skkn một số phương pháp giải các phương trình bậc cao trên và các bài tập minh hoạ

Mỗi dạng toán đòi hỏi phải có những phương pháp riêng, phương pháp nghiên cứu nó một cách hợp lý thì mới có thể học vàđào tạo sâu được kiến thức cũng như việc hình thành kỹ năng, kỹ xảo

thực tế Trong chương trình toán học THCS, ở mỗi phân môn như: Số học, Đại số,

Hình học… đều có những dạng toán riêng Mỗi dạng toán đòi hỏi phải có những

phương pháp riêng, phương pháp nghiên cứu nó một cách hợp lý thì mới có thể học vàđào tạo sâu được kiến thức cũng như việc hình thành kỹ năng, kỹ xảo cho học sinh.Khi giải các bài tập toán học không những đòi hỏi học sinh phải linh hoạt trong việc ápdụng các công thức mà còn phải biết đào sâu khai thác, phát triển bài toán để tổng quáthóa, khái quát hoá kiến thức

Trong quá trình giảng dạy phương trình trong chương trình đại số 8, 9, bản thântôi thấy giải phương trình bậc cao là một vấn đề khó và nan giải đối với các em họcsinh Việc giải phương trình bậc cao đối với học sinh THCS chỉ đòi hỏi ở mức độ đơngiản, chủ yếu là từ phương trình đặc biệt đưa về phương trình bậc nhất và phươngtrình bậc hai nhằm rèn luyện kỹ năng giải phương trình bậc nhất và phương trình bậchai Qua đó cũng hướng cho học sinh tư duy khái quát hơn về phương trình để các emlàm quen dần với cách giải phương trình trong chương trình THPT

Với suy nghĩ đó tôi mạnh dạn đưa ra đây các phương pháp giải một số phươngtrình bậc cao đặc biệt để giúp các em học sinh nâng cao kỹ năng và kiến thức giảiphương trình

II Nhiệm vụ nghiên cứu

Phương trình bậc nhất một ẩn, phương trình bậc hai một ẩn, phương trình tích,phương trình đối xứng bậc chẵn, phương trình đối xứng bậc lẻ, phương trình phản

thương, phương trình hồi quy, phương trình trùng phương, phương trình tam thức vàmột số phương trình có dạng đặc biệt khác.

Một số phương pháp giải các phương trình bậc cao trên và các bài tập minhhoạ

III Đối tượng nghiên cứu

Học sinh lớp 8, 9 của trường THCS

Giúp học sinh giải một số phương trình bậc cao trong chương trình toán lớp 8, 9

IV Phương pháp nghiên cứu.

Tham khảo tài liệu, thu thập tài liệu, đúc rút tổng kết kinh nghiệm, kiểm tra kếtquả (dự giờ, kiểm tra chất lượng học sinh, nghiên cứu hồ sơ giảng dạy, kiểm tra trựctiếp thông qua các giờ học thể hiện trên nhiều đối tượng học sinh khác nhau: Học sinhkhá giỏi, học sinh trung bình, yếu về môn toán)

V Phạm vi nghiên cứu

Giới hạn ở vấn đề giảng dạy phần giải các phương trình bậc cao trong chươngtrình toán THCS

P HẦN THỨ HAI

NHỮNG KIẾN THỨC CƠ SỞ

1 Định nghĩa phương trình bậc cao

Ta gọi phương trình đại số bậc n (n  3) ẩn x trên tập số thực là các phương) ẩn x trên tập số thực là các phươngtrình được đưa về dạng: anxn + an-1xn-1+ .+ a1x + ao = 0, trong đó n   ;

a ;a ; a   ; an  0

2 Định lý: Trên tập số thực, mọi phương trình bậc n luôn phân tích được thành

tích của các nhị thức bậc nhất và các tam thức bậc hai

* Chú ý: Giải phương trình mx + n = 0, phương trình đã cho chưa chắc đã là

phương trình bậc nhất nên khi giải cần phải xem xét hết các trường hợp :

x

+ Nếu m = 0 thì phương trình có dạng 0x = n.

- Nếu n = 0 thì phương trình vô số nghiệm

+  > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x1,2 b

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO.

Ở phổ thông không học phép giải tổng quát cho phương trình bậc 3) ẩn x trên tập số thực là các phương, bậc 4 cònphương trình bậc 5 không có phép giải tổng quát Tuy nhiên trong một số trường hợpđặc biệt có thể đưa phương trình cần giải về phương trình bậc một, bậc hai Ta phảidựa vào đặc thù của phương trình cần giải để có phương pháp thích hợp

Giải và giảng dạy các bài toán về giải phương trình bậc cao quy về bậc nhấtmột ẩn số hoặc bậc hai nằm trong quá trình giải phương trình bậc nhất, bậc hai Nóichung là bao gồm nhiều dạng và phong phú được các nhà toán học và sư phạm quantâm và đề cập tới nhều trong tài liệu, tập san toán học Căn cứ vào mục đích ý nghĩakết quả điều tra và thực tế giảng dạy chương phương trình Trong quá trình giảng dạybản thân tôi đã nghiên cứu áp dụng lý luận trong quá trình dạy học, các phương phápđặc trưng bộ môn, áp dụng các kiến thức đã học để đưa các phương trình bậc cao vềphương trình bậc nhất, bậc hai bằng nhiều cách

I PHƯƠNG PHÁP 1: Đưa về phương trình tích

Để đưa phương trình đã cho về dạng (2) ta có thể dùng các cách sau:

- Phân thích đa thức thành nhân tử:

* Ví dụ 1: Giải phương trình: (x 1)3) ẩn x trên tập số thực là các phươngx3) ẩn x trên tập số thực là các phương(x1)3) ẩn x trên tập số thực là các phương (x2)3) ẩn x trên tập số thực là các phương (1)

* Lời giải

3) ẩn x trên tập số thực là các phương 3) ẩn x trên tập số thực là các phương 3) ẩn x trên tập số thực là các phương 3) ẩn x trên tập số thực là các phương

(x 1) x (x 1) (x 2)

 x3) ẩn x trên tập số thực là các phương - 3) ẩn x trên tập số thực là các phươngx2 + 3) ẩn x trên tập số thực là các phươngx - 1 + x3) ẩn x trên tập số thực là các phương + x3) ẩn x trên tập số thực là các phương + 3) ẩn x trên tập số thực là các phươngx2 + 3) ẩn x trên tập số thực là các phươngx + 1 = x3) ẩn x trên tập số thực là các phương + 6x2 + 12x + 8

 x3) ẩn x trên tập số thực là các phương - 3) ẩn x trên tập số thực là các phươngx2 - 3) ẩn x trên tập số thực là các phươngx - 4 = 0

 x3) ẩn x trên tập số thực là các phương - 1 - 3) ẩn x trên tập số thực là các phươngx2 - 3) ẩn x trên tập số thực là các phươngx - 3) ẩn x trên tập số thực là các phương = 0

(*) 0 1

x

Giải phương trình (*)   1  4   3) ẩn x trên tập số thực là các phương  0nên (*) vô nghiệm

Giải (**) ta được x =4

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là x = 4

Việc nhẩm nghiệm các phương trình dựa trên các cơ sở sau:

- Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì 1 là nghiệm của đa thức, đa thức

chứa thừa số x - 1.

- Nếu đa thức có tổng các hệ số của một số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số

của số hạng bậc lẻ thì -1 là nghiệm của đa thức, đa thức chứa thừa số (x + 1).

- Mọi nghiệm nguyên của đa thức đều là ước của hệ số tự do là a 0

* Lời giải

(2)  x3) ẩn x trên tập số thực là các phương – 3) ẩn x trên tập số thực là các phươngx2 + 3) ẩn x trên tập số thực là các phươngx – 1 +8x3) ẩn x trên tập số thực là các phương + 3) ẩn x trên tập số thực là các phương6x2 + 54x + 27 = 27x3) ẩn x trên tập số thực là các phương + 8

 18x3) ẩn x trên tập số thực là các phương – 3) ẩn x trên tập số thực là các phương3) ẩn x trên tập số thực là các phươngx2 –57x – 18 = 0

 3) ẩn x trên tập số thực là các phương(6x3) ẩn x trên tập số thực là các phương –11x2 – 19x – 6) = 0

lớn và có nhiều ước số Trong trường hợp này ta sẽ áp dụng nhận xét sau để đi loại trừ bớt các ước không là nghiệm của phương trình một cách nhanh chóng.

* Ví dụ 5: 4x 3 - 13x 2 + 9x - 18 = 0 (5)

* Lời giải

U(18)  1 ;  2 ;  3) ẩn x trên tập số thực là các phương ;  6 ;  9 ;  18

Hiển nhiên -1, 1 không là nghiệm của (4)  f(1)  0, f(-1)  0

 Phương trình (4) có khẳ năng có nghiệm là x1 = 3) ẩn x trên tập số thực là các phương

Áp dụng lược đồ Hoócne ta đưa phương trình (5) về dạng sau:

(x - 3) ẩn x trên tập số thực là các phương)(4x2 - x + 6) = 0

nào không là nghiệm và đưa ra ngay dạng phân tích.

- Bài tập dạng này tương đối khó với học sinh nên khi dạy giáo viên cần lưu ý khai thác hết các giả thiết, nhận xét có thể sử dụng phương pháp nào, hằng đẳng thức nào phân tích cho thích hợp Mỗi bài tập giải xong giáo viên nên chốt lại vấn đề và các kiến thức cần sử dụng trong quá trình giải bài tổng quát, bài tương tự, đặc biệt dùng để bồi dưỡng học sinh giỏi nhằm phát triển tư duy.

* Là phương trình có dạng: ax4 + bx3) ẩn x trên tập số thực là các phương + cx2- bx + a = 0 (4) với a 0

hoặc ax4- bx3) ẩn x trên tập số thực là các phương + cx2 + bx + a = 0 (5) với a 0

2.5 Phương trình hồi quy

* Là phương trình có dạng : ax4 + bx3) ẩn x trên tập số thực là các phương + cx2 + dx + e = 0 (6) trong đó

Đặt y = (x+a)(x+d) thay vào phương trình (1) ta tìm đực y0

Giải phương trình (x+a)(x+d) = y0 ta có x0 là nghiệm của phương trình (1)

* Chú ý: Trên thực tế, nhiều phương trình bậc cao phải biến đổi mới đưa về

các dạng cơ bản nói trên

* Ví dụ 1: Giải phương trình x 4 – 5x 2 + 6 = 0 (1)

* Lời giải:

= 2  x 2+ Nếu y = 3) ẩn x trên tập số thực là các phương  x2 = 3) ẩn x trên tập số thực là các phương  x 3) ẩn x trên tập số thực là các phương

Giải (*) : x4 +3) ẩn x trên tập số thực là các phươngx3) ẩn x trên tập số thực là các phương – 2x2 + 3) ẩn x trên tập số thực là các phươngx + 1 = 0

Ta thấy x = 0 không là nghiệm của (*), chia cả 2 vế của (*) cho x2  0 ta được:

(Đề thi vào THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội, năm 2006 - 2007)

2

3) ẩn x trên tập số thực là các phươngt4

2t3) ẩn x trên tập số thực là các phương

2 2 3) ẩn x trên tập số thực là các phương

t 3) ẩn x trên tập số thực là các phươngx 7x 4 9x 21x 10 0

23) ẩn x trên tập số thực là các phương 3) ẩn x trên tập số thực là các phương

x3) ẩn x trên tập số thực là các phương

* Ví dụ 5: Giải phương trình (x2 3) ẩn x trên tập số thực là các phươngx2)(x27x12) 24 (5)

+ Nếu y = -1 ta có x = 5

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm là x1 = 7; x2 = 5

* Ví dụ 8: Giải phương trình (x +3)(x + 5)(x + 6)(x + 10) = 2x 2 (8)

* Lời giải:

(8)  (x2 + 13) ẩn x trên tập số thực là các phươngx + 3) ẩn x trên tập số thực là các phương0)(x2 + 11x + 3) ẩn x trên tập số thực là các phương0) = 2x2 (*)

Vì x = 0 không là nghiệm của (*) nên ta chia cả hai vế của (2) cho x2 ta có: 3) ẩn x trên tập số thực là các phương0 3) ẩn x trên tập số thực là các phương0

Ta có (9) (y – 5)(y – 4)(y – 3) ẩn x trên tập số thực là các phương) = 5( y –12)

 y3) ẩn x trên tập số thực là các phương – 12y2 + 47y – 60 =5y – 60

 y3) ẩn x trên tập số thực là các phương – 12y2 + 42y = 0

III PHƯƠNG PHÁP 3: Đưa về luỹ thừa cùng bậc

Ta thêm bớt hạng tử để xuất hiện hằng đẳng thức thích hợp rồi từ đó đưa về hai

vế của phương trình về luỹ thừa cùng bậc

Bằng cách biến đổi hai vế của phương trình ta đưa phương trình đẵ cho vềphương trình có dạng: An = Bn

+ Nếu n là số chẵn thì A = ± B

* Nếu x2  1 2x 2  x2 2x 3) ẩn x trên tập số thực là các phương 0   PT vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x1,2  1 2

* Ví dụ 2: Giải phương trình 3) ẩn x trên tập số thực là các phương 2 1

3) ẩn x trên tập số thực là các phương 2 1 3) ẩn x trên tập số thực là các phương 2

x x x 3) ẩn x trên tập số thực là các phươngx 3) ẩn x trên tập số thực là các phươngx 3) ẩn x trên tập số thực là các phươngx 1

3) ẩn x trên tập số thực là các phương 2

5x 6x 12x 8 0 

 4x3) ẩn x trên tập số thực là các phương(x3) ẩn x trên tập số thực là các phương 6x212x 8) 0 

 (x 2) 3) ẩn x trên tập số thực là các phương 4x3) ẩn x trên tập số thực là các phương

* Ví dụ 1: Giải phương trình x 92003) ẩn x trên tập số thực là các phương x 102004 1 (1)

* Lời giải:

Dễ thấy x = 9 và x = 10 là nghiệm của phương trình (1)

Xét các giá trị còn lại của x

+ Nếu x < 9 thì  x - 9 > 0   x - 92003) ẩn x trên tập số thực là các phương > 0 và  x - 102004 > 1

  x - 92003) ẩn x trên tập số thực là các phương +  x - 102004 > 1  phương trình (1) vô nghiệm

+ Nếu x > 10 thì  x - 10 > 0   x - 102004 > 0 và  x - 92003) ẩn x trên tập số thực là các phương > 1

  x - 92003) ẩn x trên tập số thực là các phương +  x - 102004 > 1  phương trình (1) vô nghiệm

+ Nếu 9 < x < 10 thì

0 < x – 9 < 1   x - 92003) ẩn x trên tập số thực là các phương < x – 9;

0 < 10 – x < 1   x - 102004 <  x - 10 < 10 – x

  x - 92003) ẩn x trên tập số thực là các phương +  x - 102004 < x – 9 + 10 – x = 1  phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình đã ch có 2 nghiệm là x = 9; x = 10

* Ví dụ 2: Giải phương trình (x1)3) ẩn x trên tập số thực là các phương (x 5)3) ẩn x trên tập số thực là các phương 83) ẩn x trên tập số thực là các phương 216(x1) (53) ẩn x trên tập số thực là các phương  x)3) ẩn x trên tập số thực là các phương (2)

* Lời giải:

Đặt x – 1 = y ; 5 – x = z Ta có (y3) ẩn x trên tập số thực là các phương z3) ẩn x trên tập số thực là các phương 8)3) ẩn x trên tập số thực là các phương 216y z3) ẩn x trên tập số thực là các phương 3) ẩn x trên tập số thực là các phương

Theo BĐT Côsi : (y3) ẩn x trên tập số thực là các phươngz3) ẩn x trên tập số thực là các phương8)3) ẩn x trên tập số thực là các phương 216y z3) ẩn x trên tập số thực là các phương 3) ẩn x trên tập số thực là các phương

Vậy y = z = 2, do đó x = 3) ẩn x trên tập số thực là các phương

VI PHƯƠNG PHÁP 6: Dùng tính chất về số nghiệm của phương trình

Người ta chứng minh được rằng phương trình đại số bậc n có không quá nnghiệm thực Do đó nếu ta chỉ ra được n nghiệm của phương trình đại số bậc n thì đó

là tất cả các nghiệm của phương trình đó

* Ví dụ 1: Giải phương trình

* Lời giải:

Nhận xét

+ x = m là một nghiệm của phương trình (1)

+ Với m = 0 hoặc m = 1 thì có hai nghiệm là x = 0 và x = 1

- Xét m  0 ; m  1  x  0 ( vì nếu x = 0 thì m = 0 hoặc m =1)

Gọi k là nghiệm của (1)  k  0 Chia 2 vế của (1) cho k6 ta có:

3) ẩn x trên tập số thực là các phương 2 2

k cũng là nghiệm của (1) Vì k là nghiệm của (1) nên ta có:

m2 m 2 k2  k 1 3) ẩn x trên tập số thực là các phương k2 k (m2 2  m 1) 3) ẩn x trên tập số thực là các phương

 (m2 – m)2[(1 - k)2 – (1 - k) + 1]3) ẩn x trên tập số thực là các phương = [(1 - k)2 – (1 - k)]2(m2 – m + 1)3) ẩn x trên tập số thực là các phương

(1 - k) cũng là nghiệm của (1)(1 - k) cũng là nghiệm của (1)

2 1

2 thì phương trình (1) có 6 nghiệm:m; (1-m); 1

Không xẩy ra đồng thời x2 = 1 và x2 = 4

Vậy phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình vô nghiệm

* Ví dụ 3: Tìm k để phương trình sau có nghiệm:

Bài 7: Chứng minh rằng các phương trình sau vô nghiệm:

a) x4 - 3) ẩn x trên tập số thực là các phươngx3) ẩn x trên tập số thực là các phương + 6x + 13) ẩn x trên tập số thực là các phương = 0

b) x4 - 2x3) ẩn x trên tập số thực là các phương + 4x2 - 3) ẩn x trên tập số thực là các phươngx + 2 = 0

Bài 8: Cho phương trình:

(Đề thi vào THPT Hà Nội- Amstesdam, năm 2006 - 2007)

Bài 9: Cho phương trình:

b) Tìm a để (9) có bốn nghiệm phân biệt

Sau khi giảng dạy hệ thống các phương pháp như trên, kết quả khảo sát lớp 9A3) ẩn x trên tập số thực là các phươngcho thấy :

- Học sinh trung bình được rèn kỹ năng Vận dụng các định lý các tính chất đãhọc vào giải bài tập, có phương pháp để giải một bài đại số Các em đã bước đầu biếtkhám phá ra điều mới mẻ của bài tập thông qua các tình huống có vấn đề

- Học sinh khá giỏi rất sôi nổi và hướng thú trong học tập, các em biết tìm tòikhám phá các bài tập tương tự, các em đã biết chủ động đề xuất các vấn đề mới liênquan, có em biết sáng tạo trong giải bài tập, có những cách làm khác tìm ra hướng giảitheo nhiều cách khác nhau, trong giờ học quan hệ giữa thày và trò, giữa trò và trò chủđộng tích cực trong việc khám phá kiến thức cũng như việc vận dụng kiến thức đã họcvào giải toán

2 BÀI HỌC KINH NGHIỆM:

Qua giảng dạy nhất là khi áp dụng sáng kiến tôi nhận thấy rằng :

Muốn học sinh học tốt trước hết phải hiểu rõ được kiến thức cơ bản Kết hợpvới sự hướng dẫn của giáo viên từ đó học sinh tìm tòi khám phá, phát hiện kiến thức

có hiệu quả muốn vậy:

Đối với thầy:

- Chủ động nghiên cứu sách sách giáo khoa, tài liệu tham khảo

- Dạy học sinh từng dạng bài tập, phân dạng bài tập theo cấu trúc kiến thức

- Hướng cho các em biết chia nhỏ bài toán thành những bài toán cơ bản

Đối với trò :

- Cần thấy được phương pháp học tốt nhất, có hiệu quả nhất là phải tăng cườnghọc hỏi tích luỹ kiến thức tìm được sự liên hệ với kiến thức đã học và thực hành vậndụng vào giải toán từ những bài đơn giản đến bài toán khó, cái em luôn phải đặt ranhững câu hỏi tại sao? Các yếu tố bài ra có quan hệ gì ? Ta phải làm thế nào? Tạo rađiều đó bằng cách nào? Có được điều đó ta có gì ?

- Đứng trước bài toán phải biết phân tích đề biết vận dụng kiến thức đã học vào

để tìm cách giải

- Ngoài ra các em cần có niềm say mê trong học tập, biết tự nghiên cứu thêm,làm bài tập đầy đủ dưới sự hướng dẫn của các thầy cô hoặc có thể trao đổi, thảo luậntheo nhóm để giúp nhau hiểu bài hơn

3 NHỮNG HẠN CHẾ:

Đề tài áp dụng cho học sinh lớp 8, 9 ()cũng có thể BDHSG lớp 8,9) Bên cạnh

đó đề tài áp dụng được sau khi học sinh học xong phần kiến thức về phương trình bậcnhất (ở lớp 8) và phương trình bậc 2 (ở lớp 9) và từ thời gian đó đến các kỳ thi không