Đang tải... (xem toàn văn)
toán và cho thấy được sự liên kết giữa chúng. Kỹ thuật giải Bất đẳng thức và các bài toán MinMax của Đặng Thành Nam sẽ giúp các em làm được điều đó.Khám Phá Tư Duy Kỹ Thuật Giải Bất Đẳng Thức bài toán Min Max của tác giả Đặng Thành Nam sẽ giúp bạn đọc nắm vững tất cả các kỹ thuật giải bài toán minmax. ... Đã có rất nhiều sách đề cập và khai thác các nội dung của bất đẳng thức.
Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com ĐẶNG THÀNH NAM (Trung tâm Nghiên cứu phát triển sản phẩm giáo dục Newstudy.vn) SOẠN THEO CẤU TRÚC MỚI ÁP DỤNG KÌ THI THPT QUỐC GIA (PHIÊN BẢN MỚI NHẤT) Dành cho học sinh 10, 11, 12 nâng cao kiến thức Bồi dưỡng học sinh giỏi luyện thi Quốc Gia NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com MỤC LỤC Chương 1: Bất đẳng thức kỹ thuật Chủ đề Kỹ thuật biến đổi tương đương 04 Chủ đề Kỹ thuật minh phản chứng 45 Chủ đề Kỹ thuật quy nạp toán học 56 Chủ đề Kỹ thuật miền giá trò 60 Chủ đề Kỹ thuật sử dụng nguyên lí Diricle 68 Chủ đề Kỹ thuật tam thức bậc hai 73 Chủ đề Kỹ thuật đánh giá bất đẳng thức tích phân 93 Chương 2: Bất đẳng thức phương pháp tiếp cận Chủ đề Các kỹ thuật sử sụng bất đẳng thức AM-GM 102 Chủ đề Kỹ thuật ghép cặp chứng minh đẳng thức AM-GM 198 Chủ đề Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức AM-GM dạng cộng mẫu số 211 Chủ đề Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 218 Chủ đề Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức 243 Chủ đề Kỹ thuật tham số hóa 278 Chủ đề Bất đẳng thức Holder ứng dụng 291 Chủ đề Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Chebyshev 304 Chủ đề Bất đẳng thức Bernoulli ứng dụng 314 Chương 3: Phương trình hàm số giải toán bất đẳng thức cực trò Chủ đề Kỹ thuật sử dụng tính đơn điệu với toán cực trò bất đẳng thức biến số 325 Chủ đề Kỹ thuật sử dụng tính đơn điệu cho toán cực trò bất đẳng thức hai biến số 351 Chủ đề Kỹ thuật sử dụng tính đơn điệu cho toán cực trò bất đẳng thức ba biến số 379 Chủ đề Kỹ thuật sử dụng tính 427 Chủ đề Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức tiếp tuyến 484 Chủ đề Kỹ thuật khảo sát hàm nhiều biến 502 Chủ đề Kỹ thuật sử dụng tính chất nhò thức bậc tam thức bậc hai 534 Chủ đề Bất đẳng thức phụ đâng ý áp dụng giải đề thi tuyển sinh 540 Chủ đề Bài toán chọn lọc bất đẳng thức cực trò ba biến 617 Chương 4: Số phương pháp chứng minh bất đẳng thức khác Chủ đề Kỹ thuật lượng giác hóa 654 Chủ đề Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Schur 684 Chủ đề Kỹ thuật dồn biến 694 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chương 1: BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC KỸ THUẬT CƠ BẢN KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC I Định nghĩa bất đẳng thức Giả sử A B hai biểu thức chữ số + A ≥ B (hoặc B ≤ A) , A ≤ B (hoặc B ≥ A) gọi bất đẳng thức + A ≥ B ⇔ A − B ≥ 0; A − B ≥ ⇔ A ≥ B + Một bất đẳng thức sai ta quy ước nói bất đẳng thức mà khơng nói thêm ta hiểu bất đẳng thức II Tính chất bất đẳng thức ∀a ∈ ; a ≥ a a ≤ b ⇒a≤c b ≤ c ∀a, b, m ∈ ; a ≤ b ⇒ a ± m ≤ b ± m a ≤ b ⇒a+c≤b+d c ≤ d a ≥b+c ⇔ a−c≥b ma ≤ mb m >0 ∀a, b,∈ ; a ≤ b ⇔ ma ≥ mb m < a b m ≤ m m >0 + ∀a, b,∈ ; a ≤ b ⇔ a ≥ b m < m m Nếu a > b > ⇒ 1 < a b a ≥ c ∀a, b, c, d ∈ + ; ⇒ ab ≥ cd b ≥ d a n ≥ b n a≥b≥0⇒ , ∀n ∈ n a ≥ n b a > ⇒ a x > a y x > y > 0; 0 < a < ⇒ a x < a y a > b ⇒ a n +1 > b n +1; n +1 a > n +1 b , ∀n ∈ Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối − a ≤ a ≤ a , ∀a ∈ a < α ⇔ −α < a < α ( α > ) a > α a >α ⇔ ( α > ) a < −α a − b ≤ a + b ≤ a + b , ( ∀a, b ∈ ) Bất đẳng thức liên quan đến hàm số mũ logarit a > 0 < a < ⇒ ax > a y ; ⇒ ax < a y > > x y x y a > 0 < a < ⇒ log a x > log a y; ⇒ log a x < log a y x > y > x > y > Bất đẳng thức AM – GM Cho n số thực khơng âm a1 , a2 , , an ta có a1 + a2 + + an n ≥ a1a2 an n Đẳng thức xảy a1= a2= = an Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz Cho dãy số thực ( a1 , a2 , , an ) ; ( b1 , b2 , , bn ) ta có ( a1b1 + a2b2 + + anbn )2 ≤ ( a12 + a22 + + an2 )( b12 + b22 + + bn2 ) Đẳng thức xảy khi= kb = i , i 1, n, k ∈ CHỦ ĐỀ 1: KỸ THUẬT BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Xuất phát từ bất đẳng thức tự nhiên x ≥ 0; A − B ≥ với số thực x ta có bất đẳng thức đẹp mắt Nội dung chủ đề đề cập đến kỹ biến đổi bất đẳng thức dạng ln Các tốn đề cập đến tốn chủ đề bạn ý sử dụng đến chủ đề khác chương sau tốn phụ A NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP I Các bất đẳng thức Bình phương số thực Với số thực x ta ln có x ≥ Đẳng thức xảy x = Từ ta có bất đẳng thức với biến biến thường sử dụng sau: ( a − b )2 ≥ hay a + b ≥ 2ab Đẳng thức xảy a = b Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com ( a − b )2 + ( b − c )2 + ( c − a )2 ≥ hay a + b + c ≥ ab + bc + ca ( ) ( a + b + c ) ≥ ( ab + bc + ca ) a + b + c ≥ ( a + b + c ) 2 Đẳng thức xảy a= b= c Bất đẳng thức trị tuyệt đối Với số thực x,y ta ln có x + y ≥ x + y Đẳng thức xảy xy ≥ Với số thực x,y ta ln có x − y ≥ x − y Đẳng thức xảy x( x − y) ≥ Bất đẳng thức độ dài cạnh tam giác a + b > c; b + c > a; c + a > b a > b − c ;b > c − a ;c > a − b a + b + c < ( ab + bc + ca ) II Một số đẳng thức cần lưu ý ( a + b + c ) ( a + b2 + c − ab − bc − ca ) a3 + b3 + c3 − 3abc = ( a + b + c )3 = a3 + b3 + c3 + ( a + b )( b + c )( c + a ) ( a + b )( b + c )( c + a ) = ( a + b + c )( ab + bc + ca ) − abc ( a − b )( b − c )( c − a ) a −b b−c c−a = + + − c a b abc a −b b−c c−a a−b b−c c−a + + + = a+b b+c a+c a+b b+c c+a 1) Kỹ thuật biến dùng định nghĩa Để chứng minh bất đẳng thức: A ≥ B Ta chứng minh bất đẳng thức A − B ≥ (x Ví dụ Cho x > y xy = Chứng minh + y2 ) ( x − y )2 ≥8 Lời giải Ta có x + y =( x − y ) + xy =( x − y ) + 2 ⇒ (x + y2 ) 2 (vì xy = 1) =( x − y ) + ( x − y ) + Do BĐT cần chứng minh tương đương với ( x − y )4 + ( x − y )2 + ≥ 8.( x − y )2 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com ( x − y )4 − ( x − y )2 + ≥ ⇔ ( x − y ) − ≥ Bất đẳng thức cuối nên ta có điều phải chứng minh Ví dụ a) Cho x,y hai số thực thoả mãn điều kiện xy ≥ ⇔ Chứng minh 1+ x + 1+ y ≥ + xy b) Cho a,b,c số thực khơng nhỏ chứng minh 1 + + ≥ 3 + a + b + c + abc c) Cho x, y, z ∈ [ 0;1] Tìm giá trị lớn biểu thức 1 P= + + (1 + xyz ) 3 3 1+ x 1+ y 1+ z Lời giải a) Bất đẳng thức cho tương đương với: 1 1 − + − + xy + xy ≥0 1+ x 1+ y ⇔ ⇔ ⇔ xy − x xy − y + (1 + x ).(1 + xy ) (1 + y ).(1 + xy ) ( x( y − x) ) + x (1 + xy ) 2 + ≥0 y( x − y) ( ) + y (1 + xy ) ≥0 ( y − x )2 ( xy − 1) ≥0 (1 + x2 ).(1 + y ).(1 + xy ) BĐT cuối xy ≥ Vậy ta có đpcm Đẳng thức xảy x = y xy = b) Sử dụng bất đẳng thức: 1+ x Ta có 1+ a + 1+ b ≥ + 1+ y + a 3b ≥ , ( xy ≥ 1) + xy Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 1+ c + ≥ + abc + abc 1 2 + 3 + abc 1+ a b ≥ 1+ a3b3 abc = + abc Cộng theo vế ba bất đẳng thức ta có đpcm Chú ý Bất đẳng thức áp dụng phổ biến số tốn cực trị Một số dạng tương tự bất đẳng thức sau 1 + ≤ , ( −1 < xy ≤ 1) 2 + xy 1+ x 1+ y 1+ x + x2 + 1+ y + + y2 ≥ , ( xy ≥ 1) + xy ≤ , ( −1 < xy ≤ 1) + xy c) Sử dụng kết tốn ta có : 1+ z + 1+ x + 1+ y ≤ + x3 y ≤ + xyz + xyz + x3 y + + xyz 4 ≤ 1+ x4 y z 4 = + xyz Cộng theo vế bất đẳng thức ta suy 1+ x + 1+ y + 1+ z ≤ 1 ⇒P= + + (1 + xyz ) ≤3 3 3 + xyz 1+ x 1+ y 1+ z Đẳng thức xảy x= y= z Vậy giá trị lớn P = Ví dụ Chứng minh với số thực x,y ta có 1 + ( x + y ) + y2 ≥ Lời giải (1 + x )( ) ( xy − 1) + ( x − y ) ≥ + x + y Chú ý: + x + y =1 + ( x + y ) + ( ) 3 ( )( ) 2 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Ví dụ Chứng minh với số thực a,b khơng âm thoả mãn a, b < 1; Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy x = y = ± (1 − 2a )(1 − 2b ) ≥ − a − b 2 a + b ≥ , ta có (1 − a )(1 − b ) 2−a −b Lời giải Bất đẳng thức cho tương đương với: ( a − b )2 ( 2a + 2b − 3) ≥ (1 − a )(1 − b )( − a − b )2 Bất đẳng thức ln ta có đpcm Bài tập tương tự Chứng minh với số thực a,b khơng âm thoả mãn a, b < 1; a + b ≥ ta có (1 + 2a )(1 + 2b ) ≥ + a + b 2 (1 − a )(1 − b ) 2−a −b 2) Kỹ thuật phân tích đẳng thức Phân tích thành tổng bình phương n ∑ ( xi − yi ) ≥0 i =1 Ví dụ Cho a,b,c số thực chứng minh a) a + b + c ≥ ab + bc + ca b) ( ab + bc + ca ) ≥ 3abc ( a + b + c ) c) ( a + b + c ) − ( )( ) ( ( b − c )2 + ( c − a )2 + ( a − b )2 ≥ ( ab + bc + ca ) )( ) d) a + b + c + ≥ ( a + b + c ) Lời giải a) Bất đẳng thức cho tương đương với: 2a + 2b + 2c − 2ab − 2bc − 2ca ≥ ( ) ( ) ( ) ⇔ a − 2ab + b + b − 2bc + c + c − 2ca + a ≥ ⇔ ( a − b) + (b − c ) + (c − a ) ≥ 2 Bất đẳng thức cuối Đẳng thức xảy a= b= c Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com b) Thực tương tự câu a) đưa bất đẳng thức ln ( ab − bc )2 + ( bc − ca )2 + ( ca − ab )2 ≥ c) Ta có: 1 ( a + b + c )2 − ( b − c= )2 ( 2a − b − c )2 + ab + bc + ca ≥ ab + bc + ca 12 Tương tự ta có: 1 ( a + b + c )2 − ( c − a )2 ≥ ab + bc + ca 1 2 a + b + c − a − b ≥ ab + bc + ca ( ) ( ) Cộng lại theo vế ba bất đẳng thức ta có đpcm Đẳng thức xảy a= b= c d) Chú ý đẳng thức: (a )( )( ) ⇒ ( a + )( b = ) + b2 + c2 + − 3( a + b + c ) ( 2 c + ( a − b ) + ( ab − 1) + ( ac + bc − ) 2 2 )( ) + c2 + ≥ 3( a + b + c ) Ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a= b= c= Ví dụ Cho x, y, z số thực thỏa mãn điều kiện x + y + z = Chứng minh a) − ≤ xy + yz + zx ≤ ; b) ( xy + yz + xz ) − ≥ −3 ( x + y + z ) − xy − yz + Lời giải a) Bất đẳng thức vế trái tương đương với: ( xy + yz + zx ) + ≥ ⇔ ( xy + yz + zx ) + x + y + z ≥ ⇔ ( x + y + z ) ≥ Bất đẳng thức chứng minh x + y + z = 1 Đẳng thức xảy 2 , chẳng hạn x = − ,y= 2 x + y + z = Bất đẳng thức vế phải: − ( xy + yz + zx ) = x + y + z − ( xy + yz + zx ) ( ) ( x − y )2 + ( y − z )2 + ( z − x )2 ≥ ⇒ xy + yz + zx ≤ = Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com b) Chú ý điều kiện ta rút gọn vế trái đưa chứng minh ≥ −3 ( xy + yz + xz )2 − xy + yz + zx + xy + yz + zx + 1) ( ⇔ ≥0 xy + yz + zx + Vậy ta cần chứng minh xy + yz + zx ≥ −1 = − x − y − z 2 ⇔ ( x + z ) + y + y ( x + z ) ≥ ⇔ x + z + y + y2 ≥ Bất đẳng thức cuối ta có đpcm 2 y = 1 Đẳng thức xảy x + z + y =0 ⇒ x = , y =0, z =− 2 x + y + z = Ví dụ Cho x,y,z số thực khơng âm Chứng minh: a) x3 + y + z ≥ xyz b) x3 + y + z 3 ≥ xyz + ( x − y )( y − z )( z − x ) y+z c) x3 + y + z − xyz ≥ − x Lời giải a) Bất đẳng thức cho tương đương với: ( x + y + z ) ( x + y + z − xy − yz − zx ) ≥ ( x + y + z ) ( x − y )2 + ( y − z )2 + ( z − x )2 ≥ Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy x= y= z ⇔ b) Bất đẳng thức cho tương đương với: ( x + y + z ) ( x − y )2 + ( y − z )2 + ( z − x )2 ≥ ( x − y )( y − z )( z − x ) 2 2 ⇔ ( ( x + y ) + ( y + z ) + ( z + x ) ) ( x − y ) + ( y − z ) + ( z − x ) ≥ ( x − y )( y − z )( z − x ) Chú ý x + y ≥ x − y ; y + z ≥ y − z ; z + x ≥ z − x sử dụng bất đẳng thức chứng minh câu a) ta có Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 1 1 1 + + ≥ ⇒ + + − > a+b b+c c+a a+b b+c c+a a+b+c Bất đẳng thức chứng minh t2 t= b + c Ta xét với b + c ≤ 2, đặt , s ∈ 0; ,0 < t ≤ s = bc 1− s t Gọi biểu thức vế trái P ta có 1 1 2a + b + c P= + + − = + − b+c a+b a+c a+b+c b+c a b+c + a +1 1− s +t 2a + t 1 t = + − = + − 1− s t a +1 a + t t 1− s +t +1 t t Ta có at + s =1 ⇔ a = t + − 2s t = + t − t −s + t + t + ( s − 1) t + − 2s t Xét hàm số f ( s ) = đoạn + t − 2 t −s + t + t + ( s − 1) 2t ( s − 1) − t s t − f '( s ) = = 2 2 −s + t + t + ( s − 1) ) ( ( ) (t ( 2t a − s + ( s − 1) ) t2 0; ta có − t ) ( −s + t + 1) 2 Bởi a − s ≤ t2 Do f(s) hàm nghịch biến đoạn 0; Vì f ( s ) ≥ t2 Ta cần chứng minh f ≥ 4 t2 +2 t t Ta có: f − ≥ ⇔ + t − −2≥0 4 t t t +1 t + − 1 4 ( ) ⇔ ( − t ) 6t − 11t + 10t − 12t + ≥ ⇔ t ≤ (ln đúng) t2 f 4 ≤0 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a= b= 1, c= hốn vị Cách 2: Đặt p = a + b + c, q = ab + bc + ca, r = abc Bất đẳng thức viết lại dạng: + p2 − ≥ ⇔ p ( p − ) + r (1 + p ) ≥ p−r p + Nếu p ≥ bất đẳng thức hiển nhiên + Nếu ≤ p ≤ theo bất đẳng thức Schur bậc ta có r ≥ ( p 4q − p )= 4p − p Ta cần chứng minh p − p3 (1 + p ) ≥ ⇔ p ( − p )( p − 1)2 ≥ Bất đẳng thức ln ta có điều phải chứng minh Bài 13 Cho a,b,c số thực khơng thoả mãn điều kiện ab + bc + ca ≥ p2 ( − p ) + Chứng minh rằg với số thực k ≥ (a )( ta có )( ) + k b + k c + k ≥ ( k + 1) Lời giải Chú ý đẳng thức (a )( )( ) ( k ( a + b + c ) − abc ) + k b + k c + k= + k ( ab + bc + ca − k ) Trước tiên ta chứng minh k = bất đẳng thức đúng, 2 1 1 1 1 a + b + c + ≥ ab + bc + ca − ≥ − = + 1 3 3 3 3 3 Với k ' ≥ k ≥ (a )( ta có )( ) + k ' b2 + k ' c + k ' = a + k + ( k '− k ) b2 + k + ( k '− k ) c + k + ( k '− k ) ( )( )( ) 3 ≥ a + k b2 + k c + k + k '− k ≥ (1 + k + k '− k ) = ( k '+ 1) Bài 14 Cho x,y,z số thực khơng âm thoả mãn điều kiện xy + yz + zx = Chứng minh + x+ y + y+z 1 ≥2+ z+x Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải t2 t= y + z Khơng tính tổng qt giả sử x = max { x, y, z} đặt , s ∈ 0; s = yz 1− s t Gọi P biểu thức vế trái ta có Ta có xt + s =1 ⇒ x = x+ y + x+z x + y + z + x2 + 1 P= + = + y+z y+z x + xy + xz + yz x2 + 1− s +t 2t t + − 2s t t = + + = + + 2 2 2 t t t s + − ( ) 1− s t s + − s − ( ) +1 +1 t t Xét hàm số f ( s ) t = f '( s ) = 2t ( t + − 2s t + (1 − s ) (1 − s )2 − t s t + (1 − s ) ) 2 + + 2t t + (1 − s ) 2t (1 − s ) t2 đoạn 0; ta có ( 2t x − s ) = 2 t2 + 1− s ( ) t + (1 − s ) ( ) + 2t (1 − s ) t2 + 1− s ( ) ≥0 t2 Do f(s) hàm đồng biến đoạn 0; t Vì f ( s ) ≥ f (0) =t + = t + t +1 t + t2 +1 t2 + 2t t + t+ ≥2+ t t +1 Bài 15 Cho a,b,c số thực khơng âm thoả mãn điều kiện ab + bc + ca > 1 Chứng minh + + ≥ 4a + bc 4b + ca 4c + ab a + b + c Do P ≥ Lời giải Giả sử a = max {a, b, c} , chứng minh 4a + bc + 4b + ca ≥ a+b ,t = 4t + tc Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Thật theo bất đẳng thức AM – GM ta có 4a + bc ( + 4b + ca ) ( ≥ ( 4a 2 )( )( + bc 4b + ca ) ) Và 4t + tc − 4a + bc 4b + ca = ( a − b )2 c + a + b2 + 6ab − 3c ( a + b ) ≥ 4 Theo AM – GM ta có 4c + ab ≥ 4c + t 2 Vậy ta cần chứng minh 4 + ≥ = 2 + + +c a b c t 4t + tc 4c + t 1 1 ⇔ − + − ≥ − 2 t 2t + c t 4t + tc t 4c + t −t −4c −2 ⇔ + ≥ 2t + c 4t + tc 2t + 4t + tc 4c + t t + c + t ( ⇔ ) ( ) 4c − − ≥0 t ( 2t + c ) t 4c + t t + 4c + t 4t + tc 2t + 4t + tc ( ) ( ) Bất đẳng thức tổng hai bất đẳng thức sau 1 − ≥ (1) 2 3t ( 2t + c ) 4t + tc 2t + 4t + tc ( ) 4c − ≥ (2) 3t ( 2t + c ) t 4c + t t + 4c + t ( ) Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy khi= a b= , c hốn vị Bài 16 (Việt Nam TST 2006) Cho x,y,z số thực thuộc đoạn [1;2] Chứng 1 1 x y z minh ( x + y + z ) + + ≥ + + x y z y+z z+x x+ y Lời giải Ta cần chứng minh 1 1 x y z f ( x, y , z ) = ( x + y + z ) + + − + + ≥0 x y z y+z z+x x+ y Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Khơng tính tổng qt giả sử x = max { x, y, z} Xét hiệu: 6( x + y + z )( y − z ) y + z y + z ( x + y + z )( y − z ) f ( x, y , z ) − f x, , = − 2 yz ( y + z ) ( x + y )( x + z )(2 x + y + z ) = ( x + y + z )( y − z ) [( x + y )( z + x)(2 x + y + z ) − yz ( y + z )] ( x + y )( y + z )( z + x)(2 x + y + z ) x số lớn ba số nên ( x + y )( z + x)(2 x + y + z ) > yz ( y + z ) y+z ≥1 Vì ta cần chứng minh f ( x, t , t ) ≥ nên f ( x, y, z ) ≥ f ( x, t , t ) với = t Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với: (t − x) (2t − x) 2t 1 2 x ( x + 2t ) + − + ≥ ⇔ ≥ 0, tx(t + x) x t 2t t + x Bất đẳng thức cuối 2t ≥ ≥ x Đẳng thức xảy x= y= z; x= 2, y= z= Bài tốn chứng minh C BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài Cho a,b,c độ dài cạnh tam giác thoả mãn điều kiện a + b + c = Chứng minh a + b + c ≥ + abc Bài Cho a,b,c số thực khơng âm thoả mãn điều kiện a + b + c = Chứng minh ( − ab )( − bc )( − ca ) ≥ Bài Cho a,b,c số thực dương có tích Chứng minh 1 13 25 + + + ≥ a b c a + b + c +1 Bài Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn a, b, c ≥ a + b + c = ( )( )( ) Tìm giá trị lớn biểu thức P = + a + b2 + c2 Bài Cho a,b,c số thực khơng âm thỏa mãn a + b + c = ( )( )( ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = + a + b2 + c2 Bài Cho a,b,c số thực khơng âm thỏa mãn a + b + c = ( )( )( ) Tìm giá trị lớn biểu thức P = a + b3 b3 + c c + a Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bài Cho x,y,z số thực dương có tích Chứng minh x + y + z + x + y + z ≥ ( xy + yz + zx ) Bài Cho a,b,c số thực dương có tích Chứng minh 1 1 1 a + b2 + c2 ≥ a + b + c + + + 2 a b c Bài Cho x,y,z số thực dương có tổng Chứng minh x y z 21 − 54 x3 + y + z − + + ≥ xyz yz zx xy Bài 10 Cho a,b,c số thực khơng âm có tổng Chứng minh ( (a ) )( )( ) 256 Bài 11 Cho a,b,c số thực dương có tích Chứng minh + b3 b3 + c c + a ≤ + a + ≤ a − a +1 b − b +1 c − c +1 Bài 12 Cho a,b,c số thực khơng âm có tổng Chứng minh 2 1+ b + c 1+ c + a 1+ a + b Bài 13 Cho x,y,z số thực khơng âm thoả mãn điều kiện x + y + z = ( + b 2 )( )( c + ≥ ) Chứng minh x + y + y + ≥ 512 Bài 14 Cho x,y,z số thực khơng âm Chứng minh x3 + y + z ( xy + yz + zx ) ( x + y + z )5 ≥ −9 ( ) Bài 15 Cho x,y,z số thực dương thoả mãn điều kiện x + y + z = Chứng minh 1 27 ≤ + + ≤ + xy + yz + zx ( x + y + z )2 Bài 16 Cho a,b,c số thực khơng âm thoả mãn điều kiện ab + bc + ca > Chứng minh a + bc + b + ca + c + ab ≥ a+b+c D HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ Bài Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với P ( a, b, c ) = a + b + c − abc − ≥ Khơng tính tổng qt gỉa sử a = max {a, b, c} ta có Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 3= a + b + c ≥ a + ( b + c )2 > a ⇒ ≤ a < 2 b2 + c2 b2 + c2 Ta chứng minh P ( a, b, c ) ≥ P a, , 2 Thật b2 + c2 b2 + c2 P ( a , b, c ) − P a , , 2 = a (b − c ) ( b − c )2 − ( b + c + b2 + c2 = ( b − c )2 a − b + c + b2 + c2 2 b − c) ( ≥ a− a + − a2 ( ( = ( b − c )2 a + a Mặt khác a ( ) ) ) ( ) − a − ≥ 0, ∀a ∈ 1; b2 + c2 b2 + c2 , P a, 2 Chú ý − b2 + c2 = b + c − b2 + c2 + a − bc ) 2 ( ) ) a − a2 =+ −2 3−a − a − a − a a = 1 − + a − 2 ( ) − a2 ≥0 ( ) − a2 + a − ≥ ⇔ a2 − a2 ≥ ( − a ) ( ) ⇔ ( a − 1) − a3 − a ≥ Ln Bất đẳng thức chứng minh đẳng thức xảy a= b= c= Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Cách 2: Giả sử a max {a, b, c} ⇒ a ≥ a,b,c độ dài ba cạnh tam giác = nên a ≤ b + c ≤ Khi P = a + b + c − − abc = a + b + c + 2bc − − abc = a + t + s − − as t Với t = b2 + c2 , s = bc, s ∈ 0; 2 t Xét hàm số f ( s ) = a + t + s − − as với s ∈ 0; ta có 2 1 −