toanmath com phân dạng các bài toán bất đẳng thức và min max mẫn ngọc quang

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Qstudy.vn H c Tốn Khơng Ti n B , H c Th y Quang TUY N CH N B T Thay NG TH C N M 2016 Giáo MTH n Ng Quang B Tviên:NG C 2cBI N i T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com H c Tốn Khơng Ti n B , H c Th y Quang Qstudy.vn §1: CÁC B T NG TH C i NG TH C PH CH NG MINH B T A B T Thay NG TH C I X NG Bài 1: Cho s th c x, y thay đ i th a x2  y2  Tìm giá tr l n nh t giá tr nh nh t c a bi u   th c P  x3  y3  3xy Bài gi i P   x  y   3xy   x  y  x  xy  y   3xy   x  y  xy  3xy 3 K : t  xy  , t t = x + y t2  2 P  t  t  6t  , v i t  2 t  Xét f (t )  t  t  6t  [-2,2]  f '  t   3t  3t  6; f '  t     t  2 13 Ta có f 1  ; f    1; f  2    7   1  1 x  x    x  y  13 13   max f  t   t = nên max P    2    2,2 2 x  y    y  1  y  1   2  x  y  2  x  y  1 f  t   7 t = -2 nên minP = -  2  2,2 x  y  Bài 2: Cho x  y  th a u ki n x  y  Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c P  xy  Bài gi i  x y     Ta có  xy   P  f t   t  t t  xy , u ki n  t  t t  2 1  f 't     2 t 1  t  1  t  1 B ng bi n thiên xy  T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com H c Tốn Khơng Ti n B , H c Th y Quang Qstudy.vn x P/ Thay + P V y GTLN P  Khi x  1; y  Bài 3: Cho a , b  th a mãn  a  b2   a 2b2 Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P a b   b 1 a 1 a  b2  Ta có a b   a  b    a  b   ab  a  b 2 Bài gi i 2 a  b2    a  b   2ab    a  b    a  b     a  b  1 2  a  b2   a  b  1  a   b  P   1    1    b 1   a 1  a  b2  1     a  b  1   2   a 1 b 1  a  b2    a  b  1  2 a  b  a  b 1 t t  a  b , ta có  a  b  2a  b 2    ab   a  b  16  a b  4  t  1   2; t  ta đ t2 t 1 MinP  M inf  x  x  y  Xét f  t   Bài 4: Cho x, y s th c d P c ng th a mãn xy  x  y  Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: 3x 3y xy     x2  y2  y 1 x 1 x  y Bài gi i t t  x  y  xy   t; x2  y2   x  y  2xy  t    t   t  2t  x y  Ta có xy     3t  t  t    i T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com H c Tốn Khơng Ti n B , H c Th y Quang Qstudy.vn Suy P   x2  y2    x  y   Thay 12 xy   x2  y2   t  t   x y t xy  x  y  12 Xét hàm s f  t   t  t   v i t  t 2 Ta có f '  t   2t    0, t  Suy hàm s t  P  f t   f  2  V y giá tr l n nh t c a P b ng x  y  f  t  ngh ch bi n v i t  Bài 5: Cho x, y hai s th c th a mãn u ki n ( x  y)  xy  Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P  3( x2  y2 )2  2( x  y)2  xy(3xy  4)  2015 Bài gi i V i m i s th c x, y ta ln có ( x  y)  xy , nên t u ki n suy ( x  y)3  ( x  y)2  ( x  y)3  4xy   ( x  y)3  ( x  y)2    x  y  Ta bi n đ i P nh sau 3 ( x  y )  ( x  y )  2( x  y  xy)  xy(3 xy  4)  2015 2 3  ( x  y )  ( x  y )  2( x  y )  2015 (3) 2 ( x  y2 ) nên t (3) suy P  ( x  y )  2( x  y )  2015 Do x  y  t x  y  t t  (do x  y  1) 9 1 Xét hàm s f (t )  t  2t  2015 v i t  , có f ' (t )  t   , v i t  nên hàm s f(t) đ ng bi n 2   32233  ;  Suy f (t )  f     1 16 2 2  t ;   P 2 Do GTNN c a P b ng  32233 ,đ tđ 16 c ch x  y  Bài 6: Cho s d ng x, y Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: 1 P   2 2  x  y 3x  y x  3y Xét bi u th c P  Tr x2  y2 c h t ta ch ng minh  3x2  y2 x  3y 2   Bài gi i  x  y 3x  y 2  x y i T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com H c Tốn Khơng Ti n B , H c Th y Quang Qstudy.vn   x2  y2    1   2   2   3 x y x y    x  y2 3x2  y2       x2  y2   x  y    x2  y2  3x2  y2    x2  y2      2 2 2 2 2  x  y  3x  y   x  y  x  y  3x  y   x  y  1 Th t v y,    x2  y2 3x2  y2  Xét  x 4  x  y   3y  3x y   x  y 0 x  3y 2  3x  y 2  D u “=” x y x = y 2 Nh v y, P   x  y  x  y 3 t, t  ,t  x y 2t  f '(t )   2t ; f '(t )   t  1 Xét hàm s f (t )  2t  B ng bi n thiên t f’(t) – – – + + – 4/3 f(t) t = V y, GTLN c a P x  y  T BBT ta th y GTLN c a f(t) Bài 7: V i moi sô th c x,y thoa man điêu kiên  x2  y2   xy  Tìm giá tr l n nh t nh nh t c a bi u th c P  x4  y4 xy  Bài gi i t t  xy Ta co: xy    x  y  xy  4 xy  xy     1 Va xy    x  y  xy  xy  xy  nên   t    x y Thay i T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com H c Tốn Khơng Ti n B , H c Th y Quang Qstudy.vn x Suy ra: P   y2   x2 y2 2 xy   Thay 7t  2t   2t  1  t  t  t  7t  2t  ; f 't     Xet ham sô f  t   co f '  t    2t  1  2t  1 t  1 l   1 1 f     f    ; f  0   5   15 V y giá tr l n nh t b ng , giá tr nh nh t b ng 15 Bài 8: Gi s x, y s th c d bi u th c P  ng th a mãn  x  y   x2  y2  1 Tìm giá tr nh nh t c a x  2y 2x  y  2 x  y x  y2 Bài gi i Ta co x 2y xy 3 xy x     2 2 x  y x  y  x  y   y x  y xy  y x  y x  y x  y y 2x  y   2 2x  y x  y x  y x  y x y   , vi bât đ ng th c t M t khac, ta cung co 2x  y x  y T ng t , ta cung co ng đ ng v i x2  y2  xy 2  , hay  x  y  2 x  y  xy T đo ta co P   x y  2 Suy P       x y x  y  2x  y x  y  x  y x  y x  y (1) T gi thi t ta l i có  x  y    x2  y2     x  y   2 Suy  x  y  , hay x  y  (2) T (1) (2) ta có P  D u đ ng th c x y ch x  y  Vây gia tri l n nhât cua P b ng 2, đat đ c x  y  Bài 9: Cho hai sô d ng x, y thoa man x2  y2  Tim gia tri nho nhât cua biêu th c  1  1 P   x  1 1     y  1 1    x  y Bài gi i  t  1 t 1 x  y2  x  y Biên đôi P  x  y  2t 2t 2 xy t 1 t 1 t 1  t2  Co  x  y   xy  t  t x  y  t  xy  2 i T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com H c Tốn Khơng Ti n B , H c Th y Quang Qstudy.vn Thay Lai co  x, y   x  x2 , y  y2  x  y  vây  t  Xet ham sô f  t   t  Co f  2  43   n a khoang 1;   t 1 Kêt luân: P  f  t    1;  Bài 10: Cho x y hai s th c d ng thay đ i thu c n a kho ng (0;1] x+y=4xy Tìm gía tr l n 1 1  nh t nh nh t c a bi u th c: P= x2 y  xy2     6 x y  Bài gi i Ta có: xy  x  y  xy  xy  x; y  (0;1]  (1  x)(1  y)    ( x  y)  xy    xy  xy   xy  1 1   ( x  y)  xy   4( xy)    ( xy) xy  P = x2 y  xy2      xy( x  y)   y  6 x 6 t t = xy P = t  1 1   f (t ) v i t   ;  3t  3 24t  1 1 1 1   0, t   ;  suy f (t ) ngh ch bi n đo n  ;  2 3t 3t  3  3 1 1 Do f    f (t)  f   , t   ;   3 4  3 13 đ t đ c ch x  y  maxP =  12 1 11 minP =  đ t đ c ch x  1; y  ho c x  ; y  3 f '(t )  8t  Bài 11: Cho hai s th c th a mãn x  1; y  (x + y) = 4xy 1 1 Tìm gía tr l n nh t nh nh t c a bi u th c: P = x3  y3     x y  Bài gi i 3x2 4x  3y f ( y)  [1; ) có 4y3 t t  xy x  nên 3( x  y)  x y  3x2  3xy  x2 y  xy  Có 3( x  y)  x y  x  f '( y)  3y (vì y  ) Xét hàm s 4y3 9  0, y  [1; )  f ( y)  f (1)    x  (4 y  3) i T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com H c Tốn Khơng Ti n B , H c Th y Quang Qstudy.vn Thay 3x2 9 [1;3]   g ( x)  V y t  [ ;3] 4 4x      Khi P  ( x3  y3 ) 1  3    x  y  3xy( x  y)      ( xy)3   xy   Xét hàm s g(x)   xy 3 12 64 xy     64t 3  64t   4t       4t  1     1    3xy  t 27   ( xy)   27  t    64t 12 64  4t   v i t  [ ;3] t 27 64t 12 8  12  8t   8t  t  1   0,  t  [ ;3] Ta có P '(t )  t 9  t Xét hàm s P (t )  V y MaxP  P (3)   xy  x   x  280  t i t 3  ;  x  y  y 1 y      304  MinP  P      t i t4    36  Bài 12: Cho cac sô th c d A  xy    xy   x y   x  y  ng x,y thoa man x  y  Tim gia tri nho nhât cua biêu th c 1  2 x y Bài gi i Ta co P  xy  1   xy  x y xy x y  t t  xy ta co  t  xy       2 31 31 33 Khi đo: P  t   32t   31t  32.2   16   t 4 t Dâu đ ng th c xay va chi x  y  z  33 Vây A Bài 13: Cho s th c x, y th a mãn  x     y    xy  32 Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c 2 A  x3  y3   xy  1 x  y   Bài gi i Ta có  x  4   y    xy  32   x  y   x  y    x  y  2 A   x  y    x  y   xy    x  y   3  x  y    x  y   Xét hàm s : f  t   t  t  3t  đo n  0;8 i T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com H c Tốn Khơng Ti n B , H c Th y Quang Qstudy.vn Ta có f '  t   3t  3t  3, f '  t    t  Thay i 1 1 ho c t  (lo i) 2    17  5 17  5 , f    398 Suy A    4   Ta có f    6, f  Khi x  y  1 17  5 d u b ng x y V y giá tr nh nh t c a A 4 ng a , b th a mãn a 5b  ab5    ab  1 Tìm giá tr l n nh t c a Bài 14: Cho s th c d P 1 8ab    2  4ab 1 a 1 b Bài gi i Ta có (ab  1)  a b  b5 a    ab(a  b )   2a 3b3   ab  1   2  ab 1 a 1 b 2 8ab  8t  1 P   Xét hàm s f (t )  v i t  ab; t   ;1  t 4t   ab  4ab 2  31  f (t ) max  f ( )  Pmax  a b 12 Khi ta có B T quen thu c : Bài 15: Cho x, y s th c thu c (0;1) th a mãn c a bi u th c P  1 x  1 y ( x3  y3 )( x  y)  (1  x)(1  y) Tìm giá tr l n nh t xy  xy  x2  y2 Bài gi i Ta có: (1  x)(1  y)  Xét P  1  x2 x, y  (0;1)   ( x  y )( x  y)   xy  x  y  xy   3xy  x  y  3xy  xy xy 1  y2  xy  x2  y2  1  x2  1  y2  xy  1  x2  1  y2  xy 1 (*)   2  xy 1 x 1 y Th t v y (*)  (2  x2  y2 )(1  xy)  2(1  x2 )(1  y2 )  ( x  y)2 (1  xy)  Ln x, y  (0;1) Suy P   1  xy, xy   0;   xy  9 Xét hàm s f (t )  1  1  1   0, t   0;   2t , t   0;  Có f  (1  t )  t 1 t  9  9 56 V y P  f      10 nên maxP = 56 10  x y T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com H c Tốn Khơng Ti n B , H c Th y Quang Qstudy.vn Bài 15b: Cho s th c d c a bi u th c P  ng a,b,c th a mãn u ki n a 5b  ab5    ab  1 Tìm giá tr l n nh t 1 8ab    2 1 a 1 b  4ab Bài gi i Ta có (ab  1)  a b  b5 a    ab(a  b )   2a 3b3   ab  1   2  ab 1 a 1 b 2 8ab  8t  1 P   Xét hàm s f (t )  v i t  ab; t   ;1  t 4t   ab  4ab 2  31  f (t ) max  f ( )  Pmax  a b 12 Khi ta có B T quen thu c : B B T NG TH C KHÔNG I X NG Bài 16: cho x, y s không âm th a mãn x2  y2  Tìm GTLN nh nh t c a: P  5( x5  y5 )  x2 y2 (5 xy   xy  12) Bài gi i   x ( x  2)  Ta có  x, y     x3  y3  2( x2  y2 )  2   y ( y  2)   (1  )( x  y )  ( x  y)   x  y 2 2 Thay  2( x3  y3 )  ( x  y)( x3  y3 )  ( x x3  y y3 )2   x3  y3  t t  x3  y3 Ta có : t  2;2  Ta có  ( x2  y2 )3  x6  y6  3x2 y2 ( x2  y2 )  x6  y6  x2 y2  ( x3  y3 )2  x2 y3  x2 y2  x3 y3  x2 y2  t  2( x3  y3 )  ( x3  y3 )( x2  y2 )  x5  y5  x2 y3  x3 y2  x5  y5  x2 y2 ( x  y)  x5  y5  x2 y2 ( x  y)  2t P  5( x5  y5 )  x2 y2 (5 xy   xy  12)  4 x3 y3  12 x2 y2  5( x5  y5 )  x2 y2  xy  2(2 x3 y3  x2 y2 )  5( x5  y5 )  5x2 y2 x2  y2  xy  2(t  8)   x2  y2  xy  x2 y2 ( x  y)   2t  10t  16  f (t )   f / (t )  4t  10; f / (t )   t    2; 2  57 Ta có: f (2)  28, f ( )  f (2 2)  20 2 57 V y MinP  2;2  f (t)  f (2)  28 MaxP  f ( )    2 i T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com H c Tốn Khơng Ti n B , H c Th y Quang Qstudy.vn Thay i y2  14 yz  z2  x  1 y  1 z  1 P 2  x z x y z  y  z Bài gi i z Do z   x, y, z nên ta có x2  z2   x    2 Ta l i có z  y   y  z   y4  y3 z  y2 z2  yz3  z4  y4  14 yz y2  y2 z2  y2  y2  14 yz  z2   y  z y2  14 yz  z2 1  y  y  z  y z  y  z  y  2   x  1 y  1 z  1 1   Do ta có P  2 x y z z z   x   y  2 2   1 Ta có    2 z  z   x  y  z 2  z z   x y   x y           2  2 2    y  14 yz  z  2   Và  x  1 y  1 z  1    x  y  z    xy  yz  zx  xyz    x  y  z    xy  yz  zx L i có 1  x1  y1  z     x  y  z    xy  yz  zx  xyz   xy  yz  zx  x  y  z   xyz  x  y  z   P   x  y  z  16  x  y  z  x y z 16t  v i t  a  b  c t  0;3 t2 t  16 32 Ta có f '  t     ; f '  t    t   f  t   f    10 t t  2 Xét hàm s f t   V y giá tr nh nh t c a bi u th c P 10 , d u "  " x y x  y  1, z  Câu 8: Cho s th c x, y, z  thõa mãn xyz   x  y  z Tìm GTLN c a bi u th c P x2  x   y2  y   z2  z   x  y  z  2 xyz  (Trích đ thi th l n th y Quang Baby) Bài gi i Ta có: x( x  1)   x2  x   x2  x   x2  x   x2  x   x  T ng t ta có: Do : P  y2  y   y  1; z2  z   z  2x 1  y 1  2z 1 2( x  y  z)       2 ( x  y  z) xyz  ( x  y  z) x  y  z x  y  z (x  y z) T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com H c Tốn Khơng Ti n B , H c Th y Quang Qstudy.vn i  v i t  x y z  t t2 f  t  ngh ch bi n nên P  f  t   f  3  Xét hàm s Hàm s Thay f t   V y giá tr l n nh t c a bi u th c P 1, d u "  " x y x  y  z  Câu 9: Cho  a , b, c  , a (4  a  b)  c(a  b) Tìm GTNN : P  1  a  b 1  b  c 1  c  a   16a  16bc  64a (Trích đ thi th l n 16 th y Quang Baby) Bài gi i  a , b, c  a (4  a  b)  c(a  b)  4a  a  ac  bc  ab  (a  b)(a  c) 16a  16bc  64a  16(ab  ac) (1  a  b)(1  c  a )(1  b  c)  (1  6a  b  c)(1  b  c)   6a  2b  2c  6a (b  c)  (b  c)  P   6a  2b  2c  6a (b  c)  (b  c)  16(ab  ac)   (2a  4a )  (b  c)  2b  2c  10a (b  c )   [2a ]   4a  (b  c)    2b  2c   10a (b  c) Vi :  a , b, c   [2a ]  a (b  c),  4a  (b  c)   4a (b  c),  2b  2c   2a (b  c )  P   a (b  c)  4a (b  c)  2a (b  c)  10a (b  c)    5 Câu 10: Cho a , b, c  0;1 Ch ng minh r ng a b c    abc   bc  ac  ab (Trích đ thi th tr ng THPT Duy T n m 2012) Bài gi i Khơng làm m t tính t ng qt c a tốn, ta có th gi s :  a  b  c  a b c b c bc    abc     bc  bc    bc  ac  ab  bc  bc  bc  bc  bc bc  V y nên: A  bc   Ta có: 1  b 1  c     bc  b  c    bc  bc 1 t t   ab 1  t   đó: f  t   t   f '  t       :1  t    f  t  đ ng bi n 1; 2 t t  f  t max  f     a  b  c  Ta có: A  Câu 11: Cho x, y, z  0; 2 ; xy  yz  zx  Tìm P  x2  y2  z2  10  xy  yz  zx  (Trích đ thi th tr Bài gi i Ta có: P   x  y  z    x2  y2  z2   96 2 x  y3  z 96 x  y3  z ng THPT ô L ng 1) T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com H c Tốn Khơng Ti n B , H c Th y Quang Qstudy.vn Thay i x2  y2  z2   x  x    y  y    z  z     x  y  z    x  y  z  ; x3  y3   x  y , z  z 96 Khi đo: P   x  y  z    x  y  z    x  y  z t t  x  y  z  t    P  5t  8t  48  Pmin  28  x  2, y  z  t a  b  5c  6abc   abc Câu 12: Cho a , b, c  1,3 , a  b  c  Tìm Max P  ab  bc  ca (Trích đ thi th tr ng THPT ng Thúc H a) Bài gi i Ta đánh giá:  a  1 a   a  1 a     b   b  1 b   b  1   a  b  5a  5b  P  a  b2  c   6abc  ab  bc  ca  abc  a  1 b  1 c  1   abc    ab  bc  ca    abc  3   a   b   c   Ta l i có  P  6abc  73 V y Pmax  abc  10   Pmax   a  b  1, c  abc    a  b  1, c  Câu 13: Cho s th c a,b,c th a mãn: a  0,1 , b  0, 2 , c  0,3 Tìm Max P  b 2(2ab  bc  ac) 8b    2a  b  3c b  c  b(a  c)  12a  3b2  27c  (Trích đ thi th tr Bài gi i  1  a  b  c    2a  b  3c  2ab  ca  bc b  a c        Ta có  b  c  a  b  c   PTa có:  2  12a  3b  27c  P  2ab  bc  ca    2a  b  3c  b 8b  2ab  bc  ca  2ab  bc  ca   2ab  bc  ca t t  2ab  bc  ca  t   2t 16 16    Pmax   a  1, b  2, c  1 t t  7 16 V y Pmax   a  1, b  2, c  P ng THPT Anh S n 2) T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com H c Toán Không Ti n B , H c Th y Quang Qstudy.vn Câu 14: Cho x, y, z  0,1 Ch ng minh r ng P  (1  Thay i 1 1 )( x  y  z)     xyz x y z (Trích đ thi th tr ng THPT Ngơ S Liên) Bài gi i Ta có:  x  1 y  1   xy   x  y     1 1 1 1 1 1       2     xy x y xy yz zx  x y z 1 1 1 Ta có: P    1  x  y  z      x  y  z       x  y  z  xy yz zx  xyz   x y z P 1 1 1 1 1       x  y  z        x  y  z   x  y  z   P  x  y  z   dpcm x y z x y z  x y z D u b ng x y  x  y  z  Câu 15: Cho x, y, z  1, 4 , x  y  z  Tìm : P  z x2  y2   8( x2  y2 ) xyz Bài gi i P z x  y 1 z x y z        2 2 xyz xyz xyz  x  y  z xyz 8 x  y  8 x  y  2 2  x  1 y  1   xy  x  y    z 2  x  y   z  10 z  26 Ta có:  P z 1     z  10 z  26  z z   z  2  z    z2  45 z  117  0 Ta ch ng minh: P   z   z   z2  10 z  26  MaxP   x  y  1, z  Câu 16: Cho a , b, c  0,1 Tìm GTLN c a bi u th c: P  a b c    2(1  a )(1  b)(1  c ) bc  ac  ab  (Trích đ thi th l n th y ng Thành Nam) Bài gi i Gi s c  b  a Ta có: 1  a 1  b    ab   a  b Ta s ch ng minh: 2a 2b 2c a b c   2bc   a  b;   2ca   a  b;   2ab   a  b bc  a  b  ca  a  b  ab  a  b   a  b  c  1  a 1  b 1  c 1  a  b   a  b  c  1  c  P    2 1 a  b 1 a  b a  b 1 a  b 1 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com H c Tốn Khơng Ti n B , H c Th y Quang Qstudy.vn Thay i D u b ng x y  a  b  c  ho c a  b  1, c  ( hoán v )  1 a b c    (1  a )(1  b)(1  c) Câu 17: Cho a , b, c  0,  Tìm P  b  c 1 a  c 1 a  b 1  2 (Trích đ thi th l n 11 th y Bài gi i  5   1  a  b  a  b  5 8 1  a  b    a   b    2 27    Áp d ng AM - GM ta có:    c  a   a   b        2    5   5   c   a   b  b   a   c  a 2 2       1 a 1 b 1 c   Ta có P      8 b  c 1 5   5   c   a   b  b   a   c  a   2    1 a 1 b 1 c   t: f  a       8 b  c 1   Ta có: f  a min   f   , f      Ta có ) f     bc  3  7  b  c    b  c    c  g b  32 32  32 8 1  1 Do  c    0, c  0;   f    g  b   g    32  2 8  2 bc 1 ) f       8    b  c  V y Pmin  a bc Câu 18: Cho a , b, c  1,3 , a  b  c  Tìm max P  abc(a  b3  c3 )2 Bài gi i Ta có: a  b3  c3   a  b  c    a  b  b  c  c  a   216  18  ab  bc  ca   3abc Ta có:  a  3 b  3 c  3    ab  bc  ca    a  b  c   27  abc  27  abc   P  3  ab  bc  ca   27  216  18  ab  bc  ca   3  ab  bc  ca   27   P   ab  bc  ca  9 135   ab  bc  ca   P  7776 V y Pmax  7776  a  1, b  2, c  hoán v ng Thành Nam) T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com H c Tốn Khơng Ti n B , H c Th y Quang Qstudy.vn Câu 19: Cho a , b, c  1, 2 , a  b  c  Thay i 14 Tìm GTLN c a: P  a  c  21b2  12(a  b3 )  28b2  25 Bài gi i a  21a  20   a  1 a   a     c  21c  20 14 Ta có:   P  21 a  b  c   40  2 28  a  b  c   3a  7a   3c  7c   13 29  a  1 b  1 c  1   ab  bc  ca   t    a   b   c    t: t  a  b  c V i  c  b  a   Câu 20: Cho a  b  2c  ab  bc  ca  Tìm Giá tr l n nh t c a bi u th c: a  2b  4c    ab  bc  ca  b2  ab  bc  3ac  2a  4b  8c  18  P Bài gi i T giã thi t ta s có:  b  a  b  c    b  ca  b  a  c  b2  ab  bc  3ac  b  ab  bc  3ac   ab  bc  ca    ab  bc  ca 2 M t khác ta l i có:  a  1   b  2   c     2a  4b  8c  18  a  b2  2c   ab  bc  ca Suy ra: 2 2a  4b  8c  18  ab  bc  ca T ta s có: P  ab  bc  ca   ab  bc  ca  2 2 4  ab  bc  ca  2  2 a  b  c  D u b ng x y ch khi:  Câu 21: Cho s th c x, y, z  0;1 z   x, y, z Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: P   y  z x z   yz  1  y  y  z  xy  xz  yz (Trích đ thi th l n th y Quang Baby) L i gi i V i nh ng tốn có u ki n biên x, y, z  0;1 s tìm cách khai thác , d đốn m r i s là: x  y  1, z  T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com H c Tốn Khơng Ti n B , H c Th y Quang Qstudy.vn Thay i có ch a xy  xz  yz m u , h ng t có th g i ý cho d n bi n xy  xz  yz v xy  xz  yz H nn av i Ta có: x, 0;1 Suy xx , Áp d ng B T ph Cô-Si ng  y  z x  y  z  x z x x  z  x2  y  z  x x  z  D u b ng A = B > Do đ đoán m r i A B AB c ta có : x = y = , z = nên kh n ng x = x + z y = y + z hồn tồn có th x y Ta có: x2  y  z   yz  1  yz    2y z y  y  z 2  x  y  z 2x  z x x  z 2 x2  y  z   yz  1  xy  yz  xz  1  2    Do P  xy  xz  yz x y z 2x  z xy  xz  yz 2y  z 2 A2 B2 ( A B)2   , x y x y V i u ki n: x, y, z  0;1 , ta ln có: 1  x1  x1  x   xy  yz  xz   xyz  x  y  z  x  y  z Suy P  x  y  z  xy  xz  yz Áp d ng b t đ ng th c AM-GM, ta có: x2   y  z  x  y  z   x2  y2  z2   xy  xz  yz  Mà x, y, z  0;1 ,  x  y  z  x2  y2  z2   xy  xz  yz  Suy P  2( xy  xz  yz)  AM GM  xy  xz  yz x  y  z  D u “=” x y   c  x; y; z   1;1;0  V y giá tr nh nh t c a P MinP  đ t đ Câu 22: Cho hai s th c x, y th a mãn u ki n  x  2;  y  Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P  x 2y y  2x   x  y  y  3x   x  y  1 (Trích đ thi đ i h c kh i D n m 2014) Bài gi i Do  x  nên  x  1 x    0, ngh a x   x T Suy P  ng t y2   y x 2y y  2x x y     3x  y  3x  y   x  y  1 x  y   x  y  1 t t  x  y, suy  t  Xét f  t   t  , v i  t  t   t  1 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com H c Tốn Khơng Ti n B , H c Th y Quang Qstudy.vn Ta có f '  t    t  1   t  1 Thay i Suy f '  t    t  11 53 7 ; f  3  ; f    nên f  t   f  3  Do P  12 60 8 x  7 Khi x  1, y  P  V y Pmin    8 y  Mà f    Câu 23: Cho s th c a , b, c thu c đo n 1;3 th a mãn u ki n a  b  c  Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c P  a 2b  b c  c a  12abc  72  abc ab  bc  ca (Trích đ thi thpt qu c gia n m 2015) Bài gi i 2 2 t t  ab  bc  ca Ta có: 36   a  b  c    a  b    b  c    c  a    3t  3t Suy t  12 M t khác  a  1 b  1 c  1  nên abc  ab  bc  ca   t  5;   a   b   c   nên 3t   ab  bc  ca   abc  27  t  22 Suy t  11 Khi P  a 2b  b 2c  c a  12abc  72  abc ab  bc  ca  ab  bc  ca    72 abc t  72 t  t  5t  144     ab  bc  ca t 2 2t t  144 t  5t  144 Xét hàm s f  t   v i t  11;12 Ta có f '  t   2t 2t Do f '  t   0, t  11;12 , nên f '  t  ngh ch bi n 11;12 Suy f  t   f 11  160 160 160 Do P   Pmax   a  1, b  2, c  hoán v c a chúng 11 11 11 Câu 24: Cho x, y, z 1;3 Tìm Giá tr nh nh t c a bi u th c:  10  4608 P   x  y2  3z2   y  z      x  y  xy  z Bài gi i a , b, c  1; 2 Tìm Giá tr nhó nh t c a bi u th c: a  b  c  Câu 25: Cho  P  c  1 2abc  10c   a  b  c  1   a  b  1  13 4c  13  (Trích đ thi th l n 19 th y Quang Baby) Bài gi i T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Qstudy.vn H c Tốn Khơng Ti n B , H c Th y Quang Thay i Câu 26: Cho a , b, c s th c thu c đo n 1; 4 th a mãn a  b  2c  Tìm GTLN c a P  a  b3  5c3 Bài gi i Ta có : (a  1)(b  1)   ab  (a  b)    2c Khi : P  a  b3  5c3  (a  b)3  3ab(a  b)  5c3  (8  2c)3  3(7  2c)(8  2c)  5c3 L i có : a  b  2c   2c   (a  b)   (1  1)   c  Xét : f (c)  (8  2c)3  3(7  2c)(8  2c)  5c3 v i c  1;3  f '(c)  9c  168c  294 a  b  BBT  f (c)max  max  f (1); f (3)  f (3)  137   c  Câu 27: cho cac sô không âm a,b,c cho a , c  [0;1] va ab  bc  ca  tim gia tri nho nhât cua: P a (b  c) c(a  b) 3(a  c)  2b    b  2c b  2a 4(ac  3) (Trích đ th y M n Ng c Quang) Bài gi i a (b  c) c(a  b) 2ac(a  b  c)   a c L u y la : m t khac: b  2c b  2a (b  2a )(b  2c) (b  2a )(b  2c)  b  2b(a  c)  4ac  (b  2)  4b   2(ab  bc  ca )  2ac  4b   2ac ac(b  ac  1) a (b  c) c(a  b)  a c  2b  ac  b  2c b  2a ac(b  ac  1) ac  ac(1  ac)   (a  1)(c  1)  Ma: a  c  2b  ac  2(2b  ac  3) ac  ac(1  ac)(2b  ac  3) ac(1  ac)   (a  1)(c  1)   tiêp theo ta co đanh gia: 4(2b  ac  3)(ac  3) 4(ac  3) Va a  b  c  b  ac   (a  1)(c  1)  ac  b  đo  ac (a  c  2) a c   a  c  2(2  a  c )   2(2  b  c ) đo a c a c a c (2  a  c) (b  a  c) (b  a  c)   (1  a )(1  c)  m t khac dê thây ac  a  c 1 nên: 16 4(ac  3) ba c  (1  ac)(2b  ac  3)  2(2  a  c)(b  a  c)  (b  a  c) => ac(1  ac)(2b  ac  3) (b  a  c)2  4(2b  ac  3)(ac  3) 4(ac  3) Lai co: 3(a  c)2  2b2   4(ab  bc  ca  2)  (b  a  c)2  (a  c)2  28  2(b  a  c) T nh ng đanh gia ta co : P (ac  2) ac(1  ac) (b  a  c) 14  (b  a  c) (ac  2) ac(1  ac)       4(ac  3) 2(ac  3) 2(ac  3) 4(ac  3) ac  T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com H c Tốn Khơng Ti n B , H c Th y Quang Qstudy.vn = Thay 13 (ac  1) 13 13   P= a=c=1 va b=2 4(ac  3) 4 Câu 28: Cho cac sô th c x, y, z 1,3 tim max P  x y   x  y  18 z ( x  y)(3z  3) z Bài gi i x  y  18 z  3( x  y)( z  1)  (3 z  x)(3  x)  (3z  y)(3  y)   x2  y2  18 z  3( x  y)( z  1) 2 x y 1  1 P       3( x  y)(z  1) 3( x  y)( z  1) z 3( z  1) z  3  2 1  1   : x  y  3; z  max P    3 Câu 29: Cho x, y, z s th c d P ng th a mãn x, y, z 1; 2 Tìm Giá tr nh nh t c a bi u th c: xyz  x  y  3 x3    x2  z2  xy2  x  x2  xz  Bài gi i T gi thi t ta có:  x  1 x   x  3   x   x (1) T gi thi t ta l i có:  y  1 y   x  3    xy2  x  3x  x  y  3 (2) T (1) (2) ta có: P  1  xz  x2  z2   x  z   x z x z  x  z   MinP= "  "   x; y; z   1;1;1 ; 1; 2;1  x, y, z   Câu 30: Cho  xy  Tìm Giá tr nh nh t c a bi u th c: 4 z2 x  y   x2  y2   xy    P z z z  z  xy     z2 z  xy xy  z xyz Bài gi i T gi thi t ta s có: z2  x  y  1  x2  y2  xy   xy  1  xy  z2  x  y   x  y  z2  z  x  y   z  T ta suy ra:  xy  1 z  1   xyz   xy  z T ta s có: z  xy    z2  xyz   xy  z  xy   xy xy   z xyz z   xy z   Áp d ng (*) ta s có P  1  z xyz  * z z  xy xy  2 z z z z   xy   xy    xy  1  xy  xyz z  xy xy  xy z i T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com H c Tốn Khơng Ti n B , H c Th y Quang Qstudy.vn Xét hàm xy>=1  MinP=3, d u b ng x=y=z=1   x, y, z   0;1 Tìm Giá tr nh nh t c a bi u th c:   xy  yz  zx  Câu 31: Cho    x  y  z 3   x2  y2  z2   x2  y2  z2    P  ln   x y z  xyz   Bài gi i T gi thi t ta s có:  x  1 y  1 z  1   xyz  x  y  z   xyz   xyz   xyz   x  y  z   x  y  z    x  y  z x2  y2  z2     xyz  xyz 2 M t khác ta có:  x  y  z   x  y  z    x2   z2  x y z   x  y  z   3 x  y  z  x y z 2   x  y  z   4( x  y  z)   x  y  z   x  y  z x y z T ta s có: P  ln  x  y  z   x y z  xy  yz  zx  x  y  z   xyz   x  y  z  Xét hàm x  y  ( hoán v ) z  Suy P= ln  d u b ng  Câu 32: Cho cac sô th c a , b, c   ;1 Tim gia tri l n nhât cua : 3  9(ab) 16b c 6a  6b  P   2 2 a  3b  c  2a  4b  c  18ab  9a  9b  Bài gi i Ap dung Bđt am_gm va cauchy_schwart ta co 16b c  (2b  c  1) va 9(ab)  (a  b  1) 2 Do đo P   a  b  1 a  3b  c  2   2b  c  1 6a  6b  2a  4b  c  18ab  9a  9b  2   a  b  1 a2 b2 M t khác ta có 2  2   a b b c b  a  3b2  c  Thay i T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com H c Tốn Khơng Ti n B , H c Th y Quang Qstudy.vn (2b  c  1) b2 c2 b2     2 2 2 2 2a  4b  c  a  b b  c 2b a 1 1 6a  6b  Do đo P     m t khac v i moi a,b d ng va a  b  18ab  9a  9b  1 (ab  1)(a  b)2     đung ngoai l u y r ng : a  b2  ab  (ab  1)(a  1)(b2  1) Thay i Và ta co: 18ab  9a  9b   2(3a  2)(3b  2)  (3a  2)  (3b  2) đo: 2  6a  6b   3a  3b   1 18ab  9a  9b   2 3a  3b  suy P   (3a  2)(3b  2)  t cac đanh gia (3a  2)(3b  2)  2 (3a  2)(3b  2) 2  tiêp theo t (a  1)(a  2)   a  3a  t ab  (3a  2)(3b  2)  nhân vê vê suy ab   3a   3b   t kêt luân P ng t b  3b  dâu=khi a=b=c=1 Câu 33: Cho x, y, z  0; 2 th a mãn x  y  z  Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P 1    xy  yz  zx 2 x  y  y  z  z  x2  2 Bài gi i Ta có x2  y2    x2  1   y2  1   x  y ,….; 1 1 xy  xy  ,…  Nên P      xy  yz  zx  3 x y y z z x  Ta có  x  y  z  xy  yz  zx  xyz  x  y  z  xy  yz  zx   x  y y  z    y  z  z  x   x  y  z  x   x  y  y  z  z  x   x  y  z  xy  yz  zx   xyz  1    x y y z z x  x  y  y  z  z  x  x  y  z   xy  yz  zx  x  y  z   xy  yz  zx 27     x  y y  z  z  x  x  y  z  xy  yz  zx  xy  yz  zx  1 27 27   xy  yz  zx     xy  yz  zx 8 Suy P   t t  xy  yz  zx Do x, y, z   0; 2    x  y   z    xy  yz  zx  M t khác: xy  yz  zx   x  y  z    t  V y t   2;3  xyz 2t 2 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com H c Tốn Khơng Ti n B , H c Th y Quang Qstudy.vn Thay 27 27 Ta có P    t    f  t   8t Xét hàm s 8 f  t  v i t  0; 2 ta có f '  t    27  8t  27 t   t   2;3 nên hàm s  8t  16t f  t  đ ng bi n  2;3  f  t   f  3  15 15 15 x  y  z  Do P  f  t   P  Có P  4 15 V y giá tr nh nh t c a P đ t đ c x  y  z  Câu 34: Cho a, b, c ba s thu c đo n [0; 1] Ch ng minh: a b c    (1  a )(1  b)(1  c )  b  c 1 a  c 1 a  b 1 Bài gi i Do vai trò a, b, c nh nên gi s a  b  c, đó: t S  a  b  c   b  c   S  a  S  c; a  c   S  c ; a  b   S  c Ta có 1  a 1  b 1  a  b    1  a  b  ab 1  a  b    b  a  b  a  1  a  (đúng) 1 c  1  a 1  b 1  c   Sc Sc 1 c S  c a b c a b c    1  a 1  b 1  c       1 Do b  c 1 a  c 1 a  b 1 Sc Sc Sc Sc Sc Mà 1  a 1  b  S  c    1  a 1  b   Câu 35: Cho s th ca, b, c thu c [4; 6] th a mãn u ki n a + b + c = 15 Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: a 2b  b c  c a  30abc  180 P  abc 20 ab  bc  ca Bài gi i Ta có  ab  bc  ca   a b  b c  c a  2abc  a  b  c   a 2b2  b2 c  c a  30abc 2  ab  bc  ca  2  180 2 t t  ab  bc  ca abc ab  bc  ca 20 Ta có  a   b   c     abc  16  a  b  c    ab  bc  ca   64   abc  4t  176 Do P   t  180 44 180 44  t  t  t t 5 Ta có  a   b   c     abc  36  a  b  c    ab  bc  ca   216   abc  6t  324 P abc  4t  176  4t  176  6t  324  t  74 abc  6t  324 K th p  2 2 Ta có 152   a  b  c   a  b  c   ab  bc  ca    a  b    b  c    c  a     ab  bc  ca  i T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com H c Tốn Khơng Ti n B , H c Th y Quang Qstudy.vn Thay  152  3t  t  75  t  74;75 180 44 180 4t  900  t ; f '  t    t  15 v i t   74;75  f '  t     t 5 t 5t  f  t   f 15  35 a  4, b  5, c  f t   Xét hàm s Câu 36: Cho x, y, z  0; 2 th a mãn x  y  z  Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P 1    xy  yz  zx 2 x  y  y  z  z  x2  2 Bài gi i Ta có: x2  y2    x2  1   y2  1   x  y  , ; xy  1 1 xy  ,  Nên P      xy  yz  zx  3  x y y z z x  Ta có  x  y  z  xy  yz  zx   9xyz  x  y  z  xy  yz  zx   x  y y  z   y  z  z  x   x  y z  x   x  y  y  z  z  x   x  y  z  xy  yz  zx   xyz  1    x y y z z x  x  y  z   xy  yz  zx   x  y y  z  z  x   x  y y  z  z  x  x  y  z  xy  yz  zx  x  y  z xy  yz  zx 1 27 27  Suy P    xy  yz  zx     xy  yz  zx  8 t t  xy  yz  zx  27   xy  yz  zx Do x, y, z   0; 2    x  y   z    xy  yz  zx   xyz 2t 2 M t khác: xy  yz  zx   x  y  z    t  V y t   2;3 27 27 Ta có P    t    f  t   8t 8 1 27  8t  27 Xét hàm s f(t) v i t  0; 2 ta có f '  t   t     8t  16t  2;3  f  t   f  3  15 15 15 Có P  x  y  z  4 15 đ t đ c x  y  z  V y giá tr nh nh t c a P Do P  f  t   P   0t   2;3 nên hàm s f(t) đ ng bi n i T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com H c Tốn Khơng Ti n B , H c Th y Quang Qstudy.vn Thay Câu 36: Cho s th c x, y, z thu c đo n [1;4] th a mãn x  y  z  Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c T  z x2  y2   xyz  x2  y2  Bài gi i Ta có T  z x  y 1 z x2  y2     2 2 xyz xyz xyz 8 x  y  8 x  y  2 x2  y2 2 xy 1 1  x  1 y  1  xy  x  y    xy  x  y    z   xyz   z  z V i x, y, z thu c đo n [1;4] th a mãn x + y +z = ta có x2  y2   x  y  xy    z  xy    z    z  z2  10 z  36 T  2 z    z2  10 z  26  z z   z  2  z   z    z  45 z  117       0z  1; 4 Xét hi u  2   z  10 z  26  z z   z   z   z   z  10 z  26  1 Do T  V i x  y  1, z   T  2 V y giá tr nh nh t c a T MinT  i