SKKN kinh nghiệm giải các bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật

Kinh nghiệm giải toán tính tổng dãy số viết theo quy luật MỤC LỤC PHẦN I: MỞ ĐẦU Mục Tên đề mục Lý chọn đề tài Trang 2 Mục tiêu, nhiệm vụ đề tài Đối tượng nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu PHẦN II: NỘI DUNG Mục Tên đề mục Cơ sở lí luận để thực đề tài Trang Thực trạng 3 Giải pháp, biện pháp Kết 24 PHẦN III: KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Mục Tên đề mục Kết luận Trang 24 Kiến nghị 24 PHẦN I MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Trong trường THCS, mơn tốn mơn học cung cấp tri thức kĩ tốn học, phương pháp, phương thức tư hoạt động cần thiết để học tập mơn học khác Vì việc học tập mơn tốn quan trọng, học phải liên tục khơng Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh Trang Kinh nghiệm giải toán tính tổng dãy số viết theo quy luật ngừng Học sinh ln giữ vai trò trung tâm, chủ động hoạt động học tập Để giúp em học tốt mơn tốn, người giáo viên ngồi việc giúp em nắm kiến thức bản, phải bồi dưỡng cho em mặt phương pháp giải dạng tốn quan trọng Do vậy, giáo viên cần phải tìm tòi, sáng tạo tìm phương pháp dạy học phù hợp với đối tượng học sinh Trong chương trình Tốn học trường trung học sở phần lớn hệ thống câu hỏi tập biên soạn phù hợp với trình độ kiến thức lực học sinh Tuy nhiên có dạng tốn mà sách giáo khoa đưa vài tốn dạng (*), chưa có phương pháp giải cụ thể, đòi hỏi học sinh phải vận dụng kiến thức học để tư cách giải Dạng tốn “tính tổng dãy số viết theo quy luật” dạng tốn tương đối khó học sinh lớp 6, tổng hợp nhiều kiến thức, tốn phổ biến đề thi học sinh giỏi cấp, đề thi tốn qua mạng internet Qua nhiều năm thực tế giảng dạy khối 6, tơi nhận thấy học sinh lúng túng đứng trước dạng tốn này, học sinh chưa tìm quy luật dãy số, khơng nhận dạng tốn chưa định phương pháp giải Chính vậy, từ lớp giáo viên cần trang bị cho em học sinh dạng tốn tính tổng dãy số viết theo quy luật cách giải cho dạng để em có kĩ tính tốn tư sáng tạo giải tốn dạng Với lý đó, tơi chọn đề tài nghiên cứu: “Kinh nghiệm giải tốn tính tổng dãy số viết theo quy luật” với mong muốn góp phần nâng cao chất lượng mơn tốn trường THCS, giúp học sinh lớp giải tốn tính tổng dãy số viết theo quy luật từ đến nâng cao, đồng thời tơi mong muốn chia sẻ vài kinh nghiệm giảng dạy để đồng nghiệp tham khảo, mong đóng góp chân thành để đề tài phát huy hiệu Mục tiêu, nhiệm vụ đề tài: Mục tiêu: Thực đề tài nhằm mục đích: - Góp phần nâng cao chất lượng mơn tốn trường THCS, giúp học sinh lớp giải các dạng tốn tính tổng dãy số viết theo quy luật từ đến nâng cao -Rèn cho học sinh kĩ giải tốn, khả dự đốn, tư sáng tạo, tính tự giác tích cực - Chia sẻ với đồng nghiệp kinh nghiệm phương pháp tính tổng dãy số viết theo quy luật - Bản thân rèn luyện chun mơn nhằm nâng cao nghiệp vụ sư phạm Nhiệm vụ: Những nhiệm vụ cụ thể đề tài là: - Liệt kê số dạng tốn tính tổng dãy số viết theo quy luật phương pháp giải cho dạng, đề xuất tốn tổng qt thơng qua ví dụ cụ thể đồng thời rèn cho học sinh tìm tòi lời giải, xem xét tốn dạng đặc thù riêng lẻ lựa chọn phương pháp giải hợp lý Đối tượng nghiên cứu: Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh Trang Kinh nghiệm giải toán tính tổng dãy số viết theo quy luật Phụ đạo nâng cao kiến thức cho học sinh lớp 6A3, 6A4 trường THCS Lê Đình Chinh, xã Quảng Điền, huyện Krơng Ana, tỉnh ĐăkLăk Phạm vi nghiên cứu: - Nghiên cứu phương pháp giải số dạng tập tính tổng dãy số viết theo quy luật - Nghiên cứu sách giáo khoa, tài liệu tham khảo, sách nâng cao tốn Phương pháp nghiên cứu: - Nghiên cứu lí thuyết - Điều tra, thực nghiệm, khảo sát kết học tập học sinh - Đưa tập thể tổ chun mơn thảo luận - Thực nghiệm giảng dạy chun đề cho học sinh lớp 6A3, 6A4 trường THCS Lê Đình Chinh, xã Quảng Điền, huyện Krơng Ana - Điều tra, đánh giá kết học tập học sinh sau thực nghiệm giảng dạy chun đề PHẦN II NỘI DUNG Cơ sở lí luận để thực đề tài: Nhằm đáp ứng mục tiêu giáo dục tồn diện cho học sinh, đường nâng cao chất lượng học tập học sinh từ nhà trường phổ thơng Là giáo viên mong muốn học sinh tiến bộ, lĩnh hội kiến thức dễ dàng, phát huy tư sáng tạo, rèn tính tự học, mơn tốn mơn học đáp ứng đầy đủ u cầu Việc học tốn khơng phải học sách giáo khoa, khơng làm tập thầy, mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tòi vấn đề, tổng qt hố vấn đề rút điều bổ ích Dạng tốn tính tổng dãy số viết theo quy luật dạng tốn quan trọng chương trình tốn làm sở để học sinh làm tốt tốn có liên quan chương trình tốn trung học sở sau Vấn đề đặt làm để học sinh giải tốn tính tổng dãy số viết theo quy luật cách xác, nhanh chóng đạt hiệu cao Để thực tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh kĩ quan sát, nhận xét, đánh giá tốn, đặc biệt kĩ giải tốn, kĩ vận dụng tốn, tuỳ theo đối tượng học sinh, mà ta xây dựng cách giải cho phù hợp sở phương pháp học cách giải khác, để giúp học sinh học tập tốt Thực trạng: a Thuận lợi, khó khăn: Thuận lợi: - Xã Quảng Điền xã giàu truyền thống cách mạng, dân cư chủ yếu người Quảng nam kinh tế từ năm 1977, nhân dân có truyền thống hiếu học Đặc biệt có quan tâm Đảng uỷ, UBND xã, quan tâm tổ chức, đồn thể xã cơng tác giáo dục, đảm bảo sở vật chất tối thiểu cho dạy học hai ca Xã Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh Trang Kinh nghiệm giải toán tính tổng dãy số viết theo quy luật Quảng Điền là xã văn hoá năm 2010 và hiện phấn đấu xây dựng xã nơng thơn mới vào năm 2015 - Hội cha mẹ học sinh hoạt động tích cực , phối hợp tốt với nhà trường hoạt động, trì tương đối hiệu việc học tập em cộng đồng địa phương - Hội khuyến học nhiệt tình, quan tâm đến phong trào giáo dục xã nhà nói chung trường THCS Lê Đình Chinh nói riêng - Phòng giáo dục và lãnh đạo nhà trường thường xun quan tâm tới tất hoạt động chun mơn trường - Bên cạnh đội ngũ giáo viên nhiều kinh nghiệm nhà trường có đội ngũ thầy trẻ, khoẻ, nhiệt tình hăng say cơng việc - Đa số học sinh giỏi ham thích học mơn tốn Khó khăn: - Nhân dân xã Quảng Điền sống chủ yếu nghề nơng đời sống kinh tế nhiều khó khăn, tỉ lệ hộ nghèo cao, trình độ dân trí khơng đồng đều, thuộc lưu vực sơng KrơngAna nên năm xã Quảng Điền chịu ảnh hưởng lũ lụt Do số phận dân cư, hồn cảnh gia đình khó khăn, chưa thực quan tâm đến việc học em dẫn đến ảnh hưởng khơng nhỏ đến việc đầu tư thời gian, vật chất, tinh thần cho em học tập, nên ảnh hưởng phần đến kết học tập rèn luyện số học sinh kết phấn đấu nhà trường - Cơ sở vật chất chưa đảm bảo tốt cho việc dạy học, nguồn đầu tư địa phương cho giáo dục hàng năm thấp b Thành cơng, hạn chế: Thành cơng: Với nội dung đề tài nghiên cứu: “Kinh nghiệm giải tốn tính tổng dãy số viết theo quy luật” sau đưa tập thể tổ chun mơn thảo luận áp dụng vào thực tiễn tơi nhận thấy rèn luyện cho học sinh kĩ giải tốn có khoa học, lập luận logic chặt chẽ Học sinh hứng thú, chủ động học tập Hạn chế: Để đề tài áp dụng vào thực tiễn giảng dạy đem lại hiệu cần phải có lượng thời gian định Tuy nhiên phân phối chương trình mơn tốn khơng có thời lượng dành riêng cho vấn đề Hơn nữa, sách giáo khoa chưa đề cập cách giải tốn tính tổng dãy số viết theo quy luật Với lý đề tài khó áp dụng đem lại hiệu mong muốn c Mặt mạnh, mặt yếu: Mặt mạnh: Khi vận dụng đề tài vào giảng dạy tơi nhận thấy phần lớn học sinh khơng lúng gặp dạng tốn này, đa số em nhận dạng tập biết lựa chọn cách giải nhanh, gọn, hợp lí trình bày lời giải tương đối chặt chẽ Mặt yếu: Dạng tốn tính tổng dãy số viết theo quy luật dạng tốn tương đối trừu tượng học sinh lớp Khi gặp dạng tốn này, khơng học sinh lúng túng khơng biết Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh Trang Kinh nghiệm giải toán tính tổng dãy số viết theo quy luật xử lý Điều dễ hiểu học phần lý thuyết song số tập để củng cố để khắc sâu, để bao qt hết dạng lại khơng nhiều, khơng có sức thuyết phục để lơi kéo hăng say học tập học sinh Mức độ kiến thức của dạng toán tương đới trừu tượng và phức tạp d Ngun nhân: Thực tế học sinh trường THCS Lê Đình Chinh tiếp thu chậm vận dụng kiến thức từ lý thuyết vào làm tập hạn chế Các em nhầm lẫn chưa thành thạo việc giải tốn tính tổng dãy số viết theo quy luật Ngun nhân chủ ́u của khó khăn là: - Mức độ nắm kiến thức kĩ vận dụng làm số học sinh hạn chế - Học sinh khơng nhận quy luật dãy số - Học sinh chưa phân loại được các dạng tập chưa xác định phương pháp giải cho dạng - Do thời lượng luyện tập khóa ít, học sinh chưa có thời gian để ơn tập, làm tập, giải tập nhiều - Học sinh chưa thật u thích khơng hứng thú việc học mơn Tốn nên lười học nhà, lớp khơng ý nghe thầy giảng e Phân tích, đánh giá vấn đề thực trạng mà đề tài đặt ra: Đề tài : “Kinh nghiệm giải tốn tính tổng dãy số viết theo quy luật” góp phần nâng cao kiến thức, tư tốn học, khả phân tích, tính tốn cho học sinh, đồng thời giúp cho giáo viên trau dồi kiến thức, nâng cao chất lượng hiệu giảng dạy - Để giải tốn tính tổng dãy số viết theo quy luật đòi hỏi em phải tìm quy luật dãy số, nhận những dạng tâp bản thường gặp phương pháp giải cụ thể cho từng dạng Các tập đưa đề tài theo mức độ từ thấp đến cao để em nhận thức chậm làm tốt tốn mức độ trung bình, đồng thời kích thích tìm tòi sáng tạo học sinh - Như nói trên, phân phối chương trình mơn tốn khơng có thời lượng dành riêng cho vấn đề nghiên cứu Do để thực đề tài này, giáo viên cần phải lồng ghép vào tiết luyện tập, tiết ơn tập chương, tiết ơn tập học kì 2, tiết phụ đạo học sinh yếu bồi dưỡng học sinh giỏi - Trong q trình giảng dạy mơn Tốn, vai trò người thầy việc tạo hứng thú cho học sính đặc biệt quan trọng, giáo viên phải thường xun đưa học sinh vào tình có vấn đề em tư duy, tự tìm tòi kiến thức qua dạng tốn Đồng thời phải biết động viên, khích lệ, biểu dương cố gắng em, trân trọng thành đạt em dù nhỏ - Ngày nay, phương pháp dạy học bậc THCS nói chung có nhiều biến đổi tích cực, điều kiện vật chất ngày nâng lên rõ rệt Nhưng để đạt kết tốt u cầu giáo viên phải đầu tư nhiều thời gian cho việc soạn đặc biệt phải tận tụy với cơng việc, tránh tư tưởng chủ quan cho học sinh tìm hiểu mức độ sơ Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh Trang Kinh nghiệm giải toán tính tổng dãy số viết theo quy luật sài, thiên cung cấp lời giải Sự đầu tư thoả đáng giáo viên đền bù khả giải tập chắn, linh hoạt cuả học sinh Giải pháp, biện pháp: a Mục tiêu giải pháp, biện pháp: Những giải pháp, biện pháp nêu đề tài nhằm mục đích trang bị cho học sinh lớp cách có hệ thống phương pháp giải dạng tập tính tổng dãy số viết theo quy luật từ đến nâng cao, nhằm giúp cho học sinh có khả vận dụng tốt dạng tốn này, định hướng thao tác: quan sát, nhận dạng, lựa chọn phương pháp giải phù hợp cho dạng b Nội dung cách thức thực giải pháp, biện pháp: Việc tính tổng biểu thức thơng thường (hữu hạn số hạng) ta áp dụng thứ tự quy tắc phép tốn giải tốn Vấn đề đặt cách khai thác để giải tốn tính tổng có dạng: Sn= a1+a2+a3+ +an (n=1,2,3…) phải làm ? Sau số dạng phương pháp khai thác để giải dạng tốn Dạng 1: Tính tổng số tự nhiên cách Phương pháp giải: Muốn tính tổng số tự nhiên cách đều, ta làm sau: - Tính số số hạng tổng theo cơng thức: (Số lớn – Số nhỏ nhất) : Khoảng cách + - Tính tổng theo cơng thức: (Số đầu + Số cuối) Số số hạng : Các ví dụ: Ví dụ 1: Tính tổng A = + + + + 100 Giải: Tổng A có: 100 − + = 100 (số hạng) A= ( + 100 ) 100 = 101.100 = 5050 2 Bài tốn tổng qt: Tính tổng + + + + n (Với n ∈ N* ) Giải: Với cách làm ví dụ 1, ta có: + + + + n = n ( n + 1) Ta có cơng thức tính tổng số tự nhiên liên tiếp từ đến n (Với n ∈ N* ) sau: n ( n + 1) + + + + n = (Với n ∈ N* ) Ví dụ 2: Tính tổng B = + + + + 100 Giải: Tổng B có: ( 100 − ) : + = 50 (số hạng) Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh Trang Kinh nghiệm giải toán tính tổng dãy số viết theo quy luật B= ( + 100 ) 50 = 102.25 = 2550 Bài tốn tổng qt: Tính tổng + + + +2n (Với n ∈ N* ) Giải: Với cách làm ví dụ 2, ta có: + + + + 2n = ( + 2n ) n = n ( n + 1) Ta có cơng thức tính tổng số tự nhiên chẵn liên tiếp từ đến 2n (Với n ∈ N* ) sau: + + + + 2n = n ( n + 1) (Với n ∈ N* ) Ví dụ 3: Tính tổng C = + + + + 49 Giải: Tổng C có: ( 49 − 1) : + = 25 (số hạng) C= ( + 49 ) 25 = 50.25 = 252 = 625 2 Bài tốn tổng qt: Tính tổng + + + +(2n – 1) (Với n ∈ N* ) Giải: Với cách làm ví dụ 3, ta có: + + + + ( 2n − 1) = ( + 2n − 1) n = n.n = n 2 Ta có cơng thức tính tổng số tự nhiên lẻ liên tiếp từ đến 2n - (Với n ∈ N* ) sau: + + + + ( 2n − 1) = n (Với n ∈ N* ) Ví dụ 4: Tính tổng D = + + 10 + 13 + + 301 Giải: Tổng D có: ( 301 − ) : + = 100 (số hạng) D= ( + 301) 100 = 305.50 = 15250 Ví dụ 5: Tính tổng E = 98 + 93 + 88 + 83 + … + 13 + +3 Giải: Tổng E có: ( 98 – ) : + = 95 : + 1= 19 +1 = 20 (số hạng) E = ( 98 + ) 20 : = 101 20 : = 010 Dạng 2: Tính tổng tích số tự nhiên viết theo quy luật Ví dụ 1: Chứng tỏ rằng: k( k+1) = k(k + 1)(k + 2) (k − 1)k(k + 1) − (Với 3 Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh k ∈ N* ) Trang Kinh nghiệm giải toán tính tổng dãy số viết theo quy luật Từ tính tổng: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100 Giải: Với k ∈ N* , ta có k(k+1)(k+2) – k(k+1) (k-1) = k( k+1) [ (k + 2) − (k − 1)] = k (k+1) k(k + 1)(k + 2) − (k − 1)k(k + 1) k(k + 1)(k + 2) (k − 1)k(k + 1) − = 3 k(k + 1)(k + 2) (k − 1)k(k + 1) − Vậy: k( k+1) = (Với k ∈ N* ) 3 ⇒ k( k+1) = Áp dụng: Tính tổng: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100 1.2.3 0.1.2 − 3 2.3.4 1.2.3 2.3 = − 3 3.4.5 2.3.4 3.4 = − 3 Ta có: 1.2 = ……………… 99.100 = 99.100.101 98.99.100 − 3 Cộng vế với vế đẳng thức trên, ta được: A= − 0.1.2 99.100.101 99.100.101 = = 33.100.101 = 333300 + 3 Ví dụ 2: Tính tổng B = 10.11 + 11.12 + 12.13 + … + 98.99 Giải: 10.11.12 9.10.11 − 3 11.12.13 10.11.12 11.12 = − 3 12.13.14 11.12.13 12.13 = − 3 Ta có: 10.11 = ………………………… 98.99 = 98.99.100 97.98.99 − 3 Cộng vế với vế đẳng thức trên, ta được: B= − 9.10.11 98.99.100 98.99.100 9.10.11 + = – = 98.33.100 – 3.10.11 = 323 070 3 3 Bài tốn tổng qt: Tính tổng S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + …+ n(n+1) (Với n ∈ N* ) Giải: 1.2.3 0.1.2 − 3 2.3.4 1.2.3 2.3 = − 3 Ta có: 1.2 = Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh Trang Kinh nghiệm giải toán tính tổng dãy số viết theo quy luật 3.4 = 3.4.5 2.3.4 − 3 ……………… n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2) (n − 1)n(n + 1) − 3 Cộng vế với vế đẳng thức trên, ta được: S = − Ta có cơng thức: 1.2 + 2.3 + 3.4 + n ( n + 1) = 0.1.2 n(n + 1)(n + 2) + 3 n(n + 1)(n + 2) (Với n ∈ N* ) Ví dụ 3: Tính tổng C = 2.4 + 4.6 + 6.8 + 8.10 + … + 196.198 + 198.200 Phương pháp giải: Ta thấy số hạng tổng tích số tự nhiên chẵn liên tiếp Do đó, để tách số hạng thành hiệu số nhằm triệt tiêu cặp số hạng với ta nhân hai vế với Thừa số viết dạng: (6 - 0) số hạng thứ nhất, (8 - 2) số hạng thứ hai, (10 - 4) số hạng thứ ba, ,(202 - 196) số hạng cuối Giải: 6.C = 2.4.6 + 4.6.6 + 6.8.6 + … + 196.198.6 + 198.200.6 6.C = 2.4.6+4.6.(8–2)+6.8.(10 – 4)+ … +196.198.(200 – 194)+198.200.(202 – 196) 6.C = 2.4.6+4.6.8-2.4.6+6.8.10-4.6.8+…+196.198.200-194.196.198+198.200.20296.198.200 6.C = 198.200.202 ⇒ C = 198.200.202 : = 333 200 Bài tốn tổng qt: Tính tổng S = 2.4 + 4.6 + 6.8 + … + (2n – 2).2n (Với n ∈ N, n > ) Giải: ( Với cách làm ví dụ 3, ta có: 6.S = (2n – 2).2n.(2n + 2) ⇒ S = Ta có cơng thức: 2n − ) 2n ( 2n + ) ( 2n − ) 2n ( 2n + ) (Với n ∈ N, n > ) Ví dụ 4: Tính tổng D = 1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 95.97 + 97.99 Phương pháp giải: Ở tổng D, số hạng tích số tự nhiên lẻ liên tiếp Ta thực phương pháp ví dụ tức ta nhân hai vế với Thừa số viết dạng: (5 + 1) số hạng thứ nhất, (7 - 1) số hạng thứ hai, (9 - 3) số hạng thứ ba, , (101 - 95) số hạng cuối Giải: 6.D =1.3.6 + 3.5.6 + 5.7.6 + … + 95.97.6 + 97.99.6 6.D =1.3.(5 + 1) + 3.5.(7 – 1) + 5.7.(9 – 3) + … + 95.97.(99 – 93) + 97.99.(101 – 95) 6.D =1.3.5+1.3.1+3.5.7–1.3.5+5.7.9–3.5.7+ … +95.97.99–93.95.97+ 97.99.101– 95.97.99 2.4 + 4.6 + 6.8 + + (2n - 2).2n = Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh Trang Kinh nghiệm giải toán tính tổng dãy số viết theo quy luật 6.D = + 97.99.101 D = (3 + 97.99.101) : = 161 651 Bài tốn tổng qt: Tính tổng S = 1.3 + 3.5 + 5.7 + … + (2n – 1).(2n + 1) (Với n ∈ N* ) Giải: Với cách làm ví dụ 4, ta có: 6.S = + ( 2n − 1) ( 2n + 1) ( 2n + 3) ⇒ S = + ( 2n − 1) ( 2n + 1) ( 2n + ) Ta có cơng thức: + ( 2n − 1) ( 2n + 1) ( 2n + ) (Với n ∈ N* ) Ví dụ 5: Tính tổng E = 1.3 + 2.4 + 3.5 + + 99.101 Phương pháp giải: Để tính tổng E ta khơng nhân nhân vế với số thích hợp mà tách thừa số số hạng làm xuất tổng khác mà ta biết cách tính dễ dàng tính Giải: E = 1.3 + 2.4 + 3.5 + + 99.101 = 1(2 + 1) + 2(3 + 1) + 3(4 + 1) + + 99(100 + 1) = 1.2 + + 2.3 + + 3.4 + + + 99.100 + 99 = (1.2 + 2.3 +3.4 + + 99.100) + (1 + + + + 99) 1.3 + 3.5 + 5.7 + + (2n - 1).(2n + 1) = = 99.100.101 99.100 + = 333300 + 4950 = 338250 Bài tốn tổng qt: Tính tổng 1.3 + 2.4 + 3.5 + + n(n + 2) (Với n ∈ N* ) Giải: Với cách làm ví dụ 5, ta có: 1.3 + 2.4 + 3.5 + + n(n + 2) = n(n + 1)(n + 2) n(n + 1) n(n + 1)(2n + 7) + = Ta có cơng thức: 1.3 + 2.4 + 3.5 + n ( n + ) = n(n + 1)(2n + 7) (Với n ∈ N* ) Ví dụ 6: Tính tổng F = 1.4 + 2.5 + 3.6 + + 99.102 Phương pháp giải: Sử dụng phương pháp giải ví dụ Giải: F = 1.4 + 2.5 + 3.6 + + 99.102 = 1(2 + 2) + 2(3 + 2) + 3(4 + 2) + + 99(100 + 2) = 1.2 + 1.2 + 2.3 + 2.2 + 3.4 + 3.2 + + 99.100 + 99.2 = (1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100) + 2(1 + + + + 99) = 99.100.101 99.100 + = 333300 + 9900 = 343200 Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh Trang 10 Kinh nghiệm giải toán tính tổng dãy số viết theo quy luật 3.4.5 = 3.4.5.6 2.3.4.5 − 4 ……………… n(n + 1)(n + 2) = n(n + 1)(n + 2) ( n + ) − (n − 1)n(n + 1)(n + 2) Cộng vế với vế đẳng thức trên, ta được: 1.2.3 + 2.3.4 + … + n (n+1)(n+2) = n (n + 1)(n + 2)(n + 3) Ta có cơng thức: 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + n ( n + 1) ( n + ) = n(n + 1)(n + 2) ( n + 3) (Với n ∈ N* ) Dạng 3: Tính tổng lũy thừa số tự nhiên viết theo quy luật Ví dụ 1: Tính tổng sau: a) A = + + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 210 b) B = + + 32 + 33 + 34 + + 3100 c) C = + + + + + 2007 Phương pháp giải: Tổng tổng lũy thừa có số, số mũ lũy thừa số tự nhiên xếp theo thứ tự tăng dần Để giải tốn này, ta nhân hai vế biểu thức với số lũy thừa, sau trừ vế biểu thức cho biểu thức ban đầu suy kết tốn Giải: a) A = + + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 210 2A = + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 210 + 211 2A – A = 211 – A = 211 – b) B = + + 32 + 33 + 34 + + 3100 3B = + 32 + 33 + 34 + + 3100 + 3101 3B – B = 3101 – 2B = 3101 – B= c) C = + + + + + 2007 7C = + + + + 2007 + 2008 C − C = 2008 −1 6C = 2008 −1 Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh Trang 12 Kinh nghiệm giải toán tính tổng dãy số viết theo quy luật C= 2008 −1 Bài tốn tổng qt: Tính tổng S = + a + a2 + a3 + … + an (Với a ∈ N,a > 1, n ∈ N ) Giải: Với cách làm ví dụ 1, ta có: a.S – S = an+1 – (a – 1)S = an+1 – S= a n +1 − a −1 Ta có cơng thức: an +1 − (Với a ∈ N,a > 1, n ∈ N ) a −1 Ví dụ 2: Tính tổng 12 + 22 + 32 + 42 + … + 1002 Phương pháp giải: Tổng tổng lũy thừa có số mũ, số lũy thừa số tự nhiên liên tiếp Để tính tổng này, tách thừa số số hạng làm xuất tổng khác mà ta biết cách tính dễ dàng tính Giải: 12 + 22 + 32 + 42 + … + 1002 = + 2(1 + 1) + 3(2 + 1) + 4(3 + 1) + … + 100(99 + 1) = + 1.2 + + 2.3 + + 3.4 + + … + 99.100 + 100 = (1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100) + ( + + + … + 100) = 333300 + 5050 = 338350 Bài tốn tổng qt: Tính tổng 12 + 22 + 32 + 42 + … + n2 (Với n ∈ N* ) Giải: Với cách làm ví dụ 2, ta có: 12 + 22 + 32 + 42 + … + n2 = (1 + +3 +4 + … + n) +[1.2 + 2.3 + 3.4+ … + (n–1)n] + a + a2 + a3 + + an = = n(n + 1) (n − 1)n(n + 1) 3n(n + 1) + 2(n − 1)n(n + 1) n(n + 1)[3 + 2(n − 1)] n(n + 1)(2n + 1) + = = = 6 Ta có cơng thức tính tổng bình phương số tự nhiên từ đến n sau: n(n + 1)(2n + 1) 12 + 22 + 32 + 42 + + n = (Với n ∈ N* ) Ví dụ 3: Tính tổng 13 + 23 + 33 + … + 1003 Giải: 13 + 23 + 33 + … + 1003 = 13 – + 23 – + 33 – +…+ 1003 – 100 + ( + + + …+ 100 ) = + 2( 22 – ) + 3( 32 – ) + …+ 100( 1002 – ) + ( + + + …+ 100 ) = (1.2.3 + 2.3.4 + …+ 99.100.101) + ( + + + … + 100 ) = 101989800 + 5050 = 101994850 Bài tốn tổng qt: Tính tổng 13 + 23 + 33 + … + n3 (Với n ∈ N* ) Giải: Với cách làm ví dụ 2, ta có: 13 + 23 + 33 + … + n3 Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh Trang 13 Kinh nghiệm giải toán tính tổng dãy số viết theo quy luật = 13 – + 23 – + 33 – + 43 – + 53 – +…+ n3 – n + ( + + + …+ n ) = + 2( 22 – ) + 3( 32 – ) + 4( 42 – ) + …+ n( n2 – ) + ( + + + + …+ n ) = + 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + …+ (n – )n( n + ) + ( + + + + … + n ) = ( n − 1) n ( n + 1) ( n + ) + n ( n + 1) = n ( n + 1)  ( n − 1) ( n + )  = n ( n + 1)  +  2  n ( n + 1)  n(n + 1)  n2 + n − + = n ( n + 1) = 4   Ta có cơng thức tính tổng lập phương số tự nhiên từ đến n sau:  n(n + 1)  3 3 + + + + + n =  (Với n ∈ N* )    3 3 Ví dụ 4: Tính tổng + + + … + 99 Phương pháp giải: Đây tổng lập phương số lẻ liên tiếp Muốn tính tổng ta lập tổng tổng lập phương số tự nhiên liên tiếp trừ phần cộng thêm Giải: 13 + 33 + 53 + … + 993 = (13 + 23 + 33+…+ 993) - (23 + 43 + 63+…+983) = (13 + 23 + 33+…+ 993) - 23(13 + 23 + 33 +…+493) 2  99.100   49.50  2 = ÷ −2  ÷ = 4950 − 8.1225 = 24502500 − 12005000 = 12497500     Bài tốn tổng qt: Tính tổng 13 + 33 + 53 + + ( 2n + 1) (Với n ∈ N ) Giải: Với cách làm ví dụ 4, ta có: 3 3 13 + 33 + 53 + + ( 2n + 1) = 13 + 23 + 33 + + ( 2n ) + ( 2n + 1)  − 23 + 43 + 63 + + ( 2n )      3 3 3 3 3 1 + + + + ( 2n ) + ( 2n + 1)  − 1 + + + + n       ( 2n + 1) ( 2n + + 1)   ( 2n + 1) ( n + 1)   n ( n + 1)   n ( n + 1)  =  −2   =  −2   2         2 2 n ( n + 1) 2 = ( 2n + 1) ( n + 1) − = ( n + 1) ( 2n + 1) − 2n    2 ( 4n = ( n + 1) ( 2n = ( n + 1) 2 2 + 4n + − 2n ) + 4n + 1) Ta có cơng thức tính tổng lập phương số tự nhiên lẻ liên tiếp từ đến 2n + sau: 13 + 33 + 53 + + ( 2n + 1) = ( n + 1) ( 2n + 4n + 1) (Với n ∈ N ) Dạng 4: Tính tổng phân số có mẫu tích hai số tự nhiên Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh Trang 14 Kinh nghiệm giải toán tính tổng dãy số viết theo quy luật Ví dụ 1: Tính tổng Giải: Với k ∈ N* , ta có: 1 1 + + + + 1.2 2.3 3.4 2014.2015 ( k + 1) − k = k + − k = − 1 = k(k + 1) k(k + 1) k(k + 1) k(k + 1) k k + Thay k 1; 2; 3; …; 2004 ta có: 1 = 1− 1.2 1 = − 2.3 1 = − 3.4 ………… 1 − = 2014.2015 2014 2015 Cộng vế với vế đẳng thức trên, ta được: 1 1 1 1 1 1 2014 + + + + − = 1− = = − + − + − + + 2 3 2014 2015 2015 2015 1.2 2.3 3.4 2014.2015 1 1 Bài tốn tổng qt: Tính tổng 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n(n + 1) (Với n ∈ N* ) Giải: 1 1 1 1 1 1 n + + + + − + − + − + + − = 1− = = 1.2 2.3 3.4 n(n + 1) 2 3 n n +1 n +1 n +1 Ta có cơng thức : 1 1 n + + + + = (Với n ∈ N* ) 1.2 2.3 3.4 n(n + 1) n + Ví dụ 2: Tính tổng 5 5 5 5 + + + + + + + 12 20 30 42 56 72 90 (Trích đề kiểm tra nghiệm thu lớp huyện Krơng Ana năm học 2011 2012) Nhận xét: Tổng tổng phân số có tử 5, mẫu tích số tự nhiên liên tiếp Do đó, ta đặt làm thừa số chung biểu thức ngoặc có dạng ví dụ Giải: 5 5 5 5 1 1  1 1 + + + + + + + = 5 + + + + + + + ÷ 12 20 30 42 56 72 90  12 20 30 42 56 72 90  1 1 1   = 5 + + + + + + + ÷  2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10  1 1 1 1 1 1 1 1  1   1 =  − + − + − + − + − + − + − + − ÷ =  − ÷ =  − ÷ = = 10  3 4 5 6 7 8 9 10   10   10 10  Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh Trang 15 Kinh nghiệm giải toán tính tổng dãy số viết theo quy luật Ví dụ 3: Tính tổng Giải: Với k ∈ N* , ta có: 2 2 + + + + 1.3 3.5 5.7 2013.2015 ( k + a) − k = k + a − k = − a = k(k + a) k(k + a) k(k + a) k(k + a) k k + a Thay k 1; 2; 3; …; 2003 a = ta có: = 1− 1.3 1 = − 3.5 ………… 1 = − 2013.2015 2013 2015 Cộng vế với vế đẳng thức trên, ta được: 2 2 1 1 1 1 2014 + + + + − = =1 − + − + − + + = 1− 1.3 3.5 5.7 2013.2015 3 5 2013 2015 2015 2015 2 2 Bài tốn tổng qt: Tính tổng 1.3 + 3.5 + 5.7 + + n.(n + 2) (Với n ∈ N , n lẻ) Giải: 2 2 1 1 1 1 n +1 + + + + − + − + − + + − 1− = = = 1.3 3.5 5.7 n.(n + 2) 3 5 n n+2 n+2 n+2 Ta có cơng thức : 2 2 n +1 + + + + = (Với n ∈ N,n lẻ ) 1.3 3.5 5.7 n.(n + 2) n + Ví dụ 4: Tính tổng 1 1 + + + + 1.3 3.5 5.7 2009.2011 (Trích đề kiểm tra nghiệm thu lớp huyện Krơng Ana năm học 2010 - 2011) Giải: 1 1 1 2 2  + + + + =  + + + + ÷ 1.3 3.5 5.7 2009.2011  1.3 3.5 5.7 2009.2011  1 1 1 1  1  2010 1005 = 1 − + − + − + + − = ÷ = 1 − ÷= 2 3 5 2009 2011   2011  2011 2011 Thơng qua ví dụ cần phải khắc phục cho học sinh sai lầm thường gặp: 1 = − 3.5 sai Cách khác: 1 1 + + + + 1.3 3.5 5.7 2009.2011 2 2 2S = + + + + 1.3 3.5 5.7 2009.2011 S= Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh Trang 16 Kinh nghiệm giải toán tính tổng dãy số viết theo quy luật 1 1 1 2S = − + − + − + + − 3 5 2009 2011 2S = − 2011 2010 2S = 2011 1005 S= 2011 1 1 Bài tốn tổng qt: Tính tổng 1.3 + 3.5 + 5.7 + + n.(n + 2) (Với n ∈ N , n lẻ) Giải: 1 1 1 1 1 1  1  n +1 + + + + − + − + − + + − 1− = =  ÷  ÷= 1.3 3.5 5.7 n.(n + 2)  3 5 n n +   n +  2n + Ta có cơng thức : 1 1 n +1 + + + + = 1.3 3.5 5.7 n.(n + 2) n + Ví dụ 5: Tính tổng (Với n ∈ N,n lẻ ) 5 5 + + + + 11.16 16.21 21.26 61.66 (Trích đề kiểm tra nghiệm thu lớp huyện Krơng Ana năm học 2012 - 2013) Giải: 5 5 1 1 1 1 1 −1 + + + + = − + − + − + + − = − = = 11.16 16.21 21.26 61.66 11 16 16 21 21 26 61 66 11 66 66 66 1 1 + + + Ví dụ 6: Tính tổng + + 66 176 336 248496 Giải: 1 1 1 1 + + + + + = + + + + 66 176 336 248496 1.6 6.11 11.16 496.501 1 5 5 1   1 1 1 + + + + −  ÷ = 1 − + − + − + + ÷  1.6 6.11 11.16 496.501   6 11 11 16 496 501  1  500 100 = 1 − = ÷=  501  501 501 1 1 Bài tốn tổng qt: Tính tổng 1.6 + 6.11 + 11.16 + + (5n − 4)(5n + 1) (Với n ∈ N* ) Giải: 1 1 1 1 1  + + + + − + − + + − =  ÷ 1.6 6.11 11.16 (5n − 4)(5n + 1)  6 11 5n − 5n +  1  5n n = 1 − = ÷=  5n +  5n + 5n + Ta có cơng thức : Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh Trang 17 Kinh nghiệm giải toán tính tổng dãy số viết theo quy luật 1 1 n + + + + = (Với n ∈ N* ) 1.6 6.11 11.16 (5n − 4)(5n + 1) 5n + Ví dụ 7: Tính tổng 5 5 + + + + 1002.1005 1005.1008 1008.1011 2010.2013 Giải: 5 5 + + + + 1002.1005 1005.1008 1008.1011 2010.2013  3 3  = × + + + + ÷  1002.1005 1005.1008 1008.1011 2010.2013   1 1 1 1  = × − + − + − + + − ÷  1002 1005 1005 1008 1008 1011 2010 2013   1  1011 1685 = × − = ÷=  1002 2013  1002.2013 32017026 Dạng 5: Tính tổng phân số có mẫu tích nhiều số tự nhiên liên tiếp Phương pháp giải: Muốn tính tổng phân số có mẫu tích nhiều số tự nhiên liên tiếp, ta tiến hành sau: - Tách phân số thành hiệu hai phân số theo cơng thức tổng qt sau đây: 1 * = − n ( n + 1) ( n + ) n ( n + 1) ( n + 1) ( n + ) (Với n ∈ N ) 1 * = − n ( n + 1) ( n + ) ( n + 3) n ( n + 1) ( n + ) ( n + 1) ( n + ) ( n + 3) (Với n ∈ N ) 1 * = − n ( n + 1) ( n + ) ( n + 3) ( n + ) n ( n + 1) ( n + ) ( n + 3) ( n + 1) ( n + ) ( n + 3) ( n + ) (Với n ∈ N ) ……………………………………………………………………………… k 1 = − n, k ∈ N* ) n(n + 1)(n + 2) (n + k) n(n + a) ( n + k − 1) (n + 1)(n + 2) (n + k − 1)(n + k) (Với - Tiến hành rút gọn cặp số hạng đối kể từ số hạng thứ hai đến số hạng kề cuối tính kết Các ví dụ: 1 1 + + + + 1.2.3 2.3.4 3.4.5 37.38.39 1 1 1  = =  − Phương pháp tách: ÷ 1.2.3 1.2.3  1.2 2.3  1 1 1  = =  − ÷ 2.3.4 2.3.4  2.3 3.4  Ví dụ 1: Tính tổng Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh Trang 18 Kinh nghiệm giải toán tính tổng dãy số viết theo quy luật 1 1 1  = =  − ÷ 3.4.5 3.4.5  3.4 4.5  ……………………… 1 1 1  = =  − ÷ 37.38.39 37.38.39  37.38 38.39  Giải: 1 1  1 1  1 1  1 1 − + + + +  =  −  +  −  +…+   1.2 2.3   2.3 3.4   37.38 38.39  1.2.3 2.3.4 3.4.5 37.38.39 1 1 1 1  1 1  11  + − + + − − =  =  −  =  −  1.2 2.3 2.3 3.4 37.38 38.39   1.2 38.39   38.39  741 − 1 740 370 185 = = = = 38.39 38.39 741 741 1 1 Bài tốn tổng qt: Tính tổng 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + n(n + 1)(n + 2) (Với n ∈ N* ) Giải:  1 1 1 + + + + =  − 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n + 1)(n + 2)  (n + 1)(n + 2)  n ( n + 3)  (n + 1)(n + 2) −  (n + 1)(n + 2) − n + 2n + n + − =  = = =   2(n + 1)(n + 2)  4(n + 1)(n + 2) 4(n + 1)(n + 2) 4(n + 1)(n + 2) Ta có cơng thức : n ( n + 3) 1 1 + + + + = 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n + 1)(n + 2) 4(n + 1)(n + 2) (Với n ∈ N* ) 1 1 + + + + 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 27.28.29.30 1 1 1  = =  − Phương pháp tách: ÷ 1.2.3.4 1.2.3.4  1.2.3 2.3.4  1 1 1  = =  − ÷ 2.3.4.5 2.3.4.5  2.3.4 3.4.5  1 1 1  = =  − ÷ 3.4.5.6 3.4.5.6  3.4.5 4.5.6  Ví dụ 2: Tính tổng ……………………… 1 1 1  = =  − ÷ 27.28.29.30 27.28.29.30  27.28.29 28.29.30  Giải: 1 1 1 1 1 1  + + + + =  − + − + + − ÷ 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 27.28.29.30  1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 27.28.29 28.29.30  1 1 1353 451  4059 =  − = = ÷=  1.2.3 28.29.30  24360 24360 8120 Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh Trang 19 Kinh nghiệm giải toán tính tổng dãy số viết theo quy luật 1 Bài tốn tổng qt: Tính tổng 1.2.3.4 + 2.3.4.5 + + n ( n + 1) ( n + ) ( n + 3) (Với n ∈ N* ) Giải: 1 + + + 1.2.3.4 2.3.4.5 n ( n + 1) ( n + ) ( n + ) 1 1 1 1 =  − + − + + −  1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 n ( n + 1) ( n + ) ( n + 1) ( n + ) ( n + )  ÷ ÷=  1 1 −   1.2.3 ( n + 1) ( n + ) ( n + )  ÷ ÷  Ta có cơng thức :  1 1 1 + + + =  − ÷÷ (Với n ∈ N* ) 1.2.3.4 2.3.4.5 n ( n + 1) ( n + ) ( n + )  1.2.3 ( n + 1) ( n + ) ( n + )  Ví dụ 3: 18 18 18 18 + + + + 10.11.12.13 11.12.13.14 12.13.14.15 96.97.98.99 18 1   = =  − Phương pháp tách: ÷ 10.11.12.13 10.11.12.13  10.11.12 11.12.13  18 1   = =  − ÷ 11.12.13.14 11.12.13.14  11.12.13 12.13.14  18 1   = =  − ÷ 12.13.14.15 12.13.14.15  12.13.14 13.14.15  Tính tổng ……………………… 18 1   = =  − ÷ 96.97.98.99 96.97.98.99  96.97.98 97.98.99  Giải: 18 18 18 18 + + + + 10.11.12.13 11.12.13.14 12.13.14.15 96.97.98.99 3 3   =  + + + + ÷ 96.97.98.99   10.11.12.13 11.12.13.14 12.13.14.15 1 1 1 1   =  − + − + − + + − ÷ 96.97.98 97.98.99   10.11.12 11.12.13 11.12.13 12.13.14 12.13.14 13.14.15 1 97.49.3 − 20 14239   =  − = ÷= × 97.98.99.20 3136980  10.11.12 97.98.99  5 5 + + + + Ví dụ 4: Tính tổng 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 96.97.98.99 Giải:  3 3 5 5  + + + + + + + + = × ÷  1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 96.97.98.99  1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 96.97.98.99 1 1 1   − + − + − + + − = × ÷ 96.97.98 97.98.99   1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 3.4.5 4.5.6 Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh Trang 20 Kinh nghiệm giải toán tính tổng dãy số viết theo quy luật 1 97.49.33 − 78424 392120  − = × = ÷= ×  1.2.3 97.98.99  97.98.99 470547 1411641  = × Dạng 6: Tính tổng phân số có mẫu tích nhiều số tự nhiên cách đều, khoảng cách hai thừa số lớn Muốn tính tổng phân số có mẫu tích nhiều số tự nhiên cách đều, khoảng cách hai thừa số lớn 1, ta tiến hành sau: - Tách phân số thành hiệu hai phân số theo cơng thức tổng qt sau đây: k 1 = − (Với n, k ∈ N* ) n(n + k) n n + k 2k 1 = − n, k ∈ N* ) (Với n(n + k)(n + 2k) n(n + k) (n + k)(n + 2k) 3k 1 = − n, k ∈ N* ) (Với n(n + k)(n + 2k)(n + 3k) n(n + k)(n + 2k) (n + k)(n + 2k)(n + 3k) 4k 1 = − (Với n, k ∈ N* ) n(n + k)(n + 2k)(n + 3k)(n + 4k) n(n + k)(n + 2k)(n + 3k) (n + k)(n + 2k)(n + 3k)(n + 4k) ……………………………………………………………… ak 1 = − n(n + k)(n + 2k) (n + ak) n(n + k)(n + 2k) (n + 2k − k) (n + k)(n + 2k) (n + 2k − k)(n + ak) (Với n, k, a ∈ N ) * - Tiến hành rút gọn cặp số hạng đối kể từ số hạng thứ hai đến số hạng kề cuối tính kết Các ví dụ: 4 4 + + + 3.5.7 5.7.9 7.9.11 23.25.27 1 = − Phương pháp tách: 3.5.7 3.5 5.7 1 = − 5.7.9 5.7 7.9 1 = − 7.9.11 7.9 9.11 Ví dụ 1: Tính tổng ………………… 1 = − 23.25.27 23.25 25.27 Giải: 4 4 + + + 3.5.7 5.7.9 7.9.11 21.23.25 Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh Trang 21 Kinh nghiệm giải toán tính tổng dãy số viết theo quy luật 1 1 1 1 − + − + − + + − 3.5 5.7 5.7 7.9 7.9 9.11 23.25 25.27 1 45 − 44 = − = = 3.5 25.27 675 675 36 36 36 36 + + + + Ví dụ 2: Tính tổng 1.3.5 3.5.7 5.7.9 25.27.29 36   = =  − Phương pháp tách: ÷ 1.3.5 1.3.5  1.3 3.5  36   = =  − ÷ 3.5.7 3.5.7  3.5 5.7  36   = =  − ÷ 5.7.9 5.7.9  5.7 7.9  = ………………… 36   = =  − ÷ 25.27.29 25.27.29  25.27 27.29  Giải: 36 36 36 36 + + + + 1.3.5 3.5.7 5.7.9 25.27.29 4   =  + + + + ÷ 25.27.29   1.3.5 3.5.7 5.7.9   260 260   =  − − = ÷ =  ÷ = 783 87  1.3 27.29   1.3 27.29  6 6 + + + Ví dụ 3: Tính tổng 4.7.10 7.10.13 10.13.16 25.28.31 1 = − Phương pháp tách: 4.7.10 4.7 7.10 1 = − 7.10.13 7.10 10.13 1 = − 10.13.16 10.13 13.16 ………………… 1 = − 25.28.31 25.28 28.31 Giải: 6 6 + + + 4.7.10 7.10.13 10.13.16 25.28.31 1 1 1 1 = − + − + − + + − 4.7 7.10 7.10 10.13 10.13 13.16 25.28 28.31 1 31 − 30 15 = − = = = 4.7 28.31 868 868 434 c Điều kiện để thực giải pháp, biện pháp: Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh Trang 22 Kinh nghiệm giải toán tính tổng dãy số viết theo quy luật Để thực giải pháp, biện pháp nêu phải đảm bảo điều kiện sau: - u cầu học sinh phải nắm thật kiến thức có liên quan đến tốn tính tổng dãy số viết theo quy luật Ghi nhớ dạng tốn phương pháp giải cho dạng - Học sinh biết nhận dạng tốn cụ thể, từ lựa chọn phương pháp giải hợp lí - Học sinh biết cách biến đổi từ tốn chưa biết cách giải tốn quen thuộc biết cách giải - Học sinh biết trình bày giải cách đầy đủ, xác khoa học - Giáo viên cần phân loại học sinh để có phương pháp tập u cầu phù hợp - Thường xun kiểm tra, hướng dẫn, sữa sai cho học sinh, lắng nghe ý kiến phản hồi học sinh để có hướng điều chỉnh d Mối quan hệ giải pháp, biện pháp: Dạng tốn tính tổng dãy số viết theo quy luật dạng tốn khơng thể thiếu chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi bậc trung học sở Các dạng tốn đưa đề tài có mối liên quan mật thiết với nhau, đề tài khơng áp dụng cho học sinh khối lớp mà làm sở để giải tốn liên quan lớp Trong q trình áp dụng vào thực tiễn giảng dạy, vai trò giáo viên việc tạo hứng thú học tập cho học sinh đặc biệt quan trọng Vì giáo viên phải thường xun đưa học sinh vào tình có vấn đề em tư duy, tự tìm tòi kiến thức qua dạng tốn Đồng thời phải biết động viên, khích lệ, biểu dương cố gắng em, trân trọng thành đạt em dù nhỏ e Kết khảo nghiệm, giá trị khoa học vấn đề nghiên cứu: -Kết khảo nghiệm: Đề tài thực lớp 6A3 lớp 6A4 năm học 2013 - 2014 Mặc dù hai lớp có nhiều học sinh yếu sau áp dụng đề tài, em có hứng thú học tập tiếp thu tốt Những em học sinh trung bình yếu tiến rõ rệt, em học sinh giỏi ngày linh hoạt tốn mức độ khó có tính trừu tượng cao Bảng thống kê: * Chất lượng học sinh chưa áp dụng đề tài: GIỎI LỚP KHÁ % 11,1 SL % 19,4 TRUNG BÌNH SL % 15 41.7 8,8 23,5 12 SĨ SỐ 6A3 36 SL 6A4 34 35,3 YẾU KÉM SL % 22,2 SL % 5,6 20,6 11,8 * Chất lượng học sinh áp dụng đề tài: Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh Trang 23 Kinh nghiệm giải toán tính tổng dãy số viết theo quy luật GIỎI LỚP KHÁ % 19,4 SL 12 % 33,3 TRUNG BÌNH SL % 12 33,3 17,6 11 32,4 10 SĨ SỐ 6A3 36 SL 6A4 34 29,4 YẾU KÉM SL % 13,9 SL % 14,7 5,9 -Giá trị khoa học: Bằng chút kinh nghiệm thân thực tiễn giảng dạy, tơi mạnh dạn đưa đề tài “Kinh nghiệm giải tốn tính tổng dãy số viết theo quy luật” đưa vào áp dụng Với kết đạt thống kê chưa cao phần góp phần khơi dậy niềm say mê học tập em học sinh Tơi hy vọng đề tài góp phần nhỏ bé vào việc nâng cao được chất lượng đại trà dạy học bợ mơn toán ngành giáo dục nói chung trường THCS Lê Đình Chinh nói riêng KẾT QUẢ - Trong q trình giảng dạy mơn Tốn, tơi nhận thấy việc hướng dẫn phương pháp giải tốn theo dạng giúp cho học sinh hình thành kỹ tự giải tốn tốt hơn, học sinh dễ dàng tiếp thu kiến thức cách có hệ thống hình thành khả tư logic, nâng cao lực tự học cho thân Cụ thể, dạy học tốn tính tổng dãy số viết theo quy luật, tơi hướng dẫn cho học sinh cách tìm quy luật dãy số, nhận dạng tập, tìm phương pháp giải ghi nhớ cơng thức tổng qt cho dạng Kết cho thấy học sinh tiếp thu tốt tự làm tập tương tự số tập đòi hỏi tư sáng tạo PHẦN III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Kết luận: Khi nghiên cứu đề tài: “Kinh nghiệm giải tốn tính tổng dãy số viết theo quy luật” tơi thấy việc áp dụng vào giảng dạy có hiệu quả, học sinh dễ hiểu hứng thú q trình tiếp thu kiến thức, em biết khai thác sâu tốn, biết tự đặt tốn mới, tránh sai lầm mà hay mắc phải Trên kinh nghiệm nhỏ giảng dạy mơn tốn, bước đầu chưa đem lại kết mĩ mãn mong đợi tơi nhận thấy tính ham học lòng say mê học tốn em nâng cao rõ rệt Mặc dù cố gắng chắn tơi chưa thể đưa vấn đề cách trọn vẹn được, mong đồng chí đồng nghiệp góp ý chân tình để đề tài hồn thiện Xin chân thành cảm ơn! Kiến nghị: * Đối với giáo viên: Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh Trang 24 Kinh nghiệm giải toán tính tổng dãy số viết theo quy luật Tận tâm với nghề dạy học, tìm tòi phương pháp để truyền thụ kiến thức đến học sinh đạt hiệu hơn, thường xun quan tâm đến chất lượng học tập học sinh, trân trọng thành đạt học sinh dù nhỏ * Đối với nhà trường: Tổ chức triển khai sáng kiến kinh nghiệm cấp trường, cấp huyện để giáo viên áp dụng đề tài đạt giải vào thực tiễn giảng dạy * Đối với phòng giáo dục: Tổ chức triển khai sáng kiến kinh nghiệm đạt giải cấp tỉnh để giáo viên nghiên cứu trao đổi học hỏi đồng nghiệp, tìm biện pháp hay Quảng Điền, tháng năm 2015 Người thực hiện: Nguyễn Văn Dũng NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN (Ký tên, đóng dấu) Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh Trang 25 Kinh nghiệm giải toán tính tổng dãy số viết theo quy luật Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh Trang 26 [...]... 1) Ta có cơng thức tính tổng các lập phương của các số tự nhiên lẻ liên tiếp từ 1 đến 2n + 1 như sau: 3 2 13 + 33 + 53 + + ( 2n + 1) = ( n + 1) ( 2n 2 + 4n + 1) (Với n ∈ N ) Dạng 4: Tính tổng của các phân số có mẫu là tích của hai số tự nhiên Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh Trang 14 Kinh nghiệm giải các bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật Ví dụ 1: Tính tổng Giải: Với k ∈ N* ,... 97.98.99 3 470547 1411641  = × Dạng 6: Tính tổng của các phân số có mẫu là tích của nhiều số tự nhiên cách đều, khoảng cách giữa hai thừa số lớn hơn 1 Muốn tính tổng của các phân số có mẫu là tích của nhiều số tự nhiên cách đều, khoảng cách giữa hai thừa số lớn hơn 1, ta tiến hành như sau: - Tách từng phân số thành hiệu của hai phân số theo các cơng thức tổng qt sau đây: k 1 1 = − (Với n, k ∈ N*... nắm thật chắc các kiến thức có liên quan đến bài tốn tính tổng của dãy số viết theo quy luật Ghi nhớ được các dạng bài tốn và phương pháp giải cho từng dạng - Học sinh biết nhận dạng được từng bài tốn cụ thể, từ đó lựa chọn phương pháp giải hợp lí - Học sinh biết cách biến đổi từ một bài tốn chưa biết cách giải về bài tốn quen thuộc đã biết cách giải - Học sinh biết trình bày bài giải một cách đầy đủ,... Trang 12 Kinh nghiệm giải các bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật C= 7 2008 −1 6 Bài tốn tổng qt: Tính tổng S = 1 + a + a2 + a3 + … + an (Với a ∈ N,a > 1, n ∈ N ) Giải: Với cách làm như ví dụ 1, ta có: a.S – S = an+1 – 1 (a – 1)S = an+1 – 1 S= a n +1 − 1 a −1 Ta có cơng thức: an +1 − 1 (Với a ∈ N,a > 1, n ∈ N ) a −1 Ví dụ 2: Tính tổng 12 + 22 + 32 + 42 + … + 1002 Phương pháp giải: Tổng trên... các bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật GIỎI LỚP KHÁ % 19,4 SL 12 % 33,3 TRUNG BÌNH SL % 12 33,3 17,6 11 32,4 10 SĨ SỐ 6A3 36 SL 7 6A4 34 6 29,4 YẾU KÉM SL 5 % 13,9 SL 0 % 0 5 14,7 2 5,9 -Giá trị khoa học: Bằng chút kinh nghiệm của bản thân và thực tiễn giảng dạy, tơi đã mạnh dạn đưa ra đề tài Kinh nghiệm giải các bài tốn tính tổng của dãy số viết theo quy luật và đã đưa vào áp dụng Với... một cách có hệ thống và hình thành được khả năng tư duy logic, nâng cao năng lực tự học cho bản thân Cụ thể, khi dạy học về bài tốn tính tổng của dãy số viết theo quy luật, tơi đã hướng dẫn cho học sinh cách tìm ra quy luật của dãy số, nhận dạng bài tập, tìm ra phương pháp giải và ghi nhớ cơng thức tổng qt cho từng dạng Kết quả đã cho thấy học sinh đã tiếp thu bài tốt hơn và có thể tự làm được các bài. ..  2 Ta có cơng thức tính tổng các lập phương của các số tự nhiên từ 1 đến n như sau: 2  n(n + 1)  3 3 3 3 3 1 + 2 + 3 + 4 + + n =  (Với n ∈ N* )   2  3 3 3 3 Ví dụ 4: Tính tổng 1 + 3 + 5 + … + 99 Phương pháp giải: Đây là tổng lập phương của các số lẻ liên tiếp Muốn tính tổng trên ta lập một tổng là tổng các lập phương của các số tự nhiên liên tiếp rồi trừ đi phần cộng thêm Giải: 13 + 33 + 53... cặp số hạng đối nhau kể từ số hạng thứ hai đến số hạng kề cuối rồi tính ra kết quả Các ví dụ: 1 1 1 1 + + + + 1.2.3 2.3.4 3.4.5 37.38.39 1 1 2 1 1 1  = =  − Phương pháp tách: ÷ 1.2.3 2 1.2.3 2  1.2 2.3  1 1 2 1 1 1  = =  − ÷ 2.3.4 2 2.3.4 2  2.3 3.4  Ví dụ 1: Tính tổng Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh Trang 18 Kinh nghiệm giải các bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật. .. 3100 c) C = 1 + 7 + 7 2 + 7 3 + + 7 2007 Phương pháp giải: Tổng trên là tổng của các lũy thừa có cùng cơ số, số mũ của các lũy thừa là các số tự nhiên được sắp xếp theo thứ tự tăng dần Để giải bài tốn này, ta nhân cả hai vế của biểu thức với cơ số của các lũy thừa, sau đó trừ từng vế của biểu thức mới cho biểu thức ban đầu rồi suy ra kết quả bài tốn Giải: a) A = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 +.. .Kinh nghiệm giải các bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật Bài tốn tổng qt: Tính tổng 1.4 + 2.5 + 3.6 +…+ n(n+3) (Với n ∈ N* ) Giải: Với cách làm như ví dụ 6, ta có: 1.4 + 2.5 + 3.6 +…+ n(n+3) = n(n + 1)(n + 2) n(n + 1) n(n + 1)(n + 5) + 2 = 3 2 3 Ta có cơng thức: ... nhiên cách đều, ta làm sau: - Tính số số hạng tổng theo cơng thức: (Số lớn – Số nhỏ nhất) : Khoảng cách + - Tính tổng theo cơng thức: (Số đầu + Số cuối) Số số hạng : Các ví dụ: Ví dụ 1: Tính tổng. .. Lê Đình Chinh Trang Kinh nghiệm giải toán tính tổng dãy số viết theo quy luật B= ( + 100 ) 50 = 102.25 = 2550 Bài tốn tổng qt: Tính tổng + + + +2n (Với n ∈ N* ) Giải: Với cách làm ví dụ 2, ta... TrườngTHCS Lê Đình Chinh Trang 10 Kinh nghiệm giải toán tính tổng dãy số viết theo quy luật Bài tốn tổng qt: Tính tổng 1.4 + 2.5 + 3.6 +…+ n(n+3) (Với n ∈ N* ) Giải: Với cách làm ví dụ 6, ta có: 1.4