SKKN kinh nghiệm giải các bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật

Dạng toán “tính tổng của dãy số viết theo quy luật” là dạng toán tương đối khó đối với học sinh lớp 6, tổng hợp nhiều kiến thức, các bài toán này rấtphổ biến trong các đề thi học sinh gi

MỤC LỤC

PHẦN I: MỞ ĐẦU

PHẦN II: NỘI DUNG

môn học khác Vì vậy việc học tập môn toán là rất quan trọng, học phải liên tục không ngừng Học sinh luôn giữ vai trò trung tâm, chủ động trong mọi hoạt động học tập Để giúp các em học tốt môn toán, người giáo viên ngoài việc giúp các em nắm được những kiến thức cơ bản, còn phải bồi dưỡng cho các em về mặt phương pháp giải các dạng toán là rất quan trọng Do vậy, mỗi giáo viên chúng ta cần phải tìm tòi, sáng tạo tìm ra phương pháp dạy học mới phù hợp với từng đối tượng học sinh

Trong chương trình Toán học ở trường trung học cơ sở hiện nay thì phần lớn hệ thốngcâu hỏi và bài tập đã được biên soạn phù hợp với trình độ kiến thức và năng lực của họcsinh Tuy nhiên có những dạng toán mà trong sách giáo khoa chỉ đưa ra một vài bài toándạng sao (*), chưa có phương pháp giải cụ thể, đòi hỏi học sinh phải vận dụng kiến thức

đã học để tư duy cách giải Dạng toán “tính tổng của dãy số viết theo quy luật” là dạng toán tương đối khó đối với học sinh lớp 6, tổng hợp nhiều kiến thức, các bài toán này rấtphổ biến trong các đề thi học sinh giỏi các cấp, đề thi toán qua mạng internet Qua nhiềunăm thực tế giảng dạy khối 6, tôi nhận thấy học sinh còn lúng túng khi đứng trước dạng toán này, học sinh chưa tìm ra quy luật của dãy số, không nhận dạng được từng bài toán

và chưa định ra được phương pháp giải Chính vì vậy, ngay từ lớp 6 giáo viên cần trang

bị cho các em học sinh các dạng toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật và cách giải cho từng dạng để các em có được kĩ năng tính toán và tư duy sáng tạo khi giải các bài toán dạng này Với những lý do đó, tôi chọn đề tài nghiên cứu: “Kinh nghiệm giải các bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật” với mong muốn góp phần nâng cao chất lượng bộ môn toán ở trường THCS, giúp học sinh lớp 6 giải được các bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật từ cơ bản đến nâng cao, đồng thời tôi cũng mong muốn được chia sẻ một vài kinh nghiệm giảng dạy của mình để đồng nghiệp tham khảo, rất mong được sự đóng góp chân thành để đề tài được phát huy hiệu quả

2 Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài:

Mục tiêu:

Thực hiện đề tài này nhằm mục đích:

- Góp phần nâng cao chất lượng bộ môn toán ở trường THCS, giúp học sinh lớp 6 giải được các các dạng toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật từ cơ bản đến nâng cao.-Rèn cho học sinh kĩ năng giải toán, khả năng dự đoán, tư duy sáng tạo, tính tự giác tíchcực

- Chia sẻ với đồng nghiệp kinh nghiệm về phương pháp tính tổng của dãy số viết theo quy luật

- Bản thân rèn luyện chuyên môn nhằm nâng cao nghiệp vụ sư phạm

Nhiệm vụ:

Những nhiệm vụ cụ thể của đề tài là:

- Liệt kê một số dạng toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật và phương pháp giải cho từng dạng, đề xuất bài toán tổng quát thông qua các ví dụ cụ thể đồng thời rèn cho học sinh tìm tòi lời giải, xem xét bài toán dưới dạng đặc thù riêng lẻ và lựa chọn phương pháp giải hợp lý

Phụ đạo và nâng cao kiến thức cho học sinh lớp 6A3, 6A4 trường THCS Lê Đình Chinh, xã Quảng Điền, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk.

4 Phạm vi nghiên cứu:

- Nghiên cứu về phương pháp giải một số dạng bài tập tính tổng của dãy số viết theo quy luật

- Nghiên cứu sách giáo khoa, tài liệu tham khảo, sách nâng cao toán 6

5 Phương pháp nghiên cứu:

- Nghiên cứu lí thuyết

- Điều tra, thực nghiệm, khảo sát kết quả học tập của học sinh

- Đưa ra tập thể tổ chuyên môn thảo luận

- Thực nghiệm giảng dạy chuyên đề cho học sinh lớp 6A3, 6A4 trường THCS Lê Đình Chinh, xã Quảng Điền, huyện Krông Ana

- Điều tra, đánh giá kết quả học tập của học sinh sau khi thực nghiệm giảng dạy chuyên đề

PHẦN II

NỘI DUNG

1 Cơ sở lí luận để thực hiện đề tài:

Nhằm đáp ứng được mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, con đường duy nhất lànâng cao chất lượng học tập của học sinh ngay từ nhà trường phổ thông Là giáo viên ai cũng mong muốn học sinh của mình tiến bộ, lĩnh hội kiến thức dễ dàng, phát huy tư duysáng tạo, rèn tính tự học, thì môn toán là môn học đáp ứng đầy đủ những yêu cầu đó Việc học toán không phải chỉ là học trong sách giáo khoa, không chỉ làm những bài tập do thầy, cô ra mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tòi vấn đề, tổng quát hoá vấn đề và rút ra được những điều gì bổ ích Dạng toán tính tổng của dãy số viết theo quyluật là dạng toán rất quan trọng trong chương trình toán 6 và làm cơ sở để học sinh làmtốt các bài toán có liên quan trong chương trình toán trung học cơ sở sau này Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh giải bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luậtmột cách chính xác, nhanh chóng và đạt hiệu quả cao Để thực hiện tốt điều này, đòi hỏigiáo viên cần xây dựng cho học sinh những kĩ năng như quan sát, nhận xét, đánh giá bàitoán, đặc biệt là kĩ năng giải toán, kĩ năng vận dụng bài toán, tuỳ theo từng đối tượng học sinh, mà ta xây dựng cách giải cho phù hợp trên cơ sở các phương pháp đã học và các cách giải khác, để giúp học sinh học tập tốt hơn

Quảng Điền là xã văn hoá năm 2010 và hiện nay đang phấn đấu xây dựng xã nông thôn mới vào năm 2015

- Hội cha mẹ học sinh hoạt động tích cực , phối hợp tốt với nhà trường trong các hoạt động, duy trì tương đối hiệu quả việc học tập của con em trong cộng đồng địa phương

- Hội khuyến học hết sức nhiệt tình, quan tâm đến phong trào giáo dục xã nhà nói chung và trường THCS Lê Đình Chinh nói riêng

- Phòng giáo dục và lãnh đạo nhà trường thường xuyên quan tâm tới tất cả các hoạt động chuyên môn của trường

- Bên cạnh đội ngũ giáo viên nhiều kinh nghiệm nhà trường còn có một đội ngũ thầy côtrẻ, khoẻ, nhiệt tình và hăng say công việc

- Đa số các học sinh khá giỏi đều ham thích học bộ môn toán

Khó khăn:

- Nhân dân xã Quảng Điền sống chủ yếu bằng nghề nông đời sống kinh tế còn nhiều khó khăn, tỉ lệ hộ nghèo còn khá cao, trình độ dân trí không đồng đều, thuộc lưu vực sông KrôngAna nên hằng năm xã Quảng Điền cũng chịu ảnh hưởng của lũ lụt Do đó một số bộ phận dân cư, hoàn cảnh gia đình còn khó khăn, chưa thực sự quan tâm đến việc học của con em mình dẫn đến ảnh hưởng không nhỏ đến việc đầu tư thời gian, vật chất, tinh thần cho con em học tập, nên ảnh hưởng phần nào đến kết quả học tập và rèn luyện của một số học sinh và kết quả phấn đấu của nhà trường

- Cơ sở vật chất còn chưa đảm bảo tốt cho việc dạy và học, nguồn đầu tư của địa

phương cho giáo dục hàng năm còn thấp

b Thành công, hạn chế:

Thành công:

Với nội dung của đề tài nghiên cứu: “Kinh nghiệm giải các bài toán tính tổng của dãy

số viết theo quy luật” sau khi đưa ra tập thể tổ chuyên môn thảo luận và áp dụng vào thực tiễn tôi nhận thấy rèn luyện được cho học sinh kĩ năng giải toán có khoa học, lập luận logic và chặt chẽ Học sinh hứng thú, chủ động hơn trong học tập

Hạn chế:

Để đề tài trên được áp dụng vào thực tiễn giảng dạy và đem lại hiệu quả cần phải có lượng thời gian nhất định Tuy nhiên trong phân phối chương trình môn toán 6 không cóthời lượng dành riêng cho vấn đề này Hơn nữa, sách giáo khoa chưa đề cập về cách giải

bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật Với những lý do trên đề tài khó có thể

áp dụng và đem lại hiệu quả mong muốn

c Mặt mạnh, mặt yếu:

Mặt mạnh:

Khi vận dụng đề tài này vào giảng dạy tôi nhận thấy phần lớn học sinh không còn lúng trong khi gặp dạng toán này, đa số các em đã nhận dạng được bài tập và đã biết lựachọn cách giải nhanh, gọn, hợp lí và trình bày lời giải tương đối chặt chẽ

Mặt yếu:

Dạng toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật là dạng toán tương đối trừu tượng

xử lý thế nào Điều đó cũng dễ hiểu vì tuy đã được học phần lý thuyết cơ bản song số bài tập để củng cố để khắc sâu, để bao quát hết các dạng thì lại không nhiều, không có sức thuyết phục để lôi kéo sự hăng say học tập của học sinh Mức độ kiến thức của dạngtoán này tương đối trừu tượng và phức tạp.

d Nguyên nhân:

Thực tế học sinh ở trường THCS Lê Đình Chinh tiếp thu bài còn chậm và vận dụng kiến thức từ lý thuyết vào làm bài tập còn hạn chế Các em còn nhầm lẫn và chưa thành thạo trong việc giải bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật Nguyên nhân chủ yếu của khó khăn trên là:

- Mức độ nắm kiến thức và kĩ năng vận dụng làm bài của một số học sinh hạn chế

- Học sinh không nhận ra được quy luật của dãy số

- Học sinh chưa phân loại được các dạng bài tập và chưa xác định được phương pháp giải cho từng dạng

- Do thời lượng luyện tập giờ chính khóa còn ít, vì vậy học sinh chưa có thời gian để ôntập, làm bài tập, giải bài tập nhiều

- Học sinh chưa thật sự yêu thích và không hứng thú đối với việc học môn Toán nên còn lười học ở nhà, trên lớp không chú ý nghe thầy cô giảng bài

e Phân tích, đánh giá các vấn đề về thực trạng mà đề tài đã đặt ra:

Đề tài : “Kinh nghiệm giải các bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật” góp phần nâng cao kiến thức, tư duy toán học, khả năng phân tích, tính toán cho học sinh, đồng thời giúp cho giáo viên trau dồi kiến thức, nâng cao chất lượng và hiệu quả giảng dạy

- Để giải được bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật đòi hỏi các em phải tìm rađược quy luật của dãy số, nhận ra những dạng bài tâp cơ bản thường gặp và phương pháp giải cụ thể cho từng dạng Các bài tập đưa ra trong đề tài này theo mức độ từ thấp đến cao để các em nhận thức chậm có thể làm tốt những bài toán ở mức độ trung bình, đồng thời kích thích sự tìm tòi và sáng tạo của những học sinh khá

- Như đã nói ở trên, trong phân phối chương trình của môn toán 6 không có thời lượng dành riêng cho vấn đề nghiên cứu này Do đó để thực hiện đề tài này, giáo viên cần phảilồng ghép vào các tiết luyện tập, các tiết ôn tập chương, các tiết ôn tập học kì 2, các tiết phụ đạo học sinh yếu kém và bồi dưỡng học sinh giỏi

- Trong quá trình giảng dạy môn Toán, vai trò của người thầy trong việc tạo hứng thú cho học sính đặc biệt quan trọng, do đó mỗi giáo viên phải thường xuyên đưa học sinh vào các tình huống có vấn đề các em tư duy, tự tìm tòi kiến thức mới qua mỗi dạng toán Đồng thời phải biết động viên, khích lệ, biểu dương sự cố gắng của các em, trân trọng thành quả đạt được của các em dù là rất nhỏ

- Ngày nay, phương pháp dạy học ở bậc THCS nói chung đã có nhiều biến đổi tích cực, điều kiện về vật chất ngày càng được nâng lên rõ rệt Nhưng để đạt được kết quả tốt yêu cầu mỗi giáo viên phải đầu tư nhiều thời gian cho việc soạn bài và đặc biệt là phải tận tụy với công việc, tránh tư tưởng chủ quan chỉ cho học sinh tìm hiểu ở mức độ sơ

sài, thiên về cung cấp lời giải Sự đầu tư thoả đáng của giáo viên sẽ được đền bù bằng khả năng giải bài tập chắc chắn, linh hoạt cuả học sinh.

3 Giải pháp, biện pháp:

a Mục tiêu của giải pháp, biện pháp:

Những giải pháp, biện pháp được nêu trong đề tài này nhằm mục đích trang bị cho học sinh lớp 6 một cách có hệ thống về phương pháp giải các dạng bài tập tính tổng của dãy số viết theo quy luật từ cơ bản đến nâng cao, nhằm giúp cho học sinh có khả năng vận dụng tốt dạng toán này, định hướng được các thao tác: quan sát, nhận dạng, lựa chọn phương pháp giải phù hợp cho từng dạng

b Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp:

Việc tính tổng của các biểu thức thông thường (hữu hạn số hạng) ta chỉ áp dụng đúng

thứ tự và quy tắc phép toán là có thể giải được bài toán Vấn đề đặt ra là cách khai thác

để giải bài toán tính tổng có dạng: Sn= a1+a2+a3+ +an (n=1,2,3…) thì chúng ta phải làmnhư thế nào ?

Sau đây là một số dạng bài cơ bản và phương pháp khai thác để giải các dạng bàitoán đó

Dạng 1: Tính tổng của các số tự nhiên cách đều.

Phương pháp giải:

Muốn tính tổng của các số tự nhiên cách đều, ta làm như sau:

- Tính số các số hạng của tổng theo công thức:

12.13.14 11.12.13 12.13

………

98.99.100 97.98.99 98.99

 

Ví dụ 3: Tính tổng C = 2.4 + 4.6 + 6.8 + 8.10 + … + 196.198 + 198.200

Phương pháp giải: Ta thấy mỗi số hạng của tổng là tích của 2 số tự nhiên chẵn liên tiếp

Do đó, để tách mỗi số hạng thành hiệu của 2 số nhằm triệt tiêu từng cặp số hạng với nhau ta nhân cả hai vế với 6 Thừa số 6 này được viết dưới dạng: (6 - 0) ở số hạng thứ nhất, (8 - 2) ở số hạng thứ hai, (10 - 4) ở số hạng thứ ba, ,(202 - 196) ở số hạng cuối cùng

Giải:

6.C = 2.4.6 + 4.6.6 + 6.8.6 + … + 196.198.6 + 198.200.6

6.C = 2.4.6+4.6.(8–2)+6.8.(10 – 4)+ … +196.198.(200 – 194)+198.200.(202 – 196)6.C = 2.4.6+4.6.8-2.4.6+6.8.10-4.6.8+…+196.198.200-194.196.198+198.200.202-96.198.200

Giải: 6.D =1.3.6 + 3.5.6 + 5.7.6 + … + 95.97.6 + 97.99.6

6.D =1.3.(5 + 1) + 3.5.(7 – 1) + 5.7.(9 – 3) + … + 95.97.(99 – 93) + 97.99.(101 – 95) 6.D =1.3.5+1.3.1+3.5.7–1.3.5+5.7.9–3.5.7+ … +95.97.99–93.95.97+ 97.99.101–

95.97.99

Ví dụ 5: Tính tổng E = 1.3 + 2.4 + 3.5 + + 99.101

Phương pháp giải: Để tính tổng E ta không nhân nhân cả 2 vế với cùng một số thích hợp

mà tách ngay một thừa số trong mỗi số hạng làm xuất hiện các tổng khác mà ta đã biết cách tính hoặc dễ dàng tính được

Bài toán tổng quát: Tính tổng 1.4 + 2.5 + 3.6 +…+ n(n+3) (Với n N  *)

3.4.5.6 2.3.4.5 3.4.5

………

98.99.100.101 97.98.99.100 98.99.100

3.4.5.6 2.3.4.5 3.4.5

2 n )(

1 n (

Ta có công thức:

    n(n 1)(n 2) n 3 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n n 1 n 2

Bài toán tổng quát: Tính tổng S = 1 + a + a2 + a3 + … + an (Với a N,a 1,n N    )

Giải: Với cách làm như ví dụ 1, ta có:

Bài toán tổng quát: Tính tổng 12 + 22 + 32 + 42 + … + n2 (Với n N  *)

Giải: Với cách làm như ví dụ 2, ta có:

Bài toán tổng quát: Tính tổng 13 + 23 + 33 + … + n3 (Với n N  *)

Giải: Với cách làm như ví dụ 2, ta có:

13 + 23 + 33 + … + n3

= 13 – 1 + 23 – 2 + 33 – 3 + 43 – 4 + 53 – 5 +…+ n3 – n + ( 1 + 2 + 3 + …+ n )

= 0 + 2( 22 – 1 ) + 3( 32 – 1 ) + 4( 42 – 1 ) + …+ n( n2 – 1 ) + ( 1 + 2 + 3 + 4 + …+ n ) = 0 + 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + …+ (n – 1 )n( n + 1 ) + ( 1 + 2 + 3 + 4 + … + n )

Phương pháp giải: Đây là tổng lập phương của các số lẻ liên tiếp Muốn tính tổng trên

ta lập một tổng là tổng các lập phương của các số tự nhiên liên tiếp rồi trừ đi phầncộng thêm

Bài toán tổng quát: Tính tổng 1 3  3 3  5 3  2n 1  3 (Với n N  )

Giải: Với cách làm như ví dụ 4, ta có:

1 5 3

1 4 3 2

1 3 2 1

1

5 4 3

1 4

1 2 1

1 2

1 3 2

1 2

1 38

1 38 37

1

4 3

1 3 2

1 3

1 2 1

1 2

1 2

1 2 1

1

6 5 4 3

1 5

4 3 2

1 4

3 2 1

Bài toán tổng quát: Tính tổng 1 1    1   

1.2.3.4 2.3.4.5  n n 1 n 2 n 3   

(Với n N  *) Giải:

= 53 1.2.3 97.98.99 1  1 

3

97.49.33 1 97.98.99



3

78424 470547

Để thực hiện giải pháp, biện pháp như đã nêu trên phải đảm bảo những điều kiện sau:

- Yêu cầu học sinh phải nắm thật chắc các kiến thức có liên quan đến bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật Ghi nhớ được các dạng bài toán và phương pháp giảicho từng dạng

- Học sinh biết nhận dạng được từng bài toán cụ thể, từ đó lựa chọn phương pháp giải hợp lí

- Học sinh biết cách biến đổi từ một bài toán chưa biết cách giải về bài toán quen thuộc

đã biết cách giải

- Học sinh biết trình bày bài giải một cách đầy đủ, chính xác và khoa học

- Giáo viên cần phân loại học sinh để có phương pháp và bài tập cũng như yêu cầu phù hợp

- Thường xuyên kiểm tra, hướng dẫn, sữa sai cho học sinh, lắng nghe ý kiến phản hồi của học sinh để có hướng điều chỉnh

d Mối quan hệ giữa các giải pháp, biện pháp:

Dạng toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật là dạng toán không thể thiếu trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi bậc trung học cơ sở Các dạng toán đưa ra trong

đề tài này có mối liên quan mật thiết với nhau, đề tài này không chỉ áp dụng cho học sinh khối lớp 6 mà còn làm cơ sở để giải các bài toán liên quan ở lớp trên Trong quá trình áp dụng vào thực tiễn giảng dạy, vai trò của giáo viên trong việc tạo hứng thú học tập cho học sinh đặc biệt quan trọng Vì vậy mỗi giáo viên phải thường xuyên đưa học sinh vào các tình huống có vấn đề các em tư duy, tự tìm tòi kiến thức mới qua mỗi dạng toán Đồng thời phải biết động viên, khích lệ, biểu dương sự cố gắng của các em, trân trọng thành quả đạt được của các em dù là rất nhỏ

e Kết quả khảo nghiệm, giá trị khoa học của vấn đề nghiên cứu:

-Kết quả khảo nghiệm:

Đề tài này được thực hiện đối với lớp 6A3 và lớp 6A4 năm học 2013 - 2014 Mặc dù hai lớp này có rất nhiều học sinh yếu nhưng sau khi áp dụng đề tài, các em đã có sự hứng thú học tập và tiếp thu bài tốt Những em học sinh trung bình và yếu thì tiến bộ rõ rệt, những em học sinh khá giỏi thì ngày càng linh hoạt trong các bài toán ở mức độ khó

có tính trừu tượng cao

* Chất lượng học sinh khi đã áp dụng đề tài: