �0 � abc 2(ab bc ac ) 4(a b c ) �0 � 2(ab bc ac) �4( a b c) abc Nên 2(ab bc ac) �4 (vì a b c abc �0 ) Suy a b c (a b c ) �4 � a b c �5 (vì a b c ) (a 2)(b 2)(c 2) � abc � Dấu “=” xẩy � � Trong số a, b, c có số 2, số số Từ cách giải ta xác định cách giải toán sau: Bài toán Cho số a; b; c � 0;1 Chứng minh rằng: a(1 b) b(1 c) c(1 a) �1 Phân tích tốn Sau làm quen với toán học sinh suy luận tìm hướng giải sau: Từ a; b; c � 0;1 ta có a �0; b �0; c �0 Từ vế trái bất đẳng thức cần chứng minh a(1 b) b(1 c) c(1 a) a b c (ab bc ac) Làm để xuất hạng tử a, b, c, ab, bc, ac Vậy ta có: (a 1)(b 1)(c 1) �0 � abc (a b c ) (ab bc ac ) �0 đến toán giải Lời giải Ta có: a(1 b) b(1 c) c(1 a ) a ab b bc c ac a b c ab bc ac Vì a; b; c � 0;1 nên a �0; b �0; c �0 � (a 1)(b 1)(c 1) �0 � abc (a b c ) (ab bc ac ) �0 ۳ a � b c (ab bc ac) abc a b c ab bc ac (vì abc �0 ) ۳ a (1 b) b(1 c) c (1 a) � a (1 b) b(1 c ) c(1 a) �1 (1 a )(1 b)(1 c) � Dấu “=” xẩy � � abc � Trong số a, b, c có số số Khai thác tốn Từ tốn ta có: a(1 b) b(1 c ) c (1 a ) a ab b bc c ac a b c ab bc ac a; b; c � 0;1 nên áp dụng kiến thức bổ sung a n �a; b n �b; c n �c với n nguyên dương Do ta thay hạng tử tổng a + b + c thành lũy thừa, từ phát triển thành tốn sau: Bài Cho số a; b; c � 0;1 Chứng minh rằng: a b c3 ab bc ac �1 Lời giải Vì a; b; c � 0;1 nên a �0;1 b �0;1 c �0 � (1 a)(1 b)(1 c) �0 � (a b c) (ab bc ac) abc �0 ۳ a � b c (ab bc ac) abc a b c ab bc ac (vì abc �0 ) (1) Vì a; b; c � 0;1 nên suy b �b; c3 �c a b c ab bc ac �a b c ab bc ac (2) Từ (1) (2) suy a b c3 ab bc ac �1 Vì a; b; c � 0;1 ta có a �0;1 b �0;1 c �0 Vì �a �1;0 �b �1;0 �c �1 theo kiến thức bổ sung a �a; b �b; c �c nên a(1 b) �a (1 b); b(1 c) �b (1 c); c(1 a) �c (1 c) Từ ta có tốn sau Bài Cho số thực a, b, c thỏa mãn �a �1;0 �b �1;0 �c �1 Chứng minh a b c �1 a 2b b 2c c a Lời giải Ta có �a �1; �b �1; �c �1 � a �0; b �0; c �0 a �a; b �b; c �c nên a (1 b) �a (1 b); b(1 c ) �b (1 c); c(1 a ) �c (1 a ) � a ab �a a 2b; b bc �b b 2c; c ac �c c a � a b2 c (a 2b b 2c c a ) �(a b c ) (ab bc ac ) (1) Mà (1 a)(1 b)(1 c) abc �0 (Vì a �0; b �0; c �0 abc �0 ) (a b c) (ab bc ac) (2) Từ (1) (2) suy a b c �1 a 2b b2c a 2c 10 Bài Cho số thực a, b, c thỏa mãn �a �1;0 �b �1;0 �c �1 Chứng minh 2(a b3 c ) �3 a 2b b 2c c a Lời giải Từ �a �1; �b �1; �c �1 a; a �1; �b; b �1; �c; c �1 � a �0; b �0; c �0; a �0; b �0; c �0 � (1 a )(1 b) (1 b )(1 c) c (1 a) �0 � a 2b b c c a �a b c a b c �2(a b c ) (Vì a �a; a �a ; b3 �b; b3 �b2 ; c �c; c �c ) � 2( a b3 c ) �3 a 2b b 2c c a Bài Cho số a, b, c thỏa mãn �a �2; �b �2 Chứng minh a b ab �a b Lời giải Từ �a �2; �b �2 ta có bất đẳng thức a �0; a �0; b �0; b �0; c �0; c �0 Nên (a 1)( a 2) �0 � � (b 1)( �b 2) � � (a 2)(b 2) �0 � � a �3a �2 b 3b � � ab �4 2a 2b � � a b ab �a b ab a b � nên phát biểu dạng khác: Từ ta có 2 a ab b ab ab �1 Bài 4.1 Cho �a �2 �b �2 Chứng minh rằng: a ab b Bài 4.2 Cho �a �2 �b �2 Tìm giá trị lớn nhỏ biểu ( a b) thức: P 3 a b Bài toán Cho a, b, c số dương nhỏ Chứng minh số a (2 b); b(2 c); c (2 a) khơng thể đồng thời lớn Phân tích toán Với dạng toán học sinh thường nghĩ đến phương pháp phản chứng Giả sử a(2 b) 1; b(2 c) 1; c(2 a) Vì a; b; c ta nghĩ đến bất đẳng thức a 0; b 0; c Mà a (2 a) không đổi nên a(2 a) �1 � a a � a Tương tự: b(2 b) �1 � b b � b c(2 c) �1 � c c � c 11 Từ ta có abc(2 a)(2 b)(2 c) �1 � toán giải Lời giải: Giả sử a(2 b) 1; b(2 c) 1; c(2 a) � abc(2 a )(2 b)(2 c) (1) Vì a; b; c nên a 0; b 0; c Mà a (2 a) không đổi nên a(2 a) �1 � a a � a Tương tự b(2 b) �1 � b b � b c(2 c) �1 � c c � c Vậy abc(2 a)(2 b)(2 c) �1.1.1 hay abc(2 a)(2 b)(2 c) �1 (2) Dấu “=” xẩy � a b c Ta thấy (1) (2) mâu thuẫn nhau, số a(2 b); b(2 c); c(2 a) đồng thời lớn Khai thác toán Ta phát biểu tốn dạng khác sau: Cho a, b, c số dương nhỏ Chứng minh có bất đẳng thức sau sai a (2 b) ; b(2 c ) ; c (2 a) Bài tập tương tự Bài Cho a, b, c số dương nhỏ Chứng minh có bất đẳng thức sau sai a (1 b) ; b(1 c) ; c(1 a) Bài Cho số a, b, c, d Chứng minh có bất đẳng thức sau sai 2a (1 b) ; 3b(1 c) ; 8c(1 d ) ; 32d (1 a ) Bài toán Cho số a, b, c thỏa mãn �a �b �c �2 Chứng minh a � b a b b) � b a a b b c c) � b a c b a) Phân tích toán a) (học sinh dễ dàng thực được) b) Vế trái bất đẳng thức cần chứng minh có dạng a b từ điều b a a a a 1 a �1 � �1 mà � � �0 b b b 2 b a b � a� �1 a � Do ta nghĩ đến việc lập dấu tích �2 �� ��0 � � b a � b� �2 b � a b b c c) Từ �a �b �c �2 suy bất đẳng thức �1; �1; �1; �1 b c a b kiện �a �b �2 ta có 12 �1 a b b c �0; �0; �0; �0 b c a b a b b c ; ; ; b a c b a b a � a� � b� 1 � ��0 � �1 Do dấu tích cần lập � � b c c � b� � c� b c c � b� � c� 1 � ��0 � �1 Và � � a b a � a� � b� Vấn đề làm để xuất hạng tử Kết hợp với câu b) suy vấn đề chứng minh Lời giải a) Do �a �b �c �2 nên a �1 ; �b; a � b a a (1) b) Vì �a �b �2 � �1 b b a 1 a mà � � �0 (2) b 2 b � a� �1 a � Từ (1) (2) suy �2 �� ��0 � b� �2 b � a b a ) 2a a a a2 a �1 �0 � � � � (chia hai vế cho b a b b 2b b b b a b b c c) Từ �a �b �c �2 Ta có �1; �1; �1; �1 b c a b a b b c nên �0; �0; �0; �0 b c a b a b a b a � � � � (3) �� 1 � ��0 � �1 � b c c � b� � c� b c c � b� � c� 1 � ��0 � �1 (4) � � a b a � a� � b� 2a b Cộng theo vế (3) (4) ta a b b c �a c � �2 � � b a c b 2 �c a � Khai thác tốn Từ tốn ta có: a b b c a c � ; � b a c b c a �a b b c � �a c � � � � � �� �b a c b � �c a � 2 �1 1 � �a b b c � �a c � Mà a b c � � � � � ��3 10 �a b c � �b a c b � �c a � Ta có tốn phát biểu dạng khác sau Cho số a, b, c thỏa mãn �a �2; �b �2; �c �2 13 1 � � Chứng minh: a b c � ��10 a b c � � 2.3.3 Bài tập tự luyện Bài Cho số a ; b ; c thỏa mãn điều kiện: a b c �0 a; b; c � 1; 671 Chứng minh rằng: a b c �2013 Bài Cho số a; b; c thỏa mãn điều kiện: 2a 3b 4c �1941 a; b; c � 2; 4 Chứng minh rằng: 2a 3b 4c �2013 Bài Cho số a; b; c � 0; 2 Chứng minh rằng: a (2 b) b(2 c) c(2 a) �4 Bài Cho số a; b; c � 0;1 Chứng minh rằng: a b 2013 c 2014 ab bc ac �1 Bài Cho số a;b;c thỏa mãn a , b , c Chứng minh có bất đẳng thức sau sai 1 c (a 1) ; 4 Bài Cho số a;b;c thỏa mãn �a �b �2 Chứng minh rằng: 1� a b � � �� �a b � a (b 1) ; b(c 1) 2.4 Kết đạt được: Trong trình bồi dưỡng học sinh giỏi Khi chưa áp dụng chuyên đề vào thực tế giảng dạy Tôi tiến hành khảo sát đội tuyển học sinh giỏi khối Đa số học sinh lúng túng, nhiều em phải đâu Cụ thể kết khảo sát chất lượng thu trước thực chuyên đề sau: Khối Tổng số hs Giỏi Khá Trung bình Sau áp dụng chuyên đề, thấy việc học học sinh tương đối tốt, em khơng cảm giác lúng túng mà tự tin hơn, bước đầu phá vỡ độ ì tư hình thành cho thói quen giải tốn cho có hiệu quả, số em biết khai thác từ toán bất đẳng thức ban đầu thành toán tương tự toán Số học sinh giỏi tăng lên, số học sinh trung bình giảm Kết khảo sát chất lượng thu sau Khối Tổng số hs Giỏi Khá Trung bình 14 KẾT LUẬN 3.1 Ý nghĩa sáng kiến Khi dạy theo chuyên đề trên, tơi thấy em khơng cảm giác lúng túng, ngại mà say mê hơn, hào hứng Loại tốn giúp em phát triển tư lơgic, khả phân tích tổng hợp, hình thành phẩm chất trí tuệ, óc sáng tạo, linh hoạt làm tốn Qua hình thành cho học sinh thói quen giải tốn để có hiệu Nghiên cứu dạng tốn “Bất đẳng thức” sở, động lực giúp cho thân có thêm hiểu biết Đồng thời tài liệu tham khảo giúp bạn đồng nghiệp, em học sinh yêu thích tự tin gặp tốn có liên quan đến bất đẳng thức có nhiều kinh nghiệm để nâng cao chất lượng dạy học môn 3.2 Phạm vi nội dung ứng dụng sáng kiến Chuyên đề tùy theo mức độ, yêu cầu, đối tượng học sinh lớp 8, lớp Còn bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, học sinh ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT có ý nghĩa quan trọng thiết thực Bất đẳng thức dạng tốn khó, đa dạng Đó vấn đề cần phải tiếp tục nghiên cứu trình giảng dạy, để đưa nhiều phương pháp giải dạng toán bất đẳng thức, bất đẳng thức có điều kiện áp dụng vào dạng tốn tìm cực trị biểu thức, Trên đúc rút kinh nghiệm thực tiễn thân tơi qua tốn gặp qua kinh nghiệm nhiều năm giảng dạy, trăn trở chọn đề tài viết để đồng nghiệp tham khảo Trong trình thực hiện, khơng thể tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, tơi mong nhận đóng góp chân thành Quý thầy cô đồng nghiệp để kinh nghiệm tơi hồn thiên 15 16 Tài liệu tham khảo SGK Toán - NXB Giáo dục Bài tập nâng cao chuyên đề Toán – Tác giả Bùi Văn Tuyên NXB Giáo dục Toán nâng cao phát triển Toán (tập 2) - Tác giả Vũ Hữu Bình – NXB Giáo dục Bộ đề ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT THPT chuyên – NGND Nguyễn Trí Hiệp chủ biên – NXB Đại học quốc gia Hà Nội 23 chuyên đề giải 1001 Bài toán sơ cấp - Tác giả Nguyễn Văn Vĩnh, Nguyễn Đức Đồng số đồng nghiệp (NKTH) - NXB Giáo dục 17 ... viết Bất đẳng thức nhiều cụ thể viết phương pháp giải dạng toán bất đẳng thức với đoạn giá trị biến hầu hết tập dạng đơn lẻ, nhiều giáo viên gặp khó khăn gặp dạng toán để dạy cho học sinh cách... hạn chế việc rèn luyện lực giải toán + Việc đầu tư cho thời gian tự đọc sách tham khảo em học sinh 2.3 Hướng dẫn học sinh giải dạng toán bất đẳng thức với đoạn giá trị biến chương trình tốn THCS... kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh giải dạng toán bất đẳng thức với đoạn giá trị biến ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1 Lý chọn đề tài Việc dạy tốn trường THCS ngồi mục đích cung cấp kiến thức cho học sinh, điều đặc