một số kinh nghiệm giải hệ phương trình bậc nhất hai ân

Tổ: Toán Tin GV: V Hi Anh - Trờng THPT số 1 Bắc Hà Sáng kiến kinh nghiệm Một số kinh nghiệm về phơng pháp giải hệ phơng trình bậc hai hi ẩn PHN M U Tớnh cp thit ca ti, tỡnh hỡnh nghiờn cu, mc ớch v nhim v ca sỏng kin kinh nghim, i tng v phm vi nghiờn cu. - Trong chơng trình toán 10 một nội dung kiến thức rất quan trọng và rất khó, đó là hệ phơng trình bậc hai hai ẩn. Đối với học sinh đại trà, trung bình yếu gặp rất nhiều khó khăn khi làm bài kiểm tra cuối chơng, thi tốt nghiệp cũng nh thi Đại học, Cao đẳng. Vấn đề cấp thiết đặt ra là làm thế nào để học sinh hiểu và nắm đợc phơng pháp giải hệ phơng trình bậc hai hai ẩn, biết vận dụng vào bài tập thi cuối kỳ cũng nh ôn thi Đại học, Cao đẳng. - Qua nhiều năm giảng dạy với đối tợng học sinh của trờng THPT số I Bắc Hà, tôi đã nghiên cứu và rút ra một số kinh nghiệm giảng dạy phơng pháp giải hệ phơng trình bậc hai hai ẩn để học sinh hiểu rõ và biết làm bài tập. Biện pháp thực hiện: - Nghiên cứu các tài liêụ, các sách tham khảo. - Giới thiệu khoảng 8 tiết khi học xong chơng phơng trình Hệ phơng trình - Đại số 10. 1 Tổ: Toán Tin GV: V Hi Anh - Trờng THPT số 1 Bắc Hà Phần nội dung Trong chơng trình Toán ở trờng THPT với đối tợng học sinh vùng cao, trờng tôi dạy chơng trình chuẩn. Trong chơng trình chuẩn phần lý thuyết về hệ phơng trình bậc hai hai ẩn hết sức thu gọn, đơn giản. Tuy nhiên phần áp dụng để làm bài tập thì rất đa dạng, phong phú. Chúng tôi thờng phải lấy quỹ thời gian trong chơng trình tự chọn bám sát, thời gian bồi dỡng buổi chiều để giảng dạy, bổ sung thêm cho học sinh. Để giảm bớt sự khó khăn cho học sinh về phơng pháp giải hệ phơng trình bậc hai hai ẩn bao giờ tôi cũng đi từ đơn giản tới phức tạp, quy lại và quen cho học sinh, học sinh nắm chắc phơng pháp giải hệ đơn giản, cơ bản nhất. Từ đó phân tích thêm về phơng pháp giải các hệ phơng trình phức tạp hơn. Tôi phân loại các dạng bài tập về hệ phơng trình. Đàu tiên học sinh cần nắm chắc phơng pháp giải hệ gồm một phơng trình bậc nhất và một phơng trình bậc hai của hai ẩn. Trong phần này phơng pháp giải cơ bản áp dụng đợc cho mọi bài là phơng pháp thế. Rút một ẩn từ phơng trình bậc nhất thế vào phơng trình bậc hai. Các dạng bi tập áp dụng: 1. Hệ phơng trình đối xứng loại 1: Cho học sinh nhận đợc thế nào là hệ đối xứng loại 1, học sinh biết cách nhận dạng đợc các hệ đối xứng loại 1 dù đó là hệ bậc 2 hay bậc cao. * Phơng pháp giải đặt S = x + y, P = x.y Giải hệ tổng quát từ S, P sau đó lập luận ra x và y là nghiệm phơng trình bậc 2: . Có thể biệm luận luôn hệ có nghiệm (x,y) khi và chỉ khi . 2 0tStPt+ = 2 4SP Ví dụ 1: Giải hệ phơng trình: 22 5 5 xyxy xy + += += Giải: Đặt S = x+y, P = x.y có hệ 2 Tổ: Toán Tin GV: V Hi Anh - Trờng THPT số 1 Bắc Hà 22 55 25 2(5)5 3 5 2 2 5 3 5 5 10 SP P S SP S S S PS P PS S S S P += = += = 2150SS = = = = = += = = = 2 1 320 2 t tt t = += = 2 5100tt++ = + Với S = 3, P = 2 suy ra x và y la nghiệm phơng trình Trờng hợp này hệ có 2 nghiệm: (1;2), (2;1) + Với S = -5, P = 10 suy ra x và y la nghiệm phơng trình Phơng trình vô nghiệm Vậy hệ có 2 nghiệm: (1;2), (2;1) Ví dụ 2: Giải hệ phơng trình: 2 xy x 2 11 30 xy x y y + += + = Giải: Hệ trên tơng đơng với 11xy x y ()30xy x y + += + = 5 6 11 S P SP Đặt S = x+y, P = x.y Hệ đã cho tơng đơng với .30 6 5 SP S P = = += = = = Tìm x, y trong hai trờng hợp suy ra hệ có 4 nghiệm (1;5), (5;1), (2;3), (3;2). Ví dụ 3: Giải hệ phơng trình: 22 2 1 xy x y m xy xy m + +=+ + =+ a) Giải hệ khi m = -3 b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất 3 Tổ: Toán Tin GV: V Hi Anh - Trờng THPT số 1 Bắc Hà Giải: Đặt S = x+y, P = x.y có hệ 2(1) .1(2) SPm SP m +=+ =+ 11 .2 2 SP S SP P += = a) Với m = -3 có hệ = = 2 1 S P hoặc = = 2 1 20 2 t tt t = = = 2 210 1tt tt++=== 2 2 (2) 1 (2) 1 (2) 10() mPPm mPPm Pm P P Pm + = + + =+ + + = = =+ 22 3 4(1)4 m SPm m + Với S = 1, P = -2 suy ra x và y la nghiệm phơng trình Trờng hợp này hệ có 2 nghiệm: (-1;2), (2;-1) + Với S = -2, P = 1 suy ra x và y la nghiệm phơng trình 12 Trờng hợp này hệ có 1 nghiệm: (-1;-1) Vậy hệ có 3 nghiệm: (-1;2), (2;-1), (-1;-1) b) Từ (1) thay vào (2) đợc 2Sm P=+ 1 2 1 1 m+ + Với P = 1 S = m+1 . Để hệ có nghiệm duy nhất thì: 5 = =+= = + Với P = m + 1 S = 1 Để hệ có nghiệm duy nhất thì 2 SP 3 414(1)4 3 4 m m m = = + = = Vậy với m = 3 ; m = -5 hoặc 3 4 m = thì hệ có nghiệm duy nhất. Ví dụ 4: Giải hệ phơng trình: 22 2 2(1 ) ()4 x ya xy + =+ += a) Giải hệ khi a = 1 4 Tổ: Toán Tin GV: V Hi Anh - Trờng THPT số 1 Bắc Hà b) Tìm m để hệ có đúng 2 nghiệm Giải: Đặt S = x+y, P = x.y có hệ 2 2 22(1) 4 SP a S =+ = 24 0 2 4 SP P S a) Với a = 1 có hệ 2 2 S == = = + Với S = 2, P = 0 hệ có hai nghiệm (0;2), (2;0) + Với S =-2, P = 0 hệ có hai nghiệm (0;-2), (-2;0) Vậy hệ có 4 nghiệm (0;2), (2;0), (0;-2), (-2;0) b) Giả sử hệ có nghiệm 00 (; ) x y các cặp số 00 (; ) x y ; 00 (;) y x , 00 (;) y x cũng là nghiệm của hệ. Cặp số 00 ) ( ; ) 0 0 (; x yxy 0 0x vì nếu ngợc lại thì = và mà cặp số (0;0) không phải là nghiệm của hệ. 0 0y = Vậy hệ có 2 nghiệm là 00 (; ) x y và 00 (; ) x y 00 (; ) y 00 (;)= x y x 00 (; , ) x y 00 ) = (; y x 00 x y= 0 0 0 x 22 2 2 ()4 xy xy khi đó ta có: 2 22(1) 44 xa a =+ = = Ngợc lại với a = 0 ta có hệ + = + = Giải hệ đợc 2 nghiệm (-1;-1), (1;1) Vậy a = 0 là giá trị cần tìm. Ví dụ 5: Giải hệ phơng trình: 22 4422 7 21 xyxy xyxy ++= + += Giải: Hệ này là hệ đối xứng loại 1: Hệ đã cho tơng đơng với { 2 22222 () () 21(2) xy xy xy xy + + = 22 77SP S P 7(1)= Đặt S = x+y, P = x.y Phơng trình (1) = =+ 5 Tổ: Toán Tin GV: V Hi Anh - Trờng THPT số 1 Bắc Hà Thay vào (2) 2 (7 ) 21 14 28 2PP P P = = = 93= 1 2 1 320 2 t tt t = += = 1 2 2 1 320 2 t tt t = ++= = Vậy 2 SS= + Với S = 3, P = 2 suy ra x và y là nghiệm phơng trình 2 Hệ có 2 nghiệm (1;2) và (2;1) + Với S = -3, P = 2 suy ra x và y là nghiệm phơng trình Hệ có 2 nghiệm (-1;-2) và (-2;-1) Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm (1;2), (2;1), (-1;-2) và (-2;-1) 2. Hệ phơng trình đối xứng loại 2 Phân tích cho học sinh nắm chắc dạng tổng quát của hệ phơng trình đối xứng loại 2, cách nhận dạng hệ phơng trình đối xứng loại 2 và nắm đợc phơng pháp giải hệ này là trừ từng vế của hệ sau đó biến đổi phơng trình tìm đợc về phơng trình tích, đa việc giải hệ đã cho về việc giải 2 hệ phơng trình quen thuộc. Ví dụ 1: Giải hệ phơng trình: 3 3 73 73 x xy = y yx + = + Giải: Trừ từng vế hệ phơng trình ta đợc: 33 22 7( ) 3( ) ()( )4() 0 xy xy yx 22 22 ()( 4) 0 40 x yx xy y x y xy xy = + x xyy xxyy ++= 3 22 3 0 73 40 73 xy xx xxyy xxy = =+ ++= = ++= Vậy hệ phơng trình đã cho tơng đơng với + += =+ 6 Tổ: Toán Tin GV: V Hi Anh - Trờng THPT số 1 Bắc Hà Hai hệ phơng trình cơ bản giải đợc nghiệm Ví dụ 2: Giải hệ phơng trình: 3 3 5 5 x xy = + y yx = + 33 22 22 5( ) ()( )() 0 40 xy xyyx Trừ từng vế hệ phơng trình ta đợc: x yx xy y x y xy xxyy = + ++= = ++= Giải tơng tự ví dụ 1 3. Hệ đẳng cấp bậc 2: Dạng tổng quát 22 111 22 222 ax bxy cy m ax bxy cy n + += + += Trong đó x, y là ẩn, còn laiij là hệ số: Phơng pháp giải: Quy đồng hệ số ở vế phải sau đó trừ từng vế hệ phơng trình tìm đợc rồi đặt x = ky (Biệm luận 0y ) Ví dụ1: Giải hệ phơng trình 22 ++= 22 23 9(1) 2 2 2(2) xxyy xxyy ++= Giải: Hệ trên tơng đơng với: 22 22 22 24618 16 14 3 0 18 9 18 xxyy xxyy xxyy ++= 18 ++= ++= Từ hệ ta thấy y = 0 không phải là nghiệm của hệ nên có 2 14 3 0 xx yy 3 8 16 1 2 x y x y = ++= = Từ 33 88 x x y y = = Thay vào (2) ta đợc: 7 Tổ: Toán Tin GV: V Hi Anh - Trờng THPT số 1 Bắc Hà 2 2 222 22 22 33 22 2 88 93 2 32 4 924 17 64 yyyy yyy yy yy + += += + = 2 3264 64 64 8 17 17 17 17 y y = === Hệ có 2 nghiệm 3 17 3 17 8 17 ; 17 17 17 8 17 ;; 17 Từ 1 2 2 x y x y == 2 thay y x = 22 2 22(2)(2)2 11 xxx x xx ++ = == 22 2 4 34 vào (2) ta đợc: Vậy hệ có 2 nghiệm (1;-2), (-1:2) Ví dụ2: Giải hệ phơng trình x xy y k yxy += = a) Giải hệ khi k = 1 b) Chứng minh rằng hệ có nghiệm với mọi k Giải: Với k = 1 có hệ 22 2 22 2 22 41 34 416 4 4 34 4133 0 3 4 xxyy yxy xxyy yxy xxyy xy y x += = += = += = = 3 + Với x y= 9484yy y = = Thay vào (2) phơng trình vô nghiệm. 22 2 + Với 4 y x = Thay vào (2) 2 22 3 416 4 4 y yyy === Trờng hợp này hệ có 2 nghiệm (1;4) và (-1;-4) 8 Tổ: Toán Tin GV: V Hi Anh - Trờng THPT số 1 Bắc Hà b) Trong trờng hợp tổng quát từ phơng trình (2) . Vậy 0y 2 4 3 y x y = thay vào phơng trình (1) rút ngọn đợc: ( ) 42 9 4 16 0ykyy14 + = 2 0y > Với mọi k phơng trình luôn có nghiệm từ đó tìm đợc y. Do đó hệ đã cho có nghiệm với mọi k. Phơng pháp giải hệ phơng trình bậc 2 hai ẩn chủ yếu bằng cách biến đổi tơng đơng đa về hệ cơ bản hoặc đặt ẩn phụ đa về hệ cơ bản. Tất cả các hệ phơng trình đã nói trên đều coi nh hệ cơ bản mà học sinh phải nắm chắc phơng pháp giải. Sau đây là một số ví dụ về giải hệ phơng trình bằng cách đặt ẩn phụ đa hệ đã cho về hệ cơ bản. Ví dụ1: Giải hệ phơng trình 22 22 2 6(1) 15(2) yxy x xy x += += Giải: Từ (2) . Chia các vế của từng phơng trình trong hệ cho x 0x 2 đợc hệ phơng trình: 2 2 1 6 6 1 1 5 y yy y xx y x += += += 2 2 25 xx y y xx + = Đặt 1 , y uv== xx Đợc hệ 2 2 2 3 5 5 .6 2 2 2 3 25 5 5120 .6 2 v v u uv u u v v vv v = = = 2 vu = = = = = Việc giải hệ đã cho tơng đơng với giải hệ 1 1 3 1 1 2 .2 y x x y y x += = = = hoặc 1 2 1 x y = = Vậy nghiệm của hệ phơng trình (1;2) và 1 ;1 2 9 Tổ: Toán Tin GV: V Hi Anh - Trờng THPT số 1 Bắc Hà Ví dụ2: Giải hệ phơng trình 22 2 17(1) 113 (2) xy x y xy xy y ++= ++= Giải: Từ phơng trình (2) suy ra y = 0 không phải là nghiệm của hệ Do hệ đẫ cho tơng đơng với 0y 2 2 1 7 1 13 x x yy x x ++= yy + += Đặt x 1 ; ux v y y =+ = 22 2 5 12 77 7 13 7 13 0 20 u uv v u v u uv u u uu Ta có hệ phơng trình 0 4 3 v u v = = += = = = + = + = = = + Với u = -5; v = 12 Ta có hệ phơng trình 1 5x 12 y x y + = = + Với u = 4; v = 3 Ta có hệ phơng trình 1 4x y 3 x y + = = Hai hệ phơng trình này là hệ cơ bản có thể giải bằng phơng pháp thế. Ví dụ 3: Giải hệ phơng trình 2 2 1( )4 (1)( 2) x yy x y x yx y ++ + = + + = Giải: Ta thấy y = 0 không phải là nghiệm của hệ phơng trình. Nên chia từng vế của các phơng trình trong hệ phơng trình cho y ta đợc: 2 1 ()4 x yx + ++= 2 1 (2)1 y x yx y + + = 10 [...]... học sinh hứng thú học tập và nắm đ ợc ph ơng pháp giải các bài toán về hệ ph ơng trình bậc hai hai ẩn Cụ thể qua bài khảo sát lần hai số học sinh đạt điểm trung bình trở lên là 80% Trên đây là một vài kinh nghiệm của tôi về phg ơng pháp giảng dạy phần hệ ph ơng trình bậc hai hai ẩn với mục tiêu học sinh nắm đ ợc kiến thức cơ bản và biết vận dụng vào giải bài tậpk Rất mong đ ợc sự đóng góp của các đồng... - Tr ờng THPT số 1 Bắc Hà x2 1 ;v y u v 4 u (v 2) 1 y x Ta có hệ ph ơng trình v 4 u u (2 u ) 1 0 Hệ đã cho t ơng đ ơng với v u 4 u 2 2u 1 0 u 1 v 3 x2 1 1 y x y 3 Đến đây giải hệ bằng ph ơng pháp thế Phần kết luận Qua thực tế giảng dạy lớp 10 A1 và ôn thi Đại học, Cao đẳng cho học sinh lớp 12A1 khi vận dụng các ph ơng pháp trên trong phần này Tôi nhận thấy học sinh tiếp cận kiến thức một cách dễ dàng,... giải bài tậpk Rất mong đ ợc sự đóng góp của các đồng chí đồng nghiệp về bài viết của tôi Bắc H , ng y 15 tháng 3 năm 2011 Ng ời viết sáng kiến Vũ Thị Hải Anh 11 Tổ: Toán Tin GV: V H i Anh - Tr ờng THPT số 1 Bắc Hà 12 . giải hệ gồm một phơng trình bậc nhất và một phơng trình bậc hai của hai ẩn. Trong phần này phơng pháp giải cơ bản áp dụng đợc cho mọi bài là phơng pháp thế. Rút một ẩn từ phơng trình bậc nhất. THPT số 1 Bắc Hà Sáng kiến kinh nghiệm Một số kinh nghiệm về phơng pháp giải hệ phơng trình bậc hai hi ẩn PHN M U Tớnh cp thit ca ti, tỡnh hỡnh nghiờn cu, mc ớch v nhim v ca sỏng kin kinh. pháp giải hệ này là trừ từng vế của hệ sau đó biến đổi phơng trình tìm đợc về phơng trình tích, đa việc giải hệ đã cho về việc giải 2 hệ phơng trình quen thuộc. Ví dụ 1: Giải hệ phơng trình: