skkn sử dụng phép vị tự để giải một số dạng bài toán hình học phẳng

Việc nghiên cứu đề tài hướng tới tìm tòi các dạng toán có thểgiải bằng phép vị tự cho phép ta giải một lớp khá phong phú các bài toán ởtrường phổ thông như:  Chứng minh thẳng hàng, song

MỤC LỤC

I Mở đầu

1.1 Lý do chọn đề tài Trang 01 1.2 Mục đích nghiên cứu Trang 01 1.3 Đối tượng nghiên cứu Trang 02 1.4 Phương pháp nghiên cứu Trang 03

II Nội dung sáng kiến

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến Trang 03 2.2.Thực trạng vấn đề nghiên cứu Trang 04 III Giải pháp và tổ chức thực hiện

3.1 Các bài toán liên quan tìm tọa độ ảnh qua phép vị tự Trang 05 3.2 Các bài toán chứng minh song song, vuông góc Trang 06 3.3 Các bài toán chứng minh thẳng hàng, đồng quy Trang 08 3.4 Chứng minh tập hợp điểm cùng thuộc đường tròn Trang 11 3.5 Các bài toán liên quan đến quỹ tích Trang 12 3.6 Các bài toán dựng hình Trang 15 3.7 Các bài toán định lượng Trang 17

IV Kết quả và kinh nghiệm rút ra Trang 20 Tài liệu tham khảo Trang 22 Danh mục các đề tài SKKN đã được hội đồng SKKN xếp loại Trang 23

PHẦN I MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài

Mục tiêu đào tạo của nhà trường phổ thông Việt Nam là hình thành những

cơ sở ban đầu và trọng yếu của con người mới: “Phát triển toàn diện phù hợp với yêu cầu và điều kiện hoàn cảnh đất nước con người Việt Nam”.

Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, ngoài việc cung cấp cho học sinh

hệ thống kiến thức, kĩ năng toán học cần thiết môn Toán còn rèn luyện chohọc sinh đức tính, phẩm chất của người lao động mới: cẩn thận, chính xác, cótính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mỹ

Qua nhiều năm giảng dạy tôi nhận thấy học sinh khối 11 khi học về phép biếnhình nói chung và phép vị tự nói riêng, các em học sinh rất khó tiếp thu vàvận dụng khi giải toán

Nghiên cứu phép vị tự, đồng thời khai thác các ứng dụng của nó giúp chongười giáo viên hiểu sâu về vai trò của phép vị tự trong dạy học toán ở trườngTHPT đồng thời giúp cho các em học sinh có thêm kiến thức cũng như kỷnăng giải toán Việc nghiên cứu đề tài hướng tới tìm tòi các dạng toán có thểgiải bằng phép vị tự cho phép ta giải một lớp khá phong phú các bài toán ởtrường phổ thông như:

 Chứng minh thẳng hàng, song song, đồng quy;

 Chứng minh các hệ thức về lượng;

 Giải lớp các bài toán liên quan đến tỷ số và độ dài;

 Giải lớp các bài liên quan đến tìm quỹ tích, dựng hình

Trước sự khó khăn và tiếp thu của học sinh khi học phần này và đặc biệt làkhả năng vận dụng vào giải các bài toán hình phẳng nên tôi chọn đề tài

nghiên cứu “Sử dụng phép vị tự để giải một số dạng bài toán hình học phẳng”.

1.2 Mục đích nghiên cứu

Khai thác vai trò của phép vị tự trong việc giải các bài toán hình học sơcấp đặc biệt là nghiên cứu cách mở rộng và phát triển các bài toán trong SGKnhằm bồi dưỡng học sinh giỏi toán.

1.3 Đối tượng nghiên cứu

 Học sinh khối 10,11 THPT

 Học sinh khối 12 THPT ôn thi THPT quốc gia và thi học sinh giỏi

 Giáo viên giảng dạy môn Toán bậc THPT

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng phương pháp định tính thông qua đọc và nghiên cứu các tài liệuchuyên khảo và các bài báo nhằm tổng hợp các kết quả cơ sở và chứng minhcác kết quả đối với lớp bài toán được nghiên cứu trong đề tài này

PHẦN II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

 Khi giải một bài toán về chứng minh tính thẳng hàng, song song,đồng qui, tìm quỹ tích hay dựng hình ngoài yêu cầu đọc kỹ đề bài, phân tíchgiả thuyết bài toán, vẽ hình đúng ta còn phải chú ý đến nhiều yếu tố khác như:

Có cần xác định thêm các yếu tố khác trên hình vẽ hay không? Hình vẽ nhưthế có tốt chưa? Có thể hiện được hết các yêu cầu của đề bài hay chưa? Đểgiải quyết vấn đề này ta phải bắt đầu từ đâu? Nội dung kiến thức nào liênquan đến vấn đề được đặt ra, trình bày nó như thế nào cho chính xác vàlôgic… có được như thế mới giúp chúng ta giải quyết được nhiều bài toán màkhông gặp phải khó khăn Ngoài ra chúng ta còn nắm vững hệ thống lýthuyết, phương pháp chứng minh cho từng dạng toán như: Chứng minh thẳnghàng, song song, đồng quy; các bài toán liên quan đến tỷ số và độ dài; các bàiliên quan đến tìm quỹ tích, dựng hình

2.1.1 Định nghĩa phép vị tự : Trong mặt phẳng cho trước một điểm Ovà

số thực k khác 0, phép biến hình biến mọi điểm M thành M ' sao cho'

OM kOM

được gọi là phép vị tự tâm Otỉ số k

Phép vị tự gọi là thuận nếu k > 0, nghịch nếu k < 0

- Kí hiệu: V hay O k V O k Điểm O gọi là tâm vị tự, số k gọi là tỉ số vị tự. , 

- Một phép vị tự hoàn toàn được xác định nếu cho biết tâm O và tỉ số k

- Cho hình H tập hợp ảnh của mọi điểm thuộcH trong phép biến hình

Định lí 2: Phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và

không làm thay đổi thứ tự của ba điểm thẳng hàng đó

Định lí 3: Phép vị tự biến một đường tròn thành một đường tròn.

Hệ quả 1 Phép vị tự biến A thành A’, biến B thành B’ thì đường thẳng

AB và A’B’ song song với nhau hoặc trùng nhau và ' 'A B k AB

Hệ quả 2 Phép vị tự biến một tam giác thành một tam giác đồng dạng với

nó và biến một góc thành một góc bằng nó có các cạnh tương ứng cùngphương

Hệ quả 3 Phép vị tự biến một đường thẳng thành một đường thẳng cùng

phương với nó, biến một tia thành một tia cùng phương với nó

2.2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu.

 Trường THPT Hoằng Hóa 4 đóng trên địa bàn vùng nông thôn khó khăn

về kinh tế, việc học tập và phấn đấu của các em học sinh chưa thực sự được quan tâm từ các bậc học dưới THPT vì vậy kiến thức cơ sở về mônToán của các em hầu hết tập trung ở mức độ trung bình

 Khi chưa áp dụng những nghiên cứu trong đề tài để dạy học giải bài tập hình giải tích cũng như hình học thuần túy trong mặt phẳng, các em thường thụ động trong việc tiếp cận bài toán và phụ thuộc nhiều vào những kiến thức được giáo viên cung cấp chứ chưa ý thức tìm tòi, sáng tạo cũng như tạo được niềm vui, sự hưng phấn khi giải toán

 Kết quả khảo sát ở một số lớp: 11A1, 11A4 và 12A10 trong phần giải bài tập toán về phần hình giải tích và hình học thuần túy trong mặt phẳng cũng như qua tìm hiểu ở các giáo viên dạy bộ môn Toán, chỉ có khoảng 5%- 10% học sinh hứng thú với bài toán này

PHẦN III GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN

Trong phần này chúng tôi sẻ đề cập đến các bài toán về phép vị tự và đặc biệtkhai thác và phát triển các bài toán trong sách giáo khoa và trong các tài liệutham khảo mà chưa được trình bày lời giải bằng phép vị tự

3.1 Các bài toán liên quan tìm tọa độ ảnh qua phép vị tự.

Bài 3.1.1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường thẳng d có phương

trình3x 2y 6 0  Hãy viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d quaphép vị tự tâm O tỉ số k=-2

Do đó phương trình d’ là: 3x+2y+12=0

Cách2: Gọi M’(x’;y’) là ảnh của M(x;y) qua phép vị tự tamO tỉ số k=-2, ta có

1 '

' 2

Bài 3.1.2.([13]) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm

G(1;2) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC Biết đường tròn đi qua ba trung

điểm của ba đoạn thẳng HA, HB, HC có phương trình là:

N P

Tương tự  IJM 90   0 nên M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác IJK

Tương tự ta có N,P cũng thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác IJK

+ Dễ thấy: ABClà ảnh của MNPqua phép vị tự tâm G tỷ số k =-2

 đường tròn ngoại tiếp ABC là ảnh của đường tròn ngoại tiếp MNP

Ta có đường tròn ngoại tiếp MNP có phương trình:

0 4 4 2

3.2 Các bài toán chứng minh song song, vuông góc

Bài toán 3.2.1.([11]) Trên cạnh AB của tam giác lấy các điểm M, N sao

Gọi P, K lần lượt là giao điểm của BB với 1 CN và AA với 1 CM Chứng

minh rằng PK song song với BA.

Nhận xét: Để chứng minh PK//AB ta có thể sử dụng điịnh lý Thales, tuy

nhiên bài toán này ta sử dụng tính chất phép vị tự để chứng minh tồn tại phép

P B

N M

mà AN E' 900  NAN' 90 0 ( Phép vị tự bảo toàn góc).

3.3 Các bài toán chứng minh thẳng hàng, đồng quy

Bài toán 3.3.1 ([9]) Chứng minh trong tam giác ABC bất kì, trọng tâm G,

trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp O thẳng hàng và GH 2GO

(Đường thẳng Ơle )

Nhận xét: Bài toán này trong SKG lớp 10 đã chứng minh dựa vào kiến

thức véc tơ Ở đây ta sử dụng kiến thức phép vị tự để chứng minh.

Chứng minh hệ thức GH=2GO ta dùng phép vị tự tâm G biến điểm O

thành điểm H hoặc ngược lại Dựa vào hình vẽ ta đoán tỉ số vị tự là 2 hoặc 1

2

Bài giải:

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB, ta có:

Phép vị tự bảo toàn tính vuông góc nên

sẽ biến trực tâm của tam giác ABC thànhtrực tâm của tam giác MNP

Theo giả thiết H là trực tâm của tam giácABC và O là trực tâm của tam giác MNP,

Bài toán 3.3.2.([10]) Đường tròn tâm O nội tiếp trong tam giác ABC tiếp

xúc cạnh BC tại D Gọi M là trung điểm của BC, I trung điểm AD

Chứng minh MI đi qua tâm O

Nhận xét: Lời giải của bài toán

này được trình bày dựa vào tam giác

đồng dạng, chúng tôi trình bày lời giải

của bài toán này dựa vào phép vị tự.

Bài giải:

Gọi T là giao điểm của DO với

đường tròn ( )O Từ T kẻ tiếp tuyến a

với đường tròn ( )O Gọi T là giao1

điểm AT với BC

G H

M O A

C F

DT nên OM song song AT 1

Bài toán 3.3.3 Cho tam giác ABC, dựng về phía ngoài tam giác ABC các

tam giác đều ABC BCA CAB Gọi I là điểm Torreceli Chứng minh rằng ba1, 1, 1đường thẳng Euler của ba tam giác IAB IBC ICA, , đồng qui

(Bài toán liên quan đến điểm Torreceli)

Do tứ giác IBAC nội tiếp và tam giác 1 A BC đều nên 1 G là tâm đường2

tròn ngoại tiếp tứ giác IBAC và cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác1

IBC nên theo Euler ba điểm H G G thẳng hàng.1, ,1 2

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

thẳng Euler của tam giác IBC đi

qua G Chứng minh tương tự

đường thẳng Euler của các tam

giác ICA và IAB cũng đi qua trọng

tâm G, do đó ba đường thẳng Euleu của ba tam giác IAB, IBC, ICA đồngquy nhau tại G

3.4 Chứng minh tập hợp điểm cùng thuộc đường tròn

Bài toán 3.4.1 Chứng minh trong tam giác bất kì, 9 điểm gồm: chân ba

đường cao, ba trung điểm của ba cạnh, ba trung điểm các đoạn nối trực tâmvới các đỉnh đều thuộc một đường tròn

(Đường tròn Eurle )

Nhận xét: Bài toán này đã

chứng minh dựa vào kiến thức hình

3 đường cao, 3 trung điểm 3 cạnh, 3

trung điểm các đoạn nối trực tâm với

G 2 G1

A

các đỉnh Gọi A2, B2, C2, M1, N1, P1 lần lượt là các điểm đối xứng với H

qua A1, B1, C1, M, N, P.

Dễ dàng chứng minh được 9 điểm A, B, C, A2, B2, C2, M1, N1, P1 cùng

thuộc đường tròn (S) ngoại tiếp tam giác ABC.

3.5 Các bài toán liên quan đến quỹ tích

Phương pháp thực hiện: Giả sử ta cần tìm quỹ tích những điểm M có

tính chất T Với một phép vị tự V, mỗi điểm M có tính chất T sẽ biến thànhđiểm M’ có tính chất T' và ngược lại, mỗi điểm M’ có tính chất T' sẽ biếnthành điểm M có tính chất T Việc tìm quỹ tích những điểm M’ có tính chất T'thường dễ dàng hơn so với trực tiếp tìm quỹ tích điểm M Khi đó, nếu quỹtích những điểm M’ là hình (H’) thì quỹ tích điểm M sẽ là hình (H), tạo ảnhcủa hình (H’) qua phép vị tự V

Khi dùng phép vị tự để giải bài toán quỹ tích, ta chỉ cần làm phần thuận

vì phép vị tự là phép biến đổi 1-1

Để tìm quỹ tích những điểm M, ta thực hiện theo các bước:

- Bước 1: Chỉ ra phép vị tự thích hợp biến điểm M’ thành điểm M

- Bước 2: Xác định được quỹ tích những điểm M’(dễ dàng)

- Bước 3: Suy ra quỹ tích những điểm M là ảnh của quỹ tích những điểmM’ qua phép vị tự nói trên

Bài toán 3.5.1 ([12]) Cho hai đường tròn ( )O và 1 ( )O cắt nhau tại hai2

điểm A, B phân biệt Đường thẳng di động luôn qua A cắt ( )O và 1 ( )O lần2

lượt tại hai điểm M; N khác A Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng MN

quỹ tích điểm I là đường tròn đường kính AH

Bây giờ ta sẽ giải bài toán này phương pháp sử dụng phép vị tự

EO O F là hình thang vuông Tứ giác AKDI nội tiếp trong một đường tròn,1

đường tròn này chính là tạo ảnh của đường tròn quỹ tích cần tìm qua phép vị

O2

O1

K H

tự 2

A

V nhờ chứng minh được AI 2AI1

Do I thuộc đường tròn đường kính1

AD nên I thuộc đường tròn đường kính AD ảnh của AD qua phép vị tự 1 2

A

V

Bài toán 3.5.2 Cho đường tròn (O) dây AB cố định, M chạy trên đường

tròn (O) Gọi H là trực tâm của tam giác MAB Tìm quỹ tích trực tâm H

Nhận xét: Để giải quyết bài toán này, SGK cũng đã giới thiệu ba cách

giải khác nhau: dùng phép tịnh tiến, phép đối xứng trục và phép đối xứng tâm Bây giờ ta phát triển bài toán này và sử dụng phép vị tự để giải quyết.

Phát biểu bài toán này thành bài toán sau:

Bài toán 3.5.3 Cho đường tròn dây AB cố định , M chạy trên cung AxB.

Gọi H là trực tâm của tam giác MAB Tìm quỹ tích hình chiếu trực tâm H lên

đường phân giác trong của AMB

Bài giải:

Gọi K là trung điểm của cung AB , S

là điểm đối xứng với K qua O, T là điểm

3.6 Các bài toán dựng hình

Phương pháp thực hiện: Để dựng hình (H), ta tiến hành dựng các điểm

của nó Trong mặt phẳng, thông thường một điểm được xác định bởi giao củahai đường Trong hai đường dùng để xác định điểm phải dựng, thường thì mộtđường đã có sẵn trong dữ kiện bài toán, còn đường thứ hai là quỹ tích củanhững điểm có một tính chất hình học đặc trưng nào đó, và được suy ra từmột đường đã cho trong bài toán bởi một phép vị tự Phép vị tự này đượcphát hiện nhờ việc phân tích cụ thể nội dung bài toán

Vậy để giải một bài toán dựng hình bằng phương pháp sử dụng phép vị

tự, ta thực hiện theo 4 phần: Phân tích – Dựng hình – Chứng minh – Biệnluận

Trong phần phân tích để dựng hình ta thực hiện theo các bước sau:

- Bước 1: Ta tìm một phép vị tự V biến điểm N thành điểm M

- Bước 2: Xác định được N (C), suy ra M (C’) là ảnh của (C) quaphép vị tự trên

- Bước 3: Xác định M là giao điểm của (C’) và (H)

Bài toán 3.6.1 ([1]) Cho đường tròn (O) với dây cung PQ Dựng hình

vuông ABCD có hai đỉnh A,B nằm trên đường thẳng PQ và hai đỉnh C,D nằmtrên đường tròn

Bài giải:

 Phân tích: Giả sử đã dựng

được hình vuông ABCD thoả mãn

điều kiện của bài toán Gọi I là trung

điểm của đoạn thẳng PQ thì OI là

đường trung trực của PQ nên cũng là

đường trung trực của DC và do đó

cũng là đường trung trực của AB Từ

đó suy ra, nếu dựng hình vuông

Hình 2.18

I O

M N

B A

D' C'

A' B'

PQMN thì có phép vị tự tâm I biến hình vuông PQMN thành hình vuôngABCD.

 Cách dựng:

-Dựng hình vuông PQMN

- Dựng giao điểm C và C’ của đường thẳng IM và đường tròn (O)

- Dựng giao điểm D và D’ của IN và đường tròn (O) ( ta kí hiệu sao cho hai điểm C, D nằm về một phía đối với đường thẳng PQ)

- Dựng A, B lần lượt là hình chiếu D, C lên PQ

- Dựng A’, B’ lần lượt là hình chiếu D’, C’ lên PQ

Ta được các hình vuông ABCD và A’B’C’D’ thoả mãn điều kiện của bài toán

 Chứng minh: Theo cách dựng trên tồn tại phép vị tự

V MNPQ C D A B nên A’B’C’D’ là hình vuông

 Biện luận: Bài toán luôn có hai nghiệm hình

 Bài toán 3.6.2 ([6]) Cho góc xOy và một điểm A nằm trong góc đó Hãy

dụng đường tròn đi qua A và đồng thời tiếp xúc với hai cạnh Ox và Oy

I'

I

A

Ta dựng thêm đường tròn tâm I’cũng tiếp xúc với Ox, Oy

Như vậy O là tâm vị tự ngoài của đường tròn tâm Ivà I’ Ta suy ra cách dựng: Cách dựng

-Dựng một đường tròn tâm I’sao cho tiếp xúc với Ox và Oy.

-Gọi A’ là một trong hai giao điểm của tia OA và đường tròn tâm I’.

-Thực hiện phép vị tự tâm O với tỷ số vị tự

'

OA k

OA

 thì đường tròn tâm I’

sẻ biến thành đường tròn tâm Icần dựng thỏa mãn các điều kiện của bài

toán

Vì tia OA luôn luôn cắt đường tròn tâm I’tại hai điểm phân biệt nên bài

toán luôn có hai nghiệm hình

3.7 Các bài toán định lượng

Trong mục này ta sẻ dụng phép vị tự để giải quyết bài toán tính cácđại lượng hình học bằng cách thông qua việc sử dụng kết quả thực hiệnphép vị tự để tính các đại lượng hình học Thông qua phép vị tự củahai hình vị tự với nhau ta tính được một đại lượng của hình này thì tacũng tính được đại lượng đó của hình còn lại

Bài toán 3.7.1 Cho hai đường tròn (O, R) đường kính AB và đường tròn

(O', R') tiếp xúc trong tại A (R>R’) D là điểm di động trên (O'), tiếptuyến tại D cắt (O) tại M và N, AD cắt (O) tại điểm thứ hai K Gọi I là tâmđường tròn nội tiếp tam giác AMN Chứng minh rằng khi D di động trên (O')