giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm sốgiải hệ phương trình bằng phương pháp hàm sốgiải hệ phương trình bằng phương pháp hàm sốgiải hệ phương trình bằng phương pháp hàm sốgiải hệ phương trình bằng phương pháp hàm sốgiải hệ phương trình bằng phương pháp hàm sốgiải hệ phương trình bằng phương pháp hàm sốgiải hệ phương trình bằng phương pháp hàm sốgiải hệ phương trình bằng phương pháp hàm sốgiải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Nếu hệ có hai phương trình ta dưa dạng : f(x)=f(y) với x,y thuộc T ta khảo sát hàm số đặc trưng : y=f(t) T Nếu f(t) đơn điệu để f(x)=f(y) xảy x=y Trong phương pháp khó em phải xác định tập giá trị x y , tập giá trị chúng khác em không dùng phương pháp mà phải chuyển chúng dạng tích : f(x)-f(y)=0 hay : (x-y).A(x;y)=0 Khi ta xét trường hợp : x=y , trường hợp A(x,y)=0 Sau số mà em tham khảo 2 x y y x x Bài Giải hệ phương trình sau : x y x 1 - Phương trình (1) x=0 y=0 không nghiệm ( không thỏa mãn (2) ) y y - Chia vế phương trình (1) cho x 1 x x3 x x - Xét hàm số : f t 2t t f ' t 3t 0t R Chứng tỏ hàm số f(t) đồng biến Để phương trình có nghiệm xảy : x 2 y x y x -thay vào (2) : x x2 x2 x t x 2 t x t 2; t x x2 x2 x x x x Do hệ có hai nghiệm : (x;y)= 3;3 , 3;3 x 2 y y x y Bài Giải hệ phương trình sau : x x y x 3y Giải x x 2y 2y x y 3y 2 y y x y x y y x y y x x y x 3y x x y x 3y x x y x 3y y x y 2 y x y y Thay vào (2) x y y y 2 y y y y y - Trường hợp 1: - Trường hợp : y y x y 3y * 2 x y y x y y Thay vào (2) : y y y y y y y y y y y 1 x t y y t 2 9y 5y y 16 264 88 y2 y t t 91 9 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 88 Vậy hệ có nghiệm : x; y 7; 1 , ; 9 xy 2 x y x y Bài Giải hệ phương trình sau : x y x2 y Giải xy 2 x y x y 11 a Từ (2) viết lại : x y x2 y 2 x y x y x2 x x y x y x2 x Ta xét hàm số f(t)= t t t f ' t 2t t Chứng tỏ f(t) hàm số đồng biến , x y x y x x (*) ta có : x x2 x 2 xy 2 x x x 1 x 1 Thay vào (1) : x y x x x x x x 1 x 1 x x 1 x x x 1 ** x 1 x 1 x x 3 x x x 2 x 1; y x; y 1; , 1;0 Thay vào (*) : y x x x 1; y x2 1 y 3 y x 2 Bài Giải hệ phương trinh : 2 x y x y 2 x2 1 y y x 1 4 2 x 2 y Từ - Điều kiện : x, y - Từ (1) : 2.2 x 2.2 3 y 2 x y x y 2 2 - Xét hàm số : f (t ) 2.t 3t t f '(t ) 8t Chứng tỏ f(t) đồng biến Do để phương trình (1) có nghiệm : x y x y - Thay vào (2) : * 4 3 Xét hàm số : f(t)= 2t t f '(t ) 4t 2 y x y 4 1 x; y ; - Nhận xét : f(1)=2+ Suy t=1 nghiệm 2 5 5 5y x 5y 5y x x2 y y Bài Giải hệ phương trình sau : x x xy xy x x x y y x x y y 2 Từ : ( nhân liên hợp ) x x xy xy x x x xy xy x Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Xét hàm số : f (t ) t t f '(t ) t 1 t2 t 1 t2 t2 1 Chứng tỏ hàm số đồng biến Để f(x)=f(-y) xảy x=-y (*) - Thay vào phương trình (2) : t t 1 t2 0t R x x 3x x 25 x x x 4 x x x x x 2 x x 2 x x x x 1; y 1 * Trường hợp : x x x 2 2 x x x 7 x x x x * Trường hợp : x x 2 x 2 2 x x x 2 x x 11 3 11 11 3 11 x ; ;y Vậy hệ có hai nghiệm : (x;y)=(1;-1),( ) 2 2 x 1 x y 3 y Bài Giải hệ phwpng trình : 4 x y x Giải x 1 x y 3 y 1 Từ : (KA-2011) 2 2 4 x y x t2 t3 t t2 3 t - PT(1): x3 x y 3 y 3 Đặt t y y 2 t3 t 2x 2x t t - Xét hàm số : f(u)= u u f '(u ) 3u 0u suy f(u) đồng biến Do để f(x)=f(t) xảy - Khi (2) : x3 x : 2x=t x y x y y x x2 3 - Thay vào (2) : g ( x) x x : x 0; Ta thấy x=0 x= không 4 4 5 3 x x 3 0x 0; nghiệm g'(x)= x x x 4x 4x 2 4 1 - Mặt khác : g x nghiệm nhấy , thay vào (4) tìm y=2 2 1 - Vậy hệ có nghiệm : x; y ; 2 2 x 13 x y 3 y Bài Giải hệ phương trình : 4x y Giải : 2 x 1 x y 3 y 1 Từ : 2 4x y - Điều kiện : y 2; x * Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com - Đặt : Từ (2) : x y 36 x y 15 x 16 y y t y t y t 2t - Từ (1):Đặt : - Cho nên vế phải (1) : 2t 1 t 2t t 1 : x 1 x 1 2t t - Xét hàm số : f u 2u u f ' u 2u 0u R Chứng tỏ hàm số đồng biến Để f(x)=f(t) xảy : x=t 31 53 y 2 x y 2 x y y 15 31 53 2 x y 15 y 31y 227 15 y y 15 y 53 31 53 - Vậy hệ có nghiệm : x; y ; 2 x3 x y 1 x y 11 Bài 8Giải hệ phương trình : y x ln y x 2 x3 x y 1 x y 11 Từ : y x ln y x - Điều kiện : y x 0(*) - Phương trình (1) : x3 x y 1 x y 1 x x y 1 x - Do : x x y 1(**) - Thay vào (2) : y y 1 ln y y 1 f y y y ln y y 1 y 1 Chứng tỏ hàm số đồng biến y y 1 - Mặt khác : f(-1)=0 , phương trình có nghiệm : (x;y)=(0;-1) x 3 x y y Bài Giải hệ phương trình : 4 x x y y y -Ta có : f ' y y Giải x 3 x y y 1 Từ : 4 x x y y y - Điều kiện : x - Từ (1) : 8x 3 x y y * - Đặt : t x x t 8x 3 x 4 t 3 t 4t t 4t t 3 - Do (*) : 4t t y y - Xét hàm số : f(u)= 4u u f ' u 12u 0u R Chứng tỏ hàm số đồng biến Do phương trình có nghiệm : f(t)=f(y) x 1 y x y 1(**) - Thay vào (2) : y y y3 y y y y3 y y y y y y y y 1 y y y y 1 y y 1 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com y y y 1 y x; y 1;1 - Vậy : x; y ;0 , 2 2 x y x 2 x y x y 2 y 1 y 2 y 5 x; y 1;0 , x; y ; 2 2 2 2 x y x 2 x y x 1 x 2 x y xy Bài 10 Giải hệ phương trình : x2 y x x2 y x Giải : 2 x y xy 1 Từ : x2 y 2x 2x2 y x 1 x - Từ (2) : x2 y x x y x x y x 1 x y x x y x 2 1 2x y * 1 x 1 x 2 1 2x 1 x - Hay : , thay vào (1) : x x (3) x 2 x xy x x x x2 x2 x 1 1 - Nhận xét : 1 2 2 x x x x 2 x 1 x 1 2x 1 1 Gọi : a , b b a x x 2 x a b - Cho nên (3) b a 2a 2a 2b 2b - Xét hàm số : f(t)= 2t 2t f ' t 2t ln 0t R Hàm số đồng biến , phương trình có nghiệm : a=b , tức b-a=0 , hay : 1 x Thay vào (*) ta tìm x 3 y= x; y 2; 4 x3 y Bài 11 Giải hệ phương trình : x x y y Giai Đ/K : x 2; y Từ (2) 1 x x 1 y 1 y y x x y y Ta xét hàm số : f (t ) t t f '(t ) 3t 0t R Chứng tỏ hàm số đồng biến R 2 y x Do đẻ f x f y , xảy : x y x 2y 3 Thay vào (1) x3 x x x x 1 x x x 1; y Vậy hệ có nghiệm (x;y)=(1;2) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com x2 y 2x2 y y Bài 12 Giải hệ phương trình : 2 2 y x y xy x x xy y y Giải Đ/K : x y 0; y x y Từ (2) : y x y y y xy x y2 1 y y2 x y 1 x y x y Xét hàm số : f (t ) t t t 1 t 0 1 y t f '(t ) t2 1 2t t 2 0 2 t t 1 t 1 với t>0 ) t2 1 t2 1 Như hệ có nghiệm xảy : y x y hay x=2y ( Vì : t2 1 x y Thay vào (1) : y y y y y y 10 y y 2 y y y 1 y : y y vô nghiệm Vậy hệ có nghiệm : (x;y)=(4;2 ) 2 x x y Bài 13 Giải hệ phương trình sau : x y y x x Giải Điều kiện : y 2; x 6 Từ (2) : x y y x x y 1 x Xét hàm số y 1 x 2 y2 y 1 f (t ) x 2 x 2 t 1 t t 0 y2 y 1 x 2 x 2 1 f '(t ) ' t 2t t Chứng tỏ hàm số nghịch biến 2 Để f x f y 1 xảy : y x Thay vào (1) ta phương trình : 1 x 2 t x t x x 2 x t 2t t 2t t t 0 t x 0 t x 0 t x 3 2 2 t 4t 46t 49 4t t t t 1 t 3t 49t 49 +/ Trường hợp : t=1 hay x-2=1 suy x=3 y+1=1 hay y=0 Vậy nghiệm hệ (x;y)=(3;0) +/ Trường hợp : f (t ) t 3t 49t 49 f '(t ) 3t 6t 49 t 1 52 0t 0; Hàm số nghịch biến f(o)= -491 đạt GTLN t=1 Cho nên ta phải sử dụng phương pháp " Phương trình tích " Nếu thay vào (2) x=2y x=2y x=2y x=2y 1 y y y : , ey ln y e ln 1 y ln 1 y y y y 1 y 1 y Xét hàm số : f ( y ) 1 e y f '( y ) e y có nghiemj : y=0 1 y 1 y x 10 y x; y 0;0 Tương tự ta có nghiệm y=0 Nếu : x y x3 3x y y Bài Giải hệ phương trình sau : x2 y 1 log y y log x x x 3 Giải 3 x 3x y y 1 1 x3 3x 3x y y 3x x2 y 1 log x log y x 3 x2 y 1 x 1 y y x 1 x 1 x 1 y y * 3 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Đặt : x-1=t suy (*) trở thành : t y t y t y t ty y 3 +/ Trường hợp : x-1=y, hay : x=y+1, x-2=y-1 x2 1 y 1 Thay vào (2) ta có : log y log x x 3 x 3 x Do nghiệm hệ phương trình : (x;y)=(3;2) +/ Trường hợp : t ty y x 1 x 1 y y 2 x y x y y 2 x y y x x Bài Giải hệ phương trình sau : x y x 1 Giải 2 2 x y x y x 3 2 x y y x x y x x y yx x 2 x y x 1 x y x 1 x y x 1 -Trường hợp 1: y= x , thay vào (2) : x 2 x2 x2 x t x 2 t x t 2; t x x2 x2 x x x x 2 -Trường hợp : x y yx x y yx x x y x x x 3x x x R y f (, y ) x y yx x x, y Phương trình vô nghiệm Do hệ có hai nghiệm : (x;y)= 3;3 , 3;3 * Chú ý : Ta có cách giải khác - Phương trình (1) x=0 y=0 không nghiệm ( không thỏa mãn (2) ) y y - Chia vế phương trình (1) cho x 1 x x3 x x - Xét hàm số : f t 2t t f ' t 3t 0t R Chứng tỏ hàm số f(t) đồng biến Để phương trình y x y x Đến ta giải phần x x 6y x 2y y Bài Giải hệ phương trình sau : x x y x 3y có nghiệm xảy : Giải x x 2y 2y x y 3y 2 y y x y x y y x y y x x y x 3y x x y x 3y x x y x 3y y x y 2 y x y y Thay vào (2) x y y y 2 y y y y y - Trường hợp 1: Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com - Trường hợp : y y x y 3y * 2 x y y x y y Thay vào (2) : y y y y y y y y y y y 1 x t y y t 2 9y 5y y 16 264 88 9y 5y t t 91 9 88 Vậy hệ có nghiệm : x; y 7; 1 , ; 9 xy 2 x y x y Bài Giải hệ phương trình sau : x y x2 y Giải xy 2 x y x y 11 a Từ (2) viết lại : x y x2 y 2 x y x y x2 x x y x y x2 x Ta xét hàm số f(t)= t t t f ' t 2t t Chứng tỏ f(t) hàm số đồng biến , ta có : x y x y x x (*) x x2 x 2 xy 2 x x x 1 x 1 Thay vào (1) : x y x x x x x x 1 x 1 x x 1 x x x 1 ** x 1 x 1 x x 3 x x x x 1; y x; y 1; , 1;0 Thay vào (*) : y x x x 1; y Chú ý : Các em có nhận xét không giải Bây nêu thêm hai cách để em kiểm nghiệm : Cách 2 xy xy Đặt : x y u; xy v 1 x y x y xy 1 x y x y 2v u 2v u u 2uv 2v u u 1 2v u 1 u 1 u u 1 2v u x y u x y x y xy u u 2v * Nếu x+y=1 thay vào (2) ta : x y x 1 x x x x; y 1;0 , 2;3 x 2 y 2 +/ Với x y x y xy x y x y vô nghiệm x y 0; x y Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com x2 1 y 3 y x 2 Bài Giải hệ phương trinh : 2 x y x y 2 Giải x2 1 y y x 1 2 Từ - Điều kiện : x, y x y 2 2 x y 2 2 4 x 2 y - Từ (1) : 2.2 x 2.2 3 y - Xét hàm số : f (t ) 2.t 3t t f '(t ) 8t Chứng tỏ f(t) đồng biến Do để phương trình (1) có nghiệm : x y x y - Thay vào (2) : 2 * 4 3 Xét hàm số : f(t)= 2t t f '(t ) 4t 2 y x y 4 1 x; y ; - Nhận xét : f(1)=2+ Suy t=1 nghiệm 2 5 5 5y x x y s inx e siny Bài Giải hệ phương trình : x 0; 3 x y y y Giải x y s inx 1 e siny Từ : : x 0; 4 3 x y y y et sin t cost e x s inx ex ey et f (t ) f '(t ) 0t 0; - Từ (1) : y e siny s inx sin y sin t sin t 4 - Chứng tỏ hàm số f(t) đồng biến Phương trình có nghiệm x=y 5y 5y - Thay vào (2) : x x x x x x x x x 3 36 x x 1 x 1 8x 8x 2 8x x x 8x x2 x 1 8 x x 2 3 x x x 8x2 2 x2 x 1 1 - Với x x; y ; 8 8 8x2 - Ta có : với x 0; suy 8x2 2 x2 x 1 4 2 x 2 2 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 1 1 - Vậy hệ có nghiệm : x; y ; 8 8 x x2 y y Bài 10 Giải hệ phương trình sau : x x xy xy x Giải x x y y x x y y 2 Từ : x x xy xy x x x xy xy x Xét hàm số : f (t ) t t f '(t ) t 1 t2 t 1 t2 t2 1 Chứng tỏ hàm số đồng biến Để f(x)=f(-y) xảy x=-y (*) - Thay vào phương trình (2) : t t 1 t2 ( nhân liên hợp ) 0t R x x 3x x 25 x x x 4 x x x x x 2 x x 2 x x x x 1; y 1 * Trường hợp : x x x 2 2 x x x 7 x x x x * Trường hợp : x x 2 x 2 2 x x x 2 x x 11 3 11 11 3 11 Vậy hệ có hai nghiệm : (x;y)=(1;-1),( ) ; ;y 2 2 x x y 3 y Bài 11 Giải hệ phwpng trình : 4 x y x x Giải x 1 x y 3 y 1 Từ : (KA-2011) 2 2 4 x y x - PT(1): x3 x y 3 y 3 Đặt t y y t2 t3 t t2 3 t 2 t3 t 2x 2x t t - Xét hàm số : f(u)= u u f '(u ) 3u 0u suy f(u) đồng biến Do để f(x)=f(t) xảy - Khi (2) : x3 x : 2x=t x y x y y x x2 3 - Thay vào (2) : g ( x) x x : x 0; Ta thấy x=0 x= không 4 4 5 3 nghiệm g'(x)= x x x x x 3 0x 0; 4x 4x 2 4 1 - Mặt khác : g x nghiệm nhấy , thay vào (4) tìm y=2 2 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 1 - Vậy hệ có nghiệm : x; y ; 2 2 y 3xy Bài 12 Giải hệ phương trình sau : x y y Giải : 2 3x t 1 - Đặt : t Lấy (1) +(2) : x3 3x t 3t y x 3.t - Xét hàm số : y f u u 3u f ' u 3u 0u R - Chứng tỏ hàm số đồng biến Do phương trình có nghiệm : x=t 2 x y x y x y x y x3 y y y y y y y 1 y 2 y3 - Vậy hệ có nghiệm : (2;1);(-1;-2) 2 x 13 x y 3 y Bài 13 Giải hệ phương trình : 4x y Giải : 2 x 1 x y 3 y 1 Từ : 2 4x y - Điều kiện : y 2; x * - Đặt : Từ (2) : x y 36 x y 15 x 16 y - Từ (1):Đặt : y t y t y t 2t - Cho nên vế phải (1) : 2t t 2t t 1 : x 1 x 1 2t t - Xét hàm số : f u 2u u f ' u 2u 0u R Chứng tỏ hàm số đồng biến Để f(x)=f(t) xảy : x=t 31 53 y 2 x y 2 x y y 15 31 53 2 x y 15 y 31y 227 15 y y 15 y 53 31 53 - Vậy hệ có nghiệm : x; y ; 2 x3 x y 1 x y 11 Bài 14 Giải hệ phương trình : y x ln y x 2 x3 x y 1 x y 11 Từ : y x ln y x - Điều kiện : y x 0(*) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com - Phương trình (1) : x3 x y 1 x y 1 x x y 1 x - Do : x x y 1(**) - Thay vào (2) : y y 1 ln y y 1 f y y y ln y y 1 y 1 Chứng tỏ hàm số đồng biến y y 1 - Mặt khác : f(-1)=0 , phương trình có nghiệm : (x;y)=(0;-1) x 3 x y y Bài 15 Giải hệ phương trình : 4 x x y y y Giải x 3 x y y 1 Từ : 4 x x y y y - Điều kiện : x - Từ (1) : 8x 3 x y y * -Ta có : f ' y y - Đặt : t x x t 8x 3 x 4 t 3 t 4t t 4t t 3 - Do (*) : 4t t y y - Xét hàm số : f(u)= 4u u f ' u 12u 0u R Chứng tỏ hàm số đồng biến Do phương trình có nghiệm : f(t)=f(y) x 1 y x y 1(**) - Thay vào (2) : y y y3 y y y y3 y y y y y y y y 1 y y y y 1 y y 1 y y y 1 y x; y 1;1 - Vậy : x; y ;0 , 2 2 x y x 2 x y x y 2 y 1 y 2 y 5 x; y 1;0 , x; y ; 2 2 2 2 x y x 2 x y x 1 x 2 x y xy Bài 16 Giải hệ phương trình : x2 y x x2 y x Giải : 2 x y xy 1 Từ : x2 y 2x 2x2 y x 1 x - Từ (2) : x2 y x x y x x y x 1 x y x x y x Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 1 2x 1 x 1 x y x * 2 1 2x 1 x x - Hay : , thay vào (1) : (3) 1 2x x 2 x xy x x x2 x2 x 1 1 - Nhận xét : 1 2 2 x x x x 2 x x2 1 2x 1 1 ,b b a 2 x x 2 x a b - Cho nên (3) b a 2a 2a 2b 2b Gọi : a - Xét hàm số : f(t)= 2t 2t f ' t 2t ln 0t R Hàm số đồng biến , phương trình có nghiệm : a=b , tức b-a=0 , hay : 1 x Thay vào (*) ta tìm x 3 y= x; y 2; 4 Bài 17 1 42 x y 51 x y 22 x y 1 Giải hệ phương trình : y x ln y x Giải : 1 42 x y 51 x y 22 x y 1 1 Từ : y x ln y x 1 42 x y 2.22 x y 5.4a 5a 2.10a a x y - Phương trình (1) : 52 x y 5a 2.10a 54a f a 5a 10a 4a 5 - Xét : f ' a 5a ln 10a ln10 4a ln 10a ln10 10a ln10 4a ln 5 - Chứng tỏ hàm số đồng biến Mặt khác : f(1)=0 , nghiệm phương trình - Với a=1 suy 2x-y=1 , hay 2x=y+1 Thay vào (2) : y y 1 ln y y 1 f y y y ln y y 1 f ' y y 1 y2 y y 1 g ' y - Xét : g y 2 y y 1 y y 1 y 1 (*) y y 1 1 2 y 2 y y 1 2 y f ' y f ' y 0y R - Nhận xét : y g ' y g f ' y 2 - Chứng tỏ f(y) đồng biến Mặt khác f(-1)=0 suy y=-1 nghiệm PT - Kết luận : hệ có nghiệm (x;y)=(0;-1) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com x3 y Bài 18 Giải hệ phương trình : x x y y Giai Đ/K : x 2; y Từ (2) 1 x x 1 y 1 y y x x y y Ta xét hàm số : f (t ) t t f '(t ) 3t 0t R Chứng tỏ hàm số đồng biến R 2 y x Do đẻ f x f y , xảy : x y x 2y 3 Thay vào (1) x3 x x x x 1 x x x 1; y Vậy hệ có nghiệm (x;y)=(1;2) x y 3 xy x y xy Bài 19 Giải hệ phương trình : ( Ngô Trung Hiếu ) x y x y Giải x y 0 x y 0 Đ/K : * x y y x 3 x y xy x y xy x y xy x y xy Hệ x2 y x y x x y x x y x t Từ (2) : t x y x x t t x t x t x t x t 1 x t 1 y x x +/ Trường hợp : x=t x y x x thay vào (1) x6 x2 x x y 8 x2 x x x6 8x3 8x2 x2 8 x3 x2 2 x 8x 8x 16 x x x x x x x 24 x x y 2 x x x x x 24 x x x x x x 2 y x2 2x Vậy hệ có nghiệm (x;y)=(2;2),(-2;6) x 1 x 1 +/ Trường hợp : x x y x y x 1 2 x y x 2x 1 y x x 1 1 x y xy 16 x y xy x y x y x y 16 x y xy 4 x y 16 x y xy xy x y Thay vào (1) : x 1 8x x2 x x 1 8 x x x 2 x 1 8x x x x 1 8 x x x Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com x2 y 2x2 y y Bài 20 Giải hệ phương trình : 2 2 y x y xy x x xy y y Giải Đ/K : x y 0; y x y Từ (2) : y x y y y xy x y2 1 y y2 x y 1 x y x y Xét hàm số : f (t ) t t t t2 1 x y 1 t 0 1 y f '(t ) t t2 1 2t t 2 0 t t t2 1 1 với t>0 ) t2 1 t2 1 Như hệ có nghiệm xảy : y x y hay x=2y ( Vì : Thay vào (1) : y y y y y y 10 y y 2 y y y 1 y : y y vô nghiệm Vậy hệ có nghiệm : (x;y)=(4;2 ) 2 x x y Bài 21 Giải hệ phương trình sau : x y y x x Giải Điều kiện : y 2; x 6 Từ (2) : x y y x x y 1 x Xét hàm số y 1 x 2 y2 y 1 f (t ) x 2 x 2 t 1 t t 0 y2 y 1 x 2 x 2 1 f '(t ) ' 0 t 2t t Chứng tỏ hàm số nghịch biến 2 Để f x f y 1 xảy : y x Thay vào (1) ta phương trình : 1 x 2 t x t x x 2 x t 2t t 2t t t 0 t x 0 t x 0 t x 3 2 2 t 4t 46t 49 4t t t t 1 t 3t 49t 49 +/ Trường hợp : t=1 hay x-2=1 suy x=3 y+1=1 hay y=0 Vậy nghiệm hệ (x;y)=(3;0) +/ Trường hợp : f (t ) t 3t 49t 49 f '(t ) 3t 6t 49 t 1 52 0t 0; Hàm số nghịch biến f(o)= -49