một số kinh nghiệm giải các bài tập hình học phẳng

Sáng kiến kinh nghiệm-Môn toán THCS Ph ầ n I : PHẦN MỞ ĐẦU I. LÝ DO CHỌN ĐỀ T I:À Toán học ra đời gắn liền với con người v là ịch sử phát triển của xã hội, nó có một ý nghĩa lý luận v thà ực tiễn vô cùng lớn lao v quan trà ọng. Trong thời đại hiện nay, công nghiệp hoá, hiện đại hoá nhất thiết phải đặt trên nền tảng dân trí ng y c ng à à được nâng cao. Trong giai đoạn hiện nay phải có một chiến lược giáo dục đ o tà ạo nhằm nâng cao dân trí, đ o tà ạo nhân lực v bà ồi dưỡng nhân t i trên mà ọi lĩnh vực khoa học. Sự phát triển của khoa học tự nhiên lại được đặt trên nền tảng của khoa học toán học. Việc dạy toán ở trường phổ thông l mà ột phương tiện rất hiệu quả v không thà ể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển năng lực tư duy, hình th nh kà ỹ năng, kỹ xảo, ứng dụng toán học v oà thực tiễn. Trong quá trình giảng dạy bản thân tôi thấy việc giải các b i tà ập hình học phẳng l mà ột vấn đề khó đối với các em học sinh. Trong đề t i n y tôià à mạnh dạn đưa ra kinh nghiệm dạy học giải b i tà ập hình học phẳng thông qua một số tuyến b i tà ập ở cả ba dạng toán: chứng minh , tìm tòi v loà ại toán thực tiễn nhằm nâng cao chất lượng học giải b i tà ập hình học phẳng cho học sinh. II. NHI Ệ M V Ụ NGHIÊN C Ứ U: Tuyến b i tà ập chuẩn bị cho việc chứng minh hình học, tuyến b i tà ập khai thác tính chất của diện tích đa giác, tuyến b i tà ập liên quan đến định lí Pitago, tuyến b i tà ập về diện tích hình tròn. III. PH ƯƠ NG PH P NGHIÊN CÁ Ứ U: - Điều tra, khảo sát, theo dõi, thực h nh, và ận dụng - Nghiên cứu t i lià ệu, IV. ĐỐ I T ƯỢ NG NGHIÊN C Ứ U: Học sinh thuộc đối tượng THCS nói chung, học sinh THCS Phúc Thịnh- Ngọc Lặc nói riêng. V. PH Ạ M VI NGHIÊN C Ứ U: Giới hạn giảng dạy ở phần: Giải các b i tà ập hình học phẳng ở ba loại b i tà ập: 1 Sáng kiến kinh nghiệm-Môn toán THCS chứng minh, tìm tòi v loà ại toán thực tiễn thông qua các ví dụ cụ thể của các tuyến b i tà ập nghiên cứu. 2 Sáng kiến kinh nghiệm-Môn toán THCS Ph ầ n II . NỘI DUNG Ví d ụ 1: Tuyến b i tà ập chuẩn bị cho việc chứng minh hình học B i tà ập1: Hãy điền v o chà ỗ …để chứng minh định lí: “Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau” Giả thiết .……… Kết luận………… Các khẳng định Căn cứ của khẳng định (1) Ô 1 +Ô 2 =180 0 Vì ………………… (2) Ô 3 +Ô 2 = ………… Vì .………………… (3) Ô 1 +Ô 2 = Ô 3 +Ô 2 Căn cứ v o .…………à (4) Ô 1 =Ô 3 Vì ………………… Tương tự hãy chứng minh Ô 2 =Ô 4 B i tà ập2 : Cho định lí:”Nếu hai đường thẳng xx’, yy’ cắt nhau tại O v xÔyà vuông thì các góc yÔx’ , x’Ô y’ , y’Ôx đều l góc vuông.à a)Hãy vẽ hình. b)Viết giả thiết v kà ết luận của định lí c)Sắp xếp các câu sau một cách hợp lí để có chứng minh định lí trên. 1) xÔy + x’Ô y =180 0 (vì hai góc n y bù nhau)à 2) x’Ô y’ = xÔy( vì hai góc đối đỉnh) 3)90 0 + x’Ô y = 180 0 (theo giả thiết v cà ăn cứ v o ).……à 4) y’Ôx = x’Ô y (vì hai góc đối đỉnh). 5) x’Ô y = 90 0 (vì căn cứ v o )……à 6) x’Ô y’= 90 0 (vì căn cứ v o )……à 7) y’Ôx =90 0 (vì căn cứ v o ).……à d) Hãy trình b y là ại cách chứng minh trên một cách gọn hơn. B i tà ập3: Cho b i toán “ à AMB∆ v à ANB∆ có MA=MB, NA= NB “. Chứng a) Ghi giả thiết, kết luận của b i toán.à 3 Sáng kiến kinh nghiệm-Môn toán THCS b) Hãy sắp xếp các câu sau một cách hợp lí để giải b i toán trênà 1) Do đó: AMN∆ v à BMN∆ ( c.c.c) 2) MN cạnh chung; MA=MB (giả thiết) ; NA=NB (giả thiết) 3) Suy ra AMN BMN∠ = ∠ ( Hai góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau) 4) AMN∆ v à BMN∆ có: B i tà ập 4: Cho b i toán” Cho tam giác ABC, M l trung à à điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME=MA.Chứng minh rằng AB// CE”. ABC ∆ GT MB=MC AM=ME KL AB//CE a) Hãy sắp xếp năm câu sau đây một cách hợp lí để giảI b i toán trên:à 1) MB=MC (giả thiết); AMB EMC ∠ = ∠ ( hai góc đối đỉnh) ; MA=ME (giả thiết) 2) Do đó AMB∆ = EMC ∆ (c.g.c) 3) MAB MEC ∠ = ∠ suy ra AB//CE 4) AMB∆ = EMC∆ suy ra MAB MEC∠ = ∠ (Hai góc tương ứng ) 5) AMB∆ v à EMC∆ có: b) Hãy trình b y là ại cách chứng minh trên ngắn gọn hơn. B i tà ập 5: Cho b i toánà “ Cho tam giác ABC , gọi d l à đường thẳng đi qua A v vuông góc và ới BC, cắt BC tại H. Gọi d’ l à đường thẳng vuông góc với BC tại C. Đường thẳng đi qua H v song song và ới AC cắt d’ tại E. Chứng minh rằng ACEH l hình bình h nh”.à à a) Chứng minh b i toán trên.à 4 Sáng kiến kinh nghiệm-Môn toán THCS b) Sau đây l chà ứng minh của ba bạn X, Y, Z. Hãy nêu nhận xét lời giải b ià toán của ba bạn đó. Bạn X: • Nếu hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau. Do đó AH//CE. • Lại có: AC song song với HE Vậy ACEH l hình bình h nh (Vì mà à ột tứ giác có các cạnh đối song song với nhau l mà ột hình bình h nh)à Bạn Y: • Theo giả thiết AH vuông góc với BC v BE vuông góc và ới BC Nếu hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.Vậy AH song song với CE • Theo giả thiết, AC song song với HE Nếu một tứ giác có các cạnh đối song song với nhau thì tứ giác đó l mà ột hình bình h nh). à Vậy ACEH l hình bình h nh.à à Bạn Z: AH BC ⊥ CE BC ⊥ AH // CE AC // HE ACEH l mà ột hình bình h nhà B i tà ập 6: Cho b i toán:à “Cho EFG l mà ột tam giác vuông tại E. Gọi d l à đường thẳng vuông góc với EF tại F. Đường thẳng qua E song song với FG cắt d tại H. Gọi M l trung à điểm của FE. Chứng minh rằng M l trung à điểm của HG”. a) Vẽ hình v vià ết giả thiết, kết luận. b) Hãy sắp xếp 10 câu sau một cách hợp lí để chứng minh b i toánà trên: 1) Nếu hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau. 5 Sáng kiến kinh nghiệm-Môn toán THCS 2) Trong một hình bình h nh các à đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. 3) Nếu một tứ giác có các cạnh đối diện song song với nhau thì đó l mà ột hình bình h nh.à 4) Ta có HE v GF song song và ới nhau (giả thiết). 5) Ta có M l trung à điểm của FE. 6) Ta có EG vuông góc với EF (Vì EFG l tam giác vuông tà ại E). 7) Ta có HF vuông góc với EF (giả thiết). 8) Vậy M l trung à điểm của HG. 9) Vậy HFGE l hình bình h nh.à à 10) Vậy HF v EG song song và ới nhau. c)Hãy trình b y là ại b i toán trên mà ột cách ngắn gọn hơn. B i tà ập7: Cho b i toán:à “Cho hình vuông ABCD gọi E l à điểm nằm trên cạnh AB. Đường thẳng đi qua E, song song với AC, cắt BC tại F. Chứng minh rằng EF vuông góc với BD”. a) Vẽ hình v vià ết giả thiết, kết luận. b) Sắp xếp 6 câu sau một cách hợp lí để có chứng minh b i toán trên.à 1) Vậy EF vuông góc với BD 2) Ta có EF song song với AC 3) Vậy AC vuông góc với BD 4) Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng kia. 5) Ta có ABCD l mà ột hình vuông. 6) Trong một hình vuông thì hai đường chéo bằng nhau v vuông góc và ới nhau tại trung điểm của mỗi đường. c)Hãy trình b y là ại cách chứng minh một cách ngắn gọn hơn. B i tà ập 8: a) Hãy điền v o chà ỗ … để có một chứng minh đầy đủ *Ta có ABCD l mà ột hình thoi (giả thiết) Nếu .Thì .……… ……… 6 Sáng kiến kinh nghiệm-Môn toán THCS Vậy AC vuông góc với BD *Hơn nữa ta có KI song song với AC (giả thiết) Nếu Thì .……… ……… Vậy KI vuông góc với OD. *Hơn nữa, Ta có I l trung à điểm của OD (giả thiết) Nếu Thì .……… …………… Vậy KI l à đường trung trực của OD *Nếu .Thì ……… ……………… Vậy KO = KD c) Hãy viết đề toán ứng với lời giải trên , biết rằng điểm K nằm trên AD và O l giao à điểm hai đường chéo của hình thoi ABCD. B i tà ập 9 Hãy đặt một b i toán m trong chà à ứng minh có sử dụng định lí “ Nếu hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ 3 thì chúng song song với nhau”. Gi ả i thích d ụ ng ý c ủ a các b i tà ậ p trên Chứng minh hình học l mà ột trong những hoạt động khó khăn đối với học sinh, nhưng sức mạnh của hình học lại l suy luà ận diễn dịch. Một cái đích quan trọng của học tập hình học l hà ọc sinh biết lập luận có căn cứ. Vì vậy hoạt động chứng minh hình học phải được rèn luyện lâu d i, tà ừng bước nâng cao. Học sinh phải biết chứng minh v trình b y chà à ứng minh Một chứng minh có căn cứ phải được tuân theo lập luận ba giai đoạn. Tiên đề lớn (Tính chất, định lí )…… Tiên đề nhỏ (Giả thiết, điều đã biết, .)…… Kết luận (Điều được suy ra) Nhưng cách trình b y chà ứng minh thường ở dạng rút gọn Vì vậy cách trình b y già ới thiệu ở đây nhằm giúp học sinh l m quen và ới cách chứng minh đầy đủ, cần phải có v cách trình bafychuwsng minh rút gà ọn B i tà ập 1 trình b y chà ứng minh theo hai cột.Các b i tà ập 2; 3; 4 ;6 ;7 tập cho học sinh từ 7 Sáng kiến kinh nghiệm-Môn toán THCS cách trình b y à đầy đủ đến cách trình b y ngà ắn gọn. B i tà ập 7: Giúp học sinh phê phán cách chứng minh thiếu căn cứ, học cách trình b yà chứng minh có căn cứ v hià ểu sơ đồ của một cách chứng minh. Các b i tà ập 8;9 yêu cầu học sinh sáng tạo đề toán Mặt khác cũng cần chú ý l : Khà ả năng suy luận (diễn dịch) v chà ứng minh hình học gắn chặt với khả năng phân tích v tà ổng hợp hình. Vì vậy ngo i vià ệc cho hình vẽ sẵn, trong một số b i tà ập còn yêu cầu học sinh viết giả thiết, kết luận v và ẽ hình Giáo viên nên lựa chọn v cho hà ọc sinh sử dụng các b i tà ập trên đây v o thà ời điểm thích hợp. Mỗi b i tà ập được coi l mà ột hoạt động. Ví d ụ 2: Tuyến b i tà ập khai thác tính chất của diện tích đa giác. Kiến thức về diện tích đa giác được khai thác theo 3 hướng: - áp dụng các công thức tính diện tích - áp dụng các tính chất của diện tích - Sử dụng diện tích đa giác như một công cụ để giải b i toán.à Hãy cắt Theo hướng thứ hai ta có các b i tà ập, chẳng hạn: B i tà ậ p 1: một tam giác th nh 3 mà ảnh để ghép lại th nh mà ột hình chữ nhật. Gợi ý: B i tà ậ p 2: Giải thích tại sao diện tích của tam giác trong các hình dưới đây bằng nửa diện tích hình chữ nhật tương ứng. 8 Sáng kiến kinh nghiệm-Môn toán THCS B i tà ậ p 3: Cho hình chữ nhật với hai kích thước l a,b.à a) Hãy vẽ một tam giác có một cạnh bằng cạnh của hình chữ nhật và có diện tích bằng diện tích của hình chữ nhật đó. b) Hãy vẽ một hình bình h nh có mà ột cạnh bằng cạnh của hình chữ nhật v có dià ện tích bằng nửa diện tích của hình chữ nhật đó. B i tà ậ p 4 Trên hình vẽ dưới đây ( AC// BF) hãy tìm tam giác có diện tích bằng diện tích của tứ giác ABCD. B i tà ậ p 5: Cho hình thang ABCD (đáy nhỏ AB, đáy lớn CD ). Hãy vẽ một tam giác có một cạnh bằng đáy lớn CD của hình thang v có dià ện tích bằng diện tích của hình thang. Hướng dẫn giải: Vẽ hình thang ABCD (AB//CD; AB < CD). Vẽ đường chéo AC. Qua B vẽ đường thẳng song song với AC cắt AD tại M, vẽ MC. Ta có: S MAC = S BAC Từ đó S ABCD = S MCD B i tà ậ p 6: Cho một ngũ giác lồi ABCD. Hãy vẽ một tam giác có diện tích bằng diện 9 Sáng kiến kinh nghiệm-Môn toán THCS tích ngũ giác ABCD. Nói rõ thứ tự vẽ hình v vì sao là ại vẽ như vậy?. B i tà ậ p 7: Cho hình bình h nh ABCD phân giác cà ủa góc A v góc C cà ắt đường chéo BD tại E, F. Chứng minh rằng hai đa giác ABCFE v ADCFE có dià ện tích b ng nhau.ằ B i t p 8à ậ : Cho hình ch nh t VELO, g i U l m t i m b t k trên ng chéo VL.ữ ậ ọ à ộ đ ể ấ ỳ đườ Qua U k hai ng th ng AD v NT song song v i c nh hình ch nh t. Soẻ đườ ẳ à ớ ạ ữ ậ sánh di n tích hai hình ch nh t AUTO v DUNE.ệ ữ ậ à Ví d 3:ụ Tuy n b i t p liên quan n nh lí Pitago.ế à ậ đế đị B i t p1: à ậ V m t tam giác vuông có các c nh góc vuông b ng 3cm v 4cm. ẽ ộ ạ ằ à o d iĐ độ à c nh huy n.ạ ề B i t p 2:à ậ C t 4 tam giác vuông b ng nhau b ng gi y tr ng. G i d i các c nh gócắ ằ ằ ấ ắ ọ độ à ạ vuông l b v c, d i c nh huy n l c. C t t m bìa m u hình vuông cóà à độ à ạ ề à ắ ấ à c nh ạ b ng b+c. t 4 tam giác vuông tr ng lên hình vuông m u, ph n bìa m uằ Đặ ắ à ầ à không b che khu t g m hai hình vuông có c nh l b v c. Tính di n tíchị ấ ồ ạ à à ệ ph n không b che khu t theo b v c. T ó rút ra quan h gi a aầ ị ấ à ừ đ ệ ữ 2 v (bà 2 +c 2 ) B i t p3:à ậ Hãy ki m tra l i nh lí Pitago v i các tam giác vuông có d i 3 c nh nhể ạ đị ớ độ à ạ ư sau: a) a = 5cm b = 4cm c = 3cm b) a = 2cm b = 1,6cm c = 1,2cm c) a = 10cm b = 8cm c = 6cm H ng d n:ướ ẫ M t m t v tam giác có d i 3 c nh cho tr c r i o xem cóộ ặ ẽ độ à ạ ướ ồ đ góc vuông không? .M t khác ki m tra xem trong m i tr ng h p h th c aặ ể ỗ ườ ợ ệ ứ 2 = b 2 + c 2 có th a mãn không?.ỏ B i t p4:à ậ Phân bi t các cách phát bi u sau v nh lí Pitagoệ ể ề đị 10 [...]... diện tích hình gạch soc và hình để trắng trong hình vẽ dưới đây: V KẾT LUẬN: Dạy học giải bài tập hình học phẳng là một nội dung rộng, đề tài này đã được nhiều giáo viên đề cập đến và đối với học sinh nhiều bài toán 14 Sáng kiến kinh nghiệm- Môn toán THCS hình học phẳng là những bài toán khó Học giải bài t ập hình h ọc ph ẳng b ổ trợ cho sự rèn luyện, phát triển năng lực tư duy sáng tạo, hình thành... xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn và phát triển trí thông minh của học sinh Thực tế cho thấy việc áp dụng kinh nghiệm trên vào việc dạy hình học phẳng đã thu được những kết quả rất khả quan: lớp học sôi nổi, tỉ l ệ h ọc sinh học tập hình học tích cực, chủ động tăng cao, nhiều học sinh không còn mặc cảm với những bài toán chứng minh hình học, biết vận d ụng hình học vào giải các bài toán thực tế Kết... các hoạt động trên học sinh sẽ: - Biết thêm chút ít về lịch sử - Biết rằng định lí Pitago là cầu nối giữa tam giác và số - Mặt khác một ý nghĩa của định lí Pitago là việc vẽ được góc vuông mà không cần eke Ví dụ 4: Tuyến bài tập về diện tích hình tròn Dạy học hình học theo phương pháp đổi mới, ngoài các loại bài tập vốn có trong SGK ta cần chú trọng các loại bài tập đi sâu vào khái niệm, phối hợp hình. .. dùng, thiết bị dạy học cho bộ môn Phòng giáo dục tổ chức các buổi sinh hoạt liên trường để giáo viên học hỏi kinh nghiệm của các đồng chí giáo viên trong nhóm Mỗi tuyến bài tập nêu trên đều có dụng ý riêng Cái đích quan trọng cần đạt của học tập hình học là học sinh biết lập luận có căn c ứ Trong khuôn khổ của đề tài mang nội dung rộng và khó, tôi mới chỉ đưa ra m ột s ố tuyến bài tập trên mà tôi đúc... tích hình tròn có tỷ lệ với bán kính của nó không? Bài tập 2: a) Điền vào ô trống trong bảng sau(S là diện tích hình quạt ứng với cung n0) Cung n0 0 45 90 S b)Vẽ đồ thị biểu diễn diện tích hình quạt theo n0 180 360 c) Diện tích hình quạt ứng với cung n0 có tỷ lệ thuận với số đo độ của cung không? Bài tập 3: 13 Sáng kiến kinh nghiệm- Môn toán THCS Tính diện tích hình tròn biết chu vi của nó là C Bài tập. .. qua việc học tập, giải bài tập, qua nghiên cứu các tài liệu, qua quá trình giảng dạy và trao đổi với các đồng nghiệp Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện đề tài chắc còn có những thiết sót Rất mong được sự góp ý của các thầy, cô giáo, các b ạn đồng nghiệp để 15 Sáng kiến kinh nghiệm- Môn toán THCS đề tài được hoàn thiện hơn, góp phần nâng cao chất lượng gi ảng d ạy và học tập của giáo viên và học sinh... thẳng và mọc vuông góc với mặt đất) Giải thích dụng ý của các bài tập trên, mỗi bài tập là một hoạt động Các hoạt động về định lí Pitago được xắp xếp theo trình tự sau: Tiếp cận định lí Pitago: các hoạt động 1,2,3 Phát biểu định lí Pitago: Hoạt động 4 12 Sáng kiến kinh nghiệm- Môn toán THCS Chứng minh định lí Pitago: Hoạt động 5 Khai thác định lí Pitago về mặt số học: Hoạt động 6 Vận dụng định lí Pitago:... ụng hình học vào giải các bài toán thực tế Kết quả kiểm tra viết môn hình của học sinh lớp 7A trường THCS Phúc Thịnh cho thấy: Lớp S ĩ số Học sinh đạt Tỉ lệ % điểm TBình trở lên 7A 32 30 93,75% Tuy nhiên đối với một số học sinh yếu kém trong lớp, các em rất ngại học, sức ỳ còn quá lớn do đó lôi cuốn các em vào trong các hoạt động hình học trên lớp sẽ gặp nhiều khó khăn Rất mong nhà trường đầu tư hơn nữa... đảo) Bài tập5 : Sử dụng mỗi hình vẽ sau để chứng minh định lí Pitago bằng phương pháp diện tích (Hình 1) (Hình 2) Bài tập 6: Nếu độ dài của tam giác vuông tăng lên 2 lần, 3 l ần thì độ d ài cạnh huy ền thay đổi như thế nào? Mệnh đề tổng quát với n là số tự nhiên bất kỳ còn đúng không? Hãy phát biểu tính chất Pitago bằng ngôn ngữ số học Chú ý: Bộ 3 số a, b, c thõa mãn: a2 = b2 + c2 được gọi là bộ ba số. .. niệm, phối hợp hình học với đại số, liên hệ với thực tế xung quanh, kết hợp vẽ hình với tính toán….nhằm huy động kiến thức tích hợp, kỹ năng nhiều mặt, tư duy tổng hợp Chẳng hạn với công thức S = Π R2 , nên cho học sinh luyện tập những bài tập sau: Bài tập 1: a) Điền vào ô trống trong bảng sau (S là diện tích hình tròn bán kính R) R 0 1 2 3 4 5 10 S b)Vẽ đồ thi biểu diễn diện tích hình tròn theo bán . kinh nghiệm dạy học giải b i tà ập hình học phẳng thông qua một số tuyến b i tà ập ở cả ba dạng toán: chứng minh , tìm tòi v loà ại toán thực tiễn nhằm nâng cao chất lượng học giải b i tà ập hình. học v oà thực tiễn. Trong quá trình giảng dạy bản thân tôi thấy việc giải các b i tà ập hình học phẳng l mà ột vấn đề khó đối với các em học sinh. Trong đề t i n y tôià à mạnh dạn đưa ra kinh. nhưng sức mạnh của hình học lại l suy luà ận diễn dịch. Một cái đích quan trọng của học tập hình học l hà ọc sinh biết lập luận có căn cứ. Vì vậy hoạt động chứng minh hình học phải được rèn