Chuyên đề 07 bất đẳng thức và min, max khóa luyện thi đảm bảo

De_bai_bai_01.pdf Dap_an_bai_01.pdf De_bai_bai_02.pdf Dap_an_bai_02.pdf De_bai_bai_03.pdf Dap_an_bai_03.pdf Bài 1: Sử dụng bất ñẳng thức Côsi c/m BðT và tìm Min, Max – LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1 BTVN BÀI SỬ DỤNG BẤT ðẲNG THỨC CÔSI ðỂ CHỨNG MINH BðT VÀ TÌM MIN, MAX Bài 1: Cho 3 số dương tùy ý x,y,z. CMR: 3 2 2 2 4 x x x x y z x y z x y z + + ≤ + + + + + + Bài 2: Cho 3 số dương x,y,z thõa mãn: xyz=1 CMR: 2 2 2 3 1 1 1 2 x y z y z x + + ≥ + + + Bài 3: Cho 3 số không âm tùy ý x,y,z thõa mãn: x+y+z=0. CMR: 2 4 2 4 2 4 3 3 x y z + + + + + ≥ Bài 4: Cho 3 số dương tùy ý a,b,c: Tìm Min: 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 4( ) 4( ) 4( ) 2 a b c A a b b c c a b c a   = + + + + + + + +     Bài 5: Cho 3 số dương tùy ý x,y,z. Tìm Min của: 1 1 1 2 2 2 x y z P x y z yz zx xy       = + + + + +             ………………….Hết………………… Nguồn: Hocmai.vn Bài 1: Sử dụng bất ñẳng thức Côsi c/m BðT và tìm Min, Max – LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1 BTVN BÀI SỬ DỤNG BẤT ðẲNG THỨC CÔSI ðỂ CHỨNG MINH BðT VÀ TÌM MIN, MAX Bài 1: Cho 3 số dương tùy ý x,y,z. CMR: 3 2 2 2 4 x x x x y z x y z x y z + + ≤ + + + + + + Giải: Ta có: ( ) ( ) 1 1 1 1 1 2 4 1 2 4 1 1 3 2 4 4 4 1 2 4 x y z x y x z x y x z x x x x y z x y x z y y y x y y z x z VT x y z x y y z x y y z x z z z z x y z x z y z   = ≤ +   + + + + + + +      ≤ +    + + + +         + + +  ⇒ ≤ + ⇒ ≤ + + =      + + + + + + +          =≤ +   + + + +     Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=y=z Bài 2: Cho 3 số dương x,y,z thõa mãn: xyz=1 CMR: 2 2 2 3 1 1 1 2 x y z y z x + + ≥ + + + Giải: Ta có: 2 2 3 2 1 1 4 9 3 1 3 ( ) 3( ) 3 3 ( ) 1 4 4 4 4 2 1 1 4 x y x y xyz y z x y z x y z y VT x y z z z x z x  + + ≥  +   − + + + + + + −  + ≥ ⇒ ≥ + + − = ≥ =  +   + + ≥  +   Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1 Bài 3: Cho 3 số không âm tùy ý x,y,z thõa mãn: x+y+z=0. Bài 1: Sử dụng bất ñẳng thức Côsi c/m BðT và tìm Min, Max – LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 2 of 3 CMR: 2 4 2 4 2 4 3 3 x y z + + + + + ≥ Giải: ðặt: ( ) 1 1 1 1 3 6 6 6 6 (1) 1 18 4 , , 0 4 à : 2 2 2 3 3 (1) 1 4 ó : 2 1 1 3 2 3. 3. 3 3. 3 3 x y z a a b c b V a b c abc c Ta c a a a a a VT a b c abc  = >   = ⇒ + + + + + ≥   =   =    + = + + ≥ ⇒ + ≥ ⇒ ≥ + +     ≥ = Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=0 Bài 4: Cho 3 số dương tùy ý a,b,c: Tìm Min: 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 4( ) 4( ) 4( ) 2 a b c A a b b c c a b c a   = + + + + + + + +     Giải: ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 3 3 4( ) 4( ) 4( ) 2 ì :4( ) 8 ( ) 4( ) 2 4( ) 4( ) 4( ) 2 6 1 1 à 2 6 6 12 12 a b c A a b b c c a b c a V a b ab a b ab a b b c c a ab bc ca abc a b c V A abc Min A b c a abc abc   = + + + + + + + +     + ≥ ⇒ + ≥ ⇒ + + + + + ≥ + + ≥     + + ≥ ⇒ ≥ + ≥ ⇒ =         D ấ u “=” x ả y ra khi và ch ỉ khi a=b=c=1. Bài 5 : Cho 3 s ố d ươ ng tùy ý x,y,z. Tìm Min c ủ a: 1 1 1 2 2 2 x y z P x y z yz zx xy       = + + + + +             Giải: Ta có: Bài 1: S ử d ụ ng b ấ t ñẳ ng th ứ c Côsi c/m B ð T và tìm Min, Max – LT ð H ñả m b ả o – Th ầ y Phan Huy Kh ả i Hocmai.vn – Ngôi tr ườ ng chung c ủ a h ọ c trò Vi ệ t Page 3 of 3 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 3 1 ì : 3 ( ) à 1 . 2 2 2 ( ) 3 1 9 9 3 ( ) . . 2 2 2 ( ) x y z x y z x y z x y z P x y z xyz xyz xyz xyz xyz V x y z xyz V xyz xyz xyz xyz P xyz MinP xyz   + + + + + + = + + + = + = + + +       + + ≥ + = + + ≥     ⇒ ≥ = ⇒ = D ấ u “=” x ả y ra khi và ch ỉ khi x=y=z=1 ………………….Hết………………… Nguồn: Hocmai.vn Bài 2: SD chiều biến thiên c/m BðT và tìm Min,Max – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Khải. Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt BTVN BÀI SỬ DỤNG CHIỀU BIẾN THIÊN CHỨNG MINH BðT VÀ TÌM MIN, MAX CỦA HÀM SỐ Bài 1: Tìm Min, Max của: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 12 xy A x y x x y = + + + Bài 2: Cho 3 số thực thõa mãn: x 2 + y 2 + z 2 =1. Tìm Min, Max của: ( ) ( ) P x y z xy yz zx = + + − + + Bài 3 : Cho 2 s ố d ươ ng x,y thõa mãn: x+y=5/4. Tìm Min c ủ a: 4 1 4 A x y = + Bài 4 : CMR: V ớ i m ọ i tam giác ABC ta luôn có: Bài 5 : Cho 2 s ố không âm tùy ý x,y thõa mãn x+y=1: Tìm Min, Max c ủ a: 1 1 x y S y x = + + + ………………….Hết………………… Nguồn: Hocmai.vn Bài 2: SD chiều biến thiên c/m BðT và tìm Min,Max – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Khải. Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt BTVN BÀI SỬ DỤNG CHIỀU BIẾN THIÊN CHỨNG MINH BðT VÀ TÌM MIN, MAX CỦA HÀM SỐ Bài 1: Tìm Min, Max của: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 12 xy A x y x x y = + + + Giải: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ó : . : 3 1 1 12 1 1 12 1 1 1 3 12 1 3 1 1 12 3 1 1 12 1 1 12 1 1 . : 1 12 ( 1) 3 ( ) 3 12 4 3 1 '( ) 0 3 ( ) ( 3 y Ta c A Coi t x x y y x t t t A t t t t t t t u Coi u t u A f u t u u f u A f u f u = =            +  + +                 − + ⇒ = = =   + − + + + + + +     + − − = = + ≥ ⇒ = = + + = −  ⇒ = ⇔ ⇒ = ≤  =  1 1 3) ax . 6 18 à : lim ( ) 0 0 u M A V f u MinA →∞ = ⇒ = = ⇒ = Bài 2: Cho 3 số thực thõa mãn: x 2 + y 2 + z 2 =1. Tìm Min, Max của: ( ) ( ) P x y z xy yz zx = + + − + + Giải: ðặ t: 2 2 2 2 2 2 3( ) 3 3; 3 1 2 1 à ( ) '( ) 0 1 3; 3 2 2 ax (1) 1 ó : ( 3) ( 3 1) t x y z t x y z t t t t V P t f t f t t M P f Qua BBT ta c MinP f   = + + ⇒ ≤ + + = ⇒ ∈ −   − − + +   = − = = ⇒ = ⇔ = ∈ −   = =    = − = − +   Bài 2: SD chi ề u bi ế n thiên c/m B ð T và tìm Min,Max – Khóa LT ð H ñả m b ả o – Th ầ y Kh ả i. Hocmai.vn – Ngôi tr ườ ng chung c ủ a h ọ c trò Vi ệ t Bài 3 : Cho 2 s ố d ươ ng x,y thõa mãn: x+y=5/4. Tìm Min c ủ a: 4 1 4 A x y = + Giải: Ta có: ( ) 2 2 5 16 16 60 5 4 . 5 4 4 (5 4 ) 4 ( ) 4 4 0 , 5 16 16 1 16 1 : à : ( ) 5 4 5 5 0 16 1 16 '( ) 0 (1) 1 5 5 4 5 3 y y y x y A xy y y y y a y a b a b Coi V A f a b y a b ab b a a a a f a MinA f a a a + − + + = = = − − = < <   + ⇒ = = + = + =   = − + = −   =   ⇒ = − = ⇒ ⇒ = = + =  = − −  D ấ u “=” x ả y ra khi và ch ỉ khi x=1; y=1/4 Bài 4 : CMR: V ớ i m ọ i tam giác ABC ta luôn có: 1 os 1 os 1 os 2 2 2 3 3 A A A c c c A A A + + + + + > Giải: Xét hàm s ố : 2 cos 1 2 x y x = + − ' sin à '' 1 cos 0; ; 2 y x x v y x x o   = − = − > ∀ ∈     π Ta th ấ y y’ ñồ ng bi ế n và ta có: y > 0. V ậ y ta có: 2 cos 1 2 x x > − Áp d ụ ng cho các góc A/2, B/2 , C/2 ta có: 2 2 2 cos 1 ;cos 1 ;cos 1 2 8 2 8 2 8 A A B B C C > − > − > − Bài 2: SD chi ề u bi ế n thiên c/m B ð T và tìm Min,Max – Khóa LT ð H ñả m b ả o – Th ầ y Kh ả i. Hocmai.vn – Ngôi tr ườ ng chung c ủ a h ọ c trò Vi ệ t 2 1 1 1 1 9 2 ( ) 2. 8 8 18 144 3 3 8 8 A B C VT A B C A B C A B C + +   ⇒ > + + − + + ≥ −   + +   − = − = > π π π π Bài 5 : Cho 2 s ố không âm tùy ý x,y thõa mãn x+y=1: Tìm Min, Max c ủ a: 1 1 x y S y x = + + + Giải: Ta có: 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 2 . 1 1 ( ) 1 2 ( ) 1 1 2 2 6 à : 0 . : 0; à 2 ( ) 4 4 4 2 2 1 2 inS ( ) 6 ' 0 4 3 ( 2) ax (0) 1 x y x y x y xy S y x xy x y xy x y t M xy Coi t xy t v S f t t t M f S t M S f + + + − = + = = + + + + + + + −   ≤ ≤ = = ⇒ ∈ = = − + =   + +    = = −  ⇒ = < ⇒  +  = =  ………………….Hết………………… Nguồn: Hocmai.vn Bài 3: Sử dụng các PP khác c/m BðT và tìm Min, Max – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1 BTVN SỬ DỤNG CÁC PP KHÁC CM BðT VÀ TÌM MIN, MAX CỦA HÀM SỐ Bài 1: Cho 3 số dương x,y,z thõa mãn ñiều kiện: xyz=1. Chứng minh rằng: 2 2 2 3 3 3 1 x y z P x y y z y z z x z x x y = + + ≥ + + + + + + Bài 2: Cho 3 số thực a,b,c tùy ý. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 (*) 1 . 1 1 . 1 1 . 1 a c a b b c a c a b b c − − − ≤ + + + + + + + Bài 3: Cho 4 số thực a,b,c,d thõa mãn: a 2 +b 2 =1; c – d =3. Chứng minh: 9 6 2 4 F ac bd cd + = + − ≤ Bài 4: Cho: 0; a c b c ≥ ≥ ≥ Chứng minh: ( ) ( ) c a c c b c ab − + − ≤ Bài 5: Cho x,y,z thuộc khoảng (0;1) thõa mãn ñiều kiện: xy + yz + zx = 1. Tìm Min của: 2 2 2 1 1 1 x y z P x y z = + + − − − ………………….Hết………………… Nguồn: Hocmai.vn [...]...Bài 3: S d ng các PP khác c/m BðT và tìm Min, Max – Khóa LTðH ñ m b o – Th y Phan Huy Kh i BTVN S D NG CÁC PP KHÁC CM BðT VÀ TÌM MIN, MAX C A HÀM S Bài 1: Cho 3 s dương x,y,z thõa mãn ñi u ki n: xyz=1 Ch ng minh r ng: x2 y2 z2 P= + + ≥1 x + y + y 3 z y + z + z 3 x z + x + x3 y Gi i: Vì... Vi t 1 Bài 3: S d ng các PP khác c/m BðT và tìm Min, Max – Khóa LTðH ñ m b o – Th y Phan Huy Kh i F = ac + bd − cd ≤ 9+6 2 4 Gi i: G i: A ( a; b ) ⇒ A ∈ (C ) : x 2 + y 2 = 1 và B ( c; d ) ⇒ B ∈ d : x − y = 3 Ta có : AB 2 = (a − c) 2 + (b − d ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 − 2ac − 2bd = ( a 2 + b 2 ) + (c − d )2 − 2(ac + bd − cd ) = 1 + 9 − 2 F Vì AB nh nh t khi và ch khi A,B thu c ñư ng vuông góc v i d... Bài 3: S d ng các PP khác c/m BðT và tìm Min, Max – Khóa LTðH ñ m b o – Th y Phan Huy Kh i ⇒P= tan A 2 tan + B 2 tan + C 2 = 1 ( t anA + tan B + tan C ) 2 A B C 1 − tan 2 1 − tan 2 2 2 2 Vì :Trong ∆ABC ta có : t anA + tan B + tan C = t anA.tan B.tan C ≥ 3 3 t anA.tan B.tan C 1 − tan 2 ⇒ t anA + tan B + tan C = t anA.tan B tan C ≥ 3 3 ⇒ P ≥ 3 3 2 D u “=” x y ra khi và ch khi A=B=C=600 hay x = y = z . dụng bất ñẳng thức Côsi c/m BðT và tìm Min, Max – LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1 BTVN BÀI SỬ DỤNG BẤT ðẲNG THỨC CÔSI ðỂ CHỨNG MINH BðT VÀ. dụng bất ñẳng thức Côsi c/m BðT và tìm Min, Max – LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1 BTVN BÀI SỬ DỤNG BẤT ðẲNG THỨC CÔSI ðỂ CHỨNG MINH BðT VÀ. các PP khác c/m BðT và tìm Min, Max – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1 BTVN SỬ DỤNG CÁC PP KHÁC CM BðT VÀ TÌM MIN, MAX CỦA HÀM SỐ