Phương pháp ép biến trong bài toán bất đẳng thức và min max

Bài toán Min Max xử lýBĐT phương ép biên CHUYÊN ĐỀ THI pháp THPT QG MỖI TUẦN CHỦ ĐỀ TUẦN : ÉP BIÊN BÀI MẪU – Đề 11 Thầy Quang Baby : Cho a, b, c số thực thỏa mãn a, c  1; b  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P a b  c  b  2c  c  a  b b  2a   a  c   2b    ac  Lời giải Ta có 1  a   b     2a  b  ab   2a  b  ab   c  a  b c  a  b 1    b  2a ab  b  2a ab  Tương tự ta có a b  c b  2c  a b  c  bc  Lại có 2  a  c   2b    a  c   b    a  c     a  c  b  4ac    ab  ac  bc     P c  a  b ab   a b  c bc    ab  bc  ca    ac  3  ac  bc   ab  ac  ab  bc  ca    1    1  2 ac   ab    bc    ab  bc  ca   1     ab  bc  ca      2 2 ab  bc  ca   ab  bc  ac   Xét hàm số f  t   t  2 t7 27 Mà t  ab  bc  ca   P   45 t7 45 13  57 Vậy giá trị nhỏ biểu thức P 13 , dấu "  " xảy a  1, b  2, c  Thầy Quang Baby – Tr.Quang – Q.Việt - Thành Tuấn Page Bài toán Min Max xử lý phương pháp ép biên Bài : CHUYÊN ĐHSP HN Cho số thực a, b, c thay đổi thuộc đoạn [1;2] thỏa mãn a  b  c  Chứng minh đẳng thức: a2 b2 c2    bc  ac  ab  Bài giải: Từ giả thiết ta có: (b  1)(c  2)  bc   2b  c   2(bc  2)  3(b  c)  3(4  a)  (b  2)(c  1)  bc   b  2c a2 a2 Do đó: ; đẳng thức xảy  a = 0; b = c =  bc   a Tương tự: Suy ra: b2 b2 c2 c2   ac   b ab   c a2 b2 c2  a2 b2 c2         (*) bc  ac  ab    a  b  c  ( Không tồn a, b, c để đẳng thức xảy ) t2 ; t  [1; 2] 4t t (8  t ) Ta có: f / (t )   0; t  [1; 2] nên hàm số f  t  đồng biến 1; 2 (4  t ) Xét hàm số: f (t )  1 Suy f (t )  f    t  [1; 2] 2 Thay t a, b, c vào vế trái (*) ta được: P a2 b2 c2 21 1        bc  ac  ab   3  Vậy P  Bài – Sưu tập Chuyên Bắc Ninh :Với số thực:  a, b, c  thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P   a   b   c Ta chứng minh :  a   b    a  b (*) Thật vậy: (*)   a   b  (1  a)(1  b)    a  b   a  b  (1  a)(1  b)   a  b  ab  (luôn đúng) Vì vai trò a,b,c nên không tính tổng quát giả sử a  b  c Thầy Quang Baby – Tr.Quang – Q.Việt - Thành Tuấn Page Bài toán Min Max xử lý phương pháp ép biên Suy :  c  Theo (*) ta có: P    a  b   c    c   c Xét hàm: f (c )    c   c ;1  c  Ta có f / (c)   4c  1 c ; f / (c )   c  3 Ta có: f (1)  f (2)    3; f     10 Vậy : P    2 Vậy GTNN P là:   Bài 3: Nhiều trường chọn để thi thử Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn: a  [0;1], b  [0; 2], c  [0;3] Tìm gía trị lớn P  2(2ab  ac  bc) 8b b    2a  b  3c b  c  b( a  c )  12a  3b  27c  Ta có a  [0;1], b  [0; 2], c  [0;3] (1  a )(b  c)  b  c  ab  ac    2a  b  3c  2ab  bc  ac (2  b)(a  c)   2a  2c  ab  bc 2(2ab  ac  bc) 2(2ab  ac  bc)    2a  b  3c  2ab  ac  bc Mặt khác b  c  a(b  c) ( a  [0;1] ) 8b 8b 8b   b  c  b(a  c )  a (b  c)  b(a  c)  2ab  bc  ac  Với số thực x, y, z, ta có:  ( x  y )2  ( y  z )  ( y  x)   2( x  y  z )  xy  yz  xz  3( x  y  z )  ( x  y  z )2  12a  3b  27c  (2a )  b  (3c)   (2a  b  3c)2  2a  b  3c  2ab  bc  ac  b  b 2ab  bc  ac  12a  3b  27c  Suy 2(2ab  bc  ac) 8b b P    2ab  bc  ac 2ab  bc  ac  2ab  bc  ac  2(2ab  bc  ac) P   2ab  bc  ac 2ab  bc  ac  Đặt t  2ab  bc  ac  t  [0;13] Xét hàm số: f (t )  2t  , t  [0;3] t 1 t  Thầy Quang Baby – Tr.Quang – Q.Việt - Thành Tuấn Page Bài toán Min Max xử lý phương pháp ép biên f / (t )   , f / (t )   t  2 (t  1) (t  8) 16 47 16 ; f (13)   f (t )  t  [0;13] 21 16 16 16 Do đó: P  Khi a  1; b  2; c  P  Vậy GTLN P 7 f (0)  1; f (6)  Bài (Sưu tập) : Cho số thực x, y, z thỏa mãn x, y, z  1 x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức: P  x2 y2   x  y  4( xy  1) z  z  Phân tích ý tưởng: Lời giải: Từ giả thiết ta có: ( x  1)( y  1)   xy  ( x  y )  x  y   z Do x  y  4( xy  1)  ( x  y)2  xy   ( x  y)2  2( x  y)   ( x  y  1)2   z  z  Khi đó, suy P  x2 y2  x2 y2  x2  y2      x  y  4( xy  1) z  z  z  z  z  z  z  z  Mặt khác: x  y  ( x  y )2  xy  ( x  y )2  2( x  y)   ( x  y  1)   z  z  17 z  z  17 z  z  17 Đặt (*) Khi (*) t  z2  4z  z2  4z   (t  1) z  (8  4t ) z  5t  16  Vì P  Phương trình có nghiệm /   (4  2t )2  (t  1)(5t  16)   5t  t    t  5 3 3  5 Suy P  Dấu xảy  x; y; z    1; ;   x; y; z    ; 1;  2 2  2 Vậy giá trị lớn biểu thức P Bài 5: Sưu tập Cho a  [1; 2] Chứng minh (2a  3a  4a )(6a  8a  12a )  24a1 1  BĐT  (2a  3a  4a )  a  a  a 2    24  Do a  [1; 2]   2a  4;3  3a  9;  4a  16   2a  16;  3a  16;  4a  16 (0.25đ) Với x  [2;16] ta có: Thầy Quang Baby – Tr.Quang – Q.Việt - Thành Tuấn Page Bài toán Min Max xử lý phương pháp ép biên ( x  2)( x  16)   x  18 x  32   x  18  1  Từ suy ra: 32  a  a  a 2 32  18  x x  a a a   54  (2   )  1  54  (2a  3a  4a )   a  a  a  32  2 1  Khi đó:  (2a  3a  4a )  a  a  a 2 a a a a a a  (2   )[54  (2   )]   32  Bài : (Mẫn Ngọc Quang) Cho số thực a,b,c thỏa mãn:  (2a, b)   c Tìm MIN P 2a (b  c)  bc  ab a (b  c ) 4b( a  c)   72 2( a  b  2c )  28a  7b  2c  Ta có : 2(2a  b  c)2  5(2a  b)2   28a  7b2  2c  12ab  8ac  4bc 2a (b  c)  b(a  c)  a  b  2c  (2a, b)   c 3ab  2ac  bc 4a(b  c) 4b(a  c)   72 3ab  2ac  bc  12ab  8ac  2bc   ab  ac  3ab  2ac  bc 4b(a  c)    1 1 72   3ab  2ac  bc   3ab  2ac  bc   2 2   3t t   , t  3ab  2ac  bc  72 t  P Xét hàm số ta có kết dấu xảy : t = 11/2 , a = ½ , b = , c = Câu 7:Đề thi thử (Nhóm học sinh thầy Quang Baby) Cho số thực x, y, z thuộc  0;1 z   x, y, z Tìm GTNN biểu thức: P  x  z2 y  14 yz  z  y  z   x  1 y  1 z  1 x y z2 Lời giải Thầy Quang Baby – Tr.Quang – Q.Việt - Thành Tuấn Page Bài toán Min Max xử lý phương pháp ép biên z Do z   x, y, z nên ta có x  z   x    2 Ta lại có z  y   y  z   y  y z  y z  yz  z  y  14 yz y  y z  y  y  14 yz  z  2  y  14 yz  z  Do ta có P  Ta có  x  z  2  y  z y z  x  2    y  z  2  y  14 yz  z  y  z  z  y  2     1  y y  z  z y  2   x  1 y  1 z  1 x yz2  z  z   x  y  z 2  x  y      2  Và  x  1 y  1 z  1    x  y  z    xy  yz  zx   xyz    x  y  z    xy  yz  zx  Lại có 1  x 1  y 1  z     x  y  z    xy  yz  zx   xyz   xy  yz  zx  x  y  z   xyz  x  y  z   P  Xét hàm số f  t   Ta có f '  t     x  y  z  16  x  y  z  x yz2 16t  với t  a  b  c t  0;3 t2 t  16 32  ; f '  t    t   f  t   f    10 t t  2 Vậy giá trị nhỏ biểu thức P 10 , dấu "  " xảy x  y  1, z  Câu 8: Đề thi thử (Nhóm học sinh thầy Quang Baby) Cho số thực x, y , z  thõa mãn xyz   x  y  z Thầy Quang Baby – Tr.Quang – Q.Việt - Thành Tuấn Tìm GTLN biểu thức Page Bài toán Min Max xử lý phương pháp ép biên P 2x2  x   y2  y   2z  z   x  y  z  2 xyz  Lời giải Cách 1: ép biên Ta có: x( x  1)   x  x   x  x   x  x   x  x   x  Tương tự ta có: Do : P  y  y   y  1; z  z   z  2x 1  y 1  2z 1 2( x  y  z )       2 ( x  y  z) xyz  ( x  y  z) x  y  z x  y  z (x  y  z) Xét hàm số f  t    với t  x  y  z  t t2 Hàm số f  t  nghịch biến nên P  f  t   f  3  Vậy giá trị lớn biểu thức P 1, dấu "  " xảy x  y  z  Câu 9: Đề thi thử 16 (Nhóm học sinh thầy Quang Baby) Cho  a, b, c  , a (4  a  b)  c(a  b) Tìm GTNN : P  1  a  b 1  b  c 1  c  a   16a  16bc  64a Ép biên :  a, b, c  *)a(4  a  b)  c(a  b)  4a  a  ac  bc  ab  (a  b)(a  c) *)16a  16bc  64a  16(ab  ac) *)(1  a  b)(1  c  a)(1  b  c)  (1  6a  b  c)(1  b  c)   6a  2b  2c  6a(b  c)  (b  c)  P   6a  2b  2c  6a(b  c)  (b  c)  16(ab  ac)   (2a  4a )  (b  c)  2b  2c  10a(b  c)   [2a]   4a  (b  c)    2b  2c   10a(b  c) Vi :  a, b, c   [2a ]  a (b  c),  4a  (b  c)2   4a (b  c),  2b  2c   2a (b  c)  P   a(b  c)  4a(b  c)  2a(b  c)  10a(b  c)    5 Bài 10 : Đề thi thử THPT Đào Duy Từ Năm 2012 Thầy Quang Baby – Tr.Quang – Q.Việt - Thành Tuấn Page Bài toán Min Max xử lý phương pháp ép biên a, b, c   0,1 Chứng minh : P  a b c    abc   bc  ac  ab Giải: không làm tính tổng quát toán, ta giả sử:  a  b  c  Ta có: A  a b c b c bc    abc     bc  bc    bc  ac  ab  bc  bc  bc  bc  bc Ta có: 1  b 1  c     bc  b  c   Vậy nên: A  bc   bc 1  bc 1  bc Đặt t   ab 1  t   đó: 1 f  t   t   f '  t       :1  t   t t  f  t  đồng biến 1; 2  f  t max  f     a  b  c 1 Bài 11 : ( trích đề thi thử Đô Lương 1) Cho x, y, z   0; 2 ; xy  yz  zx  Tìm P  x  y  z  10  xy  yz  zx   96 x3  y  z Bài Làm:   Ta có: P   x  y  z   x  y  z  96 3 x  y3  z x  y  z   x  x    y  y    z  z      x  y  z    x  y  z  x  y   x  y  , z  z Thầy Quang Baby – Tr.Quang – Q.Việt - Thành Tuấn Page Bài toán Min Max xử lý phương pháp ép biên Khi đo: P  5 x  y  z   8 x  y  z   96 2 x  y  z Đặt: t  x  y  z  t    P  5t  8t  48  Pmin  28  x  2, y  z  t Bài 12 : ( trích đề thi thử Đặng Thục Hứa 2016) a, b, c  1,3 , a  b  c  Tìm Max P a  b  5c  6abc   abc ab  bc  ca Bài Làm Ta đánh giá:  a  1 a   a  1 a     b   b  1 b   b  1   a  b  5a  5b  P  a  b  c   6abc  ab  bc  ca  abc Ta lại có:  a  1 b  1 c  1   abc    ab  bc  ca    abc  3    a   b   c    6abc  73 P  abc  10   Pmax   a  b  1, c  abc  Vậy Pmax   a  b  1, c  Bài 13) ( Trích đề thi thử Anh Sơn 2)giống câu (lời giải khác) Cho số thực a,b,c thỏa mãn: a   0,1 , b   0, 2 , c   0,3 Tìm Max P  2(2ab  bc  ac) 8b b    2a  b  3c b  c  b( a  c )  12a  3b  27c  Thầy Quang Baby – Tr.Quang – Q.Việt - Thành Tuấn Page Bài toán Min Max xử lý phương pháp ép biên Giải: Ta có: 1  a  b  c    2a  b  3c  2ab  ca  bc    b  a  c   PTa có: b  c  a  b  c   2 2  12a  3b  27c   2a  b  3c   2ab  bc  ca  8b b P    2ab  bc  ca 2ab  bc  ca  2ab  bc  ca  Đặt t  2ab  bc  ca  t   P 2t 16 16    Pmax   a  1, b  2, c  1 t t  7 Vậy Pmax  16  a  1, b  2, c  Bài 14 ) Đề THPT Ngô Sĩ Liên x, y , z   0,1 Chứng minh : P  (1  1 1 )( x  y  z )     xyz x y z Giải: Ta có:  x  1 y  1   xy   x  y    1   xy x y 1 1 1    2     xy yz zx x y z   1 1 1  1  x  y  z      x  y  z  2     x  y  z  xy yz zx  xyz  x y z Ta có: P   Thầy Quang Baby – Tr.Quang – Q.Việt - Thành Tuấn Page 10 Bài toán Min Max xử lý phương pháp ép biên 1 1 1 1 1       x  y  z        x  y  z   x  y  z   P  x  y  z   dpcm  x y z x y z x y z Dấu xảy  x  y  z  P Bài 15 (Sưu tập ) x, y, z  1, 4 , x  y  z  Tìm : P  z x2  y   8( x  y ) xyz Giải: z x2  y  z x2  y2 z P        2 2 2 xyz xyz xyz  x  y  z xyz 8 x  y  8 x  y   x  1 y  1   xy  x  y    z 2  x  y   z  10 z  26 Ta có:  P z 1     z  10 z  26  z z   z  2  z    z  45 z  117  Ta chưng minh: P   0 z   z   z  10 z  26  MaxP   x  y  1, z  Bài 16) ( Trích đề thi thử lần thư Thầy Đặng Thành Nam ) a, b, c   0,1 Tìm GTLN biểu thức: P  a b c    2(1  a)(1  b)(1  c) bc  ac  ab  Bài giải: ( Trích lời giải từ: Phong Đình Nhữ ) Giả sử c  b  a Ta có: 1  a 1  b    ab   a  b Ta chứng minh: Thầy Quang Baby – Tr.Quang – Q.Việt - Thành Tuấn Page 11 Bài toán Min Max xử lý phương pháp ép biên 2a  a  bc   a  b   2bc   a  b  2b  b   2ca   a  b   ca  a  b  2c  c  ab   a  b   2ab   a  b  P  a  b  c  1  a 1  b 1  c 1  a  b   a  b  c  1  c     2 a  b 1 1 a  b a  b 1 1 a  b Dấu xảy  a  b  c  a  b  1, c  ( hoán vị)  1 Bài 17 ( Trích đề số 11 thầy Đặng Thành Nam ) a, b, c   0,  Tìm  2 P a b c    (1  a)(1  b)(1  c) b  c 1 a  c 1 a  b 1 Bài giải: ( Trích từ: Phong Đình Nhữ )  5   1  a  b  a  b    a  b  a  b  8      2 27     Áp dụng AM - GM ta có:   1 c  a   a    b       2    Ta có: 5   5   c  a  b b  a  c a   2    1 a 1 b 1 c P       b  c 1 8 5   5   c   a    b  b   a   c  a   2    1 a 1 b 1 c Đặt: f  a         b  c 1 8      Ta có: f  a    f   , f     Ta có ) f     bc  7  b  c    b  c    c  g  b  32 32  32 8 Thầy Quang Baby – Tr.Quang – Q.Việt - Thành Tuấn Page 12 Bài toán Min Max xử lý phương pháp ép biên 3 8 Do  c    1   0, c  0;  32   2 1  f 0  g b  g    2 bc 1 ) f       8    b  c  Vậy Pmin  abc Bài 18 ) a, b, c  1,3 , a  b  c  Tìm max P  abc(a3  b3  c3 )2 Bài giải: Ta có: a  b3  c   a  b  c    a  b  b  c  c  a   216  18  ab  bc  ca   3abc Ta có:  a  3 b  3 c  3    ab  bc  ca    a  b  c   27  abc  27  abc   P  3  ab  bc  ca   27  216  18  ab  bc  ca   3  ab  bc  ca   27   P   ab  bc  ca   135   ab  bc  ca   2  P  7776 Vậy Pmax  7776  a  1, b  2, c  hoán vị Bài 19 ( Sưu tập ) : Cho a, b, c  1, 2 , a  b  c  Tìm GTLN của: P  a  c  21b  14 3 12(a  b )  28b  25 Giải: a  21a  20   a  1 a   a  5   c  21c  20 Ta có:  3a  7a   3c  7c  Thầy Quang Baby – Tr.Quang – Q.Việt - Thành Tuấn Page 13 Bài toán Min Max xử lý phương pháp ép biên P  21 a  b  c   40  14 28  a  b  c   Đặt: t  a  b  c  a  1 b  1 c  1  13 29  ab  bc  ca   t   a   b   c    Với  c  b  a   Bài 20 : Cho a  b  2c  ab  bc  ca  Tìm Giá trị lớn biểu thức: a  2b  4c    ab  bc  ca  b  ab  bc  3ac P  2a  4b  8c  18  Bài giải:  ) Từ giã thiết ta có:  b  a  b  c    b2  ca  b  a  c  b  ab  bc  3ac  b  ab  bc  3ac   ab  bc  ca    ab  bc  ca 2  ) Mặt khác ta lại có:  a  1   b   2   c  2   2a  4b  8c  18  a  b  2c   ab  bc  ca Suy ra: 2a  4b  8c  18  ab  bc  ca  ) Từ ta có: P  ab  bc  ca   ab  bc  ca  2 2 4  ab  bc  ca  2  2 a  b  c  Dấu bẳng xảy khi:  Bài 22 : Đề thi thử (Thầy Quang Baby) Cho số thực x, y, z  0;1 z   x, y, z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Thầy Quang Baby – Tr.Quang – Q.Việt - Thành Tuấn Page 14 Bài toán Min Max xử lý phương pháp ép biên  y  z P xz  yz  1  y  y  z  xy  xz  yz  Lời giải Với toán có điều kiện biên x, y, z  0;1 tìm cách khai thác , dự đoán điểm rơi là: x  y  1, z  có chứa xy  xz  yz mẫu , hạng tử gợi ý cho xy  xz  yz dồn biến xy  xz  yz Hơn với Ta có: x,  0;1 Suy xx ,  y  z xz  x  y  z x x  z  x2  y  z  xx  z  Dấu A = B > Do đự đoán A.B A  B điểm rơi x = y = , z = nên khả x = x + z y = y + z hoàn toàn xảy Áp dụng BĐT phụ Cô-Si ngược ta có : Ta có: x2  y  z  2  x  y  z 2x  z x x  z Do P  2 2  yz  1 x2  y  z  2x  z  2y  z 2  yz  1  yz    2y  z y  y  z  xy  yz  xz  1  2   xy  xz  yz x yz xy  xz  yz A2 B ( A  B)   , x y x y Với điều kiện: x, y, z  0;1 , ta có: 1  x 1  x 1  x    xy  yz  xz   xyz  x  y  z  x  y  z Suy P  x  y  z  xy  xz  yz Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có: x   y  z   x  y  z   x  y  z   xy  xz  yz  Thầy Quang Baby – Tr.Quang – Q.Việt - Thành Tuấn Page 15 Bài toán Min Max xử lý phương pháp ép biên Mà x, y, z  0;1 ,  x  y  z  x2  y  z   xy  xz  yz  Suy P  2( xy  xz  yz )  xy  xz  yz AM  GM  x  y  Dấu “=” xảy   z  Vậy giá trị nhỏ P MinP  đạt  x; y; z   1;1;0 GÓC NHÌN TỪ ĐỀ THI ĐẠI HỌC : Câu – 2014D: Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện  x  2;  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x  2y y  2x   x  y  y  3x   x  y  1 Bài giải: Do  x  nên  x  1 x    0, nghĩa x   x Tương tự y   y Suy P  x  2y y  2x x y     x  y  3x  y   x  y  1 x  y   x  y  1 Đặt t  x  y, suy  t  Xét f  t   Ta có f '  t   Mà f     t  1   t  1 t  , với  t  t   t  1 Suy f '  t    t  11 53 7 ; f  3  ; f    nên f  t   f  3  Do P  12 60 8 Khi x  1, y  P  x  7 Vậy Pmin    8 y  Câu 10 – 2015 : Cho số thực a, b, c thuộc đoạn 1;3 thỏa mãn điều kiện a  b  c  Thầy Quang Baby – Tr.Quang – Q.Việt - Thành Tuấn Page 16 Bài toán Min Max xử lý phương pháp ép biên Tìm giá trị lớn biểu thức P  a 2b  b c  c a  12abc  72  abc ab  bc  ca Bài giải: Đặt t  ab  bc  ca Ta có: 36   a  b  c   1 2 a  b    b  c    c  a    3t  3t Suy t  12   2 Mặt khác  a  1 b  1 c  1  nên abc  ab  bc  ca   t  5;   a   b   c   nên 3t   ab  bc  ca   abc  27  t  22 Suy t  11 Khi P  a 2b  b c  c a  12abc  72  abc ab  bc  ca  ab  bc  ca    72 abc t  72 t  t  5t  144     ab  bc  ca t 2t Xét hàm số f  t   t  5t  144 t  144 với t  11;12 Ta có f '  t   2t 2t Do f '  t   0, t  11;12 , nên f '  t  nghịch biến 11;12 Suy f  t   f 11  160 160 160 Do P   Pmax   a  1, b  2, c  hoán vị 11 11 11 chúng CÂU HỎI ĐẺ HỌC SINH SUY NGHĨ VÀ VẬN DỤNG Câu : Bài 20 : Cho x, y, z  1;3 Tìm Giá trị nhỏ biểu thức:  10  4608 P   x  y  3z   y  z      x  y  xy  z Câu : a, b, c  1; 2 Bài 21 (Đề thi thử 19 – Thầy Mẫn Ngọc Quang): Cho  a  b  c  Thầy Quang Baby – Tr.Quang – Q.Việt - Thành Tuấn Page 17 Bài toán Min Max xử x lý ng phương pháp ép biên Tìm Giá trị nhó biểu thứ ức:  c  1 P  2abc  10c   a  b  c  1  a  b  1  Thầy Quang Baby – Tr.Quang Quang – Q.Việt - Thành Tuấn 13 4c  13  Page 18 [...]...  1 b  c  2 Dấu bẳng xảy ra khi và chỉ khi:  Bài 22 : Đề thi thử 6 (Thầy Quang Baby) Cho các số thực x, y, z  0;1 và z  min  x, y, z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Thầy Quang Baby – Tr.Quang – Q.Việt - Thành Tuấn Page 14 Bài toán Min Max xử lý bằng phương pháp ép biên  y  z P 2 xz  yz  1  2 y  y  z  xy  xz  yz  Lời giải Với những bài toán có điều kiện biên x, y, z  0;1... Khi x  1, y  2 thì P  x  1 7 7 Vậy Pmin    8 8 y  2 Câu 10 – 2015 : Cho các số thực a, b, c thuộc đoạn 1;3 và thỏa mãn điều kiện a  b  c  6 Thầy Quang Baby – Tr.Quang – Q.Việt - Thành Tuấn Page 16 Bài toán Min Max xử lý bằng phương pháp ép biên Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  a 2b 2  b 2 c 2  c 2 a 2  12abc  72 1  abc ab  bc  ca 2 Bài giải: Đặt t  ab  bc  ca 2 Ta có:...   0  xy  yz  xz  1  xyz  x  y  z  x  y  z Suy ra P  x  y  z  2 xy  xz  yz Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có: 2 x 2   y  z   2 x  y  z   x 2  y 2  z 2  2  xy  xz  yz  Thầy Quang Baby – Tr.Quang – Q.Việt - Thành Tuấn Page 15 Bài toán Min Max xử lý bằng phương pháp ép biên Mà x, y, z  0;1 ,  x  y  z  x2  y 2  z 2  2  xy  xz  yz  Suy ra P  2( xy  xz .. .Bài toán Min Max xử lý bằng phương pháp ép biên 1 1 1 1 1 1 1 1 1       x  y  z  3  2      x  y  z   x  y  z  3  P  x  y  z  3  dpcm  x y z x y z x y z Dấu bằng xảy ra  x  y  z  1 P Bài 15 (Sưu tập ) x, y, z  1, 4 , x  y  z  6 Tìm min : P  z x2  y 2  1  8( x 2  y 2 ) xyz Giải: z x2  y 2... có: f  a  min   f  0  , f     3 8 Ta có ) f  0   1  bc  7 3 7 7  b  c   1  b  c    c  g  b  32 32  32 8 Thầy Quang Baby – Tr.Quang – Q.Việt - Thành Tuấn Page 12 Bài toán Min Max xử lý bằng phương pháp ép biên 3 8 Do  c  7   1   0, c  0;  32   2 1 7  f 0  g b  g    2 8 1 bc 1 7 1 ) f       8 2 8  2  2  2 b  c  Vậy Pmin  7 1... Vậy Pmax  7776  a  1, b  2, c  3 và các hoán vị Bài 19 ( Sưu tập ) : Cho a, b, c  1, 2 , a  b  c  9 2 Tìm GTLN của: P  a 6  c 6  21b 2  14 3 3 12(a  b )  28b 2  25 Giải: a 6  21a 2  20   a 2  1 a 2  4  a 2  5  0  c 6  21c 2  20 Ta có:  3 2 3a  7a  4  3 2 3c  7c  4 Thầy Quang Baby – Tr.Quang – Q.Việt - Thành Tuấn Page 13 Bài toán Min Max xử lý bằng phương pháp. .. Page 11 Bài toán Min Max xử lý bằng phương pháp ép biên 2a  a  bc  1  a  b  1  2bc  1  a  b  2b  b   2ca  1  a  b   ca  1 a  b  1 2c  c  ab  1  a  b  1  2ab  1  a  b  P 2  a  b  c  2 1  a 1  b 1  c 1  a  b  2  a  b  c  2 1  c     2 a  b 1 1 a  b a  b 1 1 a  b Dấu bằng xảy ra  a  b  c  0 hoặc a  b  1, c  0 ( hoán vị)  1 Bài. .. nên f '  t  nghịch biến trên 11;12 Suy ra f  t   f 11  160 160 160 Do đó P   Pmax   a  1, b  2, c  3 và các hoán vị của 11 11 11 chúng CÂU HỎI ĐẺ HỌC SINH SUY NGHĨ VÀ VẬN DỤNG Câu 1 : Bài 20 : Cho x, y, z  1;3 Tìm Giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2  10 2  4608 P   x  2 y 2  3z 2   y  z   2  2  3  x  y  xy  9 z Câu 2 : a, b, c  1; 2 Bài 21 (Đề thi thử 19... 2  3  x  y  xy  9 z Câu 2 : a, b, c  1; 2 Bài 21 (Đề thi thử 19 – Thầy Mẫn Ngọc Quang): Cho  a  b  c  5 Thầy Quang Baby – Tr.Quang – Q.Việt - Thành Tuấn Page 17 Bài toán Min Max xử x lý bằng ng phương pháp ép biên Tìm Giá trị nhó nhất của biểu thứ ức: 3  c  1 P  2abc  10c  3  a  b  c 2  1  a  b  1 2  Thầy Quang Baby – Tr.Quang Quang – Q.Việt - Thành Tuấn 13 4c 2 ...  117  1 Ta chưng minh: P   0 2 8 z  5  z   z 2  10 z  26  MaxP  1  x  y  1, z  4 2 Bài 16) ( Trích đề thi thử lần thư 6 Thầy Đặng Thành Nam ) a, b, c   0,1 Tìm GTLN của biểu thức: P  a b c    2(1  a)(1  b)(1  c) bc  1 ac  1 ab  1 Bài giải: ( Trích lời giải từ: Phong Đình Nhữ ) Giả sử c  b  a Ta có: 1  a 1  b   0  ab  1  a  b Ta sẽ chứng minh: Thầy Quang Baby .. .Bài toán Min Max xử lý phương pháp ép biên Bài : CHUYÊN ĐHSP HN Cho số thực a, b, c thay đổi thuộc đoạn [1;2] thỏa mãn a  b  c  Chứng minh đẳng thức: a2 b2 c2    bc  ac  ab  Bài. .. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có: x   y  z   x  y  z   x  y  z   xy  xz  yz  Thầy Quang Baby – Tr.Quang – Q.Việt - Thành Tuấn Page 15 Bài toán Min Max xử lý phương pháp ép biên...  c)    5 Bài 10 : Đề thi thử THPT Đào Duy Từ Năm 2012 Thầy Quang Baby – Tr.Quang – Q.Việt - Thành Tuấn Page Bài toán Min Max xử lý phương pháp ép biên a, b, c   0,1 Chứng minh : P  a