skkn một số phương pháp giải phương trình có chứa căn

GV:Nguyễn Anh Tuấn Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh MỤC LỤC MỤC LỤC 1 I.DẠNG (1) 2 1.Ph ng pháp:ươ 2 1.Ph ng pháp:ươ 2 (1) có 2 nghi m ptrình g(x)=3m có 2 nghi m trên mi n [-2;+)1 ( cho kq)ệ ệ ề 3 2.Bài t p:ậ 3 1.Ph ng pháp:ươ 5 2.Bài t p:ậ 6 3.Bi n đ i b ng cách nhân ho c chia 2 v c a p trình cho 1 bi u th c ph r i đ t n ph :ế ổ ằ ặ ế ủ ế ứ ụ ồ ặ ẩ ụ 6 1 GV:Nguyễn Anh Tuấn Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN I. DẠNG ( ) ( )f x g x= (1) 1. Phương pháp: Phương trình (1) ⇔ 2 ( ) 0 ( ) [ ( )] g x f x g x ≥   =  Vd1: Giải phương trình: 2 2 5 4x x+ − = 2x -1 (1) Giải: (1) 2 2 2 1 0 2 5 4 (2 1) x x x x − ≥  ⇔  + − = −  ( giải hệ trên cho kq) Vd2: Tìm m để phương trình sau vô nghiệm: 2 3 2 4x x m− + − = x+1 (1) Giải: (1) ⇔ 2 2 1 3 2 4 ( 1) x x x m x ≥ −   − + − = +  2 1 2 4 5 x x x m ≥ −  ⇔  − = −  Dùng bảng bthiên của hsố g(x)= 2x 2 -4x trên [-1;+ ∞ ) (1) vô nghiệm ⇔ ptrình g(x)=5-m vô nghiệm trên [-1;+ ∞ ) 2. Bài tập: 1.Giải phương trình: 1/ 2 4x x− + +2=2x 2/ 2 6 6 2 1x x x− + = − . 3/ 4 3. 10 3x− − =x-2 4/ 2 4 3 3 1x x x− + = − 5/ 2 4 5 2 1x x x− + = − 6/ (x+1)(x+4) - 5. 2 5 28x x+ + =0 2.Tìm m để phương trình sau vô nghiệm: 1. 2 4 3x x x m− + = − 2. 2 4 2 1x x m x− + = − II. DẠNG ( ) ( )f x g x= (1) 1. Phương pháp: Phương trình (1) ( ) 0 ( ) ( ) f x f x g x ≥  ⇔  =  Vd1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2 2 4 3 1 1x x m x− − + − = − (1) 2 GV:Nguyễn Anh Tuấn Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh Giải: (1) ⇔ 2 1 3 2 5 x m x x ≥   = +  ; xét hàm số f(x)=2x 2 +5x trên miền [1;+ ∞ ) Lập bảng biến thiên của f trên miền [1;+ ∞ ) (1) có nghiệm ⇔ ptrình f(x)=3m có nghiệm trên miền [1;+ ∞ ) 3m ⇔ ≥ 7 ( cho kq) Vd2: Tìm m để phương trình sau có đúng 2 nghiệm: 2 2 4 3 1 2x x m x− − + − = + Giải: (1) ⇔ 2 2 3 2 5 3 x m x x ≥ −   = + +  ; xét hàm số g(x)=2x 2 +5x+3 trên miền [-2;+ ∞ ) Lập bảng biến thiên của f trên miền [-2;+ ∞ ) (1) có 2 nghiệm ⇔ ptrình g(x)=3m có 2 nghiệm trên miền [-2;+ ∞ ) 1 3 8 m − ⇔ < ≤ 1 ( cho kq) 2. Bài tập: Bài 1: Giải các phương trình: 1/ 2 2 4 3 2 8x x x x− + = + − 2/ 2 1 4 5 2x x x− = − − 3/ 2 2 1 5 2x x x− = − − Bài 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm : 1/ 2 2 3 2x mx x x− + = + 2/ 2 2 4 3 2 8x x x mx− + = + − 3/ 2 1 4 2x x mx− = − − III. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG: 1. Phương pháp: Khi giải một phương trình dạng f(x)=g(x) (1); ta thường biến đổi (1) tương đương đến 1 phương trình Đã biết cách giải hoặc đơn giản hơn: Vd1: Giải phương trình: 3 2 4 6x x x− + + = 2x. 1x + +2x-2x 2 +(x-1) 2 5 6x x− + (1) Giải: Đk: x ∈ [-1;2] ∪ [3;+ ∞ ) ; NX: x 3 -4x 2 +x+6=(x+1)(x 2 -5x+6) (1) ⇔ ( ) ( ) 2 5 6 2 . 1 1x x x x x− + − + − + =0 ( ) ( ) 2 5 6 2 0 1 1 0x x x x x⇔ − + − = ∨ + + − = • 2 5 6 2x x x− + = (dạng 1/) • 1 1x x+ = − ( cho kq) Vd2: Giải phương trình: 5[ 4 1 3 2x x+ − − ] = x+3 (1) Giải: đk: x ≥ 2/3 3 GV:Nguyễn Anh Tuấn Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh (1) ⇔ 5[ 4 1 3 2x x+ − − ] = (4x+1) –(3x-2) ⇔ 5[ 4 1 3 2x x+ − − ] = ( 4 1 3 2x x+ − − ).( 4 1 3 2x x+ + − ) ⇔ ( 4 1 3 2x x+ − − =0) hoặc ( 4 1 3 2x x+ + − = 5) (cho kq) 2. Bài tập: Giải các phương trình: 1/ 6 1 2 1x x+ − + =2 6/ 5 3 2 4x x x− + + = + 2/ 1 4 1x x+ − − = 7/ 1+ 1 6x x− = − 3/ 3 2 1 2 1 2 x x x x x + + − + − − = 8/ 5 1 3 2 1 0x x x− − − − − = 4/ 2 2 3 3 5x x x+ − − = + 9/ 3 4 2 1 3x x x+ − − = + 5/ 2 3 5 2x x− + − - x 2 +4x-6=0 10/ 3 7 1x x+ − + = 2 IV. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH BẰNG 0: 1. Phương pháp: Cho phương trình: g(x)=f(x) (1) Dùng phép biến đổi tương đương để đưa : (1) 1 ( ) 0 n k k f x = ⇔ = ∏ ( ) 1 ( ) 0f x ⇔ = ∨ …. ∨ ( ) ( ) 0 n f x = với x thuộc miền xác định của (1) Vd1: Giải phương trình: ( ) 3 2 3 3 3 2 1 2x x x x+ + + − + =1 (1) Giải: (1) ⇔ [(x+1)-(x-2)] + ( ) 3 2 3 3 3 2 1 2x x x x+ + + − + = 0 Đặt u= 3 1x + ; v = - 3 2x + ta có: (1) thành u 3 +v 3 -u.v(u+v) =0 ⇔ (u+v)(u-v) 2 = 0 ( cho kq) Vd2: Giải phương trình: 2 6 8 8x x− − + (x+2). 2 4x − = x 2 +x-2 +(x-1). 3 2x + (1) Đk: x ≥ 2; Nx: 2 6 8 8x x− − = 2 4x − . 3 2x + ; x 2 +x-2 = (x-1)(x+2) Đặt u= 2 4x − ; v= 3 2x + ; t= x+2; h=x-1 (1) thành: u.v+ t.u = t.h +h.v do đó: u(t+v)=h(t+v) nên Hoặc u=h hay t+v= 0 ( cho kq) 2. Bài tập: Giải phương trình: 1/ 2 2 2 8 6 1 2 2x x x x+ + + − = + 2/ ( 1) ( 2)x x x x− + + =2 2 x 3/ 3(x-2). 2 2 1 6x x x− = + − 4/ 3 2 1 1 3 2 x x x x x − − = − − 5/ 2. 3x + -1 = 2. 2 1x − + 2 2 5 3x x+ − -2x 6/ x+2. 7 x− = 2. 1x − + 2 8 7x x− + − +1 . 4 GV:Nguyễn Anh Tuấn Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh 7/ x. 5 3x + = x 2 -x-2 - 5 3x + 8/ 2. 2 9x − =(x+5). 3 3 x x + − 9/ 2 3 2 1 2 4 3x x x x x x+ + + = + + + 10/ 23 3 3 1 2 1 3 2x x x x+ + + = + + + 11/ 3 32 2 3 3 1x x x x x+ + = + + 12/ 4 3 4 3 x x x x + + = + 13/ 2 16 10 9x x+ − +5= 8 9x + +5. 2 1x − 14/ x. 2 x− =x 2 -x-2 - 2 x− . 15/ ( ) 2 3 5 4 3 2 9 3 x x x x − + − + + +15=5 2 9x + 16/ 2 2x x− + 2 3x x+ =2x V. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ: 1. Phương pháp: Khi giải 1 phương trình lượng giác ẩn x đôi khi ta dùng phép biến đổi tương đương để nhân được phương trình chứa 1 ẩn là biểu thức của hàm số theo biến x, lúc này dùng ẩn số mới ta được 1 phương trình đơn giản hơn. Vd1: Giải phương trình: 16+ 4 3 2 1x x+ + + = 2 8 10 3x x+ + +6x (1) Giải: Đặt t= 4 3 2 1x x+ + + thì t ≥ 0 và 6x+ 2 8 10 3x x+ + = t 2 -4 (1) tương ứng t 2 -t-20 = 0 ( cho kq) Vd2: Giải phương trình: (13-4x) 2 3x − +(4x-3) 5 2x− =2+8 2 16 4 15x x− − (1) Giải: Đk: x 3 5 [ ; ] 2 2 ∈ .Đặt u= 2 3x − và v= 5 2x− thì: 2 2 2 2 . 16 4 15 u v u v x x  + =   = − −   Thay vào (1) cho: (2v 2 +3).u+(2u 2 +3)v = 2+8u.v =u 2 +v 2 +8u.v ⇔ 2u.v(u+v)+3(u+v)=(u+v) 2 +6uv ⇔ (u+v-3)(2uv-u-v) = 0 Cho ta kq. Vd3: Giải phương trình: (x+2)[ 2 3 2 1x x+ − + ] + 2 2 5 3x x+ + =1 (1) Giải: Đk: x ≥ -1 . Đặt u= 2 3x + ;v= 1x + thì: 2 2 2 2 2 ; 0 . 2 5 3 2 1 2 u v u v x x u v u v x ≥   = + +   − =   − = +  Pt cho: (u 2 -v 2 )(u-2v) + u.v =1 = u 2 –2v 2 ⇔ (u+v)[(u-v)(u-2v)-(u-2v)] = 0 cho kq. 5 GV:Nguyễn Anh Tuấn Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh Vd4: Giải phương trình: x+ x + 2 1x x x− + − = 2 (1) Giải: đk:x ≥ 1 Đặt t= x + 1x − thì t ≥ 1 và t 2 = 2x-1 +2 ( 1)x x − Thế vào (2) cho: t+ 2 1 2 t + =2 (cho kq) 2. Bài tập: Giải các phương trình: 1/ x+ 2 26 x− +x. 2 26 x− =11 2/ 3 3 2 1 1 1 2 2 x x x + + + =2 3/x+ 1 1 2 2 4 x x+ + + = 4/ 3 3 3 1 2 2 3x x x− + − = − 5/ 2 1 4 3 4 5x x x x+ + − + − + + = 6/ 1+ 2 2 1 3 x x x x− = + − 7/ 2 2 4 2 3 4x x x x+ − = + − 8/ 2 2 3 3 3 6 3x x x x− + + − + = 9/ 2 2 3 2x x x x− + − + − =1 10/ 2 2 2 2. 4 2 2x x x x− − + = − − + 11/ 2 1 2 1 2x x x x+ − − − − = 12/ 2 2 2 2 2 1 2 1 2. 2x x x x x+ − − − − = + 13/ 2 2 2 5 2 2. 2 5 6 1x x x x+ + − + − = 14/ 2 2 1 1 2x x x x− − + + − = 15/ 2x 2 -9+ 2 2 3x x− − = 4x 16/ 2 2 1 2. 2x x x x+ + − + + − =11-2x . 17/ (x+1)(x-3). 2 2 3x x− + + =2-(x-1) 2 18/ (x-1) 2 +2(x+1). 3 1 x x − + = 12 19/ 3 2x − + 1x − =4x-9+2. 2 3 5 2x x− + 20/ 13x+2(3x+2) 3x + +42=0 3. Biến đổi bằng cách nhân hoặc chia 2 vế của p trình cho 1 biếu thức phụ rồi đặt ẩn phụ: Giải các phương trình: 1/ x 2 +2.x 1 x x − =3x+1 2/ x 2 + 3 4 2 x x− =2x+1 VI. ĐƯA PHƯƠNG TRÌNH ĐỀ RA VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2: 1. Phương pháp : Khi gặp phương trình chứa căn f(x)=g(x) (1); ta có thể dùng ẩn phụ hợp lý để đưa (1) về phương trình bậc hai với ẩn phụ; và phương trình này cho ta biểu diển ẩn mới theo ẩn củ từ đó ta nhận được các phương trình đơn giản hơn. Vd1: Giải phương trình: 6x 2 -10x+5 – (4x-1). 2 6 6 5x x− + =0 (1) Giải: 6 GV:Nguyễn Anh Tuấn Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh Đặt t= 2 6 6 5x x− + thì t ≥ 0 và t 2 +6x-5 = 6x 2 ; thay vào ptrình ta có: t 2 -4x –(4x-1).t= 0 (2); coi (2) là ptrình bậc 2 ẩn t có ∆ = (4x-1) 2 +16= (4x+1) 2 Do đó: t= 4x hoặc t = -1 ( cho kq) Vd2: Giải phương trình: (3x+2) 2 3x − = 2x 2 +3x-6 (1) Giải: Đặt t= 2 3x − thì t ≥ 0 và 2x=t 2 +3 . Thay vào ptrình: t 2 – (3x+2)t +2x 2 +x-6 = 0 (2) Coi (2) là ptrình bậc 2 ẩn t có ∆ =(x+4) 2 nên cho t=2x+3 hay t= x-1 Vd3: Giải phương trình: x 2 +2(x-1). 2 1x x+ + -x+2 = 0 (1) Giải: (1) ⇔ (x 2 +x+1)+2(x-1). 2 1x x+ + -2(x-1)-1 = 0 Đặt t= 2 1x x+ + thì t>0 (1) thành t 2 +2(x-1)t-2x+1 = 0 (1) Coi (2) là ptrình bậc 2 ẩn t thi cho: t=1 hoặc t=1-2x Từ đó cho ta kq. 2. Bài tập: 1/ 2(1-x) 2 2 1x x+ − =x 2 -2x-1 2/(4x-1) 2 1x + =2x 2 +2x+1 . 3/ (x+1). 2 2 3x x− + =x 2 +1 4/ (x+3) 2 10 x− =x 2 –x-12 (d99) 5/ 2 2 3 1 ( 3). 1x x x x+ + = + + 6/ x 2 +(3- 2 2x + ).x=1+2. 2 2x + 7/ x(x-2)+ 4 4x + = 8/ (2x+5). 2 2 5 6x x x x+ = + + 9/ 2x 2 +3x-5 = (x+1). 2 2x x+ − 10/ x 2 +5x+1=(x+4). 2 1x x+ + 11/ 6x 2 +3x+1=(4x-1). 2 3 4 1x x+ + 12/ x 2 +3x+1 = 2 2 3x + 13/ 4x 2 +22+ 3 2x − =21x 14/ 51. 2x − =3x 2 -58x+110 15/ x 2 +x. 3 1x − +2 = 6x 16/ 3. 3x + =3x 2 +4x-1 VII. PHƯƠNG PHÁP NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP: 1. Phương pháp: Một trong những cách giải 1 phương trình chứa căn đôi khi ta đoán 1 nghiệm đặc biệt của phương trình để liên kết lương liên hợp và đưa đến nhân tử chung liên quan đến nghiệm của phương trình: Vd1: Giải phương trình: 2x 2 -11x+21 = 3 4 4x − (1) Giải: (1) ⇔ (x-3)(2x-5) =3[ 3 4 4x − -2] 7 GV:Nguyễn Anh Tuấn Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh ⇔ (x-3)(2x-5) = 2 3 3 12( 3) (4 4) 2 4 4 4 x x x − − + − + a/ x=3 là 1 n 0 b/ 2x-5 = 2 3 3 12 (4 4) 2 4 4 4x x− + − + (2) Xét x>3 thì 2x-5>1 còn t= 3 4 4x − >2 nên t 2 +2t+4>12 hay VP(2) <1 nên (2) không có n 0 >3 Xét x<3 thì 2x-5 <1 còn 0<t 2 +2t+4<1 nên VP(2) >1 ( tt trên ) Vậy: (1) chỉ có 1 n 0 x=3 Vd2: Giải phương trình: 2 33 1 2x x x− + = − Giải: Đk 3 2x ≥ Nhận thấy x=3 là nghiệm của phương trình, nên ta biến đổi phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 2 3 2 2 3 3 3 3 9 3 1 2 3 2 5 3 1 2 5 1 2 1 4 x x x x x x x x x x x   − + + +   − − + − = − − ⇔ − + =   − + − + − +     Ta chứng minh: ( ) ( ) 2 2 2 2 23 3 3 3 3 1 1 2 1 2 1 4 1 1 3 x x x x x + + + = + < − + − + − + + 2 3 3 9 2 5 x x x + + < − + Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=3 Vd3: Giải phương trình: 2 2 2 9 2 1 4x x x x x+ + + − + = + (1) Giải: Xét phương trình: 2 2 2 9 2 1x x x x+ + = − + cho ta: x = -4 Ta thấy x=-4 ko là nghiệm của (1) : xét x ≠ -4 thì: (1) ⇔ 2(x+4)=(x+4)[ 2 2 2 9 2 1x x x x+ + − − + ] Do x khác -4 nên có 2 2 2 9 2 1x x x x+ + − − + =2 (2) (1) và (2) cho kq . Vd4: Giải phương trình: 2 2 12 5 3 5x x x+ + = + + (1) Giải: gt cho: x ≥ 5/3 (i) Dùng máy tính nhận x=2 là nghiệm nên biến đổi như sau (1) ⇔ 2 12x + - 4=3(x-2)+ 2 5x + -3 ⇔ (x=2) hoặc ( 2 2 2 2 12 4 5 3 x x x x + + − + + + + -3 = 0) (2) ko có nghiệm x thỏa (i) Vd5:Giải phương trình: 8 GV:Nguyễn Anh Tuấn Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh 2 1x − +x 2 -3x+1 = 0 (1) Giải: đk:x ≥ 1/2; điểm rơi x= 1 (1) ⇔ 2 1x − -x +x 2 -2x+1 = 0 ⇔ (x=1) hoặc ( 1 2 1x x− + =1) ( cho kq ) Vd6: Giải phương trình : 2 3 13 3( 2 8 )x x x + + + − =18x-103 Giải: Đk: x ≥ -4 ⇔ 3 13x + +3 2 8x + = 3x 2 +18x-103 ⇔ ( 3 13x + -5) + 18 72x + -12) = 3(x-4)(x+10) ⇔ 3( 4) 3 13 5 x x − + + + 18( 4) 18 72 12 x x − + + =3(x-4)(x+10) ⇔ (x=4) ∨ [ 1 3 13 5x + + + 2 2 8 4x + + -(x+10)=0] Xét pt 1 3 13 5x + + + 2 2 8 4x + + -(x+10)=0 (2) Ta thấy: x ∀ ≥ -4 thì: 1 3 13 5x + + + 2 2 8 4x + + < 1 1 7 5 2 10 + = ; x+10 ≥ 6 Do đó: VP ( của (2)) <0 nên (3) không có nghiệm u ≥ -4. Vậy: (1) có nghiệm duy nhất x= 4 . 2. Bài tập 1/ 3 4 1 3 2 5 x x x + + − − = 2/ 3(2 2) 2 6x x x+ − = + + . 3/ 2 2 2 2 3 7 3 2 3 5 1 3 4x x x x x x x− + − − = − − − − + 4/ 1 4 9x x x x− + = + − + 5/ 2 2 3 2 6 3 2( )x x x x x x + + + + + = + 6/ ( ) 2 2 4. 1 1 2 x x− + =2x+9. 7/ x 2 +(3- 2 2x + ).x = 1+2. 2 2x + 8/ 1 2 1 2 1 3 1 x x = − + + 9/ 2x 2 -11x+21-3. 3 4 4x − =0 10/ ( ) ( ) 2 2 3 1 4 3x x x x x+ − + + + + = 2x 11/ 2 4x + -2. 2 x− = 2 6 4 4 x x − + 12/x 2 +9x+20=2. 3 10x + . 13/ 2 12x + +5=3x+ 2 5x + 14/ 2 3x x− − =2x-6 15/ 3 4 5x x+ − − +3x 2 -8x-19 = 0 16/ 1 3 4 2 x x x + + + 1 = 0 17/ 3 2 9 3 1 3 x x x x x − − = + + + 18/ 10 1 3 5 9 4 2 2x x x x+ + − = + + − 19/ 2 2 2 2 3 5 1 2 3( 1) 3 4x x x x x x x− + − − = − − − − + 20/ x 2 +9x+20 = 2. 3 10x + 21/ 2 2 2 2 3 7 3 2 3 5 1 3 4x x x x x x x− + − − = − − − − + 22/ 3 2 2 2 3 8 2 15x x x+ + − = − 9 GV:Nguyễn Anh Tuấn Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh 23/ 2 3 5 1 9 2 3 1x x x x− + − = + − 24/ 2 3 6 7 1x x x+ + = − − VIII. DÙNG TÍNH ĐẲNG CẤP CỦA MỘT ĐA THỨC 2 ẨN: 1. Phương pháp: Một biểu thức có dạng: F(u;v)= a 1 .u n +a 2 .u n-1 .v+a 3 .u n-2 .v 2 +….+a n .u.v n-1 +a n+1 .v n trong đó các a k là hằng số (mọi k) còn u; v là các biến số thì F(u; v) được gọi là biểu thức đẳng cấp bậc n theo u; v Một phương trình có dạng: a 1 .u n +a 2 .u n-1 .v+a 3 .u n-2 .v 2 +….+a n .u.v n-1 +a n+1 .v n = 0(u;v là biểu thức chứa ẩn được gọi là phương trình đẳng cấp bậc n theo ẩn u;v Vd1: Giải phương trình: 2 2 5 14 9 20 5. 1x x x x x+ + − − − = + (1) Giải: đk: x ≥ 5. (1) ⇔ 2 2 5 14 9 20 5. 1x x x x x+ + = − − + + ⇔ 2x 2 -5x+2=5. ⇔ 2(x 2 -4x-5)+3(x+4)=5. 2 ( 4 5)( 4)x x x− − + ; do x ≥ 5 nên x+4>0 và x 2 -4x+5 ≥ 0 nên có thể coi t= 4x + và u= 2 4 5x x− − ; ta nhận được p trình : 2u 2 +3t 2 = 5.u.t (2) (2) ⇔ (u=t) hay (2u=3t) TH1: u=t ta có: x 2 -4x-5= x+4 cho ta kết quả TH2: 2u=3t ta có 4(x 2 -4x-5)=3(x+4) cho ta kết quả Vd2: Giải phương trình: 3 2 6 7 2x x x+ + − = - 2x 2 +2x+22 Giải: (1) ⇔ 2 ( 2)( 4 1)x x x+ + − = -2x 2 +2x+22 Đk: x [ 5 ∈ − -2;-2] ∪ [ 5 -2;+ ∞ ) Ta thấy: -2x 2 +2x+22 = 10(x+2) -2(x 2 +4x-1) (1) ⇔ 2 ( 2)( 4 1)x x x + + − =10(x+2) -2(x 2 +4x-1) . Ta thấy: x=-2 không là nghiệm phương trình Với x ≥ 5 -2 thì (1) tương ứng 2t 2 +t-10 =0 cho ta t= 2 ;t=-5/2 với t = 2 4 1 2 x x x + − + ≥ 0 Do đó: 2 4 1 2 x x x + − + =2 ⇔ (x= 5 ) 5x ∨ = − ; so đk ta được x= 5 Với x ∈ [ 5 2; 2) − − − thì (1) tương ứng 2t 2 –t-10 = 0 cho ta t=-2; t=5/2 với t = 2 4 1 2 x x x + − + ≥ 0 Do đó: 2 4 1 2 x x x + − + = 5/2 ⇔ 4x 2 -9x-54 =0 9 945 8 x ± ⇔ = ; so đk ta được x= 9 945 8 − Tập nghiệm ptrình S = 9 945 5; 8   −         Vd3: Giải phương trình: 1x + .(3x 2 +x+1) =x 3 +3x 2 10 [...]... 30 x 2 + 2 x + 2 x − 1 = 3x 2 + 4 x + 1 2 (x2+8)=5 x 3 + 8 PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH: IX 1 Phương pháp: Khi gặp phương trình chứa căn dạng f(x)=g(x) (1); đơi khi ta dùng phương pháp đặt ẩn phụ để từ từ trình ban đầu và ẩn phụ từ đó ta nhận được 1 hệ phương trình và việc giải hệ có thể đon giản hơn phương trình ban đầu Vd1: Giải phương trình: 15 (30x2-4x)=2004 ( 30060 x + 1 +1) (1) 2 11 GV:Nguyễn... Thế Vinh DÙNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH: XIV 1 Phương pháp: Một trong các phương pháp giải hệ phương trình là ta biến đổi tương đương 1 phương trình nào đó của hệ để được 1 phương trình dạng: f(u)=f(v) ;trong đó: f là hàm số đơn điệu và liên tục trên 1 khoảng (a;b) còn u;v chạy trên khoảng (a;b) rồi dùng mệnh đề: Cho hsố y=f(x) đơn điệu và liên tục trên khỏang (a;b) Ta có:  f (u ) = f (v) ⇔ u... hàm số: a Phương pháp: Một trong các cách giải 1 ptrình đơi khi ta biến đổi 1 phương trình để cho về dạng: f(x) = c (2) với C là 1 hằng số nào đó , ta thực hiện các bước: 1/Bước 1: Lập bảng biến thiên của hàm số trên miền xác định của phương trình 2/Bước 2: Từ bảng biến thiên ta nhận đỉnh được (2) có tối đa bao nhiêu nghiệm và dùng máy tính để tìm được các nghiệm phương trình (2) và kết luận Chú ý: Phương. .. 9/ 3 x − 2 = 8x3-60x2+151x-128 PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH: XI n ∑F j =1 2 j ( x) = 0 1 Phương pháp: Dùng mệnh đề : n ∑F j =1 2 j ( x) = 0 ⇔ F1 ( x) = F2 ( x) = = Fn ( x) = 0 Vd: Giải phương trình: 3 2 2 9 x 2 − 12 x + 4 − 2 3 3x − 2 +5x -x+1-8x 4 4 x − 3 +4 4 x − 3 -2(x-1) x 2 − x +6x -3x+2 =0 Giải: Dựa vào việc xuất hiện các số hạng chứa bình phương của tổng ta có thể dể dàng biến đổi (1) ⇔ (... x ; Ph trình có nghiệm duy nhất x=1 3  3x − 2 = 1  2 Bài tập: Giải các phương trình: 1/ 10 x + 61 − 6 4 10 x + 61 − 2( x + 1) 4 x + 1 +x2+6x+11=0 2/ 2(2x-7) 6 x − 17 − 8 x 2 + 2 x + 1 = -5x2 +20x-49 14 GV:Nguyễn Anh Tuấn Trường THPT chun Lương Thế Vinh PHƯƠNG PHÁP DÙNG BÂT ĐẲNG THỨC: XII 1 Phương pháp: Khi giải 1 phương trình dạng f(x)=0 đơi khi ta sử dụng biến đổi tương dương đưa phương trình đã... 10 = x + x 2 − 12 x + 20 DÙNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH: XIII 1 Dùng mệnh đề: a Phương pháp: Cho hsố y=f(x) đơn điệu và liên tục trên khỏang (a;b).Ta có:  f (u ) = c Hệ pt  có tối đa 1 nghiệm u ∈ (a; b) Vd1: Giải phương trình: 34 (2x+1) 2 x + 3 + 4 6 x − 2 - (2 x + 1) = 1 (1) 7 1 Giải: đk: x ≥ 2 1 34 (1) ⇔ 2 x + 3 + 4 6 x − 2 − = (2) 2x + 1 7 1 Xét h số f(x)= 2 x + 3 + 4 6 x − 2 − liên tục và... f(u)=f(v) : a Phương pháp: n k 1/ Cho 2 đa thức P(x) và Q(x) với hệ số thực dạng : P(x) = ∑ ak x và Q(x) = k =1 m ∑ b x k =1 ak = bk ; ∀k = 1, 2, , n Ta có: P(x)=Q(x) ; ∀x ∈ R ⇔  n = m 2/ Dùng mệnh đề: Cho hsố y=f(x) đơn điệu và liên tục trên khỏang (a;b).Ta có:  f (u ) = f ( v ) ⇔ u = v ∈ (a; b)  u; v ∈ (a; b) Vd1: Giải phương trình: 81x3+33x-29 8 x + 9 =24x 8 x + 9 +81x2+5 Giải: Ptrình ⇔ 81x3-81x2+33x-5... 2004 y  Ta có: hệ  (đây là hệ đối xứng lọai 2) 2 15 y − 2 y = 2004 x  Giải: Đặt y= Vd2: Giải phương trình: 4x2-11x+10 =(x-1) 2 x 2 − 6 x + 2 (1) 3− 5 3+ 5 ; ] 2 2 (1) ⇔ (2x-3)2+x+1 =(x-1) ( x − 1)(2 x − 3) − x − 1 Giải: đk: x ∈ [ Đặt u=2x-3 ; v= ( x − 1)(2 x − 3) − x − 1 ; ta có:  2 u + x + 1 = ( x − 1).v cho (u-v)(u+v+x-1) = 0 cho kq  2 1) v + x + 1 = (( x −` u  Vd3: Giải phương trình: 2 3... − x =1 +q.x+h (1) 1 Phương pháp: Khi a.p>0; đặt n a1.x + b1 = a.y+b Khi a.p0 ; nên x>0 x 2 + 15 − x 2 + 8 = 3 3 x − 2 (2) 7 − 3 3 x = -2 (3); trên (0;+ ∞ ) ; (2) ⇔ 2 2 x + 15 + x + 8 7 − 3 3 x nghịch biến trên (0;+ ∞ ) Xét hsố f(x) = 2 2 x + 15 + x + 8 (3) ⇔ f(x) = -2 =f( 1) với x>0 nên (3) có duy nhất 1 nghiệm x=1 Vd4: Giải phương trình: ( (1) ⇔ (2x+1) ( 2 + ) ( . 9 2 30x x x+ + − IX. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH: 1. Phương pháp: Khi gặp phương trình chứa căn dạng f(x)=g(x) (1); đôi khi ta dùng phương pháp đặt ẩn phụ để từ từ trình ban đầu và ẩn. 3. 3x + =3x 2 +4x-1 VII. PHƯƠNG PHÁP NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP: 1. Phương pháp: Một trong những cách giải 1 phương trình chứa căn đôi khi ta đoán 1 nghiệm đặc biệt của phương trình để liên kết lương. Thế Vinh XII. PHƯƠNG PHÁP DÙNG BÂT ĐẲNG THỨC: 1. Phương pháp: Khi giải 1 phương trình dạng f(x)=0 đôi khi ta sử dụng biến đổi tương dương đưa phương trình đã chovề phương trình có dạng h(x)=g(x)