10 phương pháp hàm số giải hệ phương trình

PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 3 2  13x  y   y  x  3 y  x  Bài toán 1: Giải hệ   x, y  R    x  x   y  1  1  y  Giải Từ phương trình thứ hệ ta biến đổi phương trình: x3  x  13x   y  y  y   x  1  3 x  1   x  1  y  y  y (1) Xét hàm số: f (t )  t  3t  4t , t  R Ta có: f '(t )  3t  6t   3 t  1   0, t  R Do ta có hàm số f(t) đồng biến R Do từ (1) ta có: f  x  1  f  y   x   y Thế vào phương trình thứ hai hệ ta phương trình: x  x   x     x  1   x   x  5    x  x   x  x     x2  2x   x 1  y     x    y   30 x 2015  xy 2014  30 y 4030  y 2016  Bài toán 2: Giải hệ phương trình  162 y  27  x3      Giải Nhận thấy xy  không thỏa mãn hệ phương trình Xét xy  viết lại phương trình đầu hệ dạng: x 30    y 2015 4 x x  30 y 2015  y   y  x  y  y y Thay vào phương trình thứ hai hệ ta được:  162 x  27  x3   Để giải phương trình ta đưa giải hệ phép đặt ẩn phụ 8x3   6u ta được: 3   8 x   6u 6u  x      162 x  27  216u 6 x  8u  478 Đây hệ đối xứng loại II dễ tìm nghiệm x  u nghiệm phương trình: x 0 x3   x  x3  x    x  cos  18  y   cos  18 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là:    18  x; y    cos ;  cos        ,  cos ; cos  18   18 18   x  x  x   y 1  Bài toán 3: Giải hệ phương trình  x 1  y  y  y    Giải Trừ theo vế hai phương trình hệ ta được: x  x  x   3x1  y  y  y   y 1 Xét hàm số f  t   t  t  2t   3t 1 ta có: x  x  x   3x1  y  y  y   y 1 f ' t     3t 1 ln   t  1 t 1 1 t 1  t 1  t  1  t  1   t  t 1  ln  t  1  t 1 1  ln   3t 1 ln  Nên f  t  hàm đồng biến f  x   f  y   x  y Thay y  x vào phương trình đầu hệ ta được: x 1   x  1   3x 1  3x 1   Xét hàm số f  x   3x 1    x  1  x  1    x  1   11     x  1  R , ta có:    x 1 x 1   f ' x   1  x  1    x  1       x  12       x 1      0, x  R    x  1    x  1       x  1    Nên hàm đồng biến R Vì 1  f  x   f 1  x   y  x 1 ln   Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y   1;1 479  x  y  x3   x  y  y   y   y  Bài toán 4: Giải hệ    4x   y   Giải Điều kiện: x   Phương trình thứ biến đổi thành phương trình: x5  3x3 y  xy  y10  y8  y (1) Xét với y   x  không thỏa hệ phương trình Với y  chia hai vế (1) cho y ta phương trình: x x  x  y   3 y    y   y  y  y (2)       Xét hàm số f  t   t  3t  2t , t  R Ta có: f '  t   5t  9t   0, t  R x x  f  y    y  x  y2  y  y Do từ (2)  f  Thay vào phương trình thứ hai hệ ta được: 4x   x    x   x  12  4 x  17 x  15  49  x  17 x  15   x 8  x   2 4 x  17 x  15  64  32 x  x x    x   y  1 49 x  49   2x   y   4 y  x   Bài toán 5: Giải hệ   x, y  R   x  x 1  y   15  y  1  29 Giải  x    Điều kiện:  y    Phương trình thứ hệ ta biến đổi được: 480 x   x  y   y (1) Xét hàm số: f (t )  2t   4t , t   Ta có: f '(t )  3   0, t   2t    Do từ (1)  f ( x)  f ( y)  x  y   Do hàm số f(t) đồng biến   ;   Thay vào phương trình thứ hai hệ ta được: x 1  x   15  x  1  29  x5  x  15 x  x  14    x    x  1 x  3x     x  1  y  1 x     x 1 y 1  x 1   x   y    y x  x  28 Bài toán 6: Giải hệ phương trình  2   xy  x y  x  18 Giải    x y  x3  28  Hệ phương trình cho tương đương với:   x  x  y   18 Rút y  18 34 x  x thay vào phương trình thứ hệ ta được: x x   34   x    x   x3   28  x     Đặt t  x ,  t      34    t   t   28 phương trình trở thành: t    t      t9  34  t3   28t  Vế trái hàm đồng biến nên phương trình có nghiệm nhất: t  2x 2 y2 Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y     2; 2 481  x 2015  xy 2014  y 2030  y 2016  Bài toán 7: Giải hệ phương trình  y  13x   y x 3x  y     Giải Điều kiện: x  3x  y  1   Nhận thấy xy  không thỏa mãn hệ phương trình Xét xy  viết lại phương trình đầu hệ dạng: x    y 2015  x x  y 2015  y   y  x  y  y y Thay y  x vào phương trình thứ hai hệ ta được:   x  13x   x x 3x  3x   3 2  2      1    1     x x x  x    13    23 3  x x x x x    3   x x  x 0   3    x   y x x x 89  89  Vậy hệ phương trình có hai nghiệm :  ;  89   x; y      6 ; , 89    89    89     x 1  x   x   y 1  y   y  Bài toán 8: Giải hệ  2   x  y  x  y  80  x, y  R  Giải  x  1 y  Điều kiện:  Phương trình thứ hệ biến đổi thành phương trình: x 1  x 1  x 1  y   y    y   Xét hàm số: f (t )  t  t   t  4, t  Ta có: f '(t )  1 1       0, t  2 t t2 t4 Vậy hàm số f(t) đồng biến  0;  Do từ (1)  f  x  1  f  y  5  y  x  Thay vào phương trình thứ hai hệ ta có: 482  7  5 x  x  x  19     7  5 x   Đối chiếu điều kiện ta có: x  7  5 75 y 2    x2  y   x  y    y   x   Bài toán 9: Giải hệ   x, y  R    x   y   17  x  y Giải  x  1 y 1 Điều kiện:  Phương trình thứ cho biến đổi lại thành phương trình: x2  x  y  y   y   x   x2  x   x   y  y   y    x  1  2  x  1    y   2  y  2  (1) Xét hàm số: f  t   t  t  1, t  Ta có: f '  t   2t   0, t  t 1 Do hàm số f(t) đồng biến  0;  Do từ (1)  f  x  1  f  y    y  x  Mặt khác y   x    x  Thế vào phương trình thứ hai hệ ta phương trình: x   x   11  x  x      x  1  x    x  3 x3   x30 x 1  x  1     x  3    1  x  1   x 1   x  3 y     x  3 x   y  y Bài toán 10: Giải hệ phương trình  2  4 x  x  y  y  y   Giải 483 Điều kiện: x  Phương trình thứ hệ tương đương với:   x 1  x 1  y3  y  y  x 1 Thay y  x  vào phương trình thứ hai hệ thực xét tính đơn điệu hàm số tìm nghiệm hệ  x; y   1;1  2012  3x   x   y  2009   y  Bài toán 11: Giải hệ phương trình  2 x  y  14 x  18 y  x  x  13 Giải Phương trình thứ hệ tương đương với:  4 x   2000 4 x 3  3 2y   2000   x  3 2y   x  3 2y  y  Thay y  3 2y x 1 x 1 vào phương trình thứ hai hệ ta được: 2 x   x   x  x  13   x    x     3 x    x     x  x 1    x  x  1 1   0 3x   x  5x   x     x  0, y   x   x  x  1      x  1  x  1, y  1  Vậy hệ phương trình có hai nghiệm  x; y    0;   ,  1; 1  2   x  x  x   5x   y Bài toán 12: Giải hệ    y  y  y   y   3x Giải  x    Điều kiện:  y    Lấy hai phương trình hệ trừ vế theo vế ta có phương trình: x  x5  x  x   y  y  y  x   y  x  x  x5  x  x   y  y  y  y  (1) 484 5   0, t   Ta có f '  t   7t  10t  5t    Do hàm số f(t) đồng biến   ;     Ta xét hàm số: f  t   t  2t  9t  5t  4, t   Do từ (1)  f  x   f  y   x  y Thế vào phương trình thứ hệ ta có: x7  x5  3x  5x    (2) Xét hàm số f  x   x  x5  3x  x   9, x   5   0, x   5x    Do hàm số f(x) đồng biến   ;   nên phương trình f  x   có   Ta có f '  x   x  10 x  nghiệm nghiệm Mà f 1   x   y  2   x  x  x  14   y  23 y  32 Bài toán 13: Giải hệ   x, y  R  2 x  y  y  28 y  23   Giải Cộng vế theo vế hai phương trình hệ ta có phương trình: x3  x  14 x  y  y  y    x3  x  12 x   x   y  y  y   y    x     x     y  1   y  1 (1) 3 Xét hàm số: f (t )  t  2t , t  R Ta có: f '(t )  3t   0, t  R Vậy hàm số f(t) đồng biến R Do từ (1)  f  x    f  y  1  x  y  Thế vào phương trình thứ hai hệ ta thu phương trình: 485  y  1  y  y  28 y  23  y  y  26 y  24    y   y  3 y    y   y  2 x   y 3  y  3 x     y    y   x  3  x  x   y  3y  y  x  y 1  Bài toán 14: Giải hệ phương trình  Giải Hệ phương trình cho tương đương với: 3  x  y 1 x   x  x    y  1  y      3  x  y    y  1  x  y 1  Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y    0; 1  3x    x  1  y   y  x  y  x  y   x  y   Bài toán 15: Giải hệ phương trình  Giải Điều kiện: x  , y  Phương trình thứ hai hệ tương đương với: x  , y 1  y  2x   x  y  1 x  y  4   Thay y  x  vào phương trình thứ hệ ta 3x   x   x    3x  1  3x    x  3  x   3x   x   x   y  12 Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y    4;12 Bài toán 16: Giải hệ   5  x    y  x x     y  3   2  x  y  x  y    y  y  11    x, y  R  Giải Hệ phương trình cho biến đổi lại thành phương trình: 486 2 2  5 x  y  x  y  11  x x    y  3 y  y  11  (1)  2   x  y  x  y   (2) Lấy (1)-(2) vế theo vế ta có phương trình: x  y  y   x x    y  3 y  y  11   x  x x    y  3   y  3 y  y  11   2x  2x 2x       y  3 y      y  3 2  (3) Xét hàm số f (t )  t t  t  , t  R    Ta có: f '(t )  t  t  1    t 2  t 2 t t 2   0, t  R Vậy hàm số f(t) đồng biến R Do từ (3) ta có: f  x   f  y  3  y  x  Thế vào phương trình thứ hai hệ ta có phương trình:  9 5 y x  x  27 x  19     9 5  y x   3 2   x  y  17 x  32 y  x  y  24 Bài toán 17: Giải hệ   x, y  R  y  x   x  y  x   x  y        Giải  x  4 2 y  x   Điều kiện:  Phương trình thứ hệ biến đổi thành phương trình: x3  x  17 x  17  y  y  32 y  42   x     x     y  3   y  3 (1) 3 Xét hàm số: f (t )  t  5t , t  R Ta có: f '(t )  3t   0, t  R Do hàm số f(t) đồng biến R Do từ (1)  f  x    f  y  3  y  x  Thay vào phương trình thứ hai hệ ta có phương trình: 487     x  y   x  y  3x  y   xy     1    2   Bài toán 98: Giải hệ phương trình      x  y   Giải Hệ phương trình cho tương đương với:   2  x  y    x  y   x  y    x2  y 2        1        x  y    x  y    1  1   x2  y 2     Xét hàm số f  t   t   3t   R , ta có : f '  t   3t    3t 3t   0, t  R nên f  t  hàm đồng biến R Vì 1  f  x  y   f 1  x  y  Vậy hệ phương trình cho tương đương với:  x  x  y 1   x  y     y    x  y       x  y    x  y  1   x      y  Vậy hệ phương trình có hai nghiệm  x; y    0;1 , 1;0    Bài toán 99: Giải hệ phương trình      x  y y  xy    y  x  3x  x y   3x  y    2  3x  xy  y  Giải 4 y  xy   Điều kiện:  2 3x  x y   3x  y     Nhận thấy xử lý độc lạp hai phương trình hệ ta xem chúng có mối liên hệ với Thực phép y  3x2  xy  từ phương trình thứ hai hệ vào vế trái phương trình đầu hệ; xy  3x2  y  vào vế phải phương trình đầu hệ ta được: 554 2  2  x  y 3 y  x  1   y  x  x  y 1  2  3x  xy  y  TH1 Nếu x  y thay vào phương trình thứ hai hệ ta được:      x  1, y  1 3x  x  x   x  1    x  1, y  Thử lại thấy hai nghiệm thỏa mãn TH2 Nếu x  y  thay vào phương trình thứ hai hệ ta được: 3x  x.x  x   x  x3  3x       x  1  x  1, y      x  1 x  1 x  x     x    x  1, y     x  1   x  1  , y   1       2    Thử lại có nghiệm  x; y   1;1 thỏa mãn   TH3 Xét  x  y   x  y   Khi phương trình thứ suy  y  x   x  y   viết lại dạng: 3 y  x 1 yx Xét hàm số f  t   f ' t    t2    x2  y  x2  y 1 3t   ;0    0;   , ta có: t  0, t  nên f  t  hàm nghịch biến  ;0    0;   3t  Mặt khác y  x x  y dấu nên x2  x 1  f  y  x   f  x  y   y  x  x  y  y  2 Khi  y  x   x  y   2 x  x  1   x  0;1 Thay vào phương trình thứ hai hệ tìm nghiệm hệ log x  y  Bài toán 100: Giải hệ phương trình  4  x  xy  y  Giải Điều kiện x  , từ phương trình thứ hai hệ ta suy y  Từ phương trình thứ hai ta suy ra:   16  x  1  x y  y  x y  x y  16  x  1  555 Coi phương trình bậc hai với ẩn y , ta y2  x  16 x  x  1  x  x    2 x  x  x    y  x2 x  Từ suy ra:  2 x  x  x   4 x  x  0 y  x2 x2  4 Chỉ nhận nghiệm y   x  , thay vào phương trình thứ hệ ta được: x y  y    log y  y   * x Xét hàm số f  y    log y  y  với y  log Ta có f '  y   2 y  ln    2   y  ln  y 1  0, y   ;0  y ln y ln Vậy f  y  hàm đơn điệu tăng khoảng  ;0  Mặt khác lại có f  1   y  1 nghiệm phương trình (*) Từ suy x  Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y    4; 1   3  x y  x  Bài toán 101: Giải hệ phương trình  3 2   x  x y  y  y x  x y  9x Giải Hệ phương trình tương đương với:      x y  x3    3  x x  y  x y  x  y         x y  x3   x y  x3      2 2 2  x  y  x x  xy  y  x y    x x  xy  y  x y         x y  x3   Do x  y không thỏa mãn hệ phương trình    x  x  y   Từ phương trình thứ hai hệ suy x  từ phương trình thứ hệ ta có  x ,thay vào phương trình thứ ta y  x  từ phương trình thứ hai rút y  x được:    x  x   x3    x     Đặt t  x ,  t   phương trình trở thành: 556 3 3  t   t   t   t   t  7t  1 t    Xét hàm số f  t    t  3  t  7t  0;   , ta có: f '  t   9t  t  3  7t   0, t  nên f  t  hàm đồng biến  0;   Vì phương trình 1  f  t   f 1  t   x   x   y  Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y   1; 2    x y  x3   Nhận xét Để giải hệ phương trình  ta có cách khác sau xuất phát từ hệ x x  y      đưa dạng đồng bậc nên ta xử lý sau: Đặt y  tx,  t   ta có hệ phương trình:      x4 t 1  t3 1 73      t  1  x  t  1  t f t   Xét hàm số  1 3  t  1  73 đồng biến  0;   f    nên phương trình có 94 nghiệm t   y  x thay ngược lại phương trình thứ hai hệ ta  x; y   1; 2 + Ngoài ta hoàn toàn rút x   9  y,  x   y   thay vào phương trình 7 y      y   y   đầu hệ đưa xét hàm số f  y   y     y      nghịch biến  0;   9  0;  Đây hàm 4  9     5 x  y  xy   Bài toán 102: Giải hệ phương trình   1   2x  y 1   x  y    x  y  Giải Điều kiện   x  y  Phương trình thứ hệ biến đổi thành:  x  y  4  x  y   thay vào phương trình thứ hai hệ ta được:   1   x  y    x  y    x y 557   x  y  1 x  y    x  y    x  y    2x  y  2 2x  y    x  y    x  y  Xét hàm ý x  y  ta tìm  x  y   x  y   x  y  1 Thay ngược lại phương trình đầu ta tìm nghiệm hệ phương trình    x  y 2 3x  xy  y     Bài toán 103: Giải hệ phương trình  2  2 x  y  xy  Giải Bài toán tương tự Bài toán ta không xử lý độc lập hai phương trình hệ nên ta xem chúng có mối liên hệ với Ta có: 3x2  xy  y    x2  y  xy   x2  xy  y     x  y  Vậy hệ phương trình cho tương đồng với 2    x  y    x  y    1  1    2 x  y  xy   Xét hàm số f  t   t   t   0;   , ta có: f ' t   t    t  0, t  t 3 Do f  t  hàm đồng biến 0;   Vì phương trình: 1  f  x  y    f 1   x  y  2  Vì hệ phương trình cho tương đương với:  x  0, y  1  x  0, y   x  y    x  y      x  y  1   x   , y   2 4 2 x  y  xy   2 2 x  y  xy   x  , y   4 3 Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm  x; y     ;  ,  ;  ,  0; 1 ,  0;1  4 4 4 Bài toán 104: Giải hệ phương trình:  x  y   y  17    y  24 y  18  2  2 y      x2   x  Giải Điều kiện: y   17 558 Khi phương trình thứ hai hệ tương đương với: y  24 y  18  2  2 y   x   x   y  3   y   x2   x Đến ta xét hàm số : f  x   x2   x , ta có f ' x  x x2  x2   x 1  x2  x2  x  x2   x x x2  0 Suy hàm số f  x  đơn điệu tăng Vậy f  y  3  f  x   x  y   y  x 3 , vào phương trình thư hệ ta được:   13  x  2   x  x     13 x  x   4x     x  x  x   x         x  1 x  1 x  x       x  x    x    y  1   , thỏa mãn điều kiện  Vậy hệ phương trình có hai nghiệm  x; y   1  5; 1   5    x   y   x3 Bài toán 105: Giải hệ phương trình   x  1  y Giải Thế y   x  1 vào phương trình đầu hệ ta x3   x  1  x     x3  x  x  x    Xét hàm số f  x   x3  x2  x  x   1;   hàm đồng biến 1;   Mặt khác f    suy  x; y    2;1 nghiệm hệ  2 x  11x  y  1 Bài toán 106: Giải hệ phương trình  2   y  y  y  x  22 x  21   x  1 x    Giải Thế x  22 x  y  18 từ (1) vào (2) đưa phương trình dạng  y  1   y  1    2x 1  2x 1 Xét hàm số f  t   t  2t tìm 2x 1  y  559   2x 1  y   x  1, y    x  5, y  2 x  11 x  y     Ta có hệ phương trình:  Vậy hệ phương trình có hai nghiệm  x; y   1;0  ,  5;  2 x3 y  x  x  x  x3 y y  1  Bài toán 107: Giải hệ phương trình  2  4  x y   x   x y   x   Giải   Viết lại (1) dạng x3 y  y   x  x  x  1 1 1  y  y   1       f  y   f   x x  x   Trong đó: f  t   t  t  hàm đồng biến suy y  x       x 1  x   x   y 1  y   y  Bài toán 108: Giải hệ phương trình  2   x  y  x  y  80 Giải Điều kiện x  1, y  Phương trình thứ hệ tương đương với: x 1   x  1    x  1   y 5   y  5    y  5  1 Xét hàm số f  t   t  t   t  đồng biến 0;   Vì 1  f  x  1  f  y    x   y   y  x  Thay y  x  vào phương trình thứ hai hệ ta được: x 1 x  14 x  38   x  5 7 5 5 y 2 5 7 5 5 ;  2   Vậy hệ phương trình có hai nghiệm  x; y    2 y  y  x  x   x Bài toán 109: Giải hệ phương trình   y   y   x  Giải Điều kiện 4  x  Phương trình đầu hệ viết lại dạng: y3  y   y  1 x  1 x  y  1 x   x  1 y  Thay vào phương trình thứ hai hệ ta được: y2 1  y    y2 560 Vế trái hàm đồng biến, vế phải hàm nghịch biến suy nghiệm y   x  3 Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y    3; 2 3   x  y  3x  x  y  Bài toán 110: Giải hệ phương trình  2   x  y  x  y  10  y   x  y Giải Phương trình đầu hệ viết lại dạng:  x 1   x  1    y     y   x    y  y   x Thay y   x vào phương trình thứ hai hệ ta được: x  x    x  3x   x2  x       3x      x    x   x  1   x  5 3x    x 5 0  x 1     x  5  x       x   y  4 3x    x 1   Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y    5; 4  x6  y  x  y  30  28 y Bài toán 111: Giải hệ phương trình  2 x  x  1  y   x  y  3    Giải Điều kiện: x  1, y  2 Phương trình đầu hệ viết lại dạng: x   x   y  3   y  3  x  y   y  x  3 Thay y  x2  vào phương trình thứ hai hệ ta được:    x  x 1  y   x x Phương trình có nghiệm kĩ thuật xử lý đẹp mắt Để giải phương trình ta dùng kỹ thuật nhân liên hợp đưa hệ ( xem thêm Những điều cần biết LTĐH Kỹ thuật giải nhanh phương trình, bất phương trình vô tỷ tác giả)  Hệ phương trình có nghiệm  x; y       2 ;  1 5  Bài toán 112: Giải hệ phương trình: 6  x  y  y  y    y  3x  x  x   y  x   y    x  x Giải Từ điều kiện hệ phương trình viết lại phương trình đầu hệ dạng : 561   x     x   x  1  y   1  y   y   x  1 y  y  x 1 Thay y  x  vào phương trình thứ hai hệ ta được:  x  1  x   x   x  x  5x   x   x  x Giải phương trình cách bình phương hai vế kết hợp điều kiện hệ, suy x 5  2  69  44 7  2  69  44 y 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm nhất:  5  2  69  44 7  2  69  44   x ; y  ;     2    x   y   Bài toán 113: Giải hệ phương trình    x   x  y y   Giải Phương trình thứ hai hệ viết lại dạng:  2 x  2 x    y 1  y 1   x  y 1  y 1   x Thay y    x vào phương trình đầu hệ ta được: x   x  1  x  1, y  2x2    x     x   x   x  x    x  3, y   Vậy hệ phương trình có hai nghiệm  x; y    1;  ;  3;3 2.xlog2 y  y Bài toán 114: Giải hệ phương trình  ln 1  x   ln 1  y   x  y Giải Điều kiện  x  0, y  Phương trình thứ hai hệ tương đương với: ln 1  x   x  ln 1  y   y Xét hàm số f  t   ln 1  t   t  0;   , ta có: t 1   0, t  nên f  t  hàm nghịch biến  0;   t 1 t 1 Vì f  x   f  y   x  y f ' t   Thay y  x vào phương trình thứ hệ ta được: log x  x 1 2.xlog2 x  x  log x 1  log x   2log x    x  2 y  log x  Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y    2; 2 562 BÀI TẬP RÈN LUYỆN     x2   x y2   y     3x  x   9x2   y y    x; y    8 x3  y  y  x    2  3x   x y   y   x; y   1; 3  x3  3x  x   y  y   x   y    x; y    4;3  x3  y  3x  x  y   2  x  y  x  y  10  y   x  y  x; y   5; 4  x3  3x   y  y    3  x    y  y  x; y    3;1 3   x  y  y  3x   2  x   x  y  y    x; y    0;1 1.7  x3  y  3x  x  y    2 2  x  3  y  y  3x    x; y    0;1 1.8  x3  3x  x  22  y  y  y   2 x  y  x  y    x; y    1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.9 1.10    1 1  ;  3   3 3 1 ; , ;   2 2 2 2 3   x  y  y  3x    2  x   x  y  y    x; y    0;1   x   x   y  y    y  xy   x  y  x; y     2;1   563 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17 1.18 1.19 1.20  x  x2   y  x    2   x  3x    y    y   x; y   1;1 , 1; 1   x  1 x   y  3  y   2  4 x  y   x   x; y    2 y  12 y  25 y  18   x   x   2  3x   3x  14 x    y  y  x; y    5;1  x3  x   x  y   x3  y     8 x  x  3x  y    x; y   1;  ;7     2 y  y  x  x   x  2    y  2x  y  1   2  x; y   1  2;    x  1 x   x   y  y  y    2  x  x  x  y  14 y  19  3  y  1  x; y   1;  23  3x   x   20  y   y   x  y   3x  y   3x  14 x   x; y    5;4  x3  x   y  15  x   x   y   y    x; y   1;1 ,  1;2  ,  2;  53  x  10  x   y  48  y    x  y   x  x  66  y  x  11  x; y    9;8      x    x  x   y  y     4 x3  y    y   1   x; y    1;  5  2 1  3 564 1.21 18 x   x  x   y y  27   y  3  24 x  y   1.22  y  2 x3  x  y     y  y  x     3x 1.23  x y 3 y 7 x 4   2  y   y xy  x   x xy   x; y    0;1 , 1;9 2 y    x  y   x  y     3 y  x   y   x   x; y    4;2 4   x 1  x 1  y   y  2   x  x  y  1  y  y    x; y   1;0 ,  2;1 4   x3  x2  y 5  y  2   x  x  y  1  y  y    x; y    2;0 , 3;1 1.24 1.25 1.26 1.27 1.28 1.29 1.30        x; y      3;  x; y    3;4   x  y  x  y   2 3x  x   x x    y  1 y  y   x; y    1; 2  ,   x   y  1  y      2 2  xy  xy  1  x y   x  1  x  x  1  x; y    1;0  ,   x3  y3  3x2  12 y  x  12 y  y   x    xy  1 x  y x  y   x; y      x  xy  y  y    3x   y   45  24    2 ;  3 3   13 1  13  ;  2   3 2  ;3  2     x; y   1;1 ,  33;   33 , 33; 33  565 1.31 1.32 1.33 1.34 1.35 1.36 1.37 1.38 1.39  2 x y  y  x  x  x  y   x         x; y     x11  xy10  y 22  y12   4 2 7 y  13x   y x  3x  y  1  16  89    x ; y  ;      89     y  3x  x  23  y      y  x  10 x  27   y   x; y    2;  x y  x 1  x   y      3 x   x  y  y   x; y     y  x  1   y  1 y    2  y x  4x   y  y    x; y     x x  y  y  x  x3  x     x  x  x   y  x  1  4,5  x; y    4  x y   3x   x y   x  2 x y  x  x  x  x3 y y   x; y     2 x3  x  3x   x   y   y    x   14  x  y   x; y    7;  x3   y    x  1 y  1 x  x 1   x  y  1  x  x     x; y       3;3 ,  3;3   2  3  ;1 , 1;4  2   ;1 2  25 25  ;   16 16  5 ;   ,  0; y  , y  R  6 111    98  1  ;0    566 1.40  x2  2 x   x  yx  y     x   3    y  2x  x  x   2x   x; y    1.41    2   x  y   1    x  xy  y    2 x  y    2 3x  y   10 xy  x; y    1; 2 ,  2;1 3x   x  y   y    y x 1   y   7x  y   y    x; y   8;3 , 3;2   y2  1   2  x  x  x  y  x  1  2 4 y x   x  y  3x    x; y    2;  2 y  y  x    4 x   xy y     x; y     2  x   x    y   x   y   x  x  y   x; y    3;0 1.46  2x  x2  x    y2   2y   19  3x   2  y  1  30   y  1  x  11   x; y    2;5 , 3;7  1.47   x  y   x  12 y   8 y  y   y    x  1 x  y    x  y   x   x; y    0;0 , 1;1 1.42 1.43 1.44 1.45  1   ;     1  2   ;2  ,   ;1    567 1.48 1.49  x  y  x  x    x   x  xy  y     2 2  x  y  x  y   1  x  y  2  x  x  2x   y  y   2   x  y  3x  y     10 10  ;     x; y    2;2  ,   x; y    1 3 1 ; , ;  2 2 4 4 3x2  x   x x    y  1 y  y   2  x  y  x  y   x; y    1; 2  ,   y3  y  y  x  22 x  21   x  1 x   2 x  11x   y  x; y   1;0 , 5;2 1.52 16 y   85  x  3 16  x  y   x   x   y   21  x; y    1.53  y  24 y  18  2  y     x2  y   y  17  1.50 1.51 1.54 1.55   x   x  2    ;7  2    x; y   1    xy   y x   2  y   x  1 x  x   x  x  x   3x y     x y  x   2 ;  3 3  y    8x2 y3 5; 1  5    x; y      ;1    x; y    4; 1   8 568 [...]... vào phương trình thứ nhất của hệ ta được: 491   4x  2  2 4 x2  4 x  3  4  6 1 2 Vế trái là hàm đồng biến nên phương trình có nghiệm duy nhất x   y  6 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất  x; y    ; 6  2 1       x  x2  1 y  y 2  1  1   Bài toán 23 Giải hệ phương trình  y 35  y   x 2  1 12  Giải Từ phương trình đầu của hệ suy ra x   y Thay x   y vào phương trình. .. 39: Giải hệ phương trình  3   x  y  3 x  3 y  19  105  y  xy Giải Điều kiện: x  y  0, x  3 y  19  0 Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: x3  x   y  1  y  1  x  y  1 3 Thay x  y  1 vào phương trình thứ hai của hệ ta được: 2 y  1  3 4 y  20  105  y 3  y 2  y  y 3  y 2  y  2 y  1  6 y  5  105  0 1 Hàm số f  y   y3  y 2  y  2 y  1  6 y  5  105 ... không thỏa mãn hệ phương trình vì vậy x  2 2 3  2 2  Viết phương trình thứ hai của hệ dưới dạng: 3   2 2 x  3x   x 2   y  1   3 x 2   y  1 1   3 2 Hàm số f  t   t 3  3t 2 đồng biến trên  2;   nên phương trình 1  f  x   2 2 f  x 2   y  1   x  x 2   y  1  y  1   510 Thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được x  2 Vậy hệ phương trình có nghiệm... 9  y  8 1  10  x   x7 4 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất  x; y    9;8 2  2 x  11x  2 y  10  0 Bài toán 27: Giải hệ phương trình  3 2 2   y  3 y  4 x  22 x  y  21   2 x  1 2 x  1 Giải Điều kiện: x  1 2 Phương trình thứ hai của hệ tương đương với: 3  y  1 2x 1  2x 1  y  1  2x 1   2  y  2 y  1  2x 1  y  1 x  1  Ta có hệ phương trình:  y 2... t  1  1  t  0  f '(t )  0 Do đó hàm số f(t) đồng biến trên  ;1 Nên từ (b)  f ( x)  f ( y)  x  y Thay vào phương trình thứ hai trong hệ ta có phương trình: x2  4 x  2  0  x  2  6 (nhận)  y  2  6  x  y  1  y  1  x  0 Bài toán 42: Giải hệ phương trình   x  1  y  2 Giải Điều kiện: 0  x  1,0  y  1 Phương trình thứ nhất của hệ được viết lại dưới dạng: 507 x  1...  2 y  10  0   y  1 3  y 1    Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất  x; y   1;0 1 3x  4  2 x  3y  1  y  y  x  1 Bài toán 28: Giải hệ   9 y  2  3 7x  2 y  2  2 y  3  Giải  x  1  Điều kiện:  2 y   9 495 Phương trình thứ nhất trong hệ được biến đổi thành hệ phương trình: 3x  4 1  y2  3y  y x 1 1 1  x 1 3 x 1   y2  3y  (1) y x 1 1 Xét hàm số f ... vào phương trình thứ hai của hệ ta được: 488 x 2  1  x 2  3 2  x  1   x  1  2 2  x 2  1  x 2  3 1  x 2  2  0  2 1  x 2  x 2  2  x  0  y  1 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất  x; y    0;1 2 x 2  3  y  y  2    y  5  x  Bài toán 20: Giải hệ   x, y  R  x  4  2 x  3  y  10     Giải x  3  y  10 Điều kiện:  Phương trình thứ nhất trong hệ được... 1 Bài toán 30: Giải hệ phương trình   x 1  y 1 1  0  Giải Điều kiện: x  1, y  1 Khi đó phương trình thứ nhất của hệ được biến đổi thành: x3  x  log 2 x   2 y   2 y  log 2 2 y 3 1  0, t  0 t ln 2 Suy ra hàm số đơn điệu tăng Từ đó suy ra f  x   f  2 y   x  2 y Ta xét hàm số f  t   t 3  t  log2 t , t  0 Ta có f '  t   3t 2  1  Thay x  2 y vào phương trình thứ hai... Bài toán 34: Giải hệ phương trình  18  9 8 y  7  8 3  2 y  17  4 y  4 3  2 y  2  x 1 Giải 3 2 Nhận thấy x  0 không là nghiệm của hệ phương trình Xét x  0 khi đó phương trình đầu của hệ tương đương với: Điều kiện: y  ,8 y  7  8 3  2 y  0 3   3 1  1  1 1   1   3  2 y  3  2 y  1  3  2 y     x  x  x 1 Thay  1  3  2 y vào phương trình thứ hai của hệ ta được:... toán 18: Giải hệ phương trình   2 x  x 2  2 1  y 2  2 x  1 Giải Điều kiện: 0  x  2, 1  y  1 Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:  x  1 3  3  x  1   1 y2   3 1 y 3 2 Xét hàm số f  t   t 3  3t trên  1;1 ta có: f '  t   3t 2  3  0, t   1;1 nên f  t  là hàm nghịch biến trên  1;1 Vì vậy: f  x  1  f   1 y2  x 1  1 y2 Hệ phương trình tương