Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 37 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
37
Dung lượng
2,12 MB
Nội dung
BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC VÀ LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CƠ SỞ 4/101 LÊ HUÂN - TP HUẾ CƠ SỞ 46/1 CHU VĂN AN - TP HUẾ SĐT: 01234332133 GIẢI BẢI TOẢN HINH HOC KHONG GIẢN BẢNG PHƯƠNG PHẢP om c TOẢ ĐO h in Tài liệu thân tặng em học sinh Khối 12- chuẩn bị kỳ thi THPT Quốc Gia 2016 s n e y u T HUẾ, 05/05/2016 GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ Bài Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đ{y ABC l| tam gi{c vuông A, AB a,AC 2a,AA' b Gọi M, N l| trung điểm BB’ v| AB a Tính theo a v| b thể tích tứ diện A’CMN b Tính tỉ số b để B'C AC' a Giải Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có O A , c{c tia Ox, Oy, Oz qua cấc điểm B, C, A’ Khi A 0;0;0 , z B a;0;0 , A' b a C 0;2a;0 ,A' 0;0;b ,B' a;0;b , C' 0;2a; , M a;0; ,N ;0;0 2 C' B' a Thể tích tứ diện A’CMN l|: V 1 A'C,A'M A'N 6 M A'C,A'M ab; ab; 2a2 C N B x a2 b 3a2 b A'C,A'M A'N 2a2 b Vậy VA 'C MN y A O a b Ta có A'C 0;2a; b , A'M a;0; , A'N ;0; b 2 2 m o c 3a2 b a2 b b Ta có: B'C a; 2a;c , AC' 0;2a;b B'C AC' B'C.AC' 4a2 b2 b 2a b 2 a Bài Cho hai hình chữ nhật ABCD v| ABEF hai mặt phẳng vuông góc với nhau, AB 2a,BC BE a Trên đường chéo AE lấy điểm M v| đường chéo BD lất điểm N cho h in AM BN k với k 0;1 Tính k để MN l| đoạn vuông góc chung AE v| BD AE BD Giải s n e y u T Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho A O , c{c tia Ox, Oy, Oz qua D, B, F Khi z A 0;0;0 , B 0;2a;0 , C a;2a;0 , D a;0;0 , E 0;2a;a , F 0;0;a Ta có: AM k AM kAE, k 0;1 AE M Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 01234332133 y O≡A M| AM v| AE hướng nên AM kAE , đo tọa độ M l|: x M kx E y M ky E 2ka hay M 0;2ka;ka z kz ka E M E F B N D C x x N k a Tương tự BN kBD y N 2a k 2a hay N ka;2a 2ka;0 z N k MN ka;2a 4ka; ka Ta có: AE 0;2a;a BD a; 2a;0 4a2 8ka2 ka2 MN.AE MN l| đoạn vuông góc chung AE v| BD k 2 MN.BD ka 4a 8ka Bài Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Trên c{c cạnh BB’, CD, A’D’ lấy c{c Vậy MN l| đoạn vuông góc chung AE v| BD k điểm M, N, P cho B'M CN D'P x , x 0;a a Chứng minh AC' MNP b X{c định vị trí M, N, P để tam gi{c MNP có diện tích bé Giải Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có O A , c{c tia Ox, Oy, Oz z qua c{c điểm B, D, A’ Khi A 0;0;0 , B a;0;0 , C a;a;0 , m o c A' D 0;a;0 , A' 0;0;a , B' a;0;a , C' a;a;a , D' 0;a;a , M a;0;a x , N a x;a;0 , P 0;a x;a a Ta có AC' a;a;a MN x;a; a x MP a;a x;x h in AC'.MN AC' MN AC' MNP (đpcm) AC'.MP AC' MP s n e y u T B' x M P x C' D A B D' x y N C x b Ta có MN MP NP x2 a2 a x 2x2 2ax 2a2 Tam gi{c MNP l| tam gi{c có cạnh Diện tích tam gi{c MNP l|: S hay S x2 ax a2 MN2 3 x ax a2 a 3a2 3a2 a x Dấu “=” xảy x 2 Vậy S 3a2 M, N, P l| trung điểm c{c cạnh BB’, CD, A’D’ Bài Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Gọi M v| N l| trung điểm AD v| BB’ Chứng minh AC' AB'D' v| tính thể tích khối tứ diện A’CMN Giải Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 01234332133 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có D 0;a;0 , A' 0;0;a , B' a;0;a , C' a;a;a , D' 0;a;a hình vẽ, ta A 0;0;0 , B a;0;0 , có: a Ta có A'C a;a; a , AB' a;0;a , AD' 0;a;a z A'C.AB' v| A'C.AD' A'C AB' v| A'C AD' D' A' A'C AB'D' (đpcm) B' C' b Thể tích tứ diện A’CMN l|: V C a;a;0 , 1 A'N,A'M A'C 6 N D A y M a a Ta có: N a;0; , M 0; ;0 2 B a a A'N a;0; , A'M 0; ; a v| A'C a;a; a 2 C x a2 a2 a3 a3 3a3 A'N,A'M ;a2 ; v| A'N,A'M A'C a3 4 3a3 a3 Vậy V (đvtt) Bài Cho tứ diện SABC có SC CA AB a 2, SC ABC , tam gi{c ABC vuông A C{c điểm m o c M SA, N BC cho AM CN t t 2a Tính t để MN ngắn Trong trường hợp n|y chứng minh MN l| đoạn vuông góc chung BC v| SA đồng thời tính thể tích khối tứ diện ABMN Giải Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho A O 0;0;0 , tia Ox chứa AC, tia Oy chứa AB v| tia Oz hướng với vec-tơ CS Khi ta có A 0;0;0 , B 0;a 2;0 , C a 2;0;0 , S a 2;0;a S h in s n e y u T Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 01234332133 z M y A B N C x NI Ax I Ax Vẽ MH Ax H Ax v| MK Az Vẽ K Az J Ay z NJ Ay v| y B S M K N J t t x C A H A I C x Vì tam gi{c SCA vuông c}n C nên Vì tam gi{c INC vuông c}n I MHAK l| hình vuông có cạnh NC t IN IC huyền t 2 t t t Na ; ;0 AH AK 2 t t 2 M ;0; 2 t t 2 ; a Ta có: MN a t ; 2 MN a t 2 2a 2a2 t2 t2 3t 4at 2a2 t a 2 3 2a Đẳng thức xảy t 2a Vậy MN ngắn a t 3 m o c h in a a a 2a ; ; b Khi MN ngắn t , ta có MN 3 s n e y u T Ta có SA a 2;0;a v| BC a 2; a 2;0 MN.SA MN SA MN.BC MN BC Vậy MN l| đường vuông góc chung SA v| BC (đpcm) Bài Cho khối lăng trụ tam gi{c có cạnh đ{y a v| AB' BC' Tính thể tích khối lăng trụ Giải Gọi O l| trung điểm AC Chọn hệ trục tọa độ có gốc tọa độ l| O, tia Ox qua A, tia Oy qua B Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 01234332133 a a ;0 , Khi A ;0;0 , B 0; 2 z C' B' a a a ; h , C' ;0; h C ;0;0 , B' 0; 2 A' h AA' BB' a a a a ; h v| BC' ; ;h Ta có AB' ; 2 y C a2 3a2 a AB' BC' AB'.BC' h2 h 4 B O A x a2 a a3 Bài Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh Gọi M, N, P l| trung điểm c{c cạnh A’B’, BC, DD’ Vậy thể tích khối lăng trụ l| V SΔABC h a Tính góc hai đường thẳng AC’ v| A’B b Chứng minh AC' MNP v| tính thể tích khối tứ diện AMNP Giải Chọn hệ trục tọa độ A’xyz hình vẽ, ta có: A' 0;0;0 , B1;0;0 , C' 1;1;0 , D' 0;1;0 , A 0;0;1 , m o c 1 1 B1;0;1 , C 1;1;1 , D 0;1;1 , M ;0;0 , N 1; ;1 , P 0;1; 2 2 a Ta có AC' 1;1; 1 v| A'B 1;0;1 AC'.A'B Góc hai đường thẳng AC’ v| A’B có số đo 90 b 1 1 MN ; ;1 v| MP ;1; 2 2 AC' MNP (đpcm) h in AC'.MN v| AC'.MP AC' MN v| AC' MP s n e y u T Thể tích khối tứ diện AMNP l|: z N B C 3 3 V MN,MP MA với MN,MP ; ; , 4 4 MA ;0;1 D A P D' A' y M 3 Vậy V (đvtt) 16 B' C' x Bài Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình vuông cạnh a, mặt bên SAD l| tam gi{c v| nằm mặt phẳng vuông góc với (ABCD) Gọi M, N, P l| trung điểm SB, BC, CD Chứng minh AM BP v| tính thể tích khối tứ diện CMNP Giải Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 01234332133 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O trùng với A, tia Ox z qua B, tia Oy qua D, tia Oz hướng với vec-tơ HS S (H l| trung điểm AD), A 0;0;0 , B a;0;0 , C a;a;0 , D 0;a;0 , a a 3 S 0; ; , 2 a a a 3 M ; ; , 2 4 M a a N a; ;0 , P ;a;0 2 y H O A a a a 3 a Ta có AM ; ; v| BP ;a;0 2 4 D P B C N x AM.BP AM BP (đpcm) Thể tích CMNP l| V 1 CM,CN CP 6 a CP ;0;0 Ta có CM a ; 3a ; a , CN 0; a ;0 4 m o c a2 a2 a3 CM,CN ;0; CM,CN CP 16 Vậy VCMNP a3 a3 16 96 Bài Cho hình chóp tứ gi{c S.ABCD có cạnh đ{y a , cạnh bên hợp với đ{y góc 450 Gọi O l| t}m ABCD v| I, J, K l| trung điểm SO, SD, DA a X{c định đoạn vuông góc chung IJ v| AC b Tính thể tích khối tứ diện AIJK h in Giải s n e y u T a IJ l| đường trung bình tam gi{c SOD IJ∥OD IJ SO hay IJ IO SO ABCD SO AC hay IO AC z (1) S (2) Từ (1) v| (2) suy IO l| đoạn vuông góc chung IJ v| AC J b Góc cạnh bên SD v| đ{y (ABCD) l| SDO 450 I Tam gi{c SOD vuông c}n O a 2 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có O trùng với t}m hình vuông ABCD, tia Ox qua C, tia Oy qua D v| tia Oz qua S \ OS OD K A 450 y D O B C x a a ;0;0 , B 0; ;0 , Khi A Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 01234332133 a a 2 a 2 a a 2 a a D 0; ;0 , S 0;0; ; ; ;0 , I 0;0; , J 0; , K 2 4 4 1 AI,AJ AK 6 Thể tích tứ diện AIJK l| V a a 2 AI ;0; a2 a a a a2 a3 Ta có AJ ; ; AI,AJ ;0; AI,AJ AK 32 4 AK a ; a ;0 Vậy VAIJK a3 a3 32 192 Bài 10 Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a K l| trung điểm DD’ v| O l| t}m hình vuông AA’B’B Tính thể tích khối tứ diện AIKA’ Suy khoảng c{ch từ A’ đến mặt phẳng (AB’K) Giải z Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có A O , c{c tia Ox, Oy, Oz qua B, D, A’ Khi B a;0;0 , B' a;0;a , C a;a;0 , A 0;0;0 , A' 0;0;a , C' a;a;a , D 0;a;0 , D' 0;a;a , a a a K 0;a; , I ;0; (I l| trung điểm AB’ v| A’B) 2 2 2 B' Thể tích khối tứ diện AIKA’ l| V AI,AK AA' 6 a a a Ta có AI ;0; , AK 0;a; , AA' 0;0;a 2 2 2 a3 a3 Vậy VAIKA ' 12 Ta có AB'K AIK s n e y u T d A', AB'K d A', AIK SΔAIK 3VA '.AIK SΔAIK h in a a a a AI,AK ; ; AI,AK AA' m o c với VA '.AIK D' A' x B C' K I D A y C a3 v| 12 1 a4 a4 a4 3a2 AI,AK 16 2 Vậy d A', AB'K 3a2 3a2 2a : 12 Bài 11 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Gọi M l| trung điểm cạnh AD v| N l| t}m hình vuông CC’D’D Tính b{n kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện BC’MN Giải Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 01234332133 Chọn hệ trục tọa độ A’xyz hình vẽ z D' 0;a;0 , A 0;0;a , B a;0;a , A Ta có A' 0;0;0 , B' a;0;0 , C' a;a;0 , a a a C a;a;a , D 0;a;a , M 0; ;a , N ;a; 2 2 N B{n kính mặt cầu nói l| R α2 β2 γ2 δ (S) qua B, C’, D' A' x2 y2 z2 2αx 2βy 2γz δ cầu D C B Phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện BC’MN có dạng: Mặt M B' M, C' nên: x N y 2αa γa δ 2a2 a2 a2 2αa γa δ 1 2αa 2βa δ 2a2 a2 a2 2αa 2βa δ 2 5a2 0 a a2 βa γa δ β a γ a δ 3 4 6a2 a a2 a αa 2βa γa δ α a β a γ a δ 4 4 (1) trừ (2) β γ (5) (2) trừ (3) kết hợp với 2α β 3a (6) (3) trừ (4) kết hợp với (5) ta α a (7) (6) trừ (7) β m o c a a m| γ β nên γ 4 Thay α, β v|o (1) ta δ 2a Vậy b{n kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện BC’MN l|: R α2 β2 γ2 δ h in a2 a2 a2 a 35 2a2 16 16 16 Bài 12 Cho hình chóp tứ gi{c S.ABCD có cạnh đ{y a v| chiều cao h Gọi I l| trung điểm cạnh bên SC Tính khoảng c{ch từ S đến mặt phẳng (ABI) s n e y u T Giải z Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho gốc tọa độ l| t}m O hình vuông ABCD, tia Ox chứa OA, tia Oy chứa OB v| tia Oz chứa OS S a a a ;0;0 , B 0; ;a , C ;0;0 , S 0;0;h Khi A I M Giao điểm M SO v| AI l| trọng t}m tam gi{c SAC v| ta h có M 0;0; 3 Mp(ABI) l| mp(ABM) Vậy, phương trình mp(ABI) x l|: Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 01234332133 D C O A B y x a 2 y a 2 x y z z 1 hay h a a h 3 2 h 1 h khoảng c{ch từ S tới mp(ABI) l|: d a 2 2 1 h a 2 a2 a2 hay d h2 2ah 4h2 9a2 Bài 13 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh Gọi M l| trung điểm cạnh BC Tính khoảng c{ch từ A tới mặt phẳng (A’MD) Giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ z Kéo d|i DM cắt AB E A' Ta có BM AD BM l| đường trung bình tam gi{c ADE C' B' B l| trung điểm AE m o c D A AE 2AB Khi đó: A 0;0;0 , E 2;0;0 , D 0;1;0 , A' 0;0;1 B Mp(A’MD) l| mặt phẳng (A’ED) nên phương trình mặt phẳng (A’MD) l|: D' E x y z x 2y 2z 1 Khoảng c{ch từ A tới mp(A’MD) l| d A, A'MD x 2 1 h in M y C Bài 14 Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình thoi cạnh a v| BAD 1200 , đường cao SO (O l| t}m ABCD), SO 2a Gọi M, N l| trung điểm DC v| SB s n e y u T a Tính thể tích khối tứ diện SAMN b Chứng minh tồn mặt cầu t}m O v| tiếp xúc với bốn mặt bên S.ABCD Tính thể tích khối cầu tạo mặt cầu nói z Giải Ta có BAD 1200 ABC 600 S ABCD l| hình thoi cạnh a v| ABC 600 N ABC, ADC l| c{c tam gi{c cạnh a OA OC Chọn hệ a a v| OB OD 2 trục tọa độ Oxyz hình C vẽ Khi a O 0;0;0 , A ;0;0 , 2 Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 01234332133 B M D y O A x Ta có: A'B a;0; a , B'D a;a; a , A'B' a;0;0 A'B,B'D a2 ;2a2 ;a2 A'B.B'D A'B' a3 a Vậy d A'B,B'D A'B,B'D a2 6 b Góc hia đường thẳng MP v| C’N a a a a a a Ta có M a;0; , N ;a;0 , P 0; ;a MP a; ; , NC' ;0;a MP.NC' MP NC' 2 2 2 2 Vậy góc hai đường thẳng MP v| C’N có số đo 900 Bài 28 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với A 0;0;0 , B 1;0;0 , D 0;1;0 , A' 0;0;1 Gọi M v| N l| trung điểm AB v| CD a Tính khoảng c{ch hai đường thẳng A’C v| MN b Viết phương trình mặt phẳng chứa A’C v| tạo với mặt phẳng Oxy góc α biết cos α Giải a Khoảng c{ch hai đường thẳng A’C v| MN z Cách d A'C,MN d M, P m o c Phương trình mặt phẳng (P): A'C 1;1; 1 , MN 0;1;0 Vec-tơ ph{p C' B' 1 1 Ta có C 1;1;0 , M ;0;0 , N ;1;0 2 2 tuyến n A'C,MN 1;0;1 mặt h in phẳng (P) l| x D' A' Gọi (P) l| mặt phẳng chứa A’C v| song song với MN Khi đó: D A M B y N C s n e y u T Phương trình mp(P) l|: 1 x y 1 z 1 hay x z Vậy d A'C,MN d M, P Cách d A'C,MN 1 12 02 12 2 A'C,MN A'M 1 với A'C,MN 1;0;1 , A'M ;0; 1 A'C,MN 2 A'C,MN 2, A'C,MN A'M Vậy d A'C,MN 2 2 Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 01234332133 22 b Viết phương trình mặt phẳng chứa A’C tạo với mp(Oxy) góc α Gọi (Q) l| mặt phẳng chứa A’C v| tạo với mp(Oxy) góc α Phương trình mp(Q) có dạng: ax by cz d a2 b2 c2 c d c d a b Mp(Q) qua A' 0;0;1 v| C 1;1;0 nên a b d Khi phương trình (Q) l|: ax by a b z a b Mp(Q) có vtpt l| n a;b;a b Mp(Oxy) có vtpt l| k 0;0;1 Gọi α l| góc (Q) v| (Oxy), ta có cos α cos n,k ab a2 b a b 6 a b a2 b2 ab 2a2 2b2 5ab 2a2 ab 2b2 4ab a 2a b 2b b 2a 2a b a 2b a 2b b 2a Với a 2b , chọn a v| b 1 m o c Phương trình mặt phẳng (Q) l| 2x y z Với b 2a , chọn a v| b 2 Phương trình mặt phẳng (Q) l| x 2y z Bài 29 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ C{c điểm M, N thay đổi c{c đoạn thẳng BD v| AD’ cho DM AN a X{c định vị trí hai điểm M, N để MN nhỏ Chứng minh MN vuông góc với BD v| AD’ b Chứng minh MN vuông góc với đường thẳng cố định h in Giải Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O trùng với A, tia Ox chứa AB, tia Oy chứa AD, tia Oz chứa AA’ s n e y u T a Giả sử cạnh hình lập phương có độ d|i a.Đặt AN DM t t a z Khi ta có A 0;0;0 , B a;0;0 , D 0;a;0 , D' 0;a;a , t t t t ; M ;a ;0 , N 0; 2 C' D' t t ;t a; Do MN 2 N A Ta có: t MN t a 2 B' A' 2 t 2 3t 2at a 2 B x M y D C Xét h|m số f t 3t 2at a2 H|m số n|y có đồ thị l| Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 01234332133 23 a parabol quay bề lõm lên phía Do f(t) nhỏ v| t a a 0;a nên MN nhỏ t M, N thuộc đoạn BD, AD’ tương ứng cho 3 1 DM BD, AN AD' 3 Vì Khi MN nhỏ ta có: t a a a a nên MN ; ; 3 3 Mặt kh{c BD a;a;0 , AD 0;a;a nên: a a a MN.BD a a 3 3 a a a MN.AD' a a 3 3 Vậy MN vuông góc với BD v| AD’ b Trước hết ta tìm phương α x;y;z vuông góc với vec-tơ MN Điều tương đương với: α.MN t 0;a t t x y t a z t 0;a 2 2 x z y 2 t ya 2 m o c t 0;a x z y x z y ya Chọn α 1;0;1 Vậy MN vuông góc với đường thẳng cố định nhận α 1;0;1 l|m vec-tơ phương h in Chú ý: Ta có kết luận tương tự l| MN song song với mặt phẳng cố định Bài 30 Cho tam gi{c ABC vuông A v| đường thẳng Δ vuông góc với mặt phẳng (ABC) điểm A s n e y u T C{c điểm M, N thay đổi đường thẳng Δ cho MBC NBC a Chứng minh AM.AN không đổi b X{c định vị trí M, N để tứ diện MNBC tích nhỏ Giải Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O trùng với điểm A, c{c tia Ox, Oy Oz trùng c{c tia AB, AC, AM Đặt AB b, AC c, AM m (b, c không đổi) Khi A 0;0;0 , B b;0;0 , C 0;c;0 , M 0;0;m Giả sử N 0;0;n Ta có (MBC): 1 1 x y z có ph{p vec-tơ α ; ; ; b c m b c m Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 01234332133 24 (NBC): 1 1 x y z có ph{p vec-tơ β ; ; b c n b c n z Vậy MBC NBC α.β M b2 c2 mn b2 c2 m.n b2 c2 Mặt kh{c m nên n Vậy M v| N nằm hai phía A a Ta có AM.AN m n m.n b2 c2 b2 c2 không đổi x A b Ta có: BC b;c;0 , BM b;0;m , BN b;0;n BM,BN 0;b n m ;0 B N C 1 Vậy VMNBC BM,BN BC bc n m 6 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: y 1 b2 c2 VMNBC bc n m bc.2 m n 6 b2 c2 Dấu đẳng thức xảy v| m n bc b2 c2 Vậy VMNBC nhỏ M, N nằm hai phía A v| AM AN Chú ý: ta tính thể tích tứ diện MNBC theo c{ch: m o c AB.AC BC 1 VMNBC VMABC VNABC AM.SΔABC AN.SΔABC 3 1 AM AN SΔABC bc m n Bài 31 Cho tam gi{c ABC có cạnh a, I l| trung điểm BC, D l| điểm đối xứng với A qua I Dựng đoạn SD a b h in a vuông góc với mặt phẳng (ABC) Chứng minh rằng: SAB SAC SBC SAD s n e y u T Giải Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O trùng với điểm I, c{c tia Ox, Oy, trùng c{c tia ID, IC, tia Oz song song v| chiều với tia DS Khi a D ;0;0 , a a a a a C 0; ;0 , B 0; ;0 , A ;0;0 , S ;0; 2 2 a 6 SA cắt Iz trung điểm M SA Ta có M 0;0; Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 01234332133 25 a a ;0;0 , B 0; ;0 , a Mặt phẳng (SAB) qua A z S a 6 M 0;0; nên có phương trình đoạn chắn (SBA): (SBA): 2x 2y 4z 1 a a a v| có M ph{p vec-tơ B 2 n1 ; ; a a a 6 Mặt D I phẳng (SAC) qua A C y a a a 6 A ;0;0 , C 0; ;0 , M 0;0; nên có phương trình đoạn chắn (SAC): 2x a Ta có n1.n2 x 2 2y 4z v| có ph{p vec-tơ n2 ; ; a a a a a 6 2 2 4 0 a a a a a a Do SAB SAC m o c b Mặt phẳng (SBC) có cặp vec-tơ phương l|: a a a BC 0;a;0 ∥α 0;1;0 ; CS ; ; ∥β 2 Vậy (SBC) có vec-tơ ph{p tuyến n3 α,β 3; 1; 6;0; Mặt phẳng (SAD) trùng mặt phẳng tọa độ (xOz) nên có ph{p vec-tơ n4 0;1;0 Do n3 n4 nên SBC SAD h in Bài 32 Cho hình vuông ABCD C{c tia Am v| Cn vuông góc với mặt ABCD v| chiều C{c điểm M, N thuộc Am, Cn Chứng minh BMN DMN MBD NBD s n e y u T Giải Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O trùng với điểm A, c{c tia Ox, Oy, Oz trùng c{c tia AB, AD, Am Giả sử hình vuông ABCD có cạnh a z m Đặt AM m, CN n Ta có: M B a;0;0 , D 0;a;0 , M 0;0;m , N a;a;n , C a;a;0 n N B Mặt phẳng (BMN) có cặp vec-tơ phương BM a;0;m , A x BN 0;a;n Do (BMN) có ph{p vec-tơ BM,BN am;an; a ∥α m; n;a Mặt phẳng (DMN) có cặp Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 01234332133 D y C 26 vec-tơ phương DM 0; a;m , DN a;0;n Do (DMN) có ph{p vec-tơ DM,DN an;am;a2 ∥α2 n;m;a Vậy BMN DMN α1.α2 m.n Ta có (MBD): a2 (1) 1 1 x y z có ph{p vec-tơ l| β1 ; ; a a m a a m Mặt phẳng (BDN) có cặp vec-tơ phương BD a;a;0 , BN 0;a;n Do (NBD) có ph{p vec-tơ BD,BN an;an; a2 ∥β2 n;n; a (2) n n a a2 m.n a a m Từ (1) v| (2) ta có điều phải chứng minh Vậy MBD NBD β1.β2 Bài 33 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất c{c cạnh nhau, M l| trung điểm BB’ Chứng minh A’M vuông góc với AC’ v| CB’ Giải Gọi O l| trung điểm AB Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có c{c tia Ox, Oy trùng với c{c tia OC, OB, tia Oz song song chiều với tia AA’ Giả sử c{c cạnh hình lăng trụ a Khi đó: a a a a C ;0;0 , B 0; ;0 , A 0; ;0 , B' 0; ;a m o c z a a a a ;0;a , M 0; ; , A' 0; ;a , C' 2 3;1;2 a a CB' ; ;a ∥γ 3;1;2 2 C' B' a Vậy A'M 0;a; ∥α 0;2; 1 a a AC' ; ;a ∥β 2 A' s n e y u T h in M O A C y B y Do α.β 0, α.γ nên A'M AC' v| A'M CB' Bài 34 Cho hình chóp S.ABCD, đ{y có cạnh a Gọi M, N l| trung điểm SA, SC Biết BM DN Tính thể tích khối chóp S.ABCD Giải Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc tọa độ O l| t}m hình vuông ABCD, c{c tia Ox, Oy, Oz trùng c{c tia OA, OB, Ó a a a a ;0 , D 0; ;0 ,A ;0;0 , C ;0;0 , Đặt SO h Khi đó: B 0; a a h h S 0;0;h , M ;0; , N ;0; (vì M, N l| trung điểm SA, SC) 2 2 2 2 Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 01234332133 27 a a h a a h ; ; ; ; ; DN Ta có BM 2 2 2 2 2 2 z S Ta có: BM.DN a2 a2 h2 a 10 0h M N a 10 Vậy VS.ABCD SO.SABCD Bài 35 Cho hình chóp S.ABC, đ{y có cạnh a Gọi M, N l| trung điểm SB, SC Biết AMN SBC Tính thể tích hình chóp S.ABC D A x O C B y Giải Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có O l| t}m tam gi{c ABC, c{c tia Oy, Oz trùng c{c tia OB, OS, tia Ox hướng với tia CA z S Đặt SO h Khi đó: a a a a a A ; ;0 , B 0; ;0 , C ; ;0 , 2 2 N a h a a h S 0;0; h , M 0; ; , N ; ; 2 4 2 M C m o c K Mặt phẳng (AMN) có cặp vec-tơ phương a a h 3a a h AM ; ; , AN ; ; 2 4 2 A O x B Vậy (AMN) có ph{p vec-tơ 2 AM,AN 3ah ; ah ; 5a ∥α 3ah ; ah; 5a 8 8 3 3 y a a ;0 , S 0;0;h nên có phương trình đoạn Mặt phẳng (SBC) cắt trục Ox K ;0;0 v| qua B 0; chắn (SBC): 3x 3y z 1 a a h h in s n e y u T 3 ; Vậy (SBC) có ph{p vec-tơ β ; a a h Ta có AMN SBC α.β 9h h 3 5a2 h 0h a 12 1 a2 a3 a Vậy VS.ABC SO.SABC 3 12 24 Bài 36 Cho hình chóp S.ABCD có đ{y l| hình vuông cạnh a, tam gi{c SAB Gọi M, N, P, K l| trung điểm BC, CD, SD, SB a Tính khoảng c{ch hai đường thẳng MK v| AP b Chứng minh ANP ABCD Giải Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 01234332133 28 Gọi O l| trung điểm AB Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có c{c tia Ox, Oy, Oz trùng c{c tia ON, OB, OS Khi đó: z S a a a 3 A 0; ;0 , B 0; ;0 , N a;0;0 , S 0;0; , P a a a a a a a a 3 D a; ;0 , P ; ; , M ; ;0 , K 0; ; 4 2 4 K A a Đường thẳng MK có vec-tơ phương l|: a a a MK ; ; ∥α 2;1; 4 Đường thẳng AP có vec-tơ phương l|: a a a 3 AP ; ; ∥β 2;1; 2 B O x N C M y 3a a Ta có α,β 3; 4 2;0 , AK 0; ; 4 α, β AK 3a 3a Vậy d MK,AP α, β 15 m o c b Mặt phẳng (APN) có cặp vec-tơ phương l| a a a a a a 3 NP ; ; ∥α 2;1; ; AP ; ; ∥β 2;1; 4 2 Do (ANP) có ph{p vec-tơ l| α,β 3; 4 3;0 ∥n1 1; 2;0 Mặt phẳng (ABCD) có ph{p vec-tơ l| n2 0;0;1 Do n1.n2 nên ANP ABCD Bài 37 Trong hệ trục tọa độ h in Oxyz cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A 0;0;0 , D 0;1;0 , D' 0;1;2 , B' 1;0;2 Gọi E l| điểm đối xứng với A qua B Điểm M thuộc đoạn CD cho mặt s n e y u T phẳng (A’ME) tạo với mặt (ABB’A’) góc φ thỏa mãn tan φ a Viết phương trình mặt phẳng (A’ME) b Viết phương trình mặt cầu (S) qua C, B’, D’ v| có t}m thuộc mặt phẳng (A’ME) Giải Dễ d|ng suy tọa độ c{c điểm A' 0;0;2 , z B1;0;0 , C 1;1;0 , C' 1;1;2 , E 2;0;0 A' Đặt DM t t 1 Khi M t;1;0 B' D' C' Mặt phẳng (A’ME) có cặp vec-tơ phương A'M t;1; 2 , A'E 2;0; 2 ∥α 1;0; 1 Do (A’ME) có ph{p vec-tơ A'M, α n1 1;t 2; 1 Mặt phẳng (ABB’A’) có ph{p vec-tơ n2 0;1;0 B A x E y Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 01234332133 D M C 29 t 2 Ta có cos φ cos n1 ,n2 Vậy t 2 2 suy sin φ cos2 φ t 2 2 t t (vì t ) t 2 tan φ Vậy M 1;1;0 (trùng với điểm C) a Mặt phẳng (A’ME) có ph{p vec-tơ n1 1;t 2; 1 1; 1; 1∥1;1;1 v| qua điểm E 2;0;0 nên có phương trình: A'ME :1 x 2 1 y 0 1z hay A'ME : x y z b (S) qua C, B’, D’ nên có t}m I thuộc c{c mặt phẳng α , β l| c{c mặt phẳng trung trực CB’, CD’ α qua trung điểm K 1; 21 ;1 CB’ v| có ph{p vec-tơ CB' 0; 1;2 1 Vậy α : y z 1 2y 4z 2 β qua trung điểm L 21 ;1;1 CD’ v| có ph{p vec-tơ D'C 1;0; 2 1 Do β :1 x y 1 z 1 2x 4z 2 x y z 1 Vậy tọa độ I l| nghiệm hệ: 2y 4z I ; ;1 2 2x 4z Mặt cầu (S) có b{n kính R IC 2 m o c h in 1 1 Vậy S : x y z 1 2 2 Bài 38 Cho tứ diện OABC vuông O C{c mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) tạo với mặt phẳng (ABC) s n e y u T c{c góc α, β, γ tương ứng Gọi SO , SA , SB , SC l| diện tích c{c mặt đối diện với c{c đỉnh O, A, B, C tứ diện Chứng minh rằng: a OH OA OB OC2 với H l| hình chiếu vuông góc O (ABC) b SO2 SA2 SB2 SC2 Giải Chọn hệ tọa độ Oxyz hình vẽ Giả sử OA a, OB b, OC c , O 0;0;0 , A a;0;0 , B 0;b;0 , C 0;0;c a Mặt phẳng (ABC) có phương trình: x y z 1 a b c Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 01234332133 30 OH d O, ABC a OH OH2 a OA b z b C c2 c2 OB2 H OC2 x O A b Do c{c tam gi{c OAB, OAC, OBC l| c{c tam gi{c vuông O nên: S2A SOBC 1 b2 c2 OB.OC S2A 2 Tương tự ta có: S2B B y c2 a2 a2 b2 , SC 4 1 2 2 AB,AC b c c a a2 b2 S2O S2ΔABC S2A S2B S2C 2 Bài 39 Cho hình chữ nhật ABCD có AB a, AD b C{c tia Am v| Cn hướng v| vuông góc với Mặt kh{c: SΔABC mặt phẳng (ABCD) C{c điểm M, N thay đổi c{c tia Am, Cn cho MBD NBD Chứng minh AM.CN không đổi Giải Chọn hệ trục tọa độ Oxyz A 0;0;0 , B a;0;0 , D 0;b;0 , C a;b;0 hình vẽ, đó: Giả sử AM m, CN n m,n Ta có M 0;0;m , N a;b;n 1 1 Mặt phẳng (MBD) có vec-tơ ph{p tuyến n ; ; a b m Do NB 0; b; n , ND a;0; n nên 1 1 n' bn;an; ab abn ; ; a b n h in a b mn N B A x D C y s n e y u T MBD NBD n.n' 12 n M Mặt phẳng (NBD) có vec-tơ ph{p tuyến n' NB,ND m o c z m a b a b 2 AM.CN const mn a b a b2 Bài 40 Cho hình chóp S.ABCD, đ{y có cạnh a Gọi M, N l| trung điểm SA v| BC, 2 Do đó: 2 O l| t}m đ{y ABCD Biết MN tạo với mặt phẳng (ABCD) góc 300 z a Chứng minh rằng: SO MN b Tính góc MN v| (SBD) S Giải M Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ, đó: O 0;0;0 , a a B ;0;0 , C 0; ;0 , a a a N ; ;0 , A 0; ;0 Giả SO h h Khi Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 01234332133 sử D C N O A y B x 31 a a h a h S 0;0;h , M 0; ; ; ; MN 2 2 a Mặt phẳng (ABCD) có phương trình z v| có vec-tơ ph{p tuyến n 0;0;1 , suy sin 300 n.MN n MN (vì MN tạo với (ABCD) góc 300 ) Do đó: h 5a a 30 h hay h h2 6 2a 2a h 2 5a 2h 16 4 Vậy SO h a 30 2 a a h 2 a a 5a a 30 Mặt kh{c MN 24 2 Vậy SO MN b Mặt phẳng (SBD) có phương trình y v| có vec-tơ ph{p tuyến n ' 0;1;0 a a a 30 MN ; ; 12 m o c a 15 Gọi α l| góc MN v| (SBD), ta có: sin α n ' MN a 30 Bài 41 Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt (ABC) Tam gi{c ABC vuông B, n '.MN AB a, BC b Đường thẳng SC tạo với mặt phẳng (ABC) góc 600 Tính thể tích hình chóp v| b{n kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Giải h in Chọn hệ tọa độ Oxyz hình vẽ Giả sử SA h , B 0;0;0 , A a;0;0 , C 0;b;0 , S a;0;h SC a;b; h s n e y u T z S Mặt phẳng (ABC) có phương trình z n 0;0;1 l| vec-tơ ph{p tuyến (ABC) Do SC tạo với (ABC) góc 600 nên: sin 600 n.SC n SC h a b2 h h a b2 C Giả sử I x ; y0 ;z0 l| t}m mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, ta có: Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 01234332133 y B A x 32 IA IB2 IC2 IS2 x 02 y02 z 02 x a y02 z 02 x 02 y0 b z 02 x 02 y02 z a b a b2 a b x ; y0 ;z 2 Gọi R l| b{n kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, ta có: R IB x 02 y02 z02 a b2 Gọi V l| thể tích hình chóp, ta có: 1 V SA.SΔABC SA.AB.BC ab a b2 6 Bài 42 Cho hình chóp S.ABC, đ{y có cạnh a M, N l| trung điểm SA, SC Biết BM AN Tính thể tích v| b{n kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Giải Gọi O l| t}m tam gi{c ABC v| K l| trung điểm z a a a , AO BC, đó: OK AK , KB KC Giả sử SO h h S a a a ;0 , A 0; ;0 , a a C ; O 0;0;0 , B ; ;0 , 2 S 0;0;h m o c I A a h a a h M 0; ; , N ; ; 12 a a h a 5a h BM ; ; , AN ; ; 2 12 Do BM AN nên BM.AN N M Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ Khi đó: O x C K y B h in a 15a h 42 0h a 36 s n e y u T 1 a 42 a a 14 Gọi V l| thể tích hình chóp, ta có: V SO.SΔABC 3 24 Gọi I l| t}m mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, dễ thấy I SO nên I 0;0;m Ta có: IA IS2 a 42 a2 42 5a a2 m2 a a.m m2 m m2 m 3 42 Vậy R IA a 25a 9a 168 42 Bài 43 Cho điểm M nằm góc tam diện vuông Oxyz Mặt phẳng α thay đổi qua M v| cắt c{c tia Ox, Oy, Oz c{c điểm ph}n biệt A, B, C Tìm gi{ trị nhỏ thể tích tứ diện OABC Giải Chọn hệ tọa độ Oxyz hình vẽ Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 01234332133 33 Giả sử M x ; y0 ;z0 v| mặt phẳng α cắt Ox, Oy, Oz c{c điểm z A a;0;0 , B 0;b;0 , C 0;0;c C x y z 1 a b c x y z abc Vì M α nên a b c Khi mặt phẳng α có phương trình: Ta có VOABC Suy 33 x y0 z (bất đẳng thức Cô-si) abc abc 27x y0 z0 VOABC M B y O 27x y0 z0 a 3x x y0 z Dấu “=” xảy b 3y0 a b c c 3z A x Bài 44 Cho hai đường thẳng chéo a, b vuông góc với nhau, nhận AB l|m đoạn vuông góc chung (A thuộc a, B thuộc b) C{c điểm M, N thay đổi a, b cho MN AM BN Chứng minh khoảng c{ch từ trung điểm O đoạn AB tới đường thẳng MN không đổi Từ suy MN tiếp xúc với mặt cầu đường kính AB Giải Kẻ Ay∥b Dễ thấy Ay a , Ay AB z m o c Chọn hệ tọa độ Oxyz hình vẽ Giả sử AB h, AM m, BN n h,m,n Khi đó: A 0;0;0 , B 0;0;h , M m;0;0 , h N 0;n;h , O 0;0; 2 Theo giả thiết MN AM BN nên ta có m n h m n h 2mn 2 2 Do d O, MN MN,OM MN s n e y u T h n h m2 m2 n 4 m n2 h2 y O a A M x 2mn 2m3n m2 n mn h 4 2 m2 n 2mn Vậy khoảng c{ch từ O đến MN không đổi v| kính AB b h in h Ta có MN m;n;h , OM m;0; 2 hn hm MN,OM ; ; mn 2 N B AB Do MN tiếp xúc với mặt cầu đường Bài 45 Trong không gian tọa độ cho c{c điểm A 0;0;1 , D 0;2;0 C{c điểm B v| C thay đổi trục Ox cho ACD ABD X{c định vị trí B v| C để thể tích tứ diện ABCD nhỏ Ứng với vị trí đó, viết phương trinh mặt phẳng α chứa AD v| tạo với c{c mặt (ACD), (ABD) góc Giải Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 01234332133 34 Giả sử B b;0;0 , C c;0;0 Khi (ABD) có phương trình: x y z 1 b z 1 v| có vec-tơ ph{p tuyến n ; ;1 b Mặt phẳng (ACD) có phương trình: x y z v| có vec-tơ ph{p tuyến c C A 1 n ' ; ;1 c O VABCD VBOAD VCOAD BO CO y D 1 Do ACD ABD nên n.n ' bc bc Vậy ta có OB.OC v| B, C nằm kh{c phía O Ta có: B x 1 BO CO .SΔOAD BO CO BO.CO 3 3 Dấu “=” xảy Khi mp(AOD) tạo với c{c mặt phẳng (ACD), (ABD) góc v| đó, mặt phẳng α qua AD v| vuông góc với (AOD) tạo với c{c mặt phẳng (ACD), (ABD) góc (AOD) có phương trình: x v| có vec-tơ ph{p tuyến n 1;0;0 α có vec-tơ 0. x 0 1. y 2. z 1 hay y 2z Bài gian Mặt phẳng 46 Trong không ph{p tuyến tọa m o c α n1 n, AD 0;1;2 Do độ Oxyz, cho hình hộp có phương trình: ABCD.A’B’C’D’ có A 0; 1;0 , C 2;1;0 , B' 2; 1;2 , D' 0;1;2 C{c điểm M, N thay đổi c{c đoạn A’B’ v| BC cho D'M AN a Chứng minh MN vuông góc với đường thẳng cố định b Khi M l| trung điểm A’B’, viết phương trình mặt phẳng (DMN) h in Giải Ta có AC 2;2;0 , B'D' 2;2;0 s n e y u T AC B'D' v| AC B'D' AC BD v| AC BD ABCD l| hình vuông A' M Tương tự, ta chứng minh c{c mặt lại hình hộp l| hình vuông, ABCD.A’B’C’D’ l| hình lập phương (ABCD) có phương trình: z B' C D Giả sử n AC,B'D' n 0;0;8 (ABCD) có vec-tơ ph{p tuyến n 0;0;8 C' D' N A B (A’B’C’D’) có phương trình: z Từ dễ d|ng x{c định c{c đỉnh lại hình lập phương l|: B 2; 1;0 , D 0;1;0 , A' 0; 1;2 , C' 2;1;2 Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 01234332133 35 x 2t A’B’ có phương trình: y 1 BC có phương trình: z x y 1 2s z t,s Do M, N nằm c{c đoạn A’B’ v| BC nên M 2t; 1;2 , N 2; 1 2s;0 với t 1, s Theo giả thiết D'M AN D'M.AN t s MN 2t;2t; 2 a Xét u 1;1;1 , ta thấy MN.u t nên MN vuông góc với c{c đường thẳng có phương u , suy MN vuông góc với đường thẳng cố định b Khi M l| trung điểm A’B’ t s Ta có M 1; 1;2 , N 2;0;0 MN 1;1; 2 , DM 1; 2;2 MN,DM 2; 4; 3 (DMN) qua D 0;1;0 v| có vec-tơ ph{p tuyến n1 2;4;3 Vậy (DMN) có phương trình: 2x 4y 3z m o c h in s n e y u T Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 01234332133 36 [...]... a a 3 a 3 a 3 B' ;0; tan α , C' 0; ; tan α 2 2 2 2 h in s n e y u T Ta có: a a 3 a 3 AB a;0;0 , AC' ; ; tan α , 2 2 2 z A' C' M' B' a a 3 a 3 A'B' a;0;0 , A'C ; ; tan α 2 2 2 a2 3 a2 3 AB,AC' 0; tan α; 2 2 a2 3 a2 3 A 'B',A 'C 0; 2 tan α; 2 y A C O≡M B x... 2 6 2 B Tam gi{c MCC’ vuông tại C’ v| có CMC' α, MC a 3 a 3 CC' MCtan α tan α AA' 2 2 m o c 1 a 3 a 3 a3 tan α Vậy VC'.A'AB tan α.a 6 2 2 8 7 b Tìm α để ABC' A'B'C Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có O M , ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt đi qua B, C, M’ (M’ l| trung điểm của 4 2 a a 3 a a a 3 tan α , ;0 , A' ;0; A’B’) Khi đó M 0;0;0 , A ;0;0 , B ;0;0... α; 2 y A C O≡M B x Vtpt của hai mặt phẳng (ABC’) v| (A’B’C) lần lượt l|: 2 AB,AC' 0; tan α;1 v| n2 A'B',A'C 0 ;tan α;1 2 a 3 a 3 Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 01234332133 n1 2 2 15 ABC' A'B'C n1.n2 0 tan2 α 1 0 tan α 1 00 α 900 α 450 Bài 21 Cho hai hình chữ nhật ABCD v| ABEF ở trong hai mặt phẳng vuông góc... 2 2 Do đó d O, MN MN,OM MN s n e y u T h 2 n 2 h 2 m2 m2 n 2 4 4 2 m n2 h2 y O a A M x 2mn 3 2m3n m2 n 2 mn h 4 4 2 2 m2 n 2 2mn Vậy khoảng c{ch từ O đến MN không đổi v| bằng kính AB b h in h Ta có MN m;n;h , OM m;0; 2 hn hm MN,OM ; ; mn 2 2 N B AB Do đó MN luôn tiếp xúc với mặt cầu đường 2 Bài 45 Trong không gian. .. 2 2 4 4 0 a 3 a 3 a a a 6 a 6 Do đó SAB SAC m o c b Mặt phẳng (SBC) có cặp vec-tơ chỉ phương l|: a 3 a a 6 BC 0;a;0 ∥α 0;1;0 ; CS ; ; ∥β 2 2 2 Vậy (SBC) có vec-tơ ph{p tuyến n3 α,β 3; 1; 6 6;0; 3 7 4 2 Mặt phẳng (SAD) trùng mặt phẳng tọa độ (xOz) nên có ph{p vec-tơ n4 0;1;0 Do n3 n4 0 nên SBC SAD h in Bài 32 Cho... a;a;0 n N B Mặt phẳng (BMN) có cặp vec-tơ chỉ phương BM a;0;m , A x BN 0;a;n Do đó (BMN) có ph{p vec-tơ BM,BN am;an; a ∥α m; n;a Mặt phẳng (DMN) có cặp 1 2 Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 01234332133 D y C 26 vec-tơ chỉ phương DM 0; a;m , DN a;0;n Do đó (DMN) có ph{p vec-tơ DM,DN an;am;a2 ∥α2 n;m;a Vậy BMN DMN ... cặp vec-tơ chỉ phương l| a a a 3 a a a 3 NP ; ; ∥α 2;1; 3 ; AP ; ; ∥β 2;1; 3 2 4 4 2 2 4 7 Do đó (ANP) có ph{p vec-tơ l| α,β 2 3; 4 3;0 ∥n1 1; 2;0 Mặt phẳng (ABCD) có ph{p vec-tơ l| n2 0;0;1 Do n1.n2 0 nên ANP ABCD Bài 37 Trong hệ trục tọa độ 4 2 h in Oxyz cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A 0;0;0 , D 0;1;0 , D' 0;1;2... thỏa mãn tan φ 2 a Viết phương trình mặt phẳng (A’ME) b Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua C, B’, D’ v| có t}m thuộc mặt phẳng (A’ME) Giải Dễ d|ng suy ra được tọa độ của c{c điểm A' 0;0;2 , z B1;0;0 , C 1;1;0 , C' 1;1;2 , E 2;0;0 A' Đặt DM t 0 t 1 Khi đó M t;1;0 B' D' C' Mặt phẳng (A’ME) có cặp vec-tơ chỉ phương A'M t;1; 2 , A'E 2;0; 2 ∥α 1;0; 1 Do đó... , N 0; 2 2 2 2 C' D' t t ;t 2 a; Do đó MN 2 2 N A Ta có: 2 t MN t 2 a 2 2 B' A' 2 2 t 2 2 3t 2 2at a 2 B x M y D C Xét h|m số f t 3t 2 2 2at a2 H|m số n|y có đồ thị l| một Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 01234332133 23 a 2 3 parabol quay bề lõm lên phía trên Do đó f(t) nhỏ nhất khi v| chỉ khi t a 2 a 2 ... ;1 c 2 O VABCD VBOAD VCOAD BO CO 2 5 y D 1 1 4 Do ACD ABD nên n.n ' 0 1 0 bc bc 4 5 4 Vậy ta có OB.OC v| B, C nằm kh{c phía đối với O 5 Ta có: B x 1 1 2 4 BO CO .SΔOAD BO CO BO.CO 3 3 3 3 5 Dấu “=” xảy ra Khi đó mp(AOD) tạo với c{c mặt phẳng (ACD), (ABD) những góc bằng nhau v| do đó, mặt phẳng α qua AD v| vuông góc với (AOD) cũng tạo