một số phương pháp giải phương trình bậc cao trong chương trình toán thcs và các bài tập minh họa

Vì vậy, tôi xin đề xuất một số phương pháp giải phương trình bậc cao trong chương trình toán THCS và các bài tập minh họa.. - Phương pháp giải các phương trình bậc cao một ẩn: Bằng cách

Môn toán là nền tảng cho các môn khoa học tự nhiên khác.

Trong nhà trường, môn toán giữ một vai trò quan trọng, bởi môn toán cótính trừu tượng cao, tính logic, chính xác và không bỏ tính thực nghiệm Vì vậy,làm thế nào để học giỏi toán, đó là câu hỏi đặt ra của nhiều thế hệ học sinh, thầy

cô và cha mẹ học sinh hay bất cứ ai quan tâm đến giáo dục và dạy học

Phương trình là một dạng toán quan trọng, xuyên suốt quá trình học toán từcấp II đến cấp III và các cấp cao hơn Bởi vậy, các em học sinh cần phải trang bịcho mình những kiến thức thật vững chắc về phương trình

Trong chương trình toán ở THCS hiện nay, sách giáo khoa chỉ đưa ra cáchgiải phương trình bậc nhất và bậc hai đơn giản Đối với các em học sinh thì việcgiải các phương trình đó không gây khó khăn nhiều Nhưng khi gặp một sốphương trình bậc cao thì các em thường lúng túng, chưa tìm ngay được các cáchgiải cho bài toán Ngay cả các giáo viên THCS cũng gặp nhiều khó khăn trongviệc giải quyết phương trình này

Vì vậy, tôi xin đề xuất một số phương pháp giải phương trình bậc cao

trong chương trình toán THCS và các bài tập minh họa.

2 Mục đích - nhiệm vụ đề tài.

- Phương pháp giải các phương trình bậc cao một ẩn: Bằng cách đưa về cácphương trình đã biết cách giải hoặc các dạng quen thuộc

- Các ví dụ minh hoạ

- Rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức để giải phương trình bậc cao một ẩn

- Củng cố và hướng dẫn học sinh làm bài tập

3 Đối tượng nghiên cứu.

- Học sinh ở lứa tuổi 14 - 15 ở trường THCS vì đa số các em chăm học, thíchhọc toán và bước đầu thể hiện năng lực tiếp thu một cách tương đối ổn định

- Đối tượng khảo sát Học sinh lớp 9 trường THCS xxx được phân loại theohọc lực Giỏi - Khá - Trung Bình - Yếu- Kém

4 Phương pháp nghiên cứu

- Tham khảo, thu thập tài liệu

- Phân tích, tổng kết kinh nghiệm

- Kiểm tra kết quả: Dự giờ, kiểm tra chất lượng học sinh, nghiên cứu hồ sơgiảng dạy, điều tra trực tiếp thông qua các giờ học

5 Dự kiến các kết quả đạt được của đề tài.

Tôi hy vọng đề tài này sẽ giúp ích cho các em học sinh ở trường THCStrong việc học và giải phương trình bậc cao một ẩn Qua đó các em có phươngpháp giải nhất định tránh tình trạng định hướng giải chưa đúng, lúng túng trongviệc trình bày cách giải, giúp học sinh hứng thú, tích cực học tập hơn, đạt kếtquả cao trong các kỳ thi

PHẦN II NỘI DUNG

I Một số kiến thức cơ sở về phương trình bậc cao

I.1.Cơ sở lý luận

1> Khái niệm về phương trình một ẩn:

Cho A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa biến x Khi nói A(x) = B(x) là mộtphương trình ta hiểu rằng phải tìm giá trị của x để các giá trị tương ứng của haibiểu thức này bằng nhau

Biến x gọi là ẩn

Giá trị tìm được của ẩn gọi là nghiệm

Mỗi biểu thức là một vế của phương trình

Việc tìm nghiệm gọi là giải phương trình

2> Định nghĩa hai phương trình tương đương

Hai phương trình gọi là tương đương nếu tập hợp các nghiệm của chúngbằng nhau

3> Các phép biến đổi tương đương các phương trình

Định nghĩa phép biến đổi tương đương các phương trình: Biến đổi mộtphương trình đã cho thành một phương trình khác tương đương với nó, nhưngđơn giản hơn gọi là phép biến đổi tương đương

a) Định lý 1:

Nếu cộng cùng một đa thức chứa ẩn số vào hai vế của phương trình thìđược một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho

Ví dụ: 3x= 27  3x + 2x = 27 + 2x

Hệ quả 1: Nếu chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia của phương

trình đồng thời đổi dấu của hạng tử ấy thì được một phương trình mới tươngđương với phương trình đã cho

Ví dụ:

5x + 7 = 16x - 3  5x - 16x = -3 -7

Hệ quả 2: Nếu xóa hai hạng tử giống nhau ở hai vế của một phương trình

thì được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho

Ví dụ:

- Ta dùng các phép biến đổi tương đương, biến đổi phương trình đã cho

về các dạng phương trình đã biết cách giải (phương trình bậc nhất, phương trìnhdạng tích) để tìm nghiệm của phương trình

- Khi nghiên cứu về nghiệm số của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( a 0) cần đặc biệt quan tâm tới biệt số  của phương trình:

a)  < 0  phương trình bậc hai vô nghiệm

b) =0  phương trình bậc hai có nghiệm kép ( hai nghiệm trùng nhau )

a

b x

x

2

2

1  c) >0  phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt:

a

b x

21

P = x1.x2 =

a c

3 Phương trình bậc cao một ẩn.

3.1 Dạng tổng quát của phương trình bậc cao một ẩn

Phương trình tổng quát bậc n có dạng:

anxn + an-1xn-1 + +a1x+a0 = 0 (an  0)Trong đó: x là ẩn số,

an, ,a0 : là các hệ số

Đối với phương trình bậc cao hơn bậc 4 không có công thức tổng quát đểtìm nghiệm của nó Ngay cả trong trường hợp là phương trình bậc 3 và bậc 4mặc dù có công thức nhưng việc tìm nghiệm của phương trình cũng hết sứcphức tạp nằm ngoài chương trình THCS, THPT

Ta cũng có hệ thức Viet liên quan giữa các nghiệm của phương trình đại

số bậc cao

3.2 Định lí Viet cho phương trình bậc n một ẩn:

Cho phương trình bậc n: anxn + an-1xn-1 + +a1x+a0 = 0 (an  0)

Giả sử phương trình có n nghiệm x1, ,xn, trong các nghiệm được kê ramột số lần bằng bội của nó, khi đó ta có hệ thức Viet sau:

n

n n

a

a x

n n

n

a

a x

x x

x x

1 4

3 2

k n i

i i

a

a x

a

a x

Định lý Viet cho phương trình bậc ba có dạng sau:

Cho phương trình bậc ba: ax3 + bx2 + cx + d = 0 có 3 nghiệm x1 , x2 , x3

Khi đó:

a

b x

x

x1 2  3 

a

c x x x x x

x1 2  2 3 3 4 

a

d x

x x

x1 2 3 4 

a

c x x x x x x x x x x x

x1 2  1 3  1 4  2 3  2 4  3 4 

a

d x

x x x x x x x x x x

x1 2 3  1 3 4  1 2 4  2 3 4 

c x x x

0)(0

)()

(

x g

x f x

g x f

Vì vậy phương trình bậc cao nếu ta phân tích được vế trái thành nhân tửthì sẽ đưa phương trình về dạng phương trình tích của các nhân tử có bậc thấphơn, dạng phương trình quen thuộc đã biết cách giải

đ Phối hợp nhiều phương pháp

Ví dụ: Giải phương trình sau:

a) 7x3 - 63 x=0

 7x(x2 -9)=0

 7x (x-3)(x+3)=0

0 3 0

x x x

02

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x=2; x=-2e) x3 - 7x-6 =0

 x3 + 8 -7x - 6- 8=0

1(

02

x x

01

02

x x x

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm x=-1; x=-2; x=3

* Ngoài các phương pháp trên ta còn sử dụng định lí Bơzu giúp các em

nhẩm nghiệm để phân tích đa thức thành nhân tử

Định lí Bơzu được phát biểu như sau : Phần dư của phép chia đa thức f(x)

cho nhị thức g(x) = x- a là một hằng số bằng giá trị f(a) của f(x) khi x=a

Theo định lí Bơzu ta thấy vế phải của phương trình (*) chia hết cho x + 1,

do đó phương trình (*) có thể viết được dưới dạng :

T a thử các ước của 4 và thấy x = 2 là nghiệm của (2), nên (2) phân tíchđược thành : ( x - 2) ( x2 -x + 2 ) = 0

a Xác định m để phương trình đã cho có 3 nghiệm dương phân biệt

b Giải phương trình với m=1

2

012

Muốn phương trình (*) có 3 nghiệm dương phân biệt thì phương trình (2)

phải có 2 nghiệm dương phân biệt khác

2 1

Đặt f(x)=x2 -2mx +2m2 -3m +2 thì f(x) phải thỏa mãn các điều kiện sau:

(1)(2)

0)2

1(

P S

2

02

03

3

0916

8

2

2 2

m m

m

m m

m m

12

32

0

0)2)(

1(

01)1(8

2 2

m m

m m

 Phương trình (*) có 3 nghiệm dương phân biệt khi 1<m<2

II.2 Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ

1.Cơ sở lí luận

Khi giải phương trình bậc cao ta còn dùng đặt ẩn phụ thay thế cho mộtbiểu thức chứa ẩn để đưa phương trình về dạng phương trình quen thuộc đã biếtcách giải

2 Nội dung phương pháp

Trong chương trình THCS học sinh thường gặp các dạng phương trìnhsau:

Khi đó phương trình trùng phương sẽ đưa về dạng phương trình bậc haitrung gian: ay2 + by + c=0

Giải phương trình bậc hai trung gian rồi thay giá trị tìm được của y vào(2) ta được phương trình bậc hai rút gọn với biến x ( y 0) Giải phương trìnhnày ta được nghiệm của phương trình trùng phương ban đầu

01

1

y y

Cả hai nghiệm này đều thỏa mãn y 0

Có bốn nghiệm phân biệt đồng thời một nghiệm nhỏ hơn 2 ; ba nghiệm kia lớn hơn

a Với giá trị nào của m thì phương trình 4 có 4 nghiệm phân biệt

b Giải phương trình với m=

10 9

0 3 4

12

m m

m

23

21

;23

12

Vì x=0 không phải là nghiệm của phương trình nên ta chia cả hai vế của

phương trình cho x2 rồi đặt:

x x

x x

034)

1(2)

1(

Ta thấy x=-1 là nghiệm của phương trình (1)

Phương trình (1) tương đương với phương trình sau:

3 2

0 1

2 3

Ta thấy x=0 không là nghiệm của phương trình (3)

Chia cả hai vế của phương trình (3) cho x2 ta có:

023163

x

016)

1(3)

1(

x

Đặt

x x

y   1 2 2 12

2

x x

32

;3

m m mx x

0 3 1 1

2 2

x

Đặt

x x

y   1 ( y  2 )

Phương trình (1) trở thành : y2+ my + 3m - 2 = 0 (2) ( y  2 )

Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có một nghiệm thỏamãn điều kiện y 2

Ta xét bài toán tìm các giá trị của m để phương trình (2) vô nghiệm:

+ Phương trình ( 1) vô nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) vô nghiệmhoặc phương trình ( 2) có hai nghiệm thuộc (-2,2)

+ Phương trình (2) vô nghiệm:   0

((0)

2

(

0)2

y f af

2

05

2

02

0812

522

726

;726

m m m

m m

7265

c) Phương trình đối xứng bậc chẵn 2n được đưa về phương trình bậc nbằng cách đặt ẩn phụ

Vì x=0 không là nghiệm của phương trình nên chia cả 2 vế của phương

trình cho x2 rồi đặt

x x

y   1c

x

0111

x

x x y

x x

y      

Thay vào ta có:

y2 +2+y+1= 0 (2)

 y2 +y+ 3=0

=1 - 12 < 0  Phương trình (2) vô nghiệm

 Phương trình (1) vô nghiệm

*Ví dụ 2: Cho phương trình : x4 -ax3-(2a+1)x2 +ax + 1=0 (1)

Tìm a để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt ?

Giải:

Vì x=0 không phải là nghiệm của (1) nên chia 2 vế của (1) cho x2 ≠ 0 ta có:

0

1)

12

a a

ax x

0)12()

1()

x

Đặt

x x

Ta được phương trình: y2 + 2 – ay –( 2a+1) =0

012

Ta thấy phương trình (*) luôn có 2 nghiệm với  y

Để (1) có 2 nghiệm phân biệt thì (2) phải có nghiệm kép:    0

 a2 +8a -4=0

'

 =16+4=20   '  2 5

524

Vì x= 0 không là nghiệm của (3)

Chia hai vế của (3) cho x2≠ 0 ta có:

011

x

0311

x x

Ta được phương trình :y2+2+y-3=0

 y2 + y -1 =0

5 1

2 2

) 5 1

1 5 (

11



2 2

) 5 1

;4

52225

1

;4

52225

1

;4

52225

05

Vậy với m = 5 hoặc m= - 3 thì phương trình (2) có nghiệm duy nhất

Với m = 5 thì phương trình có nghiệm duy nhất x=5 ( 2 )

Với m=-3 thì phương trình có nghiệm duy nhất x=5 2

12

4 2

b a

Đây là phương trình trùng phương mà ta đã biết cách giải

b)

Ví dụ :

*Ví dụ 1: Giải phương trình: (x+5)4 + (x+9)4 =82 (1)

Đặt y=x+7 khi đó phương trình ( 1) trở thành: (y-2)4 + (y+2)4 =82

Với t=1 ta có : y2 =1  y=1 hoặc y=-1

Nếu t=1  x+7 = 1

 x= - 6

Nếu t =- 1  x+7= - 1

 x=-8

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm : x=-6 ; x=-8

*Ví dụ 2: Cho phương trình sau: (x+m)4 + ( x+m+2)4 =n (1)

a.Tìm điều kiện của m và n để phương trình có nghiệm

b.Giải phương trình với m=3, n=2

Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (4) phải có ít nhất 1nghiệm không âm

Vậy với n2 thì phương trình (1) có nghiệm

b Khi m=3, n=2 phương trình ( 1) trở thành: (x+3)4 + (x+5)4 =2

Đặt y=x+4

 phương trình ( 1) 2y4+12y2 +0=0

(loại)

Vậy phương trình có nghiệm x=-4

1

y

y

+ Với y=1  x2 +8x+7=1

 x2+ 8x+6=0

10 6 16 '   



10 4

10 4

a.Tìm m để phương trình (*) có nghiệm

b.Giải phương trình với m=-6

Ta xét bài toán phủ định tìm m để phương trình (*) vô nghiệm :

 Phương trình (2) vô nghiệm hoặc phương trình ( 2) có nghiệm nhưng phươngtrình (1 ) vô nghiệm :

+ Phương trình ( 2 ) vô nghiệm khi : 2  0

25 0

4 12 4

0 4 25

y

m y

m

0 ) 4 ( 4 25

0 20

16

4 25

m m

Vậy phương trình (*) vô nghiệm khi m<

1

y y

+ Thay y =-1 vào (1) ta có :

3 ' 3

2 1

a Tìm m để phương trình có hai nghiệm

b Giải phương trình khi m = 40

có nghiệm kép và phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt

2.b) Thay m = 40 vào (2) sau đó giải phương trình:

y2 + 3y - 40 = 0

Tìm y rồi thay trở lại (*) tìm x

(x 5 )(x 9 ) (x 6 )(x 8 ) = m(x2 + 14x + 45)(x2 + 14x + 48)= m

PHẦN III KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ

Đề tài ''Hướng dẫn học sinh THCS giải phương trình bậc cao một ẩn'' tuy làmột vấn đề khó và rộng nhưng trong quá trình tìm hiểu và nhờ sự hướng dẫn củathầy cô giáo, tôi thấy đây là một đề tài rất hữu ích cho giáo viên toán trường THCS

Trong đề tài này, tôi chỉ nêu ra một số phương pháp giải phương trình bậccao đưa về phương trình bậc nhất và bậc hai trong chương trình giảng dạy môntoán ở lớp 8 và lớp 9 hiện nay mà bản thân tôi đã đúc kết trong quá trình giảng dạy

Trước khi áp dụng các phương pháp trên tôi thấy hầu hết học sinh lúngtúng không tìm ra được hướng giải khi gặp các phương trình bậc cao

Sau khi áp dụng đề tài, học sinh đã khắc phục được nhiều nhược điểm, tỷ

lệ làm được bài tăng, học sinh hứng thú tích cực học tập hơn

Sau đây là bảng thống kê kết quả bài kiểm tra dạng toán trên:

Năm học Áp dụng đề tài Kết quả kiểm tra

Người thầy cần chú trọng phát huy tính chủ động, tích cực và sáng tạo củahọc sinh từ đó giúp các em có nhìn nhận bao quát, toàn diện và định hướng giảitoán đúng đắn Làm được như vậy là chúng ta đã góp phần nâng cao chất lượnggiáo dục trong nhà trường

Đề tài này chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong được

sự góp ý bổ sung của quý thầy cô, các bạn để bài viết được hoàn chỉnh và hấpdẫn hơn

Để hoàn thành đề tài này ngoài việc tự nghiên cứu tài liệu, qua thực tếgiảng dạy tôi còn được sự giúp đỡ của các đồng nghiệp, các thầy, cô giáo

Tôi xin chân thành cảm ơn /

E GIÁO ÁN TIẾT DẠY CHUYÊN ĐỀ

Tiết 54 : PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

I MỤC TIÊU :

- Học sinh biết giải một số phương trình có thể biến đổi về dạng phươngtrình bậc hai

- Rèn luyện kỹ năng giải các phương trình quy về phương trình bậc hai

- Phát triển tư duy của học sinh

II CHUẨN BỊ

Bài soạn và một số kiến thức bổ tự cho bài giảng

Học sinh : ôn cách giải phương trình bậc hai, phương trình chứa ẩn ởmẫu, phương trình tích

III TIẾN TRÌNH GIỜ DẠY :

A Kiểm tra bài cũ :

Phương trình bậc hai một ẩn số là gì ? Viết công thức nghiệm của phươngtrình bậc hai ?

Trong các phương trình sau phương trình nào là phương trình bậc hai một

Hãy giải các phương trình bậc hai đó ?

Đặt vấn đề : Các phương trình (1), (3), (5) không phải là phương trình bậchai Tuy nhiên để giải được các phương trình như thế này ta có thể biến đổi đưa

về dạng phương trình bậc hai  bài mới

B- Tổ chức cho học sinh tiếp nhận nội dung kiến thức :

Ví dụ 1 : Giải phương trình : - GV nêu ví dụ 1 :

+ Đặt nhân tử chung của vế trái ?

- GV : Vế trái của phương trình đã phântích thành nhân tử trong đó có 1 nhân tửbậc 1 và 1nhân tử bậc hai Việc giảiphương trình đã cho quy về việc giảiphương trình bậc hai

- GV nêu ví dụ 2 :

- Cho biết dạng của phương trình này ?

- Nêu cách giải phương trình chứa ẩn ởmẫu ?

Tổng quát : Phương trình có dạng :

ax4 +bx2 +c=0 (a0) gọi là phương trìnhtrùng phương

C Củng cố, luyện tập :

* Học sinh làm các bài tập sau:

- Giải các phương trình sau:

3)

1(

- Xem lại các ví dụ và bài tập đã làm

- Làm bài tập 1(a ;d) ; bài 2 ; bài 3 ; bài 4 ; bài 5b

- GV hướng dẫn bài 5b

- Khai thác số nghiệm của phương trình trùng phương thông qua phương trìnhđược đặt ẩn phụ